Mécanique pour l'enseignement technique industriel/Statique analytique

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Présentation

Le cas d'un solide soumis à trois forces parallèles peut se résoudre assez simplement de manière analytique. La résolution reste simple dans le cas de forces concourantes lorsque deux forces sont perpendiculaires. Elle peut être utilisée dans tous les cas.

Objectifs

Le but de ce chapitre est de savoir résoudre les problèmes de statiques simples de manière analytique.

Savoirs techniques

Connaissances (notions, concepts)	Niveau
	1	2	3	4
Résolution analytique d'un problème de statique dans le cas d'un solide soumis à trois forces parallèles (actions mécaniques modélisables par des glisseurs)			×

Levier fictif

Colis posé sur une table à quatre pieds (haut), et sur une tablette rabattable à deux pieds (bas).

Reprenons l'exemple du colis posé sur la table, qui nous avait servi à expliquer le théorème du moment résultant statique (voir Principe fondamental de la statique (PFS)).

Considérons un colis posé sur une table à quatre pieds. C'est un problème plan. L'effort de poussée des pieds dépend de la position du colis sur la table.

Considérons maintenant le même colis posé sur une tablette rabattable reposant sur deux pied. La situation est similaire à celle de la table : l'effort fourni par les pieds et par le pivot ne dépendent que de la position du colis, et sont identiques aux efforts de poussée des pieds dans le cas de la table.

Nous pouvons donc « remplacer » les pieds d'un côté par un pivot virtuel, et donc « transformer » la table en un levier. Ceci permet d'appliquer la loi des leviers.

Remplacer un système par un levier fictif ayant un pivot virtuel pour pouvoir appliquer la loi des leviers : ceci est la base de la méthode analytique pour le cas des forces parallèles.

Système soumis à des forces parallèles

Le cas d’un solide soumis à des forces parallèles est similaire à celui du levier. On utilise le PFS « analytique », c’est-à-dire par le calcul, puisque ce cas est très simple.

Les moments de toutes les forces doivent être calculées par rapport à un même point, le « pivot virtuel ».

Pour simplifier les calculs, on choisit comme pivot virtuel le point d’application de la force dont on sait le moins de choses (la force qui a le plus de points d’interrogation dans le tableau des caractéristiques).

Le système est donc remplacé par un levier rectiligne. Pour avoir les bras de levier, il faut éventuellement transférer les cotes pour qu’elles partent toutes du pivot. On fait « glisser » les vecteurs force le long de leurs lignes d’action pour qu’ils s’appliquent directement sur le levier.

Méthode du tableau

Cuiseur hydrolyseur de graisse.

Isolement du cuiseur hydrolyseur.

Exemple.

Nous reprenons l’exemple du cuiseur hydrolyseur (voir Méthode du funiculaire > Recherche de forces inconnues). On isole l’ensemble {1 ; 2} (voir figure ci-contre). Le système présente une symétrie de plan $({\vec {x}},{\vec {y}})$, on considère donc un problème plan dans le plan $({\vec {x}},{\vec {y}})$. Les actions de contact des amortisseurs en A et D sont considérées comme parfaites.

Caractéristiques des actions mécaniques extérieures
avant et après application du PFS

Action mécanique	Point d'application	Direction	Sens		Intensité
			Avant	Après	Avant	Après
${\vec {\mathrm {P} }}_{1}$	G1	|	↓	…	780 N	…
${\vec {\mathrm {P} }}_{2}$	G2	|	↓	…	920 N	…
${\vec {\mathrm {A} }}_{0/1}$	A	|	?	…	?	…
${\vec {\mathrm {D} }}_{0/1}$	D	|	?	…	?	…

Document d'aide à la résolution.

Questions.

1. Sur le Document d'aide à la résolution, remplir les valeur des cotes.
2. Établir le tableau des moments. Écrire la condition d'équilibre en rotation, et en déduire l’intensité de l’action mécanique en B.
3. Sur la partie droite du document, faire une représentation schématique du dynamique (la longueur des vecteurs n'a aucune importance). Écrire la condition d'équilibre en translation, et en déduire l’intensité de l’action mécanique en A.

Tableau des moments

Action	↶+	↷-
…	…	…
…	…	…
…	…	…
…	…	…
Bilan	…	…

Modèle du levier (gauche) et dynamique des forces (droite).

Réponses.

1. Voir l'image ci-contre.

2. On modélise le système par un levier, en figurant les forces et le pivot en A. On fait des transferts de cotes pour prendre le pivot A comme référence (voir figure ci-dessus). Pour le signe des moments, on imagine comment le levier tourne sous l'effet d'une force donnée (comme dans les jeux de revues pour enfants) ; lorsque le sens de la force est inconnue, on suppose qu'elle est vers le haut (si le résultat donne une intensité négative, c’est qu’elle était vers le bas).

