Intégration de Riemann/Intégrale de Riemann

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Intégrale de Riemann
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Chapitre no 1
Leçon : Intégration de Riemann
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Dans tout ce cours, sont des réels.
L'idée intuitive d'intégrale d'une fonction est celle "d'aire sous sa courbe" (au moins pour une fonction positive). Nous allons ici donner une façon de construire théoriquement l'intégrale à partir de cette idée (il existe d'autres constructions comme notamment celle de Lebesgue).
En fait, si est une fonction continue et positive sur un intervalle et si est sa courbe représentative dans un repère, alors on veut que l’aire de la surface (grisée sur le dessin) délimitée par :


Integral as region under curve.jpg

soit : .

(Il manque des illustrations)

Intégrale d'une fonction en escalierModifier


Notation : on notera   l’ensemble des fonctions en escalier sur   .
Exemple : la fonction partie entière définie dans le cours sur les fonctions continues.
Si on la prend sur   , alors   est une subdivision adaptée à   sur   .  n'en est pas une car   n’est pas constante sur  .


Exemple : pour la fonction partie entière, on a en choisissant la subdivision   :
  .

(manque d'illustrations)

Intégrale d'une fonction continue par morceauxModifier


Notation : dans cette leçon, nous noterons   l’ensemble des fonctions continues par morceaux sur  .


Remarque : la variable d'intégration est « muette » : cela signifie que

 .
Début d’un théorème
Fin du théorème


Remarque : En fait, l’ensemble des fonctions Riemann-intégrables est plus vaste que l’ensemble des fonctions continues par morceaux et on ne peut le décrire précisément.

Par exemple, la fonction   est Riemann-intégrable sur  , alors que la fonction   n’est pas Riemann-intégrable.