Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Changement de référentiels

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     Les changements de référentiels apparaissent dans le domaine physique lors de l'étude du mouvement de points mais aussi lors de l'utilisation de champ vectoriel dépendant implicitement du temps ainsi que dans d'autres domaines dont la S.I., ceci étant la raison partielle pour laquelle ce chapitre est classé dans le leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », l'autre raison partielle étant l'aspect fortement mathématique des démonstrations.

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Position du problème

     Soit un 1^er référentiel d'espace $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ appelé « référentiel absolu » et un 2^ème référentiel d'espace $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ en mouvement relativement au précédent et appelé « référentiel d'entraînement », nous nous proposons d'étudier l'influence d'un changement de référentiel sur la variation de grandeurs vectorielles $\;{\vec {C}}()\;$ dépendant du temps $\;t\;$ selon $\;{\vec {C}}(t)$.

     Préliminaire : le temps $\;t\;$ étant absolu $\;{\big (}$c'est-à-dire indépendant du référentiel d'espace${\big )}$, la dérivée temporelle d'une grandeur scalaire $\;f()$, non spécifique d'un référentiel et dépendant du temps $\;t\;$ selon $\;f(t)$, reste invariante par changement de référentiel car la définition n'en dépend pas, en effet, que ce soit dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ ou $\;{\mathcal {R}}_{e}$, la dérivée temporelle se définit selon $\;{\dfrac {df}{dt}}(t)=\lim \limits _{\delta t\,\rightarrow \,0}{\dfrac {f(t+\delta t)-f(t)}{\delta t}}\;$ avec les valeurs $\;f(t+\delta t)\;$ ainsi que $\;f(t)\;$ indépendantes des référentiels de même que $\;\delta t\;\ldots$

     Préliminaire : le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ étant absolu $\;\color {transparent}{\big (}$c'est-à-dire indépendant du référentiel d'espace$\color {transparent}{\big )}$, par contre la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle $\;{\vec {C}}()\;$ et dépendant du temps $\;t\;$ selon $\;{\vec {C}}(t)$, dépend a priori du référentiel dans laquelle elle est effectuée comme sur l'exemple décrit ci-après : soit la grandeur « champ de pesanteur terrestre » $\;{\vec {g}}(M_{0})\;$ noté plus simplement $\;{\vec {g}}_{0}\;$ ;
     Préliminaire : le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ étant absolu $\;\color {transparent}{\big (}$c'est-à-dire indépendant du référentiel d'espace$\color {transparent}{\big )}$, par contre considérons tout d'abord comme 1^er référentiel $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ la Terre et le repère cartésien lui étant lié tel que le 3^ème vecteur de base soit vertical ascendant, dans ce référentiel la dérivée temporelle de $\;{\vec {g}}_{0}\;$ est nulle c'est-à-dire $\;\left[{\dfrac {d{\vec {g}}_{0}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}(t)={\vec {0}}$ ;
     Préliminaire : le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ étant absolu $\;\color {transparent}{\big (}$c'est-à-dire indépendant du référentiel d'espace$\color {transparent}{\big )}$, par contre considérons maintenant comme 2^ème référentiel $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ un référentiel tournant relativement à $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ à vitesse angulaire constante autour d'un axe horizontal et le repère cartésien lié à $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ tel que le 3^ème vecteur de base soit initialement vertical ascendant, dans ce référentiel la dérivée temporelle de $\;{\vec {g}}_{0}\;$ n'est plus nulle c'est-à-dire $\;\left[{\dfrac {d{\vec {g}}_{0}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}(t)\neq {\vec {0}}$, la composante suivant le 3^ème vecteur de base cartésienne variant sinusoïdalement avec une fréquence égale à la fréquence de rotation du référentiel $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ et une amplitude égale à $\;\Vert {\vec {g}}_{0}\Vert \;$.

     Nous nous intéressons donc à l'influence d'un changement de référentiels d'espace sur la dérivée temporelle de grandeur vectorielle $\;{\vec {C}}(t)\;$ connaissant le mouvement d'entraînement du référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ relativement au référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ en restreignant volontairement cette étude aux entraînements de translation et à ceux de rotation autour d'un axe fixe dans les deux référentiels,

     et pour commencer, nous étudierons l'influence sur les vecteurs vitesses d'un point ainsi que les vecteurs accélérations du même point.

Cas d'un entraînement de translation

Présentation du changement de référentiels lors d'un entraînement de translation

     Soit un référentiel d'espace $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ appelé « référentiel absolu » et un autre référentiel d'espace $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ en mouvement de translation relativement au précédent et appelé « référentiel d'entraînement » ;

     dans le cas d'un entraînement de translation on a les propriétés suivantes :

