Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Champs (ou fonctions) scalaire et vectoriel(le) de l'espace, différentielle d'un champ de deux variables
Notion d'espace modifier
Dans ce chapitre on entendra par « espace », que l'on notera , l'« ensemble des positions que peut occuper un solide de petite dimension assimilable à un point » ; cet espace est :
- « affine », c.-à-d. tel qu'on peut y définir le parallélisme et la notion de barycentre et
- « euclidien », c.-à-d. que la « direction de l'espace affine » [1] est un espace -vectoriel [2] dans lequel on définit
« euclidien », un produit scalaire permettant de déterminer la distance entre deux points de l'espace affine égale à la norme du vecteur associé au bipoint et
« euclidien », un produit scalaire permettant de déterminer l'angle entre deux bipoints à l'aide du produit scalaire des vecteurs associés aux bipoints [3].
Champ (ou fonction) scalaire de l'espace modifier
Définition intrinsèque d'un champ (ou d'une fonction) scalaire de l'espace modifier
Définition d'un champ (ou d'une fonction) scalaire de l'espace dans lequel on a choisi une base cartésienne pour repérer les points modifier
Soit une base fixe de l'« espace physique » [5] notée et appelée « cartésienne » ;
tout point est alors caractérisé par un triplet de réels correspondant à ses coordonnées tel que, étant un point fixe de choisi comme origine du repérage,
tout point est alors caractérisé par un triplet de réels correspondant à ses coordonnées tel que, « ».
Un champ ou une fonction scalaire de l'espace s'identifie à une fonction scalaire des trois coordonnées du point de l'espace.
Exemples de champ (ou fonction) scalaire de l'espace modifier
- Pression atmosphérique ou température en tout point de l'espace ;
- énergies diverses : potentielle de pesanteur, cinétique, mécanique
Caractérisation de la variation du champ (ou de la fonction) scalaire de l'espace modifier
Pour caractériser la variation du champ ou d'une fonction scalaire de l'espace physique , on peut introduire le repérage du point générique dans en utilisant une base cartésienne
Pour caractériser la variation du champ ou d'une fonction scalaire de l'espace physique , on peut introduire le repérage du point générique de l'espace vectoriel associé à [7],
Pour caractériser la variation du champ ou d'une fonction scalaire de l'espace physique , on peut introduire le repérage du point générique ayant alors pour coordonnées ,
Pour caractériser la variation du champ ou d'une fonction scalaire de l'espace physique , on en déduit que le champ ou la fonction scalaire s'identifie à
Pour caractériser la variation du champ ou d'une fonction scalaire de l'espace physique , on en déduit que la fonction scalaire des trois coordonnées de , ,
Pour caractériser la variation du champ ou d'une fonction scalaire de l'espace physique , on en déduit que la fonction scalaire ces coordonnées étant indépendantes si est libre dans soit
Pour caractériser la variation du champ ou d'une fonction scalaire de l'espace physique , on en déduit que « » ;
Pour caractériser la variation du champ ou d'une fonction scalaire de l'espace physique , on en déduit que la variation de peut être déterminée à l'aide
Pour caractériser la variation du champ ou d'une fonction scalaire de l'espace physique , on en déduit que des signes des dérivées partielles de par rapport aux coordonnées de [8] ou
Pour caractériser la variation du champ ou d'une fonction scalaire de l'espace physique , on en déduit que du signe de la différentielle de relativement aux signes des éléments différentiels
Pour caractériser la variation du champ ou d'une fonction scalaire de l'espace physique , on en déduit que du signe de la différentielle de relativement des coordonnées de [9].
Nous traiterons cette caractérisation sur un exemple : comment varie la température dans l'espace ?
Caractérisation par signe des dérivées partielles modifier
Supposons connu le champ scalaire température c.-à-d. connu en fonction des coordonnées cartésiennes de ,
nous nous proposons de connaître la variation de relativement à sans faire varier et [10], nous aurons alors
nous nous proposons de connaître les variations suivantes : « quand à et constants » si « » [8],
nous nous proposons de connaître les variations suivantes : « quand à et constants » si « » [8] et
nous nous proposons de connaître les variations suivantes : « reste stationnaire quand varie à et constants » si « » [8].
Remarque : L'inconvénient de cette méthode est qu'elle n'autorise que la variation d'une coordonnée à la fois.
