Notions de thermodynamique des processus irréversibles/Exercices/Processus purs

Sujet d'examen - Université Pierre et Marie Curie - Licence E.E.A. - Session de juin 1987
Le sujet comporte deux parties indépendantes. Documents non autorisés.

Exercice 1

Texte du sujet proposé

Partie I - Question de cours [ ... ]

Partie II - Problème : Étude d'un modèle de formation de la glace à la surface d'un lac (durée conseillée 1 H 30)

On considère un lac d'eau liquide dont la température est supposée constante et égale à la température de congélation T_c = 273 K. On suppose que brusquement l'air au -dessus du lac est à la température T_a = 263 K. À cet instant pris comme instant initial le lac est libre de glace. Puis il se couvre progressivement de glace. La température de l'air T_a est supposée rester maintenant constante. Soit ${\textstyle \ell (t)}$ l'épaisseur de glace à l'instant t. On ne prendra pas en considération dans le modèle étudié les variations de volume dues à la formation de la glace.

On choisit un axe x'0x perpendiculaire aux interfaces glace-air et eau liquide – glace ( voir Fig ) . L'origine 0 est à l'interface glace-air où la température de la glace à l'instant t est notée T_o(t). La température de la glace en un point d'abscisse x, à l'instant t, est notée T_x(t).

fig.

atmosphère à la température T_a
x'

|

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 - - - - - - - - - - - - - - T_o(t)

|

|

.........................................T_x(t)

|

|

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - T_c = T_{${\textstyle \ell }$}(t)

|

$\downarrow$

x

eau liquide

On note ρ la masse volumique de la glace, C_v sa capacité calorifique à volume constant, λ sa conductivité thermique et L sa chaleur latente de fusion.

On prendra pour les applications numériques :

ρ = 9 10² Kg m^-3   ;   λ = 5 10^-4 kcal m^-1 s^-1 K^-1   ;   L = 80 kcal Kg^-1

1) Soit ${\textstyle {\overrightarrow {J_{Q}}}}$ le vecteur densité de flux thermique dans la glace à l'instant t. Rappeler l'hypothèse de Fourier. Établir l'équation de diffusion de la chaleur dans la glace.

Dans tout ce qui suit la capacité calorifique de la glace sera supposée nulle. Que devient alors dans ces conditions l'équation de diffusion dans la glace ? Quelles différences et quelles analogies faites vous avec « le problème du mur » ? Déterminer alors la distribution de température T_x(t) en fonction de T_o(t) , ${\textstyle \ell (t)}$ , T_c et x .

2) Calculer le flux Φ de ${\textstyle {\overrightarrow {J_{Q}}}}$ à travers une surface Σ de glace en fonction de Σ , λ , ${\textstyle \ell (t)}$ , T_c et T_o(t). On orientera la normale à la surface dans le sens Ox' .

3) On supposera que le flux de chaleur transmis dans l'atmosphère par la surface Σ de glace peut s'écrire :

A Σ ( T_o(t) – T_a )   où   A = 10^-2 kcal m^-2 s^-1 K^-1

Faire le bilan des échanges de chaleur au niveau de l'interface glace-air .

Donner l'expression de T_c – T_o(t) en fonction de T_c + T_a , A , λ et ${\textstyle \ell (t)}$. En déduire l'expression de Φ en fonction de T_c + T_a , Σ , ${\textstyle \ell (t)}$ , λ et A ( équation (1) ).

4) Pendant le temps dt , l'épaisseur de glace s'accroit de d${\textstyle \ell }$ au niveau de l'interface eau liquide – glace.

Faire le bilan des échanges de chaleur au niveau de cet interface. En déduire l'expression de Φ en fonction de L , ρ , d${\textstyle \ell }$/dt et Σ . ( équation (2) )

5) À l'aide des équations (1) et (2), déterminer l'équation différentielle vérifiée par ${\textstyle \ell (t)}$.

Montrer que   $\ell (t)=\ell _{o}\left({\sqrt {1+{\frac {t}{\tau }}}}-1\right)$ ( équation (3) )

avec   $\ell _{o}={\frac {\lambda }{A}}\qquad {\text{et}}\qquad \tau ={\frac {\lambda ~\rho ~L}{2~A^{2}~(T_{c}-T_{a})}}$

Vérifier l'homogénéité de (3). Calculer numériquement ${\textstyle \ell _{o}}$ et ${\textstyle \tau }$ . Tracer la courbe ${\textstyle \ell (t)}$ en prenant des unités appropriées. Déterminer l'accroissement de l'épaisseur par unité de temps d${\textstyle \ell }$/dt en fonction de ${\textstyle \ell _{o}}$ , ${\textstyle \tau }$ et t et le calculer à l'instant initial.

