Initiation au calcul intégral/Intégrale sans bornes et primitives

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Intégrale sans bornes

On a vu au début de ce cours qu'une fonction continue admet une infinité de primitives, qui diffèrent toutes d'une constante.

Début de l'exemple

Exemple

Les fonctions $x\mapsto x^{2}+3$, $x\mapsto x^{2}-1$, $x\mapsto x^{2}+1{,}5$ sont toutes des primitives de la fonction $x\mapsto 2x$.

Fin de l'exemple

Intégrale sans bornes

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et admettant des primitives. On note $\int f(x)~\mathrm {d} x$ ou $\int f$, et on lit « intégrale sans bornes de $f$ » l'ensemble de toutes les primitives de $f$ sur l'intervalle $I$.

Début de l'exemple

Exemple

$\int 2x~\mathrm {d} x=x^{2}+C,~C\in \mathbb {R}$. Cette écriture signifie que les primitives de la fonction $x\mapsto 2x$ sont les fonctions de la forme $x\mapsto x^{2}+C$, où $C$ est une constante réelle.

Fin de l'exemple

Calcul de primitives

On peut alors se servir des techniques de calcul d'intégrales pour trouver des primitives, en particulier l'intégration par parties.

Début de l'exemple

Exemple simple

On sait que $\int x~\mathrm {d} x={\frac {x^{2}}{2}}+C,~C\in \mathbb {R}$.

Essayons de le montrer avec une IPP :

$\int x~\mathrm {d} x=\int {1\cdot x~\mathrm {d} x}=[x*x]-\int {x\cdot 1~\mathrm {d} x}$

ce qui se simplifie en basculant un terme à gauche:

$2\int x~\mathrm {d} x=x^{2}+C,~C\in \mathbb {R}$, c'est-à-dire $\int x~\mathrm {d} x={\frac {x^{2}}{2}}+C,C\in \mathbb {R}$

Fin de l'exemple

Ensuite, il y a des exemples plus compliqués, comme cette intégration classique (à savoir refaire sans problème).

Début de l'exemple

Exemple classique

Trouver $\int xe^{x}~\mathrm {d} x$

On choisit pour tout $x,~u'(x)=e^{x}$ et $v(x)=x$

On obtient pour tout $x,~u(x)=e^{x}$ et $v'(x)=1$.

On obtient alors :

$\int xe^{x}~\mathrm {d} x=[xe^{x}]-\int e^{x}~\mathrm {d} x=(x-1)e^{x}+C,C\in \mathbb {R}$

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Exemples utilisant plusieurs IPP successives

* $\int x^{2}e^{x}~\mathrm {d} x=(x^{2}-2x+2)e^{x}+C,C\in \mathbb {R}$.

• $\int x\,\ln(x)~\mathrm {d} x={\frac {x^{2}}{4}}(2\ln(x)-1)+C,C\in \mathbb {R}$

Fin de l'exemple