Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Principe de l'inertie et référentiels galiléens

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Loi de la quantité de mouvement : Principe de l'inertie et référentiels galiléens
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Chapitre no 8
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)
Chap. préc. :Loi de la quantité de mouvement : Quantité de mouvement
Chap. suiv. :Loi de la quantité de mouvement : Principe fondamental de la dynamique et théorème de la résultante cinétique
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Système (fermé) de points matériels isolé, système (fermé) de points matériels pseudo-isolé modifier

Définition d'un système (fermé) de points matériels « isolé » modifier

     Préliminaire : Un système de points matériels sur lequel aucune action extérieure ne s'exerce sur lui à tout instant est dit « isolé ».

     Remarque : en réalité seul un système « fermé » peut être « isolé » car

     Remarque : en réalité seul un système « ouvert »  défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle   fixe  « isolé » devant être tel qu'il n'y ait aucun point matériel à l'extérieur de   qui puisse être en interaction avec les points situés à l'intérieur de    en effet un point extérieur étant nécessairement en interaction gravitationnelle avec n'importe quel point intérieur [1] et cette interaction étant de portée infinie [2] la présence d'au moins un point matériel à l'extérieur de   aurait pour conséquence le caractère non isolé du système ouvert  ;
     Remarque : en réalité seul une 1ère conséquence du caractère « isolé » d'un système « ouvert » est donc le fait qu'il n'y a aucun point matériel à l'extérieur de    mais a priori il serait encore possible, pour un système ouvert, d'envisager une fuite de points matériels à travers   mais  ,

     Remarque : en réalité seul un système « ouvert » « isolé » doit aussi être tel qu'aucun point matériel intérieur à   ne puisse se retrouver à l'extérieur puisqu'alors, ce point passé à l'extérieur étant nécessairement en interaction gravitationnelle avec n'importe quel autre point intérieur [1] et cette interaction étant de portée infinie [2] le caractère « isolé » du système « ouvert » serait mis en défaut à partir de l'instant de sortie de ce point matériel  ce qui est interdit dans la mesure où le système doit être isolé à tout instant  ;
     Remarque : en réalité seul une 2ème conséquence du caractère « isolé » d'un système « ouvert » est donc le fait qu'aucun point matériel ne doit traverser   pour se retrouver à l'extérieur ;

     Remarque : en réalité seul en conclusion un tel système « ouvert » « isolé » serait en fait « fermé ».

Définition d'un système (fermé) de points matériels « pseudo-isolé » modifier

     Préliminaire : Un système de points matériels tel que la résultante dynamique   qui s'exerce sur lui est nulle quel que soit le mouvement individuel de ses points est dit « pseudo-isolé ».

     Remarque : pratiquement seul un système « fermé » peut être « pseudo-isolé » car

     Remarque : pratiquement seul un système « ouvert »  défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle   fixe  « pseudo-isolé » pour lequel un point matériel à l'extérieur de   traverserait cette dernière pour se retrouver à l'intérieur supprimerait, dans la résultante dynamique s'exerçant sur le système, la somme des forces d'interaction du point entrant avec tous les points initialement présents dans le système, somme qui a fort peu de chance d'être nulle quelles que soient les positions des points intérieurs à l'instant de l'entrée, ceci rendant alors la résultante dynamique restante non nulle et mettant en défaut le caractère « pseudo-isolé » du système ouvert ;
     Remarque : pratiquement seul une 1ère conséquence pratique du caractère « pseudo-isolé » d'un système « ouvert » est qu'il ne doit y avoir pratiquement aucun point matériel à l'extérieur de   pouvant y entrer durant la durée de l'observation  mais a priori il serait encore possible, pour un système ouvert, d'envisager une fuite de points matériels à travers   mais  ,

     Remarque : pratiquement seul un système « ouvert » « pseudo-isolé » doit aussi être tel qu'un point matériel intérieur à   passant à l'extérieur ne modifie pas la résultante dynamique s'exerçant sur le système, or l'ajout de la somme des forces d'interaction du point sortant avec tous les points restant présents dans le système, somme ayant fort peu de chance d'être nulle quelles que soient les positions des points intérieurs à l'instant de sortie, conduit à une résultante dynamique obtenue non nulle et met en défaut le caractère « pseudo-isolé » du système ouvert ;
     Remarque : pratiquement seul une 2ème conséquence pratique du caractère « pseudo-isolé » d'un système « ouvert » est donc la nécessité pratique qu'aucun point matériel ne traverse   pour se retrouver à l'extérieur ;

     Remarque : pratiquement seul en conclusion un tel système « ouvert » « pseudo-isolé » serait, en pratique, « fermé ».

     Commentaire : Il faut distinguer « système  fermé  pseudo-isolé » et « système  fermé  en équilibre », la résultante dynamique du 1er est nulle dans toutes circonstances alors que
      Commentaire : Il faut distinguer « système  fermé  pseudo-isolé » et « système  fermé  en équilibre », la résultante dyna celle du 2nd l'est uniquement dans une position particulière du système [3].

1ère propriété des systèmes (fermés) de points matériels « isolé » ou « pseudo-isolé » en dynamique newtonienne modifier

     En dynamique newtonienne [4], les forces étant invariantes par changement de référentiel, le caractère « isolé » ou « pseudo-isolé » d'un système  fermé  de points matériels reste valable dans n'importe quel référentiel [5].

Exemples de système (fermé) de points matériels « isolé » ou « pseudo-isolé » modifier

     Exemple de système  fermé  de points matériels « isolé » : un astre loin de tout autre astre.

     Exemples de système  fermé  de points matériels « pseudo-isolé » : un système binaire d’étoiles [6] loin de tout autre astre,

         Exemples de système (fermé) de points matériels « pseudo-isolé » : un objet sur une table horizontale à coussin d'air [7].

Principe de l'inertie, théorèmes de l'inertie modifier

Principe de l'inertie modifier

Ce principe est connu par les anglo-saxons sous le nom de 1ère loi de Newton [8] bien qu'il fut énoncé pour la 1ère fois par Galiléo Galiléi [9] en  .

