On rappelle que pour
x
{\displaystyle x}
algébrique de degré
≤
2
{\displaystyle \leq 2}
:
le « conjugué » de
x
{\displaystyle x}
, noté
x
c
{\displaystyle x_{c}}
, est par définition l'autre racine de son polynôme minimal si
x
∉
Q
{\displaystyle x\notin \mathbb {Q} }
, et
x
{\displaystyle x}
lui-même si
x
∈
Q
{\displaystyle x\in \mathbb {Q} }
;
∀
u
,
v
∈
Q
(
u
x
+
v
)
c
=
u
x
c
+
v
{\displaystyle \forall u,v\in \mathbb {Q} \quad (ux+v)_{c}=ux_{c}+v}
et si
x
≠
0
{\displaystyle x\neq 0}
,
(
1
x
)
c
=
1
x
c
{\displaystyle \left({\frac {1}{x}}\right)_{c}={\frac {1}{x_{c}}}}
(cf. exercice 2-7 , question 5) ;
la « trace » de
x
{\displaystyle x}
est par définition le rationnel
Tr
(
x
)
:=
x
+
x
c
{\displaystyle \operatorname {Tr} (x):=x+x_{c}}
;
la « norme » de
x
{\displaystyle x}
est par définition le rationnel
N
(
x
)
:=
x
×
x
c
{\displaystyle \operatorname {N} (x):=x\times x_{c}}
.
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Devoir : Équation de Pell-FermatIntroduction à la théorie des nombres/Devoir/Équation de Pell-Fermat », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Wikipedia-logo-v2.svg
On suppose dans ce problème que
x
{\displaystyle x}
est un irrationnel quadratique et l'on note (pour tout
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
)
x
n
:=
[
a
n
,
a
n
+
1
,
…
]
{\displaystyle x_{n}:=[a_{n},a_{n+1},\dots ]}
le
n
{\displaystyle n}
-ième quotient complet de son développement en fraction continue. On rappelle qu'il existe deux suites d'entiers,
(
h
n
)
n
≥
−
2
{\displaystyle (h_{n})_{n\geq -2}}
et
(
k
n
)
n
≥
−
2
{\displaystyle (k_{n})_{n\geq -2}}
(nécessairement uniques), telles que
k
n
≥
0
{\displaystyle k_{n}\geq 0}
et
∀
n
∈
N
x
n
=
−
x
k
n
−
2
−
h
n
−
2
x
k
n
−
1
−
h
n
−
1
et
h
n
−
1
k
n
−
2
−
k
n
−
1
h
n
−
2
=
(
−
1
)
n
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad x_{n}=-{\frac {xk_{n-2}-h_{n-2}}{xk_{n-1}-h_{n-1}}}\quad {\text{et}}\quad h_{n-1}k_{n-2}-k_{n-1}h_{n-2}=(-1)^{n}}
.
Soient
V
n
{\displaystyle V_{n}}
les rationnels définis par :
∀
n
∈
N
(
−
1
)
n
V
n
:=
N
(
x
k
n
−
1
−
h
n
−
1
)
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad (-1)^{n}V_{n}:=\operatorname {N} (xk_{n-1}-h_{n-1})}
.
Développer et simplifier
(
−
1
)
n
V
n
x
n
{\displaystyle (-1)^{n}V_{n}x_{n}}
de manière à l'écrire comme la somme de
(
−
1
)
n
x
{\displaystyle (-1)^{n}x}
et d'un rationnel.
On obtient donc :
V
n
x
n
−
x
∈
Q
{\displaystyle V_{n}x_{n}-x\in \mathbb {Q} }
.
Montrer qu'il n'existe pas d'autre rationnel
V
{\displaystyle V}
tel que
V
x
n
−
x
∈
Q
{\displaystyle Vx_{n}-x\in \mathbb {Q} }
.
On suppose désormais que l'irrationnel quadratique
x
{\displaystyle x}
est même un « entier quadratique » — c'est-à-dire que les rationnels
S
:=
Tr
(
x
)
{\displaystyle S:=\operatorname {Tr} (x)}
et
P
:=
N
(
x
)
{\displaystyle P:=\operatorname {N} (x)}
sont en fait entiers — et que
x
>
x
c
{\displaystyle x>x_{c}}
.
