Initiation au calcul intégral/Primitives d’une fonction
Définition modifier
La dérivée d’une fonction constante est la fonction nulle. Autrement dit, les constantes additives disparaissent à la dérivation. En conséquence, une fonction qui a au moins une primitive en a toujours une infinité (pour cette raison, on dit « une primitive » et non « la primitive »).
Calculons les dérivées de chacune de ces fonctions :
F, G, H, K, I sont donc toutes des primitives de
.
Exemples modifier
Quelques primitives de fonctions très usuelles modifier
La fonction est une primitive de . En effet, .
La fonction est une primitive de . En effet, .
La fonction est une primitive de . En effet, .
La fonction est une primitive de . En effet, .
La fonction est une primitive de . En effet, .
Une méthode élémentaire modifier
On utilise souvent pour les primitives simples la propriété suivante : Une constante multiplicative est « transparente » à la dérivation :
Donner une primitive de . On sait qu’il faut des , mais et non . On a donc l’idée d’anticiper la sortie du 3 en multipliant par son inverse .
et donc .
On pose . Ainsi .
Existence et non-unicité modifier
Toutes les primitives d’une fonction donnée ne diffèrent que d’une constante additive :
Si est une primitive de sur un intervalle , alors
où est un nombre réel quelconque.
On verra au chapitre suivant que toute fonction continue sur un intervalle admet au moins une primitive (donc une infinité).
Unicité en fixant une valeur modifier
Soit une fonction admettant des primitives sur un intervalle .
Pour tout et tout , il existe (sur ) une primitive de et une seule telle que .
Autrement dit, fixer une valeur suffit à fixer la primitive.