Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Principe de l'inertie et référentiels galiléens

**Loi de la quantité de mouvement : Principe de l'inertie et référentiels galiléens**
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)

Chapitre n^o 8
Chap. préc. :	Loi de la quantité de mouvement : Quantité de mouvement
Chap. suiv. :	Loi de la quantité de mouvement : Principe fondamental de la dynamique et théorème de la résultante cinétique

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Mécanique 1 (PCSI) : Loi de la quantité de mouvement : Principe de l'inertie et référentiels galiléens
Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Principe de l'inertie et référentiels galiléens », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Système (fermé) de points matériels isolé, système (fermé) de points matériels pseudo-isolé

Définition d'un système (fermé) de points matériels « isolé »

Préliminaire : Un système de points matériels sur lequel aucune action extérieure ne s'exerce sur lui à tout instant est dit « isolé ».

Remarque : en réalité seul un système « fermé » peut être « isolé » car

Remarque : en réalité seul un système « ouvert » $\;{\big [}$ défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle $\;(\Sigma )\;$ fixe ${\big ]}\;$ « isolé » devant être tel qu'il n'y ait aucun point matériel à l'extérieur de $\;(\Sigma )\;$ qui puisse être en interaction avec les points situés à l'intérieur de $\;(\Sigma )$ ${\big \{}$ en effet un point extérieur étant nécessairement en interaction gravitationnelle avec n'importe quel point intérieur ^[1] et cette interaction étant de portée infinie ^[2] la présence d'au moins un point matériel à l'extérieur de $\;(\Sigma )\;$ aurait pour conséquence le caractère non isolé du système ouvert ${\big \}}$ ;
Remarque : en réalité seul une 1^ère conséquence du caractère « isolé » d'un système « ouvert » est donc le fait qu'il n'y a aucun point matériel à l'extérieur de $\;(\Sigma )$ $\;{\big [}$ mais a priori il serait encore possible, pour un système ouvert, d'envisager une fuite de points matériels à travers $\;(\Sigma )\;$ mais $\;\ldots {\big ]}$ ,

Remarque : en réalité seul un système « ouvert » « isolé » doit aussi être tel qu'aucun point matériel intérieur à $\;(\Sigma )\;$ ne puisse se retrouver à l'extérieur puisqu'alors, ce point passé à l'extérieur étant nécessairement en interaction gravitationnelle avec n'importe quel autre point intérieur ^[1] et cette interaction étant de portée infinie ^[2] le caractère « isolé » du système « ouvert » serait mis en défaut à partir de l'instant de sortie de ce point matériel $\;{\big (}$ ce qui est interdit dans la mesure où le système doit être isolé à tout instant ${\big )}$ ;
Remarque : en réalité seul une 2^ème conséquence du caractère « isolé » d'un système « ouvert » est donc le fait qu'aucun point matériel ne doit traverser $\;(\Sigma )\;$ pour se retrouver à l'extérieur ;

Remarque : en réalité seul en conclusion un tel système « ouvert » « isolé » serait en fait « fermé ».

Définition

Un système de points matériels est dit « isolé » si aucune action extérieure ne s'exerce sur ce système à tout instant ;
le système de points matériels « isolé » est alors nécessairement fermé.

Définition d'un système (fermé) de points matériels « pseudo-isolé »

Préliminaire : Un système de points matériels tel que la résultante dynamique $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}\;$ qui s'exerce sur lui est nulle quel que soit le mouvement individuel de ses points est dit « pseudo-isolé ».

Remarque : pratiquement seul un système « fermé » peut être « pseudo-isolé » car

Remarque : pratiquement seul un système « ouvert » $\;{\big [}$ défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle $\;(\Sigma )\;$ fixe ${\big ]}\;$ « pseudo-isolé » pour lequel un point matériel à l'extérieur de $\;(\Sigma )\;$ traverserait cette dernière pour se retrouver à l'intérieur supprimerait, dans la résultante dynamique s'exerçant sur le système, la somme des forces d'interaction du point entrant avec tous les points initialement présents dans le système, somme qui a fort peu de chance d'être nulle quelles que soient les positions des points intérieurs à l'instant de l'entrée, ceci rendant alors la résultante dynamique restante non nulle et mettant en défaut le caractère « pseudo-isolé » du système ouvert ;
Remarque : pratiquement seul une 1^ère conséquence pratique du caractère « pseudo-isolé » d'un système « ouvert » est qu'il ne doit y avoir pratiquement aucun point matériel à l'extérieur de $\;(\Sigma )\;$ pouvant y entrer durant la durée de l'observation $\;{\big [}$ mais a priori il serait encore possible, pour un système ouvert, d'envisager une fuite de points matériels à travers $\;(\Sigma )\;$ mais $\;\ldots {\big ]}$ ,

Remarque : pratiquement seul un système « ouvert » « pseudo-isolé » doit aussi être tel qu'un point matériel intérieur à $\;(\Sigma )\;$ passant à l'extérieur ne modifie pas la résultante dynamique s'exerçant sur le système, or l'ajout de la somme des forces d'interaction du point sortant avec tous les points restant présents dans le système, somme ayant fort peu de chance d'être nulle quelles que soient les positions des points intérieurs à l'instant de sortie, conduit à une résultante dynamique obtenue non nulle et met en défaut le caractère « pseudo-isolé » du système ouvert ;
Remarque : pratiquement seul une 2^ème conséquence pratique du caractère « pseudo-isolé » d'un système « ouvert » est donc la nécessité pratique qu'aucun point matériel ne traverse $\;(\Sigma )\;$ pour se retrouver à l'extérieur ;

Remarque : pratiquement seul en conclusion un tel système « ouvert » « pseudo-isolé » serait, en pratique, « fermé ».

Définition

Un système de points matériels est dit « pseudo-isolé » si la résultante dynamique $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}\;$ qui s'exerce sur lui est nulle quel que soit le mouvement individuel de ses points c.-à-d. $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}={\vec {0}}\;\;\forall \;t$ ;
le système de points matériels « pseudo isolé » est alors, dans la pratique, fermé.

Commentaire : Il faut distinguer « système $\;{\big (}$ fermé ${\big )}\;$ pseudo-isolé » et « système $\;{\big (}$ fermé ${\big )}\;$ en équilibre », la résultante dynamique du 1^er est nulle dans toutes circonstances alors que
Commentaire : Il faut distinguer « système $\;\color {transparent}{\big (}$ fermé $\color {transparent}{\big )}\;$ pseudo-isolé » et « système $\;\color {transparent}{\big (}$ fermé $\color {transparent}{\big )}\;$ en équilibre », la résultante dyna celle du 2^nd l'est uniquement dans une position particulière du système ^[3].

1^ère propriété des systèmes (fermés) de points matériels « isolé » ou « pseudo-isolé » en dynamique newtonienne

En dynamique newtonienne ^[4], les forces étant invariantes par changement de référentiel, le caractère « isolé » ou « pseudo-isolé » d'un système $\;{\big (}$ fermé ${\big )}\;$ de points matériels reste valable dans n'importe quel référentiel ^[5].

Exemples de système (fermé) de points matériels « isolé » ou « pseudo-isolé »

Exemple de système $\;{\big (}$ fermé ${\big )}\;$ de points matériels « isolé » : un astre loin de tout autre astre.

Exemples de système $\;{\big (}$ fermé ${\big )}\;$ de points matériels « pseudo-isolé » : un système binaire d’étoiles ^[6] loin de tout autre astre,

Exemples de système (fermé) de points matériels « pseudo-isolé » : un objet sur une table horizontale à coussin d'air ^[7].

Principe de l'inertie, théorèmes de l'inertie

Principe de l'inertie

Ce principe est connu par les anglo-saxons sous le nom de 1^ère loi de Newton ^[8] bien qu'il fut énoncé pour la 1^ère fois par Galiléo Galiléi ^[9] en

\;1630

.

     Commentaire préliminaire : si nous construisons la dynamique newtonienne des systèmes $\;{\big (}$ fermés ${\big )}\;$ de points matériels
     Commentaire préliminaire : si nous construisons à partir de celle du point matériel, il suffit de trois principes de dynamique du point matériel pour démontrer celle des systèmes de points,
    Commentaire préliminaire : si nous construisons à partir de celle du point matériel, il suffit les trois principes représentant pour les anglo-saxons les trois lois de Newton ^[8] c.-à-d.
    Commentaire préliminaire : si nous construisons à partir de celle du point matériel, il suffit $\succ \;$ la 3^ème $\;{\big (}$ vue dans un chapitre précédent ${\big )}\;$ encore nommée « principe des actions réciproques » ^[10],
    Commentaire préliminaire : si nous construisons à partir de celle du point matériel, il suffit $\succ \;$ la 1^ère $\;{\big (}$ énoncée dans ce paragraphe ${\big )}\;$ encore appelée « principe de l'inertie » et
    Commentaire préliminaire : si nous construisons à partir de celle du point matériel, il suffit $\succ \;$ la 2^nde $\;{\big (}$ voir chapitre suivant ${\big )}\;$ encore appelée « principe fondamental de la dynamique (p.f.d.) » ^[11] ;

     Commentaire préliminaire : cette construction peut être qualifiée de « minimaliste » dans la mesure où on admet un minimum de propriétés $\;{\big [}$ celles de la dynamique du point matériel ${\big ]}\;$ et
     Commentaire préliminaire : cette construction peut être qualifiée de « minimaliste » dans la mesure où on démontre les autres $\;{\big [}$ celles des systèmes $\;{\big (}$ fermés ${\big )}\;$ de points matériels ${\big ]}$ ,
     Commentaire préliminaire : cette construction peut être qualifiée de « minimaliste » c'est cette construction que nous adoptons ^[12].

Principe de l'inertie

« Il existe au moins un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ dans lequel un point matériel isolé est animé d'un mouvement rectiligne uniforme » ^[13].

     Conséquence : le vecteur quantité de mouvement d'un point matériel isolé dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ où le principe de l'inertie s'applique est conservé que ce soit en dynamique newtonienne ou
     Conséquence : le vecteur quantité de mouvement d'un point matériel isolé dans le référentiel $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ où le principe de l'inertie s'applique est conservé que ce soit en dynamique relativiste, en effet,
     Conséquence : le vecteur quantité de mouvement d'un point matériel isolé le principe de l'inertie y étant applicable, le mouvement du point matériel est rectiligne uniforme,
     Conséquence : le vecteur quantité de mouvement d'un point matériel isolé le principe de l'inertie y étant applicable, son vecteur vitesse est constant et par suite
     Conséquence : le vecteur quantité de mouvement d'un point matériel isolé le principe de l'inertie y étant applicable, son vecteur quantité de mouvement aussi car
     Conséquence : le vecteur quantité de mouvement d'un point matériel isolé le principe de l'inertie y étant applicable, $\succ \;$ en cinétique newtonienne « $\;{\vec {p}}_{M}=m\;{\vec {V}}_{M}\;$ » ^[14] avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}m=cste\\{\vec {V}}_{M}={\overrightarrow {\text{cste}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ et
     Conséquence : le vecteur quantité de mouvement d'un point matériel isolé le principe de l'inertie y étant applicable, $\succ \;$ en cinétique relativiste « $\;{\vec {p}}_{M}=m\;\gamma _{M}\;{\vec {V}}_{M}\;$ » ^[15] avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}m=cste\\{\vec {V}}_{M}={\overrightarrow {\text{cste}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ et
     Conséquence : le vecteur quantité de mouvement d'un point matériel isolé le principe de l'inertie y étant applicable, $\color {transparent}{\succ }\;$ en cinétique relativiste le facteur de Lorentz ^[16] $\;\gamma _{M}={\dfrac {1}{\sqrt {1-\left({\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{M}\Vert }{c}}\right)^{\!\!2}}}}=cste$ .