Caractérisation par signe de la différentielle modifier
Supposons connu le champ scalaire température c.-à-d. connu en fonction des coordonnées cartésiennes de ,
nous nous proposons de connaître la variation de le long d'une courbe par exemple le long de la droite d'équations « » [11] ; pour cela,
nous évaluons la différentielle [9] dans le contexte de la variation de à savoir « » à partir du point « » paramétré par soit
nous évaluons la différentielle « » [9] ou, « en remplaçant par » pour satisfaire à la courbe suivie,
nous évaluons la différentielle « » [9],
nous évaluons la différentielle expression permettant de déduire les variations de le long de la droite d'équations « » [11] à partir du point « » :
nous évaluons la différentielle expression permettant de déduire « quand le long de » si « » ou si « » [8],
nous évaluons la différentielle expression permettant de déduire « quand le long de » si « » ou si « » [8] et
nous évaluons la différentielle expression permettant de déduire « reste stationnaire quand varie le long de » si « » ou
nous évaluons la différentielle expression permettant de déduire « reste stationnaire quand varie le long de » si « » [8].
![{\displaystyle \;dT=\left[\left({\dfrac {\partial T}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})-\left({\dfrac {\partial T}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\right]dx\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/682d1ff30574b11ec51eaea524a830e58fef9082)
Commentaire final modifier
La méthode la plus complète pour déterminer la variation d'un champ scalaire de l'espace est donc de procéder par évaluation de sa différentielle mais
la méthode la plus rapide, quand on souhaite uniquement des variations parallèlement aux axes de coordonnées cartésiennes est de procéder par calcul des dérivées partielles ;
nous introduirons la notion de « champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace » dans le chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » qui donnera
nous introduirons une version plus compacte de ces deux méthodes dans le paragraphe « caractérisation de la variation d'une fonction scalaire de l'espace à l'aide de son gradient » du même chap. de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
Champ (ou fonction) vectoriel(le) de l'espace modifier
Définition intrinsèque d'un champ (ou d'une fonction) vectoriel(le) de l'espace modifier
Définition d'un champ (ou d'une fonction) vectoriel(le) de l'espace dans lequel on a choisi une base cartésienne pour repérer les points modifier
Soit une base fixe de l'« espace physique » [5] notée et appelée « cartésienne » ;
tout point est alors caractérisé par un triplet de réels correspondant à ses coordonnées tel que, étant un point fixe de choisi comme origine du repérage,
tout point est alors caractérisé par un triplet de réels correspondant à ses coordonnées tel que, « ».
la définition des trois champs ou fonctions scalaires de l'espace correspondant à ses composantes
la définition des trois champs ou fonctions scalaires « » [6].
Un champ ou une fonction vectoriel(le) de l'espace s'identifie aux trois fonctions scalaires des trois coordonnées du point de l'espace
Un champ ou une fonction vectoriel(le) de l'espace s'identifie aux correspondant aux trois composantes du champ ou fonction vectoriel(le) [13].
Exemples de champ (ou fonction) vectoriel(le) de l'espace modifier
- Champ de pesanteur en tout point de l'espace ou autres champs, électrique, magnétique
- vecteur position du point de l'espace , vecteur vitesse, vecteur accélération
Caractérisation de la variation du champ (ou de la fonction) vectoriel(le) de l'espace modifier
Pour caractériser la variation du champ fonction vectoriel(le) de l'espace physique on peut introduire le repérage du point générique dans en utilisant une base cartésienne
Pour caractériser la variation du champ fonction vectoriel(le) de l'espace physique , on peut introduire le repérage du point générique de l'espace vectoriel associé à [7],
Pour caractériser la variation du champ fonction vectoriel(le) de l'espace physique , on peut introduire le repérage du point générique ayant alors pour coordonnées ,
Pour caractériser la variation du champ fonction vectoriel(le) de l'espace physique , on en déduit que le champ ou la fonction vectoriel(le) s'identifie aux
Pour caractériser la variation du champ fonction vectoriel(le) de l'espace physique , on en déduit que trois fonctions scalaires des trois coordonnées de , [13]
Pour caractériser la variation du champ fonction vectoriel(le) de l'espace physique , on en déduit que trois fonctions scalaires ces coordonnées étant indépendantes si est libre dans soit
Pour caractériser la variation du champ fonction vectoriel(le) de l'espace physique , on en déduit que « » ;
Pour caractériser la variation du champ fonction vectoriel(le) de l'espace physique , on en déduit que la variation de peut être déterminée en étudiant les variations de à l'aide
Pour caractériser la variation du champ fonction vectoriel(le) de l'espace physique , on en déduit que des signes des dérivées partielles de par rapport aux coordonnées de [8]
Pour caractériser la variation du champ fonction vectoriel(le) de l'espace physique , on en déduit que ou
Pour caractériser la variation du champ fonction vectoriel(le) de l'espace physique , on en déduit que du signe de la différentielle de relativement aux signes des éléments
Pour caractériser la variation du champ fonction vectoriel(le) de l'espace physique , on en déduit que du signe de la différentielle de différentiels des coordonnées de [9].
