Introduction aux suites numériques/Exercices/Suites arithmétiques

Suites arithmétiques

1. Soit $(U_{n})$ la suite arithmétique de raison $r=3{,}5$ et de premier terme $U_{0}=2$.

a. Calculer $U_{24}$.

b. Calculer $S_{24}=U_{0}+U_{1}+\dots +U_{24}$.

2. Soit $(V_{n})$ la suite arithmétique telle que $V_{10}=39$ et $V_{30}=84$.

Calculer le premier terme $V_{0}$ et la raison de cette suite.

3. Montrer que si $a$, $b$ et $c$ sont trois termes consécutifs d'une suite arithmétique, il en est de même de $a^{2}+ab+b^{2}$, $c^{2}+ca+a^{2}$ et $b^{2}+bc+c^{2}$.

Solution

1. a. $U_{24}=U_{0}+24r=2+24\times 3{,}5=86$.

b. $S_{24}=25\;{\frac {U_{0}+U_{24}}{2}}=25\;{\frac {2+86}{2}}=1100$.

2. $V_{10}=V_{0}+10r$ et $V_{30}=V_{0}+30r$ donc $r={\frac {V_{30}-V_{10}}{30-10}}={\frac {84-39}{20}}=2{,}25$ et $V_{0}=V_{10}-10r=39-22{,}5=16{,}5$.

3. $(c^{2}+ca+a^{2})-(a^{2}+ab+b^{2})=(c-b)(a+b+c)$ et $(b^{2}+bc+c^{2})-(c^{2}+ca+a^{2})=(b-a)(a+b+c)$.

 

Réseau

Le nombre d'abonnés d'un réseau téléphonique passe de 15 à 18 millions en un an. On suppose qu'ensuite il augmente chaque année régulièrement du même nombre : 3 millions par an.

Si l'on note U₀ = 15 000 000 le nombre initial d'abonnés et U_n le nombre d'abonnés après n années, on a donc U₁ = 18 000 000.

1. Calculer U₁₀.
2. Exprimer U_n en fonction de n.

Solution

1. Bien que ce ne soit pas la méthode la plus efficace, nous allons suivre « bêtement » la définition de la suite pour calculer le dixième terme :

• U₀ = 15 000 000
• U₁ = U₀ + 3 000 000 = 18 000 000
• U₂ = U₁ + 3 000 000 = 21 000 000
• ...
• U₁₀ = U₉ + 3 000 000 = 45 000 000

2. La suite $\left(U_{n}\right)$ est arithmétique, de raison r = 3 000 000. D'après le cours, on sait alors que pour tout n :

U_n = 15 000 000 + n × 3 000 000.

 

Chute libre

Un corps tombant en chute libre parcourt 4,9 m pendant la première seconde ; 14,7 m pendant la deuxième seconde ; 24,5 m pendant la troisième seconde et ainsi de suite. Ces distances sont les termes consécutifs d’une suite arithmétique.

1. Déterminer la distance parcourue pendant la dixième seconde.
2. Déterminer la distance parcourue en 10 secondes.

Solution

1. On note $u_{n}$ la distance (en mètres) parcourue pendant la $n$-ième seconde. La raison de la suite est $r=u_{2}-u_{1}=u_{3}-u_{2}=9{,}8$ et l'on a
   $u_{n}=u_{0}+nr=u_{1}+(n-1)r=u_{2}+(n-2)r=u_{3}+(n-3)r$, en particulier
   $u_{10}=u_{3}+7r=24{,}5+7\times 9{,}8=93{,}1$.
   La distance parcourue pendant la dixième seconde est : 93,1 m.
2. $u_{1}+u_{2}+u_{3}+\dots +u_{10}=10\;{\frac {u_{1}+u_{10}}{2}}=10\;{\frac {4{,}9+93{,}1}{2}}=490$.
   La distance parcourue en 10 secondes est : 490 m.

 

Nombres polygonaux

Les quatre premiers nombres pentagonaux sont1, 1 + 4 = 5, 5 + 7 = 12 et 12 + 10 = 22.

Soit $k$ un entier supérieur ou égal à $3$. On construit une suite de $k$-gones réguliers (polygones réguliers à $k$ sommets) de plus en plus gros, de la façon suivante (voir l'illustration ci-contre pour le cas des pentagones, $k=5$).

Dans le $n$-ième $k$-gone, chaque arête est une rangée de $n$ pastilles (dont la première et la dernière sont aux deux sommets de l'arête). Le ($n+1$)-ième polygone s'obtient en choisissant dans le $n$-ième deux arêtes consécutives $AB$ et $BC$, en les prolongeant chacune (en $A$ et $C$) par une pastille, et en reliant ces deux arêtes allongées par $k-2$ nouvelles arêtes de même longueur (encerclant les anciennes).

Calculer le $n$-ième nombre $k$-gonal $P_{k}(n)$, c'est-à-dire le nombre total de pastilles du $n$-ième $k$-gone.

De quelle forme sont les nombres triangulaires (=$3$-gonaux) ? les nombres carrés (=$4$-gonaux) ? les nombres pentagonaux (=$5$-gonaux) ?

Solution

$P_{k}\left(n+1\right)=P_{k}(n)+\left(k-2\right)n+1$ donc $P_{k}(n)$ est la somme des $n$ premiers termes de la suite arithmétique de premier terme $1$ et de raison $k-2$, c'est-à-dire :

$P_{k}(n)=1+\left(1+(k-2)\right)+\left(1+2(k-2)\right)+\dots +\left(1+(n-1)(k-2)\right)=n\ {\frac {1+\left(1+(n-1)(k-2)\right)}{2}}=n\ {\frac {(k-2)n-(k-4)}{2}}$.

En particulier, $P_{3}(n)=n(n+1)/2$, $P_{4}(n)=n^{2}$et $P_{5}(n)=n(3n-1)/2$.