Anneau (mathématiques)/Définitions

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Chapitre no 1
Leçon : Anneau (mathématiques)
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AnneauModifier

Début de l'exemple
Fin de l'exemple





Un corps a donc toujours au moins deux éléments. L'inverse d'un élément non nul d'un corps est toujours un élément non nul. Les éléments non nuls d'un corps forment un groupe pour la multiplication.

Sous-anneauModifier

Tout sous-anneau hérite d’une structure d'anneau.

IdéauxModifier



Un anneau nul n'a donc ni idéal à gauche maximal ni idéal à droite maximal.

On vérifie facilement le fait suivant :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration facile, laissée au lecteur.

Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Puisque A est non nul, on peut faire J = 0 dans le théorème qui précède.

Anneau quotientModifier

Soient A un anneau et J un idéal bilatère de A.

En particulier, A est un groupe additif abélien et J un sous-groupe de A. Puisque le groupe additif A est abélien, le groupe quotient A/J du groupe A par son sous-groupe J est défini. Rappelons que les éléments de ce groupe sont les classes relatives à la relation d'équivalence « x - y appartient à J » (relation d'équivalence en   et   dans A). Cette relation s'écrit aussi   (« x et y sont congrus modulo J »). Les classes d'équivalence sont les parties de A de la forme  , où   parcourt A. Si X est une de ces classes et   un élément quelconque de de X, alors X est égal à   La loi du groupe quotient A/J peut se caractériser comme l'unique application de   dans   qui, pour tous éléments   de A, envoie le couple   d'éléments de A/J sur l'élément   de A/J. C'est une loi de groupe abélien, qu'on notera +, comme la loi additive de A.

Nous allons munir A/J d'une seconde loi de composition interne, qui, avec la première, en fera un anneau. Soient   des éléments de A tels que   et   Prouvons que   Nous avons  , d'où, puisque J est un idéal à droite de A,  , autrement dit

(1) 

D'autre part, nous avons  , d'où, puisque J est un idéal à gauche de A,  , autrement dit

(2) 

De (1) et (2) résulte

 , autrement dit
 , ou encore
 , comme annoncé.

Il en résulte que si X et Y sont des classes modulo J (autrement dit des éléments de A/J), il existe une et une seule classe Z modulo J telle que pour tout élément   de X et tout élément   de Y, Z soit la classe de   Cela revient à dire qu'il existe une et une seule application de   dans   (autrement dit une et une seule loi de composition interne dans A/J) qui, pour tous éléments   de A, applique le couple   sur l'élément   de A/J. Si cette loi est notée  , on a donc

(3)  pour tous éléments   de A.

Prouvons que la loi + qu'on a définie plus haut dans A/J et la loi   qu'on vient de définir font de A/J un anneau. De (3), on déduit facilement que la loi   est associative et admet   pour neutre. Il reste à prouver les deux formules de distributivité de   par rapport à l'addition dans A/J.

Soient   des éléments de A. Nous allons transformer l'expression

(4) 

(où le même symbole + est employé dans deux sens différents).

Par définition de l'addition dans A/J, cette expression peut s'écrire

 

ou encore, par définition de  ,

 

ou encore, d'après la distributivité dans l'anneau A,

 

ou encore, par définition de l'addition dans A/J,

 ,

ou encore, par définition de  

 ,

La comparaison avec l'écriture (4) de cette expression donne

 

C'est une des deux formules de distributivité de   par rapport à + dans A/J. L'autre formule de distributivité se démontre de façon semblable, donc les lois + et   font bien de A/J un anneau.

On vérifie facilement que si A est un anneau et J un idéal bilatère de A, l'application   est un homomorphisme surjectif de l'anneau A sur l'anneau A/J. Cet homomorphisme est appelé l'homomorphisme canonique de A sur A/J.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Anneau intègreModifier

Remarque
La première condition équivaut à  , et la seconde à : pour tout élément non nul   de l'anneau, la multiplication par   (qui est un endomorphisme du groupe  ) est injective.