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Une suite arithmétique est une famille de réels ou complexes[1] indexés par les entiers naturels telle que le terme de rang est lié au terme de rang par la relation de récurrence
«», où est un réel ou complexe non nul [1] appelé « raison de la suite » et terme de rang appelé « 1er terme de la suite » à partir duquel celle-ci est définie.
Par application réitérée de la relation de récurrence on établit aisément l'expression du terme général :
«».
Il y a deux cas particuliers dépendant du rang du 1er terme :
« si » c.-à-d. si le 1er terme est de rang , «»,
« si » c.-à-d. si le 1er terme est de rang , «».
Somme des premiers termes d'une suite arithmétique jusqu'au rang nModifier
Soit la « suite arithmétique de 1er terme et de raison arithmétique », on définit la « somme des 1ers termes jusqu'au rang » par
«» ;
son expression se réécrit «» [2] ou, son expression se réécrit avec la somme des 1ers entiers naturels «» [3], son expression se réécrit «» ou encore «» soit finalement
La somme des 1ers termes de la suite arithmétique jusqu'au rang inclus est égale au produit du nombre de termes de la suite jusqu'au rangincluspar la moyenne arithmétique du 1er terme et du dernier terme envisagé soit
Une suite géométrique est une famille de réels ou complexes[1] indexés par les entiers naturels telle que le terme de rang est lié au terme de rang par la relation de récurrence
«», où est un réel ou complexe[1] appelé « raison de la suite » et terme de rang appelé « 1er terme de la suite » à partir duquel celle-ci est définie.
Par application réitérée de la relation de récurrence on établit aisément l'expression du terme général :
«».
Il y a deux cas particuliers dépendant du rang du 1er terme :
« si » c.-à-d. si le 1er terme est de rang , «»,
« si » c.-à-d. si le 1er terme est de rang , «».
Somme des premiers termes d'une suite géométrique jusqu'au rang nModifier
Soit la « suite géométrique de 1er terme et de raison géométrique », on définit la « somme des 1ers termes jusqu'au rang » par
«» ;
son expression se réécrit «» ou, son expression se réécrit avec la somme des 1ères puissances entières naturelles de , «» [5], son expression se réécrit «» ou encore «» [6].
À retenir
La somme des 1ers termes de la suite géométrique jusqu'au rang inclus est égale au « produit du 1er terme par le facteur », « étant le nombre de termes de la somme » soit
Définition d'une suite arithmético-géométriqueModifier
Définition
Une suite arithmético-géométrique est une famille de réels ou complexes[1] indexés par les entiers naturels telle que le terme de rang est lié au terme de rang par la relation de récurrence
«», où est un réel ou complexe[1][7] et également un réel ou complexe[1][8], terme de rang étant le « 1er terme de la suite » à partir duquel celle-ci est définie.
Induction du terme général par développement des premiers termesModifier
1er termeou terme de rang : «»,
2ème termeou terme de rang : «»,
3ème termeou terme de rang : «» soit
«»,
4ème termeou terme de rang : «» soit
«»,
5ème termeou terme de rang : «» soit
«»,
ème termeou terme de rang : dans tous les termes sauf le 1er, apparaît en facteur, il est donc apparu fois dans le terme de rang d'où l'existence de «» et ème terme ou terme de rang : dans tous les termes sauf le 1er, apparaît à l'état brut dans le 2nd, multiplié par dans le 3ème multiplié par dans le d'où l'existence de «» dans le terme de rang
«».
Validation par récurrence de l'expression du terme généralModifier
Supposant que le terme de rang s'écrive «» hypothèse de récurrence, il nous faut montrer que le terme de rang s'obtient, à partir de l'expression précédente, en remplaçant par soit «» ;
pour cela « on reporte dans la relation de récurrence » «» ou encore, le résultat attendu «» [9] d'où la démonstration de cette expression par récurrence cette expression étant établie pour les 1ers termes [10].
Il y a deux cas particuliers dépendant du rang du 1er terme :
« si » c.-à-d. si le 1er terme est de rang , «»,
« si » c.-à-d. si le 1er terme est de rang , «».
Simplification de l'expression du terme généralModifier
Nous pouvons simplifier l'expression du terme général de la suite arithmético-géométrique en reconnaissant dans son 2ème terme «» Nous pouvons simplifier l'expression du terme général de la suite arithmético-géométrique en reconnaissant un 2ème facteur «» dont la simplification dépend de la valeur de :
« pour », «» étant la somme des 1ers termes d'une progression géométrique de 1er terme et de raison «» [12],
« pour », « se réécrivant est égal à la somme de répété fois », soit «»,
Nous pouvons simplifier l'expression du terme général de la suite arithmético-géométrique d'où l'expression simplifiée du terme général
Le retour sur les deux cas particuliers dans le cas où dépendant du rang du 1er terme conduit à :
« pour » c.-à-d. si le 1er terme est de rang , «»,
« pour » c.-à-d. si le 1er terme est de rang , «».
