Intégration en mathématiques/Exercices/Primitives 1

Pour chacune des fonctions $f$ suivantes, donner une primitive $F$ de $f$, en précisant les domaines de définition de $f$ et $F$.

Exercice 4-1

$f(x)=(2x+1)(x^{2}+x-3)$

Solution

$f=u'u$ pour $u:x\mapsto x^{2}+x-3$, donc une primitive de $f$ sur $\mathbb {R}$ est $F=u^{2}/2$.

 

Exercice 4-2

$f(x)=(3x^{2}+2x+1)(x^{3}+x^{2}+x+1)^{\frac {7}{3}}$

Solution

$f=u'u^{\frac {7}{3}}$ pour $u:x\mapsto x^{3}+x^{2}+x+1$.

${\frac {7}{3}}+1={\frac {10}{3}}$ donc une primitive de $f$ sur $\mathbb {R}$ est

$F={\frac {u^{\frac {10}{3}}}{\frac {10}{3}}}={\frac {3u^{\frac {10}{3}}}{10}}$.

 

Exercice 4-3

$f(x)=({\sqrt {x}}+1)(x-{\sqrt {x}}+1)$

Solution

$f$ n'est définie que sur $\mathbb {R} _{+}$, mais son expression se simplifie en utilisant l'identité remarquable $(1+a+a^{2})(1-a)=1-a^{3}$ qui, appliquée à $a=-{\sqrt {x}}$, donne : $f(x)=x^{3/2}+1$.

${\frac {3}{2}}+1={\frac {5}{2}}=2+{\frac {1}{2}}$ donc une primitive de $f$ sur $\mathbb {R} _{+}$ est

$F(x)={\frac {x^{5/2}}{5/2}}+x={\frac {2x^{2}{\sqrt {x}}}{5}}+x$.

 

Exercice 4-4

$f(x)={\frac {{\sqrt {x}}-x^{5}+x^{6}{\sqrt {x}}}{x^{2}}}$

Solution

$f$ n'est définie que sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$. $f(x)=x^{{\frac {1}{2}}-2}-x^{5-2}+x^{6+{\frac {1}{2}}-2}=x^{-{\frac {3}{2}}}-x^{3}+x^{\frac {9}{2}}$

$-{\frac {3}{2}}+1=-{\frac {1}{2}}$ et ${\frac {9}{2}}+1={\frac {11}{2}}=5+{\frac {1}{2}}$ donc une primitive de $f$ sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$ est

$F(x)={\frac {x^{-1/2}}{-1/2}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{11/2}}{11/2}}=-{\frac {2}{\sqrt {x}}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {2x^{5}{\sqrt {x}}}{11}}$.

 

Exercice 4-5

$f(x)={\frac {4}{2x+1}}$

Solution

Sur chacun des deux intervalles $\left]-\infty ,-1/2\right[$ et $\left]-1/2,+\infty \right[$, $f=2{\frac {u'}{u}}$ avec $u(x)=2x+1$ donc une primitive de $f$ est $F(x)=2\ln |u|=\ln \left(u^{2}\right)$.

 

Exercice 4-6

$f(x)=\left(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}\right)^{2}$

Solution

Sur chacun des deux intervalles $\left]-\infty ,0\right[$ et $\left]0,+\infty \right[$, $f(x)=x^{4}+2+x^{-4}$ donc une primitive de $f$ est

$F(x)={\frac {x^{5}}{5}}+2x+{\frac {x^{-3}}{-3}}={\frac {x^{5}}{5}}+2x-{\frac {1}{3x^{3}}}$.

 

Exercice 4-7

$f(x)=\left(1-{\frac {1}{\sqrt {x}}}\right)^{2}$

Solution

$f$ n'est définie que sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$. $f(x)=1-2x^{-1/2}+x^{-1}$ donc une primitive de $f$ sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$ est

$F(x)=x-2{\frac {x^{1/2}}{1/2}}+\ln x=x-4{\sqrt {x}}+\ln x$.

 

Exercice 4-8

$f(x)={\frac {\left(1-{\sqrt {x}}\right)^{2}}{\sqrt {x}}}$

Solution

$f$ n'est définie que sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$. $f(x)=x^{-1/2}-2+x^{1/2}$ donc une primitive de $f$ sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$ est

$F(x)={\frac {x^{1/2}}{1/2}}-2x+{\frac {x^{3/2}}{3/2}}=2{\sqrt {x}}-2x+{\frac {2x{\sqrt {x}}}{3}}$.

 

Exercice 4-9

$f(x)={\frac {x^{5/3}+x^{2/3}-2}{x^{1/3}}}$

Solution

Sur chacun des deux intervalles $\left]-\infty ,0\right[$ et $\left]0,+\infty \right[$, $f(x)=x^{4/3}+x^{1/3}-2x^{-1/3}$ donc une primitive de $f$ est

$F(x)={\frac {x^{7/3}}{7/3}}+{\frac {x^{4/3}}{4/3}}-2{\frac {x^{2/3}}{2/3}}={\frac {3x^{2}{\sqrt[{3}]{x}}}{7}}+{\frac {3x{\sqrt[{3}]{x}}}{4}}-3{\sqrt[{3}]{x}}^{2}$.

