Loi (mathématiques)/Loi interne
Définition
modifierUne loi de composition interne sur un ensemble X est une application : . Au lieu d’utiliser une notation fonctionnelle on utilise une notation en loi : .
Un ensemble muni d'une loi interne est appelé un magma.
- Dans l'ensemble des parties d'un ensemble X, la loi de composition qui au couple (A, B) fait correspondre l’intersection de A et B.
- Dans l’ensemble des parties d'un ensemble X, la loi de composition qui au couple (A, B) fait correspondre l'union de A et B.
- Dans l’ensemble des parties d'un ensemble X, la loi de composition qui au couple (A, B) fait correspondre la différence (ensembliste) A – B.
- L'addition dans l’ensemble des entiers naturels, ou dans l'ensemble des réels ;
- La multiplication dans l’ensemble des entiers naturels, ou dans l'ensemble des réels ;
Les ensembles dont on parle ici peuvent donc être finis comme dans les exemples 1 à 3 (ci-dessus) ou infinis pour les deux derniers exemples.
Loi commutative
modifier
- L'intersection de deux parties d'un ensemble, la réunion de deux parties d'un ensemble, l'addition et la multiplication dans l’ensemble des entiers naturels ou dans celui des réels sont des lois commutatives.
- Si X est un ensemble non vide, la loi interne dans l’ensemble des parties de X qui applique (A, B) sur la différence A – B n’est pas commutative (faire par exemple A = X et B = ).
- La soustraction est une loi interne non commutative.
Loi associative
modifierUne loi interne sur un ensemble X est dite associative si, pour tous éléments x, y et z de X, .
Élément neutre
modifierSoit une loi interne sur un ensemble X. On dit qu'un élément e de X est un élément neutre pour cette loi si, pour tout élément x de X, .
Un élément neutre pour une loi notée multiplicativement est généralement noté 1. Un élément neutre pour une loi notée additivement est généralement noté 0.
Soient e1 et e2 des éléments neutres pour une même loi interne . Puisque e1 est neutre, ; puisque e2 est neutre, Ainsi, e1 et e2 sont tous deux égaux à et sont donc égaux entre eux.
Élément idempotent
modifier
Élément simplifiable
modifierSoient une loi interne sur un ensemble E et un élément de E. On dit que est :
- simplifiable à gauche (ou encore régulier à gauche) si, pour tous éléments et de E, la relation entraîne ;
- simplifiable à droite (ou encore régulier à droite) si, pour tous éléments et de E, la relation entraîne ;
- simplifiable (ou encore régulier) s'il est simplifiable à gauche et à droite.
On dit que le magma est régulier (resp. régulier à gauche, resp. à droite) si tout élément de est régulier (resp. régulier à gauche, resp. à droite).