Somme des premiers termes d'une suite arithmético-géométrique jusqu'au rang nModifier
Soit la « suite arithmético-géométrique de 1er terme , de constantes et dans la relation affine de récurrence » [14], on définit la « somme des 1ers termes jusqu'au rang » par
«» ;
son expression se réécrit «» ou, son expression se réécrit après factorisation, «» [15] ou, son expression se réécrit avec la somme des 1ères puissances entières naturelles de , «» [12],
«» ;
le résultat précédent peut encore se réécrire en faisant apparaître les deux termes extrêmes de la somme c.-à-d. «» et «», en effet le résultat précédent peut encore se réécrire «» ou, le résultat précédent peut encore se réécrire avec «» «» «», le résultat précédent peut encore se réécrire «» ou, le résultat précédent peut encore se réécrire après factorisation partielle, «» soit
«».
Les deux cas particuliers dépendant du rang du 1er terme donnent :
↑ En effet si on écrit cette somme en croissant puis en décroissant et En effet si on additionne terme à terme cette même somme, on trouve, dans «», fois le même terme d'où «» ; le cas où nous conduit au résultat classique de la somme des 1ers entiers naturels «».
↑ En effet cette somme s'écrivant «», on vérifie en la multipliant par et en développant que les termes intermédiaires s'éliminent deux à deux soit «» d'où «».
↑ Si était , la suite serait simplement « arithmétique » de raison à condition que soit non nul ; si était et , la suite deviendrait simplement « constante ».
↑ Si était nul, la suite deviendrait simplement « géométrique » de raison à condition que soit ; si était nul et , la suite deviendrait simplement « constante ».
↑ Le passage de à correspond d'une part à l'introduction du facteur dans le terme générique ce qui modifie la variation de , ce dernier variant de à au lieu de à et d'autre part la factorisation du dernier terme ce qui modifie la variation de , ce dernier variant de à au lieu de à .
↑ L'établissement pour le 2ème terme suffisait, mais il aurait été difficile d'imaginer le terme général à partir de ce 2ème terme
↑ On vérifie aisément les cas particuliers se ramenant à une suite arithmétique et et à une suite géométrique et .
![{\displaystyle \;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}=\sum \limits _{p=n_{0}}^{n}u_{p}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bba07c88059c80f16cc915d579b94db810e9aea9)
![{\displaystyle \;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}=\sum \limits _{p=n_{0}}^{n}\left[u_{n_{0}}+(p-n_{0})\,r\right]=(n-n_{0}+1)\,u_{n_{0}}+\left[\sum \limits _{p=n_{0}}^{n}(p-n_{0})\right]r\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9adca577ceecaaa04de79e571beb36930af92c4)
![{\displaystyle \;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}=(n-n_{0}+1)\,u_{n_{0}}+{\dfrac {(n-n_{0}+1)\,(n-n_{0})}{2}}\,r\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26fb7055a9e3c65a09ba9d7ce139f3d89c990d10)
![{\displaystyle \;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}=(n-n_{0}+1)\left[u_{n_{0}}+(n-n_{0})\,{\dfrac {r}{2}}\right]=(n-n_{0}+1)\left[{\dfrac {u_{n_{0}}}{2}}+{\dfrac {u_{n_{0}}+(n-n_{0})\,r}{2}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb57544e5ca8f2fe6447e9bc4be042c2da6033b9)
![{\displaystyle \;S_{\left[n_{0},n\right]}=(n-n_{0}+1)\,{\dfrac {u_{n_{0}}+u_{n}}{2}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a93faec3348fe8b654f988dfe319a0f88bd25604)
![{\displaystyle \;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}=(n-n_{0}+1)\,{\dfrac {u_{n_{0}}+u_{n}}{2}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7c582ba46b832d552307c87d8fce8490b4aadfa)
![{\displaystyle \;S_{\left[0\,,\,n\right]}=(n+1)\,{\dfrac {u_{0}+u_{n}}{2}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e7ca8a4d74f4c9690a8a089fd144f7a2fb76d9d)
![{\displaystyle \;S_{\left[1\,,\,n\right]}=n\,{\dfrac {u_{1}+u_{n}}{2}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42443f459e6ee1a443d33d32ac761632c226b623)
