Initiation aux matrices/Applications aux suites

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Dans ce chapitre, nous allons voir ce que peuvent apporter les matrices à l'étude des suites. Nous commencerons par l'étude des suites croisées et nous finirons par des applications concrètes comme l'étude des flux migratoires ou les parcours aléatoires dans les graphes.

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Suites croisées

Supposons que nous ayons plusieurs suites $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, $(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, $(w_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, etc. Nous dirons que ces suites sont croisées si la définition de l'une d'elles dépend des autres.

Par exemple, trois suites $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, $(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, $(w_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ peuvent être définies par :

$\left\{{\begin{array}{l}u_{0}=2\\v_{0}=-1\\w_{0}=3\\u_{n}=2u_{n-1}-3v_{n-1}+w_{n-1}\\v_{n}=u_{n-1}+2v_{n-1}-w_{n-1}\\w_{n}=5u_{n-1}+3v_{n-1}-2w_{n-1}\end{array}}\right.$

Nous voyons qu'au rang n, les termes de la suite, pour chaque suite, dépendent des termes au rang n - 1 des autres suites. Nous pouvons alors regrouper les trois suites en une seule écrite sous forme matricielle et nous aurions pu écrire :

Soit $(U_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ une suite de matrices colonnes d'ordre trois ainsi définie :

$\left\{{\begin{array}{l}U_{0}={\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}}\\U_{n}={\begin{pmatrix}2&-3&1\\1&2&-1\\5&3&-2\end{pmatrix}}\times U_{n-1}\end{array}}\right.$

Plus généralement, nous pouvons écrire :

$\left\{{\begin{array}{l}U_{0}={\begin{pmatrix}u_{0}\\v_{0}\\w_{0}\end{pmatrix}}\\U_{n}={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{pmatrix}}\times U_{n-1}\end{array}}\right.$

avec $U_{n}={\begin{pmatrix}u_{n}\\v_{n}\\w_{n}\end{pmatrix}}$

Nous voyons que nous avons alors :

$U_{n}={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{pmatrix}}\times U_{n-1}={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{pmatrix}}^{2}\times U_{n-2}=\cdots ={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{pmatrix}}^{n}\times U_{0}$

où nous voyons que trouver l'expression de $U_{n}$ en fonction de $U_{0}$ dépend du calcul de la puissance n-ième d'une matrice.

Exemple d'exercice type

Nous donnons dans ce paragraphe une suite de questions, qui s'enchaînent, constituant un exercice complet à bien savoir faire :

Question Soit $P$ une matrice définie par : $P={\begin{pmatrix}7&2\\-3&-1\end{pmatrix}}$. Montrer que $P$ est inversible en calculant son inverse.

Réponse Si l'on traduit l'expression matricielle : ${\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7&2\\-3&-1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}$ par un système, on obtient : $\left\{{\begin{array}{l}7x_{1}+2x_{2}=y_{1}\\-3x_{1}-x_{2}=y_{2}\end{array}}\right.$ il nous suffit alors d'exprimer $x_{1}$ et $x_{2}$ en fonction de $y_{1}$ et $y_{2}$. Nous trouvons : $\left\{{\begin{array}{l}x_{1}=y_{1}+2y_{2}\\x_{2}=-3y_{1}-7y_{2}\end{array}}\right.$ qui se traduit matriciellement par : ${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\-3&-7\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}$ On en déduit : $P^{-1}={\begin{pmatrix}1&2\\-3&-7\end{pmatrix}}$

Question Soit $D$ une matrice diagonale définie par : $D={\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}}$ Calculer la matrice $M$ définie par : $M=P\times D\times P^{-1}$

Réponse On a : $M=P\times D\times P^{-1}={\begin{pmatrix}7&2\\-3&-1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}1&2\\-3&-7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-5&-14\\3&8\end{pmatrix}}$

