Module sur un anneau/Exercices/Modules libres
Exercice 1
modifierSoient un anneau intègre et un -module. Un vecteur est dit de torsion s'il existe un scalaire non nul tel que .
Montrer que l'ensemble des éléments de torsion de est un sous-module.
est évidemment stable pour la loi externe et contient le vecteur nul. Il est aussi stable par addition car si avec ( non nuls et ) alors et (puisque est intègre) .
Exercice 2
modifierSoient un anneau principal et un -module sans torsion (c'est-à-dire tel que le sous-module soit réduit au vecteur nul). Montrer que si est de type fini, alors il est libre de rang fini.
Soit une famille génératrice de .
On en extrait une famille libre maximale, que l'on peut supposer être être (quitte à renuméroter) et l'on pose .
Pour tout de à , il existe tel que . En posant égal au produit des , on obtient , donc est libre de rang , si bien que , qui lui est isomorphe, est aussi libre de rang (et même, finalement, ).
Autre méthode : d'après le théorème de classification, avec et comme est sans torsion, .
Exercice 3
modifierSoient un anneau principal et un -module de type fini. Montrer que pour un certain .
Le -module quotient est de type fini et sans torsion, donc isomorphe à pour un certain d'après l'exercice précédent. Soit une base de ce quotient. Alors, est libre, en particulier . Ceci permet d'obtenir la surjectivité du morphisme suivant, qui est l'isomorphisme recherché : , où .
Autre méthode : d'après le théorème de classification, avec , et .