Théorème de l'inertie (en dynamique newtonienne)

     Commentaire préliminaire : ayant adopté la construction « minimaliste » de la dynamique newtonienne des systèmes $\;{\big (}$ fermés ${\big )}\;$ de points matériels ^[17],
     Commentaire préliminaire : ayant adopté la construction « minimaliste » la loi énoncée ci-dessous appliquée à un système $\;{\big (}$ fermé ${\big )}\;$ de points matériels isolé est appelée « théorème de l'inertie »
     Commentaire préliminaire : ayant adopté la construction « minimaliste » en effet elle découle de l'application du « principe fondamental de la dynamique (p.f.d.) » ^[11] à chaque point matériel du système et
                Commentaire préliminaire : ayant adopté la construction « minimaliste » en effet elle découle de celle du « principe des actions réciproques » ^[10] ;

     Commentaire préliminaire : il existe une autre construction que l'on pourrait qualifier de « maximaliste » ^[18] consistant à admettre les lois appliquées à un système $\;{\big (}$ fermé ${\big )}\;$ de points matériels,
          Commentaire préliminaire : il existe une autre construction que l'on pourrait qualifier de « maximaliste » la loi énoncée ci-dessous appliquée à un système $\;{\big (}$ fermé ${\big )}\;$ de points matériels isolé
          Commentaire préliminaire : il existe une autre construction que l'on pourrait qualifier de « maximaliste » la loi énoncée ci-dessous devant alors être appelée « principe de l'inertie » ^[19].

Théorème de l'inertie (en dynamique newtonienne)

« Il existe au moins un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ dans lequel le C.D.I. ^[20] d'un système $\;{\big (}$ fermé ${\big )}\;$ de points matériels isolé est animé d'un mouvement rectiligne uniforme » ^[21].

     Conséquence : la résultante cinétique d'un système $\;{\big (}$ fermé ${\big )}\;$ de points matériels isolé dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ où le théorème de l'inertie s'applique
     Conséquence : la résultante cinétique d'un système $\;\color {transparent}{\big (}$ fermé $\color {transparent}{\big )}\;$ de points matériels isolé est conservée en dynamique newtonienne
     Conséquence : la résultante cinétique d'un système $\;\color {transparent}{\big (}$ fermé $\color {transparent}{\big )}\;$ de points matériels isolé en effet, le théorème de l'inertie étant applicable dans cette dynamique,
     Conséquence : la résultante cinétique d'un système $\;\color {transparent}{\big (}$ fermé $\color {transparent}{\big )}\;$ de points matériels isolé en effet, le mouvement du C.D.I. ^[20] $\;G\;$ du système $\;{\big (}$ fermé ${\big )}\;$ de points matériels isolé est rectiligne uniforme,
     Conséquence : la résultante cinétique d'un système $\;\color {transparent}{\big (}$ fermé $\color {transparent}{\big )}\;$ de points matériels isolé en effet, son vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{G}\;$ est donc constant et
     Conséquence : la résultante cinétique d'un système $\;\color {transparent}{\big (}$ fermé $\color {transparent}{\big )}\;$ de points matériels isolé en effet, d'après le lien entre résultante cinétique et vecteur vitesse de $\;G\;$ en dynamique newtonienne ^[22],
     Conséquence : la résultante cinétique d'un système $\;\color {transparent}{\big (}$ fermé $\color {transparent}{\big )}\;$ de points matériels isolé en effet, sa résultante cinétique aussi car $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}\;$ avec $\;m_{\text{syst}}=cste\;$ ^[23] et $\;{\vec {V}}_{G}={\overrightarrow {\text{cste}}}$ .

Théorème de l'inertie (en dynamique relativiste)

     Commentaire préliminaire : ayant adopté la construction « minimaliste » de la dynamique relativiste des systèmes $\;{\big (}$ fermés ${\big )}\;$ de points matériels ^[17],
     Commentaire préliminaire : ayant adopté la construction « minimaliste » la loi énoncée ci-dessous appliquée à un système $\;{\big (}$ fermé ${\big )}\;$ de points matériels isolé est appelée « théorème de l'inertie »
     Commentaire préliminaire : ayant adopté la construction « minimaliste » en effet elle découle de l'application du « principe fondamental de la dynamique (p.f.d.) » ^[11] à chaque point matériel du système et
                Commentaire préliminaire : ayant adopté la construction « minimaliste » en effet elle découle de celle du « principe des actions réciproques » ^[10]^, ^[24] ;

     Commentaire préliminaire : il existe une autre construction que l'on pourrait qualifier de « maximaliste » ^[18] consistant à admettre les lois appliquées à un système $\;{\big (}$ fermé ${\big )}\;$ de points matériels,
          Commentaire préliminaire : il existe une autre construction que l'on pourrait qualifier de « maximaliste » la loi énoncée ci-dessous appliquée à un système $\;{\big (}$ fermé ${\big )}\;$ de points matériels isolé
          Commentaire préliminaire : il existe une autre construction que l'on pourrait qualifier de « maximaliste » la loi énoncée ci-dessous devant alors être appelée « principe de l'inertie » ^[19].

Théorème de l'inertie (en dynamique relativiste)

« Il existe au moins un référentiel d'espace-temps $\;{\mathcal {R}}\;$ dans lequel la résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}\;$ d'un système $\;{\big (}$ fermé ${\big )}\;$ de points matériels isolé est conservée au cours du temps du référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ » ^[25].

     Conséquence : la conservation de la résultante cinétique d'un système $\;{\big (}$ fermé ${\big )}\;$ de points matériels isolé dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ impliquant $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\vec {p}}_{M_{i}}={\overrightarrow {\text{cste}}}\;$ ou,
     Conséquence : la conservation de la résultante cinétique en utilisant la définition de la quantité de mouvement d'un point matériel en cinétique relativiste $\;{\vec {p}}_{M_{i}}(t)=\gamma _{i}(t)\;m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$ ^[15] avec
     Conséquence : la conservation de la résultante cinétique $\;m_{i}\;$ masse $\;{\big (}$ inerte ${\big )}\;$ ^[1] de $\;M_{i}$ , $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$ son vecteur vitesse et $\;\gamma _{i}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-\left({\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{M_{i}}(t)\Vert }{c}}\right)^{\!\!2}}}}\;$ son facteur de Lorentz ^[16] à l'instant $\;t$ ,
     Conséquence : la conservation de la résultante cinétique mais « $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\gamma _{i}(t)\;m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\overrightarrow {\text{cste}}}\;$ » $\Rightarrow$ a priori que le C.D.I. ^[20] $\;G\;$ du système $\;{\big (}$ fermé ${\big )}\;$ de points matériels isolé
     Conséquence : la conservation de la résultante cinétique mais « $\;\color {transparent}{{\vec {P}}_{\text{syst}}=i\,=\,1\,..\,N\gamma _{i}(t)\;m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\overrightarrow {\text{cste}}}}\;$ » $\color {transparent}{\Rightarrow }$ a priori que le C.D.I. n'est pas animé d'un M.R.U. ^[26] en dynamique relativiste,
     Conséquence : la conservation de la résultante cinétique en effet $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ étant a priori $\;\neq \gamma _{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ ^[27] $\;{\big \{}$ sauf si le système $\;{\big (}$ fermé ${\big )}\;$ de points matériels isolé est en translation ^[27] ${\big \}}\;$ d'où,
     Conséquence : la conservation de la résultante cinétique dans le cas le plus fréquent de système $\;{\big (}$ fermé ${\big )}\;$ de points matériels isolé non en translation on a $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\gamma _{i}(t)\;m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\overrightarrow {\text{cste}}}\;$
     Conséquence : la conservation de la résultante cinétique dans le cas le plus fréquent de système $\;\color {transparent}{\big (}$ fermé $\color {transparent}{\big )}\;$ de points matériels isolé non en translation mais $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\neq \gamma _{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ et par suite
     Conséquence : la conservation de la résultante cinétique dans le cas le plus fréquent de système $\;\color {transparent}{\big (}$ fermé $\color {transparent}{\big )}\;$ de points matériels isolé non en translation « $\;{\overrightarrow {\text{cste}}}\neq \gamma _{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t),\;\;\forall \;t\;$ ^[28] » ou encore,
     Conséquence : la conservation de la résultante cinétique dans le cas le plus fréquent de système $\;\color {transparent}{\big (}$ fermé $\color {transparent}{\big )}\;$ de points matériels isolé non en translation « $\;{\overrightarrow {\text{cste}}}\neq {\dfrac {m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)}{\sqrt {1-\left({\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{G}(t)\Vert }{c}}\right)^{\!\!2}}}},\;\;\forall \;t\;$ ^[28] » d'où
     Conséquence : la conservation de la résultante cinétique dans le cas le plus fréquent de système $\;\color {transparent}{\big (}$ fermé $\color {transparent}{\big )}\;$ de points matériels isolé non en translation a priori « $\;{\vec {V}}_{G}(t)\neq {\overrightarrow {{\text{cste}}'}}\;$ » C.Q.F.V. ^[29]
     Conséquence : la conservation de la résultante cinétique dans le cas particulier de système $\;{\big (}$ fermé ${\big )}\;$ de points matériels isolé en translation on a $\;{\vec {P}}_{\text{syst en transl}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\gamma _{i}(t)\;m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\overrightarrow {\text{cste}}}\;$ et
     Conséquence : la conservation de la résultante cinétique dans le cas particulier de système $\;\color {transparent}{\big (}$ fermé $\color {transparent}{\big )}\;$ de points matériels isolé en translation on a $\;{\vec {P}}_{\text{syst en transl}}(t)=\gamma _{G}(t)\;m_{\text{syst en transl}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ ^[27] d'où
     Conséquence : la conservation de la résultante cinétique dans le cas particulier de système $\;\color {transparent}{\big (}$ fermé $\color {transparent}{\big )}\;$ de points matériels isolé en translation « $\;{\overrightarrow {\text{cste}}}=\gamma _{G}(t)\;m_{\text{syst en transl}}\;{\vec {V}}_{G}(t),\;\;\forall \;t\;$ » ou encore
     Conséquence : la conservation de la résultante cinétique dans le cas particulier de système $\;\color {transparent}{\big (}$ fermé $\color {transparent}{\big )}\;$ de points matériels isolé en translation « $\;{\overrightarrow {\text{cste}}}={\dfrac {m_{\text{syst en transl}}\;{\vec {V}}_{G}(t)}{\sqrt {1-\left({\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{G}(t)\Vert }{c}}\right)^{\!\!2}}}},\;\;\forall \;t\;$ » dont on déduit
     Conséquence : la conservation de la résultante cinétique dans le cas particulier de système $\;\color {transparent}{\big (}$ fermé $\color {transparent}{\big )}\;$ de points matériels isolé en translation « $\;{\vec {V}}_{G_{\text{syst en transl}}}(t)={\overrightarrow {{\text{cste}}'}}\;$ » ^[30] c.-à-d. un M.R.U. ^[26] de $\;G$ ,
     Conséquence : la conservation de la résultante cinétique dans le cas particulier de système $\;\color {transparent}{\big (}$ fermé $\color {transparent}{\big )}\;$ de points matériels isolé en translation « C.D.I. ^[20] du système $\;{\big (}$ fermé ${\big )}\;$ de points matériels
          Conséquence : la conservation de la résultante cinétique dans le cas particulier de système $\;\color {transparent}{\big (}$ fermé $\color {transparent}{\big )}\;$ de points matériels isolé en translation « C.D.I. du système $\;\color {transparent}{\big (}$ fermé $\color {transparent}{\big )}\;$ isolé en translation.

En complément : le principe (ou théorèmes) de l'inertie, cas particulier du théorème d'Emmy Nœther

Voir l'énoncé du théorème d'Emmy Nœther ^[31] au chap.

7

de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».

Rappel de l'énoncé du théorème d'Emmy Nœther

« À toute invariance $\;{\big (}$ de l'espace temps ainsi que des lois physiques utilisées ${\big )}\;$ selon un groupe de symétries $\;{\big (}$ continues et globales ${\big )}\;$ est nécessairement associée une grandeur physique conservée en toutes circonstances » ^[32].

Quel que soit l'endroit où le point matériel isolé se trouve dans l'espace, les lois de la physique auxquelles ce point obéit doivent être « invariantes par translation d'espace » ^[33] ;

d'après le théorème d'Emmy Nœther, il y a « conservation d'une grandeur $\;{\big (}$ cinétique ${\big )}\;$ du point » traduisant l'« invariance des lois physiques selon le groupe des translations d'espace » ^[34] et le principe de l'inertie nous dit que « cette grandeur $\;{\big (}$ cinétique ${\big )}\;$ conservée est le vecteur quantité de mouvement du point $\;{\big (}$ ou résultante cinétique du système fermé ${\big )}\;$ ».