Écriture de la différentielle du champ (ou de la fonction) vectoriel(le) de l'espace, une base cartésienne de ce dernier ayant été choisie modifier
Préliminaire : Les règles de calcul de la différentielle d'une fonction scalaire [14] vues au chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
Préliminaire : Les règles de calcul de la différentielle d'une fonction scalaire restent applicables pour le calcul de la différentielle d'une fonction vectorielle
Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en terme de fonction vectorielle donne « »,
Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en terme de fonction vectorielle donne « »,
Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en terme de fonction vectorielle donne « » on peut utiliser la commutativité de la multiplication scalaire [15] ,
Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en terme de fonction vectorielle donne « » attention la multiplication vectorielle est anticommutative [16] .
Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en terme de fonctions scalaire et vectorielle donne « » [17] commutativité applicable ,
Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en terme de fonctions scalaire et vectorielle donne « » [17] commutativité applicable ,
Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en terme de fonctions scalaire et vectorielle donne «
Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en terme de fonctions scalaire et vectorielle donne « ou, par utilisation
Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en terme de fonctions scalaire et vectorielle donne « de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition
Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en terme de fonctions scalaire et vectorielle donne « de la distributivité de la multiplication scalaire relativement vectorielle [18]
Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en terme de fonctions scalaire et vectorielle donne « »
Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en terme de fonctions scalaire et vectorielle donne attention seules les permutations circulaires laissent le produit mixte invariant [19] .
![{\displaystyle {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d63350d68291e3f56604a089e0e0b5a86c2472)
![{\displaystyle =\left[d\!\left({\vec {f}}\right)\wedge \,{\vec {g}}+{\vec {f}}\wedge \,d{\Big (}\,{\vec {g}}\,{\Big )}\right]\cdot \,{\vec {h}}+\left({\vec {f}}\wedge \,{\vec {g}}\right)\cdot d\!\left({\vec {h}}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8c8b100e5c154f84a0edaa9eceb8f8d6d126c1e)
![{\displaystyle =\left[d\!\left({\vec {f}}\right)\wedge \,{\vec {g}}\right]\cdot \,{\vec {h}}+\left[{\vec {f}}\wedge \,d{\Big (}\,{\vec {g}}\,{\Big )}\right]\cdot \,{\vec {h}}+\left[{\vec {f}}\wedge \,{\vec {g}}\right]\cdot d\!\left({\vec {h}}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57dfe767fb299d8fcea6eee51c0e7c70429e914b)
Différenciant « » avec « base cartésienne de l'espace vectoriel associé à » [7], les vecteurs de base étant constants , on obtient
Différenciant « ou encore
Différenciant «
Différenciant « » [9].
![{\displaystyle =\left[\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(M)\,dx+\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(M)\,dy+\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(M)\,dz\right]{\vec {u}}_{x}+\left[\left({\dfrac {\partial f_{y}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(M)\,dx+\left({\dfrac {\partial f_{y}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(M)\,dy+\left({\dfrac {\partial f_{y}}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(M)\,dz\right]{\vec {u}}_{y}\;\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40694b9ce670d24b3922be08e81e8a80a99571c8)
![{\displaystyle \cdots \;+\left[\left({\dfrac {\partial f_{z}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(M)\,dx+\left({\dfrac {\partial f_{z}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(M)\,dy+\left({\dfrac {\partial f_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(M)\,dz\right]{\vec {u}}_{z}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3cd99082fe44bc8d41fa21eac4bc740fe062c76)
Explicitation de la variation du champ (ou de la fonction) vectoriel(le) de l'espace par l'étude des dérivées partielles de ses composantes cartésiennes modifier
Une base cartésienne étant choisie, la variation de la fonction vectorielle à partir d'un point de l'espace revient à l'étude de
Une base cartésienne étant choisie, la variation de « chaque composante cartésienne de , , et » en fonction de « chacune des coordonnées de , , et »,
Une base cartésienne étant choisie, c.-à-d. l'étude du signe des neuf dérivées partielles des composantes cartésiennes de ;
par exemple l'étude de la variation de à partir de relativement à est la suivante [20] « quand à et restant figés » si « » [8],
par exemple l'étude de la variation de à partir de relativement à est la suivante « quand à et restant figés » si « » [8] et
par exemple l'étude de la variation de à partir de relativement à est la suivante « reste stationnaire quand varie à et figés » si « » [8].