On peut présenter les moments sous forme de tableau. L’intensité de ${\vec {\mathrm {A} }}_{0/1}$ est notée Y_A, car elle est selon l’axe ${\vec {y}}$, sa valeur peut donc être positive ou négative. De même, L’intensité de ${\vec {\mathrm {D} }}_{0/1}$ est notée Y_D. Ces forces sont inconnues, donc le calcul du moment donne une formule, pas un résultat numérique.

Action	↶+	↷-
${\mathcal {M}}_{\mathrm {A} }({\vec {\mathrm {A} }}_{0/1})$	0
${\mathcal {M}}_{\mathrm {A} }({\vec {\mathrm {P} }}_{1})$		780 × 0,325 = 254 Nm
${\mathcal {M}}_{\mathrm {A} }({\vec {\mathrm {P} }}_{1})$		920 × 1,593 = 1 466 Nm
${\mathcal {M}}_{\mathrm {A} }({\vec {\mathrm {D} }}_{0/1})$	YD × 1,743
Bilan	0 + YD × 1,743	254 + 1 466

Équilibre en rotation : la somme de la colonne « + » doit être égal à la somme de la colonne « - » :

0 + 1,743 × Y_D = 254 + 1 466

⇒ 1,743 × Y_D = 1 720

⇒ Y_D = 1 720/1,743 = 987 N

$\|{\vec {\mathrm {D} }}_{0/1}\|=987\ \mathrm {N}$

et ${\vec {\mathrm {D} }}_{0/1}$ est orienté vers le haut (car Y_D > 0).

3. Équilibre en translation : on a

${\vec {\mathrm {A} }}_{0/1}+{\vec {\mathrm {P} }}_{1}+{\vec {\mathrm {P} }}_{2}+{\vec {\mathrm {D} }}_{0/1}={\vec {0}}$.

Graphiquement, comme les vecteurs sont tous alignés, on les décale pour pouvoir mieux voir sur le dynamique (voir figure ci-contre). On voit que

Y_A = 780 + 920 - 987 = 713 N

$\|{\vec {\mathrm {A} }}_{0/1}\|=713\ \mathrm {N}$

et ${\vec {\mathrm {A} }}_{0/1}$ est dirigé vers le haut (car Y_A > 0).

Caractéristiques des actions mécaniques extérieures
avant et après application du PFS

Action mécanique	Point d'application	Direction	Sens		Intensité
			Avant	Après	Avant	Après
${\vec {\mathrm {P} }}_{1}$	G1	|	↓	…	780 N	…
${\vec {\mathrm {P} }}_{2}$	G2	|	↓	…	920 N	…
${\vec {\mathrm {A} }}_{0/1}$	A	|	?	↑	?	713 N
${\vec {\mathrm {D} }}_{0/1}$	D	|	?	↑	?	987 N

Rédaction rigoureuse

Questions.

Identique à ci-dessus.

Réponses.

En toute rigueur, il faudrait rédiger comme suit.

1. Identique à ci-dessus.
2. Les vecteurs force s’écrivent
   ${\vec {\mathrm {A} }}_{0/1}{\begin{pmatrix}0\\\mathrm {Y_{A}} \end{pmatrix}}{\text{ ; }}{\vec {\mathrm {P} }}_{1}{\begin{pmatrix}0\\-780\end{pmatrix}}{\text{ ; }}{\vec {\mathrm {P} }}_{2}{\begin{pmatrix}0\\-920\end{pmatrix}}{\text{ ; }}{\vec {\mathrm {D} }}_{0/1}{\begin{pmatrix}0\\\mathrm {Y_{D}} \end{pmatrix}}{\text{ (valeurs en N).}}$
   On a :
   ${\mathcal {M}}_{\mathrm {A} }({\vec {\mathrm {A} }}_{0/1})+{\mathcal {M}}_{\mathrm {A} }({\vec {\mathrm {P} }}_{1})+{\mathcal {M}}_{\mathrm {A} }({\vec {\mathrm {P} }}_{2})+{\mathcal {M}}_{\mathrm {A} }({\vec {\mathrm {D} }}_{0/1})=0$
   ⇒ 0 - 780 × 0,324 - 920 × 1,593 + 1,743 × Y_D = 0
   ⇒ Y_D = 1 720/1,743 = 987 N
   donc $\|{\vec {\mathrm {D} }}_{0/1}\|=987\ \mathrm {N}$ et ${\vec {\mathrm {D} }}_{0/1}$ est orienté vers le haut.
3. ${\vec {\mathrm {A} }}_{0/1}+{\vec {\mathrm {P} }}_{1}+{\vec {\mathrm {P} }}_{2}+{\vec {\mathrm {D} }}_{0/1}={\vec {0}}$
   On projette sur l’axe ${\vec {y}}$ :
   Y_A - 780 - 920 + 987 = 0
   ⇒ Y_A = 780 + 920 - 987 = 713 N
   donc$\|{\vec {\mathrm {A} }}_{0/1}\|=713\ \mathrm {N}$ et ${\vec {\mathrm {A} }}_{0/1}$ est dirigé vers le haut.