• « les vecteurs de base cartésienne du repère lié à $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ peuvent être identifiés aux vecteurs de base cartésienne du repère lié à $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$» car le 1^er étant en translation par rapport au 2^nd, toute direction de $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ garde la même direction dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ et
• « dériver par rapport au temps une grandeur vectorielle $\;{\vec {C}}(t)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ est équivalent à dériver par rapport au temps cette même grandeur vectorielle $\;{\vec {C}}(t)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$» la raison étant explicitée ci-dessous en repérage cartésien mais restant valable dans tout repérage dont le repérage intrinsèque :

     notant $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ la base cartésienne commune des repères liés à $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ et $\;{\mathcal {R}}_{a}$, le champ vectoriel $\;{\vec {C}}(t)\;$ a les mêmes composantes cartésiennes dans les deux repères associés aux deux référentiels soit $\;{\vec {C}}(t)=C_{x}(t)\;{\vec {u}}_{x}+C_{y}(t)\;{\vec {u}}_{y}+C_{z}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$ et « sa dérivation par rapport à $\;t\;$ revient à dériver uniquement ses composantes cartésiennes », les vecteurs de base cartésienne étant constants dans les deux repères $\;\ldots$

     D'après ce qui précède il est donc inutile de préciser dans quel référentiel la dérivée temporelle est effectuée puisque celle-ci est invariante par changement de référentiel soit

$\;\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)\;$ la valeur commune étant simplement notée $\;{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}(t)$.

Loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre

     Notant $\;O_{a}\;$ l'origine du repère associé à $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ et $\;O_{e}\;$ celle du repère associé à $\;{\mathcal {R}}_{e}$, on obtient, par loi de Chasles, le lien intrinsèque entre vecteurs positions d'un point mobile $\;M$,

«$\;{\overrightarrow {O_{a}M}}(t)={\overrightarrow {O_{a}O_{e}}}(t)+{\overrightarrow {O_{e}M}}(t)\;$» et,

     la dérivation temporelle, indépendante du repère dans lequel elle est effectuée, conduisant à

«$\;{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}M}}}{dt}}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}O_{e}}}}{dt}}(t)+{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M}}}{dt}}(t)\;$»,

     on en déduit, avec les définitions des vecteurs vitesses dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ de $\;M\;$ et de $\;O_{e}\;$ ainsi que celle du vecteur vitesse dans $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ de $\;M$, à savoir :

• «$\;{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}M}}}{dt}}(t)\;$ vecteur vitesse absolue de $\;M\;$ encore noté $\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)\;$»,
• «$\;{\vec {V}}_{O_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}O_{e}}}}{dt}}(t)\;$ vecteur vitesse absolue de $\;O_{e}\;$ encore noté $\;{\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)\;$» et
• «$\;{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{e}}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M}}}{dt}}(t)\;$ vecteur vitesse relative de $\;M\;$ encore noté $\;{\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$»,

     on en déduit, la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entrainement de translation «$\;{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)={\vec {V}}_{O_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)+{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{e}}(t)\;$» ou, noté plus simplement

«$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)+{\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$».

Loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre

     Dérivant par rapport à $\;t\;$ la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de translation «$\;{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)={\vec {V}}_{O_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)+{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{e}}(t)\;$» on obtient, dans la mesure où la dérivation temporelle est indépendante du référentiel dans lequel on effectue la dérivation lorsque les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre,

«$\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}}{dt}}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{O_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}}{dt}}(t)+{\dfrac {d{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{e}}}{dt}}(t)\;$»,

     on en déduit, avec les définitions des vecteurs accélérations dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ de $\;M\;$ et de $\;O_{e}\;$ ainsi que celle du vecteur accélération dans $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ de $\;M$, à savoir :

• «$\;{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}}{dt}}(t)\;$ vecteur accélération absolue de $\;M\;$ encore noté $\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)\;$»,
• «$\;{\vec {a}}_{O_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{O_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}}{dt}}(t)\;$ vecteur accélération absolue de $\;O_{e}\;$ encore noté $\;{\vec {a}}_{a,\,O_{e}}(t)\;$» et
• «$\;{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{e}}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{e}}}{dt}}(t)\;$ vecteur accélération relative de $\;M\;$ encore noté $\;{\vec {a}}_{r,\,M}(t)\;$»,

     on en déduit, la loi de composition des vecteurs accélérations lors d'un entrainement de translation «$\;{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)={\vec {a}}_{O_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)+{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{e}}(t)\;$» ou, noté plus simplement

«$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{a,\,O_{e}}(t)+{\vec {a}}_{r,\,M}(t)\;$».

Cas d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe

Présentation du changement de référentiels lors d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe

     Si le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ est en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{a}$, les vecteurs de base cartésienne du repère lié à $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ ne peuvent plus être identifiés aux vecteurs de base cartésienne du repère lié à $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ car, dans $\;{\mathcal {R}}_{a}$, les 1^ers tournent relativement aux 2^nds lesquels y sont fixes, ceci entraînant que « la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle $\;{\vec {C}}(t)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ est différente de celle de cette même grandeur vectorielle $\;{\vec {C}}(t)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$», la raison étant explicitée ci-dessous en repérage cartésien mais restant valable dans tout repérage dont le repérage intrinsèque :