Remarque : L'inconvénient de cette méthode est qu'elle n'autorise que la variation d'une composante cartésienne de la fonction vectorielle suivant une coordonnée à la fois,
Remarque : L'inconvénient de cette méthode il faut donc faire l'étude pour les neuf dérivées partielles des trois composantes suivant les trois coordonnées.
Explicitation de la variation du champ (ou de la fonction) vectoriel(le) de l'espace par l'étude de la différentielle de ses composantes cartésiennes modifier
Une base cartésienne étant choisie, la variation de la fonction vectorielle à partir d'un point de l'espace peut être faite par l'étude de
Une base cartésienne étant choisie, la variation des différentielles , et des composantes cartésiennes de explicitées en fonction des coordonnées de ,
Une base cartésienne étant choisie, c.-à-d. par l'étude du signe des trois différentielles , et des composantes cartésiennes de ;
par exemple l'étude de la variation de le long de la droite d'équations « » [11], [21] à partir de paramétré par
par exemple l'étude de la variation de utilisant l'expression de la différentielle de « » [9]
par exemple l'étude de la variation de dans le contexte de la variation de à savoir « » à partir du point « » paramétré par
par exemple l'étude de la variation de est la suivante [22] « » [9] ou,
par exemple l'étude de la variation de « en remplaçant par » pour satisfaire à la courbe suivie, « » [9],
par exemple l'étude de la variation de « en remplaçant par » pour satisfaire à la courbe suivie, expression permettant de déduire les variations de le long de la droite d'équations
par exemple l'étude de la variation de « en remplaçant par » pour satisfaire à la courbe suivie, « » [11] à partir du point « »
par exemple l'étude de la variation de « en remplaçant par » pour satisfaire à la courbe suivie, « » à partir du point paramétré par :
par exemple l'étude de la variation de « quand le long de » [11] si « » ou si « » [8],
par exemple l'étude de la variation de « quand le long de » [11] si « » ou si « » [8] et
par exemple l'étude de la variation de « reste stationnaire quand varie le long de » [11] si « » ou
par exemple l'étude de la variation de « reste stationnaire quand varie le long de » si « » [8].
![{\displaystyle \;df_{x}(M_{0})=\left[\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(M_{0})\,dx+\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(M_{0})\,dy+\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(M_{0})\,dz\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2c7ea92153b674fa7c8fc34bde8274942f663ec)
![{\displaystyle \;df_{x}=\left[\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})-\left({\dfrac {\partial f_{x}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\right]dx\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41b7cc71a88d8d93fac26722fc9545578358ee11)
Commentaire final modifier
La méthode la plus complète pour déterminer la variation d'un champ vectoriel de l'espace est donc de procéder par évaluation de la différentielle de ses composantes cartésiennes mais
la méthode la plus rapide, quand on souhaite uniquement des variations parallèlement aux axes de coordonnées cartésiennes est de procéder par calcul des dérivées partielles de ses composantes
la méthode la plus rapide, quand on souhaite uniquement des variations parallèlement aux axes de coordonnées cartésiennes est de procéder par calcul des dérivées partielles de ses cartésiennes ;
existe-t-il, pour un champ vectoriel, une notion plus compacte comme l'est celle de « gradient » pour un champ scalaire [23] ?
existe-t-il, pour un champ vectoriel, une notion plus compacte Pour cela, cette grandeur devrait avoir neuf composantes traduisant les variations des trois composantes suivant les trois dimensions et
existe-t-il, pour un champ vectoriel, une notion plus compacte Pour cela, cette grandeur devrait posséder un « caractère de dérivation »,
existe-t-il, pour un champ vectoriel, une notion plus compacte au niveau de ce chapitre la réponse est donc « non » [24].
Notes et références modifier
- ↑ Représentant l'espace vectoriel auquel on associe l'ensemble des bipoints de l'espace affine.
- ↑ Les notions élémentaires des vecteurs de l'espace sont suffisantes, il n'est pas, pour l'instant, utile de définir un espace vectoriel.
