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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Initiation au calcul intégral : Intégrale sans bornes et primitives Initiation au calcul intégral/Intégrale sans bornes et primitives », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On a vu au début de ce cours qu'une fonction continue admet une infinité de primitives, qui diffèrent toutes d'une constante.
Début de l'exemple
Fin de l'exemple
Début de l'exemple
Fin de l'exemple
On peut alors se servir des techniques de calcul d'intégrales pour trouver des primitives, en particulier l'intégration par parties.
Début de l'exemple
Exemple simple
On sait que
∫
x
d
x
=
x
2
2
+
C
,
C
∈
R
{\displaystyle \int x~\mathrm {d} x={\frac {x^{2}}{2}}+C,~C\in \mathbb {R} }
Essayons de le montrer avec une IPP :
∫
x
d
x
=
∫
1
⋅
x
d
x
=
[
x
∗
x
]
−
∫
x
⋅
1
d
x
{\displaystyle \int x~\mathrm {d} x=\int {1\cdot x~\mathrm {d} x}=[x*x]-\int {x\cdot 1~\mathrm {d} x}}
ce qui se simplifie en basculant un terme à gauche:
2
∫
x
d
x
=
x
2
+
C
,
C
∈
R
{\displaystyle 2\int x~\mathrm {d} x=x^{2}+C,~C\in \mathbb {R} }
∫
x
d
x
=
x
2
2
+
C
,
C
∈
R
{\displaystyle \int x~\mathrm {d} x={\frac {x^{2}}{2}}+C,C\in \mathbb {R} }
Fin de l'exemple
Ensuite, il y a des exemples plus compliqués, comme cette intégration classique (à savoir refaire sans problème).
Début de l'exemple
Exemple classique
Trouver
∫
x
e
x
d
x
{\displaystyle \int xe^{x}~\mathrm {d} x}
On choisit pour tout
x
,
u
′
(
x
)
=
e
x
{\displaystyle x,~u'(x)=e^{x}}
v
(
x
)
=
x
{\displaystyle v(x)=x}
On obtient pour tout
x
,
u
(
x
)
=
e
x
{\displaystyle x,~u(x)=e^{x}}
v
′
(
x
)
=
1
{\displaystyle v'(x)=1}
On obtient alors :
∫
x
e
x
d
x
=
[
x
e
x
]
−
∫
e
x
d
x
=
(
x
−
1
)
e
x
+
C
,
C
∈
R
{\displaystyle \int xe^{x}~\mathrm {d} x=[xe^{x}]-\int e^{x}~\mathrm {d} x=(x-1)e^{x}+C,C\in \mathbb {R} }
Fin de l'exemple
Début de l'exemple
Exemples utilisant plusieurs IPP successives
∫
x
2
e
x
d
x
=
(
x
2
−
2
x
+
2
)
e
x
+
C
,
C
∈
R
{\displaystyle \int x^{2}e^{x}~\mathrm {d} x=(x^{2}-2x+2)e^{x}+C,C\in \mathbb {R} }
∫
x
ln
(
x
)
d
x
=
x
2
4
(
2
ln
(
x
)
−
1
)
+
C
,
C
∈
R
{\displaystyle \int x\,\ln(x)~\mathrm {d} x={\frac {x^{2}}{4}}(2\ln(x)-1)+C,C\in \mathbb {R} }
Fin de l'exemple
![{\displaystyle \int x~\mathrm {d} x=\int {1\cdot x~\mathrm {d} x}=[x*x]-\int {x\cdot 1~\mathrm {d} x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc77d727198c650f24216fda4da98874c5bacc35)
![{\displaystyle \int xe^{x}~\mathrm {d} x=[xe^{x}]-\int e^{x}~\mathrm {d} x=(x-1)e^{x}+C,C\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3fe631f58c4967f9080463f6aa7d35224ea3812)
