Mathématiques en terminale générale/Devoir/Logarithme, fonctions puissances, suites et intégrales

Le programme français qui a guidé l'écriture de cette page a fait l'objet d'une réforme en 2019. Ce cours ne répond plus aux attendus du Ministère de l'Éducation nationale (source).

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Une liste de cours conformes à d'anciens programmes français est disponible ici : Catégorie:Anciens programmes.

1°  Justifiez le résultat suivant :

— Ⅰ —

$\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1$.

2°  

a)  Déduisez-en que:

$\lim _{x\to +\infty }\left[x\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)\right]=1$.

b)  Étudiez la limite en $+\infty$ de la fonction $x\mapsto \left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}$.

— Ⅱ —

Pour tout naturel $n$, on note $f_{n}$ la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par $f_{n}(x)=x^{n}(1-x)$.

1°  a)  Étudiez le sens de variation de $f_{n}$.

b)  Prouvez que selon la parité de $n$, l'équation $f_{n}(x)=1$, ou bien a une solution et une seule dans $\mathbb {R}$, ou bien n'a pas de solution.

2°  Montrez que, sauf pour certaines valeurs particulières de $n$, les courbes représentatives des fonctions $f_{n}$ ont deux points communs et ont même tangente en chacun de ces points.

— Ⅲ —

On note $g_{n}$ la restriction de $f_{n}$ à l'intervalle $[0;\,1]$.

Ainsi, pour tout $x$ de $[0;\,1],\,g_{n}(x)=x^{n}(1-x)$

On note ${\mathcal {C}}_{n}$ la courbe représentative de $g_{n}$ relativement à un repère orthonormal $(O;\,{\vec {i}},\,{\vec {j}})$.

1°  Montrez que, sauf pour une valeur de $n,\,g_{n}$ possède un maximum $M_{n}=\left({\frac {1}{n+1}}\right){\frac {1}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}}$

2°  Tracez ${\mathcal {C}}_{0},\,{\mathcal {C}}_{1},\,{\mathcal {C}}_{2},$ dans le repère $(O;\,{\vec {i}},\,{\vec {j}})$. Donnez l'allure de ${\mathcal {C}}_{n}$ pour $n>2$.

Placez ${\mathcal {C}}_{n+1}$ par rapport à ${\mathcal {C}}_{n}$ (position relative des points de même abscisse et des deux points représentatifs du maximum).

3°  Calculez successivement :

a)  $\lim _{n\to +\infty }M_{n}$.

b)  $I_{n}=\int _{0}^{1}g_{n}(x)$.

c)  $\lim _{n\to +\infty }I_{n}$.

Pouvait-on prévoir ce dernier résultat à partit d'un encadrement de $g_{n}$ ?

4°  Pour tout $x$ de $[0;\,1]$ et pour tout naturel $n$, on pose :

$S_{n}(x)=g_{0}(x)+g_{1}(x)+\cdots +g_{n}(x)=\sum _{i=0}^{n}g_{i}(x)$

et $J_{n}=\int _{0}^{1}S_{n}(x)$.

a)  Calculez $S_{n}(x)$, puis :

• $\lim _{n\to +\infty }S_{n}(x)$
• $J_{n}$
• $\lim _{n\to +\infty }J_{n}$

b)  Exprimer $J_{n}$ en fonction de $I_{0},\,I_{1},\cdots ,\,I_{n}$.

Déduisez-en la valeur de la somme :

$s_{n}={\frac {1}{1\times 2}}+{\frac {1}{2\times 3}}+\cdots +{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}$.

Calculez $\lim _{n\to +\infty }s_{n}$.

c)  Comparez $\lim _{n\to +\infty }\int _{0}^{1}S_{n}(x)\,\mathrm {d} x$ et $\int _{0}^{1}\left(\lim _{n\to +\infty }S_{n}(x)\right)\,\mathrm {d} x$.

Corrigé

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