Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Champs (ou fonctions) scalaire et vectoriel(le) de l'espace, différentielle d'un champ de deux variables

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Notion d'espace

     Dans ce chapitre on entendra par « espace », que l'on notera $\;{\mathcal {E}}$, l'« ensemble des positions que peut occuper un solide de petite dimension assimilable à un point » ; cet espace est :

• « affine », c.-à-d. tel qu'on peut y définir le parallélisme et la notion de barycentre et
• « euclidien », c.-à-d. que la « direction de l'espace affine » est un espace $\;\mathbb {R} -{\text{vectoriel}}\;$ dans lequel on définit un produit scalaire permettant de déterminer la distance entre deux points de l'espace affine $\;{\big (}$égale à la norme du vecteur associé au bipoint${\big )}\;$ et l'angle entre deux bipoints $\;{\big (}$se déterminant à l'aide du produit scalaire des vecteurs associés aux bipoints${\big )}$.

Champ (ou fonction) scalaire de l'espace

Définition intrinsèque d'un champ (ou d'une fonction) scalaire de l'espace

Définition

     Soit un point $\;M\;$ de l'espace $\;{\mathcal {E}}$, on définit un champ $\;{\big (}$ou une fonction${\big )}\;$ scalaire $\;f\;$ de $\;M\;$ selon :«$\;M\;{\overset {f}{\rightarrow }}\;f(M)\in \mathbb {R} ,\;\;\forall \;M\in {\mathcal {E}}\;$» .

Définition d'un champ (ou d'une fonction) scalaire de l'espace dans lequel on a choisi une base cartésienne pour repérer les points

     Soit une base fixe de l'« espace physique » notée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x},\;{\vec {u}}_{y},\;{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ et appelée « cartésienne » ;

     tout point $\;M\;$ est alors caractérisé par un triplet de réels correspondant à ses coordonnées $\;(x,\,y,\,z)\;$ tel que, $\;O\;$ étant un point fixe de $\;{\mathcal {E}}\;$ choisi comme origine du repérage, $\;{\overrightarrow {OM}}=x\,{\vec {u}}_{x}+y\,{\vec {u}}_{y}+z\,{\vec {u}}_{z}$.

Définition

     Soit un point $\;M\;$ de l'espace $\;{\mathcal {E}}\;$ de coordonnées $\;(x,\,y,\,z)$, on définit un champ $\;{\big (}$ou une fonction${\big )}\;$ scalaire $\;f\;$ de $\;M\;$ selon : «$\;(x,\,y,\,z)\;{\overset {f}{\rightarrow }}\;f(x,\,y,\,z)\in \mathbb {R} ,\;\;\forall \;(x,\,y,\,z)\in \mathbb {R} ^{3}\;$» .

     Un champ $\;{\big (}$ou une fonction${\big )}\;$ scalaire de l'espace s'identifie à une fonction scalaire des trois coordonnées du point de l'espace.

Exemples de champ (ou fonction) scalaire de l'espace

• Pression atmosphérique ou température en tout point de l'espace ;
• énergies diverses : potentielle de pesanteur, cinétique, mécanique $\ldots$

Caractérisation de la variation du champ (ou de la fonction) scalaire de l'espace

     Pour caractériser la variation du champ $\;{\big (}$ou d'une fonction${\big )}\;$ scalaire $\;f\;$ de l'espace physique $\;{\mathcal {E}}$, on peut introduire
     Pour caractériser la variation du champ $\;\color {transparent}{\big (}$ou d'une fonction$\color {transparent}{\big )}\;$ scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ le repérage du point générique $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {E}}\;$ en utilisant une base cartésienne $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x},\,{\vec {u}}_{y},\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ de l'espace vectoriel associé à $\;{\mathcal {E}}\;$, $\;M\;$ ayant alors pour coordonnées $\;(x,\,y,\,z)$, on en déduit que
     Pour caractériser la variation le champ $\;{\big (}$ou la fonction${\big )}\;$ scalaire $\;f(M)\;$ s'identifie à la fonction scalaire des trois coordonnées de $\;M$, $\;f(x,\,y,\,z)$, ces coordonnées étant indépendantes dans la mesure où $\;M\;$ est libre dans $\;{\mathcal {E}}\;$ soit «$\;f(M)=f(x,\,y,\,z)\;$» ;

     Pour caractériser la variation de $\;f(M)\;$ peut être déterminée :

• à l'aide des signes des dérivées partielles de $\;f\;$ par rapport aux coordonnées de $\;M\;$ ${\big [}$voir le paragraphe « définitions des dérivées partielles » du chap.$6$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »${\big ]}\;$ ou
• à l'aide du signe de la différentielle de $\;f\;$ relativement aux signes des éléments différentiels des coordonnées de $\;M\;$ ${\big [}$voir le paragraphe « définition de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes » du chap.$6$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »${\big ]}$.

