Continuité et variations/Théorème des valeurs intermédiaires

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Théorème des valeurs intermédiaires

Début d’un théorème

Théorème

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $\left[a,b\right]$ .

Pour tout réel $u$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$,

il existe (au moins) un réel $c\in \left[a,b\right]$ tel que $u=f(c)$.

Fin du théorème

Démonstration

Quitte à considérer $-f$ et passer le problème à l'opposé, on peut supposer $f(a)\leq f(b)$.

La méthode de dichotomie consiste à construire une suite d'intervalles I_n = [a_n, b_n] tels que pour tout n :

• I_n+1 soit inclus dans I_n
• la longueur de I_n+1 soit la moitié de celle de I_n
• f(a_n) ≤ u ≤ f(b_n).

On procède de la manière suivante :

• on pose initialement I₀ = [a, b] ;
• quand, à un rang n, l'intervalle I_n est construit, on note m_n son milieu et
  • si f(m_n) < u, on prend pour I_n+1 l'intervalle [m_n, b_n] et l'on pose a_n+1 = m_n et b_n+1 = b_n ;
  • si f(m_n) ≥ u, on prend pour I_n+1 l'intervalle [a_n, m_n] et l'on pose a_n+1 = a_n et b_n+1 = m_n.

Les suites (a_n) et (b_n) sont alors adjacentes : en effet, la première est croissante (au sens large), la seconde est décroissante, et la différence entre les deux suites est égale à la longueur de I_n, soit (b – a)/2ⁿ qui tend vers 0.

Ces deux suites convergent donc vers une même limite c. Comme f est continue, les suites (f(a_n)) et (f(b_n)) convergent vers f(c).

Comme, d'autre part, f(a_n) ≤ u pour tout n, on obtient f(c) ≤ u par passage à la limite.

Comme, enfin, f(b_n) ≥ u pour tout n, on obtient f(c) ≥ u par passage à la limite.

Il en résulte que f(c) = u.

 

Début de l'exemple

Exemple

Pour montrer qu'une fonction continue s'annule sur $I$,

il suffit de montrer qu'elle change de signe sur $I$.

Fin de l'exemple

Interprétation graphique

La droite d'équation $y=u$ coupe au moins une fois la courbe représentative de f.

Interprétation en termes d'équations

Propriété

Soit f une fonction continue d'un intervalle I, a et b deux réels de I.

Pour tout réel u compris entre f(a) et f(b),

l'équation $f(x)=u$ admet (au moins) une solution c comprise entre a et b. On peut démontrer l'unicité de cette solution si $f$ est strictement monotone sur $I$ et les conditions d'application du théorème.

Remarque : Le théorème des valeurs intermédiaires est un théorème d'existence qui ne précise pas la valeur des solutions.

Néanmoins des méthodes algorithmiques (comme la méthode de dichotomie) l'utilisent pour déterminer des valeurs approchées des solutions.