Initiation au calcul intégral/Intégrale d’une fonction sur un intervalle
Définition de l'intégrale
modifierLa « définition » ci-dessous, bien que prescrite par les programmes, n'est qu'« intuitive » car basée sur la notion d'aire, dont la définition mathématique dépasse largement le niveau de ce cours. Il faut donc se contenter de l'intuition de cette notion, issue de la « connaissance » de l'aire des figures planes usuelles.
Soit une fonction continue et positive sur un intervalle ( ) et soit la courbe représentative de sur .
On considère la portion du plan délimitée par :
alors l'aire de cette figure est appelée l'intégrale de de à et notée :
ou plus simplement :
On étend ensuite cette définition :
- à une fonction continue mais non nécessairement positive, en exprimant comme différence de deux fonctions continues positives, , et en définissant l'intégrale de comme la différence des intégrales de ces deux fonctions ;
- à l'intégrale de à (avec encore ), définie comme l'opposée de l'intégrale de à .
- Remarques
-
- .
- Dans l'écriture traditionnelle, est une variable « muette », c'est-à-dire que la lettre choisie est arbitraire, mais ne doit surtout pas être une lettre déjà utilisée par ailleurs (comme ici ou ) : .
- De même que dans l'expression d'une limite, il n'est pas vraiment indispensable de l’écrire, si on l'omet également dans l'expression de la fonction à intégrer : . Mais cette écriture simplifiée n'est possible que si la fonction à intégrer est désignée par une lettre (ici ) et non par une formule.
Lien entre intégrale et primitive
modifierSoient une fonction continue sur un intervalle et un élément de .
À notre niveau, ce théorème ne peut pas être démontré et n'a même pas de signification précise, puisqu'en définitive, l'intégrale n'a pas été définie mathématiquement. On pourrait, à rebours, le prendre comme une définition de l'intégrale d'une fonction continue, en admettant qu'une telle fonction a des primitives.
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives, et si est l'une d'elles, on a (pour tous et dans cet intervalle) :
- Remarque
- L'intégrale ne dépend pas de la primitive choisie. En effet, si est une autre primitive de :
- .
Exemple
modifierCalculer le réel qui, par définition, représente l'aire ci-dessous :
On note : .
Donc une primitive de est : .
Et .
- On pose .
- Une primitive de est .
- et .
- Donc .