     Nous traiterons cette caractérisation sur un exemple : comment varie la température $\;T(M)\;$ dans l'espace $\;{\mathcal {E}}\;$ ?

Caractérisation par signe des dérivées partielles

     Supposons connu le champ scalaire $\;T(M)=T(x,\,y,\,z)\;$ c.-à-d. égal à la fonction des coordonnées cartésiennes de $\;M$, nous nous proposons de connaître la variation de $\;T\;$ relativement à $\;x\;$ sans faire varier $\;y\;$ et $\;z\;$, nous aurons alors les variations suivantes :

• «$\;T\nearrow \;$ quand $\;x\nearrow \;$ à $\;y\;$ et $\;z\;$ constants » si «$\;\left({\dfrac {\partial T}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}>0\;$»,
• «$\;T\searrow \;$ quand $\;x\nearrow \;$ à $\;y\;$ et $\;z\;$ constants » si «$\;\left({\dfrac {\partial T}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}<0\;$» et
• «$\;T\;$ reste stationnaire quand $\;x\;$ varie à $\;y\;$ et $\;z\;$ constants » si «$\;\left({\dfrac {\partial T}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}=0;$».

     L'inconvénient de cette méthode est qu'elle n'autorise que la variation d'une coordonnée à la fois.

Caractérisation par signe de la différentielle

     Supposons connu le champ scalaire $\;T(M)=T(x,\,y,\,z)\;$ c.-à-d. égal à la fonction des coordonnées cartésiennes de $\;M$, nous nous proposons de connaître la variation de $\;T\;$ par exemple le long de la droite d'équations «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x+y=1\\z=2\end{array}}\right.\;$»  ;

     pour cela nous évaluons $\;dT\;$ dans le contexte de la variation de $\;M\;$ à savoir «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}dx+dy=0\\dz=0\end{array}}\right.\;$» à partir du point «$\;(x_{0},\;y_{0}=1-x_{0},\;z_{0}=1)\;$» soit

«$\;dT=\left({\dfrac {\partial T}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\,dx+\left({\dfrac {\partial T}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\,dy+{\cancel {\left({\dfrac {\partial T}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\,dz}}\;$» ou,

     « en remplaçant $\;dy\;$ par $\;-dx\;$» pour satisfaire à la courbe suivie,

«$\;dT=\left[\left({\dfrac {\partial T}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})-\left({\dfrac {\partial T}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\right]dx\;$»

     expression permettant de déduire les variations de $\;T\;$ le long de la droite d'équations «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x+y=1\\z=2\end{array}}\right.\;$» à partir du point «$\;(x_{0},\;y_{0}=1-x_{0},\;z_{0}=1)\;$» :

• «$\;T\nearrow \;$ quand $\;x\nearrow \;$ le long de $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x+y=1\\z=2\end{array}}\right.\;$» si «$\;dT>0\;$» ou si «$\;\left({\dfrac {\partial T}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})>\left({\dfrac {\partial T}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\;$»,
• «$\;T\searrow \;$ quand $\;x\nearrow \;$ le long de $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x+y=1\\z=2\end{array}}\right.\;$» si «$\;dT<0\;$» ou si «$\;\left({\dfrac {\partial T}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})<\left({\dfrac {\partial T}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\;$» et
• «$\;T\;$ reste stationnaire quand $\;x\;$ varie le long de $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x+y=1\\z=2\end{array}}\right.\;$» si «$\;dT=0\;$» ou si «$\;\left({\dfrac {\partial T}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=\left({\dfrac {\partial T}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\;$».

Commentaire final

     La méthode la plus complète pour déterminer la variation d'un champ scalaire de l'espace est donc de procéder par évaluation de sa différentielle mais
     la méthode la plus rapide, quand on souhaite uniquement des variations parallèlement aux axes de coordonnées cartésiennes est de procéder par calcul des dérivées partielles ;
     nous introduirons la notion de « champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace » dans le chap.$18$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » qui donnera une version plus compacte de ces deux méthodes dans le paragraphe « caractérisation de la variation d'une fonction scalaire de l'espace à l'aide de son gradient ».