Question Calculer $M^{n}$

Réponse ${\begin{aligned}M^{n}&=\underbrace {M\times M\times M\times \cdots \times M} _{\textrm {n}}\\&=P\times D\times P^{-1}\times P\times D\times P^{-1}\times P\times D\times P^{-1}\times \cdots \times P\times D\times P^{-1}\\&=P\times D\times I_{2}\times D\times I_{2}\times D\times \cdots \times D\times P^{-1}\\&=P\times \underbrace {\times D\times D\times D\times \cdots \times D} _{\textrm {n}}\times P^{-1}\\&=P\times D^{n}\times P^{-1}\\&={\begin{pmatrix}7&2\\-3&-1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}}^{n}\times {\begin{pmatrix}1&2\\-3&-7\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}7&2\\-3&-1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}1&0\\0&2^{n}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}1&2\\-3&-7\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}7&2^{n+1}\\-3&-2^{n}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}1&2\\-3&-7\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}7-3\times 2^{n+1}&14-7\times 2^{n+1}\\-3+3\times 2^{n}&-6+7\times 2^{n}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Question Soit deux suites $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ et $(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ définies par : $\left\{{\begin{array}{l}u_{n}=-5u_{n-1}-14v_{n-1}\\v_{n}=3u_{n-1}+8v_{n-1}\end{array}}\right.$ Calculer $u_{n}$ et $v_{n}$ en fonction de $u_{0}$ et $v_{0}$

Réponse Matriciellement, on peut écrire : ${\begin{pmatrix}u_{n}\\v_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-5&-14\\3&8\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}u_{n-1}\\v_{n-1}\end{pmatrix}}$ Ce qui, de proche en proche, permet d'écrire : ${\begin{pmatrix}u_{n}\\v_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-5&-14\\3&8\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}u_{n-1}\\v_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-5&-14\\3&8\end{pmatrix}}^{2}\times {\begin{pmatrix}u_{n-2}\\v_{n-2}\end{pmatrix}}=\cdots ={\begin{pmatrix}-5&-14\\3&8\end{pmatrix}}^{n}\times {\begin{pmatrix}u_{0}\\v_{0}\end{pmatrix}}$ Compte tenu de la question précédente, nous avons alors : ${\begin{pmatrix}u_{n}\\v_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-5&-14\\3&8\end{pmatrix}}^{n}\times {\begin{pmatrix}u_{0}\\v_{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7-3\times 2^{n+1}&14-7\times 2^{n+1}\\-3+3\times 2^{n}&-6+7\times 2^{n}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}u_{0}\\v_{0}\end{pmatrix}}$ qui se traduit par : $\left\{{\begin{array}{l}u_{n}=u_{0}(7-3\times 2^{n+1})+7v_{0}(2-2^{n+1})\\v_{n}=3u_{0}(2^{n}-1)+v_{0}(7\times 2^{n}-6)\end{array}}\right.$

Exemples d'applications

Dans ce paragraphe, nous donnons quelques exemples d'applications concrètes des suites croisées pour mieux comprendre l'utilité des suites croisées dans le monde réel.

Étude des flux migratoires

Nous supposerons que nous avons un certain nombre de populations formées d'individus qui au bout d'un certain temps peuvent migrer vers une autre population. Pour fixer les idées, nous supposerons qu'il y a trois populations A, B et C dont les nombres d'individus à l'instant $n$ sont respectivement donnés par trois suites $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, $(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, $(w_{n})_{n\in \mathbb {N} }$. $u_{0}$, $v_{0}$ et $w_{0}$ donnent l'effectif initial des populations et $n$ représente, par exemple, le nombre d'années mais pourrait, tout aussi bien, représenter un autre laps de temps selon le problème auquel nous avons affaire.

Chaque année, un certain pourcentage d'individus quitte une population pour rejoindre une autre population.

Traitons un exemple particulier et supposons que chaque année :

• 3 % des individus de A intègre B ;
• 5 % des individus de A intègre C ;
• 1 % des individus de B intègre A ;
• 3 % des individus de B intègre C ;
• 2 % des individus de C intègre A ;
• 4 % des individus de C intègre B.

À la n-ième année :

• pour la population A, le nombre d'individus sera : $u_{n}=u_{n-1}+{\frac {1}{100}}v_{n-1}+{\frac {2}{100}}w_{n-1}-{\frac {3}{100}}u_{n-1}-{\frac {5}{100}}u_{n-1}$ ;
• pour la population B, le nombre d'individus sera : $v_{n}=v_{n-1}+{\frac {3}{100}}u_{n-1}+{\frac {4}{100}}w_{n-1}-{\frac {1}{100}}v_{n-1}-{\frac {3}{100}}v_{n-1}$ ;
• pour la population C, le nombre d'individus sera : $w_{n}=w_{n-1}+{\frac {5}{100}}u_{n-1}+{\frac {3}{100}}v_{n-1}-{\frac {2}{100}}w_{n-1}-{\frac {4}{100}}w_{n-1}$.

