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Exercice : Calculs d'aires 1Intégration en mathématiques/Exercices/Calculs d'aires 1 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation :
y
=
1
x
3
{\displaystyle y={\frac {1}{x^{3}}}}
,
l'axe des abscisses et les droites d'équation
x
=
1
{\displaystyle x=1}
et
x
=
2
{\displaystyle x=2}
.
Solution
∫
1
2
d
x
x
3
=
[
−
1
2
x
2
]
1
2
=
3
8
{\displaystyle \int _{1}^{2}{\frac {\mathrm {d} x}{x^{3}}}=\left[{\frac {-1}{2x^{2}}}\right]_{1}^{2}={\frac {3}{8}}}
.
Soit
h
{\displaystyle h}
la fonction définie par
h
(
x
)
=
3
x
x
2
−
4
{\displaystyle h(x)={\frac {3x}{x^{2}-4}}}
.
Calculer
∫
h
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int h(x)\,\mathrm {d} x}
.
Calculer l'aire du domaine compris entre l'axe des abscisses, la courbe de la fonction
h
{\displaystyle h}
, et les droites
x
=
3
{\displaystyle x=3}
et
x
=
4
{\displaystyle x=4}
.
Solution
∫
h
(
x
)
d
x
=
[
3
2
ln
|
x
2
−
4
|
]
{\displaystyle \int h(x)\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {3}{2}}\ln |x^{2}-4|\right]}
.
[
3
2
ln
(
x
2
−
4
)
]
3
4
=
3
2
ln
12
5
{\displaystyle \left[{\frac {3}{2}}\ln(x^{2}-4)\right]_{3}^{4}={\frac {3}{2}}\ln {\frac {12}{5}}}
.
Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation :
f
(
x
)
=
1
cos
2
x
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\cos ^{2}x}}}
,
l'axe des abscisses et les droites d'équation
x
=
0
{\displaystyle x=0}
et
x
=
π
4
{\displaystyle x={\frac {\pi }{4}}}
.
Solution
∫
0
π
4
1
cos
2
=
[
tan
]
0
π
4
=
1
{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{4}}{\frac {1}{\cos ^{2}}}=\left[\tan \right]_{0}^{\frac {\pi }{4}}=1}
.
Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation :
y
=
3
x
2
−
x
+
5
{\displaystyle y=3x^{2}-x+5}
,
l'axe des abscisses et les droites d'équation
x
=
−
1
{\displaystyle x=-1}
et
x
=
2
{\displaystyle x=2}
.
Solution
∫
−
1
2
(
3
x
2
−
x
+
5
)
d
x
=
[
x
3
−
x
2
2
+
5
x
]
−
1
2
=
9
−
3
2
+
15
=
45
2
{\displaystyle \int _{-1}^{2}\left(3x^{2}-x+5\right)\,\mathrm {d} x=\left[x^{3}-{\frac {x^{2}}{2}}+5x\right]_{-1}^{2}=9-{\frac {3}{2}}+15={\frac {45}{2}}}
.
Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation :
y
=
sin
x
−
2
cos
x
{\displaystyle y=\sin x-2\cos x}
,
l'axe des abscisses et les droites d'équation
x
=
π
4
{\displaystyle x={\frac {\pi }{4}}}
et
x
=
3
π
2
{\displaystyle x={\frac {3\pi }{2}}}
.
Solution
Soit
a
=
arctan
2
{\displaystyle a=\operatorname {arctan} 2}
. Alors,
cos
a
=
1
5
{\displaystyle \cos a={\frac {1}{\sqrt {5}}}}
et
sin
a
=
2
5
{\displaystyle \sin a={\frac {2}{\sqrt {5}}}}
donc
−
∫
π
4
a
(
sin
−
2
cos
)
+
∫
a
a
+
π
(
sin
−
2
cos
)
−
∫
a
+
π
3
π
2
(
sin
−
2
cos
)
=
4
(
cos
a
+
2
sin
a
)
−
3
2
−
2
=
4
5
−
3
2
−
2
{\displaystyle -\int _{\frac {\pi }{4}}^{a}(\sin -2\cos )+\int _{a}^{a+\pi }(\sin -2\cos )-\int _{a+\pi }^{\frac {3\pi }{2}}(\sin -2\cos )=4(\cos a+2\sin a)-{\frac {3}{\sqrt {2}}}-2=4{\sqrt {5}}-{\frac {3}{\sqrt {2}}}-2}
.