     notant $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ la base cartésienne du repère lié à $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ et décomposant le champ vectoriel $\;{\vec {C}}(t)\;$ dans cette base liée à $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ soit «$\;{\vec {C}}(t)=$ $C_{x}(t)\;{\vec {u}}_{x}+C_{y}(t)\;{\vec {u}}_{y}+C_{z}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$»,
     « la dérivation par rapport à $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ revient à dériver temporellement uniquement ses composantes cartésiennes », les vecteurs de base cartésienne étant constants dans le repère lié à $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ soit «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)=$ ${\dfrac {dC_{x}}{dt}}(t)\;{\vec {u}}_{x}+{\dfrac {dC_{y}}{dt}}(t)\;{\vec {u}}_{y}+{\dfrac {dC_{z}}{dt}}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» alors que
     « la dérivation par rapport à $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ nécessite, en plus de la dérivation temporelle de ses composantes, de dériver temporellement les vecteurs de base du repère lié à $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$» non constants dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ soit «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\dfrac {dC_{x}}{dt}}(t)\,{\vec {u}}_{x}+{\dfrac {dC_{y}}{dt}}(t)\,{\vec {u}}_{y}+{\dfrac {dC_{z}}{dt}}(t)\,{\vec {u}}_{z}+C_{x}(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+C_{y}(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+C_{z}(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$»
     ce qui permet d'affirmer que «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)\neq \left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» $\ldots$

Loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où l'un des référentiels est en rotation autour d'un axe fixe de l'autre référentiel

Établissement de la loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu et en utilisant (partiellement) la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement

Schéma de situation d'un référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ en rotation autour d'un axe Δ fixe du référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ avec le vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}$, le 3^ème vecteur $\;{\vec {u}}_{z}\;$ de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ étant choisi sur Δ identique au 3^ème vecteur $\;{\vec {u}}_{z_{a}}\;$ de la base cartésienne du repère lié au référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}$

     Le référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ est en rotation autour d'un axe $\;\Delta \;$ fixe du référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}$, la rotation de $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ relativement à $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ se faisant avec le vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}\;$ ${\big [}$le plus souvent constant $\;{\big (}$c'est-à-dire correspondant à un entraînement de rotation uniforme${\big )}\;$ mais qui peut, sur certains exemples, dépendre de $\;t{\big ]}$ ;

     pour simplifier l'exposé nous avons choisi le 3^ème vecteur $\;{\vec {u}}_{z_{a}}\;$ de la base cartésienne du repère lié au référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ porté par l'axe $\;\Delta \;$ ainsi que le 3^ème vecteur $\;{\vec {u}}_{z}\;$ de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ égal au précédent à savoir «$\;{\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{z_{a}}\;$» ;

     notant $\;O_{a}\;$ l'origine du repère associé à $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ et $\;O_{e}\;$ celle du repère associé à $\;{\mathcal {R}}_{e}$, on obtient, par loi de Chasles, le lien intrinsèque entre vecteurs positions d'un point mobile $\;M$,

«$\;{\overrightarrow {O_{a}M}}(t)={\overrightarrow {O_{a}O_{e}}}(t)+{\overrightarrow {O_{e}M}}(t)\;$» et,

     effectuant la dérivation temporelle dans le repère lié au référentiel absolu pour définir dans le membre de gauche le vecteur vitesse absolue du point $\;M\;$ on obtient «$\;\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}O_{e}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;\;({\mathfrak {b}})\;$»,
     « le 1^er vecteur du membre de droite étant le vecteur vitesse absolue de l'origine $\;O_{e}\;$ du repère lié au référentiel d'entraînement soit $\;{\vec {V}}_{O_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)\;$ encore noté $\;{\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)\;$», il reste à analyser
     « le 2^ème vecteur $\;\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» et pour cela nous décomposons le vecteur position du point $\;M\;$ défini dans le référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ sur la base cartésienne de ce dernier soit «$\;{\overrightarrow {O_{e}M}}(t)=x(t)\;{\vec {u}}_{x}+y(t)\;{\vec {u}}_{y}+z(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» puis
           « le 2^ème vecteur $\;\color {transparent}{\left[\;d{\overrightarrow {O_{e}M}}\;\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» et pour cela nous effectuons la dérivation temporelle dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ et nous obtenons

«$\;\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\dot {x}}(t)\,{\vec {u}}_{x}+{\dot {y}}(t)\,{\vec {u}}_{y}+{\dot {z}}(t)\,{\vec {u}}_{z}+x(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+y(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+z(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» ;

           « le 2^ème vecteur $\;\color {transparent}{\left[\;d{\overrightarrow {O_{e}M}}\;\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» et pour cela nous y reconnaissons

• dans les trois 1^ers termes du 2^ème membre le vecteur vitesse relative du point $\;M\;$ dans la mesure où les vecteurs de base du repère lié au référentiel d'entraînement y sont supposé constants, c'est-à-dire «$\;{\dot {x}}(t)\,{\vec {u}}_{x}+{\dot {y}}(t)\,{\vec {u}}_{y}+{\dot {z}}(t)\,{\vec {u}}_{z}=$ $\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)={\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{e}}(t)\;$ encore noté $\;{\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» et,
• dans les trois derniers termes du 2^ème membre la dérivée temporelle du vecteur $\;{\overrightarrow {O_{e}M_{c,\,t}}}(t)\;$ effectuée dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ avec $\;M_{c,\,t}\;$ le point coïncident de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans la mesure où les composantes de $\;{\overrightarrow {O_{e}M}}\;$ dans la base cartésienne du repère lié à $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ y sont supposées constantes soit «$\;x(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+y(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+z(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M_{c,\,t}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=$ $\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}M_{c,\,t}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)-\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}O_{e}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=$ ${\vec {V}}_{M_{c,\,t}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)-{\vec {V}}_{O_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)\;$ encore noté $\;{\vec {V}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t)-{\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)\;$» ;

     finalement la relation $\;({\mathfrak {b}})\;$ se réécrit «$\;{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)={\vec {V}}_{O_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)+{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{e}}(t)+\left[{\vec {V}}_{M_{c,\,t}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)-{\vec {V}}_{O_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)\right]\;$» soit, après simplification,

     finalement « la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entrainement de rotation $\;{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)={\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{e}}(t)+{\vec {V}}_{M_{c,\,t}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)\;$» ou noté plus simplement

