Introduction aux suites numériques/Exercices/Démographie et suites géométriques

Depuis 1950, la population d'un pays a un taux annuel moyen de natalité de 20 enfants pour 1 000, et un taux annuel moyen de mortalité de 15 pour 1 000.

De plus, chaque année, en moyenne 100 000 nouveaux arrivants viennent s'installer dans le pays.

On note $P_{n}$ la population de ce pays en millions d'habitants, l'année n (avec $n\geq 1950$, entier).

1. Justifier que $P_{n+1}=1{,}005\;P_{n}+0{,}1$.
2. On note u la suite définie par $u_{n}=P_{n}+20$. Démontrer que u est géométrique et donner sa raison.
3. On donne $P_{1950}=30{,}5$. Exprimer $u_{n}$, puis $P_{n}$, en fonction de n.
4. Estimer la population en 2008, puis en 2050.

Solution

1. $P_{n+1}=0{,}002\;P_{n}-0{,}015\;P_{n}+0{,}1=1{,}005\;P_{n}+0{,}1$.
2. $u_{n+1}=1{,}005\;P_{n}+20{,}1=1{,}005\left(P_{n}+20\right)=1{,}005\;u_{n}$ donc u est géométrique de raison $1{,}005$.
3. $u_{n}=1{,}005^{n-1950}u_{1950}=1{,}005^{n-1950}\times 50{,}5$ donc $P_{n}=1{,}005^{n-1950}\times 50{,}5-20$.
4. $P_{2008}=1{,}005^{58}\times 50{,}5-20\approx 47{,}44$ et $P_{2050}=1{,}005^{100}\times 50{,}5-20\approx 63{,}16$.