Initiation au calcul intégral/Intégration par parties

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Intégration par parties
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Chapitre no 4
Leçon : Initiation au calcul intégral
Chap. préc. :Propriétés de l'intégrale
Chap. suiv. :Intégrale sans bornes et primitives

Exercices :

Intégration par parties
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IntroductionModifier

Wikipédia possède un article à propos de « Intégration par parties ».

L'intégration par parties (IPP) est une propriété couramment utilisée dans le calcul d'intégrales car elle simplifie radicalement des expressions complexes. Elle consiste à "jouer" avec les applications mises en jeu.

Formule d'intégration par partiesModifier

La formule de l'Intégration Par Parties (IPP) est donnée par la relation suivante:

Début d’un théorème
Fin du théorème


Cette formule provient de l'intégration de la formule de dérivation d'un produit.

Exemple simpleModifier

On sait qu'une primitive de   est   .

On souhaite ici calculer   sans utiliser cette primitive, grâce à la formule d'intégration par parties en écrivant que  

On pose :
  • sur   la fonction  , donc pour tout  
  • u une fonction telle que pour tout  , par exemple  

 

 

 

ce qui se simplifie en :  

Donc  

Exemple classiqueModifier

 
Cette section nécessite des connaissances sur la fonction exponentielle. Vous pouvez consulter les cours de la Wikiversité à ce sujet.


Calculer  
  • On choisit u telle que pour tout  
  • On pose pour tout  

On obtient pour tout   et  :

 


Avec cosinusModifier

 

Avec un logarithmeModifier

 
Cette section nécessite des connaissances sur la fonction logarithme. Vous pouvez consulter les cours de la Wikiversité à ce sujet.


 

En utilisant consécutivement plusieurs IPPModifier

 
Cette section nécessite des connaissances sur la fonction exponentielle. Vous pouvez consulter les cours de la Wikiversité à ce sujet.


 .

Exemple corrigéModifier

 .