«$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {V}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t)\;$» ;

     dans le cas de $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ en rotation autour de l'axe $\;\Delta \;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}_{a}$, le mouvement absolu de $\;M_{c,\,t}\;$ étant un mouvement circulaire de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}$, on en déduit le vecteur vitesse absolue de $\;M_{c,\,t_{0}}\;$ par son expression intrinsèque

«$\;{\vec {V}}_{a,\,M_{c,\,t_{0}}}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM_{c,\,t_{0}}}}(t)$, avec $\;A\;$ point fixe quelconque de l'axe $\;\Delta \;$»,

     d'où le vecteur vitesse d'entraînement du point $\;M\;$ s'écrivant

«$\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\;$» ;

     la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation se réécrit donc sous la forme

«$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {V}}_{e,\,M}(t)\;$ avec $\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\;$».

Détermination des dérivées temporelles, dans le référentiel absolu, des vecteurs de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement

     On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation pour déterminer la dérivée temporelle de chaque vecteur de base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ à savoir «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$ ${\bigg \{}$respectivement $\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$ ou $\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t){\bigg \}}\;$» et pour cela
     on définit un « point $\;I\;$ fixe de $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ par $\;{\overrightarrow {O_{e}I}}={\vec {u}}_{x}\;$» que l'on dérive par rapport à $\;t\;$ dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ d'où
     «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}I}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=$ $\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}I}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)-\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}O_{e}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» par utilisation de la relation de Chasles simultanément à la linéarité de l'opérateur dérivation temporelle, soit encore
     «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {V}}_{a,\,I}(t)-{\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)={\vec {V}}_{e,\,I}(t)-{\vec {V}}_{e,\,O_{e}}(t)\;$» par utilisation de la loi de composition des vecteurs vitesses aux deux points fixes $\;I\;$ et $\;O_{e}\;$ de $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ et finalement
     avec l'expression de leurs vecteurs vitesses d'entraînement «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AI}}-{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AO_{e}}}\;$» suivie de
     avec la factorisation vectorielle à gauche par $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ et d'une nouvelle utilisation de la relation de Chasles «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\overrightarrow {AI}}-{\overrightarrow {AO_{e}}}\right]={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}I}}\;$» soit enfin,
     par définition du point $\;I$, la relation «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{x}\;$» «${\bigg \{}$respectivement $\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{y}\;$ ou $\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{z}\;$${\bigg \}}\;$».

     Remarque : il est aussi possible de déterminer «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$ ${\bigg \{}$respectivement $\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$ ou $\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t){\bigg \}}\;$» sans utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation ;
     Remarque : cet établissement est facilité avec le choix de $\;{\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{z_{a}}\;$ portés par l'axe $\;\Delta \;$ de rotation $\;{\big (}$voir figure ci-dessus${\big )}$, choix plaçant les deux 1^ers vecteurs de base cartésienne du repère lié à $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ dans un même plan $\;\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{z_{a}}\;$ que les deux 1^ers vecteurs de base cartésienne du repère lié à $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$, ce qui permet de définir l'angle instantané de rotation de $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ relativement à $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ «$\;\theta (t)=$ ${\widehat {\left({\vec {u}}_{x_{a}}\,,\,{\vec {u}}_{x}\right)}}(t)={\widehat {\left({\vec {u}}_{y_{a}}\,,\,{\vec {u}}_{y}\right)}}(t)\;$» et par suite le vecteur rotation instantanée de $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ par rapport à $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ «$\;{\vec {\Omega }}(t)={\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{z_{a}}\;$» ;
     Remarque : on peut alors en déduire «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{d\theta }}(\theta )\times {\dfrac {d\theta }{dt}}(t)\;$» dans lequel on peut affirmer «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{d\theta }}(\theta )={\vec {u}}_{y}\;$» d'où «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{y}\;$» soit enfin, comme «$\;{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{x}={\vec {u}}_{y}\;$», la réécriture de la dérivée cherchée selon «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{x}={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{x}\;$» C.Q.F.D. ;
     Remarque : on peut aussi écrire «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)$ $={\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{d\theta }}(\theta )\times {\dfrac {d\theta }{dt}}(t)\;$» dans lequel on peut affirmer «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{d\theta }}(\theta )=-{\vec {u}}_{x}\;$ d'où $\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=-{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{x}\;$» soit enfin, comme «$\;{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{y}=-{\vec {u}}_{x}\;$», la réécriture de la dérivée cherchée selon «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{y}={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{y}\;$» C.Q.F.D..

