Intégration de Riemann/Calcul numérique d'une intégrale

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Nous ne traiterons ici que des trois méthodes d'approximation les plus simples : rectangles, points médians et trapèzes. Dans ces trois méthodes, on subdivise l'intervalle d'intégration en sous-intervalles (), avec . On approxime l'intégrale de la fonction sur chacun de ces sous-intervalles, puis on fait la somme.

Calcul numérique d'une intégrale
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Chapitre no 5
Leçon : Intégration de Riemann
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Exercices :

Calcul numérique d'une intégrale
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Méthode des rectangles

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On remplace l'arc de courbe par un segment horizontal situé à la hauteur de l'extrémité gauche de cet arc (on a bien sûr une méthode analogue en prenant l'extrémité droite).

Valeur approchée

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On choisit ainsi d'approximer   par   donc

 .

Estimation de l'erreur

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Si   est C1 alors   pour un certain   donc

  pour un certain  .

Méthode des points médians

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Le point du graphe par lequel on fait passer un segment horizontal (qui approxime l'arc de courbe) n'a plus cette fois pour abscisse   ou   comme dans la méthode des rectangles (à gauche ou à droite) mais la moyenne (arithmétique) des deux.

Valeur approchée

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  donc

 .

Estimation de l'erreur

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Si   est C2 alors   pour un certain   donc

  pour un certain  .

Méthode des trapèzes

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On n'approxime plus l'arc de courbe par un segment horizontal comme dans la méthode des rectangles ou celle des points médians, mais par la corde de cet arc.

Valeur approchée

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  donc

 .

Estimation de l'erreur

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Si   est C2 alors   pour un certain   donc

  pour un certain  .

Lien externe

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Approximation des intégrales (PCSI2, Lycée Corneille, 2010-2011)