Calculer l'aire de l'un des sous-ensembles du plan délimités par la courbe d'équation :
y
=
(
2
+
cos
x
)
sin
x
{\displaystyle y=(2+\cos x)\sin x}
et l'axe des abscisses.
Solution
∫
0
π
(
2
+
cos
)
sin
=
−
∫
1
−
1
(
2
+
t
)
d
t
=
∫
−
1
1
(
2
+
t
)
d
t
=
∫
−
1
1
2
d
t
=
4
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }(2+\cos )\sin =-\int _{1}^{-1}(2+t)\,\mathrm {d} t=\int _{-1}^{1}(2+t)\,\mathrm {d} t=\int _{-1}^{1}2\,\mathrm {d} t=4}
.
Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation :
y
=
x
2
(
3
−
x
)
{\displaystyle y=x^{2}(3-x)}
et l'axe des abscisses.
Solution
∫
0
3
(
3
x
2
−
x
3
)
d
x
=
[
x
3
−
x
4
4
]
0
3
=
27
4
{\displaystyle \int _{0}^{3}\left(3x^{2}-x^{3}\right)\,\mathrm {d} x=\left[x^{3}-{\frac {x^{4}}{4}}\right]_{0}^{3}={\frac {27}{4}}}
.
Calculer l'aire de
{
(
x
,
y
)
∈
R
2
∣
0
≤
x
≤
π
,
−
sin
x
≤
y
≤
sin
x
}
{\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 0\leq x\leq \pi ,\;-\sin x\leq y\leq \sin x\}}
.
Solution
∫
0
π
2
sin
x
d
x
=
[
−
2
cos
x
]
0
π
=
4
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }2\sin x\,\mathrm {d} x=\left[-2\cos x\right]_{0}^{\pi }=4}
.
Déterminer le domaine
D
:=
{
(
x
,
y
)
∈
R
2
∣
0
≤
x
≤
2
π
,
sin
x
≤
y
≤
cos
x
}
{\displaystyle D:=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 0\leq x\leq 2\pi ,\;\sin x\leq y\leq \cos x\}}
et calculer son aire.
Solution
L'ensemble des valeurs de
x
∈
[
0
,
2
π
]
{\displaystyle x\in [0,2\pi ]}
pour lesquelles
sin
x
≤
cos
x
{\displaystyle \sin x\leq \cos x}
est
[
0
,
π
/
4
]
∪
[
5
π
/
4
,
2
π
]
{\displaystyle [0,\pi /4]\cup [5\pi /4,2\pi ]}
.
D
{\displaystyle D}
est délimité par les graphes de
sin
{\displaystyle \sin }
et
cos
{\displaystyle \cos }
sur ces deux intervalles et par les deux verticales
x
=
0
{\displaystyle x=0}
et
x
=
2
π
{\displaystyle x=2\pi }
.
∫
x
∈
[
0
,
π
/
4
]
∪
[
5
π
/
4
,
2
π
]
(
cos
x
−
sin
x
)
d
x
=
∫
x
∈
[
−
3
π
/
4
,
π
/
4
]
(
cos
x
−
sin
x
)
d
x
=
[
sin
x
+
cos
x
]
−
3
π
/
4
π
/
4
=
2
2
{\displaystyle \int _{x\in [0,\pi /4]\cup [5\pi /4,2\pi ]}(\cos x-\sin x)\,\mathrm {d} x=\int _{x\in [-3\pi /4,\pi /4]}(\cos x-\sin x)\,\mathrm {d} x=\left[\sin x+\cos x\right]_{-3\pi /4}^{\pi /4}=2{\sqrt {2}}}
.