Limites d'une fonction/Droites asymptotes

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Droites asymptotes
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Chapitre no 8
Leçon : Limites d'une fonction
Chap. préc. :Limite des polynômes et fractions rationnelles à l'infini
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Limites d'une fonction/Droites asymptotes
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Définition qualitativeModifier


On peut classer les asymptotes en trois « catégories » :

  • Les asymptotes horizontales
  • Les asymptotes verticales
  • Les asymptotes obliques

Asymptote horizontaleModifier

Prenons la fonction inverse. On sait que  

Ceci montre que la courbe de la fonction inverse se rapproche de plus en plus de l’axe des abscisses, qui est la droite d'équation  .

On dit alors que l'axe des abscisses est asymptote à la courbe de la fonction inverse en +∞.

De même, on a  , donc l’axe des abscisses est asymptote à la courbe de la fonction inverse en -∞.


Asymptote verticaleModifier

Prenons à présent la fonction  , dont la courbe   est représentée ci-contre.

On a   et  .

On voit donc bien que   se rapproche de plus en plus de la droite verticale tracée en bleu lorsque x tend vers x₁. La droite en bleu a pour équation  

On dit que   a pour asymptote verticale la droite d'équation   en x₁.


Asymptote obliqueModifier

Exemple 1Modifier

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


1. Déterminer le comportement de ƒ en  
On factorise les termes de plus haut degré et on simplifie :
Pour tout  
Or   et  
Donc  
2. On note  . Pour tout  , donner l’expression de E(x).
Soit  

 

3. Déterminer la limite de E(x) quand x tend vers plus l’infini.

 

Donc  
4. Sur la calculatrice, tracer la courbe de ƒ et la droite d’équation y = x - 1. Que remarque-t-on ?

Théorème général sur les asymptotes obliquesModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème


Dans l'exemple précédent,   et l'asymptote est ...


Dans l'exemple précédent,  .


Dans l'exemple précédent :

 

Exemple 2Modifier

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


1. Déterminer le comportement de g en +∞

On factorise par les termes de plus haut degré et on simplifie :

Pour tout  
Or,   et  
Donc  
2. Trouver a et b tels que pour tout  

 


3. On pose pour tout  . Étudier le signe de E(x) et sa limite quand x tend vers plus l’infini.
Pour tout  
Or  
Donc  

On a les positions relatives :