Autre façon d'établir la loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu par utilisation exclusive de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement

     Supposant l'évaluation directe des dérivées temporelles, dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}$, des vecteurs de base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ comme cela a été exposé dans le paragraphe « détermination des dérivées temporlles, dans le référentiel absolu, des vecteurs de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement (remarque) » plus haut dans ce chapitre $\;{\big (}$c'est-à-dire sans utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation${\big )}\;$ à savoir «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{x}$, $\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{y}\;$ et $\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{z}\;$» ;

     avec $\;O_{a}\;$ l'origine du repère associé à $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ et $\;O_{e}\;$ celle du repère associé à $\;{\mathcal {R}}_{e}$, on a obtenu, par loi de Chasles, le lien intrinsèque entre vecteurs positions d'un point mobile $\;M$, à savoir «$\;{\overrightarrow {O_{a}M}}(t)=$ ${\overrightarrow {O_{a}O_{e}}}(t)+{\overrightarrow {O_{e}M}}(t)\;$» et, après avoir effectué la dérivation temporelle dans le repère lié au référentiel absolu pour définir dans le membre de gauche le vecteur vitesse absolue du point $\;M\;$ cela a donné

«$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}O_{e}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)+\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» ;

     décomposant le vecteur position du point $\;M\;$ défini dans le référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ sur la base cartésienne de ce dernier soit «$\;{\overrightarrow {O_{e}M}}(t)=$ $x(t)\;{\vec {u}}_{x}+y(t)\;{\vec {u}}_{y}+z(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» puis effectuant la dérivation temporelle dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}$, nous obtenons

«$\;\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\dot {x}}(t)\,{\vec {u}}_{x}+{\dot {y}}(t)\,{\vec {u}}_{y}+{\dot {z}}(t)\,{\vec {u}}_{z}+x(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+y(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+z(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» ;

• on reconnaît dans les trois 1^ers termes du 2^ème membre le vecteur vitesse relative du point $\;M$, c'est-à-dire «$\;{\dot {x}}(t)\,{\vec {u}}_{x}+{\dot {y}}(t)\,{\vec {u}}_{y}+{\dot {z}}(t)\,{\vec {u}}_{z}={\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» et
• on reporte dans les trois derniers termes du 2^ème membre les expressions des dérivées temporelles des vecteurs de base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement, dérivation effectuée dans le référentiel absolu, c'est-à-dire «$\;x(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+y(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+z(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=$ $x(t)\left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{x}\right]+y(t)\left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{y}\right]+z(t)\left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{z}\right]={\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[x(t)\;{\vec {u}}_{x}+y(t)\;{\vec {u}}_{y}+z(t)\;{\vec {u}}_{z}\right]\;$» en factorisant vectoriellement à gauche par $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ soit encore «$\;x(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+y(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+z(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}M}}(t)\;$» ;

     finalement, en ajoutant les deux contributions de $\;\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$ à $\;{\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)$, on obtient «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)+{\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}M}}(t)\;$» dans lequel
     finalement, le vecteur vitesse absolue du point $\;O_{e}\;$ correspondant à un mouvement circulaire d'axe $\;\Delta$, de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ est donné par son expression intrinsèque «$\;{\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)=$ ${\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AO_{e}}}(t)\;$», son report conduisant à
     finalement, «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AO_{e}}}(t)+{\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}M}}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\overrightarrow {AO_{e}}}(t)+{\overrightarrow {O_{e}M}}(t)\right]\;$» en factorisant vectoriellement à gauche par $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ et, au final,
     finalement, par utilisation de la relation de Chasles

«$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\;$» dans lequel «$\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)={\vec {V}}_{e,\,M}(t)\;$ est le vecteur vitesse d'entraînement du point $\;M\;$»,
cette loi «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {V}}_{e,\,M}(t)\;$ constituant la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation ».

Loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où l'un des référentiels est en rotation autour d'un axe fixe de l'autre référentiel

Établissement intrinsèque de la loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où l'un des référentiels est en rotation autour d'un axe fixe de l'autre référentiel

     La méthode la plus rapide pour établir la loi de composition des vecteurs accélérations lors d'un entraînement de rotation consiste à dériver temporellement, dans le référentiel absolu, la loi de composition des vecteurs vitesses lors du même entraînement «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {V}}_{e,\,M}(t)\;$» dans laquelle «$\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)=$ ${\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)$, $\;A\;$ étant un point fixe quelconque de l'axe $\;\Delta \;$ de rotation » ;
     dérivant temporellement dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ on obtient

«$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{a,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» dans laquelle
« le 1^er membre est le vecteur accélération absolue du point $\;M\;$ à savoir $\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)\;$» ;

     aucun terme du 2^ème membre ne pouvant être défini sans transformation au préalable, on les étudie séparément :