En conclusion : l'invariance du caractère isolé d'un point

\;{\big (}

ou d'un système

{\big )}\;

par translation d'espace

\;\Downarrow \;

la conservation de la quantité de mouvement du point

\;{\big (}

ou de la résultante cinétique du système

{\big )}

.

Référentiels galiléens

Le principe de l'inertie postulant l'existence d'au moins un référentiel dans lequel le mouvement d'un point matériel isolé est rectiligne uniforme,
Le principe de l'inertie postulant l'existence d'au moins un référentiel on qualifie de « galiléen » ^[35]^, ^[36] ce $\;{\big (}$ ou ces ${\big )}\;$ référentiel ${\big (}$ s ${\big )}\;$ dans lequel le principe de l'inertie est applicable.

Mouvement relatif de deux référentiels galiléens

Question : Existe-t-il d'autres référentiels galiléens ?

Le principe de l'inertie admettant l'existence d'un référentiel galiléen, est-il unique ou en existe-t-il d'autres ? À cette question nous répondrons ci-après avec justification à l'appui :

« dans la mesure où il en existe un

\;{\big (}

affirmation du principe de l'inertie

{\big )}

, il en existe une infinité possédant la propriété énoncée dans le paragraphe suivant ^[37] ».

Propriété liant deux référentiels galiléens

« Tout référentiel

\;{\mathcal {R}}

, animé par rapport à un référentiel galiléen

\;{\mathcal {R}}_{g}\;

d'un mouvement de translation rectiligne uniforme, est lui même galiléen ».

Démonstration de la propriété énoncée au paragraphe précédent

     Démonstration ^[38] : pour définir la translation de $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à $\;{\mathcal {R}}_{g}$ , il suffit de se donner le mouvement de $\;O\;$ ${\big (}$ origine du repère associé à $\;{\mathcal {R}}{\big )}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ en précisant
           Démonstration : pour définir la translation de $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ par rapport à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{g}}$ , il suffit de se donner son vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{O\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}(t)\;$ que l'on écrira encore $\;{\vec {V}}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}(t)$ , ainsi que
           Démonstration : pour définir la translation de $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ par rapport à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{g}}$ , il suffit de se donner son vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{O\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}(t)\;$ écrit encore $\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}(t)$ ;
           Démonstration : dans la mesure où $\;{\mathcal {R}}\;$ est en translation rectiligne uniforme relativement à $\;{\mathcal {R}}_{g}$ , le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}(t)={\overrightarrow {\text{cste}}}\;$ et le vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}(t)={\vec {0}}$ ;

Démonstration : la loi de composition des vecteurs vitesses d'un point $\;M\;$ par changement de référentiel s'écrit $\;{\big (}$ si les référentiels sont en translation ${\big )}$ $\;{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}(t)={\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}}(t)+{\vec {V}}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}(t)\;$ ^[39]

Démonstration : la loi de composition des vecteurs accélérations d'un point $\;M\;$ par changement de référentiel s'écrit $\;{\big (}$ les référentiels étant en translation ${\big )}$ $\;{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}(t)={\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}}(t)+{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}(t)\;$ ^[40]

Démonstration : si $\;{\mathcal {R}}\;$ est en translation rectiligne uniforme relativement à $\;{\mathcal {R}}_{g}$ , la loi de composition des vecteurs accélérations du point $\;M\;$ devient $\;{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}(t)=$ ${\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}}(t)\;{\cancel {+{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}(t)}}\;$ soit finalement « $\;{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}(t)={\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}}(t),\;\;({\mathfrak {a}})\;$ » ${\big [}$ dans ce qui précède le caractère galiléen de $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ n'intervient pas, cela reste donc valable pour un référentiel $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ qui ne serait pas galiléen ^[41] ${\big ]}$ ;

Démonstration : considérant un point matériel $\;M\;$ isolé, on en déduit, par application du principe de l'inertie dans $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ galiléen, que le vecteur vitesse de $\;M\;$ défini dans $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ est constant $\;{\big [}M\;$ y ayant un M.R.U. ^[26] ${\big ]}\;$ et donc que son vecteur accélération défini dans $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ est nul soit au final « $\;{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}(t)={\vec {0}}\;$ » ;

Démonstration : utilisant la relation $\;({\mathfrak {a}})\;$ pour en déduire le vecteur accélération de $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ lequel est en translation rectiligne uniforme relativement au référentiel $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ galiléen ${\big [}$ ce qui est caractérisé par $\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}(t)={\vec {0}}{\big ]}\;$ on en déduit « $\;{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}(t)={\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$ » ce qui donne, par intégration, « $\;{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}}(t)={\overrightarrow {\text{cste}}},\;\;\forall \;t\;$ » c.-à-d. le vecteur vitesse de $\;M\;$ défini dans $\;{\mathcal {R}}\;$ constant, établissant que le point matériel $\;M\;$ isolé a un M.R.U. ^[26] dans $\;{\mathcal {R}}\;$ d'où l'assurance du caractère galiléen de $\;{\mathcal {R}}\;$ puisque le principe de l'inertie s'applique à $\;M\;$ isolé dans $\;{\mathcal {R}}\;$ C.Q.F.D. ^[42].

1^er exemple de référentiel galiléen « le référentiel de Copernic »

Limites de l'étude

Nous limitons les études dynamiques au contenu du Système solaire, dans ces conditions l'utilisation de la « relativité générale » ^[43] est, en 1^ère approximation, inutile ^[44], ce qui revient à considérer

la dynamique newtonienne pour des points se déplaçant à une vitesse petite par rapport à $\;c\;$ $\;{\big (}$ célérité de la lumière ${\big )}\;$ et
la dynamique relativiste $\;{\big (}$ restreinte ${\big )}\;$ pour des points se déplaçant à une vitesse plus grande que $\;0,14\;c\;$ ^[45].

Meilleur référentiel d'application du principe de l'inertie pour un point matériel isolé dans le Système solaire

Le meilleur référentiel d'application du principe de l'inertie sur la durée de l'Humanité ^[46] $\;{\big [}$ c.-à-d. le meilleur référentiel galiléen sur la durée de l'Humanité ^[46] ${\big ]}\;$ est le « référentiel de Copernic » ^[47] c.-à-d. le « référentiel lié au C.D.I. ^[20] du Système solaire par rapport auquel les étoiles infiniment éloignées sont fixes » en effet,

Le meilleur référentiel d'application du principe de l'inertie sur la durée de l'Humanité le Soleil effectuant une rotation autour du centre de la Voie Lactée en approximativement $\;300\;10^{6}\;ans=$ $300\;Ma$ en restant à une distance moyenne $\;27\;10^{3}\;$ années-lumière du centre de la Voie Lactée ^[48], si on considère le référentiel lactocentrique ^[49] $\;{\big [}$ c.-à-d. lié à la Voie Lactée tel que le référentiel de Copernic ^[47] soit en translation relativement à lui ${\big ]}\;$ comme le meilleur référentiel galiléen pour toute expérience s'effectuant exclusivement dans la Voie Lactée en restant suffisamment éloignée du centre de celle-ci ^[50], le référentiel de Copernic ^[47] est alors en translation quasi circulaire relativement au référentiel lactocentrique ^[49] mais
Le meilleur référentiel d'application du principe de l'inertie sur la durée de l'Humanité le Soleil sur une durée de $\;3\;Ma\;$ ${\big (}$ que l'on peut définir comme l'échelle de temps de l'Humanité ^[51] ${\big )}\;$ représentant un centième de tour, on peut confondre l'arc de cercle décrit avec la corde correspondante et affirmer que le référentiel de Copernic ^[47] est, pendant cette durée, en translation rectiligne uniforme relativement au référentiel lactocentrique ^[49] galiléen et par suite qu'il est lui-même galiléen.

Repère de Copernic ^[47] associé : Repère cartésien associé au référentiel de Copernic ^[47] ayant pour « origine » « le C.D.I. ^[20] du Système solaire » et pour « axes » « trois directions fixes » ^[52] deux à deux orthogonales ; c'est donc le meilleur repère galiléen pour les expériences liées au Système solaire à une échelle de temps inférieure à celle de l'Humanité ^[51]^, ^[53].

     Remarque : le « référentiel de Copernic » ^[47] est à distinguer du « référentiel de Kepler » ^[54] lequel est le « référentiel barycentrique du Soleil » ^[55]^, ^[56], mais $\;\ldots$
     Remarque : pratiquement ils sont quasiment confondus, la masse du Système solaire étant à $\;99,86\,\%\;$ dans le Soleil, on peut estimer la distance séparant le C.D.I. ^[20] du Soleil à celui du Système solaire à $\;10^{6}\;km\;$ ^[57], le rayon solaire étant égal à $\;0,7\;10^{6}\;km\;$ le C.D.I. ^[20] du Système solaire peut être situé très grossièrement au niveau de la surface du Soleil ;
     Remarque : le repère associé au référentiel de Kepler ^[54] ayant pour origine le C.D.I. ^[20] du Soleil et étant en translation par rapport au repère de Copernic ^[47] qui a pour origine le C.D.I. ^[20] du Système solaire, le 1^er est théoriquement en translation quasi circulaire par rapport au 2^nd mais pratiquement la distance séparant les deux C.D.I. ^[20] restant petite par rapport à la dimension du Système solaire $\;{\big (}$ laquelle reste très difficile à définir mais de l'ordre de $\;7,5\;10^{9}\;km{\big )}$ , le mouvement du repère de Kepler ^[54] peut être, en 1^ère approximation, négligé par rapport à celui du repère de Copernic ^[47] et par suite on peut aussi estimer le repère de Kepler ^[54] comme galiléen ^[58].

Remarque : Pour information le symbole astronomique du Soleil est « ☉ » ^[59] et celui de Jupiter « ♃ » ^[59].

Caractère quasi galiléen du « référentiel géocentrique » si la durée de l’expérience n'excède pas trois jours (terrestres)

Définition du référentiel géocentrique

Le référentiel géocentrique est le « référentiel lié au C.D.I. ^[20] de la Terre par rapport auquel les étoiles infiniment éloignées sont fixes »,
Le référentiel géocentrique il est donc en mouvement de translation relativement au référentiel de Copernic ^[47] ;

on peut aussi définir le référentiel géocentrique comme le référentiel barycentrique ^[55] de la Terre relativement au référentiel de Copernic ^[47] choisi comme référentiel d'étude.

Caractère « théoriquement non galiléen » du référentiel géocentrique

Le référentiel géocentrique est « théoriquement non galiléen » car il est en translation « quasi circulaire » uniforme par rapport au référentiel de Copernic ^[47], le galiléen de référence ^[60], or
Le référentiel géocentrique pour être galiléen il devrait être en translation rectiligne uniforme par rapport à ce dernier.

Caractère « quasi galiléen » du référentiel géocentrique pour une durée d'expérience n'excédant pas trois jours (terrestres)

     Pour considérer le référentiel géocentrique comme « quasi galiléen » il faut pouvoir confondre son mouvement de translation quasi circulaire uniforme relativement au référentiel de Copernic ^[47] avec
     Pour considérer le référentiel géocentrique comme « quasi galiléen » il faut pouvoir confondre un mouvement de translation quasi rectiligne uniforme, ceci est réalisé à moins de $\;1\,\%\;$ près
     Pour considérer le référentiel géocentrique comme « quasi galiléen » il faut pouvoir confondre si le C.D.I. de la Terre décrit un arc de cercle de longueur $\;\lesssim \;$ à $\;1\,\%\;$ du périmètre de l'orbite quasi circulaire
Pour considérer le référentiel géocentrique comme « quasi galiléen » il faut pouvoir confondre si le C.D.I. de la Terre décrit ou pendant une durée $\;\lesssim \;$ à $\;1\,\%\;$ de la période orbitale de la Terre autour du Soleil
        Pour considérer le référentiel géocentrique comme « quasi galiléen » il faut pouvoir confondre si le C.D.I. de la Terre soit pendant une durée « $\;\Delta t\lesssim {\dfrac {T_{\text{orbitale}}({\text{♁}})}{100}}\simeq 3,6\;jours\;$ » ^[61]^, ^[62]
        Pour considérer le référentiel géocentrique comme « quasi galiléen » il faut pouvoir confondre si le C.D.I. de la Terre soit pendant une durée valeur maximale arrondie à « $3\;jours\;$ ».