6) Déterminer T_o(t) en fonction de T_a , T_c , ${\textstyle \tau }$ et t.

Montrer que l'équilibre thermique ne peut être atteint qu'au bout d'un temps infini. Que valent alors ${\textstyle \ell }$ et d${\textstyle \ell }$/dt ?

Solution

1-a) Rappeler l'hypothèse de Fourier. Établir l'équation de diffusion de la chaleur dans la glace.

${\overrightarrow {J_{q}}}=-\lambda \cdot \,{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}(T)\qquad \qquad \mathrm {c'est~la~{\color {OliveGreen}\ll loi\ de\ Fourier\gg }}$

Dans le cas général, l’équation locale s'écrit :

${\frac {\partial x}{\partial t}}=\sigma _{x}-div({\overrightarrow {j_{x}}})$

ici on considère l'énergie, le terme source est donc ${\textstyle \sigma _{u}=0}$ et on a donc ${\textstyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-div({\overrightarrow {J_{Q}}})}$ (équation de conservation)

soit

${\frac {\partial u}{\partial t}}=-div(-\lambda \cdot \,{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}(T))=\lambda \cdot \,\Delta T\qquad \qquad {\text{ où Δ est le Laplacien}}\qquad \Sigma ~({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}})$

Dans ce problème sur la glace, on étudie le flux suivant 0x (i.e. en 1D), et on aura ${\textstyle :\qquad \qquad {\frac {\partial u}{\partial t}}=\lambda \,({\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}})}$

on a $U/V=u\qquad \mathrm {et} \qquad du=c_{v}~dT\qquad \mathrm {avec} \qquad c_{v}\qquad \mathrm {en\qquad J.K^{-1}.m^{-3}}$

on obtient alors l' « équation de diffusion » de la chaleur dans la glace

$c_{v}~{\frac {\partial T}{\partial t}}=\lambda ~\Delta T$

ce qui peut aussi s'écrire:

${\frac {\partial T}{\partial t}}={\frac {\lambda }{c_{v}}}~\Delta T=D_{th}~\Delta T\qquad \qquad \mathrm {avec} \qquad \lambda ~\mathrm {en~~J.K^{-1}.m^{-1}.s^{-1}}$

1-b) On fait l'approximation c_v = 0

On a alors   $({\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}})=0$

1-c) Analogies et différences avec le problème du mur

Dans le problème du mur, on étudie le transfert de chaleur à travers un mur qui a une largeur fixe ( ${\textstyle \ell =\mathrm {cte} }$ ). Pour la glace, c'est donc le même problème mais avec ${\textstyle \ell =\ell (t)}$.

1-d) Déterminer alors la distribution de température T_x(t)

Comme   $({\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}})=0$   alors T_x est de la forme     T_x = a x + b

Pour x = 0 , on a b = T_o et pour x = ${\textstyle \ell }$ , on a   ${\textstyle T_{\ell }=T_{c}=a\ell ~+~T_{o}}$

donc

$T_{x}=(T_{c}-T_{o})~{\frac {x}{\ell }}~+~T_{o}$

remarque

On a   T_air = T_a = cte   mais on a   T_eau = T_c = ${\textstyle T_{\ell }(t)}$   et   T_o(t).

2) Calculer le flux Φ de ${\textstyle {\overrightarrow {J_{Q}}}}$ à travers une surface Σ de glace

On oriente la normale à la surface dans le sens 0x'.

En notant Σ' l'interface eau-glace et Σ l'interface glace-air, on aura avec le «système du banquier» pour le signe des échanges =

$\Phi _{\Sigma '}~>~0\qquad \mathrm {et} \qquad \Phi _{\Sigma }~<~0$

On écrit alors:

$\Phi =\int {\overrightarrow {J_{Q}}}\cdot {\overrightarrow {n}}\cdot d\Sigma$

$\Phi =\int \left(-\lambda {\frac {\partial T}{\partial x}}\right)\cdot d\Sigma ~=~+\lambda ~{\frac {(T_{c}-T_{o})}{\ell }}\cdot \Sigma$

$\left|\Phi _{\Sigma }\right|~=~{\frac {\lambda \Sigma }{\ell }}\cdot (T_{c}-T_{o})\qquad \mathrm {et~en~appliquant~les~conventions~de~signe:} \qquad$