• tout d'abord «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» peut être transformé en utilisant la loi de composition des vecteurs vitesses « après avoir posé $\;{\overrightarrow {O_{e}P}}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}P}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» ou,
  après utilisation de la relation de Chasles et de la linéarité de l'opérateur dérivation temporelle «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}P}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)-\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}O_{e}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» puis,
  par définition des vecteurs vitesses absolues des points $\;P\;$ et $\;O_{e}$, «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {V}}_{a,\,P}(t)-{\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)\;$» ensuite,
  par utilisation de la loi de composition des vecteurs vitesses appliquée aux points $\;P\;$ et $\;O_{e}\;$, «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\vec {V}}_{r,\,P}(t)+{\vec {V}}_{e,\,P}\right]-{\vec {V}}_{e,\,O_{e}}(t)\;$», enfin,
  en utilisant les expressions des vecteurs vitesses d'entraînement «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {V}}_{r,\,P}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AP}}(t)-{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AO_{e}}}(t)\;$» et
  en factorisant vectoriellement à gauche par $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$, «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {V}}_{r,\,P}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\overrightarrow {AP}}(t)-{\overrightarrow {AO_{e}}}(t)\right]=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}P}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}P}}(t)\;$» soit,
  en revenant à la définition du point $\;P$, «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» ou,
  en reconnaissant dans le 1^er terme du 2^ème membre le vecteur accélération relative du point $\;M$, l'expression définitive «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {a}}_{r,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» ;
• ensuite «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$ que l'on explicite en dérivant temporellement $\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$» ce qui donne,
  par dérivation d'un produit vectoriel, «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=$ $\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\dfrac {d{\overrightarrow {AM}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{a,\,M}(t)\;$» ;
  utilisant maintenant la loi de composition des vecteurs vitesses on en déduit «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {V}}_{e,\,M}(t)\right]\;$» ou,
  en utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle et en réinjectant l'expression du vecteur vitesse d'entraînement du point $\;M\;$ on obtient «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=$ $\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\right]+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» ;
  l'ensemble des deux 1^ers termes du 2^ème membre «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\right]\;$» ne dépendant que de la position du point $\;M\;$ et non de son mouvement relatif dans $\;{\mathcal {R}}_{e}$, il est assimilable, en tout ou pour partie, au « vecteur accélération d'entraînement $\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)\;$ du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$» lequel prend pour valeur $\;{\vec {a}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t)\;$ le vecteur accélération absolue du point $\;M_{c,\,t}\;$ coïncident de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ ; or le mouvement absolu du point coïncident $\;M_{c,\,t}\;$ étant un mouvement circulaire d'axe $\;\Delta \;$ et de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)$, son vecteur accélération absolue est donné par son expression intrinsèque «$\;{\vec {a}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t)=$ $\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM_{c,\,t}}}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {C_{M_{c,\,t}}M_{c,\,t}}}(t)\;$ avec $\;C_{M_{c,\,t}}\;$ le projeté de $\;M_{c,\,t}\;$ sur $\;\Delta \;$ ${\big (}$c'est-à-dire le centre du cercle décrit par $\;M_{c,\,t}\;$ dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}{\big )}\;$» ; on vérifie aisément que cet ensemble des deux termes «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\right]=\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {C_{M}M}}(t)\;$ prenant pour valeur $\;\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM_{c,\,t}}}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {C_{M_{c,\,t}}M_{c,\,t}}}(t)={\vec {a}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t)\;$» s'identifie au « vecteur accélération d'entraînement $\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)\;$» ;
  finalement «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {a}}_{e,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» ;

     ajoutant les deux transformations de «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» et de «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» pour obtenir «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{a,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {a}}_{a,\,M}(t)\;$» on aboutit à
     «$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)=$ $\left[{\vec {a}}_{r,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\right]+\left[{\vec {a}}_{e,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\right]={\vec {a}}_{r,\,M}(t)+{\vec {a}}_{e,\,M}(t)+2\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$»,
     « ce dernier vecteur accélération $\;2\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» étant appelé « vecteur accélération complémentaire ou de Coriolis du point $\;M\;$» et étant « noté $\;{\vec {a}}_{c,\,M}(t)\;$», c'est une composante spécifique d'un entraînement de rotation de $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ autour d'un axe fixe de $\;{\mathcal {R}}_{a}$ ;

     la loi de composition des vecteurs accélérations lors d'un entraînement de rotation se réécrit donc sous la forme

«$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{r,\,M}(t)+{\vec {a}}_{e,\,M}(t)+{\vec {a}}_{c,\,M}(t)\;$» avec
«$\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{\!{\cancel {{\mathcal {R}}_{a}}}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {C_{M}M}}(t)\;$» le vecteur accélération d'entraînement de $\;M$
dans lequel «$\;C_{M}\;$ est le projeté de $\;M\;$ sur $\;\Delta$, $\;A\;$ étant un point quelconque de $\;\Delta \;$» et
«$\;{\vec {a}}_{c,\,M}(t)=2\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» le vecteur accélération complémentaire ou de Coriolis du point $\;M$.

Établissement non intrinsèque de la loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où le référentiel d'entraînement est en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu, en utilisant la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement

     Si cette méthode non intrinsèque n'est pas la plus rapide, elle est néanmoins intéressante par le fait qu'elle n'est sujette à aucune embûche majeure $\;\ldots$

     Partant de la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {V}}_{e,\,M}(t)\;$» dans lequel le vecteur vitesse d'entraînement de $\;M\;$ s'écrit «$\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)=$ ${\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\;$» ou,
     par utilisation de la relation de Chasles et de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle «$\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}M}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AO_{e}}}(t)\;$» soit encore,
     en reconnaissant dans le dernier terme du 2^nd membre l'expression intrinsèque du vecteur vitesse absolue de l'origine $\;O_{e}\;$ du repère associé au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ soit «$\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AO_{e}}}(t)=$ ${\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)\;$», «$\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}M}}(t)+{\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)\;$»,
     cette dernière expression reportée dans la loi de composition des vecteurs vitesses permettant d'écrire la dite loi sous une forme ne faisant intervenir que le vecteur position relative du point $\;M\;$ et sa dérivée temporelle effectuée dans $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ à l'exception du 1^er terme soit

