Matrice/Exercices/Relations entre matrices

Soit $K$ un corps commutatif.

Exercice 5-1

Soient A et B deux matrices carrées de même taille.

1. Montrer que si A ou B est inversible alors AB et BA sont semblables.
2. Montrer par un contre-exemple que cette hypothèse d'inversibilité est indispensable.

Solution

1. Si $A$ est inversible alors $AB=A(BA)A^{-1}$ donc $AB$ et $BA$ sont semblables. Le cas où $B$ est inversible s'en déduit ou se traite de même.
2. Pour les matrices

   $A:={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$ et $B:={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}$,

   on a $AB=A$ et $BA=0$.

 

Exercice 5-2

Soient $A,B\in \mathrm {M} _{m,n}(K)$.

1. Démontrer que si $A$ et $B$ sont équivalentes alors elles ont même rang.
2. Démontrer la réciproque. Indication : montrer que si $\operatorname {rang} (A)=r$ alors $A$ est équivalente à la matrice (écrite par blocs) ${\begin{pmatrix}I_{r}&0_{r,n-r}\\0_{m-r,r}&0_{m-r,n-r}\end{pmatrix}}$.

Solution

1. Soient $Q\in \mathrm {M} _{m}(K)$ et $P\in \mathrm {M} _{n}(K)$ deux matrices inversibles telles que $QB=AP$.
   Notons $a,b\in \mathrm {L} (K^{n},K^{m}),q\in \mathrm {L} (K^{m}),p\in \mathrm {L} (K^{n})$ les applications linéaires représentées par $A,B,Q,P$ dans les bases canoniques de $K^{m}$ et $K^{n}$.
   • Puisque $p$ est surjective, $\operatorname {Im} (a)=\operatorname {Im} (a\circ p)=\operatorname {Im} (q\circ b)$.
   • Puisque $q$ est injective, elle transforme une base de $\operatorname {Im} (b)$ en une base de $\operatorname {Im} (q\circ b)$.

   Par conséquent, $\operatorname {rang} (A)=\dim(\operatorname {Im} (a))=\dim(\operatorname {Im} (q\circ b))=\dim(\operatorname {Im} (b))=\operatorname {rang} (B)$.

2. Soit à nouveau $a\in \mathrm {L} (K^{n},K^{m})$ l'application linéaire représentée par $A$ dans les bases canoniques. Soient $(f_{1},\dots ,f_{r})$ une base de $\operatorname {Im} (a)$, $e_{1},\dots ,e_{r}\in K^{n}$ tels que $a(e_{i})=f_{i}$, et $(e_{r+1},\dots ,e_{n})$ une base de $\operatorname {Ker} (a)$. Alors, ${\mathcal {B}}=(e_{1},\dots ,e_{n})$ est une base de $K^{n}$ et en complétant arbitrairement $(f_{1},\dots ,f_{r})$ en une base ${\mathcal {B}}'$ de $K^{m}$, la matrice de $a$ dans $({\mathcal {B}},{\mathcal {B}}')$ est celle proposée, qui est donc équivalente à $A$. Elle est de même équivalente à $B$ si $\operatorname {rang} (B)=r$, donc $A$ et $B$ sont alors équivalentes.

 

Exercice 5-3

1. Quel est l'ensemble des matrices de $\mathrm {M} _{n}(K)$ :
   1. semblables à $\mathrm {I} _{n}$ ?
   2. équivalentes à $\mathrm {I} _{n}$ ?
2. Trouver deux matrices inversibles non semblables, bien qu'ayant même polynôme caractéristique.

Solution

1. 1. $\{\mathrm {I} _{n}\}$.
   2. $\mathrm {GL} _{n}(K)$.
2. $\mathrm {I} _{2}$ et ${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$.

 

Exercice 5-4

Soit $P\in K[X]$ un polynôme unitaire irréductible. Montrer que toutes les matrices carrées à coefficients dans $K$ dont le polynôme caractéristique est $P$ sont semblables.

Solution

Soient $n=\deg P$, $u\in \mathrm {L} (K^{n})$ de polynôme caractéristique $P$, $e_{0}$ un vecteur non nul de $K^{n}$, $e_{k}:=u^{k}(e_{0})$ pour tout entier $k\geq 1$, et $F$ le sous-espace engendré par $(e_{0},\dots ,e_{n-1})$. Alors, $F$ est stable par $u$ donc égal à $K^{n}$ (car le polynôme caractéristique de la restriction de $u$ à $F$ est un diviseur $P$), donc $(e_{0},\dots ,e_{n-1})$ est une base de $K^{n}$. La matrice de $u$ dans cette base est la matrice compagnon de $P$. Par conséquent, toute matrice dont le polynôme caractéristique est $P$ est semblable à cette matrice compagnon.