Validation du caractère « quasi galiléen » du référentiel géocentrique sur une durée d’expérience inférieure à trois jours (terrestres)

Un point matériel au voisinage de la Terre étant au moins soumis à la force d'attraction gravitationnelle terrestre ne peut être isolé, toutefois
Un point matériel au voisinage de la Terre s'il est suffisamment éloigné de la Terre, cette dernière n'exerce pratiquement plus de force et en absence d'autres forces il est « quasi isolé » ^[63] ;

« en absence de vitesse initiale, aucun mouvement du point matériel quasi isolé ne serait perceptible pourvu que la durée d’observation reste inférieure à trois jours » ^[64].

Caractère quasi galiléen du « référentiel terrestre » si la durée de l’expérience n'excède pas quinze minutes (terrestres)

Définition du référentiel terrestre

Le référentiel terrestre est le référentiel lié à la Terre, il est donc en « rotation $\;{\big (}$ uniforme ${\big )}\;$ relativement au référentiel géocentrique » ^[65].

Repères terrestres associés : il y a autant de repères terrestres associés qu'il y a d'origines d'espace possibles c.-à-d. une « infinité » ^[66], la base cartésienne étant choisie en respectant la direction locale verticale du 3^ème vecteur $\;{\vec {u}}_{z}\;$ ${\big (}$ avec un sens ascendant ou descendant ${\big )}$ .

Caractère théoriquement « non galiléen » du référentiel terrestre

Pour une expérience de durée $\;\lesssim \;$ à $\;3\;jours$ , le référentiel géocentrique peut être considéré comme galiléen et servir de galiléen de référence ^[67] ;

le référentiel terrestre est « théoriquement non galiléen » car il est en « rotation » uniforme par rapport au galiléen de référence c.-à-d. le référentiel géocentrique, or
le référentiel terrestre pour être galiléen il devrait être en translation rectiligne uniforme par rapport à ce dernier.

Caractère « quasi galiléen » du référentiel terrestre pour une durée d'expérience n'excédant pas quinze minutes (terrestres)

     Pour considérer le référentiel terrestre comme « quasi galiléen » il faut pouvoir confondre son mouvement de rotation uniforme relativement au référentiel géocentrique avec
     Pour considérer le référentiel terrestre comme « quasi galiléen » il faut pouvoir confondre un mouvement de translation quasi rectiligne uniforme, ceci est réalisé à moins de $\;1\,\%\;$ près
     Pour considérer le référentiel terrestre comme « quasi galiléen » il faut pouvoir confondre si l'origine du repère décrit un arc de cercle de longueur $\;\lesssim \;$ à $\;1\,\%\;$ du périmètre du parallèle décrit par l'origine
Pour considérer le référentiel terrestre comme « quasi galiléen » il faut pouvoir confondre si l'origine du repère décrit ou pendant une durée $\;\lesssim \;$ à $\;1\,\%\;$ de la période de rotation sidérale de la Terre
        Pour considérer le référentiel terrestre comme « quasi galiléen » il faut pouvoir confondre si l'origine du repère soit pendant une durée « $\;\Delta t\lesssim {\dfrac {T_{\text{sidérale}}({\text{♁}})}{100}}\simeq 861,64\;s\simeq 14\,min\;22\,s\;$ » ^[68]^, ^[62]
        Pour considérer le référentiel terrestre comme « quasi galiléen » il faut pouvoir confondre si l'origine du repère soit pendant une durée valeur maximale arrondie à « $15\;min\;$ ».

Validation du caractère « quasi galiléen » du référentiel terrestre sur une durée d’expérience inférieure à quinze minutes (terrestres)

Un point matériel sur Terre étant au moins soumis à son poids ^[69] ne peut être isolé ; la seule façon de tenter de valider le caractère quasi galiléen d'un référentiel terrestre par vérification d'un M.R.U. ^[26] est de remplacer le caractère isolé d'un corps non réalisable sur Terre par le caractère pseudo-isolé ^[70] ;

on vérifie qu'« un point matériel pseudo-isolé a un M.R.U. ^[26] pourvu que la durée d'observation reste inférieure à un quart d'heure » ^[71]^, ^[72] et par suite on valide le caractère « quasi galiléen » du référentiel terrestre pour une durée inférieure à $\;15\,min$ .

