Initiation aux matrices/Exercices/Puissance d'une matrice
Exercice 3-1
modifierSoit une matrice carrée d'ordre telle que
- .
On pose
- .
Montrer par récurrence que
- .
Initialisation
Montrons que la propriété est vraie pour .
- .
Hérédité
Supposons que la propriété est vraie pour et montrons qu'alors, elle est vraie pour .
On a :
Or
ce qui permet de conclure :
Exercice 3-2
modifierSoit deux matrices et définies par :
Calculer successivement :
1°
2°
3°
1° Supposons qu'il existe deux valeurs et qui s'expriment en fonction de deux autres valeurs et selon la relation matricielle :
- Essayons alors d'exprimer et en fonction de et . Pour cela, nous considérerons le système associé :
- On montre aisément que ce système est équivalent au système
- qui s'écrit matriciellement :
- On a donc :
2°
3° De la relation on déduit en multipliant les deux membres par à gauche et par à droite :
- qui donne :
Exercice 3-3
modifierSoit une matrice à coefficients complexes définie par :
1° Montrer que :
2° Sans utiliser de système d'équations, calculer l'inverse de .
1° Pour essayer de se donner une idée, commençons par calculer les premières puissances de :
- Nous voyons que . On peut donc écrire :
2° Toujours de , on peut écrire :
- Ce qui montre que :
Exercice 3-4
modifierSoit une matrice nilpotente.
1° Montrer que si est non nulle alors elle n'est pas diagonalisable.
2° Montrer que n'est pas inversible.
Puisque est nilpotente, c'est une matrice carrée et il existe un entier tel que (où désigne l'ordre de ).
1° Si était diagonalisable, il existerait une matrice diagonale et une matrice inversible telles que :
- En élevant les deux membres de cette relation à la puissance , on obtient :
- Soit :
- En multipliant les deux membres, à gauche par et à droite par , on obtient :
- Ce qui n'est possible que si .
- Mais si , on aurait :
- Contrairement à l'hypothèse.
2° Si était inversible alors le serait aussi, ce qui est absurde car n'est pas inversible.