Nous aurons donc le système :

$\left\{{\begin{array}{l}u_{n}={\frac {92}{100}}u_{n-1}+{\frac {1}{100}}v_{n-1}+{\frac {2}{100}}w_{n-1}\\v_{n}={\frac {3}{100}}u_{n-1}+{\frac {96}{100}}v_{n-1}+{\frac {4}{100}}w_{n-1}\\w_{n}={\frac {5}{100}}u_{n-1}+{\frac {3}{100}}v_{n-1}+{\frac {94}{100}}w_{n-1}\end{array}}\right.$

qui se traduit matriciellement par :

${\begin{pmatrix}u_{n}\\v_{n}\\w_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {92}{100}}&{\frac {1}{100}}&{\frac {2}{100}}\\{\frac {3}{100}}&{\frac {96}{100}}&{\frac {4}{100}}\\{\frac {5}{100}}&{\frac {3}{100}}&{\frac {94}{100}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}u_{n-1}\\v_{n-1}\\w_{n-1}\end{pmatrix}}$

d'où l'on déduit :

${\begin{pmatrix}u_{n}\\v_{n}\\w_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {92}{100}}&{\frac {1}{100}}&{\frac {2}{100}}\\{\frac {3}{100}}&{\frac {96}{100}}&{\frac {4}{100}}\\{\frac {5}{100}}&{\frac {3}{100}}&{\frac {94}{100}}\end{pmatrix}}^{n}\times {\begin{pmatrix}u_{0}\\v_{0}\\w_{0}\end{pmatrix}}$

ce qui nous permet de calculer les effectifs des trois populations à la n-ième année.

Parcours aléatoires dans un graphe

Dans ce paragraphe, nous considérerons que nous avons un graphe, c'est-à-dire un certain nombre de sommets reliés ou pas par des arêtes.

Voici un exemple de graphe :

Nous supposerons qu'à chaque instant $n$ se trouve, sur un sommet, un mobile qui a la possibilité de se déplacer, à l'instant $n+1$, sur un sommet voisin en suivant une arête. À l'instant $n+1$, pour chaque sommet, on donne la probabilité que le mobile reste où il se trouve et les probabilités respectives qu'il a de se déplacer sur chaque sommet voisin accessible par une arête. À l'instant initial, le mobile est placé sur un sommet choisi et on le laisse se déplacer aléatoirement dans le graphe aux instants ultérieurs. L'objet de notre problème est de déterminer, pour chaque valeur de $n$, la probabilité qu'il a de se trouver sur tel ou tel sommet.

Prenons un exemple simple :

Considérons un graphe à trois sommets que nous numéroterons de 1 à 3.

• Si le mobile est sur le sommet 1 à l'instant n, alors à l'instant n+1, il y restera avec une probabilité de 0,05.
• Si le mobile est sur le sommet 1 à l'instant n, alors à l'instant n+1, il ira sur le sommet 2 avec une probabilité de 0,4.
• Si le mobile sur le sommet 1 à l'instant n, alors à l'instant n+1, il ira sur le sommet 3 avec une probabilité de 0,55.
• Si le mobile est sur le sommet 2 à l'instant n, alors à l'instant n+1, il y restera avec une probabilité de 0,7.
• Si le mobile est sur le sommet 2 à l'instant n, alors à l'instant n+1, il ira sur le sommet 1 avec une probabilité de 0,1.
• Si le mobile est sur le sommet 2 à l'instant n, alors à l'instant n+1, il ira sur le sommet 3 avec une probabilité de 0,2.
• Si le mobile est sur le sommet 3 à l'instant n, alors à l'instant n+1, il y restera avec une probabilité de 0,1.
• Si le mobile est sur le sommet 3 à l'instant n, alors à l'instant n+1, il ira sur le sommet 1 avec une probabilité de 0,1.
• Si le mobile est sur le sommet 3 à l'instant n, alors à l'instant n+1, il ira sur le sommet 2 avec une probabilité de 0,8.

