Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Quantité de mouvement

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Quantité de mouvement d'un point matériel, lien avec son vecteur vitesse modifier

Bien que nous devrions parler de « vecteur quantité de mouvement », l'usage suggère de dire simplement « quantité de mouvement ».

1ère grandeur d'inertie d'un point matériel, la masse du point matériel modifier

     La 1ère grandeur d'inertie [1] d'un point matériel est « sa masse » notée  , grandeur scalaire   et exprimée en   ;
     cette grandeur dépend de la nature et de la quantité de matière de l'objet modélisé par le point [2].

     Signification physique : Deux points distincts qui ont le même mouvement mais des masses différentes ne doivent pas être considérés comme équivalents du point de vue de la mécanique car ils n'ont pas les mêmes « réserves », il est en effet « plus difficile de dévier le point ayant la plus grande masse » [3] ;

     Signification physique : on en déduit la nécessité d'introduire, pour caractériser ces comportements différents du point, des grandeurs « cinétiques associées au point » [4] et qui décrivent simultanément le « mouvement » [5] et l'« inertie » [6].

     La masse « d'inertie » caractérise le point et « garde la même valeur par changement de référentiel », on dit que « la masse inerte est invariante par changement de référentiel » [7].

1ère grandeur cinétique d'un point matériel, le (vecteur) quantité de mouvement du point matériel modifier

     Le  vecteur  quantité de mouvement du point matériel   est usuellement noté    ou   sans rappeler l'instant de définition ou encore   quand il n'y a pas d'ambiguïté sur le point , il est défini dans le référentiel d'étude cinématique où le point possède, à l'instant  , un vecteur vitesse  .

Définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique newtonienne modifier

     En cinétique newtonienne  c.-à-d. si le point   étudié est de vecteur vitesse   de norme petite relativement à  , la vitesse de la lumière dans le vide, soit   ou, en pratique et approximativement,   en travaillant à   près [8] , le  vecteur  quantité de mouvement du point matériel   de masse  inerte    et de vecteur vitesse   à l'instant   dans le référentiel d'étude, est la grandeur vectorielle

« » ;

     En cinétique newtonienne on peut donc dire que cette grandeur traduit une « réserve de mouvement inertiel » [9] dans la mesure où elle tient compte de l'inertie d'une part  elle est   à la masse d'inertie du point  et du mouvement d'autre part  elle est   au vecteur vitesse du point c.-à-d. qu'elle a la même direction, le même sens  le cœfficient de proportionnalité étant   et que sa norme est   à celle du vecteur vitesse du point .

     Le  vecteur  quantité de mouvement de   dépend, comme son vecteur vitesse, du référentiel d'étude [10] ;
     ses composantes  et sa norme  s'expriment en   ;

     en cinétique newtonienne, cette grandeur cinétique vectorielle « quantité de mouvement » est liée à la grandeur cinématique vectorielle « vitesse » et à la grandeur d'inertie scalaire « masse » selon

« ».

Définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste modifier

     Préliminaire : La définition dans le cadre de la cinétique relativiste n'est pas explicitement au programme de physique de PCSI, toutefois cette notion apparaissant, sous forme d'approche documentaire, dans l'étude du mouvement d'une particule chargée dans un champ électrique ou magnétique [11], il semble utile la connaître.

     Exposé : Si la cinétique newtonienne ne s'applique pas  c.-à-d. si le point   étudié est de vecteur vitesse   de norme non petite relativement à  , la vitesse de la lumière dans le vide, soit   ou, en pratique et approximativement,   en travaillant à   près [12] , on définit, dans le cadre de la cinétique relativiste, le  vecteur  quantité de mouvement du point matériel   de masse  inerte    et de vecteur vitesse   à l'instant   dans le référentiel d'étude  , comme la grandeur vectorielle

« » dans laquelle « »
est appelé « facteur de Lorentz » [13] du point   dans son mouvement dans le référentiel   ;

     Exposé : en cinétique relativiste, la grandeur cinétique vectorielle « quantité de mouvement » peut toujours être considérée
     Exposé : en cinétique relativiste, comme le produit de la grandeur cinématique vectorielle « vitesse » par une grandeur d'inertie scalaire « » nommée « masse apparente » mais
     Exposé : en cinétique relativiste, la « masse apparente » est non invariante par changement de référentiel [14] en effet «  quand  » [15],
     Exposé : en cinétique relativiste, la masse apparente devenant   quand  , vitesse de la lumière dans le vide [16].