Notes et références

↑ ^1,0 ^1,1 et ^1,2 Un point matériel étant, par définition, doté d'une masse inerte $\;{\big (}$ intervenant dans la définition de la quantité de mouvement ${\big )}$ , il possède aussi une masse grave $\;{\big (}$ intervenant de l'interaction gravitationnelle ${\big )}\;$ car ces deux masses sont mesurées par le même nombre.
↑ ^2,0 et ^2,1 La portée d'une interaction entre deux points étant la distance à partir de laquelle l'interaction est nulle.
↑ La résultante dynamique nulle d'un système $\;{\big (}$ fermé ${\big )}\;$ en équilibre est une C.N. d'équilibre, cette condition ne peut être maintenue qu'en absence de mouvement pour chaque point matériel du système.
↑ C.-à-d. utilisant un référentiel d'espace temps dans lequel les vitesses des points matériels restent petites devant la vitesse de la lumière dans le vide soit approximativement $\;v_{i}\lesssim {\dfrac {c}{10}}\simeq$ $30000\;km\cdot s^{-1}$ , la dynamique dans un référentiel d'espace temps ne vérifiant pas cette condition étant appelée « dynamique relativiste ».
↑ Si le caractère « isolé » d'un système $\;{\big (}$ fermé ${\big )}\;$ de points matériels reste valable dans n'importe quel référentiel en dynamique relativiste $\;{\big (}$ car l'absence de forces est évidemment indépendant du choix d'un référentiel ${\big )}\;$ il en est aussi de même du caractère « pseudo-isolé » d'un système $\;{\big (}$ fermé ${\big )}\;$ de points matériels en dynamique relativiste $\;{\big (}$ car les forces étant invariantes par changement de référentiel dans cette dynamique, la nullité des forces y est aussi nécessairement maintenue ${\big )}$ .
↑ C.-à-d. deux étoiles en interaction entre elles.
↑ L'objet est soumis à deux forces extérieures, son poids et la réaction de la table laquelle, dans la mesure où le coussin d'air supprime pratiquement tout frottement, est perpendiculaire à la table donc verticale ascendante, l'absence de mouvement vertical correspond alors à une compensation parfaite des forces extérieures verticales d'où une résultante dynamique nulle.
↑ ^8,0 et ^8,1 Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimal ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton.
↑ Galileo Galilei (1564 - 1642) mathématicien, géomètre, physicien et astronome italien $\;{\big (}$ plus exactement pour l'époque florentin ${\big )}$ , à qui on doit en $\;1609\;$ l'amélioration de la longue-vue inventée par l'opticien hollandais Hans Lippershey (1570 - 1619) en lunette d'observation des objets célestes sans inversion de l'image par ajout d'une lentille divergente ; dès $\;1610\;$ en observant les phases de Vénus, il est convaincu que le géocentrisme ne permet pas une explication simple de cette observation contrairement à l'héliocentrisme $\;{\big [}$ théorie physique dont l'essor est essentiellement dû à Nicolas Copernic (1473 - 1543) chanoine, médecin et astronome polonais ${\big ]}\;$ et défend cette thèse en poursuivant ses observations jusqu'en $\;1633\;$ où il fût déclaré suspect d'hérésie par l'Inquisition romaine et dût adjurer ; il a aussi posé les bases de la mécanique en étudiant l'équilibre et le mouvement des corps solides $\;{\big (}$ en particulier leur chute, leur translation rectiligne et leur inertie ${\big )}\;$ ainsi que la généralisation des mesures de temps $\;{\big (}$ en particulier par l'étude de l'isochronisme du pendule ${\big )}$ .
↑ ^10,0 ^10,1 et ^10,2 Voir le paragraphe « énoncé du principe des actions réciproques » du chap. $6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ ^11,0 ^11,1 et ^11,2 Voir le paragraphe « énoncé du p.f.d. » du chap. $9$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ La méthode de construction de la dynamique des systèmes $\;{\big (}$ fermés ${\big )}\;$ des points matériels n’étant pas précisée dans le programme de physique de P.C.S.I..
↑ Le principe de l'inertie a été réintroduit par Newton près de $\;50$ ans après Galilée et est connu par les anglo-saxons sous le nom de « 1^ère loi de Newton », 1^ère car cela a été son 1^er « principe » $\;{\big (}$ par ordre chronologique ${\big )}\;$ de la dynamique du point ;
malheureusement l'enseignement français de la physique s'anglicise et les programmes du secondaire parle de « lois » de Newton $\;{\big [}$ ce qui est beaucoup moins précis car le mot « loi » désigne aussi bien un « principe » qu'un « théorème » ${\big ]}\;$ mais heureusement on voit réapparaître, dans les programmes de physique de C.P.G.E.S. $\;{\big (}$ Classes Préparatoires aux Grandes Écoles Scientifiques ${\big )}$ , le mot « principe » ce qui précise que la propriété énoncée dans le principe est admise et qu'elle restera applicable tant qu'elle ne sera pas mise en défaut par l’expérience ;
historiquement ce principe a été énoncé dans le cadre de la dynamique newtonienne mais il reste valable dans la dynamique relativiste.
↑ Voir le paragraphe « définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique newtonienne » du chap. $7$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ ^15,0 et ^15,1 Voir le paragraphe « définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste » du chap. $7$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ ^16,0 et ^16,1 Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « transformations dites de Lorentz » $\;{\big [}$ en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en $1905$ par Henri Poincaré après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont Hendrik Lorentz dès $1892$ pour ce dernier ${\big ]}$ , transformations utilisées dans la théorie de la relativité restreinte élaborée par Albert Einstein en $1905$ ;
   Hendrik Lorentz partagea, en $1902$ , le prix Nobel de physique avec Pieter Zeeman (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs $\;{\big [}$ Pieter Zeeman ayant découvert l'effet qui porte son nom en $1886{\big ]}$ .
   Henri Poincaré (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en calcul infinitésimal, des avancées sur le problème à trois corps qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos, une participation active à la théorie de la relativité restreinte ainsi qu'à la théorie des systèmes dynamiques $\;\ldots$
   Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $1896$ puis suisse en $1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $1905$ , la relativité générale en $1916$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $\;1921\;$ pour son explication de l'effet photoélectrique.
↑ ^17,0 et ^17,1 Voir le « commentaire préliminaire du paragraphe principe de l'inertie » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^18,0 et ^18,1 Proposition personnelle d'appellation.
↑ ^19,0 et ^19,1 Le programme de physique de P.C.S.I. parlant de principe de l'inertie appliqué à un système $\;{\big (}$ fermé ${\big )}\;$ de points matériels isolé, il s'agit d'un abus si les concepteurs du programme souhaitaient une construction « minimaliste » de la dynamique des systèmes $\;{\big (}$ fermés ${\big )}\;$ de points matériels $\;\ldots$
↑ ^20,00 ^20,01 ^20,02 ^20,03 ^20,04 ^20,05 ^20,06 ^20,07 ^20,08 ^20,09 ^20,10 et ^20,11 Centre D'Inertie.
↑ Nous verrons dans le chapitre prochain que le principe fondamental de la dynamique newtonienne appliqué à un point matériel $\;M_{i}\;$ postule l'existence d'au moins un référentiel dans lequel $\;{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}+\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}=m_{i}\,{\dfrac {d{\vec {V}}_{M_{i}}}{dt}}(t)\;$ d'où en faisant la somme sur toutes les relations écrites pour chaque point et en utilisant la conséquence du principe des actions réciproques à savoir $\;{\vec {F}}_{\text{int}}={\vec {0}}\;$ ainsi que la définition de la résultante cinétique et son lien avec le vecteur vitesse du C.D.I. $\;G\;$ du système $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\,{\vec {V}}_{M_{i}}=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}$ , on établit $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}=$ $m_{\text{syst}}\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{G}}{dt}}(t)\;$ d'où le théorème énoncé en utilisant la définition d'un système $\;{\big (}$ fermé ${\big )}\;$ de points matériels isolé correspondant à l'absence de $\;{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\;$ donc l'absence de $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}\;\ldots$
↑ Voir le paragraphe « énoncé du lien entre résultante cinétique et vecteur vitesse du centre d'inertie d'un système de points matériels fermé » du chap. $7$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ Le système étant fermé.
↑ Le principe des actions réciproques reste applicable en dynamique relativiste, voir la note « ⁹ » du chap. $6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ Nous verrons dans le chapitre prochain que le principe fondamental de la dynamique relativiste appliqué à un point matériel $\;M_{i}\;$ postule l'existence d'au moins un référentiel dans lequel $\;{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}+\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}={\dfrac {d{\vec {p}}_{M_{i}}}{dt}}(t)\;$ d'où en faisant la somme sur toutes les relations écrites pour chaque point et en utilisant la conséquence du principe des actions réciproques applicable dans le référentiel considéré $\;{\big \{}$ voir la note « ⁹ » du chap. $6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ${\big \}}\;$ à savoir $\;{\vec {F}}_{\text{int}}={\vec {0}}\;$ ainsi que la définition de la résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\vec {p}}_{M_{i}}$ , on établit $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}={\dfrac {d{\vec {P}}_{\text{syst}}}{dt}}(t)\;$ d'où le théorème énoncé dans le référentiel considéré en utilisant la définition d'un système $\;{\big (}$ fermé ${\big )}\;$ de points matériels isolé correspondant à l'absence de $\;{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\;$ donc l'absence de $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}\;$ formellement identique à $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}={\vec {0}}\;$ et par suite, « $\;{\dfrac {d{\vec {P}}_{\text{syst}}}{dt}}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$ » s'intègre en « $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)={\overrightarrow {\text{cste}}},\;\;\forall \;t\;$ ».
↑ ^26,0 ^26,1 ^26,2 ^26,3 ^26,4 et ^26,5 Mouvement Rectiligne Uniforme.
↑ ^27,0 ^27,1 et ^27,2 La dérivée temporelle du vecteur position « $\;{\overrightarrow {OG}}(t)={\dfrac {\sum \limits _{i\,=\,1}^{N}m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)}{m_{\text{syst}}}}\;$ » $\Rightarrow$ « $\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{N}m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$ » mais « $\;\sum \limits _{i\,=\,1}^{N}\gamma _{i}(t)\;m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$ n'est égal à $\;\gamma _{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ que dans la mesure où $\;\gamma _{i}(t)=\gamma _{G}(t),\;\;\forall \;i\;$ » c.-à-d. que si le système $\;{\big (}$ fermé ${\big )}\;$ de points matériels isolé est en translation d'où, a priori, « $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\neq \gamma _{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ ».
↑ ^28,0 et ^28,1 Sauf pour éventuellement des instants très particuliers.
↑ Ce Qu'il Fallait Vérifier.
↑ De « $\;{\vec {P}}_{\text{syst en transl}}=\gamma _{G}(t)\;m_{\text{syst en transl}}\;{\vec {V}}_{G}(t)={\overrightarrow {\text{cste}}}\;$ avec $\gamma _{G}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{G}(t)\Vert ^{2}}{c^{2}}}}}}\;$ » on en tire « $\;{\vec {V}}_{G}(t)={\dfrac {{\vec {P}}_{\text{syst en transl}}}{\gamma _{G}(t)\;m_{\text{syst en transl}}}}\;$ » $\Rightarrow$ « $\;{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{G}(t)\Vert ^{2}}{c^{2}}}={\dfrac {\Vert {\vec {P}}_{\text{syst en transl}}\Vert ^{2}}{\left[\gamma _{G}(t)\right]^{2}\;m_{\text{syst en transl}}^{2}\;c^{2}}}\;$ » ou « $\;{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{G}(t)\Vert ^{2}}{c^{2}}}$ $={\dfrac {\Vert {\vec {P}}_{\text{syst en transl}}\Vert ^{2}\left[1-{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{G}(t)\Vert ^{2}}{c^{2}}}\right]}{m_{\text{syst en transl}}^{2}\;c^{2}}}={\dfrac {\Vert {\vec {P}}_{\text{syst en transl}}\Vert ^{2}}{m_{\text{syst en transl}}^{2}\;c^{2}}}-{\dfrac {\Vert {\vec {P}}_{\text{syst en transl}}\Vert ^{2}}{m_{\text{syst en transl}}^{2}\;c^{2}}}\;{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{G}(t)\Vert ^{2}}{c^{2}}}\;$ » dont on tire « $\;{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{G}(t)\Vert ^{2}}{c^{2}}}$ $={\dfrac {\dfrac {\Vert {\vec {P}}_{\text{syst en transl}}\Vert ^{2}}{m_{\text{syst en transl}}^{2}\;c^{2}}}{1+{\dfrac {\Vert {\vec {P}}_{\text{syst en transl}}\Vert ^{2}}{m_{\text{syst en transl}}^{2}\;c^{2}}}}}={\text{cste}}'\;$ » ou « $\;{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{G}(t)\Vert ^{2}}{c^{2}}}$ $={\dfrac {\Vert {\vec {P}}_{\text{syst en transl}}\Vert ^{2}}{m_{\text{syst en transl}}^{2}\;c^{2}+\Vert {\vec {P}}_{\text{syst en transl}}\Vert ^{2}}}\;$ » $\Rightarrow$ « $\;{\dfrac {1}{\left[\gamma _{G}(t)\right]^{2}}}=1-{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{G}(t)\Vert ^{2}}{c^{2}}}={\dfrac {m_{\text{syst en transl}}^{2}\;c^{2}}{m_{\text{syst en transl}}^{2}\;c^{2}+\Vert {\vec {P}}_{\text{syst en transl}}\Vert ^{2}}}\;$ » $\Rightarrow$ « $\;\gamma _{G}(t)={\dfrac {\sqrt {m_{\text{syst en transl}}^{2}\;c^{2}+\Vert {\vec {P}}_{\text{syst en transl}}\Vert ^{2}}}{m_{\text{syst en transl}}\;c}}\;$ constant » soit finalement « $\;{\vec {V}}_{G}(t)={\dfrac {{\vec {P}}_{\text{syst en transl}}}{\gamma _{G}(t)\;m_{\text{syst en transl}}}}={\dfrac {{\vec {P}}_{\text{syst en transl}}\;c}{\sqrt {m_{\text{syst en transl}}^{2}\;c^{2}+\Vert {\vec {P}}_{\text{syst en transl}}\Vert ^{2}}}}={\overrightarrow {{\text{cste}}'}}\;$ ».
↑ Emmy Nœther (1882 – 1935) mathématicienne allemande, spécialiste d'algèbre abstraite et de physique théorique à qui on doit, dans le domaine algébrique, de nombreuses contributions fondamentales comme celles sur la théorie des algèbres et, dans le domaine physique, le théorème portant son nom, théorème démontré en $\;1915\;$ et publié en $\;1918\;$ dont l'importance est considérée comme aussi grande que celle de la théorie de la relativité ;
Albert Einstein (1879 - 1955) $\;{\big [}$ physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $\;1896\;$ puis suisse en $\;1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $\;1905$ , la relativité générale en $\;1916\;$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $\;1921\;$ pour son explication de l'effet photoélectrique ${\big ]}\;$ disait qu'elle était « le génie mathématique créatif le plus considérable produit depuis que les femmes ont eu accès aux études supérieures ».
↑ On rappelle que ce théorème est un complément du programme de physique de P.C.S.I. $\;\ldots$
↑ Supposant l'espace homogène $\;{\big (}$ ses propriétés sont donc les mêmes en tout endroit ${\big )}$ , si aucune action extérieure ne s'exerce sur un point matériel, les lois de la physique s'appliquant à ce point matériel isolé ne découlent que des propriétés de l'espace et doivent être les mêmes si on fait une translation du point dans l'espace : on traduit cela en disant que « les lois de la physique s'appliquant à un point matériel isolé sont invariantes par translation d'espace ».
↑ L'ensemble des translations de vecteur quelconque $\;{\vec {u}}\;$ constituant effectivement un groupe avec pour loi de composition interne « l'addition vectorielle des vecteurs translatant », loi associative, d'élément neutre « la translation de vecteur ${\vec {0}}\;$ » et associant « la translation de vecteur $\;-{\vec {u}}\;$ » à « celle de vecteur $\;{\vec {u}}\;$ » comme translation « symétrique ».
↑ Construit à partir du nom de « Galilée » le physicien l'ayant énoncé pour la 1^ère fois en $\;1630$ ;
Galileo Galilei (1564 - 1642) mathématicien, géomètre, physicien et astronome italien, voir la note « ⁹ » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.
↑ On parle encore de « référentiel inertiel $\;{\big (}$ ou d'inertie ${\big )}\;$ ».
↑ Voir le paragraphe « propriété liant deux référentiels galiléens » plus bas dans ce chapitre.
↑ Pour faire la démonstration on utilise la loi de composition des vecteurs accélérations résultant d'un changement de référentiel, loi à résultat assez évident dans le cas d'un changement de référentiel en translation l'un par rapport à l'autre $\;{\big [}$ voir la démonstration dans le paragraphe « cas d'un entraînement de translation » nécessitant de voir successivement la « loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre » puis la « loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre » dans le chap. $25$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ mais beaucoup moins évident dans le cas d'un référentiel se déduisant d'un autre en rotation autour d'un axe fixe $\;{\big [}$ la démonstration pourra être vue $\;{\big (}$ bien que ce ne soit pas utile ici ${\big )}\;$ dans le paragraphe « cas d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe » nécessitant de voir successivement la « loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où l'un des référentiels est en rotation autour d'un axe fixe de l'autre référentiel » puis la « loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où l'un des référentiels est en rotation autour d'un axe fixe de l'autre référentiel » dans le chap. $25$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ $\;{\big [}$ ces lois sont introduites dans le programme de physique des C.P.G.E.S. $\;{\big (}$ Classes Préparatoires des Grandes Écoles Scientifiques ${\big )}\;$ de 2^ème année ${\big ]}$ .
↑ La démonstration est donnée dans le paragraphe « loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre » du chap. $25$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ; cette loi s'énonce encore :
le vecteur vitesse du point $\;M\;$ dans un référentiel « absolu » $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ ${\big [}$ c.-à-d. le vecteur vitesse absolue de $\;M\;$ encore noté $\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t){\big ]}\;$ s'obtient en ajoutant au vecteur vitesse de $\;M\;$ dans un référentiel « d'entraînement » $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ ${\big [}$ c.-à-d. le vecteur vitesse relative de $\;M\;$ encore noté $\;{\vec {V}}_{r,\,M}(t){\big ]}\;$ le vecteur vitesse d’entrainement de translation de $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ relativement à $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ ${\big [}$ encore appelé vecteur vitesse d'entraînement de $\;M\;$ et noté $\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t){\big ]}$ .
↑ La démonstration est donnée dans le paragraphe « loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre » du chap. $25$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » :
   le vecteur accélération du point $\;M\;$ dans un référentiel « absolu » $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ ${\big [}$ c.-à-d. le vecteur accélération absolue de $\;M\;$ encore noté $\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t){\big ]}\;$ s'obtient en ajoutant au vecteur accélération de $\;M\;$ dans un référentiel « d'entraînement » $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ ${\big [}$ c.-à-d. le vecteur accélération relative de $\;M\;$ encore noté $\;{\vec {a}}_{r,\,M}(t){\big ]}\;$ le vecteur accélération d’entrainement de translation de $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ relativement à $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ ${\big [}$ encore appelé vecteur accélération d'entraînement de $\;M\;$ et noté $\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t){\big ]}$ ;
   cette loi devient fausse si $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ est en rotation relativement à $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ autour d'un axe fixe, dans ce cas apparaît un 2^ème vecteur accélération à ajouter au vecteur accélération relative $\;{\big (}$ ajout non évident ${\big )}\;$ appelé vecteur accélération complémentaire ou de Coriolis $\;{\vec {a}}_{C,\,M}(t)$ ;
   Gaspard-Gustave Coriolis (1792 - 1843) mathématicien et ingénieur français à qui on doit la notion d'accélération complémentaire à ajouter dans la loi de composition des accélérations lors d'un changement de référentiels en rotation l'un par rapport à l'autre ainsi que la pseudo force « dite de Coriolis » qu'il est nécessaire d'ajouter au bilan des forces appliquées pour traduire le mouvement du point par rapport à un référentiel d'étude non galiléen plus précisément en rotation autour d'un axe fixe relativement à un référentiel galiléen.
↑ Dès lors que deux référentiels se déduisent l'un de l'autre par translation rectiligne uniforme, le vecteur accélération d'un point $\;M\;$ ne dépend pas du référentiel choisi pour étudier son mouvement.
↑ Ce Qu'il Fallait Démontrer.
↑ Dans la théorie de la relativité générale on considère un espace-temps à $\;4\;$ dimensions $\;{\big (}3\;$ pour l'espace $\;+1\;$ pour le temps ${\big )}\;$ « non euclidien » alors que
   en « dynamique newtonienne », l'espace et le temps peuvent être dissociés, « la partie spatiale à $\;3\;$ dimensions » est dite « euclidienne » car la distance entre deux points $\;A\;$ et $\;B\;$ se calcule par la norme de $\;{\overrightarrow {AB}}\;$ soit $\;\Vert {\overrightarrow {AB}}\Vert =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\left(x_{i,\,B}-x_{i,\,A}\right)^{2}\;$ ${\big (}$ on dit que l'on a défini une métrique ${\big )}\;$ et
   en « dynamique relativiste $\;{\big (}$ restreinte ${\big )}\;$ » dans laquelle l'espace et le temps ne peuvent plus être dissociés, « l'espace-temps à $\;4\;$ dimensions » est dit « pseudo-euclidien » car la distance entre deux événements ponctuels $\;\left(A,\,t_{A}\right)\;$ et $\;\left(B,\,t_{B}\right)\;$ se calcule par la « norme du quadri-vecteur déplacement $\;\left\lbrace {\overrightarrow {AB}},\,x_{4,\,B}-x_{4,\,A}=i\;c\,\left(t_{B}-t_{A}\right)\right\rbrace \;$ » à 4^ème composante temporelle imaginaire pure, « norme » définie selon $\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,4}\left(x_{i,\,B}-x_{i,\,A}\right)^{2}=$ $\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\left(x_{i,\,B}-x_{i,\,A}\right)^{2}-c^{2}\,\left(t_{B}-t_{A}\right)^{2}$ , mais cette « norme » n'est pas définie positive $\;{\big (}$ c.-à-d. $\;>0\;$ pour un quadri-vecteur non nul et nul pour le quadri-vecteur nul, ce qui est indispensable pour que l'espace soit euclidien ${\big )}$ , raison pour laquelle l'espace-temps de la relativité restreinte n'est que « pseudo-euclidien » ;
   en plus d'être « non euclidien », l'espace-temps de la relativité générale est « courbe » dans la mesure où les objets massiques présents dans l'espace-temps déforment ce dernier et ceci d'autant plus que la masse est élevée $\;{\big (}$ la force de gravitation n'existe donc plus car elle est remplacée par la déformation de l'espace-temps ${\big )}$ , la métrique de cet espace-temps est alors définie localement car dépendant de la courbure de l'espace-temps.
↑ Dans le Système solaire, la masse la plus importante est celle du Soleil mais celle-ci restant néanmoins faible, la déformation de l'espace-temps $\;{\big (}$ même quand elle est la plus grande c.-à-d. au voisinage du Soleill ${\big )}\;$ peut être en général négligée, d'où l'inutilité d'employer la relativité générale en 1^ère approximation si on reste dans le Système solaire.
↑ Voir le paragraphe « définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste (établissement de la condition de vitesse pour que la cinétique newtonienne soit applicable) » du chap. $7$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », la condition d'applicabilité de la cinétique relativiste étant la condition complémentaire.
↑ ^46,0 et ^46,1 L'apparition de l'Homme est, pour l'instant, estimée à $\;2,4\;10^{6}\;ans=2,4\;Ma$ , date approximative à laquelle apparaît l'Homo rudolfensis une espèce éteinte $\;($ extinction estimée à $\;1,6\;Ma{\big )}\;$ d'homonidés bipèdes devant son nom à l'endroit de sa découverte « le lac Rudolf », ancien nom du lac Turkana situé principalement au Kenya avec sa partie septentrionale en Éthiopie $\;{\big [}$ on peut donc dire que l'homonidé « Homo » est apparu au début du Pléistocène la 1^ère époque géologique du Quaternaire s'étendant de $\;2,58\;Ma\;$ à $\;11,7\;ka=11700\;ans\;$ avant le présent ${\big ]}$ .
↑ ^47,00 ^47,01 ^47,02 ^47,03 ^47,04 ^47,05 ^47,06 ^47,07 ^47,08 ^47,09 ^47,10 ^47,11 et ^47,12 Nicolas Copernic (1473 - 1543) chanoine, médecin et astronome polonais à qui on doit essentiellement la théorie physique de l'« héliocentrisme » $\;{\big [}$ consistant à considérer que c'est le Soleil et non la Terre qui est au centre du Système solaire ${\big ]}$ .
↑ Lequel est composé d'une radiosource complexe Sagittaire A constitué entre autres de Sagittaire A^* dont l'émission provient vraisemblablement d'un trou noir supermassif.
↑ ^49,0 ^49,1 et ^49,2 Le qualificatif « lactocentrique » donné au référentiel lié au centre de la Voie Lactée tel que le référentiel de Copernic soit en translation relativement à lui n'est pas normalisé, c'est un choix personnel.
↑ De façon à pouvoir négliger la courbure de l'espace-temps résultant du trou noir supermassif supposé présent en son centre.
↑ ^51,0 et ^51,1 Durée s'étendant de l'apparition de l'homonidé Homo à nos jours, l'échelle de temps de l'Humanité est estimée à $\;2,4\;10^{6}\;ans=2,4\;Ma\;$ arrondie à $\;3\;10^{6}\;ans=3\;Ma$ .
↑ Partant de l'origine et passant par des étoiles infiniment éloignées.
↑ Toutefois pour l'étude du mouvement d'objets restant proches de la Terre, si le référentiel de Copernic reste le meilleur galiléen il ne semble pas bien pratique pour des durées nettement plus faibles que celle de validité de son caractère galiléen $\;\ldots$
↑ ^54,0 ^54,1 ^54,2 et ^54,3 Johannes Kepler (1571 - 1630) $\;{\big [}$ ou Keppler ${\big ]}\;$ astronome allemand, surtout connu pour avoir étudié l'hypothèse héliocentrique de Nicolas Copernic (1473 - 1543) $\;{\big [}$ chanoine, médecin et astronome polonais ${\big ]}\;$ et avoir découvert que les planètes suivent une trajectoire elliptique autour du Soleil $\;{\big [}$ c'est lors de l'étude de l'orbite de Mars qu'il voit la nécessité de se pencher sur l'optique à cause de la réfraction atmosphérique ${\big ]}$ .
↑ ^55,0 et ^55,1 Le référentiel barycentrique d'un système de points $\;{\mathcal {S}}\;$

