Initiation aux matrices/Exercices/Puissance d'une matrice

Puissance d'une matrice
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Exercices no3
Leçon : Initiation aux matrices
Chapitre du cours : Puissance d'une matrice

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Inverse d'une matrice
Exo suiv. :Applications aux suites
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Initiation aux matrices/Exercices/Puissance d'une matrice
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Exercice 3-1

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Soit   une matrice carrée d'ordre   telle que

 .

On pose

 .

Montrer par récurrence que

 .

Exercice 3-2

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Soit deux matrices   et   définies par :

 

Calculer successivement :

  

  

  


Exercice 3-3

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Soit   une matrice à coefficients complexes définie par :

 

 Montrer que :

 

 Sans utiliser de système d'équations, calculer l'inverse   de  .


Exercice 3-4

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Soit   une matrice nilpotente.

 Montrer que si   est non nulle alors elle n'est pas diagonalisable.

 Montrer que   n'est pas inversible.