$\Phi _{\Sigma }~=~-{\frac {\lambda \Sigma }{\ell }}\cdot (T_{c}-T_{o})~<~0$

3-a) On suppose que le flux transmis dans l'air est A.Σ.( T_o - T_a ).   Faire le bilan des échanges au niveau glace-air

$\left|flux~\Phi ~(sortant~de~la~glace)\right|~=~\left|flux~\Phi ~(entrant~dans~l'air)\right|$

$\Phi _{\Sigma }\quad =\quad -~\Phi _{entrant~air}$

${\frac {\lambda \Sigma }{\ell }}\cdot (T_{c}-T_{o})\quad =\quad A\Sigma \left(T_{o}-T_{a}\right)$

Le bilan est donc:

$\lambda \cdot (T_{c}-T_{o})\quad =\quad A\ell \left(T_{o}-T_{a}\right)$

3-b) Calculer ${\textstyle (T_{c}-T_{o})}$ et en déduire Φ

$\lambda T_{c}-\lambda T_{o}=A\ell T_{o}-A\ell T_{a}$

astuce, on ajoute ${\textstyle (A\ell T_{c}-A\ell T_{c})=0}$, soit:

$(A\ell T_{c}-A\ell T_{c})+\lambda T_{c}-\lambda T_{o}-A\ell T_{o}=-A\ell T_{a}$

$(A\ell +\lambda )\cdot T_{c}-(A\ell +\lambda )\cdot T_{o}=A\ell T_{c}-A\ell T_{a}$

$(T_{c}-T_{o})\quad =\quad {\frac {A\ell \left(T_{c}-T_{a}\right)}{A\ell +\lambda }}$

d'où le flux Φ au niveau glace-air:

$\left|\Phi \right|~=\quad {\frac {A\lambda \Sigma \left(T_{c}-T_{a}\right)}{A.\ell +\lambda }}\qquad \mathrm {(eq.~1)}$

4) Faire le bilan à l'interface solide-liquide

Quand il se forme de la glace, on a un dégagement de chaleur đQ tel que:

đ$Q=-L~dm=-L~\rho \Sigma ~d\ell \quad <~0$

Cette chaleur sort de l'interface pour aller dans la glace et être transférée vers l'air:

$\Phi$_{(sortant de l'interface)} = $\Phi _{\cap }\ <~0$

$\Phi$_{(entrant dans la glace)} = $-~\Phi _{\cap }\ >~0$

On a donc:

đ$Q=\Phi _{\cap }~dt\qquad \mathrm {et}$

$\Phi _{\cap }~=\quad -L~\rho \Sigma ~{\frac {d\ell }{dt}}\ <~0\qquad \mathrm {(eq.~2)}$

5-a) En utilisant éq 1 et éq 2 , calculer ${\textstyle (~d\ell ~/~dt~)}$

On a:

$\left|~\Phi _{\cap }~\right|~=~\left|~\Phi _{\Sigma }~\right|\qquad \qquad {\text{soit}}\qquad \qquad +L~\rho \Sigma ~{\frac {d\ell }{dt}}\ =\ {\frac {A\lambda \Sigma \left(T_{c}-T_{a}\right)}{A.\ell +\lambda }}$

donc:

${\frac {d\ell }{dt}}~=\quad {\frac {A\lambda \left(T_{c}-T_{a}\right)}{(A.\ell +\lambda )L\rho }}$

5-b) Montrer que   $\ell (t)=\ell _{o}\left({\sqrt {1+{\frac {t}{\tau }}}}-1\right)$ ( équation (3) )

$(A.\ell +\lambda )~{d\ell }~=\quad {\frac {A\lambda }{L\rho }}\left(T_{c}-T_{a}\right)~{dt}$

on intègre:

$\lambda ~\ell +{\frac {1}{2}}A\ell ^{2}~=\quad {\frac {A\lambda }{L\rho }}\left(T_{c}-T_{a}\right)~t$

c'est une équation du second degré avec

$\Delta =b^{2}-4ac=\lambda ^{2}-4(A/2)\left(-~{\frac {A\lambda }{L\rho }}\left(T_{c}-T_{a}\right)~t\right)$

les racines sont

$\ell ',\ell ''={\frac {-\lambda \pm {\sqrt {\Delta }}}{A}}$

comme il faut avoir ${\textstyle \ell ~>~0}$, alors on garde la racine:

$\ell ~=-{\frac {\lambda }{A}}+{\frac {1}{A}}~{\sqrt {\lambda ^{2}+2A\left({\frac {A\lambda }{L\rho }}\right)~\left(T_{c}-T_{a}\right)~t}}$

