Introduction à l'électromagnétisme des milieux matériels/Équations de Maxwell

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L'électromagnétisme repose sur quatre équations fondamentales, appelées équations de Maxwell.

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Début d’un principe

Équations de Maxwell

• ${\rm {div}}\,{\vec {b}}=0$
• ${\rm {div}}\,{\vec {e}}={\frac {\eta }{\epsilon _{0}}}$
• ${\overrightarrow {\rm {rot}}}\,{\vec {e}}=-{\frac {\partial {\vec {b}}}{\partial t}}$
• ${\overrightarrow {\rm {rot}}}\,{\vec {b}}=\mu _{0}{\vec {j}}+\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial {\vec {e}}}{\partial t}}$

Fin du principe

avec :

• ${\vec {e}}({\vec {r}},t)=\sum _{i}{\vec {e_{i}}}({\vec {r}},t)$ le champ électrique total
• ${\vec {b}}({\vec {r}},t)=\sum _{i}{\vec {b_{i}}}({\vec {r}},t)$ le champ magnétique total
• $\eta ({\vec {r}},t)=\sum _{i}q_{i}\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{i}(t))$ la densité volumique de charge
• ${\vec {j}}({\vec {r}},t)=\sum _{i}q_{i}{\vec {v_{i}}}(t)\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{i}(t))$ la densité volumique de courant

Ces équations sont microscopiques (mais historiquement elles ont été donné sous leur forme macroscopique), cependant en pratique on utilise souvent leurs versions macroscopiques, que l’on va formuler ici. Pour cela, on moyenne les sources et les champs sur une région spatiale petite devant les fluctuations de composition de la matière et de la longueur d'onde du champ microscopique, et grande devant les fluctuations inter-atomiques de ce dernier.

On note ces grandeurs moyennes :

• $\rho =\langle \eta \rangle$
• ${\vec {J}}=\langle {\vec {j}}\rangle$
• ${\vec {E}}=\langle {\vec {e}}\rangle$
• ${\vec {B}}=\langle {\vec {b}}\rangle$

Suivant les besoins, on peut proposer deux formulations.

Première formulation

Début d’un principe

Équations de Maxwell macroscopiques

• ${\rm {div}}\,{\vec {B}}=0$
• ${\rm {div}}\,{\vec {E}}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$
• ${\overrightarrow {\rm {rot}}}\,{\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$
• ${\overrightarrow {\rm {rot}}}\,{\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {J}}+\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

Fin du principe

Elles sont identiques aux équations microscopiques.

Seconde formulation

Le problème de la première formulation et que l’on ne connaît jamais les sources intégralement ($\rho$ et ${\vec {J}}$). On va donc séparer les sources connues de celles inconnues :

• On ne connait pas en général les charges et les courants liés au milieu (on note $\rho _{\rm {lie}}$ et ${\vec {J}}_{\rm {lie}}$ leurs densités volumiques respectives)
• On connait en général les charges et les courants libres du milieu (on note $\rho _{\rm {libre}}$ et ${\vec {J}}_{\rm {libre}}$ leurs densités volumiques respectives)

On a ainsi :

• $\rho =\rho _{\rm {lie}}+\rho _{\rm {libre}}$
• ${\vec {J}}={\vec {J}}_{\rm {lie}}+{\vec {J}}_{\rm {libre}}$

On définit alors les champs macroscopiques suivant :

• la polarisation, notée ${\vec {P}}$ et définie comme la densité volumique de moment dipolaire électrique totale
• l'aimantation, notée ${\vec {M}}$ et définie comme la densité volumique de moment dipolaire magnétique totale

On peut démontrer que :

• $\rho _{\rm {lie}}=-{\rm {div}}\,{\vec {P}}$
• ${\vec {J}}_{\rm {lie}}={\overrightarrow {\rm {rot}}}\,{\vec {M}}+{\frac {\partial {\vec {P}}}{\partial t}}$

On définit enfin les champs macroscopiques suivant :

• l'excitation électrique, notée ${\vec {D}}$ et définie par ${\vec {D}}=\epsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {P}}$
• l'excitation magnétique, notée ${\vec {H}}$ et définie par ${\vec {H}}={\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {B}}-{\vec {M}}$

La séparation des sources et l'ajout des champs ${\vec {D}}$ et ${\vec {H}}$ ne font que masquer le problème car ils nécessitent deux équations supplémentaires, reliant ${\vec {D}}$ et ${\vec {H}}$ à ${\vec {E}}$ et ${\vec {B}}$. On les nomme équations constitutives du milieu (la difficulté est de les déterminer).

Début d’un principe

Équations de Maxwell macroscopiques

• ${\rm {div}}\,{\vec {B}}=0$
• ${\rm {div}}\,{\vec {D}}=\rho _{\rm {libre}}$
• ${\overrightarrow {\rm {rot}}}\,{\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$
• ${\overrightarrow {\rm {rot}}}\,{\vec {H}}={\vec {J}}_{\rm {libre}}+{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}$

Fin du principe

On utilise souvent cette formulation pour traiter les cas faisant intervenir des diélectriques ou des matériaux aimantés.