Limites d'une fonction/Exemple corrigé

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Exemple corrigé
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Chapitre no 9
Leçon : Limites d'une fonction
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Limites d'une fonction/Exemple corrigé
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Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Question 1 : Domaine de définition de fModifier

Soit  
 


Le domaine de définition de f est  



Question 2 : Étude des limites de f aux bords de son domaine de définitionModifier

Nous allons étudier la limite de f aux infinis, en   et en 2.


Étude en +∞ et en -∞Modifier

Soit   On met en facteur les termes de plus haut degré :  

 
 
Donc  


 
 
Donc  


Donc  , c'est-à-dire

 



De même,   et  

Donc  


Étude en 1/3Modifier

On pose les deux fonctions suivantes sur  :

  •  
  •  

On a ainsi pour tout  

  •  
  •  

On a devant nous une limite de la forme  . Il faut donc connaître le signe de f pour savoir si la limite vaut +∞ ou -∞, c'est-à-dire connaître les signes de N et D aux alentours de  .

  •   donc N est positive au voisinage de  
  • La fonction D est une fonction polynomiale du second degré. Son tableau de signes est le suivant :
 


Nous pouvons à présent dire que :

  • pour  
  et  

Ainsi  


  • pour  
  et  

Ainsi,  



Étude en 2Modifier

  •  
  •  

Nous sommes a priori en présence d'une forme indéterminée de type «   ».

Il y a cependant un moyen simple de remédier à ce problème. Comme   et   et que N et D sont des fonctions polynomiales, il est possible de les factoriser toutes deux par x-2.

Pour trouver la factorisation, il y a plusieurs manières de faire.

On sait qu'une racine de N est 2 et que le produit des racines vaut  .
On en déduit que pour tout  
  • Poser α la racine de N que l’on ne connaît pas et déduire α par identification de   et de  
  • Trouver les racines par calcul du discriminant etc, ici DÉCONSEILLÉ car induit beaucoup de calcul pour retomber sur un résultat que l’on connaît déjà à moitié. Dans ce cas c’est une perte de temps.

La question 1 nous apprend directement que pour tout  

Finalement, soit  

 

On a fait disparaître la forme indéterminée. Il ne reste plus qu’à écrire la limite :

 


Finalement :