Initiation aux matrices/Exercices/Applications aux suites

Exercice 4-1

Si Hugo est méchant, sa mère le punit le lendemain. S'il est puni un jour, le lendemain il sera sage avec une probabilité de 0,9. S'il est sage un jour, on constate que le lendemain il a autant de chance d'être sage que méchant. Les jours où il est puni, on considère qu'il n'est ni sage, ni méchant.

1°  Si Hugo est sage le 5 mars, qu'elle est la probabilité qu'il soit sage le 9 mars ?

2°  Si Hugo est méchant le 5 mars, qu'elle est la probabilité qu'il soit sage le 9 mars ?

3°  Si Hugo est puni le 5 mars, qu'elle est la probabilité qu'il soit sage le 9 mars ?

Solution

On pose :

$S_{n}$ l'événement « Au bout de $n$ jours après le 5 mars, Hugo est sage ».

$M_{n}$ l'événement « Au bout de $n$ jours après le 5 mars, Hugo est méchant ».

$P_{n}$ l'événement « Au bout de $n$ jours après le 5 mars, Hugo est puni ».

Soient $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, $(m_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, $(p_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ trois suites indiquant les probabilités que Hugo soit respectivement sage, méchant ou puni $n$ jours après le 5 mars.

nous voyons que $n-1$ jours après le 5 mars, Hugo est soit sage, soit méchant, soit puni et, par conséquent, un et un seul des événements $S_{n-1}$, $M_{n-1}$ ou $P_{n-1}$ est réalisé. $S_{n-1}$, $M_{n-1}$ et $P_{n-1}$ constituent donc un système complet d'événements. On peut donc appliquer la formule des probabilités totales. On a donc :

$\left\{{\begin{array}{l}p(S_{n})=p(S_{n-1})\times p_{S_{n-1}}(S_{n})+p(M_{n-1})\times p_{M_{n-1}}(S_{n})+p(P_{n-1})\times p_{P_{n-1}}(S_{n})\\p(M_{n})=p(S_{n-1})\times p_{S_{n-1}}(M_{n})+p(M_{n-1})\times p_{M_{n-1}}(M_{n})+p(P_{n-1})\times p_{P_{n-1}}(M_{n})\\p(P_{n})=p(S_{n-1})\times p_{S_{n-1}}(P_{n})+p(M_{n-1})\times p_{M_{n-1}}(P_{n})+p(P_{n-1})\times p_{P_{n-1}}(P_{n})\end{array}}\right.$

En utilisant les probabilités données dans l'énoncé, on obtient :

$\left\{{\begin{array}{l}s_{n}=s_{n-1}\times 0,5+m_{n-1}\times 0+p_{n-1}\times 0,9\\m_{n}=s_{n-1}\times 0,5+m_{n-1}\times 0+p_{n-1}\times 0,1\\p_{n}=s_{n-1}\times 0+m_{n-1}\times 1+p_{n-1}\times 0\end{array}}\right.$

Que l'on peut traduire matriciellement par :

${\begin{pmatrix}s_{n}\\m_{n}\\p_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0,5&0&0,9\\0,5&0&0,1\\0&1&0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}s_{n-1}\\m_{n-1}\\p_{n-1}\end{pmatrix}}$

d'où l'on déduit :

${\begin{pmatrix}s_{n}\\m_{n}\\p_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0,5&0&0,9\\0,5&0&0,1\\0&1&0\end{pmatrix}}^{n}\times {\begin{pmatrix}s_{0}\\m_{0}\\p_{0}\end{pmatrix}}$

Comme le 9 mars est 4 jours après le 5 mars, nous devons élever la matrice à la puissance 4. On a :

${\begin{pmatrix}0,5&0&0,9\\0,5&0&0,1\\0&1&0\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}0,5&0&0,9\\0,5&0&0,1\\0&1&0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}0,5&0&0,9\\0,5&0&0,1\\0&1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0,25&0,9&0,45\\0,25&0,1&0,45\\0,5&0&0,1\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}0,5&0&0,9\\0,5&0&0,1\\0&1&0\end{pmatrix}}^{4}={\begin{pmatrix}0,5&0&0,9\\0,5&0&0,1\\0&1&0\end{pmatrix}}^{2}\times {\begin{pmatrix}0,5&0&0,9\\0,5&0&0,1\\0&1&0\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}0,25&0,9&0,45\\0,25&0,1&0,45\\0,5&0&0,1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}0,25&0,9&0,45\\0,25&0,1&0,45\\0,5&0&0,1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0,5125&0,315&0,5625\\0,3125&0,235&0,2025\\0,175&0,45&0,235\end{pmatrix}}$

1°  Si Hugo est sage le 5 mars, on a:

${\begin{pmatrix}s_{4}\\m_{4}\\p_{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0,5125&0,315&0,5625\\0,3125&0,235&0,2025\\0,175&0,45&0,235\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}s_{0}\\m_{0}\\p_{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0,5125&0,315&0,5625\\0,3125&0,235&0,2025\\0,175&0,45&0,235\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0,5125\\0,3125\\0,175\end{pmatrix}}$

la probabilité qu'il soit sage le 9 mars est donc de 0,5125.