Montrer que l'entier
Δ
:=
S
2
−
4
P
{\displaystyle \Delta :=S^{2}-4P}
est strictement supérieur à
4
{\displaystyle 4}
.
En déduire que
x
−
x
c
>
2
{\displaystyle x-x_{c}>2}
puis, que
x
c
−
a
0
<
−
1
{\displaystyle x_{c}-a_{0}<-1}
.
En déduire que
x
1
{\displaystyle x_{1}}
est « réduit », c'est-à-dire
x
1
>
1
{\displaystyle x_{1}>1}
et
1
(
x
1
)
c
<
−
1
{\displaystyle {\frac {1}{(x_{1})_{c}}}<-1}
.
Par conséquent (corollaire de Galois ) :
la fraction continue de
x
1
{\displaystyle x_{1}}
est « purement périodique », autrement dit, en notant
p
{\displaystyle p}
sa période :
x
=
[
a
0
,
x
1
]
=
[
a
0
,
a
1
,
…
,
a
p
¯
]
{\displaystyle x=[a_{0},x_{1}]=[a_{0},{\overline {a_{1},\dots ,a_{p}}}]}
;
pour tout
j
≥
1
{\displaystyle j\geq 1}
,
x
j
{\displaystyle x_{j}}
est réduit.
En déduire que :
les rationnels
V
n
{\displaystyle V_{n}}
sont positifs (indication : montrer et utiliser que
V
n
x
n
−
x
=
V
n
(
x
n
)
c
−
x
c
{\displaystyle V_{n}x_{n}-x=V_{n}(x_{n})_{c}-x_{c}}
) ;
N
(
x
k
n
−
1
−
h
n
−
1
)
=
±
1
{\displaystyle \operatorname {N} (xk_{n-1}-h_{n-1})=\pm 1}
si et seulement si
V
n
=
1
{\displaystyle V_{n}=1}
;
si
V
n
=
1
{\displaystyle V_{n}=1}
, alors
n
{\displaystyle n}
est un multiple de
p
{\displaystyle p}
(indication :
V
n
x
n
−
x
∈
Z
{\displaystyle V_{n}x_{n}-x\in \mathbb {Z} }
, d'après le calcul de la question 1 et l'hypothèse
Tr
(
x
)
,
N
(
x
)
∈
Z
{\displaystyle \operatorname {Tr} (x),\operatorname {N} (x)\in \mathbb {Z} }
) ;
réciproquement, si
n
{\displaystyle n}
est un multiple de
p
{\displaystyle p}
, alors
V
n
=
1
{\displaystyle V_{n}=1}
.
On obtient donc :
N
(
x
k
n
−
1
−
h
n
−
1
)
=
±
1
{\displaystyle \operatorname {N} (xk_{n-1}-h_{n-1})=\pm 1}
si et seulement si
n
{\displaystyle n}
est un multiple de
p
{\displaystyle p}
.
Application à
x
:=
d
{\displaystyle x:={\sqrt {d}}}
. Pour résoudre l'équation de Pell-Fermat
h
2
−
d
k
2
=
±
1
{\displaystyle h^{2}-dk^{2}=\pm 1}
où
d
{\displaystyle d}
est un entier positif non carré, on développe
x
:=
d
{\displaystyle x:={\sqrt {d}}}
en fraction continue.
Dans chacun des deux cas suivants, déterminer les ensembles
J
1
:=
{
j
∈
N
∣
h
j
2
−
d
k
j
2
=
+
1
}
et
J
−
1
:=
{
j
∈
N
∣
h
j
2
−
d
k
j
2
=
−
1
}
{\displaystyle J_{1}:=\{j\in \mathbb {N} \mid h_{j}^{2}-dk_{j}^{2}=+1\}\quad {\text{et}}\quad J_{-1}:=\{j\in \mathbb {N} \mid h_{j}^{2}-dk_{j}^{2}=-1\}}
et la valeur de
(
h
j
,
k
j
)
{\displaystyle (h_{j},k_{j})}
pour
j
:=
min
(
J
1
∪
J
−
1
)
{\displaystyle j:=\min(J_{1}\cup J_{-1})}
:
cas
d
=
11
{\displaystyle d=11}
, sachant que
11
=
[
3
,
3
,
6
¯
]
{\displaystyle {\sqrt {11}}=[3,{\overline {3,6}}]}
;
cas
d
=
41
{\displaystyle d=41}
, sachant que
41
=
[
6
,
2
,
2
,
12
¯
]
{\displaystyle {\sqrt {41}}=[6,{\overline {2,2,12}}]}
.