Supposons qu'à l'instant 0 le mobile se trouve sur le sommet 1.

Soit $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, $(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, $(w_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ trois suites indiquant les probabilités que le mobile a d'être respectivement sur les sommets 1, 2 et 3 à l'instant $n$.

Comme nous savons qu'à l'instant 0 le mobile est sur le sommet 1, nous aurons déjà :

$\left\{{\begin{array}{l}u_{0}=1\\v_{0}=0\\w_{0}=0\end{array}}\right.$

Si l'on pose :

• $U_{n}$ l'événement « À l'instant n, le mobile est sur le sommet 1 » ;
• $V_{n}$ l'événement « À l'instant n, le mobile est sur le sommet 2 » ;
• $W_{n}$ l'événement « À l'instant n, le mobile est sur le sommet 3 »,

nous voyons qu'à l'instant n-1, le mobile est nécessairement sur l'un des trois sommets et, par conséquent, un et un seul des événements $U_{n-1}$, $V_{n-1}$ ou $W_{n-1}$ est réalisé. $U_{n-1}$, $V_{n-1}$ et $W_{n-1}$ constitue donc un système complet d'événements. On peut donc appliquer la formule des probabilités totales. On a donc :

$\left\{{\begin{array}{l}p(U_{n})=p(U_{n-1})\times p_{U_{n-1}}(U_{n})+p(V_{n-1})\times p_{V_{n-1}}(U_{n})+p(W_{n-1})\times p_{W_{n-1}}(U_{n})\\p(V_{n})=p(U_{n-1})\times p_{U_{n-1}}(V_{n})+p(V_{n-1})\times p_{V_{n-1}}(V_{n})+p(W_{n-1})\times p_{W_{n-1}}(V_{n})\\p(W_{n})=p(U_{n-1})\times p_{U_{n-1}}(W_{n})+p(V_{n-1})\times p_{V_{n-1}}(W_{n})+p(W_{n-1})\times p_{W_{n-1}}(W_{n})\end{array}}\right.$

En utilisant les probabilités données dans l'énoncé, on obtient :

$\left\{{\begin{array}{l}u_{n}=u_{n-1}\times 0{,}05+v_{n-1}\times 0{,}1+w_{n-1}\times 0{,}1\\v_{n}=u_{n-1}\times 0{,}4+v_{n-1}\times 0{,}7+w_{n-1}\times 0{,}8\\w_{n}=u_{n-1}\times 0{,}55+v_{n-1}\times 0{,}2+w_{n-1}\times 0{,}1\end{array}}\right.$

que l'on peut traduire matriciellement par :

${\begin{pmatrix}u_{n}\\v_{n}\\w_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0{,}05&0{,}1&0{,}1\\0{,}4&0{,}7&0{,}8\\0{,}55&0{,}2&0{,}1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}u_{n-1}\\v_{n-1}\\w_{n-1}\end{pmatrix}}$

d'où l'on déduit :

${\begin{pmatrix}u_{n}\\v_{n}\\w_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0{,}05&0{,}1&0{,}1\\0{,}4&0{,}7&0{,}8\\0{,}55&0{,}2&0{,}1\end{pmatrix}}^{n}\times {\begin{pmatrix}u_{0}\\v_{0}\\w_{0}\end{pmatrix}}$.

Comme à l'instant 0, le mobile est sur le sommet 1, on obtient finalement :

${\begin{pmatrix}u_{n}\\v_{n}\\w_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0{,}05&0{,}1&0{,}1\\0{,}4&0{,}7&0{,}8\\0{,}55&0{,}2&0{,}1\end{pmatrix}}^{n}\times {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$

qui nous permet de calculer les probabilités que le mobile se trouve sur un des trois sommets à tout instant.

Remarque. Dans les deux exemples qui précédent, nous remarquons que dans les deux matrices obtenues, la somme des coefficients de chaque colonne est égale à 1. Les matrices vérifiant cette propriété sont appelées matrice stochastique. On peut montrer que le produit de deux matrices stochastiques est une matrice stochastique.