Ondes électromagnétiques/Énergie

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On considère une onde plane se propageant dans la direction et le sens d'un vecteur unitaire ${\vec {u}}$ dans un milieu LHI sans charges ni courants.

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Densité d'énergie électromagnétique, vecteur de Poynting

Propriété

La densité volumique d'énergie électromagnétique vaut, dans un milieu LHI, $w={\frac {1}{2}}\left({\frac {B^{2}}{\mu }}+\epsilon E^{2}\right)$

Définition

Le vecteur de Poynting, noté ${\vec {\Pi }}$ est défini par ${\vec {\Pi }}={\frac {{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}}{\mu }}$

Pour plus de détails sur l'énergie électromagnétique emmagasinée dans un milieu ou sur le vecteur de Poynting, se reporter au cours d'introduction à l'électromagnétisme des milieux matériels, chapitre énergie.

Propagation de l'énergie

Pour comprendre l’intérêt de ce vecteur, prenons sa divergence :

${\begin{aligned}\mathrm {div} ({\vec {\Pi }})&={\frac {1}{\mu }}\mathrm {div} ({\vec {E}}\wedge {\vec {B}})\\&={\frac {1}{\mu }}({\vec {B}}.{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {E}})-{\vec {E}}.{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {B}}))\\&={\frac {1}{\mu }}\left({\vec {B}}.\left(-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\right)-{\vec {E}}.\left(\epsilon \mu {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\right)\right)\\&=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {B^{2}}{2\mu }}+{\frac {\epsilon E^{2}}{2}}\right)\\&=-{\frac {\partial w}{\partial t}}\end{aligned}}$

Conservation de l'énergie

$\mathrm {div} ({\vec {\Pi }})+{\frac {\partial w}{\partial t}}=0$

On voit alors que le vecteur de Poynting représente la propagation de l'énergie.

Faites ces exercices : Énergie.

Flux du vecteur de Poynting à travers une surface

La puissance ${\rm {d^{2}{\mathcal {P}}}}$ transportée par l'onde à travers une surface ${\overrightarrow {\mathrm {d} ^{2}S}}$ vaut : $\mathrm {d} ^{2}{\mathcal {P}}={\vec {\Pi }}.{\overrightarrow {\mathrm {d} ^{2}S}}$

Cas de l'onde plane progressive

${\begin{aligned}{\vec {\Pi }}&={\frac {{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}}{\mu }}\\&={\frac {1}{\mu }}\left[{\vec {E}}\wedge \left({\frac {\vec {u}}{v}}\wedge {\vec {E}}\right)\right]\\&={\frac {E^{2}}{\mu v}}{\vec {u}}\end{aligned}}$

On peut, par une manipulation analogue, arriver à ${\vec {\Pi }}={\frac {v}{\mu }}B^{2}{\vec {u}}$.

Cela conduit à ${\vec {\Pi }}={\frac {1}{2}}\left({\frac {v}{\mu }}B^{2}+{\frac {E^{2}}{\mu v}}\right){\vec {u}}=vw{\vec {u}}$.

w est alors de la forme $w\left(t-{\frac {u}{v}}\right)$

Propagation de l'énergie

L'énergie se propage à la vitesse v dans la direction ${\vec {u}}$.

Par ailleurs, pour une onde harmonique, on peut exprimer la valeur temporelle moyenne du vecteur de Poynting :

Valeur moyenne au cours du temps

La valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting vaut $\langle {\vec {\Pi }}\rangle ={\frac {\Re ({\underline {\vec {E}}}\wedge {\underline {\vec {B}}}^{*})}{2\mu }}$