     Établissement de la condition de vitesse pour que la cinétique newtonienne soit applicable [17] : si la particule est non relativiste c.-à-d. si  ,
     Établissement de la condition de vitesse on peut alors définir   comme infiniment petit d'ordre un [18] et
     Établissement de la condition de vitesse on peut développer le facteur de Lorentz [13]   relativement à cet infiniment petit soit
     Établissement de la condition de vitesse on peut   à l'ordre un en  [19] ou à l'ordre deux en   ou encore
     Établissement de la condition de vitesse on peut «  à l'ordre deux en l'infiniment petit d'ordre un  » d'où
     Établissement de la condition de vitesse on peut «  à   près si  » soit finalement si « ».

     Établissement de la condition de vitesse En conclusion :  « si  » ou, en introduisant la notion relativiste de vitesse relative définie selon  [20]
     Établissement de la condition de vitesse En conclusion :  « si  » la cinétique newtonienne est applicable à moins de près d'où « »,

     Établissement de la condition de vitesse En conclusion :  « si  » ou, en introduisant la notion relativiste de vitesse relative définie selon  [20]
     Établissement de la condition de vitesse En conclusion :  « si  » la cinétique relativiste doit être utilisée [21] d'où « » [22] avec
          Établissement de la condition de vitesse En conclusion :  « si  » la cinétique relativiste doit être utilisée «  vecteur unitaire tangentiel à la trajectoire »,
          Établissement de la condition de vitesse En conclusion :  « si  » la cinétique relativiste doit être utilisée «  la norme de la vitesse » et
          Établissement de la condition de vitesse En conclusion :  « si  » la cinétique relativiste doit être utilisée «  le facteur de Lorentz [13] s'écrivant avec la vitesse relative  [20]
          Établissement de la condition de vitesse En conclusion :  « si  » la cinétique relativiste doit être utilisée selon   toujours  [23] ».

     Cinétique ultra relativiste c.-à-d. quand la norme du vecteur vitesse   est voisine de sa valeur maximale    ou quand sa vitesse relative   est voisine de   :
     Cinétique ultra relativiste la notion de vitesse instantanée n'a plus réellement de sens car une   notable de   entraîne une   infime de  [24] et par suite
     Cinétique ultra relativiste la   notable de   ne peut se manifester que par une   importante de la masse apparente  c.-à-d. de l'inertie  ;

     Cinétique ultra relativiste vérifions cela quantitativement en posant « » [25] avec «  définissant un infiniment petit d'ordre un [18] » et
     Cinétique ultra relativiste exprimons le facteur de Lorentz [13]   en fonction de   soit   ou,
            Cinétique ultra relativiste exprimons le facteur de Lorentz en prenant le D.L. [26] de   à l'ordre un en  , « » [27] dont on déduit
            Cinétique ultra relativiste exprimons le facteur de Lorentz « »   « » c._à_d. un infiniment grand et par suite
            Cinétique ultra relativiste exprimons le facteur de Lorentz la masse apparente définie selon «  devient  » c._à_d. également un infiniment grand ;
     Cinétique ultra relativiste on en déduit « » [28] soit finalement
     Cinétique ultra relativiste on en déduit « » avec « »  «  étant le D.L. [26] de  » [29] .

Résultante cinétique d'un système de points matériels, définition modifier

Le programme de physique de PCSI parle de « quantité de mouvement » d'un système de points matériels au lieu de « résultante cinétique » [30].

