Limites d'une fonction/Limite finie en un point

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Limite finie en un réel : définition heuristique et formelle

Définition

Soit une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$, $a\in I$ et $L\in \mathbb {R}$.

On dit que $f$ a pour limite $L$ en $x=a$ si :

"f(x) peut être rendu aussi proche que l’on veut de L à condition de prendre x assez proche de a."

On note alors :

$\lim _{x\to a}f(x)=L$

La définition formelle d'une limite n'est ni plus ni moins une traduction mathématique de cet énoncé.

"f(x) peut être rendu aussi proche que l'on veut de L" se traduit d'abord de la manière suivante "la distance entre f(x) et L peut être aussi proche que l'on veut de 0" ce qui donne la traduction mathématique (partielle) suivante :

$\forall \epsilon >0~~|f(x)-L|<\epsilon$

Il nous faut maintenant prendre en compte la condition sur $x$. "à condition de prendre x assez proche de a" se traduit par "à condition de rendre la distance entre x et a assez proche de 0". Mathématiquement on introduit un $\alpha >0$, dépendant de $\epsilon$, tel que $0<|x-a|<\alpha$ (le 0< vient du fait que x ne puisse pas être égal à a, voir la notion de continuité plus loin).

Finalement, on obtient la définition formelle suivante.

$\forall \epsilon >0,~\exists \alpha >0~{\text{ tel que }}0<|x-a|<\alpha \Longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon$

(le symbole $\exists$ signifie "il existe")

Remarque :

• On dit aussi : "$f(x)$ tend vers $L$ quand $x$ tend vers $a$".

Exemple : Soit la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par $f(x)=x^{2}$.

Conjecturer la limite en $x=3$ de $f$.

Solution

Quand $x$ tend vers $3$, alors $x^{2}$ tend vers $9$

Remarque : ceci n’est pas une démonstration !

Remarque : On pourrait croire que toute fonction $f$ définie en $x=a$ a pour limite $f(a)$ en $x=a$.

Mais cela n’est pas toujours le cas. C’est le problème de la continuité.

Continuité : définition heuristique et définition formelle

Une fonction f est continue en un point a si on peut atteindre f(a) par la gauche et par la droite en suivant la courbe et « sans lever son crayon ». C’est le cas pour la fonction ci-contre.

En revanche, dans ce cas, la courbe de f présente une « coupure » en x=a qui oblige à « lever le crayon » pour parcourir la courbe. On dit alors que la fonction f est discontinue au point a.

Définition

• Une fonction $f$ est continue en $x=a$ si

elle admet en $x=a$ une limite égale à sa valeur $f(a)$ :

$\lim _{x\to a}f(x)=f(a)$.

• Si $f$ est continue pour tout $x=a$ de $I$,

on dit que $f$ est continue sur l'intervalle $I$.

Limite à gauche et à droite

Définition

Quand on s'approche de a par la gauche (c'est-à-dire pour x se rapprochant de a tout en restant strictement inférieur à a), il peut arriver que la valeur de f(x) s'approche d'une valeur, alors appelée la limite à gauche en x = a. Elle est notée :

$\lim _{x\to a^{-}}f(x)=f(a).$

Définition

Quand on s'approche de a par la droite (c'est-à-dire pour x se rapprochant de a tout en restant strictement supérieur à a), il peut arriver que la valeur de f(x) s'approche d'une valeur, alors appelée la limite à droite en x = a. Elle est notée :

$\lim _{x\to a^{+}}f(x)=f(a).$

Début d’un principe

Graphe et discontinuité

Une fonction ne peut jamais donner deux valeurs différentes au même endroit. Cela implique que, au niveau d'un point de discontinuité, un seul point d'abscisse a appartient effectivement à la courbe : le point d'ordonnée f(a). On le marque d'un cercle plein.

• Si la fonction admet une limite à gauche en a différente de sa valeur en a, le point limite « à gauche de la discontinuité » n'appartient pas à la courbe de la fonction. On le marque d'un cercle vide.
• De même, si la fonction admet une limite à droite en a différente de sa valeur en a, le point du bord « à droite de la discontinuité » n'appartient pas à la courbe de la fonction. On le marque d'un cercle vide.

Cette convention est illustrée sur les graphes des définitions des limites.

Fin du principe

Continuité en un point

On peut donner alors une définition plus précise de la continuité :

Définition

Une fonction f est continue en x=a si : $\lim _{x\to a^{-}}f(x)=f(a)=\lim _{x\to a^{+}}f(x)$

Exemple

Soit la fonction : ${\begin{array}{ccccc}f&:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\~&~&x&\mapsto &2x\end{array}}$

• Pour a=4, f(a)=8.
• Si x tend vers 4 par la gauche, f(x) va s'approcher de plus en plus de f(4)=8 : $\lim _{x\to 4^{-}}f(x)=8$.
• Si x tend vers 4 par la droite, f(x) va s'approcher de plus en plus de f(4)=8 : $\lim _{x\to 4^{+}}f(x)=8$.
• Donc f est continue en x=4.

Conclusion

La plupart des fonctions usuelles sont continues en tout point de leur domaine de définition. Mais le langage des limites va permettre de parler de celles qui présentent des singularités en certains points, comme la fonction inverse $f(x)={\frac {1}{x}}$, dont voici la courbe :

On constate que la fonction inverse n’est pas continue en x=0, et que non seulement on est obligé de « lever le crayon » pour passer de la branche gauche de la courbe à la branche droite, mais en plus la courbe « part à l'infini ». Ceci nous amène à la notion de limite infinie en un point.