Solution
(
−
1
)
n
V
n
x
n
=
−
N
(
x
k
n
−
1
−
h
n
−
1
)
x
k
n
−
2
−
h
n
−
2
x
k
n
−
1
−
h
n
−
1
=
−
(
x
k
n
−
1
−
h
n
−
1
)
c
(
x
k
n
−
2
−
h
n
−
2
)
=
−
k
n
−
1
k
n
−
2
x
c
x
+
k
n
−
1
h
n
−
2
x
c
+
h
n
−
1
k
n
−
2
x
−
h
n
−
1
h
n
−
2
=
−
k
n
−
1
k
n
−
2
N
(
x
)
+
k
n
−
1
h
n
−
2
(
Tr
(
x
)
−
x
)
+
h
n
−
1
k
n
−
2
x
−
h
n
−
1
h
n
−
2
=
−
k
n
−
1
k
n
−
2
N
(
x
)
+
k
n
−
1
h
n
−
2
Tr
(
x
)
+
(
h
n
−
1
k
n
−
2
−
k
n
−
1
h
n
−
2
)
x
−
h
n
−
1
h
n
−
2
=
(
−
1
)
n
x
−
k
n
−
1
k
n
−
2
N
(
x
)
+
k
n
−
1
h
n
−
2
Tr
(
x
)
−
h
n
−
1
h
n
−
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}(-1)^{n}V_{n}x_{n}&=-\operatorname {N} (xk_{n-1}-h_{n-1}){\frac {xk_{n-2}-h_{n-2}}{xk_{n-1}-h_{n-1}}}\\&=-(xk_{n-1}-h_{n-1})_{c}(xk_{n-2}-h_{n-2})\\&=-k_{n-1}k_{n-2}x_{c}x+k_{n-1}h_{n-2}x_{c}+h_{n-1}k_{n-2}x-h_{n-1}h_{n-2}\\&=-k_{n-1}k_{n-2}\operatorname {N} (x)+k_{n-1}h_{n-2}(\operatorname {Tr} (x)-x)+h_{n-1}k_{n-2}x-h_{n-1}h_{n-2}\\&=-k_{n-1}k_{n-2}\operatorname {N} (x)+k_{n-1}h_{n-2}\operatorname {Tr} (x)+(h_{n-1}k_{n-2}-k_{n-1}h_{n-2})x-h_{n-1}h_{n-2}\\&=(-1)^{n}x-k_{n-1}k_{n-2}\operatorname {N} (x)+k_{n-1}h_{n-2}\operatorname {Tr} (x)-h_{n-1}h_{n-2}.\end{aligned}}}
Variante : soit
U
n
:=
V
n
x
n
−
x
{\displaystyle U_{n}:=V_{n}x_{n}-x}
. Au lieu de définir
V
n
{\displaystyle V_{n}}
comme dans l'énoncé (et ipso facto rationnel) puis vérifier que
U
n
∈
Q
{\displaystyle U_{n}\in \mathbb {Q} }
, on peut :
poser a priori
V
0
=
1
,
V
n
+
1
=
−
V
n
N
(
x
n
+
1
)
{\displaystyle V_{0}=1,V_{n+1}=-{\frac {V_{n}}{\operatorname {N} \left(x_{n+1}\right)}}}
puis vérifier par récurrence que les
V
n
{\displaystyle V_{n}}
et les
U
n
{\displaystyle U_{n}}
sont rationnels :
−
V
n
N
(
x
n
+
1
)
=
−
V
n
(
x
n
−
a
n
)
(
x
n
−
a
n
)
c
=
−
V
n
x
n
(
x
n
)
c
+
V
n
a
n
(
x
n
+
(
x
n
)
c
)
−
V
n
a
n
2
=
V
n
−
1
+
a
n
(
x
+
x
c
+
2
U
n
)
−
V
n
a
n
2
=
V
n
−
1
+
a
n
(
Tr
(
x
)
+
2
U
n
)
−
V
n
a
n
2