«$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)+\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}M}}(t)\;$» et

     cette dernière expression reportée dans la loi de composition des vecteurs vitesses permettant de l'exprimer, avec utilisation des vecteurs de base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}_{e}$, vecteurs que nous noterons $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {u}}_{x}={\vec {u}}_{1}\\{\vec {u}}_{y}={\vec {u}}_{2}\\{\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{3}\end{array}}\right\rbrace \;$ ainsi que les composantes du vecteur position relative du point $\;M\;$ que nous noterons $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x(t)=x_{1}(t)\\y(t)=x_{2}(t()\\z(t)=x_{3}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$ dans le but de simplifier l'exposé, selon

«$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\dot {x}}_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}x_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}\right]\;$» ;

     effectuant la dérivation temporelle de la relation ci-dessus dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}$, nous obtenons

«$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{a,\,O_{e}}(t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\ddot {x}}_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\dot {x}}_{i}(t)\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{i}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}x_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}\right]+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\dot {x}}_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}\right]+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}x_{i}(t)\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{i}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\right\rbrace \;$» soit,

     en reportant «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{i}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{i}\;$», la réécriture du vecteur accélération absolue du point $\;M\;$ selon

«$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{a,\,O_{e}}(t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\ddot {x}}_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\dot {x}}_{i}(t)\;\left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{i}\right]+{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}x_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}\right]+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\dot {x}}_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}\right]+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}x_{i}(t)\;\left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{i}\right]\right\rbrace \;$» ou,

     grâce à la factorisation vectorielle à gauche par $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$

«$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{a,\,O_{e}}(t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\ddot {x}}_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\dot {x}}_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}\right]+{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}x_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}\right]+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\dot {x}}_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}\right]+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left\lbrace {\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}x_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}\right]\right\rbrace \;$» et,

     en reconnaissant les grandeurs relatives suivantes «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\ddot {x}}_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}={\vec {a}}_{r,\,M}(t)\;$», «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\dot {x}}_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}={\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» et «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}x_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}={\overrightarrow {O_{e}M}}(t)\;$»,

«$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{a,\,O_{e}}(t)+{\vec {a}}_{r,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}M}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}M}}(t)\right]\;$» soit encore,

     en utilisant une forme de l'expression intrinsèque du vecteur accélération absolue du point $\;O_{e}\;$ en mouvement circulaire autour de l'axe $\;\Delta \;$ de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ à savoir «$\;{\vec {a}}_{a,\,O_{e}}(t)=$ ${\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AO_{e}}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AO_{e}}}(t)\right]\;$» et en regroupant les termes identiques ou semblables

«$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{r,\,M}(t)+2\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)+\left\lbrace {\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AO_{e}}}(t)+{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}M}}(t)\right\rbrace +\left\lbrace {\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AO_{e}}}(t)\right]+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}M}}(t)\right]\right\rbrace \;$» soit finalement,

     en factorisant vectoriellement à gauche par $\;{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\;$ dans la 1^ère expression entre accolades du 2^nd membre suivi de l'utilisation de la relation de Chasles et
     en factorisant vectoriellement à gauche par le 1^er puis le 2^nd $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ dans la 2^ème expression entre accolades du 2^nd membre suivi de l'utilisation de la relation de Chasles

«$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{r,\,M}(t)+2\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\right]\;$» ;

     le dernier terme de la relation ci-dessus pouvant être réécrit en utilisant une formule du double produit vectoriel selon «$\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\right]=-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {C_{M}M}}(t)\;$» avec «$\;C_{M}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur l'axe $\;\Delta \;$» c'est-à-dire que l'on reconnaît dans les deux termes «$\;{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\right]={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {C_{M}M}}(t)\;$ le vecteur accélération d'entraînement $\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)\;$ du point $\;M\;$» ;

     finalement on obtient pour « loi de composition des vecteurs accélérations lors d'un entraînement de rotation »

«$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{r,\,M}(t)+{\vec {a}}_{C,\,M}(t)+{\vec {a}}_{e,\,M}(t)\;$» avec
le vecteur accélération complémentaire ou de Coriolis du point $\;M\;$ égal à «$\;{\vec {a}}_{c,\,M}(t)=2\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» et
le vecteur accélération d'entraînement du point $\;M\;$ égal à «$\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {C_{M}M}}(t)\;$» dans lequel
$\;A\;$ est un point fixe de $\;\Delta \;$ et $\;C_{M}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur l'axe $\;\Delta$.