     Commentaire préliminaire : si nous construisons la dynamique newtonienne des systèmes  fermés  de points matériels
     Commentaire préliminaire : si nous construisons à partir de celle du point matériel, il suffit de trois principes de dynamique du point matériel pour démontrer celle des systèmes de points,
    Commentaire préliminaire : si nous construisons à partir de celle du point matériel, il suffit les trois principes représentant pour les anglo-saxons les trois lois de Newton [8] c.-à-d.
    Commentaire préliminaire : si nous construisons à partir de celle du point matériel, il suffit  la 3ème  vue dans un chapitre précédent  encore nommée « principe des actions réciproques » [10],
    Commentaire préliminaire : si nous construisons à partir de celle du point matériel, il suffit  la 1ère  énoncée dans ce paragraphe  encore appelée « principe de l'inertie » et
    Commentaire préliminaire : si nous construisons à partir de celle du point matériel, il suffit  la 2nde  voir chapitre suivant  encore appelée « principe fondamental de la dynamique (p.f.d.) » [11] ;

     Commentaire préliminaire : cette construction peut être qualifiée de « minimaliste » dans la mesure où on admet un minimum de propriétés  celles de la dynamique du point matériel  et
     Commentaire préliminaire : cette construction peut être qualifiée de « minimaliste » dans la mesure où on démontre les autres  celles des systèmes  fermés  de points matériels ,
     Commentaire préliminaire : cette construction peut être qualifiée de « minimaliste » c'est cette construction que nous adoptons [12].

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Conséquence : le vecteur quantité de mouvement d'un point matériel isolé dans le référentiel   où le principe de l'inertie s'applique est conservé que ce soit en dynamique newtonienne ou
     Conséquence : le vecteur quantité de mouvement d'un point matériel isolé dans le référentiel   où le principe de l'inertie s'applique est conservé que ce soit en dynamique relativiste, en effet,
     Conséquence : le vecteur quantité de mouvement d'un point matériel isolé le principe de l'inertie y étant applicable, le mouvement du point matériel est rectiligne uniforme,
     Conséquence : le vecteur quantité de mouvement d'un point matériel isolé le principe de l'inertie y étant applicable, son vecteur vitesse est constant et par suite
     Conséquence : le vecteur quantité de mouvement d'un point matériel isolé le principe de l'inertie y étant applicable, son vecteur quantité de mouvement aussi car
     Conséquence : le vecteur quantité de mouvement d'un point matériel isolé le principe de l'inertie y étant applicable,  en cinétique newtonienne « » [14] avec   et
     Conséquence : le vecteur quantité de mouvement d'un point matériel isolé le principe de l'inertie y étant applicable,  en cinétique relativiste « » [15] avec   et
     Conséquence : le vecteur quantité de mouvement d'un point matériel isolé le principe de l'inertie y étant applicable,  en cinétique relativiste le facteur de Lorentz [16]  .

Théorème de l'inertie (en dynamique newtonienne) modifier

     Commentaire préliminaire : ayant adopté la construction « minimaliste » de la dynamique newtonienne des systèmes  fermés  de points matériels [17],
     Commentaire préliminaire : ayant adopté la construction « minimaliste » la loi énoncée ci-dessous appliquée à un système  fermé  de points matériels isolé est appelée « théorème de l'inertie »
     Commentaire préliminaire : ayant adopté la construction « minimaliste » en effet elle découle de l'application du « principe fondamental de la dynamique (p.f.d.) » [11] à chaque point matériel du système et
                Commentaire préliminaire : ayant adopté la construction « minimaliste » en effet elle découle de celle du « principe des actions réciproques » [10] ;

     Commentaire préliminaire : il existe une autre construction que l'on pourrait qualifier de « maximaliste » [18] consistant à admettre les lois appliquées à un système  fermé  de points matériels,
          Commentaire préliminaire : il existe une autre construction que l'on pourrait qualifier de « maximaliste » la loi énoncée ci-dessous appliquée à un système  fermé  de points matériels isolé
          Commentaire préliminaire : il existe une autre construction que l'on pourrait qualifier de « maximaliste » la loi énoncée ci-dessous devant alors être appelée « principe de l'inertie » [19].

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Conséquence : la résultante cinétique d'un système fermé de points matériels isolé dans le référentiel   où le théorème de l'inertie s'applique
     Conséquence : la résultante cinétique d'un système fermé de points matériels isolé est conservée en dynamique newtonienne
     Conséquence : la résultante cinétique d'un système fermé de points matériels isolé en effet, le théorème de l'inertie étant applicable dans cette dynamique,
     Conséquence : la résultante cinétique d'un système fermé de points matériels isolé en effet, le mouvement du C.D.I. [20]   du système  fermé  de points matériels isolé est rectiligne uniforme,
     Conséquence : la résultante cinétique d'un système fermé de points matériels isolé en effet, son vecteur vitesse   est donc constant et
     Conséquence : la résultante cinétique d'un système fermé de points matériels isolé en effet, d'après le lien entre résultante cinétique et vecteur vitesse de   en dynamique newtonienne [22],
     Conséquence : la résultante cinétique d'un système fermé de points matériels isolé en effet, sa résultante cinétique aussi car   avec  [23] et  .