[masses_inerte_et_grave-1] 1,0 ^1,1 et ^1,2 Un point matériel étant, par définition, doté d'une masse inerte $\;{\big (}$ intervenant dans la définition de la quantité de mouvement ${\big )}$ , il possède aussi une masse grave $\;{\big (}$ intervenant de l'interaction gravitationnelle ${\big )}\;$ car ces deux masses sont mesurées par le même nombre.

[portée_d'interaction-2] 2,0 et ^2,1 La portée d'une interaction entre deux points étant la distance à partir de laquelle l'interaction est nulle.

[3] La résultante dynamique nulle d'un système $\;{\big (}$ fermé ${\big )}\;$ en équilibre est une C.N. d'équilibre, cette condition ne peut être maintenue qu'en absence de mouvement pour chaque point matériel du système.

[dynamique_newtonienne-4] C.-à-d. utilisant un référentiel d'espace temps dans lequel les vitesses des points matériels restent petites devant la vitesse de la lumière dans le vide soit approximativement $\;v_{i}\lesssim {\dfrac {c}{10}}\simeq$ $30000\;km\cdot s^{-1}$ , la dynamique dans un référentiel d'espace temps ne vérifiant pas cette condition étant appelée « dynamique relativiste ».

[5] Si le caractère « isolé » d'un système $\;{\big (}$ fermé ${\big )}\;$ de points matériels reste valable dans n'importe quel référentiel en dynamique relativiste $\;{\big (}$ car l'absence de forces est évidemment indépendant du choix d'un référentiel ${\big )}\;$ il en est aussi de même du caractère « pseudo-isolé » d'un système $\;{\big (}$ fermé ${\big )}\;$ de points matériels en dynamique relativiste $\;{\big (}$ car les forces étant invariantes par changement de référentiel dans cette dynamique, la nullité des forces y est aussi nécessairement maintenue ${\big )}$ .

[6] C.-à-d. deux étoiles en interaction entre elles.

[7] L'objet est soumis à deux forces extérieures, son poids et la réaction de la table laquelle, dans la mesure où le coussin d'air supprime pratiquement tout frottement, est perpendiculaire à la table donc verticale ascendante, l'absence de mouvement vertical correspond alors à une compensation parfaite des forces extérieures verticales d'où une résultante dynamique nulle.

[Newton-8] 8,0 et ^8,1 Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimal ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton.

[Galilée-9] Galileo Galilei (1564 - 1642) mathématicien, géomètre, physicien et astronome italien $\;{\big (}$ plus exactement pour l'époque florentin ${\big )}$ , à qui on doit en $\;1609\;$ l'amélioration de la longue-vue inventée par l'opticien hollandais Hans Lippershey (1570 - 1619) en lunette d'observation des objets célestes sans inversion de l'image par ajout d'une lentille divergente ; dès $\;1610\;$ en observant les phases de Vénus, il est convaincu que le géocentrisme ne permet pas une explication simple de cette observation contrairement à l'héliocentrisme $\;{\big [}$ théorie physique dont l'essor est essentiellement dû à Nicolas Copernic (1473 - 1543) chanoine, médecin et astronome polonais ${\big ]}\;$ et défend cette thèse en poursuivant ses observations jusqu'en $\;1633\;$ où il fût déclaré suspect d'hérésie par l'Inquisition romaine et dût adjurer ; il a aussi posé les bases de la mécanique en étudiant l'équilibre et le mouvement des corps solides $\;{\big (}$ en particulier leur chute, leur translation rectiligne et leur inertie ${\big )}\;$ ainsi que la généralisation des mesures de temps $\;{\big (}$ en particulier par l'étude de l'isochronisme du pendule ${\big )}$ .

[3ème_loi_de_Newton-10] 10,0 ^10,1 et ^10,2 Voir le paragraphe « énoncé du principe des actions réciproques » du chap. $6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

[2ème_loi_de_Newton-11] 11,0 ^11,1 et ^11,2 Voir le paragraphe « énoncé du p.f.d. » du chap. $9$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

[12] La méthode de construction de la dynamique des systèmes $\;{\big (}$ fermés ${\big )}\;$ des points matériels n’étant pas précisée dans le programme de physique de P.C.S.I..

[13] Le principe de l'inertie a été réintroduit par Newton près de $\;50$ ans après Galilée et est connu par les anglo-saxons sous le nom de « 1^ère loi de Newton », 1^ère car cela a été son 1^er « principe » $\;{\big (}$ par ordre chronologique ${\big )}\;$ de la dynamique du point ;
malheureusement l'enseignement français de la physique s'anglicise et les programmes du secondaire parle de « lois » de Newton $\;{\big [}$ ce qui est beaucoup moins précis car le mot « loi » désigne aussi bien un « principe » qu'un « théorème » ${\big ]}\;$ mais heureusement on voit réapparaître, dans les programmes de physique de C.P.G.E.S. $\;{\big (}$ Classes Préparatoires aux Grandes Écoles Scientifiques ${\big )}$ , le mot « principe » ce qui précise que la propriété énoncée dans le principe est admise et qu'elle restera applicable tant qu'elle ne sera pas mise en défaut par l’expérience ;
historiquement ce principe a été énoncé dans le cadre de la dynamique newtonienne mais il reste valable dans la dynamique relativiste.

