Intégration de Riemann/Intégrale de Riemann

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Dans tout ce cours, $a<b$ sont des réels.
L'idée intuitive d'intégrale d'une fonction est celle "d'aire sous sa courbe" (au moins pour une fonction positive). Nous allons ici donner une façon de construire théoriquement l'intégrale à partir de cette idée (il existe d'autres constructions comme notamment celle de Lebesgue).
En fait, si $f$ est une fonction continue et positive sur un intervalle $[a;b]$ et si ${\mathcal {C}}$ est sa courbe représentative dans un repère, alors on veut que l’aire ${\mathcal {A}}$ de la surface (grisée sur le dessin) délimitée par :

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$\left\{{\begin{array}{l}x=a{\textrm {~:~droite~verticale}}\\x=b{\textrm {~:~droite~verticale}}\\y=0{\textrm {~:~axe~des~abscisses}}\\C:y=f(x){\textrm {~:~courbe~de~}}f\\\end{array}}\right.$

soit : ${\mathcal {A}}=\int _{a}^{b}f(x)~\mathrm {d} x$.

(Il manque des illustrations)

Intégrale d'une fonction en escalier

Définition : fonction en escalier

Une fonction $f:[a;b]\to \mathbb {R}$ est dite en escalier si, et seulement si, il existe une subdivision de $[a;b]$ adaptée à $f$ , c'est-à-dire un ensemble de points (subdivision) de $[a;b]$ tel que :

• $a=a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n}=b\;\;(n\in \mathbb {N} )$ ;
• $f$ est constante sur chaque intervalle $]a_{i};a_{i+1}[\,\forall i\in [1;n]\cap \mathbb {N}$ .

Notation : on notera ${\mathcal {E}}([a;b])$ l’ensemble des fonctions en escalier sur $[a;b]$ .
Exemple : la fonction partie entière définie dans le cours sur les fonctions continues.
Si on la prend sur $[0;3]$ , alors $(0;1;2;3)$ est une subdivision adaptée à $E$ sur $[0;3]$ .$(0;2;3)$ n'en est pas une car $E$ n’est pas constante sur $[0;2]$.

Définition : intégrale d'une fonction en escalier

Soit $f\in {\mathcal {E}}([a;b])$.
L'intégrale de la fonction $f$ sur $[a;b]$ est le nombre réel :

$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=\sum _{i=0}^{n-1}(a_{i+1}-a_{i})f(a_{i})$

Exemple : pour la fonction partie entière, on a en choisissant la subdivision $(0;1;2;3)$ :
$\int _{0}^{3}E(x)\mathrm {d} x=\sum _{i=0}^{2}(a_{i+1}-a_{i})E(a_{i})=1+2=3$ .

(manque d'illustrations)

Intégrale d'une fonction continue par morceaux

Définition : fonction continue par morceaux

Une fonction $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ est dite continue par morceaux s'il existe une subdivision $a=a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n}=b\;\;(n\in \mathbb {N} )$ de $[a,b]$ telle que pour tout entier $i$ de $1$ à $n-1$, $f$ soit continue sur $]a_{i},a_{i+1}[$ et admette une limite à droite en $a_{i}$ et une limite à gauche en $a_{i+1}$.

Notation : dans cette leçon, nous noterons ${\mathcal {CM}}([a,b])$ l’ensemble des fonctions continues par morceaux sur $[a,b]$.

Propriété : approximation d'une fonction continue par morceaux par une fonction en escalier

Soit $f\in {\mathcal {CM}}([a,b])$.

$\forall \varepsilon >0\quad \exists \psi ,\varphi \in {\mathcal {E}}([a,b])\quad \psi \leq f\leq \varphi {\text{ et }}\varphi -\psi \leq \varepsilon$.

Démonstration

On fait la preuve seulement pour $f$ continue : dans le cas général, on se place sur chacun des intervalles où la fonction est continue et on applique le résultat démontré ici.

$f$ est continue sur l'intervalle fermé borné $[a,b]$ donc elle y est uniformément continue d’après le théorème de Heine. On a donc :

$\forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall x,y\in [a,b]\quad \left(|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon \right)$.