Champ (ou fonction) vectoriel(le) de l'espace

Définition intrinsèque d'un champ (ou d'une fonction) vectoriel(le) de l'espace

Définition

     Soit un point $\;M\;$ de l'espace $\;{\mathcal {E}}$, on définit un champ $\;{\big (}$ou une fonction${\big )}\;$ vectoriel(le) $\;{\vec {f}}\;$ de $\;M\;$ selon :«$\;M\;{\overset {\vec {f}}{\rightarrow }}\;{\vec {f}}(M)\in {\mathcal {V}},\;\forall \;M\in {\mathcal {E}}\;$» , où «$\;{\mathcal {V}}\;$ est un espace $\;\mathbb {R} -{\text{vectoriel}}\;$» .

Définition d'un champ (ou d'une fonction) vectoriel(le) de l'espace dans lequel on a choisi une base cartésienne pour repérer les points

     Soit une base fixe de l'« espace physique » notée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x},\;{\vec {u}}_{y},\;{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ et appelée « cartésienne » ;

     tout point $\;M\;$ est alors caractérisé par un triplet de réels correspondant à ses coordonnées $\;(x,\,y,\,z)\;$ tel que, $\;O\;$ étant un point fixe de $\;{\mathcal {E}}\;$ choisi comme origine du repérage, $\;{\overrightarrow {OM}}=x\,{\vec {u}}_{x}+y\,{\vec {u}}_{x}+z\,{\vec {u}}_{z}$.

Définition

     Soit un point $\;M\;$ de l'espace $\;{\mathcal {E}}\;$ de coordonnées $\;(x,\,y,\,z)$, on définit un champ $\;{\big (}$ou une fonction${\big )}\;$ vectoriel(le) $\;{\vec {f}}\;$ de $\;M\;$ selon «$\;(x,\,y,\,z)\;{\overset {\vec {f}}{\rightarrow }}\;{\vec {f}}(x,\,y,\,z)\in {\mathcal {V}},\;\;\forall \;(x,\,y,\,z)\in \mathbb {R} ^{3}\;$» , $\;{\mathcal {V}}\;$ étant l'« espace vectoriel image » ;      usuellement $\;{\mathcal {V}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\;$ permet de définir les composantes de $\;{\vec {f}}(x,\,y,\,z)\;$ dans la même base cartésienne selon «$\;{\vec {f}}(x,\,y,\,z)=f_{x}(x,\,y,\,z)\,{\vec {u}}_{x}+f_{y}(x,\,y,\,z)\,{\vec {u}}_{x}+f_{z}(x,\,y,\,z)\,{\vec {u}}_{z}\;$»,      la définition du champ $\;{\big (}$ou fonction${\big )}\;$ vectoriel(le) de l'espace étant alors équivalente à la définition des trois champs $\;{\big (}$ou fonctions${\big )}\;$ scalaires de l'espace correspondant à ses composantes «$\;(x,\,y,\,z)\left\lbrace {\begin{array}{l}{\overset {f_{x}}{\rightarrow }}\;f_{x}(x,\,y,\,z)\in \mathbb {R} \\{\overset {f_{y}}{\rightarrow }}\;f_{y}(x,\,y,\,z)\in \mathbb {R} \\{\overset {f_{z}}{\rightarrow }}\;f_{z}(x,\,y,\,z)\in \mathbb {R} \end{array}}\right.,\;\;\forall \,(x,\,y,\,z)\in \mathbb {R} ^{3}\;$» .

     Un champ $\;{\big (}$ou une fonction${\big )}\;$ vectoriel(le) de l'espace s'identifie aux trois fonctions scalaires des trois coordonnées du point de l'espace correspondant aux trois composantes du champ${\underline {\;(}}$ou fonction${\underline {)\;}}$vectoriel(le) .

Exemples de champ (ou fonction) vectoriel(le) de l'espace

• Champ de pesanteur en tout point de l'espace ou autres champs, électrique, magnétique $\ldots$
• vecteur position du point $\;M\;$ de l'espace $\;{\overrightarrow {OM}}$, vecteur vitesse, vecteur accélération $\ldots$

Caractérisation de la variation du champ (ou de la fonction) vectoriel(le) de l'espace