{\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {V_{n}}{\operatorname {N} \left(x_{n+1}\right)}}&=-V_{n}(x_{n}-a_{n})(x_{n}-a_{n})_{c}\\&=-V_{n}x_{n}(x_{n})_{c}+V_{n}a_{n}(x_{n}+(x_{n})_{c})-V_{n}a_{n}^{2}\\&=V_{n-1}+a_{n}(x+x_{c}+2U_{n})-V_{n}a_{n}^{2}\\&=V_{n-1}+a_{n}(\operatorname {Tr} (x)+2U_{n})-V_{n}a_{n}^{2}\end{aligned}}}
−
V
n
N
(
x
n
+
1
)
x
n
+
1
−
x
=
−
V
n
(
x
n
+
1
)
c
−
x
=
−
V
n
(
x
n
−
a
n
)
c
−
x
=
−
U
n
−
x
c
+
V
n
a
n
−
x
=
−
U
n
+
V
n
a
n
−
Tr
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {V_{n}}{\operatorname {N} \left(x_{n+1}\right)}}x_{n+1}-x&=-{\frac {V_{n}}{(x_{n+1})_{c}}}-x\\&=-V_{n}(x_{n}-a_{n})_{c}-x\\&=-U_{n}-x_{c}+V_{n}a_{n}-x\\&=-U_{n}+V_{n}a_{n}-\operatorname {Tr} (x)\end{aligned}}}
retrouver ensuite pour
V
n
{\displaystyle V_{n}}
la formule de l'énoncé, par identification des coefficients rationnels dans deux expressions de
x
n
{\displaystyle x_{n}}
:
x
+
U
n
V
n
=
x
n
=
−
x
k
n
−
2
−
h
n
−
2
x
k
n
−
1
−
h
n
−
1
=
−
(
x
k
n
−
2
−
h
n
−
2
)
(
x
k
n
−
1
−
h
n
−
1
)
c
N
(
x
k
n
−
1
−
h
n
−
1
)
{\displaystyle {\frac {x+U_{n}}{V_{n}}}=x_{n}=-{\frac {xk_{n-2}-h_{n-2}}{xk_{n-1}-h_{n-1}}}=-{\frac {(xk_{n-2}-h_{n-2})(xk_{n-1}-h_{n-1})_{c}}{\operatorname {N} (xk_{n-1}-h_{n-1})}}}
et (cf. calcul ci-dessus)
−
(
x
k
n
−
2
−
h
n
−
2
)
(
x
k
n
−
1
−
h
n
−
1
)
c
=
(
−
1
)
n
x
+
{\displaystyle -(xk_{n-2}-h_{n-2})(xk_{n-1}-h_{n-1})_{c}=(-1)^{n}x+}
un rationnel donc
V
n
=
(
−
1
)
n
N
(
x
k
n
−
1
−
h
n
−
1
)
{\displaystyle V_{n}=(-1)^{n}\operatorname {N} (xk_{n-1}-h_{n-1})}
.
Plus généralement, pour tout irrationnel
y
{\displaystyle y}
et tout nombre
x
{\displaystyle x}
, il existe au plus un rationnel
V
{\displaystyle V}
tel que
V
y
−
x
∈
Q
{\displaystyle Vy-x\in \mathbb {Q} }
. En effet, si
V
,
V
′
,
V
y
−
x
,
V
′
y
−
x
∈
Q
{\displaystyle V,V',Vy-x,V'y-x\in \mathbb {Q} }
alors
V
−
V
′
,
(
V
−
V
′
)
y
∈
Q
{\displaystyle V-V',(V-V')y\in \mathbb {Q} }
donc (puisque
y
∉
Q
{\displaystyle y\notin \mathbb {Q} }
)
V
−
V
′
=
0
{\displaystyle V-V'=0}
.
