Initiation au calcul intégral/Intégrale d’une fonction sur un intervalle

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Intégrale d’une fonction sur un intervalle
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Chapitre no 2
Leçon : Initiation au calcul intégral
Chap. préc. :Primitives d’une fonction
Chap. suiv. :Propriétés de l'intégrale
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Définition de l'intégraleModifier

La « définition » ci-dessous, bien que prescrite par les programmes, n'est qu'« intuitive » car basée sur la notion d'aire, dont la définition mathématique dépasse largement le niveau de ce cours. Il faut donc se contenter de l'intuition de cette notion, issue de la « connaissance » de l'aire des figures planes usuelles.


On étend ensuite cette définition :

  • à une fonction   continue mais non nécessairement positive, en exprimant   comme différence de deux fonctions continues positives,  , et en définissant l'intégrale de   comme la différence des intégrales de ces deux fonctions ;
  • à l'intégrale de   à   (avec encore  ), définie comme l'opposée de l'intégrale de   à  .
Remarques
  •  .
  • Dans l'écriture traditionnelle,   est une variable « muette », c'est-à-dire que la lettre choisie est arbitraire, mais ne doit surtout pas être une lettre déjà utilisée par ailleurs (comme ici   ou  ) :  .
  • De même que dans l'expression d'une limite, il n'est pas vraiment indispensable de l’écrire, si on l'omet également dans l'expression de la fonction à intégrer :  . Mais cette écriture simplifiée n'est possible que si la fonction à intégrer est désignée par une lettre (ici  ) et non par une formule.

Lien entre intégrale et primitiveModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème


À notre niveau, ce théorème ne peut pas être démontré et n'a même pas de signification précise, puisqu'en définitive, l'intégrale n'a pas été définie mathématiquement. On pourrait, à rebours, le prendre comme une définition de l'intégrale d'une fonction continue, en admettant qu'une telle fonction a des primitives.

Début d’un principe
Fin du principe



Remarque
L'intégrale ne dépend pas de la primitive choisie. En effet, si   est une autre primitive de   :
 .

ExempleModifier

Calculer le réel   qui, par définition, représente l'aire ci-dessous :

On note :  .

Donc une primitive de   est :  .

Et  .