Intégration en mathématiques/Exercices/Primitives 3

Pour chacune des fonctions $f$ suivantes, donner une primitive $F$ de $f$, en précisant les domaines de définition de $f$ et $F$.

Exercice 6-1

$f(x)=x\tan x^{2}$

Solution

$f$ est définie sur $\mathbb {R} \left\backslash \left\{\left.\pm {\sqrt {{\frac {\pi }{2}}+k\pi }}\,\right|\,k\in \mathbb {N} \right\}\right.$, qui est la réunion de tous les intervalles $\left]{\sqrt {k\pi -{\frac {\pi }{2}}}},{\sqrt {k\pi +{\frac {\pi }{2}}}}\right[$ et $\left]-{\sqrt {k\pi +{\frac {\pi }{2}}}},-{\sqrt {k\pi -{\frac {\pi }{2}}}}\right[$ pour $k\in \mathbb {N} ^{*}$ et de $\left]-{\sqrt {\frac {\pi }{2}}},{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\right[$.

Sur chacun de ces intervalles, $f={\frac {-u'}{2u}}$ avec $u(x)=\cos x^{2}$ donc une primitive de $f$ est $F={\frac {-\ln \left|\cos x^{2}\right|}{2}}$.

 

Exercice 6-2

1. $f(x)=x\cos x$ ;
2. $f(x)=x\sin x$.

Solution

Une simple intégration par parties montre que (sur $\mathbb {R}$) :

• une primitive de $x\mapsto x\cos x$ est $x\mapsto x\sin x+\cos x$ ;
• une primitive de $x\mapsto x\sin x$ est $x\mapsto -x\cos x+\sin x$.

 

Exercice 6-3

• $f(x)=x\cos(2x)$
• $f(x)=x\sin(2x)$

Solution

Se déduit de l'exercice précédent par changement de variable.

Ou directement : une simple intégration par parties montre que (sur $\mathbb {R}$) :

• une primitive de $x\mapsto x\cos(2x)$ est $x\mapsto {\frac {1}{2}}x\sin(2x)+{\frac {1}{4}}\cos(2x)$.
• une primitive de $x\mapsto x\sin(2x)$ est $x\mapsto -{\frac {1}{2}}x\cos(2x)+{\frac {1}{4}}\sin(2x)$.

 

Exercice 6-4

$f(x)=x^{2}\cos x$

Solution

En enchaînant deux intégrations par parties, on montre qu'une primitive de $f$ sur $\mathbb {R}$ est $F:x\mapsto x^{2}\sin x+2x\cos x-2\sin x$.

 

Exercice 6-5

$f(x)=x\cos ^{2}x$

Solution

Sachant que $\cos ^{2}x={\frac {1+\cos 2x}{2}}$, une intégrations par parties montre qu'une primitive de $f$ sur $\mathbb {R}$ est

$F:x\mapsto x\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\sin 2x}{4}}\right)-{\frac {x^{2}}{4}}+{\frac {\cos 2x}{8}}={\frac {x^{2}}{4}}+{\frac {x\sin 2x}{4}}+{\frac {\cos 2x}{8}}$.

 

Exercice 6-6

$f(x)=(3x^{2}-7x+1)\cos 3x$

Solution

En enchaînant deux intégrations par parties, on montre qu'une primitive de $f$ sur $\mathbb {R}$ est

$F:x\mapsto (3x^{2}-7x+1){\frac {\sin 3x}{3}}+{\frac {6x-7}{3}}{\frac {\cos 3x}{3}}-2{\frac {\sin 3x}{9}}={\frac {(9x^{2}-21x+1)\sin 3x+(6x-7)\cos 3x}{9}}$.

 

Exercice 6-7

$f(x)={\frac {x}{\cos ^{2}x}}$

Solution

Une intégration par parties montre que sur chaque intervalle $\left]k\pi -{\frac {\pi }{2}},k\pi +{\frac {\pi }{2}}\right[$ (avec $k\in \mathbb {Z}$), une primitive de $f:x\mapsto x\tan 'x$ est $F:x\mapsto x\tan x+\ln |\cos x|$.

 

Exercice 6-8

$f(x)=9x\sin ^{2}x\cos x$

Solution

$f(x)=3x(\sin ^{3})'x$ et $\sin ^{3}=-(1-\cos ^{2})\cos '$ donc (par intégration par parties) une primitive de $f$ sur $\mathbb {R}$ est

$F:x\mapsto 3x\sin ^{3}x+3\cos x-\cos ^{3}x$.

 

Exercice 6-9

$f(x)=2x\left(\sin ^{4}x-3\sin ^{2}x\cos ^{2}x\right)$

Solution

$f(x)=x\left(\cos 4x-\cos 2x\right)$ donc (par intégration par parties) une primitive de $f$ sur $\mathbb {R}$ est

$F:x\mapsto x\left({\frac {\sin 4x}{4}}-{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+{\frac {\cos 4x}{16}}-{\frac {\cos 2x}{4}}$.

 

Exercice 6-10

$f(x)=(3x^{2}-7x+1)\left[\cos(3x-1)+2\sin(3x+1)\right]$

Solution

En enchaînant deux intégrations par parties, on montre qu'une primitive de $f$ sur $\mathbb {R}$ est

$F:x\mapsto {\frac {9x^{2}-21x+1}{9}}\left[\sin(3x-1)-2\cos(3x+1)\right]+{\frac {6x-7}{9}}\left[\cos(3x-1)+2\sin(3x+1)\right]$.