$\ell ~=~{\frac {\lambda }{A}}\left[~-~1+{\sqrt {1+\left({\frac {2A^{2}}{L\rho \lambda }}\right)~\left(T_{c}-T_{a}\right)~t}}\quad \right]$

on a bien:

$\ell (t)=\ell _{o}\left[{\sqrt {1+{\frac {t}{\tau }}}}-1\right]$ ( équation (3) ) avec $\ell _{o}={\frac {\lambda }{A}}\quad \mathrm {et} \quad \tau ={\frac {L\rho \lambda }{2A^{2}~\left(T_{c}-T_{a}\right)}}$

on a: $\ell _{o}=\mathrm {{\frac {J.K^{-1}.m^{-1}.s^{-1}}{J.m^{-2}.s^{-1}.K^{-1}}}\quad en~~m\qquad et}$ $\qquad \tau =\mathrm {{\frac {(J.Kg^{-1}).(Kg.m^{-3}).(J.K^{-1}.m^{-1}.s^{-1})}{J^{2}.m^{-4}.s^{-2}.K^{-2}}}\qquad en\quad s}$

Application numérique

$\ell _{o}=\mathrm {{\frac {5.10^{-4}~(kcal.m^{-1}.s^{-1}.K^{-1})}{1.10^{-2}~(kcal.m^{-2}.s^{-1}.K^{-1})}}=5.10^{-2}~m=5~cm\qquad \qquad et} \qquad \qquad$ $\tau =\mathrm {{\frac {80~(kcal.Kg^{-1})\times 5.10^{-4}~(kcal.m^{-1}.s^{-1}.K^{-1})\times 9.10^{-2}~(Kg.m^{-3})}{2\times (1.10^{-2})^{2}(kcal^{2}.m^{-4}.s^{-2}.K^{-2})\times (~273~-263~).K}}=180.10^{2}~s=300~min=5~heures}$

tracer la courbe $\ell (t)$

on calcule quelques points

$t=0\qquad \ell =0$

$t=5~\mathrm {heures} \qquad \ell =5.({\sqrt {2}}-1)=2{,}071~\mathrm {cm}$

$t=15~\mathrm {heures} \qquad \ell =5~\mathrm {cm}$

ce qui permet de tracer la courbe.

calculer ${\frac {d\ell }{dt}}$

$\ell (t)=\ell _{o}\left({\sqrt {1+{\frac {t}{\tau }}}}-1\right)$

${\frac {d\ell }{dt}}={\frac {\ell _{o}}{2}}\left({1+{\frac {t}{\tau }}}\right)^{-1/2}~\left({\frac {1}{\tau }}\right)={\frac {\ell _{o}}{2~\tau }}\times {\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {t}{\tau }}}}}$

à t = 0 , on a $:\qquad \left({\frac {d\ell }{dt}}\right)_{t=0}={\frac {\ell _{o}}{2~\tau }}=\mathrm {{\frac {5~cm}{2~\times ~5~heures}}=0{,}5~cm/heure} \quad {\text{au départ (t = 0) }}$

6-a) Déterminer T_o(t) en fonction de T_a , T_c , ${\textstyle \tau }$ et t.

On a:

$T_{o}\quad =\quad T_{c}-{\frac {A\ell \left(T_{c}-T_{a}\right)}{A\ell +\lambda }}$

avec

$\ell (t)=\ell _{o}\left[{\sqrt {1+{\frac {t}{\tau }}}}-1\right]$

soit

$T_{o}\quad =\quad T_{c}-\left[{\sqrt {1+{\frac {t}{\tau }}}}-1\right]{\frac {\left(T_{c}-T_{a}\right)}{\sqrt {1+{\frac {t}{\tau }}}}}=T_{c}-\left[1-{\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {t}{\tau }}}}}\right]\left(T_{c}-T_{a}\right)$

$T_{o}\quad =\quad T_{a}+{\frac {\left(T_{c}-T_{a}\right)}{\sqrt {1+{\frac {t}{\tau }}}}}$

6-b) Montrer que l'équilibre thermique ne peut être atteint qu'au bout d'un temps infini.

Pour avoir l'équilibre thermique, il faut avoir: T_a = T_o

Pous cela, il faut $t\to \infty \qquad {\rm {{alors}\qquad T_{o}\to T_{a}\qquad }}$

Que valent alors ${\textstyle \ell }$ et d${\textstyle \ell }$/dt ?

On a alors: $\ell \to \infty \qquad {\rm {{et}\qquad d\ell /dt\to 0}}$