Module sur un anneau/Exercices/Modules libres

Modules libres
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Exercices no1
Leçon : Module sur un anneau

Exercices de niveau 16.

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Exo suiv. :Modules de type fini
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Module sur un anneau/Exercices/Modules libres
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Exercice 1

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Wikipédia possède un article à propos de « Torsion (algèbre) ».

Soient   un anneau intègre et   un  -module. Un vecteur   est dit de torsion s'il existe un scalaire   non nul tel que  .

Montrer que l'ensemble   des éléments de torsion de   est un sous-module.

Exercice 2

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Soient   un anneau principal et   un  -module sans torsion (c'est-à-dire tel que le sous-module   soit réduit au vecteur nul). Montrer que si   est de type fini, alors il est libre de rang fini.

Exercice 3

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Soient   un anneau principal et   un  -module de type fini. Montrer que   pour un certain  .