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Somme d'une suite de nombres en progression géométrique
La base des mathématiques financières repose essentiellement sur les lois concernant les suites arithmétiques et géométriques. La plupart des calculs découleront de ces notions de base.
Cette section concerne les remboursements d'emprunts par versements fixes à taux fixe.
On rembourse au terme de chaque période selon le schéma suivant :
Début d’un théorème
Théorème
La valeur actuelle d'une suite de versements d'un montant au taux est égale à :
.
Fin du théorème
'Démonstration'
On a vu au chapitre précédent que la valeur actuelle du -ième versement est .
On applique donc à le rappel sur les suites géométriques (voir supra), pour calculer la somme des valeurs actuelles de tous les versements :
La formule précédente permet de calculer les versements correspondant au remboursement d'un prêt. En effet, la banque prêtant un capital C aujourd'hui, il faut que la valeur actuelle de la suite des versements soit égale à C. On a donc, en inversant la formule précédente :
Corollaire
Pour le remboursement, par versements fixes, d'un prêt d'une somme au taux , chaque versement se monte à :