Soit $\varepsilon >0$ et soit $(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$ une subdivision de $[a,b]$ telle que $\forall i\in [1,n]\cap \mathbb {N} \quad a_{i+1}-a_{i}={\frac {b-a}{n}}<\delta$.

On construit alors les fonctions $\psi ,\varphi \in {\mathcal {E}}([a;b])$ définies par :

• $\psi (x)=m_{i}=\min _{x\in [a_{i},a_{i+1}]}f(x)$ ;
• $\varphi (x)=M_{i}=\max _{x\in [a_{i},a_{i+1}]}f(x)$.

La continuité uniforme et la définition du minimum et du maximum (qui existent bien, puisque $f$ est continue sur l'intervalle fermé borné $[a,b]$) permettent alors de conclure.

 

Définition : fonction intégrable au sens de Riemann

On note :

• ${\mathcal {E}}^{-}=\{\psi \in {\mathcal {E}}([a,b])\mid \psi \leq f\}$ et ${\mathcal {I}}^{-}=\left\{\int _{a}^{b}\psi (x)\mathrm {d} x\mid \psi \in {\mathcal {E}}^{-}\right\}$
• ${\mathcal {E}}^{+}=\{\varphi \in {\mathcal {E}}([a,b])\mid \varphi \geq f\}$ et ${\mathcal {I}}^{+}=\left\{\int _{a}^{b}\varphi (x)\mathrm {d} x\mid \varphi \in {\mathcal {E}}^{+}\right\}$.

La fonction $f$ est dite intégrable au sens de Riemann si :

${\mathcal {I}}:=\inf {\mathcal {I}}^{+}=\sup {\mathcal {I}}^{-}$.

De plus, le nombre réel ${\mathcal {I}}$ est l'intégrale de la fonction $f$ sur $[a,b]$  :

$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x={\mathcal {I}}$.

Remarque : la variable d'intégration est « muette » : cela signifie que

$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(t)\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}f(u)\mathrm {d} u$.

Début d’un théorème

Théorème

Toute fonction continue par morceaux est Riemann-intégrable.

Fin du théorème

Démonstration

On fait la preuve seulement pour $f$ continue : dans le cas général, on se place sur chacun des intervalles où la fonction est continue et on applique le résultat démontré ici.

Il est clair que $\inf {\mathcal {I}}^{+}\leq \sup {\mathcal {I}}^{-}$, si ces nombres existent (cette inégalité vient de la définition même de ${\mathcal {I}}^{+}$ et ${\mathcal {I}}^{-}$).

D'après la propriété précédente, si $f$ est continue sur $[a,b]$, alors il existe deux fonctions $\psi$ et $\varphi$ en escalier telles que (en fixant $\varepsilon >0$) $\psi \leq f\leq \varphi$ et $\varphi -\psi <\varepsilon$.

On peut montrer (ce sera fait dans le cours sur les propriétés de l'intégrale) que $\varphi -\psi <\varepsilon \Rightarrow \int _{a}^{b}\varphi (x)-\psi (x)\mathrm {d} x<\int _{a}^{b}\varepsilon \mathrm {d} x=\varepsilon (b-a)$.

Mais comme cela est vrai pour tout $\varepsilon >0$, cela signifie par passage à la limite que les bornes inférieure et supérieure annoncées sont finies et égales, ce qui achève la démonstration.

 

Remarque : En fait, l’ensemble des fonctions Riemann-intégrables est plus vaste que l’ensemble des fonctions continues par morceaux et on ne peut le décrire précisément.

Par exemple, la fonction $f:x\mapsto {\begin{cases}0,&{\text{si }}x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \\{\frac {1}{q}},&{\text{si }}x={\frac {p}{q}}\mathrm {\;avec\;} p\mathrm {\;et\;} q\mathrm {\;premiers\;entre\;eux} \end{cases}}$ est Riemann-intégrable sur $\mathbb {R}$, alors que la fonction $g:x\mapsto {\begin{cases}0,&{\text{si }}x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \\1,&{\text{si }}x\in \mathbb {Q} \end{cases}}$ n’est pas Riemann-intégrable.