     Pour caractériser la variation du champ $\;{\big (}$ou fonction${\big )}\;$ vectoriel(le) $\;{\vec {f}}\;$ de l'espace physique $\;{\mathcal {E}}\;$ on peut introduire
     Pour caractériser la variation du champ $\;\color {transparent}{\big (}$ou fonction$\color {transparent}{\big )}\;$ vectoriel(le) $\;\color {transparent}{\vec {f}}\;$ le repérage du point générique $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {E}}\;$ en définissant une base cartésienne $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x},\,{\vec {u}}_{y},\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ de l'espace vectoriel associé à $\;{\mathcal {E}}\;$, $\;M\;$ ayant alors pour coordonnées $\;(x,\,y,\,z)$, on en déduit que
     Pour caractériser la variation le champ $\;{\big (}$ou la fonction${\big )}\;$ vectoriel(le) $\;{\vec {f}}(M)\;$ s'identifie aux trois fonctions scalaires des trois coordonnées du point de l'espace correspondant aux trois composantes du champ $\;{\big (}$ou fonction${\big )}\;$ vectoriel(le), ces coordonnées $\;(x,\,y,\,z)\;$ étant indépendantes dans la mesure où $\;M\;$ est libre dans $\;{\mathcal {E}}\;$ soit «$\;M\left\lbrace {\begin{array}{l}{\overset {f_{x}}{\rightarrow }}\;f_{x}(M)\in \mathbb {R} \\{\overset {f_{y}}{\rightarrow }}\;f_{y}(M)\in \mathbb {R} \\{\overset {f_{z}}{\rightarrow }}\;f_{z}(M)\in \mathbb {R} \end{array}}\right.,\;\;\forall \;M\in {\mathcal {E}}$» ;

     Pour caractériser la variation du champ $\;{\big (}$ou fonction${\big )}\;$ vectoriel(le) $\;{\vec {f}}\;$ de l'espace physique $\;{\mathcal {E}}$, peut être déterminée en étudiant séparément les variations des trois champs $\;{\big (}$ou fonctions${\big )}\;$ scalaires s'identifiant aux trois composantes cartésiennes de $\;{\vec {f}}\;$ à savoir les variations de $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}f_{x}(M)\\f_{y}(M)\\f_{z}(M)\end{array}}\right.$, par la méthode des dérivées partielles ou celle de la différentielle $\ldots$

Écriture de la différentielle du champ (ou de la fonction) vectoriel(le) de l'espace, une base cartésienne de ce dernier ayant été choisie

     Préliminaire : Les quelques règles de calcul de la différentielle d'une fonction scalaire vue au chap.$6$ dans le paragraphe « règles de calcul de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes » de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » restent applicables pour le calcul de la différentielle d'une fonction vectorielle.

     Comme «$\;{\vec {f}}(M)=f_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}+f_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}+f_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\;$» avec «$\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x},\,{\vec {u}}_{y},\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ base cartésienne de l'espace vectoriel associé à $\;{\mathcal {E}}\;$» , sa différenciation $\;{\big (}$compte-tenu du fait que les vecteurs de base sont constants${\big )}\;$ conduit à

«$\;d\!\left({\vec {f}}\right)(M)=df_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}+df_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}+df_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\;$» ou encore
$\;{\begin{aligned}{\text{« }}d\!\left({\vec {f}}\right)(M)=&\left[\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(M)\,dx+\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(M)\,dy+\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(M)\,dz\right]{\vec {u}}_{x}+\cdots \\\ &\cdots \left[\left({\dfrac {\partial f_{y}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(M)\,dx+\left({\dfrac {\partial f_{y}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(M)\,dy+\left({\dfrac {\partial f_{y}}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(M)\,dz\right]{\vec {u}}_{y}+\cdots \\\ &\cdots \left[\left({\dfrac {\partial f_{z}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(M)\,dx+\left({\dfrac {\partial f_{z}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(M)\,dy+\left({\dfrac {\partial f_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(M)\,dz\right]{\vec {u}}_{z}{\text{ ».}}\end{aligned}}\;$

Explicitation de la variation du champ (ou de la fonction) vectoriel(le) de l'espace par l'étude des dérivées partielles de ses composantes cartésiennes

     Une base cartésienne $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ étant choisie, la variation de la fonction vectorielle $\;{\vec {f}}\;\left(f_{x}\,,\,f_{y}\,,\,f_{z}\right)\;$ à partir d'un point $\;M_{0}\;$ $\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)\;$ de l'espace $\;{\mathcal {E}}\;$ revient à l'étude de
     Une base cartésienne $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace }\;$ étant choisie, la variation de chaque composante cartésienne de $\;{\vec {f}}$, à savoir $\;f_{x}$, $\;f_{y}\;$ et $\;f_{z}\;$ en fonction de chacune des coordonnées de $\;M$, à savoir $\;x$, $\;y\;$ et $\;z$,
     Une base cartésienne $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace }\;$ étant choisie, c.-à-d. l'étude du signe des neuf dérivées partielles des composantes cartésiennes de $\;{\vec {f}}$ ;

     par exemple l'étude de la variation de $\;f_{x}(M)\;$ à partir de $\;M_{0}\;$ relativement à $\;y\;$ est la suivante  :

• «$\;f_{x}(M)\nearrow \;$ quand $\;y\nearrow \;$ à $\;x\;$ et $\;z\;$ restant figés » si «$\;\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M_{0})\;$ est $\;>0\;$»,
• «$\;f_{x}(M)\searrow \;$ quand $\;y\nearrow \;$ à $\;x\;$ et $\;z\;$ restant figés » si «$\;\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M_{0})\;$ est $\;<0\;$» et
• «$\;f_{x}(M)\;$ reste stationnaire quand $\;y\;$ varie à $\;x\;$ et $\;z\;$ restant figés » si «$\;\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M_{0})\;$ est $\;=0\;$».