D'après les hypothèses, le polynôme minimal de
x
{\displaystyle x}
est
X
2
−
S
X
+
P
{\displaystyle X^{2}-SX+P}
, l'entier
Δ
{\displaystyle \Delta }
est positif,
x
=
S
+
Δ
2
{\displaystyle x={\frac {S+{\sqrt {\Delta }}}{2}}}
et
x
c
=
S
−
Δ
2
{\displaystyle x_{c}={\frac {S-{\sqrt {\Delta }}}{2}}}
.
Δ
{\displaystyle \Delta }
est différent de
0
,
1
,
4
{\displaystyle 0,1,4}
(car non carré puisque
x
∉
Q
{\displaystyle x\notin \mathbb {Q} }
) et différent de
2
{\displaystyle 2}
et
3
{\displaystyle 3}
(car congru
mod
4
{\displaystyle {\bmod {4}}}
à un carré, donc à
0
{\displaystyle 0}
ou
1
{\displaystyle 1}
).
x
−
x
c
=
Δ
>
4
=
2
{\displaystyle x-x_{c}={\sqrt {\Delta }}>{\sqrt {4}}=2}
. Par conséquent,
x
c
−
a
0
<
x
−
2
−
a
0
=
x
−
⌊
x
⌋
−
2
<
1
−
2
=
−
1
{\displaystyle x_{c}-a_{0}<x-2-a_{0}=x-\lfloor x\rfloor -2<1-2=-1}
.
En tant que quotient complet d'indice
>
0
{\displaystyle >0}
d'une fraction continue infinie,
x
1
{\displaystyle x_{1}}
est
>
1
{\displaystyle >1}
.
1
(
x
1
)
c
=
1
(
1
x
−
a
0
)
c
=
(
x
−
a
0
)
c
=
x
c
−
a
0
{\displaystyle {\frac {1}{(x_{1})_{c}}}={\frac {1}{\left({\frac {1}{x-a_{0}}}\right)_{c}}}=(x-a_{0})_{c}=x_{c}-a_{0}}
, donc
1
(
x
1
)
c
<
−
1
{\displaystyle {\frac {1}{(x_{1})_{c}}}<-1}
(d'après la sous-question précédente).
V
n
x
n
−
x
{\displaystyle V_{n}x_{n}-x}
est rationnel donc égal à son conjugué,
V
n
(
x
n
)
c
−
x
c
{\displaystyle V_{n}(x_{n})_{c}-x_{c}}
. Par conséquent,
V
n
=
x
−
x
c
x
n
−
(
x
n
)
c
>
0
{\displaystyle V_{n}={\frac {x-x_{c}}{x_{n}-(x_{n})_{c}}}>0}
, au moins pour
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
puisqu'on sait qu'alors,
x
n
{\displaystyle x_{n}}
est réduit. Quant à
V
0
{\displaystyle V_{0}}
, il vaut
1
{\displaystyle 1}
puisque
1
×
x
0
−
x
=
0
∈
Q
{\displaystyle 1\times x_{0}-x=0\in \mathbb {Q} }
. Remarque (inutile pour la suite) : les rationnels
V
n
{\displaystyle V_{n}}
sont de plus entiers, car
(
−
1
)
n
V
n
=
k
n
−
1
2
P
−
h
n
−
1
k
n
−
1
S
+
h
n
−
1
2
{\displaystyle (-1)^{n}V_{n}=k_{n-1}^{2}P-h_{n-1}k_{n-1}S+h_{n-1}^{2}}
.
Puisque
V
n
≥
0
{\displaystyle V_{n}\geq 0}
et vue la définition des
V
n
{\displaystyle V_{n}}
,
|
N
(
x
k
n
−
1
−
h
n
−
1
)
|
=
V
n
{\displaystyle \left|\operatorname {N} (xk_{n-1}-h_{n-1})\right|=V_{n}}
.
