Intégration en mathématiques/Exercices/Divers

Divers
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Exercices no19
Leçon : Intégration en mathématiques

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Suites d'intégrales 2
Exo suiv. :Calculs d'aires 1
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Exercice 19-1

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Pour   et   entiers naturels, on considère l'intégrale :

 .

 Calculer   :

a)  en utilisant le changement de variable   et la formule du binôme ;
b)  en établissant, par intégration par parties, une relation de récurrence entre   et  , puis en déduisant   du calcul de  .

 Déduire de ce qui précède que :

 .

Exercice 19-2

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Soit :

 .

Prouver que, pour tout   :

 .

Exercice 19-3

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On considère, dans un repère orthonormal, la courbe   d'équation :

 .

Soit   un nombre strictement positif. On désigne par   et   les deux points de la courbe   d'abscisses respectives   et  , et   et   leurs projetés orthogonaux sur l’axe des abscisses.

 Calculer l’aire   de la surface limitée par l’axe des abscisses, les droites   et   et la courbe  .

 On considère la fonction   définie par :

 
Calculer la dérivée de la fonction   pour  
Étudier la variation de   et construire son graphique.
Préciser les demi-tangentes à ce graphique au point d'abscisse  .

 Calculer les valeurs de   pour lesquelles l'aire   est égale à  .

 Étudier les limites à droite et à gauche en   de la fonction :

 .

Exercice 19-4

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On considère la fonction   définie par :

 .

 Étudier son ensemble de définition, démontrer qu'elle est périodique de période   et étudier sa variation dans l'intervalle  .

Tracer la courbe représentative de   dans un repère orthonormal.

 Calculer les primitives de  . On pourra mettre   sous la forme :

 
  et   sont des constantes à préciser.
En déduire la valeur de l’aire du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les deux droites d'équations  ,  .

Exercice 19-5

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Soit la fonction   définie par :

 .

 Étudier la variation de   et la représenter graphiquement par rapport à un repère orthonormal  . Soit  , la courbe représentative.

 Écrire l'équation de la tangente à   au point   ayant pour abscisse le nombre  .

 Vérifier que la fonction   définie par :

 
est une primitive de la fonction   dans chacun des intervalles où cette dernière est définie.

 Évaluer l’aire du domaine plan délimité par l'axe des abscisses, la courbe   et la tangente à   au point  .