Masse d'un système de points matériels (définie comme 1ère grandeur d'inertie associée au système) modifier

     La masse   d'un système de points matériels   est définie comme la somme des masses des points matériels le constituant c.-à-d. « » ;

     si le système est fermé, c.-à-d. si  , sa masse est constante ;

     si le système est ouvert, étant défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle  ,   pouvant varier, il en est de même de la masse du système :
     si le système est ouvert,    s'il y a entrée de points matériels à l'intérieur de  ,
     si le système est ouvert,    s'il y a sortie de points matériels à l'intérieur de   et
     si le système est ouvert,    restant constante s'il y a écoulement stationnaire à travers  , la masse des points entrant étant égale à la masse des points sortant pendant la même durée [31].

     Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière   limité par la surface  [32], la masse d'un système fermé reste conservée mais
           Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière   limité par la surface   la masse d'un système ouvert   varie comme celle d'un système discret de points matériels ouvert :
           Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière   limité par la surface   la masse d'un système ouvert    s'il y a globalement entrée de matière à l'intérieur de  ,
           Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière   limité par la surface   la masse d'un système ouvert    s'il y a globalement sortie de matière de l'intérieur de   et
           Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière   limité par la surface   la masse d'un système ouvert    pour des entrées de matière à l'intérieur de  
           Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière   limité par la surface   la masse d'un système ouvert    pour globalement compensées par
           Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière   limité par la surface   la masse d'un système ouvert    pour des sorties de matière de l'intérieur de   ;

           Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière   limité par la surface   la masse d'un système continu de matière fermé limité par la surface   est définie par
           Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière   limité par la surface   la masse d'un système continu de matière fermé « » [33] avec « 
           Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière   limité par la surface   la masse d'un système continu de matière fermé la masse volumique au point   et à l'instant  » [34] ;

           Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière   limité par la surface   un système continu de matière fermé indéformable  c.-à-d. un solide , a une masse se définissant selon
           Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière   limité par la surface   un système continu de matière fermé indéformable « » [33] avec « 
           Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière   limité par la surface   un système continu de matière fermé indéformable la masse volumique au point   ne dépendant pas de  
           Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière   limité par la surface   un système continu de matière fermé indéformable et la surface   limitant le système non plus ;

           Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière   limité par la surface   la masse d'un système continu de matière ouvert de surface de contrôle   est définie, à l'instant   par
           Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière   limité par la surface   la masse d'un système continu de matière ouvert « » [33] avec « 
           Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière   limité par la surface   la masse d'un système continu de matière ouvert la masse volumique au point   et à l'instant  » [35].

     Remarque : Les systèmes continus de matière étudiés ci-dessus étaient d'expansion tridimensionnelle mais ils peuvent aussi être d'expansion bidimensionnelle  c.-à-d. surfacique  ou
     Remarque : Les systèmes continus de matière étudiés ci-dessus étaient d'expansion tridimensionnelle mais ils peuvent aussi être d'expansion unidimensionnelle  c.-à-d. curviligne  ;

     Remarque : un système continu de matière d'expansion bidimensionnelle   limité par la courbe  [36] a une masse   définie par « » [37] avec « 
           Remarque : un système continu de matière d'expansion bidimensionnelle   limité par la courbe   a une masse   définie par la masse surfacique au point   et à l'instant  » [38] ;

     Remarque : un système continu de matière d'expansion unidimensionnelle   limité par les points  [39] a une masse   définie par « » [40] avec « 
           Remarque : un système continu de matière d'expansion unidimensionnelle   limité par les points   a une masse   définie par la masse linéique au point   et à l'instant  » [41].