Théorème de l'inertie (en dynamique relativiste) modifier

     Commentaire préliminaire : ayant adopté la construction « minimaliste » de la dynamique relativiste des systèmes  fermés  de points matériels [17],
     Commentaire préliminaire : ayant adopté la construction « minimaliste » la loi énoncée ci-dessous appliquée à un système  fermé  de points matériels isolé est appelée « théorème de l'inertie »
     Commentaire préliminaire : ayant adopté la construction « minimaliste » en effet elle découle de l'application du « principe fondamental de la dynamique (p.f.d.) » [11] à chaque point matériel du système et
                Commentaire préliminaire : ayant adopté la construction « minimaliste » en effet elle découle de celle du « principe des actions réciproques » [10], [24] ;

     Commentaire préliminaire : il existe une autre construction que l'on pourrait qualifier de « maximaliste » [18] consistant à admettre les lois appliquées à un système  fermé  de points matériels,
          Commentaire préliminaire : il existe une autre construction que l'on pourrait qualifier de « maximaliste » la loi énoncée ci-dessous appliquée à un système  fermé  de points matériels isolé
          Commentaire préliminaire : il existe une autre construction que l'on pourrait qualifier de « maximaliste » la loi énoncée ci-dessous devant alors être appelée « principe de l'inertie » [19].

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Conséquence : la conservation de la résultante cinétique d'un système  fermé  de points matériels isolé dans un référentiel   impliquant   ou,
     Conséquence : la conservation de la résultante cinétique en utilisant la définition de la quantité de mouvement d'un point matériel en cinétique relativiste  [15] avec
     Conséquence : la conservation de la résultante cinétique   masse  inerte [1] de  ,   son vecteur vitesse et   son facteur de Lorentz [16] à l'instant  ,
     Conséquence : la conservation de la résultante cinétique mais « »   a priori que le C.D.I. [20]   du système  fermé  de points matériels isolé
     Conséquence : la conservation de la résultante cinétique mais « »   a priori que le C.D.I. n'est pas animé d'un M.R.U. [26] en dynamique relativiste,
     Conséquence : la conservation de la résultante cinétique en effet   étant a priori  [27]  sauf si le système  fermé  de points matériels isolé est en translation [27]  d'où,
     Conséquence : la conservation de la résultante cinétique dans le cas le plus fréquent de système fermé de points matériels isolé non en translation on a  
     Conséquence : la conservation de la résultante cinétique dans le cas le plus fréquent de système fermé de points matériels isolé non en translation mais   et par suite
     Conséquence : la conservation de la résultante cinétique dans le cas le plus fréquent de système fermé de points matériels isolé non en translation « [28] » ou encore,
     Conséquence : la conservation de la résultante cinétique dans le cas le plus fréquent de système fermé de points matériels isolé non en translation « [28] » d'où
     Conséquence : la conservation de la résultante cinétique dans le cas le plus fréquent de système fermé de points matériels isolé non en translation a priori « » C.Q.F.V. [29]
     Conséquence : la conservation de la résultante cinétique dans le cas particulier de système fermé de points matériels isolé en translation on a   et
     Conséquence : la conservation de la résultante cinétique dans le cas particulier de système fermé de points matériels isolé en translation on a  [27] d'où
     Conséquence : la conservation de la résultante cinétique dans le cas particulier de système fermé de points matériels isolé en translation « » ou encore
     Conséquence : la conservation de la résultante cinétique dans le cas particulier de système fermé de points matériels isolé en translation « » dont on déduit
     Conséquence : la conservation de la résultante cinétique dans le cas particulier de système fermé de points matériels isolé en translation « » [30] c.-à-d. un M.R.U. [26] de  ,
     Conséquence : la conservation de la résultante cinétique dans le cas particulier de système fermé de points matériels isolé en translation « C.D.I. [20] du système  fermé  de points matériels
          Conséquence : la conservation de la résultante cinétique dans le cas particulier de système fermé de points matériels isolé en translation « C.D.I. du système  fermé  isolé en translation.

En complément : le principe (ou théorèmes) de l'inertie, cas particulier du théorème d'Emmy Nœther modifier

Voir l'énoncé du théorème d'Emmy Nœther [31] au chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
Début d’un théorème
Fin du théorème

     Quel que soit l'endroit où le point matériel isolé se trouve dans l'espace, les lois de la physique auxquelles ce point obéit doivent être « invariantes par translation d'espace » [33] ;

     d'après le théorème d'Emmy Nœther, il y a « conservation d'une grandeur  cinétique  du point » traduisant l'« invariance des lois physiques selon le groupe des translations d'espace » [34] et le principe de l'inertie nous dit que « cette grandeur cinétique conservée est le vecteur quantité de mouvement du point  ou résultante cinétique du système fermé ».

En conclusion : l'invariance du caractère isolé d'un point  ou d'un système  par translation d'espace
 
la conservation de la quantité de mouvement du point  ou de la résultante cinétique du système .

Référentiels galiléens modifier

     Le principe de l'inertie postulant l'existence d'au moins un référentiel dans lequel le mouvement d'un point matériel isolé est rectiligne uniforme,
     Le principe de l'inertie postulant l'existence d'au moins un référentiel on qualifie de « galiléen » [35], [36] ce ou ces référentiel s dans lequel le principe de l'inertie est applicable.

Mouvement relatif de deux référentiels galiléens modifier

Question : Existe-t-il d'autres référentiels galiléens ? modifier

     Le principe de l'inertie admettant l'existence d'un référentiel galiléen, est-il unique ou en existe-t-il d'autres ? À cette question nous répondrons ci-après avec justification à l'appui :

« dans la mesure où il en existe un  affirmation du principe de l'inertie , il en existe une infinité possédant la propriété énoncée dans le paragraphe suivant [37] ».

Propriété liant deux référentiels galiléens modifier

« Tout référentiel  , animé par rapport à un référentiel galiléen   d'un mouvement de translation rectiligne uniforme, est lui même galiléen ».