Cas particulier très fréquent : entraînement de rotation uniforme du référentiel d'entraînement autour d'un axe fixe du référentiel absolu

     Dans le cas $\;{\big (}$très fréquent${\big )}\;$ où la rotation d'entraînement est uniforme c'est-à-dire telle que le vecteur rotation instantanée est un vecteur constant noté $\;{\vec {\Omega }}_{0}$, « la loi de composition des accélérations lors d'un entraînement de rotation uniforme » se réécrit donc sous la forme

«$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{r,\,M}(t)+{\vec {a}}_{e,\,M}(t)+{\vec {a}}_{C,\,M}(t)\;$» avec
«$\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)=-{\vec {\Omega }}_{0}^{2}\;{\overrightarrow {C_{M}M}}(t)\;$ le vecteur accélération d'entraînement de $\;M\;$» dans lequel $\;C_{M}\;$ est le projeté de $\;M\;$ sur $\;\Delta \;$ et
«$\;{\vec {a}}_{C,\,M}(t)=2\;{\vec {\Omega }}_{0}\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$ le vecteur accélération complémentaire ou de Coriolis du point $\;M\;$».

Changement de référentiel de définition de la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle, formule de Bour

Position du problème

     Considérant un 1^er référentiel d'espace $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ appelé « référentiel absolu » et un 2^ème référentiel d'espace $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ en mouvement relativement au précédent et appelé « référentiel d'entraînement », nous nous proposons d'étudier l'influence d'un changement de référentiel sur la variation de grandeurs vectorielles $\;{\vec {C}}()\;$ dépendant du temps $\;t\;$ selon $\;{\vec {C}}(t)$, c'est-à-dire de trouver le lien existant entre la dérivée temporelle de $\;{\vec {C}}(t)\;$ effectuée dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ et celle effectuée dans $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ connaissant le mouvement d'entraînement de $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{a}$, $\;{\big [}$toutefois nous nous limiterons, dans l'exposé, au cas où cet entraînement est une rotation autour d'un axe $\;\Delta \;$ fixe dans les deux référentiels avec le vecteur rotation instantanée ${\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)\;$${\big ]}$.

Formule de Bour

Énoncé de la formule de Bour

Début d’un théorème

Formule de Bour

     Soient une grandeur vectorielle dépendant du temps $\;{\vec {C}}(t)\;$ et
     Soient deux référentiels en mouvement l'un par rapport à l'autre, plus précisément
     Soient un référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ en mouvement de rotation autour d'un axe $\;\Delta \;$ fixe dans un référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ avec le vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)$,
     le lien existant entre la dérivée temporelle de $\;{\vec {C}}(t)\;$ effectuée dans $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ à savoir $\;\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)\;$ et celle effectuée dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ à savoir $\;\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$ est donné par la formule de Bour : «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)+{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\vec {C}}(t)\;$».

Fin du théorème

Démonstration dans le cas d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe dans les deux référentiels

     On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation pour déterminer la dérivée temporelle de la grandeur vectorielle $\;{\vec {C}}(t)\;$ dans le référentiel absolu $\;\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$ et
     pour cela on définit un point $\;P\;$ par son vecteur position dans le référentiel d'entraînement «$\;{\overrightarrow {O_{e}P}}(t)={\vec {C}}(t)\;$» que l'on dérive par rapport à $\;t\;$ dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ d'où
     «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}P}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}P}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)-\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}O_{e}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» par utilisation de la relation de Chasles simultanément à la linéarité de l'opérateur dérivation temporelle, soit encore
     «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {V}}_{a,\,P}(t)-{\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)\;$» ou, en utilisant la loi de composition des vecteurs vitesses aux points $\;P\;$ et $\;O_{e}\;$ «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {V}}_{r,\,P}(t)+{\vec {V}}_{e,\,P}(t)-{\vec {V}}_{e,\,O_{e}}(t)\;$» et finalement
     «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}P}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)+{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AP}}-{\vec {\Omega }}(t)_{{\mathcal {R}}_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AO_{e}}}\;$» en utilisant l'expression des vecteurs vitesses d'entraînement des points $\;P\;$ et $\;O_{e}\;$ puis,
     «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}P}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)+{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge \left[{\overrightarrow {AP}}-{\overrightarrow {AO_{e}}}\right]\;$» après factorisation vectorielle à gauche par $\;{\vec {\Omega }}(t)_{{\mathcal {R}}_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$ dans les deux derniers termes, suivi de
     «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}P}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)+{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}P}}\;$» après une nouvelle utilisation de la relation de Chasles soit enfin,
     par définition du point $\;P$, la relation «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=$ $\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)+{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\vec {C}}(t)\;$» C.Q.F.D..

     Remarques : on peut utiliser la formule de Bour à l'évaluation de la dérivée temporelle des vecteurs de base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ en mouvement de rotation de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ autour d'un axe $\;\Delta \;$ fixe dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}$, on obtient alors

«$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\cancel {\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)\;+}}\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{x}\;$»
${\bigg \{}$respectivement «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\cancel {\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)\;+}}\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{y}\;$» et
s'il est nécessaire d'évaluer la dernière dérivée parce qu'elle n'est pas nulle
«$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\cancel {\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)\;+}}\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{z}\;$»${\bigg \}}\;$.

     Remarques : L'application de la formule de Bour au vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ d'entraînement de rotation de $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ autour de l'axe $\;\Delta \;$ fixe de $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ nous conduit à

«$\;\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)\;{\cancel {+\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {\Omega }}(t)}}\;$» vérifiant qu'il est inutile de préciser le référentiel dans lequel est effectuée la dérivation temporelle.

     Remarques : Enfin pour terminer, dans la mesure où la formule de Bour a été démontrée par utilisation de la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe dans les deux référentiels, il ne faut pas l'utiliser pour établir cette dernière.