Définition de la résultante cinétique d'un système de points matériels, 1ère grandeur cinétique associée au système modifier

     La résultante cinétique   d'un système de points matériels   en mouvement dans le référentiel  , chaque point   étant de quantité de mouvement   à l'instant  
     La résultante cinétique   est définie, à cet instant  , par la somme des quantités de mouvement au même instant   des points matériels le constituant c.-à-d.
     La résultante cinétique   est définie, à cet instant  , par « » applicable en cinétiques newtonienne ou relativiste ;
     La résultante cinétique   en cinétique newtonienne la résultante cinétique se réécrit « » avec
     La résultante cinétique   en cinétique newtonienne la résultante cinétique se réécrit «  le vecteur vitesse du point   à l'instant   dans le référentiel  » ;
     La résultante cinétique   en cinétique relativiste la résultante cinétique se réécrit « » [42] avec
     La résultante cinétique   en cinétique relativiste la résultante cinétique se réécrit «  le vecteur vitesse du point   à l'instant   dans le référentiel  » et
     La résultante cinétique   en cinétique relativiste la résultante cinétique se réécrit «  le facteur de Lorentz du point   à l'instant   dans le référentiel  » ;

     La résultante cinétique   si le système est fermé, c.-à-d. si  , sa résultante cinétique ne dépend que la modification du mouvement des points le constituant ;

     La résultante cinétique   si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle  ,   pouvant varier,
     La résultante cinétique   si le système est ouvert, sa résultante cinétique peut varier :  par entrée ou sortie de la quantité de mouvement des points matériels entrant ou sortant et  ou 
     La résultante cinétique   si le système est ouvert, sa résultante cinétique peut varier :  par modification de la quantité de mouvement des points initialement présents.

     Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière   limité par la surface  [32], la résultante cinétique   peut varier comme celle d'un système discret de points matériels :

     Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière   la résultante cinétique d'un système fermé limité par la surface   est définie par « » [33] avec
     Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière   la résultante cinétique d'un système «  la quantité de mouvement volumique en  , à l'instant  » [43], [44] ;
     Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière   un système continu de matière fermé indéformable  c.-à-d. un solide , a une résultante cinétique se définissant selon
     Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière   un système continu de matière fermé indéformable « » [33] avec « 
                           Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière   un système continu de matière fermé indéformable la quantité de mouvement volumique en  , à l'instant  »,
                           Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière   un système continu de matière fermé indéformable la surface   limitant   ne dépendant pas de   ainsi que
                           Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière   un système continu de matière fermé indéformable la masse volumique au point   notée  [45] ;

     Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière   la résultante cinétique d'un système ouvert de surface de contrôle   est définie, à l'instant   par
     Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière   la résultante cinétique d'un système ouvert « » [33] avec « 
     Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière   la résultante cinétique d'un système ouvert la quantité de mouvement volumique au point   et à l'instant  » [46], [47].

     Remarque : Les systèmes continus de matière étudiés ci-dessus étaient d'expansion tridimensionnelle mais ils peuvent aussi être d'expansion bidimensionnelle  c.-à-d. surfacique  ou
     Remarque : Les systèmes continus de matière étudiés ci-dessus étaient d'expansion tridimensionnelle mais ils peuvent aussi être d'expansion unidimensionnelle  c.-à-d. curviligne  ;

     Remarque : un système continu de matière d'expansion bidimensionnelle   limité par la courbe  [36] est de résultante cinétique   telle que « » [37], [48]
           Remarque : un système continu de matière d'expansion bidimensionnelle   limité par la courbe   avec «  la quantité de mouvement surfacique en  , à  » [49] ;

     Remarque : un système continu de matière d'expansion unidimensionnelle   limité par  [39] est de résultante cinétique   telle que « » [40], [50]
           Remarque : un système continu de matière d'expansion unidimensionnelle   limité par   avec «  la quantité de mouvement linéique en  , à  » [51].

Lien entre la résultante cinétique et le vecteur vitesse du centre d'inertie d'un système de points matériels fermé modifier

Le programme de physique de PCSI n'exige la démonstration de ce lien que pour un système de deux points matériels, mais
celle-ci n'étant pas plus compliquée pour un système de   points avec  , nous n'utiliserons pas cette restriction.