Démonstration de la propriété énoncée au paragraphe précédent modifier

     Démonstration [38] : pour définir la translation de   par rapport à  , il suffit de se donner le mouvement de    origine du repère associé à   dans   en précisant
           Démonstration : pour définir la translation de   par rapport à  , il suffit de se donner son vecteur vitesse   que l'on écrira encore  , ainsi que
           Démonstration : pour définir la translation de   par rapport à  , il suffit de se donner son vecteur accélération   écrit encore   ;
           Démonstration : dans la mesure où   est en translation rectiligne uniforme relativement à  , le vecteur vitesse   et le vecteur accélération   ;

           Démonstration : la loi de composition des vecteurs vitesses d'un point   par changement de référentiel s'écrit  si les référentiels sont en translation   [39]

           Démonstration : la loi de composition des vecteurs accélérations d'un point   par changement de référentiel s'écrit  les référentiels étant en translation   [40]

           Démonstration : si   est en translation rectiligne uniforme relativement à  , la loi de composition des vecteurs accélérations du point   devient     soit finalement « »  dans ce qui précède le caractère galiléen de   n'intervient pas, cela reste donc valable pour un référentiel   qui ne serait pas galiléen [41]  ;

           Démonstration : considérant un point matériel   isolé, on en déduit, par application du principe de l'inertie dans   galiléen, que le vecteur vitesse de   défini dans   est constant   y ayant un M.R.U. [26]  et donc que son vecteur accélération défini dans   est nul soit au final « » ;

           Démonstration : utilisant la relation   pour en déduire le vecteur accélération de   dans le référentiel   lequel est en translation rectiligne uniforme relativement au référentiel   galiléen  ce qui est caractérisé par   on en déduit « » ce qui donne, par intégration, « » c.-à-d. le vecteur vitesse de   défini dans   constant, établissant que le point matériel   isolé a un M.R.U. [26] dans   d'où l'assurance du caractère galiléen de   puisque le principe de l'inertie s'applique à   isolé dans   C.Q.F.D. [42].

1er exemple de référentiel galiléen « le référentiel de Copernic » modifier

Limites de l'étude modifier

     Nous limitons les études dynamiques au contenu du Système solaire, dans ces conditions l'utilisation de la « relativité générale » [43] est, en 1ère approximation, inutile [44], ce qui revient à considérer

  • la dynamique newtonienne pour des points se déplaçant à une vitesse petite par rapport à    célérité de la lumière  et
  • la dynamique relativiste  restreinte  pour des points se déplaçant à une vitesse plus grande que  [45].

Meilleur référentiel d'application du principe de l'inertie pour un point matériel isolé dans le Système solaire modifier

     Le meilleur référentiel d'application du principe de l'inertie sur la durée de l'Humanité [46]  c.-à-d. le meilleur référentiel galiléen sur la durée de l'Humanité [46]  est le « référentiel de Copernic » [47] c.-à-d. le « référentiel lié au C.D.I. [20] du Système solaire par rapport auquel les étoiles infiniment éloignées sont fixes » en effet,

             Le meilleur référentiel d'application du principe de l'inertie sur la durée de l'Humanité le Soleil effectuant une rotation autour du centre de la Voie Lactée en approximativement     en restant à une distance moyenne   années-lumière du centre de la Voie Lactée [48], si on considère le référentiel lactocentrique [49]  c.-à-d. lié à la Voie Lactée tel que le référentiel de Copernic [47] soit en translation relativement à lui  comme le meilleur référentiel galiléen pour toute expérience s'effectuant exclusivement dans la Voie Lactée en restant suffisamment éloignée du centre de celle-ci [50], le référentiel de Copernic [47] est alors en translation quasi circulaire relativement au référentiel lactocentrique [49] mais
             Le meilleur référentiel d'application du principe de l'inertie sur la durée de l'Humanité le Soleil sur une durée de    que l'on peut définir comme l'échelle de temps de l'Humanité [51]  représentant un centième de tour, on peut confondre l'arc de cercle décrit avec la corde correspondante et affirmer que le référentiel de Copernic [47] est, pendant cette durée, en translation rectiligne uniforme relativement au référentiel lactocentrique [49] galiléen et par suite qu'il est lui-même galiléen.

     Repère de Copernic [47] associé : Repère cartésien associé au référentiel de Copernic [47] ayant pour « origine » « le C.D.I. [20] du Système solaire » et pour « axes » « trois directions fixes » [52] deux à deux orthogonales ; c'est donc le meilleur repère galiléen pour les expériences liées au Système solaire à une échelle de temps inférieure à celle de l'Humanité [51], [53].

     Remarque : le « référentiel de Copernic » [47] est à distinguer du « référentiel de Kepler » [54] lequel est le « référentiel barycentrique du Soleil » [55], [56], mais  
     Remarque : pratiquement ils sont quasiment confondus, la masse du Système solaire étant à   dans le Soleil, on peut estimer la distance séparant le C.D.I. [20] du Soleil à celui du Système solaire à  [57], le rayon solaire étant égal à   le C.D.I. [20] du Système solaire peut être situé très grossièrement au niveau de la surface du Soleil ;
     Remarque : le repère associé au référentiel de Kepler [54] ayant pour origine le C.D.I. [20] du Soleil et étant en translation par rapport au repère de Copernic [47] qui a pour origine le C.D.I. [20] du Système solaire, le 1er est théoriquement en translation quasi circulaire par rapport au 2nd mais pratiquement la distance séparant les deux C.D.I. [20] restant petite par rapport à la dimension du Système solaire  laquelle reste très difficile à définir mais de l'ordre de  , le mouvement du repère de Kepler [54] peut être, en 1ère approximation, négligé par rapport à celui du repère de Copernic [47] et par suite on peut aussi estimer le repère de Kepler [54] comme galiléen [58].

     Remarque : Pour information le symbole astronomique du Soleil est « ☉ » [59] et celui de Jupiter « ♃ » [59].

Caractère quasi galiléen du « référentiel géocentrique » si la durée de l’expérience n'excède pas trois jours (terrestres) modifier

Définition du référentiel géocentrique modifier

     Le référentiel géocentrique est le « référentiel lié au C.D.I. [20] de la Terre par rapport auquel les étoiles infiniment éloignées sont fixes »,
  Le référentiel géocentrique il est donc en mouvement de translation relativement au référentiel de Copernic [47] ;

     on peut aussi définir le référentiel géocentrique comme le référentiel barycentrique [55] de la Terre relativement au référentiel de Copernic [47] choisi comme référentiel d'étude.

