Introduction à la théorie des nombres/Devoir/Développement en série de Engel

Soit $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ une suite croissante d'entiers $\geq 2$.

1. Montrer que la série $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{u_{0}u_{1}\dots u_{n}}}$ converge vers un réel $x\in \left]0,1\right]$.
   On dit alors que $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{u_{0}u_{1}\dots u_{n}}}$ est un développement de $x$ en série de Engel.
2. Montrer que $u_{0}=\left\lfloor {\frac {1}{x}}\right\rfloor +1$ et en déduire que le développement de $x$ en série de Engel est unique.
3. Montrer que tout réel de $\left]0,1\right]$ possède un développement en série de Engel.
4. Montrer que si la suite $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ est stationnaire alors $x$ est rationnel.
5. Prouver la réciproque.

Solution

1. $0<{\frac {1}{u_{0}u_{1}\dots u_{n}}}\leq {\frac {1}{2^{n+1}}}$ et $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}=1$.
2. Soit $x_{1}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{u_{1}\dots u_{k}}}$. Alors, $x={\frac {1}{u_{0}}}(1+x_{1})$, or (par croissance de $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$) $0<x_{1}\leq \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{u_{0}\dots u_{k-1}}}=x$, donc $0<u_{0}x-1\leq x$, c'est-à-dire $u_{0}-1\leq {\frac {1}{x}}<u_{0}$, autrement dit $u_{0}=\left\lfloor {\frac {1}{x}}\right\rfloor +1$.
   Par le même raisonnement, $u_{1}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{1}}}\right\rfloor +1$ où $x_{1}=u_{0}x-1$, puis $u_{2}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{2}}}\right\rfloor +1$ où $x_{2}=u_{1}x_{1}-1$, etc. donc la suite $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ est entièrement déterminée par $x$.
3. Réciproquement, en posant $u_{0}=\left\lfloor {\frac {1}{x}}\right\rfloor +1$, $x_{1}=u_{0}x-1$, $u_{1}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{1}}}\right\rfloor +1$, $x_{2}=u_{1}x_{1}-1$, etc., on a bien
   $u_{0}\geq 2$, $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ strictement positive et décroissante, donc $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ croissante, et
   $x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{u_{0}u_{1}\dots u_{n}}}$ car pour tout $k\in \mathbb {N}$, $x=\sum _{n=0}^{k}{\frac {1}{u_{0}u_{1}\dots u_{n}}}+{\frac {x_{k+1}}{u_{0}u_{1}\dots u_{k}}}$ (par récurrence) or $0<{\frac {x_{k+1}}{u_{0}u_{1}\dots u_{k}}}\leq {\frac {1}{2^{k+1}}}$.
4. Si $u_{n}=a$ pour tout $n\geq N$ alors $x_{N}=\sum _{n=N}^{\infty }{\frac {1}{u_{N}\dots u_{n}}}=\sum _{n=N}^{\infty }{\frac {1}{a^{n-N+1}}}={\frac {1}{a-1}}\in \mathbb {Q}$ donc $x=\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {1}{u_{0}u_{1}\dots u_{n}}}+{\frac {x_{N}}{u_{0}u_{1}\dots u_{N-1}}}\in \mathbb {Q}$.
5. Réciproquement, supposons que $x$ est rationnel : $x={\frac {A_{0}}{B}}$ et effectuons la division euclidienne de $B$ par $A_{0}$ : $B=A_{0}Q_{0}+R_{0}$ avec $0\leq R_{0}<A_{0}$.
   Alors, $u_{0}=\left\lfloor {\frac {A_{0}Q_{0}+R_{0}}{A_{0}}}\right\rfloor +1=Q_{0}+1$ et $x_{1}=u_{0}x-1={\frac {A_{0}-R_{0}}{B}}=:{\frac {A_{1}}{B}}$, et l'on itère.
   Par récurrence, $x_{n}={\frac {A_{n}}{B}}$, où $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ est une suite d'entiers strictement positive et décroissante donc stationnaire
   et $u_{n}=\left\lfloor {\frac {B}{A_{n}}}\right\rfloor +1$ donc $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ est également stationnaire.