Et si l’on change l’ordre des questions ?

Exemple

Le même que précédemment.

Questions.

1. Exprimez sur l'axe y la condition du théorème de la résultante statique : $\sum {\vec {\mathrm {F} }}_{\mathrm {ext} }={\vec {0}}$.
2. Exprimez la condition du théorème du moment résultant statique par rapport au point A : $\sum {\mathcal {M}}_{\mathrm {A} }({\vec {\mathrm {F} }}_{\mathrm {ext} })=0$.
3. En déduire les intensités des actions mécaniques en A et en B.

Réponse

1. La condition s'écrit ${\vec {\mathrm {A} }}_{0/1}+{\vec {\mathrm {P} }}_{1}+{\vec {\mathrm {P} }}_{2}+{\vec {\mathrm {D} }}_{0/1}={\vec {0}}$
   Les vecteurs force s’écrivent
   ${\vec {\mathrm {A} }}_{0/1}{\begin{pmatrix}0\\\mathrm {Y_{A}} \end{pmatrix}}{\text{ ; }}{\vec {\mathrm {P} }}_{1}{\begin{pmatrix}0\\-780\end{pmatrix}}{\text{ ; }}{\vec {\mathrm {P} }}_{2}{\begin{pmatrix}0\\-920\end{pmatrix}}{\text{ ; }}{\vec {\mathrm {D} }}_{0/1}{\begin{pmatrix}0\\\mathrm {Y_{D}} \end{pmatrix}}{\text{ (valeurs en N).}}$
   On projette sur l’axe ${\vec {y}}$ :
   Y_A - 780 - 920 + Y_D = 0
2. La condition s'écrit :
   ${\mathcal {M}}_{\mathrm {A} }({\vec {\mathrm {A} }}_{0/1})+{\mathcal {M}}_{\mathrm {A} }({\vec {\mathrm {P} }}_{1})+{\mathcal {M}}_{\mathrm {A} }({\vec {\mathrm {P} }}_{2})+{\mathcal {M}}_{\mathrm {A} }({\vec {\mathrm {D} }}_{0/1})=0$
   ⇒ 0 - 780 × 0,324 - 920 × 1,593 + 1,743 × Y_D = 0.
3. On a un système à deux équations et deux inconnues (Y_A et Y_D) :
   ${\begin{cases}\mathrm {Y_{A}} -780-920+\mathrm {Y_{D}} =0\\0-780\times 0,324-920\times 1,593+1,743\times \mathrm {Y_{D}} =0\end{cases}}$
   la seconde équation donne
   1 720 + 1,743 × Y_D = 0
   ⇒Y_D = 1 720/1,743 = 987 N.
   La première équation donne :
   Y_A - 780 - 920 + 987 = 0
   ⇒Y_A - 713 = 0
   ⇒Y_A = 713 N.

Si l’on inverse l’ordre des questions, la réponse à la première question n’est pas un nombre, mais une équation (une formule). C'est la seule difficulté supplémentaire, la résolution est sinon toujours la même.

Système soumis à trois forces dont deux sont perpendiculaires

La méthode analytique peut s'appliquer simplement lorsque l’on connaît des bras de leviers, donc lorsque l’on a des flèches de cote entre les droites d'action des forces et un point de pivot virtuel. Un cas relativement courant est celui de problèmes faisant intervenir le poids, force verticale, et une butée empêchant le basculement du système, qui exerce typiquement une action horizontale. On a donc deux des forces qui sont perpendiculaires.

Méthode du tableau

Modélisation mécanique de l'échelle.

Étude d'une échelle : modélisation mécanique (gauche) et dynamique (droite).

Exemple.

Reprenons l’exemple de l’échelle (voir Statique - Principes de la statique > Isolement d'un solide). On isole l’ensemble {échelle rep. B ; technicien de maintenance}.

Caractéristiques des actions mécaniques,
avant et après l’application du PFS

Action mécanique	Point d’application	Direction		Sens		Intensité
		Avant	Après	Avant	Après	Avant	Après
${\vec {\mathrm {P} }}$	G	|	…	↑	…	1 370 N	…
${\vec {\mathrm {A} }}_{\mathrm {AC4/B3} }$	A	?	…	?	…	?	…
${\vec {\mathrm {B} }}_{\mathrm {AC4/B3'} }$	B	—	…	?	…	?	…

Questions.

