Intégration en mathématiques/Exercices/Divers
Exercice 19-1
modifierPour et entiers naturels, on considère l'intégrale :
- .
1° Calculer :
- a) en utilisant le changement de variable et la formule du binôme ;
- b) en établissant, par intégration par parties, une relation de récurrence entre et , puis en déduisant du calcul de .
2° Déduire de ce qui précède que :
- .
-
- .
- Si , .
Or .
Donc .
- Immédiat.
Exercice 19-2
modifierSoit :
- .
Prouver que, pour tout :
- .
(dans chacun des deux cas ou , communs à deux expressions, les deux fonctions de coïncident).
Cette fonction est décroissante sur et croissante sur .
Exercice 19-3
modifierOn considère, dans un repère orthonormal, la courbe d'équation :
- .
Soit un nombre strictement positif. On désigne par et les deux points de la courbe d'abscisses respectives et , et et leurs projetés orthogonaux sur l’axe des abscisses.
1° Calculer l’aire de la surface limitée par l’axe des abscisses, les droites et et la courbe .
2° On considère la fonction définie par :
- Calculer la dérivée de la fonction pour
- Étudier la variation de et construire son graphique.
- Préciser les demi-tangentes à ce graphique au point d'abscisse .
3° Calculer les valeurs de pour lesquelles l'aire est égale à .
4° Étudier les limites à droite et à gauche en de la fonction :
- .
Exercice 19-4
modifierOn considère la fonction définie par :
- .
1° Étudier son ensemble de définition, démontrer qu'elle est périodique de période et étudier sa variation dans l'intervalle .
- Tracer la courbe représentative de dans un repère orthonormal.
2° Calculer les primitives de . On pourra mettre sous la forme :
- où et sont des constantes à préciser.
- En déduire la valeur de l’aire du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les deux droites d'équations , .
- est définie sur la réunion des intervalles avec et vérifie : .
donc est strictement croissante sur chacun de ces intervalles. Ses limites à droite en et à gauche en sont respectivement et .
La courbe représentative de dans un repère orthonormal est :
(Les asymptotes verticales sont représentées en vert). -
- a pour primitives avec .
- .
Exercice 19-5
modifierSoit la fonction définie par :
- .
1° Étudier la variation de et la représenter graphiquement par rapport à un repère orthonormal . Soit , la courbe représentative.
2° Écrire l'équation de la tangente à au point ayant pour abscisse le nombre .
3° Vérifier que la fonction définie par :
- est une primitive de la fonction dans chacun des intervalles où cette dernière est définie.
4° Évaluer l’aire du domaine plan délimité par l'axe des abscisses, la courbe et la tangente à au point .
- est paire donc il suffit de l'étudier sur . Sur cet intervalle, elle croît strictement de à . Elle s'annule en .
Le reste de l'étude se déduit par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées et l'on obtient le tableau de variation :
Le graphique C de la fonction f est alors :
- et donc la tangente à au point a pour équation : , ou encore : .
Graphique (réduire le zoom pour voir le point de tangence). - .
- .