Caractère « théoriquement non galiléen » du référentiel géocentrique modifier

     Le référentiel géocentrique est « théoriquement non galiléen » car il est en translation « quasi circulaire » uniforme par rapport au référentiel de Copernic [47], le galiléen de référence [60], or
     Le référentiel géocentrique pour être galiléen il devrait être en translation rectiligne uniforme par rapport à ce dernier.

Caractère « quasi galiléen » du référentiel géocentrique pour une durée d'expérience n'excédant pas trois jours (terrestres) modifier

     Pour considérer le référentiel géocentrique comme « quasi galiléen » il faut pouvoir confondre son mouvement de translation quasi circulaire uniforme relativement au référentiel de Copernic [47] avec
     Pour considérer le référentiel géocentrique comme « quasi galiléen » il faut pouvoir confondre un mouvement de translation quasi rectiligne uniforme, ceci est réalisé à moins de   près
     Pour considérer le référentiel géocentrique comme « quasi galiléen » il faut pouvoir confondre si le C.D.I. de la Terre décrit un arc de cercle de longueur   à   du périmètre de l'orbite quasi circulaire
Pour considérer le référentiel géocentrique comme « quasi galiléen » il faut pouvoir confondre si le C.D.I. de la Terre décrit ou pendant une durée   à   de la période orbitale de la Terre autour du Soleil
        Pour considérer le référentiel géocentrique comme « quasi galiléen » il faut pouvoir confondre si le C.D.I. de la Terre soit pendant une durée « » [61], [62]
        Pour considérer le référentiel géocentrique comme « quasi galiléen » il faut pouvoir confondre si le C.D.I. de la Terre soit pendant une durée valeur maximale arrondie à «  ».

Validation du caractère « quasi galiléen » du référentiel géocentrique sur une durée d’expérience inférieure à trois jours (terrestres) modifier

     Un point matériel au voisinage de la Terre étant au moins soumis à la force d'attraction gravitationnelle terrestre ne peut être isolé, toutefois
     Un point matériel au voisinage de la Terre s'il est suffisamment éloigné de la Terre, cette dernière n'exerce pratiquement plus de force et en absence d'autres forces il est « quasi isolé » [63] ;

     « en absence de vitesse initiale, aucun mouvement du point matériel quasi isolé ne serait perceptible pourvu que la durée d’observation reste inférieure à trois jours » [64].

Caractère quasi galiléen du « référentiel terrestre » si la durée de l’expérience n'excède pas quinze minutes (terrestres) modifier

Définition du référentiel terrestre modifier

     Le référentiel terrestre est le référentiel lié à la Terre, il est donc en « rotation  uniforme  relativement au référentiel géocentrique » [65].

     Repères terrestres associés : il y a autant de repères terrestres associés qu'il y a d'origines d'espace possibles c.-à-d. une « infinité » [66], la base cartésienne étant choisie en respectant la direction locale verticale du 3ème vecteur    avec un sens ascendant ou descendant .

Caractère théoriquement « non galiléen » du référentiel terrestre modifier

     Pour une expérience de durée   à  , le référentiel géocentrique peut être considéré comme galiléen et servir de galiléen de référence [67] ;

     le référentiel terrestre est « théoriquement non galiléen » car il est en « rotation » uniforme par rapport au galiléen de référence c.-à-d. le référentiel géocentrique, or
     le référentiel terrestre pour être galiléen il devrait être en translation rectiligne uniforme par rapport à ce dernier.

Caractère « quasi galiléen » du référentiel terrestre pour une durée d'expérience n'excédant pas quinze minutes (terrestres) modifier

     Pour considérer le référentiel terrestre comme « quasi galiléen » il faut pouvoir confondre son mouvement de rotation uniforme relativement au référentiel géocentrique avec
     Pour considérer le référentiel terrestre comme « quasi galiléen » il faut pouvoir confondre un mouvement de translation quasi rectiligne uniforme, ceci est réalisé à moins de   près
     Pour considérer le référentiel terrestre comme « quasi galiléen » il faut pouvoir confondre si l'origine du repère décrit un arc de cercle de longueur   à   du périmètre du parallèle décrit par l'origine
Pour considérer le référentiel terrestre comme « quasi galiléen » il faut pouvoir confondre si l'origine du repère décrit ou pendant une durée   à   de la période de rotation sidérale de la Terre
        Pour considérer le référentiel terrestre comme « quasi galiléen » il faut pouvoir confondre si l'origine du repère soit pendant une durée « » [68], [62]
        Pour considérer le référentiel terrestre comme « quasi galiléen » il faut pouvoir confondre si l'origine du repère soit pendant une durée valeur maximale arrondie à «  ».

Validation du caractère « quasi galiléen » du référentiel terrestre sur une durée d’expérience inférieure à quinze minutes (terrestres) modifier

     Un point matériel sur Terre étant au moins soumis à son poids [69] ne peut être isolé ; la seule façon de tenter de valider le caractère quasi galiléen d'un référentiel terrestre par vérification d'un M.R.U. [26] est de remplacer le caractère isolé d'un corps non réalisable sur Terre par le caractère pseudo-isolé [70] ;

     on vérifie qu'« un point matériel pseudo-isolé a un M.R.U. [26] pourvu que la durée d'observation reste inférieure à un quart d'heure » [71], [72] et par suite on valide le caractère « quasi galiléen » du référentiel terrestre pour une durée inférieure à  .

