Initiation au calcul intégral/Primitives d’une fonction
DéfinitionModifier
La dérivée d’une fonction constante est la fonction nulle. Autrement dit, les constantes additives disparaissent à la dérivation. En conséquence, une fonction qui a au moins une primitive en a toujours une infinité (pour cette raison, on dit « une primitive » et non « la primitive »).
Calculons les dérivées de chacune de ces fonctions :
F, G, H, K, I sont donc toutes des primitives de
.
ExemplesModifier
Quelques primitives de fonctions très usuellesModifier
La fonction est une primitive de . En effet, .
La fonction est une primitive de . En effet, .
La fonction est une primitive de . En effet, .
La fonction est une primitive de . En effet, .
La fonction est une primitive de . En effet, .
Une méthode élémentaireModifier
On utilise souvent pour les primitives simples la propriété suivante : Une constante multiplicative est « transparente » à la dérivation :
Donner une primitive de . On sait qu’il faut des , mais et non . On a donc l’idée d’anticiper la sortie du 3 en multipliant par son inverse .
et donc .
On pose . Ainsi .
Existence et non-unicitéModifier
Toutes les primitives d’une fonction donnée ne diffèrent que d’une constante additive :
Si est une primitive de sur un intervalle , alors
où est un nombre réel quelconque.
On verra au chapitre suivant que toute fonction continue sur un intervalle admet au moins une primitive (donc une infinité).
Unicité en fixant une valeurModifier
Soit une fonction admettant des primitives sur un intervalle .
Pour tout et tout , il existe (sur ) une primitive de et une seule telle que .
Autrement dit, fixer une valeur suffit à fixer la primitive.