Initiation aux matrices/Puissance d'une matrice

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Dans ce chapitre, nous allons étudier la puissance d'une matrice carrée. Calculer la puissance d'une matrice est une opération assez utile. Nous le verrons en particulier lorsque nous étudierons les applications des matrices aux suites numériques. Malheureusement, le calcul d'une matrice à la puissance r nécessite des outils qui dépassent le cadre élémentaire de cette leçon. Nous allons toutefois donner quelques indications pour préparer les leçons de niveau supérieur qui traitent cette opération de façon plus complète.

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Définition

La puissance d'une matrice est similaire à la puissance d'un nombre. Soit $M$ une matrice carrée d'ordre $n$. Soit r un entier positif.

Si r est différent de 0, élever la matrice $M$ à la puissance r, c'est multiplier r fois la matrice $M$ par elle-même. On notera $M^{r}$ cette opération.

Si r est égal à 0, On posera $M^{0}=\mathrm {I} _{n}$.

(Nous avons noté la puissance r au lieu de n pour ne pas confondre avec l'ordre n des matrices carrées.)

$M^{r}=\underbrace {M\times M\times \cdots \times M} _{\textrm {r}}$.

Par exemple :

${\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\end{pmatrix}}^{3}={\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}11&-30\\-15&41\end{pmatrix}}$.

Puissance d'une matrice diagonale

Notre principale préoccupation lorsque l'on veut élever une matrice à la puissance r est d'exprimer le résultat sous forme d'une matrice dont tous les coefficients s'expriment en fonction de r. Cette opération n'est pas simple dans le cas général, mais il existe un cas particulier où cette opération ne pose pas de problème, c'est quand la matrice est diagonale.

En effet, on peut remarquer que lorsque l'on multiplie deux matrices diagonales entre elles, cela revient à multiplier les coefficients de la diagonale deux à deux.

Par exemple, pour les matrices carrées diagonales d'ordre trois, nous avons :

${\begin{pmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}d&0&0\\0&e&0\\0&0&f\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\times d&0&0\\0&b\times e&0\\0&0&c\times f\end{pmatrix}}$

Plus généralement, on montre par récurrence que pour élever une matrice diagonale à la puissance r, il suffit d'élever chaque coefficient de la diagonale à la puissance r.

Par exemple, pour les matrices carrées diagonales d'ordre trois, nous avons :

${\begin{pmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\end{pmatrix}}^{r}={\begin{pmatrix}a^{r}&0&0\\0&b^{r}&0\\0&0&c^{r}\end{pmatrix}}$.

Puissance d'une matrice diagonalisable

Nous avons vu au chapitre précédent qu'une matrice $M$ est dite diagonalisable s'il existe une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ vérifiant :

$M=P\times D\times P^{-1}$.

Cette relation nous permet de calculer sans trop de difficultés la matrice $M^{r}$ :

$M^{r}=P\times D^{r}\times P^{-1}$.

En effet, plus généralement :

Si $A=P\times B\times P^{-1}$ alors $\forall r\in \mathbb {N} ^{*}\quad A^{r}=P\times B^{r}\times P^{-1}$.

Deux démonstrations

Première démonstration

Si $A=P\times B\times P^{-1}$, alors :

${\begin{aligned}A^{r}&=\underbrace {A\times A\times A\times \cdots \times A} _{\textrm {r}}\\&=\underbrace {(P\times B\times P^{-1})\times (P\times B\times P^{-1})\times (P\times B\times P^{-1})\times \cdots \times (P\times B\times P^{-1})} _{\textrm {r}}\\\end{aligned}}$

Par associativité du produit de matrices, nous pouvons modifier la position des parenthèses :

$A^{r}=P\times B\times (P^{-1}\times P)\times B\times (P^{-1}\times P)\times B\times (P^{-1}\times P)\times \cdots \times (P^{-1}\times P)\times B\times P^{-1}$

Comme $P^{-1}\times P=\mathrm {I} _{n}$,

nous obtenons :

${\begin{aligned}A^{r}&=P\times B\times \mathrm {I} _{n}\times B\times \mathrm {I} _{n}\times B\times \mathrm {I} _{n}\times \cdots \times \mathrm {I} _{n}\times B\times P^{-1}\\&=P\times \underbrace {B\times B\times B\times \cdots \times B} _{\textrm {r}}\times P^{-1}\\&=P\times B^{r}\times P^{-1}.\end{aligned}}$

Seconde démonstration

On peut aussi démontrer cette formule par récurrence.

Elle est vraie pour $r=1$, c'est l'hypothèse.

Si elle est vraie pour $r$, c'est-à-dire si :

$A^{r}=P\times B^{r}\times P^{-1}$

alors :

${\begin{aligned}A^{r+1}&=A^{r}\times A\\&=P\times B^{r}\times P^{-1}\times P\times B\times P^{-1}\\&=P\times B^{r}\times \mathrm {I} _{n}\times B\times P^{-1}\\&=P\times B^{r}\times B\times P^{-1}\\&=P\times B^{r+1}P^{-1}\end{aligned}}$

et elle est vraie pour $r+1$.

 

Début de l'exemple

Exemple

Nous avons vu au chapitre précédent que :

${\begin{pmatrix}7&-10\\3&-4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}}$.

Nous en déduisons que :

${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}7&-10\\3&-4\end{pmatrix}}^{n}&={\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}}^{n}\times {\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}2^{n}&0\\0&1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}2^{n+1}&5\\2^{n}&3\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}3\times 2^{n+1}-5&-5\times 2^{n+1}+10\\3\times 2^{n}-3&-5\times 2^{n}+6\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Nous avons obtenu :

${\begin{pmatrix}7&-10\\3&-4\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}3\times 2^{n+1}-5&5(2-2^{n+1})\\3(2^{n}-1)&-5\times 2^{n}+6\end{pmatrix}}$.

Fin de l'exemple

Matrice nilpotente

On dit qu'une matrice carrée $M$ est nilpotente s'il existe un entier $p$ tel que :

$M^{p}=0_{n}$

$0_{n}$ représentant une matrice où tous les coefficients sont nuls.

Exemple. Soit $M$, la matrice définie par : $M={\begin{pmatrix}0&1&0\\-4&-2&8\\-1&0&2\end{pmatrix}}$ Par le calcul, on peut vérifier que : $M^{2}=M\times M={\begin{pmatrix}0&1&0\\-4&-2&8\\-1&0&2\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}0&1&0\\-4&-2&8\\-1&0&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-4&-2&8\\0&0&0\\-2&-1&4\end{pmatrix}}$ et $M^{3}=M^{2}\times M={\begin{pmatrix}-4&-2&8\\0&0&0\\-2&-1&4\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}0&1&0\\-4&-2&8\\-1&0&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$ $M$ est donc une matrice nilpotente d'ordre 3.

Puissances d'une matrice inversible

Nous avons vu au chapitre précédent qu'un produit de matrices inversibles $A$ et $B$ est inversible, et $(A\times B)^{-1}=B^{-1}\times A^{-1}$. On en déduit facilement par récurrence que si une matrice carrée $M$ est inversible, alors toutes ses puissances le sont aussi, et pour tout entier positif r :

$\left(M^{r}\right)^{-1}=\left(M^{-1}\right)^{r}$.

Cette matrice inverse de puissance (ou puissance d'inverse) sera notée simplement $M^{-r}$.