2°  Si Hugo est méchant le 5 mars, on a:

${\begin{pmatrix}s_{4}\\m_{4}\\p_{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0,5125&0,315&0,5625\\0,3125&0,235&0,2025\\0,175&0,45&0,235\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}s_{0}\\m_{0}\\p_{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0,5125&0,315&0,5625\\0,3125&0,235&0,2025\\0,175&0,45&0,235\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0,315\\0,235\\0,45\end{pmatrix}}$

la probabilité qu'il soit sage le 9 mars est donc de 0,315.

3°  Si Hugo est puni le 5 mars, on a:

${\begin{pmatrix}s_{4}\\m_{4}\\p_{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0,5125&0,315&0,5625\\0,3125&0,235&0,2025\\0,175&0,45&0,235\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}s_{0}\\m_{0}\\p_{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0,5125&0,315&0,5625\\0,3125&0,235&0,2025\\0,175&0,45&0,235\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0,5625\\0,2025\\0,235\end{pmatrix}}$

la probabilité qu'il soit sage le 9 mars est donc de 0,5625.

 

Exercice 4-2

1°  Effectuer les produits matriciels suivant :

a)  ${\begin{pmatrix}1&3\\-1&1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&-{\frac {3}{4}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}$

b)  ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&-{\frac {3}{4}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}9&3\\1&7\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}1&3\\-1&1\end{pmatrix}}$

2°  Léa va à l'école.

Si Léa est présente un jour, la probabilité qu'elle soit absente le lendemain est 0,1.

Si Léa est absente un jour, la probabilité qu'elle soit présente le lendemain est 0,3.

Calculer le taux d'absentéisme de Léa.

Solution

1°  On trouve :

a)  ${\begin{pmatrix}1&3\\-1&1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&-{\frac {3}{4}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

b)  ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&-{\frac {3}{4}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}9&3\\1&7\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}1&3\\-1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {3}{2}}&-{\frac {9}{2}}\\{\frac {5}{2}}&{\frac {5}{2}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}1&3\\-1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6&0\\0&10\end{pmatrix}}$

2°  On pose :

$P_{n}$ l'événement « Léa est présente le jour $n$ ».

$A_{n}$ l'événement « Léa est absente le jour $n$ ».

Le point de départ, c'est-à-dire le jour $0$, n'est pas précisé car il n'est pas important pour résoudre cet exercice.

Soient $(p_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ et $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ deux suites indiquant les probabilités que Léa soit respectivement présente ou absente le jour $n$.

Nous voyons qu'au jour $n-1$, Léa est soit présente, soit absente et, par conséquent, un et un seul des événements $P_{n-1}$ ou $A_{n-1}$ est réalisée. $P_{n-1}$ et $A_{n-1}$ constituent donc un système complet d'événements. On peut donc appliquer la formule des probabilités totales. On a donc :

$\left\{{\begin{array}{l}p(P_{n})=p(P_{n-1})\times p_{P_{n-1}}(P_{n})+p(A_{n-1})\times p_{A_{n-1}}(P_{n})\\p(A_{n})=p(P_{n-1})\times p_{P_{n-1}}(A_{n})+p(A_{n-1})\times p_{A_{n-1}}(A_{n})\end{array}}\right.$

En utilisant les probabilités données dans l'énoncé, on obtient :

$\left\{{\begin{array}{l}p_{n}=p_{n-1}\times 0,9+a_{n-1}\times 0,3\\a_{n}=p_{n-1}\times 0,1+a_{n-1}\times 0,7\end{array}}\right.$

Que l'on peut traduire matriciellement par :

${\begin{pmatrix}p_{n}\\a_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0,9&0,3\\0,1&0,7\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}p_{n-1}\\a_{n-1}\end{pmatrix}}$

d'où l'on déduit :

${\begin{pmatrix}p_{n}\\a_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0,9&0,3\\0,1&0,7\end{pmatrix}}^{n}\times {\begin{pmatrix}p_{0}\\a_{0}\end{pmatrix}}={\frac {1}{10^{n}}}{\begin{pmatrix}9&3\\1&7\end{pmatrix}}^{n}\times {\begin{pmatrix}p_{0}\\a_{0}\end{pmatrix}}$