Notes et références modifier

  1. 1,0 1,1 et 1,2 Un point matériel étant, par définition, doté d'une masse inerte  intervenant dans la définition de la quantité de mouvement , il possède aussi une masse grave  intervenant de l'interaction gravitationnelle  car ces deux masses sont mesurées par le même nombre.
  2. 2,0 et 2,1 La portée d'une interaction entre deux points étant la distance à partir de laquelle l'interaction est nulle.
  3. La résultante dynamique nulle d'un système  fermé  en équilibre est une C.N. d'équilibre, cette condition ne peut être maintenue qu'en absence de mouvement pour chaque point matériel du système.
  4. C.-à-d. utilisant un référentiel d'espace temps dans lequel les vitesses des points matériels restent petites devant la vitesse de la lumière dans le vide soit approximativement    , la dynamique dans un référentiel d'espace temps ne vérifiant pas cette condition étant appelée « dynamique relativiste ».
  5. Si le caractère « isolé » d'un système  fermé  de points matériels reste valable dans n'importe quel référentiel en dynamique relativiste  car l'absence de forces est évidemment indépendant du choix d'un référentiel  il en est aussi de même du caractère « pseudo-isolé » d'un système  fermé  de points matériels en dynamique relativiste  car les forces étant invariantes par changement de référentiel dans cette dynamique, la nullité des forces y est aussi nécessairement maintenue .
  6. C.-à-d. deux étoiles en interaction entre elles.
  7. L'objet est soumis à deux forces extérieures, son poids et la réaction de la table laquelle, dans la mesure où le coussin d'air supprime pratiquement tout frottement, est perpendiculaire à la table donc verticale ascendante, l'absence de mouvement vertical correspond alors à une compensation parfaite des forces extérieures verticales d'où une résultante dynamique nulle.
  8. 8,0 et 8,1 Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimal ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton.
  9. Galileo Galilei (1564 - 1642) mathématicien, géomètre, physicien et astronome italien  plus exactement pour l'époque florentin , à qui on doit en   l'amélioration de la longue-vue inventée par l'opticien hollandais Hans Lippershey (1570 - 1619) en lunette d'observation des objets célestes sans inversion de l'image par ajout d'une lentille divergente ; dès   en observant les phases de Vénus, il est convaincu que le géocentrisme ne permet pas une explication simple de cette observation contrairement à l'héliocentrisme  théorie physique dont l'essor est essentiellement dû à Nicolas Copernic (1473 - 1543) chanoine, médecin et astronome polonais  et défend cette thèse en poursuivant ses observations jusqu'en   où il fût déclaré suspect d'hérésie par l'Inquisition romaine et dût adjurer ; il a aussi posé les bases de la mécanique en étudiant l'équilibre et le mouvement des corps solides  en particulier leur chute, leur translation rectiligne et leur inertie  ainsi que la généralisation des mesures de temps  en particulier par l'étude de l'isochronisme du pendule .
  10. 10,0 10,1 et 10,2 Voir le paragraphe « énoncé du principe des actions réciproques » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  11. 11,0 11,1 et 11,2 Voir le paragraphe « énoncé du p.f.d. » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  12. La méthode de construction de la dynamique des systèmes  fermés  des points matériels n’étant pas précisée dans le programme de physique de P.C.S.I..
  13. Le principe de l'inertie a été réintroduit par Newton près de   ans après Galilée et est connu par les anglo-saxons sous le nom de « 1ère loi de Newton », 1ère car cela a été son 1er « principe »  par ordre chronologique  de la dynamique du point ;
       malheureusement l'enseignement français de la physique s'anglicise et les programmes du secondaire parle de « lois » de Newton  ce qui est beaucoup moins précis car le mot « loi » désigne aussi bien un « principe » qu'un « théorème »  mais heureusement on voit réapparaître, dans les programmes de physique de C.P.G.E.S.  Classes Préparatoires aux Grandes Écoles Scientifiques , le mot « principe » ce qui précise que la propriété énoncée dans le principe est admise et qu'elle restera applicable tant qu'elle ne sera pas mise en défaut par l’expérience ;
       historiquement ce principe a été énoncé dans le cadre de la dynamique newtonienne mais il reste valable dans la dynamique relativiste.
  14. Voir le paragraphe « définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique newtonienne » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  15. 15,0 et 15,1 Voir le paragraphe « définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  16. 16,0 et 16,1 Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « transformations dites de Lorentz »  en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en   par Henri Poincaré après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont Hendrik Lorentz dès   pour ce dernier , transformations utilisées dans la théorie de la relativité restreinte élaborée par Albert Einstein en   ;
       Hendrik Lorentz partagea, en  , le prix Nobel de physique avec Pieter Zeeman (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs  Pieter Zeeman ayant découvert l'effet qui porte son nom en  .
       Henri Poincaré (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en calcul infinitésimal, des avancées sur le problème à trois corps qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos, une participation active à la théorie de la relativité restreinte ainsi qu'à la théorie des systèmes dynamiques  
       Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en   puis suisse en   ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en  , la relativité générale en   ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en   pour son explication de l'effet photoélectrique.
  17. 17,0 et 17,1 Voir le « commentaire préliminaire du paragraphe principe de l'inertie » plus haut dans ce chapitre.
  18. 18,0 et 18,1 Proposition personnelle d'appellation.
  19. 19,0 et 19,1 Le programme de physique de P.C.S.I. parlant de principe de l'inertie appliqué à un système  fermé  de points matériels isolé, il s'agit d'un abus si les concepteurs du programme souhaitaient une construction « minimaliste » de la dynamique des systèmes  fermés  de points matériels  
  20. 20,00 20,01 20,02 20,03 20,04 20,05 20,06 20,07 20,08 20,09 20,10 et 20,11 Centre D'Inertie.