 

Exercice 4-10

$f(x)={\frac {\left(1-{\sqrt {x}}+{\sqrt {x^{3}}}\right)^{2}}{\sqrt {x}}}$

Solution

$f$ n'est définie que sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$. $f(x)=x^{-1/2}-2+x^{1/2}+2x-2x^{3/2}+x^{5/2}$ donc une primitive de $f$ sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$ est

$F(x)={\frac {x^{1/2}}{1/2}}-2x+{\frac {x^{3/2}}{3/2}}+x^{2}-2{\frac {x^{5/2}}{5/2}}+{\frac {x^{7/2}}{7/2}}=2{\sqrt {x}}-2x+{\frac {2x{\sqrt {x}}}{3}}+x^{2}-{\frac {4x^{2}{\sqrt {x}}}{5}}+{\frac {2x^{3}{\sqrt {x}}}{7}}$.

 

Exercice 4-11

$f(x)={\frac {6x^{5}+21x-12{\sqrt {x}}}{\sqrt {x^{5}}}}$

Solution

$f$ n'est définie que sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$. $f(x)=6x^{5-5/2}+21x^{1-5/2}-12x^{1/2-5/2}=6x^{5/2}+21x^{-3/2}-12x^{-2}$ donc une primitive de $f$ sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$ est

$F(x)=6{\frac {x^{7/2}}{7/2}}+21{\frac {x^{-1/2}}{-1/2}}-12{\frac {x^{-1}}{-1}}={\frac {12x^{3}{\sqrt {x}}}{7}}-{\frac {42}{\sqrt {x}}}+{\frac {12}{x}}$.

 

Exercice 4-12

$f(x)={\frac {x^{4}-2x^{2}+2}{(x-1)^{2}}}$

Solution

Sur chacun des deux intervalles $\left]-\infty ,1\right[$ et $\left]1,+\infty \right[$, $f(x)={\frac {(x^{2}-1)^{2}+1}{(x-1)^{2}}}=(x+1)^{2}+{\frac {1}{(x-1)^{2}}}$ donc une primitive de $f$ est

$F(x)={\frac {(x+1)^{3}}{3}}-{\frac {1}{x-1}}$.

 

Exercice 4-13

$f(x)={\frac {2x^{5}+2x}{\left(x^{4}-1\right)^{2}}}$

Solution

Sur chacun des trois intervalles $\left]-\infty ,-1\right[$, $\left]-1,1\right[$ et $\left]1,+\infty \right[$, $f(x)={\frac {x}{(x^{2}-1)^{2}}}+{\frac {x}{(x^{2}+1)^{2}}}$ donc

$f={\frac {u'}{2u^{2}}}+{\frac {v'}{2v^{2}}}$ avec $u(x)=x^{2}-1$ et $v(x)=x^{2}+1$, et une primitive de $f$ est

$F=-{\frac {1}{2u}}-{\frac {1}{2v}}$.

 

Exercice 4-14

$f(x)={\frac {5x^{4}+40x^{2}+20x+80}{\left(x^{2}+4\right)^{2}}}$

Solution

$f=5+10{\frac {u'}{u^{2}}}$ avec $u(x)=x^{2}+4$ donc une primitive de $f$ sur $\mathbb {R}$ est

$F(x)=5x-{\frac {10}{x^{2}+4}}$.

 

Exercice 4-15

$f(x)={\frac {1}{x^{2}-9}}$

Solution

Sur chacun des trois intervalles $\left]-\infty ,-3\right[$, $\left]-3,3\right[$ et $\left]3,+\infty \right[$, $f(x)={\frac {1/6}{x-3}}-{\frac {1/6}{x+3}}$ donc une primitive de $f$ est

$F(x)={\frac {1}{6}}\ln \left|{\frac {x-3}{x+3}}\right|$.

 

Exercice 4-16

$f(x)={\frac {3x}{x^{2}+1}}$

Solution

$f={\frac {3u'}{2u}}$ avec $u(x)=x^{2}+1>0$ donc une primitive de $f$ sur $\mathbb {R}$ est $F={\frac {3}{2}}\ln u$.

 

Exercice 4-17

$f(x)={\frac {x^{2}}{x^{2}-1}}$

Solution

Sur chacun des trois intervalles $\left]-\infty ,-1\right[$, $\left]-1,1\right[$ et $\left]1,+\infty \right[$, $f(x)=1+{\frac {1}{2(x-1)}}-{\frac {1}{2(x+1)}}$ donc une primitive de $f$ est $F:x\mapsto x+{\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {x-1}{x+1}}\right|$.

Remarque : sur $\left]-1,1\right[$, $f(x)=1-\operatorname {artanh} 'x$ et ${\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {x-1}{x+1}}\right|=-{\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}=-\operatorname {artanh} x$, cf. Trigonométrie hyperbolique/Fonctions hyperboliques réciproques#Argument tangente hyperbolique.