[14] Voir le paragraphe « définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique newtonienne » du chap. $7$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

[quantité_de_mouvement_d'un_point_matériel_en_cinétique_relativiste-15] 15,0 et ^15,1 Voir le paragraphe « définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste » du chap. $7$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

[Lorentz-16] 16,0 et ^16,1 Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « transformations dites de Lorentz » $\;{\big [}$ en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en $1905$ par Henri Poincaré après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont Hendrik Lorentz dès $1892$ pour ce dernier ${\big ]}$ , transformations utilisées dans la théorie de la relativité restreinte élaborée par Albert Einstein en $1905$ ;
Hendrik Lorentz partagea, en $1902$ , le prix Nobel de physique avec Pieter Zeeman (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs $\;{\big [}$ Pieter Zeeman ayant découvert l'effet qui porte son nom en $1886{\big ]}$ .
Henri Poincaré (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en calcul infinitésimal, des avancées sur le problème à trois corps qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos, une participation active à la théorie de la relativité restreinte ainsi qu'à la théorie des systèmes dynamiques $\;\ldots$
Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $1896$ puis suisse en $1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $1905$ , la relativité générale en $1916$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $\;1921\;$ pour son explication de l'effet photoélectrique.

[construction_minimaliste_de_la_dynamique_des_systèmes_fermés_de_points_matériels-17] 17,0 et ^17,1 Voir le « commentaire préliminaire du paragraphe principe de l'inertie » plus haut dans ce chapitre.

[proposition_personnelle-18] 18,0 et ^18,1 Proposition personnelle d'appellation.

[abus_des_concepteurs_de_programme-19] 19,0 et ^19,1 Le programme de physique de P.C.S.I. parlant de principe de l'inertie appliqué à un système $\;{\big (}$ fermé ${\big )}\;$ de points matériels isolé, il s'agit d'un abus si les concepteurs du programme souhaitaient une construction « minimaliste » de la dynamique des systèmes $\;{\big (}$ fermés ${\big )}\;$ de points matériels $\;\ldots$

[C.D.I.-20] 20,00 ^20,01 ^20,02 ^20,03 ^20,04 ^20,05 ^20,06 ^20,07 ^20,08 ^20,09 ^20,10 et ^20,11 Centre D'Inertie.

[21] Nous verrons dans le chapitre prochain que le principe fondamental de la dynamique newtonienne appliqué à un point matériel $\;M_{i}\;$ postule l'existence d'au moins un référentiel dans lequel $\;{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}+\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}=m_{i}\,{\dfrac {d{\vec {V}}_{M_{i}}}{dt}}(t)\;$ d'où en faisant la somme sur toutes les relations écrites pour chaque point et en utilisant la conséquence du principe des actions réciproques à savoir $\;{\vec {F}}_{\text{int}}={\vec {0}}\;$ ainsi que la définition de la résultante cinétique et son lien avec le vecteur vitesse du C.D.I. $\;G\;$ du système $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\,{\vec {V}}_{M_{i}}=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}$ , on établit $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}=$ $m_{\text{syst}}\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{G}}{dt}}(t)\;$ d'où le théorème énoncé en utilisant la définition d'un système $\;{\big (}$ fermé ${\big )}\;$ de points matériels isolé correspondant à l'absence de $\;{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\;$ donc l'absence de $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}\;\ldots$

[22] Voir le paragraphe « énoncé du lien entre résultante cinétique et vecteur vitesse du centre d'inertie d'un système de points matériels fermé » du chap. $7$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

[23] Le système étant fermé.

[24] Le principe des actions réciproques reste applicable en dynamique relativiste, voir la note « ⁹ » du chap. $6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

[25] Nous verrons dans le chapitre prochain que le principe fondamental de la dynamique relativiste appliqué à un point matériel $\;M_{i}\;$ postule l'existence d'au moins un référentiel dans lequel $\;{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}+\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}={\dfrac {d{\vec {p}}_{M_{i}}}{dt}}(t)\;$ d'où en faisant la somme sur toutes les relations écrites pour chaque point et en utilisant la conséquence du principe des actions réciproques applicable dans le référentiel considéré $\;{\big \{}$ voir la note « ⁹ » du chap. $6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ${\big \}}\;$ à savoir $\;{\vec {F}}_{\text{int}}={\vec {0}}\;$ ainsi que la définition de la résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\vec {p}}_{M_{i}}$ , on établit $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}={\dfrac {d{\vec {P}}_{\text{syst}}}{dt}}(t)\;$ d'où le théorème énoncé dans le référentiel considéré en utilisant la définition d'un système $\;{\big (}$ fermé ${\big )}\;$ de points matériels isolé correspondant à l'absence de $\;{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\;$ donc l'absence de $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}\;$ formellement identique à $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}={\vec {0}}\;$ et par suite, « $\;{\dfrac {d{\vec {P}}_{\text{syst}}}{dt}}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$ » s'intègre en « $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)={\overrightarrow {\text{cste}}},\;\;\forall \;t\;$ ».

[M.R.U.-26] 26,0 ^26,1 ^26,2 ^26,3 ^26,4 et ^26,5 Mouvement Rectiligne Uniforme.

[Lien_entre_résultante_cinétique_et_vecteur_vitesse_de_G_en_cinétique_relativiste-27] 27,0 ^27,1 et ^27,2 La dérivée temporelle du vecteur position « $\;{\overrightarrow {OG}}(t)={\dfrac {\sum \limits _{i\,=\,1}^{N}m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)}{m_{\text{syst}}}}\;$ » $\Rightarrow$ « $\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{N}m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$ » mais « $\;\sum \limits _{i\,=\,1}^{N}\gamma _{i}(t)\;m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$ n'est égal à $\;\gamma _{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ que dans la mesure où $\;\gamma _{i}(t)=\gamma _{G}(t),\;\;\forall \;i\;$ » c.-à-d. que si le système $\;{\big (}$ fermé ${\big )}\;$ de points matériels isolé est en translation d'où, a priori, « $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\neq \gamma _{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ ».

[sauf_exception-28] 28,0 et ^28,1 Sauf pour éventuellement des instants très particuliers.

[C.Q.F.V.-29] Ce Qu'il Fallait Vérifier.

[30] De « $\;{\vec {P}}_{\text{syst en transl}}=\gamma _{G}(t)\;m_{\text{syst en transl}}\;{\vec {V}}_{G}(t)={\overrightarrow {\text{cste}}}\;$ avec $\gamma _{G}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{G}(t)\Vert ^{2}}{c^{2}}}}}}\;$ » on en tire « $\;{\vec {V}}_{G}(t)={\dfrac {{\vec {P}}_{\text{syst en transl}}}{\gamma _{G}(t)\;m_{\text{syst en transl}}}}\;$ » $\Rightarrow$ « $\;{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{G}(t)\Vert ^{2}}{c^{2}}}={\dfrac {\Vert {\vec {P}}_{\text{syst en transl}}\Vert ^{2}}{\left[\gamma _{G}(t)\right]^{2}\;m_{\text{syst en transl}}^{2}\;c^{2}}}\;$ » ou « $\;{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{G}(t)\Vert ^{2}}{c^{2}}}$ $={\dfrac {\Vert {\vec {P}}_{\text{syst en transl}}\Vert ^{2}\left[1-{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{G}(t)\Vert ^{2}}{c^{2}}}\right]}{m_{\text{syst en transl}}^{2}\;c^{2}}}={\dfrac {\Vert {\vec {P}}_{\text{syst en transl}}\Vert ^{2}}{m_{\text{syst en transl}}^{2}\;c^{2}}}-{\dfrac {\Vert {\vec {P}}_{\text{syst en transl}}\Vert ^{2}}{m_{\text{syst en transl}}^{2}\;c^{2}}}\;{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{G}(t)\Vert ^{2}}{c^{2}}}\;$ » dont on tire « $\;{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{G}(t)\Vert ^{2}}{c^{2}}}$ $={\dfrac {\dfrac {\Vert {\vec {P}}_{\text{syst en transl}}\Vert ^{2}}{m_{\text{syst en transl}}^{2}\;c^{2}}}{1+{\dfrac {\Vert {\vec {P}}_{\text{syst en transl}}\Vert ^{2}}{m_{\text{syst en transl}}^{2}\;c^{2}}}}}={\text{cste}}'\;$ » ou « $\;{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{G}(t)\Vert ^{2}}{c^{2}}}$ $={\dfrac {\Vert {\vec {P}}_{\text{syst en transl}}\Vert ^{2}}{m_{\text{syst en transl}}^{2}\;c^{2}+\Vert {\vec {P}}_{\text{syst en transl}}\Vert ^{2}}}\;$ » $\Rightarrow$ « $\;{\dfrac {1}{\left[\gamma _{G}(t)\right]^{2}}}=1-{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{G}(t)\Vert ^{2}}{c^{2}}}={\dfrac {m_{\text{syst en transl}}^{2}\;c^{2}}{m_{\text{syst en transl}}^{2}\;c^{2}+\Vert {\vec {P}}_{\text{syst en transl}}\Vert ^{2}}}\;$ » $\Rightarrow$ « $\;\gamma _{G}(t)={\dfrac {\sqrt {m_{\text{syst en transl}}^{2}\;c^{2}+\Vert {\vec {P}}_{\text{syst en transl}}\Vert ^{2}}}{m_{\text{syst en transl}}\;c}}\;$ constant » soit finalement « $\;{\vec {V}}_{G}(t)={\dfrac {{\vec {P}}_{\text{syst en transl}}}{\gamma _{G}(t)\;m_{\text{syst en transl}}}}={\dfrac {{\vec {P}}_{\text{syst en transl}}\;c}{\sqrt {m_{\text{syst en transl}}^{2}\;c^{2}+\Vert {\vec {P}}_{\text{syst en transl}}\Vert ^{2}}}}={\overrightarrow {{\text{cste}}'}}\;$ ».

[Nœther-31] Emmy Nœther (1882 – 1935) mathématicienne allemande, spécialiste d'algèbre abstraite et de physique théorique à qui on doit, dans le domaine algébrique, de nombreuses contributions fondamentales comme celles sur la théorie des algèbres et, dans le domaine physique, le théorème portant son nom, théorème démontré en $\;1915\;$ et publié en $\;1918\;$ dont l'importance est considérée comme aussi grande que celle de la théorie de la relativité ;
Albert Einstein (1879 - 1955) $\;{\big [}$ physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $\;1896\;$ puis suisse en $\;1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $\;1905$ , la relativité générale en $\;1916\;$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $\;1921\;$ pour son explication de l'effet photoélectrique ${\big ]}\;$ disait qu'elle était « le génie mathématique créatif le plus considérable produit depuis que les femmes ont eu accès aux études supérieures ».

[32] On rappelle que ce théorème est un complément du programme de physique de P.C.S.I. $\;\ldots$

[33] Supposant l'espace homogène $\;{\big (}$ ses propriétés sont donc les mêmes en tout endroit ${\big )}$ , si aucune action extérieure ne s'exerce sur un point matériel, les lois de la physique s'appliquant à ce point matériel isolé ne découlent que des propriétés de l'espace et doivent être les mêmes si on fait une translation du point dans l'espace : on traduit cela en disant que « les lois de la physique s'appliquant à un point matériel isolé sont invariantes par translation d'espace ».

[34] L'ensemble des translations de vecteur quelconque $\;{\vec {u}}\;$ constituant effectivement un groupe avec pour loi de composition interne « l'addition vectorielle des vecteurs translatant », loi associative, d'élément neutre « la translation de vecteur ${\vec {0}}\;$ » et associant « la translation de vecteur $\;-{\vec {u}}\;$ » à « celle de vecteur $\;{\vec {u}}\;$ » comme translation « symétrique ».

[35] Construit à partir du nom de « Galilée » le physicien l'ayant énoncé pour la 1^ère fois en $\;1630$ ;
Galileo Galilei (1564 - 1642) mathématicien, géomètre, physicien et astronome italien, voir la note « ⁹ » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.

[36] On parle encore de « référentiel inertiel $\;{\big (}$ ou d'inertie ${\big )}\;$ ».

[37] Voir le paragraphe « propriété liant deux référentiels galiléens » plus bas dans ce chapitre.