![{\displaystyle \;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}=\sum \limits _{p=n_{0}}^{n}\left[u_{n_{0}}\;q^{(p-n_{0})}\right]=u_{n_{0}}\left[\sum \limits _{p=n_{0}}^{n}q^{(p-n_{0})}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f3720d91f861d01983ff8cfa64c14a1324af817)
![{\displaystyle \;S_{\left[n_{0},n\right]}=u_{n_{0}}\,{\dfrac {1-q^{(n-n_{0}+1)}}{1-q}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15b2ba64e1adbfcbdb7135ddf6b4bbafeb0b6cf3)
![{\displaystyle \;S_{\left[n_{0},n\right]}={\dfrac {u_{n_{0}}-q\,u_{n}}{1-q}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8338be63e7c6d573285ca82987de3e39a5cd827)
![{\displaystyle \;S_{\left[n_{0}\,,n\,\right]}=u_{n_{0}}\,{\dfrac {1-q^{(n-n_{0}+1)}}{1-q}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db7669e96170776a825a1c7a7b1bb9ef8bb560fa)
![{\displaystyle \;S_{\left[0\,,\,n\right]}=u_{0}\,{\dfrac {1-q^{(n+1)}}{1-q}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33091c454ef4da8bd4c2738ded97db011007be99)
![{\displaystyle \;S_{\left[1\,,\,n\right]}=u_{1}\,{\dfrac {1-q^{n}}{1-q}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40145ff5799b9c062b9901287e46512c62aced76)
![{\displaystyle \;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}=\sum \limits _{p=n_{0}}^{n}\left[a^{p-n_{0}}\;u_{n_{0}}+b\;{\dfrac {1-a^{p-n_{0}}}{1-a}}\right]=u_{n_{0}}\left[\sum \limits _{p=n_{0}}^{n}a^{(p-n_{0})}\right]+{\dfrac {b}{1-a}}\left\lbrace \sum \limits _{p=n_{0}}^{n}\left[1-a^{(p-n_{0})}\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bec699e9c06627a0594272939ceb83638df56a02)
![{\displaystyle \;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}=\left[u_{n_{0}}-{\dfrac {b}{1-a}}\right]\left[\sum \limits _{p=n_{0}}^{n}a^{(p-n_{0})}\right]+{\dfrac {b}{1-a}}(n-n_{0}+1)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f08d7ee6d4fee5b064f7764c66b8bcc9735cce4)
![{\displaystyle \;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}=\left[u_{n_{0}}-{\dfrac {b}{1-a}}\right]{\dfrac {1-a^{(n-n_{0}+1)}}{1-a}}+{\dfrac {b}{1-a}}(n-n_{0}+1)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/321f240d2c94001b1ce197377d97786de741fbaa)
![{\displaystyle \;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}=\left[u_{n_{0}}-{\dfrac {b}{1-a}}\right]{\dfrac {1}{1-a}}-a\left[u_{n_{0}}\;a^{(n-n_{0})}-{\dfrac {b}{1-a}}\;a^{(n-n_{0})}\right]{\dfrac {1}{1-a}}+{\dfrac {b}{1-a}}(n-n_{0}+1)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c614a434d83f8522002af59e8cfd9152788fc8c)
![{\displaystyle \;a^{n-n_{0}}\left[u_{n_{0}}-{\dfrac {b}{1-a}}\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4af2ad8dc0376ac345f273b3f9f21e95de3e69eb)
![{\displaystyle \;S_{\left[n_{0}\,,n\,\right]}=\left[u_{n_{0}}-{\dfrac {b}{1-a}}\right]{\dfrac {1}{1-a}}-a\left[u_{n}-{\dfrac {b}{1-a}}\right]{\dfrac {1}{1-a}}+{\dfrac {b}{1-a}}(n-n_{0}+1)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0526194e15f5871395a2f43457a073a2fc65623c)
![{\displaystyle \;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}={\dfrac {u_{n_{0}}-a\,u_{n}}{1-a}}-{\dfrac {b}{(1-a)^{2}}}\left(1-a\right)+{\dfrac {b}{1-a}}(n-n_{0}+1)={\dfrac {u_{n_{0}}-a\,u_{n}}{1-a}}-{\dfrac {b}{1-a}}+{\dfrac {b}{1-a}}(n-n_{0}+1)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57e734006d291e537538c5cca6e9b8291e85c0ac)
![{\displaystyle \;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}={\dfrac {u_{n_{0}}-a\,u_{n}}{1-a}}+{\dfrac {b}{1-a}}\;(n-n_{0})\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf7d237fe734452842890348d6229bb8ea7bb772)
![{\displaystyle \;S_{\left[0\,,\,n\right]}={\dfrac {u_{0}-a\,u_{n}}{1-a}}+{\dfrac {b}{1-a}}\;n=\left[u_{0}-{\dfrac {b}{1-a}}\right]{\dfrac {1-a^{(n+1)}}{1-a}}+{\dfrac {b}{1-a}}\;(n+1)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e6f06c817c08002efa2925773c3bbc5c587f1e1)
![{\displaystyle \;S_{\left[1\,,\,n\right]}={\dfrac {u_{1}-a\,u_{n}}{1-a}}+{\dfrac {b}{1-a}}\;(n-1)=\left[u_{1}-{\dfrac {b}{1-a}}\right]{\dfrac {1-a^{n}}{1-a}}+{\dfrac {b}{1-a}}\;n\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfb14273f6f55c9e7412a9336f7cb0a67211a8ee)
![{\displaystyle =(1-q)\left[1+q+\cdots +q^{k}+\cdots +q^{(n-n_{0})}\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a96d2c61c1dadfde380059d0687ed28196bda3c7)