Énoncé du lien entre résultante cinétique et vecteur vitesse du centre d'inertie d'un système de points matériels fermé modifier

     Dans le cadre de la cinétique newtonienne, la résultante cinétique d'un système de points matériels fermé définie à l'instant   dans le référentiel  
     Dans le cadre de la cinétique newtonienne, la résultante cinétique est liée au vecteur vitesse du C.D.I. [52] du système au même instant   dans le même référentiel  
     Dans le cadre de la cinétique newtonienne, la résultante cinétique par « » [53], [54].

Démonstration modifier

       étant un point fixe du référentiel d'étude  , le vecteur position du C.D.I. [52]   du système de points matériels fermé  
              étant un point fixe du référentiel d'étude  , le vecteur position du C.D.I.   est tel que « » [55] ;

       étant un point fixe du référentiel d'étude  , dérivant cette relation par rapport à   et compte-tenu de la linéarité de l'opération dérivation
       étant un point fixe du référentiel d'étude  , dérivant cette relation par rapport à   on obtient « » [56] ou, en utilisant la définition des vecteurs vitesse,
       étant un point fixe du référentiel d'étude  , dérivant cette relation par rapport à   on obtient « »,
       étant un point fixe du référentiel d'étude  , dérivant cette relation par rapport à   on obtient le 2ème membre définissant la résultante cinétique   du système de points matériels fermé
       étant un point fixe du référentiel d'étude  , dérivant cette relation par rapport à   on obtient le 2ème membre définissant en cinétique newtonienne, la propriété énoncée est donc démontrée.

     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable  c.-à-d. un solide , le vecteur position du C.D.I. [52]   du système   d'expansion tridimensionnelle  
            Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable  c.-à-d. un solide , le vecteur position du C.D.I. est tel que « » [33], [57], [58] ;

     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à   et compte-tenu de la linéarité de l'opération dérivation [59]
     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à   on obtient « » [33], [60] ou,
     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à   en utilisant la définition des vecteurs vitesse,
     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à   on obtient « » [33], le 2ème membre étant
     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à   on obtient la résultante cinétique   du système continu de matière fermé et
     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à   on obtient la résultante cinétique   indéformable en cinétique newtonienne ;

     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable  c.-à-d. un solide , le vecteur position du C.D.I. [52]   du système bidimensionnel   de surface  
            Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable  c.-à-d. un solide , le vecteur position du C.D.I. est tel que « » [37], [61], [62] ;

     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à   et compte-tenu de la linéarité de l'opération dérivation [59]
     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à   on obtient « » [37], [63] ou,
     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à   en utilisant la définition des vecteurs vitesse,
     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à   on obtient « » [37], le 2ème membre étant
     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à   on obtient la résultante cinétique   du système continu de matière fermé et
     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à   on obtient la résultante cinétique   indéformable en cinétique newtonienne ;

     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable  c.-à-d. un solide , le vecteur position du C.D.I. [52]   du système unidimensionnel   de courbe  
            Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable  c.-à-d. un solide , le vecteur position du C.D.I. est tel que « » [40], [64], [65] ;

     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à   et compte-tenu de la linéarité de l'opération dérivation [59]
     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à   on obtient « » [40], [66] ou,
     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à   en utilisant la définition des vecteurs vitesse,
     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à   on obtient « » [40], le 2ème membre étant
     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à   on obtient la résultante cinétique   du système continu de matière fermé et
     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à   on obtient la résultante cinétique   indéformable en cinétique newtonienne ;

     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable conclusion : la résultante cinétique   du système continu de matière   fermé et indéformable s'écrit,
     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable conclusion : à l'instant   et dans le référentiel  , selon « » en cinétique newtonienne.