  21. Nous verrons dans le chapitre prochain que le principe fondamental de la dynamique newtonienne appliqué à un point matériel   postule l'existence d'au moins un référentiel dans lequel   d'où en faisant la somme sur toutes les relations écrites pour chaque point et en utilisant la conséquence du principe des actions réciproques à savoir   ainsi que la définition de la résultante cinétique et son lien avec le vecteur vitesse du C.D.I.   du système  , on établit     d'où le théorème énoncé en utilisant la définition d'un système  fermé  de points matériels isolé correspondant à l'absence de   donc l'absence de  
  22. Voir le paragraphe « énoncé du lien entre résultante cinétique et vecteur vitesse du centre d'inertie d'un système de points matériels fermé » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  23. Le système étant fermé.
  24. Le principe des actions réciproques reste applicable en dynamique relativiste, voir la note « 9 » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  25. Nous verrons dans le chapitre prochain que le principe fondamental de la dynamique relativiste appliqué à un point matériel   postule l'existence d'au moins un référentiel dans lequel   d'où en faisant la somme sur toutes les relations écrites pour chaque point et en utilisant la conséquence du principe des actions réciproques applicable dans le référentiel considéré  voir la note « 9 » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »  à savoir   ainsi que la définition de la résultante cinétique  , on établit   d'où le théorème énoncé dans le référentiel considéré en utilisant la définition d'un système  fermé  de points matériels isolé correspondant à l'absence de   donc l'absence de   formellement identique à   et par suite, « » s'intègre en « ».
  26. 26,0 26,1 26,2 26,3 26,4 et 26,5 Mouvement Rectiligne Uniforme.
  27. 27,0 27,1 et 27,2 La dérivée temporelle du vecteur position « »   « » mais «  n'est égal à   que dans la mesure où  » c.-à-d. que si le système  fermé  de points matériels isolé est en translation d'où, a priori, « ».
  28. 28,0 et 28,1 Sauf pour éventuellement des instants très particuliers.
  29. Ce Qu'il Fallait Vérifier.
  30. De «  avec  » on en tire « »   « » ou «   » dont on tire «   » ou «   »   « »   «  constant » soit finalement « ».
  31. Emmy Nœther (1882 – 1935) mathématicienne allemande, spécialiste d'algèbre abstraite et de physique théorique à qui on doit, dans le domaine algébrique, de nombreuses contributions fondamentales comme celles sur la théorie des algèbres et, dans le domaine physique, le théorème portant son nom, théorème démontré en   et publié en   dont l'importance est considérée comme aussi grande que celle de la théorie de la relativité ;
       Albert Einstein (1879 - 1955)  physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en   puis suisse en   ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en  , la relativité générale en   ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en   pour son explication de l'effet photoélectrique  disait qu'elle était « le génie mathématique créatif le plus considérable produit depuis que les femmes ont eu accès aux études supérieures ».
  32. On rappelle que ce théorème est un complément du programme de physique de P.C.S.I.  
  33. Supposant l'espace homogène  ses propriétés sont donc les mêmes en tout endroit , si aucune action extérieure ne s'exerce sur un point matériel, les lois de la physique s'appliquant à ce point matériel isolé ne découlent que des propriétés de l'espace et doivent être les mêmes si on fait une translation du point dans l'espace : on traduit cela en disant que « les lois de la physique s'appliquant à un point matériel isolé sont invariantes par translation d'espace ».
  34. L'ensemble des translations de vecteur quelconque   constituant effectivement un groupe avec pour loi de composition interne « l'addition vectorielle des vecteurs translatant », loi associative, d'élément neutre « la translation de vecteur  » et associant « la translation de vecteur  » à « celle de vecteur  » comme translation « symétrique ».
  35. Construit à partir du nom de « Galilée » le physicien l'ayant énoncé pour la 1ère fois en   ;
       Galileo Galilei (1564 - 1642) mathématicien, géomètre, physicien et astronome italien, voir la note « 9 » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.
  36. On parle encore de « référentiel inertiel  ou d'inertie ».
  37. Voir le paragraphe « propriété liant deux référentiels galiléens » plus bas dans ce chapitre.
  38. Pour faire la démonstration on utilise la loi de composition des vecteurs accélérations résultant d'un changement de référentiel, loi à résultat assez évident dans le cas d'un changement de référentiel en translation l'un par rapport à l'autre  voir la démonstration dans le paragraphe « cas d'un entraînement de translation » nécessitant de voir successivement la « loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre » puis la « loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre » dans le chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »  mais beaucoup moins évident dans le cas d'un référentiel se déduisant d'un autre en rotation autour d'un axe fixe  la démonstration pourra être vue  bien que ce ne soit pas utile ici  dans le paragraphe « cas d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe » nécessitant de voir successivement la « loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où l'un des référentiels est en rotation autour d'un axe fixe de l'autre référentiel » puis la « loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où l'un des référentiels est en rotation autour d'un axe fixe de l'autre référentiel » dans le chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »   ces lois sont introduites dans le programme de physique des C.P.G.E.S.  Classes Préparatoires des Grandes Écoles Scientifiques  de 2ème année .
  39. La démonstration est donnée dans le paragraphe « loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ; cette loi s'énonce encore :
       le vecteur vitesse du point   dans un référentiel « absolu »    c.-à-d. le vecteur vitesse absolue de   encore noté   s'obtient en ajoutant au vecteur vitesse de   dans un référentiel « d'entraînement »    c.-à-d. le vecteur vitesse relative de   encore noté   le vecteur vitesse d’entrainement de translation de   relativement à    encore appelé vecteur vitesse d'entraînement de   et noté  .
  40. La démonstration est donnée dans le paragraphe « loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » :
       le vecteur accélération du point   dans un référentiel « absolu »    c.-à-d. le vecteur accélération absolue de   encore noté   s'obtient en ajoutant au vecteur accélération de   dans un référentiel « d'entraînement »    c.-à-d. le vecteur accélération relative de   encore noté   le vecteur accélération d’entrainement de translation de   relativement à    encore appelé vecteur accélération d'entraînement de   et noté   ;
