Ondes électromagnétiques/Équations de passage

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On a vu dans le cours sur le champ électrostatique que celui-ci subissait une discontinuité au passage d'une surface chargée électriquement. Le champ magnétique adopte le même comportement à la traversée d'une surface parcourue par un courant. Il est donc intéressant d'étudier le comportement du champ électromagnétique à la traversée des surfaces et de disposer de relations exactes pour traiter les problèmes.

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Modélisation de la surface entre deux milieux

Modèle de la couche

Modèle de l'interface

On assimile la surface entre les deux milieux 1 et 2 étudiés à une couche d'épaisseur a très petite. Cette surface est le siège d'une densité volumique de charge ρ et d'un courant volumique ${\vec {j}}$.

Au voisinage du point O de la surface étudiée, on fera l'approximation que la surface est plane. On définit un axe ${\vec {u}}_{z}$ orthogonal à ce plan. La couche sera localisée entre les cotes $z=-{\frac {a}{2}}$ et $z={\frac {a}{2}}$.

Le milieu 1 sera le milieu situé dans le demi-espace $z\leq 0$ et le milieu 2 sera le milieu situé dans le demi-espace $z\geq 0$.

Lien avec le modèle idéal

• $\sigma =\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}\rho \,{\rm {d}}z$
• ${\vec {j}}_{S}=\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}{\vec {j}}\,{\rm {d}}z$

À la traversée d'une telle couche, en se déplaçant dans la direction Oz, on rencontre des sources très intenses qui ont pour cause, dans cette direction, des variations très importantes du champ. En effet, en pratique, a est de l’ordre de $10^{-9}\,{\rm {m}}$ donc toute densité surfacique de charge ou de courant, même modeste, entraîne une distribution volumique de charge ou de courant très grande.

Ainsi, les intégrales $\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}{\frac {\partial E_{i}}{\partial z}}\,{\rm {d}}z=E_{i,2}-E_{i,1}$ et $\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}{\frac {\partial B_{i}}{\partial z}}\,{\rm {d}}z=B_{i,2}-B_{i,1}$ ($i\in \{x,y,z\}$) pourront avoir une valeur non nulle même pour a très petit.

En revanche, les dérivées par rapport à x, y ou t ne sont pas ainsi influencées par la géométrie du système. On pourra donc faire les approximations :

$\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}{\frac {\partial E_{i}}{\partial x}}\,{\rm {d}}z\approx 0~;~\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}{\frac {\partial E_{i}}{\partial y}}\,{\rm {d}}z\approx 0~;~\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}{\frac {\partial E_{i}}{\partial t}}\,{\rm {d}}z\approx 0$

$\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}{\frac {\partial B_{i}}{\partial x}}\,{\rm {d}}z\approx 0~;~\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}{\frac {\partial B_{i}}{\partial y}}\,{\rm {d}}z\approx 0~;~\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}{\frac {\partial B_{i}}{\partial t}}\,{\rm {d}}z\approx 0$

Relations de passage

On suppose pour ce calcul être à la frontière de deux milieux ayant même permittivité diélectrique ε₀ et même perméabilité magnétique µ₀.