Si
V
n
=
1
{\displaystyle V_{n}=1}
alors
x
n
−
x
∈
Z
{\displaystyle x_{n}-x\in \mathbb {Z} }
donc
x
n
{\displaystyle x_{n}}
et
x
{\displaystyle x}
ont même partie fractionnaire, c'est-à-dire
1
x
n
+
1
=
1
x
1
{\displaystyle {\frac {1}{x_{n+1}}}={\frac {1}{x_{1}}}}
. Dès lors, pour tout
k
≥
1
{\displaystyle k\geq 1}
,
x
n
+
k
=
x
k
{\displaystyle x_{n+k}=x_{k}}
donc la période
p
{\displaystyle p}
est un diviseur de
n
{\displaystyle n}
.
Réciproquement, si
p
∣
n
{\displaystyle p\mid n}
alors
1
x
n
+
1
=
1
x
1
{\displaystyle {\frac {1}{x_{n+1}}}={\frac {1}{x_{1}}}}
donc
x
n
−
x
=
a
n
−
a
0
∈
Z
⊂
Q
{\displaystyle x_{n}-x=a_{n}-a_{0}\in \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} }
donc (d'après la question 2)
V
n
=
1
{\displaystyle V_{n}=1}
.
Puisque
N
(
d
k
j
−
h
j
)
=
h
j
2
−
d
k
j
2
{\displaystyle \operatorname {N} ({\sqrt {d}}k_{j}-h_{j})=h_{j}^{2}-dk_{j}^{2}}
, on a, d'après ce qui précède :
J
1
∪
J
−
1
=
{
p
s
−
1
∣
s
∈
N
∗
}
{\displaystyle J_{1}\cup J_{-1}=\{ps-1\mid s\in \mathbb {N} ^{*}\}}
et
h
p
s
−
1
2
−
d
k
p
s
−
1
2
=
(
−
1
)
p
s
{\displaystyle h_{ps-1}^{2}-dk_{ps-1}^{2}=(-1)^{ps}}
.
Pour
d
=
11
{\displaystyle d=11}
,
p
=
2
{\displaystyle p=2}
donc
J
1
=
{
2
s
−
1
∣
s
∈
N
∗
}
=
2
N
+
1
et
J
−
1
=
∅
{\displaystyle J_{1}=\{2s-1\mid s\in \mathbb {N} ^{*}\}=2\mathbb {N} +1\quad {\text{et}}\quad J_{-1}=\varnothing }
.
La réduite d'indice
1
{\displaystyle 1}
de
11
{\displaystyle {\sqrt {11}}}
est
3
+
1
3
=
10
3
{\displaystyle 3+{\frac {1}{3}}={\frac {10}{3}}}
donc
(
h
1
,
k
1
)
=
(
10
,
3
)
{\displaystyle (h_{1},k_{1})=(10,3)}
(et
10
2
−
11
×
3
2
=
1
{\displaystyle 10^{2}-11\times 3^{2}=1}
).
Pour
d
=
41
{\displaystyle d=41}
,
p
=
3
{\displaystyle p=3}
donc
J
1
=
{
3
s
−
1
∣
s
∈
N
∗
,
s
pair
}
=
6
N
+
5
et
J
−
1
=
{
3
s
−
1
∣
s
∈
N
∗
,
s
impair
}
=
6
N
+
2
{\displaystyle J_{1}=\{3s-1\mid s\in \mathbb {N} ^{*},\;s{\text{ pair}}\}=6\mathbb {N} +5\quad {\text{et}}\quad J_{-1}=\{3s-1\mid s\in \mathbb {N} ^{*},\;s{\text{ impair}}\}=6\mathbb {N} +2}
.
La réduite d'indice
2
{\displaystyle 2}
de
41
{\displaystyle {\sqrt {41}}}
est
6
+
1
2
+
1
2
=
32
5
{\displaystyle 6+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2}}}}={\frac {32}{5}}}
donc
(
h
2
,
k
2
)
=
(
32
,
5
)
{\displaystyle (h_{2},k_{2})=(32,5)}
(et
32
2
−
41
×
5
2
=
−
1
{\displaystyle 32^{2}-41\times 5^{2}=-1}
).