Introduction aux suites numériques/Exercices/Rebonds d'une balle

Une balle élastique est lâchée d'une hauteur de 110 centimètres au-dessus du sol. À chaque rebond, la balle remonte aux ${\frac {9}{10}}$ de la hauteur atteinte précédemment. On prend $h_{0}=110$ et pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, on désigne par $h_{n}$ la hauteur en centimètres atteinte à l'issue du n-ième rebond.

1. Calculer $h_{1}$ et $h_{2}$.
2. Exprimer $h_{n+1}$ en fonction de $h_{n}$ et en déduire la nature de la suite $(h_{n})$.
3. En déduire l'expression de $h_{n}$ en fonction de $n$.
4. Calculer le numéro du dernier rebond après lequel la balle remonte à au moins 30 centimètres du sol.
5. Calculer la distance parcourue par la balle entre le lâcher et ce rebond.

Solution

1. $h_{1}={\frac {9}{10}}\times h_{0}=99$ et $h_{2}={\frac {9}{10}}\times h_{1}=89{,}1$.
2. $h_{n+1}={\frac {9}{10}}\times h_{n}$ donc la suite $(h_{n})$ est géométrique, de raison $q=0{,}9$.
3. $h_{n}=110\times 0{,}9^{n}$ donc $h_{n}\geq 30\Leftrightarrow 0{,}9^{n}\geq {\frac {3}{11}}\approx 0{,}27$.
   $0{,}9^{12}\approx 0{,}28>{\frac {3}{11}}$ et $0{,}9^{13}\approx 0{,}25<{\frac {3}{11}}$ donc le dernier rebond est le douzième.
4. La dernière distance parcourue avant le douzième rebond est $h_{11}$, deux fois (en montée puis en descente). La distance parcourue depuis le lâcher est alors : $h_{0}+2h_{1}+2h_{2}+\dots +2h_{11}=h_{0}+2h_{1}{\frac {1-q^{11}}{1-q}}=110+2\times 99{\frac {1-0{,}9^{11}}{1-0{,}9}}\approx 110+1980\times (1-0{,}3138)\approx 1469$ cm.