       cette loi devient fausse si   est en rotation relativement à   autour d'un axe fixe, dans ce cas apparaît un 2ème vecteur accélération à ajouter au vecteur accélération relative  ajout non évident  appelé vecteur accélération complémentaire ou de Coriolis   ;
       Gaspard-Gustave Coriolis (1792 - 1843) mathématicien et ingénieur français à qui on doit la notion d'accélération complémentaire à ajouter dans la loi de composition des accélérations lors d'un changement de référentiels en rotation l'un par rapport à l'autre ainsi que la pseudo force « dite de Coriolis » qu'il est nécessaire d'ajouter au bilan des forces appliquées pour traduire le mouvement du point par rapport à un référentiel d'étude non galiléen plus précisément en rotation autour d'un axe fixe relativement à un référentiel galiléen.
  41. Dès lors que deux référentiels se déduisent l'un de l'autre par translation rectiligne uniforme, le vecteur accélération d'un point   ne dépend pas du référentiel choisi pour étudier son mouvement.
  42. Ce Qu'il Fallait Démontrer.
  43. Dans la théorie de la relativité générale on considère un espace-temps à   dimensions   pour l'espace   pour le temps  « non euclidien » alors que
       en « dynamique newtonienne », l'espace et le temps peuvent être dissociés, « la partie spatiale à   dimensions » est dite « euclidienne » car la distance entre deux points   et   se calcule par la norme de   soit    on dit que l'on a défini une métrique  et
       en « dynamique relativiste  restreinte » dans laquelle l'espace et le temps ne peuvent plus être dissociés, « l'espace-temps à   dimensions » est dit « pseudo-euclidien » car la distance entre deux événements ponctuels   et   se calcule par la « norme du quadri-vecteur déplacement  » à 4ème composante temporelle imaginaire pure, « norme » définie selon    , mais cette « norme » n'est pas définie positive  c.-à-d.   pour un quadri-vecteur non nul et nul pour le quadri-vecteur nul, ce qui est indispensable pour que l'espace soit euclidien , raison pour laquelle l'espace-temps de la relativité restreinte n'est que « pseudo-euclidien » ;
       en plus d'être « non euclidien », l'espace-temps de la relativité générale est « courbe » dans la mesure où les objets massiques présents dans l'espace-temps déforment ce dernier et ceci d'autant plus que la masse est élevée  la force de gravitation n'existe donc plus car elle est remplacée par la déformation de l'espace-temps , la métrique de cet espace-temps est alors définie localement car dépendant de la courbure de l'espace-temps.
  44. Dans le Système solaire, la masse la plus importante est celle du Soleil mais celle-ci restant néanmoins faible, la déformation de l'espace-temps  même quand elle est la plus grande c.-à-d. au voisinage du Soleill  peut être en général négligée, d'où l'inutilité d'employer la relativité générale en 1ère approximation si on reste dans le Système solaire.
  45. Voir le paragraphe « définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste (établissement de la condition de vitesse pour que la cinétique newtonienne soit applicable) » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », la condition d'applicabilité de la cinétique relativiste étant la condition complémentaire.
  46. 46,0 et 46,1 L'apparition de l'Homme est, pour l'instant, estimée à  , date approximative à laquelle apparaît l'Homo rudolfensis une espèce éteinte  extinction estimée à   d'homonidés bipèdes devant son nom à l'endroit de sa découverte « le lac Rudolf », ancien nom du lac Turkana situé principalement au Kenya avec sa partie septentrionale en Éthiopie  on peut donc dire que l'homonidé « Homo » est apparu au début du Pléistocène la 1ère époque géologique du Quaternaire s'étendant de   à   avant le présent .
  47. 47,00 47,01 47,02 47,03 47,04 47,05 47,06 47,07 47,08 47,09 47,10 47,11 et 47,12 Nicolas Copernic (1473 - 1543) chanoine, médecin et astronome polonais à qui on doit essentiellement la théorie physique de l'« héliocentrisme »  consistant à considérer que c'est le Soleil et non la Terre qui est au centre du Système solaire .
  48. Lequel est composé d'une radiosource complexe Sagittaire A constitué entre autres de Sagittaire A* dont l'émission provient vraisemblablement d'un trou noir supermassif.
  49. 49,0 49,1 et 49,2 Le qualificatif « lactocentrique » donné au référentiel lié au centre de la Voie Lactée tel que le référentiel de Copernic soit en translation relativement à lui n'est pas normalisé, c'est un choix personnel.
  50. De façon à pouvoir négliger la courbure de l'espace-temps résultant du trou noir supermassif supposé présent en son centre.
  51. 51,0 et 51,1 Durée s'étendant de l'apparition de l'homonidé Homo à nos jours, l'échelle de temps de l'Humanité est estimée à   arrondie à  .
  52. Partant de l'origine et passant par des étoiles infiniment éloignées.
  53. Toutefois pour l'étude du mouvement d'objets restant proches de la Terre, si le référentiel de Copernic reste le meilleur galiléen il ne semble pas bien pratique pour des durées nettement plus faibles que celle de validité de son caractère galiléen  
  54. 54,0 54,1 54,2 et 54,3 Johannes Kepler (1571 - 1630)  ou Keppler  astronome allemand, surtout connu pour avoir étudié l'hypothèse héliocentrique de Nicolas Copernic (1473 - 1543)  chanoine, médecin et astronome polonais  et avoir découvert que les planètes suivent une trajectoire elliptique autour du Soleil  c'est lors de l'étude de l'orbite de Mars qu'il voit la nécessité de se pencher sur l'optique à cause de la réfraction atmosphérique .
  55. 55,0 et 55,1 Le référentiel barycentrique d'un système de points   est le référentiel lié au C.D.I.   du système de points, en translation relativement au référentiel d'étude  , en général il est noté, quand il n'y a pas d'ambiguïté    et s'il y a ambiguïté on pourrait le noter   ou, pour être encore plus précis  .
  56. Ici le référentiel de Kepler est donc lié au C.D.I. du Soleil et en translation relativement au référentiel de Copernic.
  57. En effet si on considère la plus massive des planètes comme seule planète, à savoir Jupiter dont la masse représente approximativement   de celle du Système solaire mais à laquelle on affecte une masse représentant la masse totale de tous les objets hors Soleil à savoir de   de la masse du Système solaire, le centre   de Jupiter étant approximativement situé à la distance de   du centre   du Soleil, le vecteur position du C.D.I.   de ces deux points, la position étant définie relativement à