Si on pose :

$P={\begin{pmatrix}1&3\\-1&1\end{pmatrix}}$

on voit d’après la question a) que :

$P^{-1}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&-{\frac {3}{4}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}$

D'après la question a), on a aussi :

$P^{-1}\times {\begin{pmatrix}9&3\\1&7\end{pmatrix}}\times P={\begin{pmatrix}6&0\\0&10\end{pmatrix}}$

En multipliant les deux membres de cette relation par $P$ à gauche et par $P^{-1}$ à droite, on trouve :

${\begin{pmatrix}9&3\\1&7\end{pmatrix}}=P\times {\begin{pmatrix}6&0\\0&10\end{pmatrix}}\times P^{-1}$

En reportant ceci dans :

${\begin{pmatrix}p_{n}\\a_{n}\end{pmatrix}}={\frac {1}{10^{n}}}{\begin{pmatrix}9&3\\1&7\end{pmatrix}}^{n}\times {\begin{pmatrix}p_{0}\\a_{0}\end{pmatrix}}$

on obtient :

${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}p_{n}\\a_{n}\end{pmatrix}}&={\frac {1}{10^{n}}}\times P\times {\begin{pmatrix}6&0\\0&10\end{pmatrix}}^{n}\times P^{-1}\times {\begin{pmatrix}p_{0}\\a_{0}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{10^{n}}}\times {\begin{pmatrix}1&3\\-1&1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}6^{n}&0\\0&10^{n}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&-{\frac {3}{4}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}p_{0}\\a_{0}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{10^{n}}}\times {\begin{pmatrix}6^{n}&3\times 10^{n}\\-6^{n}&10^{n}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&-{\frac {3}{4}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}p_{0}\\a_{0}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {3^{n}}{5^{n}}}&3\\-{\frac {3^{n}}{5^{n}}}&1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&-{\frac {3}{4}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}p_{0}\\a_{0}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}\left({\frac {3}{5}}\right)^{n}+{\frac {3}{4}}&-{\frac {3}{4}}\left({\frac {3}{5}}\right)^{n}+{\frac {3}{4}}\\-{\frac {1}{4}}\left({\frac {3}{5}}\right)^{n}+{\frac {1}{4}}&{\frac {3}{4}}\left({\frac {3}{5}}\right)^{n}+{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}p_{0}\\a_{0}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Si Léa est présente le jour $0$ alors on a :

${\begin{pmatrix}p_{n}\\a_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}\left({\frac {3}{5}}\right)^{n}+{\frac {3}{4}}&-{\frac {3}{4}}\left({\frac {3}{5}}\right)^{n}+{\frac {3}{4}}\\-{\frac {1}{4}}\left({\frac {3}{5}}\right)^{n}+{\frac {1}{4}}&{\frac {3}{4}}\left({\frac {3}{5}}\right)^{n}+{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}\left({\frac {3}{5}}\right)^{n}+{\frac {3}{4}}\\-{\frac {1}{4}}\left({\frac {3}{5}}\right)^{n}+{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}$

la probabilité que Léa soit absente le jour $n$ sera donc :

$a_{n}=-{\frac {1}{4}}\left({\frac {3}{5}}\right)^{n}+{\frac {1}{4}}$

Si Léa est absente le jour $0$ alors on a :

${\begin{pmatrix}p_{n}\\a_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}\left({\frac {3}{5}}\right)^{n}+{\frac {3}{4}}&-{\frac {3}{4}}\left({\frac {3}{5}}\right)^{n}+{\frac {3}{4}}\\-{\frac {1}{4}}\left({\frac {3}{5}}\right)^{n}+{\frac {1}{4}}&{\frac {3}{4}}\left({\frac {3}{5}}\right)^{n}+{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {3}{4}}\left({\frac {3}{5}}\right)^{n}+{\frac {3}{4}}\\{\frac {3}{4}}\left({\frac {3}{5}}\right)^{n}+{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}$

la probabilité que Léa soit absente le jour $n$ sera donc :

$a_{n}={\frac {3}{4}}\left({\frac {3}{5}}\right)^{n}+{\frac {1}{4}}$

Dans les deux cas on voit que :

$\lim _{n\to \infty }a_{n}={\frac {1}{4}}$

Ce qui signifie que si $n$ est grand, Léa est absente environ 1 jour sur 4.

Léa a donc un taux d'absentéisme de 25 %