Matrice/Relations entre matrices

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Matrices équivalentes

Définition

Deux matrices $M$ et $N$ sont dites équivalentes s'il existe deux matrices inversibles $P$ et $Q$ telles que :

$N=Q^{-1}MP$.

$M$ et $N$, de dimension m×n, sont donc équivalentes si et seulement si $M=\mathrm {Mat} _{B,C}(u)$ et $N=\mathrm {Mat} _{B',C'}(u)$ pour une même application linéaire $u$, d'un espace de dimension n muni de deux bases $B$ et $B'$ dans un espace de dimension m muni de deux bases $C$ et $C'$.

Début d’un théorème

Théorème

Deux matrices de même taille sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang.

Fin du théorème

Démonstration

Deux matrices équivalentes ont évidemment même rang (la dimension de l'image d'une application linéaire $u$ comme ci-dessus).

Réciproquement, montrons que toute matrice $M\in \mathrm {M} _{m,n}(K)$ de rang $r$ est équivalente à la matrice $J_{m,n,r}:={\begin{pmatrix}\mathrm {I} _{r}&0_{r,n-r}\\0_{m-r,r}&0_{m-r,n-r}\end{pmatrix}}$. Soit $u:K^{n}\to K^{m}$ l'application linéaire de matrice $M$ dans les bases canoniques. D'après la démonstration du théorème du rang, il existe une base $B=\left(e_{1},\dots ,e_{n}\right)$ de $K^{n}$ telle que $\left(e_{r+1},\dots ,e_{n}\right)$ soit une base de $\operatorname {Ker} u$ et que $\left(u(e_{1}),\dots ,u(e_{r})\right)$ soit une base de $\operatorname {Im} u$. D'après le théorème de la base incomplète, il existe une base de $K^{m}$ de la forme $C=(u(e_{1}),\ldots ,u(e_{r}),f_{r+1},\dots ,f_{m})$. Par construction, $\mathrm {Mat} _{B,C}(u)=J_{m,n,r}$.

Faites ces exercices : Exercice 4-2.

Pour une démonstration plus détaillée, voir l'exercice lié.

 

Matrices semblables

Définition

Deux matrices carrées $M$ et $N$ sont dites semblables s'il existe une matrice inversible $P$ telle que :

$N=P^{-1}MP$.

$M$ et $N$, de dimension n×n, sont donc semblables si et seulement si $M=\mathrm {Mat} _{B,B}(u)$ et $N=\mathrm {Mat} _{B',B'}(u)$ pour un même endomorphisme $u$ d'un espace de dimension n muni de deux bases $B$ et $B'$.

Remarque

Si $M,N\in \mathrm {M} _{n}(K)$ sont semblables, alors elles sont équivalentes donc ont même rang. De plus :

• $\det N=\det M$ ;
• $M-X\mathrm {I} _{n},N-X\mathrm {I} _{n}\in \mathrm {M} _{n}(K[X])$ sont semblables.

Par conséquent, $M$ et $N$ ont même polynôme caractéristique. Nous redémontrerons directement, au prochain chapitre, que les traces de deux matrices semblables (les coefficients sous-dominants, au signe près, de leurs polynômes caractéristiques respectifs) sont égales.

Faites ces exercices : Exercice 4-3.

Deux matrices sont semblables si et seulement si elles ont même décomposition de Frobenius. Il ne suffit pas pour cela qu'elles aient même rang et même polynôme caractéristique (voir l'exercice lié).