Notes et références modifier

  1. Les grandeurs d'inertie d'un point étant des grandeurs caractérisant le point dans sa possibilité de s'opposer à son mouvement, plus une grandeur d'inertie sera grande, plus le mouvement du point sera difficile à modifier.
  2. Bien que la notion de quantité de matière nécessite une certaine étendue de l'objet de façon à pouvoir dénombrer  en théorie  les entités le constituant, cela n'interdit pas que ce dernier soit modélisé par un point dans une étude particulière, en effet la modélisation est considérée comme possible si la taille de l'objet est petite relativement aux autres longueurs intervenant dans le problème, par exemple la Terre peut être assimilée à un point matériel si on étudie son déplacement dans le système solaire.
  3. La difficulté de modifier le mouvement d'un point définit son « inertie », plus c'est difficile pour un mouvement donné plus l'inertie du point est grande ;
       on peut d'ailleurs ajouter le qualificatif « inerte » ou « d'inertie » à cette grandeur « masse » pour la distinguer d'une autre grandeur également appelée « masse » mais qui caractérise le point dans ses propriétés d'attraction gravitationnelle et pour laquelle on ajoute alors le qualificatif « grave » ou « de gravitation » ;
       bien que la « masse grave » et la « masse inerte » caractérisent des propriétés différentes d'un point, elles ont  à l'heure actuelle  des mesures identiques à   près  on a en effet vérifié à   près le fait que l'accélération de chute libre dans un champ de pesanteur uniforme est indépendant de la nature de l'objet, ceci entraînant que le rapport « masse grave » sur « masse inerte » est une constante pour tous les objets à   près, il est alors possible, par choix d'unités, de choisir cette constante égale à   et d'identifier les deux masses  ;
       des mesures plus poussées ont été prévues  placement en orbite héliosynchrone le   du satellite français « Microscope »  acronyme de Micro-satellite à traînée compensée pour l'observation du principe d'équivalence  pour une mission financée et pilotée par le CNES  Centre national d'études spatiales  dans le but de confirmer ou d'infirmer l'identité des mesures à   près  en décembre   de 1ers résultats intermédiaires suggèrent une identité des mesures à au moins   près   ;
       l'identité des masses « grave » et « inerte », connue sous le nom de « principe d'équivalence » est un des piliers de la théorie de la Relativité Générale énoncée par Albert Einstein en    Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en   puis suisse en   ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en  , la relativité générale en   ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en   pour son explication de l'effet photoélectrique 
  4. Vous en connaissez déjà une « l'énergie cinétique » vue dans les paragraphes « énergie cinétique, conséquence de l'existence d'un mouvement » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » et « analogie électromécanique en termes de puissance et d'énergie entre le pendule élastique vertical amorti lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant » du chap.  de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » concernant l'oscillateur harmonique  amorti ou non .
  5. Mouvement défini grâce à une grandeur cinématique comme « le vecteur-vitesse », sa norme intervenant effectivement dans la définition de la grandeur cinétique déjà vue l'« énergie cinétique ».
  6. Inertie définie grâce à une grandeur d'inertie comme « la masse  inerte » qui intervient effectivement dans la définition de la grandeur cinétique déjà vue l'« énergie cinétique ».
  7. Cela reste vrai en cinétique relativiste  contrairement à ce qu'on entend parfois disant que la masse   avec la vitesse mais ceci est faux, la masse dépend de la quantité de matière et celle-ci reste la même quel que soit le référentiel choisi .
  8. Plus précisément   pour que l'erreur commise en utilisant la cinétique newtonienne au lieu de la cinétique relativiste soit inférieure à  , justification au paragraphe « définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste » plus loin de ce chapitre.
  9. C'est encore le cas en cinétique relativiste avec une dépendance au mouvement différente.
  10. La dépendance de la quantité de mouvement relativement au changement de référentiel résulte de l'indépendance de la masse inerte et de la dépendance du vecteur vitesse  