1. Sur le Document modélisation mécanique, tracer les composantes connues des forces.
2. Déterminer le point d'application de la force ayant le plus d'inconnues, qui sera notre pivot virtuel. Mettre en place les flèches de cote entre les droite d'action des forces et le pivot virtuel.
3. Établir le tableau des moments. Écrire la condition d'équilibre en rotation, et en déduire l’intensité de l’action mécanique en B.
4. Sur la partie droite du document, faire une représentation schématique du dynamique (la longueur des vecteurs n'a aucune importance). Écrire la condition d'équilibre en translation, et en déduire l’intensité de l’action mécanique en A.

Tableau des moments

Action	↶+	↷-
…	…	…
…	…	…
…	…	…
Bilan	…	…

Bilan des actions mécaniques.

Réponses.

1. Voir la figure ci-contre.

2. La force ayant le plus d'inconnues est la force ${\vec {\mathrm {A} }}_{\mathrm {AC4/B3} }$. Le pivot virtuel est donc le point A.

3. L'intensité de la force ${\vec {\mathrm {B} }}_{\mathrm {AC4/B3'} }$ est notée X_B car elle est horizontale. On ne connaît pas sa direction, mais on suppose qu'elle est vers la droite.

Tableau des moments

Action	↶+	↷-
${\vec {\mathrm {P} }}$	1 370×0,4 = 548 Nm	…
${\vec {\mathrm {A} }}_{\mathrm {AC4/B3} }$	0	…
${\vec {\mathrm {B} }}_{\mathrm {AC4/B3'} }$	XB × 0,35	…
Bilan	548 + 0 + XB × 0,35	0

Équilibre en rotation : la somme de la colonne « + » doit être égal à la somme de la colonne « - » :

548 + 0 + X_B×0,35 = 0

⇒ 0,35×X_B = -548

⇒ X_B = -548/0,35 = 1 566 N

On a donc $\|{\vec {\mathrm {B} }}_{\mathrm {AC4/B3'} }\|=1\ 566\ \mathrm {N}$ et la force est dirigée vers la gauche.

4. La figure forme un triangle rectangle. D'après le théorème de Pythagore, on a :

$\|{\vec {\mathrm {A} }}_{\mathrm {AC4/B3} }\|={\sqrt {1\ 370^{2}+1\ 566^{2}}}=2\ 081\ \mathrm {N}$.

Notes pour les enseignants

La résolution analytique d'un problème à forces concourantes ne fait pas partie de tous les référentiels.

La présentation de du théorème des moments sous forme de tableau permet de « dédramatiser » en gommant le côté « formule mathématique », et est cohérent avec le tableau utilisé pour la détermination du centre de gravité. Certains élèves peuvent buter sur le fait que le contenu d'une des cases n’est pas un nombre, mais contient une inconnue.

Lorsque l’on fait une résolution analytique, si l’on demande d’abord d'exprimer le théorème de la résultante statique, la réponse est une équation. Cela permet de lister les inconnues et de faire un lien avec un chapitre du cours des mathématiques (résolution de systèmes d'équations), mais représente un niveau d'abstraction qui peut rebuter certains élèves. Si en revanche l’on demande d’abord d'exprimer le théorème du moment résultant statique, on a une équation à une inconnue qui se résout immédiatement, on a donc un résultat numérique tout de suite.

Diplômes français

Unités des diplômes français concernées par ce chapitre :

• bac pro EDPI :
  • S4.3.3 : Résolution d'un problème de statique — méthode analytique de résolution, avec ou sans assistance informatique ;
• bac pro TU : S1.5 : Résolution d'un problème de statique : solution analytique (cas des forces parallèles) ;
• bac pro MEI : S.1.1.2.1 : Mécanique — Statique : solution analytique (cas des forces parallèles) ;
• bac pro ROC-SM : S2.1.1 Statique — Statique du solide : condition d'équilibre d'un solide, forces coplanaires parallèles ou concourantes (2 inconnues maximum, poids et frottement négligés) ;
• bac pro TCI : Statique — Les études sont à appliquer à des systèmes soumis à des forces coplanaires parallèles (hypothèse : frottements négligés) ; trois actions mécaniques maximum lorsqu'elles sont quelconquesn actions lorsqu'elles sont parallèles :
  • principe fondamental de la statique p.

Pour les baccalauréats non-professionnels :

• bac STI GM productique mécanique — A1-1.3.2.3 Méthode analytique de résolution : avec ou sans assistance informatique.