${\begin{aligned}{\rm {div}}({\vec {B}})=0&\Rightarrow {\frac {\partial B_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial B_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial B_{z}}{\partial z}}=0\\&\Rightarrow \int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}{\frac {\partial B_{x}}{\partial x}}\,{\rm {d}}z+\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}{\frac {\partial B_{y}}{\partial y}}\,{\rm {d}}z+\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}{\frac {\partial B_{z}}{\partial z}}\,{\rm {d}}z=0\\&\Rightarrow B_{z2}-B_{z1}=0\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\rm {div}}({\vec {E}})={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}&\Rightarrow {\frac {\partial E_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial E_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial E_{z}}{\partial z}}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\\&\Rightarrow \int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}{\frac {\partial E_{x}}{\partial x}}\,{\rm {d}}z+\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}{\frac {\partial E_{y}}{\partial y}}\,{\rm {d}}z+\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}{\frac {\partial E_{z}}{\partial z}}\,{\rm {d}}z={\frac {\sigma }{\epsilon _{0}}}\\&\Rightarrow E_{z2}-E_{z1}={\frac {\sigma }{\epsilon _{0}}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\overrightarrow {\rm {rot}}}({\vec {E}})=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}&\Rightarrow {\begin{cases}\displaystyle {{\frac {\partial E_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial E_{y}}{\partial z}}=-{\frac {\partial B_{x}}{\partial t}}}\\\displaystyle {{\frac {\partial E_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial E_{z}}{\partial x}}=-{\frac {\partial B_{y}}{\partial t}}}\\\displaystyle {{\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial E_{x}}{\partial y}}=-{\frac {\partial B_{z}}{\partial t}}}\\\end{cases}}\\&\Rightarrow {\begin{cases}\displaystyle {\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}{\frac {\partial E_{z}}{\partial y}}\,{\rm {d}}z-\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}{\frac {\partial E_{y}}{\partial z}}\,{\rm {d}}z=-\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}{\frac {\partial B_{x}}{\partial t}}\,{\rm {d}}z}\\\displaystyle {\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}{\frac {\partial E_{x}}{\partial z}}\,{\rm {d}}z-\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}{\frac {\partial E_{z}}{\partial x}}\,{\rm {d}}z=-\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}{\frac {\partial B_{y}}{\partial t}}\,{\rm {d}}z}\\\end{cases}}\\&\Rightarrow {\begin{cases}-(E_{y2}-E_{y1})=0\\E_{x2}-E_{x1}=0\\\end{cases}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\overrightarrow {\rm {rot}}}({\vec {B}})=\mu _{0}{\vec {j}}+\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}&\Rightarrow {\begin{cases}\displaystyle {{\frac {\partial B_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial B_{y}}{\partial z}}=\mu _{0}j_{x}+\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial E_{x}}{\partial t}}}\\\displaystyle {{\frac {\partial B_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial B_{z}}{\partial x}}=\mu _{0}j_{y}+\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial E_{y}}{\partial t}}}\\\displaystyle {{\frac {\partial B_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial B_{x}}{\partial y}}=\mu _{0}j_{z}+\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial E_{z}}{\partial t}}}\\\end{cases}}\\&\Rightarrow {\begin{cases}\displaystyle {\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}{\frac {\partial B_{z}}{\partial y}}\,{\rm {d}}z-\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}{\frac {\partial B_{y}}{\partial z}}\,{\rm {d}}z=\mu _{0}\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}j_{x}\,{\rm {d}}z+\epsilon _{0}\mu _{0}\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}{\frac {\partial E_{x}}{\partial t}}\,{\rm {d}}z}\\\displaystyle {\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}{\frac {\partial B_{x}}{\partial z}}\,{\rm {d}}z-\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}{\frac {\partial B_{z}}{\partial x}}\,{\rm {d}}z=\mu _{0}\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}j_{y}\,{\rm {d}}z+\epsilon _{0}\mu _{0}\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}{\frac {\partial E_{y}}{\partial t}}\,{\rm {d}}z}\\\displaystyle {\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}{\frac {\partial B_{y}}{\partial x}}\,{\rm {d}}z-\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}{\frac {\partial B_{x}}{\partial y}}\,{\rm {d}}z=\mu _{0}\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}j_{z}\,{\rm {d}}z+\epsilon _{0}\mu _{0}\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}{\frac {\partial E_{z}}{\partial t}}\,{\rm {d}}z}\\\end{cases}}\\&\Rightarrow {\begin{cases}-(B_{y2}-B_{y1})=\mu _{0}j_{sx}\\B_{x2}-B_{x1}=\mu _{0}j_{sy}\\j_{sz}=0\end{cases}}\\\end{aligned}}$

Début d’un théorème

Relations de passage pour les composantes

• La composante normale du champ magnétique se conserve

$B_{z2}=B_{z1}$

• Les composantes tangentielles du champ magnétique subissent une discontinuité qui s'exprime en fonction du courant surfacique

$B_{y2}-B_{y1}=-\mu _{0}\,j_{sx}$

$B_{x2}-B_{x1}=+\mu _{0}\,j_{sy}$

• La composante normale du champ électrique subit une discontinuité qui s'exprime en fonction de la densité surfacique de charge

$E_{z2}-E_{z1}={\frac {\sigma }{\epsilon _{0}}}$

• Les composantes tangentielles du champ électrique se conservent

$E_{y2}=E_{y1}$

$E_{x2}=E_{x1}$

Fin du théorème

Début d’un théorème

Relations de passage vectorielles

Vectoriellement, on obtient :

• ${\vec {B}}_{2}-{\vec {B}}_{1}=\mu _{0}{\vec {j}}_{s}\wedge {\vec {n}}_{12}$
• ${\vec {E}}_{2}-{\vec {E}}_{1}={\frac {\sigma }{\epsilon _{0}}}{\vec {n}}_{12}$

Fin du théorème

On a également montré que la densité surfacique de courant ${\vec {j}}_{S}$ n'a pas de composante suivant la direction orthogonale à la surface.

Début d’un théorème

Relations de passage à partir des relations de Maxwell

On obtient en substituant : ${\vec {E}}$ par ${\vec {E}}_{2}-{\vec {E}}_{1}$, ${\vec {B}}$ par ${\vec {B}}_{2}-{\vec {B}}_{1}$, ${\vec {\nabla }}$ par ${\vec {n}}_{12}$, ${\vec {j}}$ par ${\vec {j}}_{s}$ et enfin $\rho$ par $\sigma$

• ${\vec {n}}_{12}({\vec {E}}_{2}-{\vec {E}}_{1})={\frac {\sigma }{\epsilon }}$
• ${\vec {n}}_{12}({\vec {B}}_{2}-{\vec {B}}_{1})=0$
• ${\vec {n}}_{12}\wedge ({\vec {E}}_{2}-{\vec {E}}_{1})={\vec {0}}$
• ${\vec {n}}_{12}\wedge ({\vec {B}}_{2}-{\vec {B}}_{1})=\mu {\vec {j}}_{s}$

Fin du théorème