  11. Voir le paragraphe « approche documentaire, analyse de documents scientifiques montrant les limites relativistes avec utilisation des formules relativistes de l'énergie cinétique et de la quantité de mouvement : microscopie électronique » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  12. Plus précisément   pour que l'erreur commise en utilisant la cinétique newtonienne au lieu de la cinétique relativiste ne soit pas inférieure à  , justification ci-dessous dans ce paragraphe.
  13. 13,0 13,1 13,2 et 13,3 Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « transformations dites de Lorentz »  en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en   par Henri Poincaré après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont Hendrik Lorentz dès   pour ce dernier , transformations utilisées dans la théorie de la relativité restreinte élaborée par Albert Einstein en   ;
       Hendrik Lorentz partagea, en  , le prix Nobel de physique avec Pieter Zeeman (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs  Pieter Zeeman ayant découvert l'effet qui porte son nom en  .
       Henri Poincaré (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en calcul infinitésimal, des avancées sur le problème à trois corps qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos, une participation active à la théorie de la relativité restreinte ainsi qu'à la théorie des systèmes dynamiques  
       Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en   puis suisse en   ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en  , la relativité générale en   ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en   pour son explication de l'effet photoélectrique.
  14. Par contre on rappelle que la masse d'inertie   est invariante par changement de référentiel.
  15. Mais notez bien que ce n'est absolument pas la masse d'un objet qui croît avec la norme du vecteur vitesse de ce dernier car sa masse d'inertie garde une valeur constante quelle que soit la vitesse de l'objet  
  16. Dans toutes les situations la masse apparente d'un objet est supérieure ou égale à sa masse d'inertie.
  17. À la quantité de mouvement et à moins de   près.
  18. 18,0 et 18,1 Voir le paragraphe « infiniment petits d'ordre successif » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  19. Voir « D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » utilisé ici pour   à l'ordre un en   avec  .
  20. 20,0 20,1 et 20,2 C.-à-d. la mesure de la vitesse exprimée en unité    utilisée exclusivement en cinématique relativiste .
  21. L'utilisation de la cinétique newtonienne à mauvais escient entraînant une erreur de plus de  .
  22. Pouvant encore s'écrire « » avec « » la “ masse apparente ” », «  le vecteur vitesse », «  étant la vitesse instantanée » et «  la vitesse relative c.-à-d. la mesure de la vitesse instantanée en unité  ».
  23. En effet               valeur par défaut.
  24. La vitesse instantanée ayant pratiquement atteint sa valeur limite ne peut   que d'une quantité très petite.
  25.   étant évidemment  .
  26. 26,0 et 26,1 Développement Limité.
  27. Voir « D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » utilisé ici pour   à l'ordre un en   avec   et   changé en son opposé.
  28. Quand on fait des développements limités  D.L.  successifs, il faut toujours s'assurer que l'on n'a pas supprimé auparavant des infiniment petits de même ordre ou d'ordre inférieur à ceux qui apparaissent à cet instant, ainsi dans le cas présent, ;
       si on garde       d'où   se réécrit      utilisant le D.L. de   à l'ordre un en   voir « D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » utilisé ici pour   à l'ordre un en   avec   et   remplacé par   soit finalement    , ce dernier terme   supprimé dans le D.L. de   étant de même ordre que le 2ème terme   qui apparaît dans le D.L. de  , il est impératif de supprimer ce 2ème terme   du D.L. de   sous peine d'erreurs dans le D.L. final de   concernant cet ordre  
  29. En cinétique ultra relativiste, pratiquement seule la masse apparente varie, la vitesse restant quasiment constante n'a plus aucun intérêt ;
       En cinétique ultra relativiste, une   notable de   s’accompagne d'une stagnation de la vitesse et d'une   importante de l'inertie.
  30. L'avantage de l'emploi du terme « résultante cinétique » est de rappeler qu'il s'agit d'une somme des quantités de mouvement de chaque point matériel ;
       toutefois, le programme rend licite l'emploi de « quantité de mouvement d'un système de points matériels » même si je ne partage pas ce point de vue.
  31. On peut également définir l'écoulement stationnaire comme un écoulement tel que le débit massique entrant   est égal au débit massique sortant    les deux s'exprimant en  ,