Explicitation de la variation du champ (ou de la fonction) vectoriel(le) de l'espace par l'étude de la différentielle de ses composantes cartésiennes

     Une base cartésienne $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ étant choisie, la variation de la fonction vectorielle $\;{\vec {f}}\;\left(f_{x}\,,\,f_{y}\,,\,f_{z}\right)\;$ à partir d'un point $\;M_{0}\;$ $\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)\;$ de l'espace $\;{\mathcal {E}}\;$ peut être faite par l'étude de
     Une base cartésienne $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace }\;$ étant choisie, la variation de la différentielle de chaque composante cartésienne de $\;{\vec {f}}$, à savoir les différentielles $\;df_{x}$, $\;df_{y}\;$ et $\;df_{z}\;$ explicitées en fonction des coordonnées de $\;M$,
     Une base cartésienne $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace }\;$ étant choisie, c.-à-d. par l'étude du signe des trois différentielles des composantes cartésiennes de $\;{\vec {f}}$ ;

     par exemple l'étude de la variation de $\;f_{x}(M)\;$ à partir de $\;M_{0}\;$ le long de la droite d'équations «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x+y=1\\z=2\end{array}}\right.\;$» utilisant l'expression de la différentielle de $\;f_{x}(M)\;$ à savoir

«$\;df_{x}(M_{0})=\left[\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(M_{0})\,dx+\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(M_{0})\,dy+\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(M_{0})\,dz\right]\;$»

     par exemple l'étude de la variation de $\;\color {transparent}{f_{x}(M)}\;$ à partir de $\;\color {transparent}{M_{0}}\;$ le long de la droite d'équations «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{l}x+y=1\\z=2\end{array}}\right.}\;$» est la suivante  :
     pour cela nous évaluons $\;df_{x}\;$ dans le contexte de la variation de $\;M\;$ à savoir «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}dx+dy=0\\dz=0\end{array}}\right.\;$» à partir du point «$\;(x_{0},\;y_{0}=1-x_{0},\;z_{0}=1)\;$» soit

«$\;df_{x}=\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\,dx+\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\,dy+{\cancel {\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\,dz}}\;$» ou,

     « en remplaçant $\;dy\;$ par $\;-dx\;$» pour satisfaire à la courbe suivie,

«$\;df_{x}=\left[\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})-\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\right]dx\;$»

     expression permettant de déduire les variations de $\;f_{x}\;$ le long de la droite d'équations «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x+y=1\\z=2\end{array}}\right.\;$» à partir du point «$\;(x_{0},\;y_{0}=1-x_{0},\;z_{0}=1)\;$» :

• «$\;f_{x}\nearrow \;$ quand $\;x\nearrow \;$ le long de $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x+y=1\\z=2\end{array}}\right.\;$» si «$\;df_{x}>0\;$» ou si «$\;\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})>\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\;$»,
• «$\;f_{x}\searrow \;$ quand $\;x\nearrow \;$ le long de $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x+y=1\\z=2\end{array}}\right.\;$» si «$\;df_{x}<0\;$» ou si «$\;\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})<\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\;$» et
• «$\;f_{x}\;$ reste stationnaire quand $\;x\;$ varie le long de $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x+y=1\\z=2\end{array}}\right.\;$» si «$\;df_{x}=0\;$» ou si «$\;\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\;$».

Commentaire final

     La méthode la plus complète pour déterminer la variation d'un champ vectoriel de l'espace est donc de procéder par évaluation de la différentielle de ses composantes cartésiennes mais
     la méthode la plus rapide, quand on souhaite uniquement des variations parallèlement aux axes de coordonnées cartésiennes est de procéder par calcul des dérivées partielles de ses composantes cartésiennes ;
     existe-t-il, pour un champ vectoriel, une notion plus compacte comme l'est celle de « gradient » pour un champ scalaire  ?
     Pour cela, cette grandeur devrait avoir neuf composantes traduisant les variations des trois composantes suivant les trois dimensions et devrait posséder un « caractère de dérivation », au niveau de ce chapitre la réponse est donc « non » .