Opérations sur les fonctions/Fonctions associées

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Définition

Définition

Soit ƒ une fonction dont la représentation graphique dans un repère $(O;{\vec {i}},{\vec {j}})$ est notée ${\mathcal {C}}_{f}$.

On appelle fonction associée à ƒ toute fonction g dont la représentation graphique ${\mathcal {C}}_{g}$ est obtenue par une transformation simple de ${\mathcal {C}}_{f}$.

Fonctions associées courantes

Dans toute cette page, $k\in \mathbb {R}$

g(x) = f(x) + k

Début d’un théorème

Théorème

Soit la fonction g définie par $g:x\mapsto f(x)+k$

${\mathcal {C}}_{g}$ est l'image de ${\mathcal {C}}_{f}$ par la translation de vecteur $k\,{\vec {j}}$

Fin du théorème

g(x) = f(x + k)

Début d’un théorème

Théorème

Soit la fonction g définie par $g:x\mapsto f(x+k)$

${\mathcal {C}}_{g}$ est l'image de ${\mathcal {C}}_{f}$ par la translation de vecteur $-k\,{\vec {i}}$

Fin du théorème

g(x) = -f(x)

Début d’un théorème

Théorème

Soit la fonction g définie par $g:x\mapsto -f(x)$

${\mathcal {C}}_{g}$ est l'image de ${\mathcal {C}}_{f}$ par la symétrie d’axe (Ox)

Fin du théorème

g(x) = f(-x)

Début d’un théorème

Théorème

Soit la fonction g définie par $g:x\mapsto f(-x)$

${\mathcal {C}}_{g}$ est l'image de ${\mathcal {C}}_{f}$ par la symétrie d’axe (Oy)

Fin du théorème

g(x) = |f(x)|

Début d’un théorème

Théorème

Soit la fonction g définie par $g:x\mapsto |f(x)|$

On a alors :

• $g(x)=f(x)\Leftrightarrow f(x)\geq 0\Leftrightarrow {\mathcal {C}}_{f}$ est au-dessus de (Ox)
• $g(x)=-f(x)\Leftrightarrow f(x)\leq 0\Leftrightarrow {\mathcal {C}}_{f}$ est en-dessous de (Ox)

On aboutit à la transformation suivante :

• Si ${\mathcal {C}}_{f}$ est au-dessus de (Ox), ${\mathcal {C}}_{g}$ correspond à ${\mathcal {C}}_{f}$
• Si ${\mathcal {C}}_{f}$ est en-dessous de (Ox), ${\mathcal {C}}_{g}$ est l’image de ${\mathcal {C}}_{f}$ par la symétrie d’axe (Ox)

Fin du théorème

g(x) = f(|x|)

Début d’un théorème

Théorème

Soit la fonction g définie par $g:x\mapsto f(|x|)$

On a alors pour tout $x,~g(-x)=f(|-x|)=f(|x|)=g(x)$, donc g est paire.

(Oy) est donc axe de symétrie pour la courbe ${\mathcal {C}}_{g}$.

On a donc :

• ${\mathcal {C}}_{g}$ coïncide avec ${\mathcal {C}}_{f}$ sur $\mathbb {R} ^{+}$
• On complète le tracé de ${\mathcal {C}}_{g}$ en faisant la symétrie par rapport à l’axe (Oy).

Fin du théorème

g(x) = k × f(x), affinité

Début d’un théorème

Théorème

Soit la fonction g définie par $g:x\mapsto k\cdot f(x)$

${\mathcal {C}}_{g}$ s’obtient en multipliant par k les ordonnées des points de ${\mathcal {C}}_{f}$.

On peut parler d’étirement ou de contraction dans le sens vertical.

Fin du théorème

g(x) = f(kx)

Début d’un théorème

Théorème

Soit la fonction g définie par $g:x\mapsto f(kx)$

${\mathcal {C}}_{g}$ s’obtient en divisant par k les abscisses des points de ${\mathcal {C}}_{f}$.

On peut parler d’étirement ou de contraction dans le sens horizontal.

Fin du théorème