Matrice/Exercices/Relations entre matrices

Soit un corps commutatif.

Relations entre matrices
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Exercices no5
Leçon : Matrice
Chapitre du cours : Relations entre matrices

Exercices de niveau 14.

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Exercice 5-1

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Soient A et B deux matrices carrées de même taille.

  1. Montrer que si A ou B est inversible alors AB et BA sont semblables.
  2. Montrer par un contre-exemple que cette hypothèse d'inversibilité est indispensable.

Exercice 5-2

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Soient  .

  1. Démontrer que si   et   sont équivalentes alors elles ont même rang.
  2. Démontrer la réciproque. Indication : montrer que si   alors   est équivalente à la matrice (écrite par blocs)  .

Exercice 5-3

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  1. Quel est l'ensemble des matrices de   :
    1. semblables à   ?
    2. équivalentes à   ?
  2. Trouver deux matrices inversibles non semblables, bien qu'ayant même polynôme caractéristique.

Exercice 5-4

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Soit   un polynôme unitaire irréductible. Montrer que toutes les matrices carrées à coefficients dans   dont le polynôme caractéristique est   sont semblables.