[38] Pour faire la démonstration on utilise la loi de composition des vecteurs accélérations résultant d'un changement de référentiel, loi à résultat assez évident dans le cas d'un changement de référentiel en translation l'un par rapport à l'autre $\;{\big [}$ voir la démonstration dans le paragraphe « cas d'un entraînement de translation » nécessitant de voir successivement la « loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre » puis la « loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre » dans le chap. $25$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ mais beaucoup moins évident dans le cas d'un référentiel se déduisant d'un autre en rotation autour d'un axe fixe $\;{\big [}$ la démonstration pourra être vue $\;{\big (}$ bien que ce ne soit pas utile ici ${\big )}\;$ dans le paragraphe « cas d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe » nécessitant de voir successivement la « loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où l'un des référentiels est en rotation autour d'un axe fixe de l'autre référentiel » puis la « loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où l'un des référentiels est en rotation autour d'un axe fixe de l'autre référentiel » dans le chap. $25$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ $\;{\big [}$ ces lois sont introduites dans le programme de physique des C.P.G.E.S. $\;{\big (}$ Classes Préparatoires des Grandes Écoles Scientifiques ${\big )}\;$ de 2^ème année ${\big ]}$ .

[39] La démonstration est donnée dans le paragraphe « loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre » du chap. $25$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ; cette loi s'énonce encore :
le vecteur vitesse du point $\;M\;$ dans un référentiel « absolu » $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ ${\big [}$ c.-à-d. le vecteur vitesse absolue de $\;M\;$ encore noté $\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t){\big ]}\;$ s'obtient en ajoutant au vecteur vitesse de $\;M\;$ dans un référentiel « d'entraînement » $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ ${\big [}$ c.-à-d. le vecteur vitesse relative de $\;M\;$ encore noté $\;{\vec {V}}_{r,\,M}(t){\big ]}\;$ le vecteur vitesse d’entrainement de translation de $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ relativement à $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ ${\big [}$ encore appelé vecteur vitesse d'entraînement de $\;M\;$ et noté $\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t){\big ]}$ .

[40] La démonstration est donnée dans le paragraphe « loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre » du chap. $25$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » :
le vecteur accélération du point $\;M\;$ dans un référentiel « absolu » $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ ${\big [}$ c.-à-d. le vecteur accélération absolue de $\;M\;$ encore noté $\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t){\big ]}\;$ s'obtient en ajoutant au vecteur accélération de $\;M\;$ dans un référentiel « d'entraînement » $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ ${\big [}$ c.-à-d. le vecteur accélération relative de $\;M\;$ encore noté $\;{\vec {a}}_{r,\,M}(t){\big ]}\;$ le vecteur accélération d’entrainement de translation de $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ relativement à $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ ${\big [}$ encore appelé vecteur accélération d'entraînement de $\;M\;$ et noté $\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t){\big ]}$ ;
cette loi devient fausse si $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ est en rotation relativement à $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ autour d'un axe fixe, dans ce cas apparaît un 2^ème vecteur accélération à ajouter au vecteur accélération relative $\;{\big (}$ ajout non évident ${\big )}\;$ appelé vecteur accélération complémentaire ou de Coriolis $\;{\vec {a}}_{C,\,M}(t)$ ;
Gaspard-Gustave Coriolis (1792 - 1843) mathématicien et ingénieur français à qui on doit la notion d'accélération complémentaire à ajouter dans la loi de composition des accélérations lors d'un changement de référentiels en rotation l'un par rapport à l'autre ainsi que la pseudo force « dite de Coriolis » qu'il est nécessaire d'ajouter au bilan des forces appliquées pour traduire le mouvement du point par rapport à un référentiel d'étude non galiléen plus précisément en rotation autour d'un axe fixe relativement à un référentiel galiléen.

[41] Dès lors que deux référentiels se déduisent l'un de l'autre par translation rectiligne uniforme, le vecteur accélération d'un point $\;M\;$ ne dépend pas du référentiel choisi pour étudier son mouvement.

[C.Q.F.D.-42] Ce Qu'il Fallait Démontrer.

[43] Dans la théorie de la relativité générale on considère un espace-temps à $\;4\;$ dimensions $\;{\big (}3\;$ pour l'espace $\;+1\;$ pour le temps ${\big )}\;$ « non euclidien » alors que
en « dynamique newtonienne », l'espace et le temps peuvent être dissociés, « la partie spatiale à $\;3\;$ dimensions » est dite « euclidienne » car la distance entre deux points $\;A\;$ et $\;B\;$ se calcule par la norme de $\;{\overrightarrow {AB}}\;$ soit $\;\Vert {\overrightarrow {AB}}\Vert =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\left(x_{i,\,B}-x_{i,\,A}\right)^{2}\;$ ${\big (}$ on dit que l'on a défini une métrique ${\big )}\;$ et
en « dynamique relativiste $\;{\big (}$ restreinte ${\big )}\;$ » dans laquelle l'espace et le temps ne peuvent plus être dissociés, « l'espace-temps à $\;4\;$ dimensions » est dit « pseudo-euclidien » car la distance entre deux événements ponctuels $\;\left(A,\,t_{A}\right)\;$ et $\;\left(B,\,t_{B}\right)\;$ se calcule par la « norme du quadri-vecteur déplacement $\;\left\lbrace {\overrightarrow {AB}},\,x_{4,\,B}-x_{4,\,A}=i\;c\,\left(t_{B}-t_{A}\right)\right\rbrace \;$ » à 4^ème composante temporelle imaginaire pure, « norme » définie selon $\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,4}\left(x_{i,\,B}-x_{i,\,A}\right)^{2}=$ $\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\left(x_{i,\,B}-x_{i,\,A}\right)^{2}-c^{2}\,\left(t_{B}-t_{A}\right)^{2}$ , mais cette « norme » n'est pas définie positive $\;{\big (}$ c.-à-d. $\;>0\;$ pour un quadri-vecteur non nul et nul pour le quadri-vecteur nul, ce qui est indispensable pour que l'espace soit euclidien ${\big )}$ , raison pour laquelle l'espace-temps de la relativité restreinte n'est que « pseudo-euclidien » ;
en plus d'être « non euclidien », l'espace-temps de la relativité générale est « courbe » dans la mesure où les objets massiques présents dans l'espace-temps déforment ce dernier et ceci d'autant plus que la masse est élevée $\;{\big (}$ la force de gravitation n'existe donc plus car elle est remplacée par la déformation de l'espace-temps ${\big )}$ , la métrique de cet espace-temps est alors définie localement car dépendant de la courbure de l'espace-temps.

[44] Dans le Système solaire, la masse la plus importante est celle du Soleil mais celle-ci restant néanmoins faible, la déformation de l'espace-temps $\;{\big (}$ même quand elle est la plus grande c.-à-d. au voisinage du Soleill ${\big )}\;$ peut être en général négligée, d'où l'inutilité d'employer la relativité générale en 1^ère approximation si on reste dans le Système solaire.

[45] Voir le paragraphe « définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste (établissement de la condition de vitesse pour que la cinétique newtonienne soit applicable) » du chap. $7$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », la condition d'applicabilité de la cinétique relativiste étant la condition complémentaire.

[Humanité-46] 46,0 et ^46,1 L'apparition de l'Homme est, pour l'instant, estimée à $\;2,4\;10^{6}\;ans=2,4\;Ma$ , date approximative à laquelle apparaît l'Homo rudolfensis une espèce éteinte $\;($ extinction estimée à $\;1,6\;Ma{\big )}\;$ d'homonidés bipèdes devant son nom à l'endroit de sa découverte « le lac Rudolf », ancien nom du lac Turkana situé principalement au Kenya avec sa partie septentrionale en Éthiopie $\;{\big [}$ on peut donc dire que l'homonidé « Homo » est apparu au début du Pléistocène la 1^ère époque géologique du Quaternaire s'étendant de $\;2,58\;Ma\;$ à $\;11,7\;ka=11700\;ans\;$ avant le présent ${\big ]}$ .

[Copernic-47] 47,00 ^47,01 ^47,02 ^47,03 ^47,04 ^47,05 ^47,06 ^47,07 ^47,08 ^47,09 ^47,10 ^47,11 et ^47,12 Nicolas Copernic (1473 - 1543) chanoine, médecin et astronome polonais à qui on doit essentiellement la théorie physique de l'« héliocentrisme » $\;{\big [}$ consistant à considérer que c'est le Soleil et non la Terre qui est au centre du Système solaire ${\big ]}$ .

[48] Lequel est composé d'une radiosource complexe Sagittaire A constitué entre autres de Sagittaire A^* dont l'émission provient vraisemblablement d'un trou noir supermassif.

[lactocentrique-49] 49,0 ^49,1 et ^49,2 Le qualificatif « lactocentrique » donné au référentiel lié au centre de la Voie Lactée tel que le référentiel de Copernic soit en translation relativement à lui n'est pas normalisé, c'est un choix personnel.

[50] De façon à pouvoir négliger la courbure de l'espace-temps résultant du trou noir supermassif supposé présent en son centre.

[échelle_de_temps_de_l'Humanité-51] 51,0 et ^51,1 Durée s'étendant de l'apparition de l'homonidé Homo à nos jours, l'échelle de temps de l'Humanité est estimée à $\;2,4\;10^{6}\;ans=2,4\;Ma\;$ arrondie à $\;3\;10^{6}\;ans=3\;Ma$ .

[52] Partant de l'origine et passant par des étoiles infiniment éloignées.

[53] Toutefois pour l'étude du mouvement d'objets restant proches de la Terre, si le référentiel de Copernic reste le meilleur galiléen il ne semble pas bien pratique pour des durées nettement plus faibles que celle de validité de son caractère galiléen $\;\ldots$

[Kepler-54] 54,0 ^54,1 ^54,2 et ^54,3 Johannes Kepler (1571 - 1630) $\;{\big [}$ ou Keppler ${\big ]}\;$ astronome allemand, surtout connu pour avoir étudié l'hypothèse héliocentrique de Nicolas Copernic (1473 - 1543) $\;{\big [}$ chanoine, médecin et astronome polonais ${\big ]}\;$ et avoir découvert que les planètes suivent une trajectoire elliptique autour du Soleil $\;{\big [}$ c'est lors de l'étude de l'orbite de Mars qu'il voit la nécessité de se pencher sur l'optique à cause de la réfraction atmosphérique ${\big ]}$ .

[référentiel_barycentrique-55] 55,0 et ^55,1 Le référentiel barycentrique d'un système de points $\;{\mathcal {S}}\;$

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Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Principe de l'inertie et référentiels galiléens

Système (fermé) de points matériels isolé, système (fermé) de points matériels pseudo-isolé

Définition d'un système (fermé) de points matériels « isolé »

Définition d'un système (fermé) de points matériels « pseudo-isolé »

1ère propriété des systèmes (fermés) de points matériels « isolé » ou « pseudo-isolé » en dynamique newtonienne

Exemples de système (fermé) de points matériels « isolé » ou « pseudo-isolé »

Principe de l'inertie, théorèmes de l'inertie

Principe de l'inertie

Théorème de l'inertie (en dynamique newtonienne)

Théorème de l'inertie (en dynamique relativiste)

En complément : le principe (ou théorèmes) de l'inertie, cas particulier du théorème d'Emmy Nœther

Référentiels galiléens

Mouvement relatif de deux référentiels galiléens

Question : Existe-t-il d'autres référentiels galiléens ?

Propriété liant deux référentiels galiléens

Démonstration de la propriété énoncée au paragraphe précédent

1er exemple de référentiel galiléen « le référentiel de Copernic »

Limites de l'étude

Meilleur référentiel d'application du principe de l'inertie pour un point matériel isolé dans le Système solaire

Caractère quasi galiléen du « référentiel géocentrique » si la durée de l’expérience n'excède pas trois jours (terrestres)

Définition du référentiel géocentrique

Caractère « théoriquement non galiléen » du référentiel géocentrique

Caractère « quasi galiléen » du référentiel géocentrique pour une durée d'expérience n'excédant pas trois jours (terrestres)

Validation du caractère « quasi galiléen » du référentiel géocentrique sur une durée d’expérience inférieure à trois jours (terrestres)

Caractère quasi galiléen du « référentiel terrestre » si la durée de l’expérience n'excède pas quinze minutes (terrestres)

Définition du référentiel terrestre

Caractère théoriquement « non galiléen » du référentiel terrestre

Caractère « quasi galiléen » du référentiel terrestre pour une durée d'expérience n'excédant pas quinze minutes (terrestres)

Validation du caractère « quasi galiléen » du référentiel terrestre sur une durée d’expérience inférieure à quinze minutes (terrestres)

Notes et références

1^ère propriété des systèmes (fermés) de points matériels « isolé » ou « pseudo-isolé » en dynamique newtonienne

1^er exemple de référentiel galiléen « le référentiel de Copernic »