 

Exercice 4-18

$a(x)={\frac {1}{x(x^{2}+1)}},\quad b(x)={\frac {x-1}{x^{2}+2x+1}},\quad c(x)={\frac {x}{(x^{2}-4)^{2}}},\quad d(x)={\frac {x}{x^{2}-x+1}},\quad e(x)={\frac {x^{4}}{x^{3}-1}}$.

Solution

Sur chacun des deux intervalles $\left]-\infty ,0\right[$ et $\left]0,+\infty \right[$, $a(x)={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{x^{2}+1}}$ a pour primitive $A(x)=\ln |x|-{\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+1)=\ln {\frac {|x|}{\sqrt {x^{2}+1}}}$.

Sur chacun des deux intervalles $\left]-\infty ,-1\right[$ et $\left]-1,+\infty \right[$, $b(x)={\frac {-2}{(x+1)^{2}}}+{\frac {1}{x+1}}$ a pour primitive $B(x)={\frac {2}{x+1}}+\ln |x+1|$.

Sur chacun des trois intervalles $\left]-\infty ,-2\right[$, $\left]-2,2\right[$ et $\left]2,+\infty \right[$, $c(x)={\frac {1}{8}}\left({\frac {1}{(x-2)^{2}}}-{\frac {1}{(x+2)^{2}}}\right)$ a pour primitive $C(x)={\frac {1}{8}}\left({\frac {1}{x+2}}-{\frac {1}{x-2}}\right)$.

$x^{2}-x+1={\frac {3}{4}}(y^{2}+1)$ pour $y={\frac {2x-1}{\sqrt {3}}}$ c'est-à-dire $x={\frac {1+y{\sqrt {3}}}{2}}$.
$\int d(x)\,\mathrm {d} x=\int {\frac {1+y{\sqrt {3}}}{y^{2}+1}}{\frac {1}{2}}{\frac {4}{3}}{\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\mathrm {d} y={\frac {1}{\sqrt {3}}}\int {\frac {\mathrm {d} y}{y^{2}+1}}+\int {\frac {y\,\mathrm {d} y}{y^{2}+1}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\arctan y+{\frac {1}{2}}\ln(y^{2}+1)$ donc sur $\mathbb {R}$, $d$ a pour primitive $D(x)={\frac {1}{\sqrt {3}}}\arctan {\frac {2x-1}{\sqrt {3}}}+{\frac {1}{2}}\ln(x^{2}-x+1)$.

Sur chacun des deux intervalles $\left]-\infty ,1\right[$ et $\left]1,+\infty \right[$, $e(x)=x+{\frac {1/3}{x-1}}+{\frac {(1-x)/3}{x^{2}+x+1}}$, et $x^{2}+x+1={\frac {3}{4}}(y^{2}+1)$ pour $y={\frac {2x+1}{\sqrt {3}}}$ c'est-à-dire $x={\frac {-1+y{\sqrt {3}}}{2}}$.
$\int {\frac {1-x}{x^{2}+x+1}}\,\mathrm {d} x=\int {\frac {3-y{\sqrt {3}}}{y^{2}+1}}{\frac {1}{2}}{\frac {4}{3}}{\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\mathrm {d} y=\int {\frac {{\sqrt {3}}-y}{y^{2}+1}}\,\mathrm {d} y={\sqrt {3}}\arctan y-{\frac {1}{2}}\ln(y^{2}+1)$ donc
$e$ a pour primitive $E(x)={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {1}{3}}\ln |x-1|+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\arctan {\frac {2x+1}{\sqrt {3}}}-{\frac {1}{6}}\ln(x^{2}-x+1)={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {1}{6}}\ln {\frac {(x-1)^{2}}{x^{2}-x+1}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\arctan {\frac {2x+1}{\sqrt {3}}}$.

 

Exercice 4-19

Notons $J_{n}$ une primitive de $w\mapsto {\frac {1}{(1+w^{2})^{n}}}$.

1. Donner une relation de récurrence liant $J_{n+1}$ à $J_{n}$.
2. En déduire $J_{2}$ et $J_{3}$.
3. Autre méthode : calculer directement $J_{n+1}$ en faisant le changement de variable $\theta =\arctan w$.

Solution

1. En intégrant par parties, on trouve $J_{n}(w)={\frac {w}{(1+w^{2})^{n}}}+2n(J_{n}(w)-J_{n+1}(w))$, d'où $J_{n+1}(w)={\frac {1}{2n}}\left({\frac {w}{(1+w^{2})^{n}}}+(2n-1)J_{n}(w)\right)$.
2. À partir de $J_{1}=\arctan$, on en déduit $J_{2}(w)={\frac {1}{2}}\left({\frac {w}{1+w^{2}}}+\arctan w)\right)$ et $J_{3}(w)={\frac {1}{4}}\left({\frac {w}{(1+w^{2})^{2}}}+3J_{2}(w)\right)={\frac {w}{4(1+w^{2})^{2}}}+{\frac {3}{8}}\left({\frac {w}{1+w^{2}}}+\arctan w\right)$.
3. $J_{n+1}(w)=\int _{0}^{\arctan w}{\mathrm {d} \theta \over (1+\tan ^{2}\theta )^{n}}=\int _{0}^{\arctan w}\cos ^{2n}\theta \,\mathrm {d} \theta =$ etc.