- ↑ Voir le paragraphe « calcul de l'angle entre deux vecteurs connaissant leurs composantes dans une base orthonormée et par l'intermédiaire de leur produit scalaire » du chap. de la leçon .
- ↑ 4,0 et 4,1 Ou à un sous-ensemble de , le sous-ensemble correspondant au domaine de définition.
- ↑ 5,0 et 5,1 Plus exactement de l'espace vectoriel associé à l'espace affine encore appelé « direction de l'espace affine » .
- ↑ 6,0 6,1 et 6,2 Ou à un sous-ensemble de , le sous-ensemble correspondant au domaine de définition.
- ↑ 7,0 7,1 et 7,2 espace vectoriel encore appelé « direction de l'espace affine euclidien » .
- ↑ 8,00 8,01 8,02 8,03 8,04 8,05 8,06 8,07 8,08 8,09 8,10 8,11 8,12 et 8,13 Voir le paragraphe « définition des dérivées partielles » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ 9,0 9,1 9,2 9,3 9,4 9,5 9,6 9,7 et 9,8 Voir le paragraphe « définition de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », la généralisation a plus de deux variables se faisant aisément.
- ↑ La démarche serait la même pour déterminer la variation de relativement à sans faire varier et ou
La démarche serait la même pour déterminer la variation de relativement à sans faire varier et . - ↑ 11,0 11,1 11,2 11,3 11,4 11,5 et 11,6
Nous verrons au paragraphe « repérages cartésien, cylindro-polaire ou sphérique d'une courbe » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
Nous verrons qu'une équation cartésienne caractérise une surface et qu'il faut deux équations cartésiennes pour caractériser une courbe,
Nous verrons dans l'exemple cité est l'équation du plan horizontal de cote et
Nous verrons dans l'exemple cité celle du plan vertical passant par le point ,
Nous verrons dans l'exemple cité la courbe est donc la droite horizontale intersection des deux plans. - ↑ De dimension maximale trois.
- ↑ 13,0 et 13,1 Usuellement on n'introduit pas les coordonnées du point en définissant les composantes mais on écrit « ».
- ↑ Voir le paragraphe « règles de calcul de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Voir le paragraphe « autres propriétés (1ère propriété de la multiplication scalaire) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Voir le paragraphe « propriétés (1ère propriété de la multiplication vectorielle) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ 17,0 et 17,1 Le symbole « » traduit la multiplication d'une fonction scalaire par une fonction vectorielle, il n'est, en général, pas utilisé, il l'est, ici, pour mieux séparer la multiplication de la différenciation.
- ↑ Voir le paragraphe « autres propriétés (2ème propriété de la multiplication scalaire) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Voir le paragraphe « propriétés (1ère propriété de la multiplication mixte) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ La démarche serait la même pour l'étude de la variation de à partir de relativement à ou relativement à ou pour l'étude de la variation de ou de relativement à chacune des coordonnées de .
- ↑ La démarche serait la même le long de n'importe quelle courbe passant par .
- ↑ La démarche serait la même pour l'étude de la variation de ou de utilisant l'expression des différentielles respectives
« » ou « ». - ↑ Pour cette notion voir le paragraphe « champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ À un niveau plus élevé que on peut introduire la dérivée d'une grandeur vectorielle par rapport à un autre grandeur vectorielle et celle-ci possède effectivement neuf composantes ; elle est représentable par une matrice carrée voir le paragraphe « introduction des matrices en mathématiques » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » par exemple :
en représentation cartésienne voir le paragraphe « choix d'un repère cartésien » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » , avec « » et « » on définit « » l'ajout de crochets à la grandeur précisant qu'on adopte sa représentation matricielle ;
le produit de avec la matrice colonne ou matrice représentation matricielle déduite des paragraphes « définition intrinsèque (du vecteur déplacement élémentaire) » et « composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire d'un point » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », pour la définition d'un produit matriciel voir le paragraphe « définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » donnant « » soit encore « » ;
les vecteurs de base cartésienne étant indépendants du point , « le produit est aussi la représentation matricielle de la différentielle de la fonction vectorielle » c.-à-d. « » ;
ainsi « l'étude de la variation de la fonction vectorielle revient à l'étude du signe des composantes de », ce qui est une façon plus compacte de résumer le problème mais qui nécessite néanmoins, dans la pratique, l'étude de neuf fonctions .
![{\displaystyle \;df_{y}(M_{0})=\left[\left({\dfrac {\partial f_{y}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(M_{0})\,dx+\left({\dfrac {\partial f_{y}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(M_{0})\,dy+\left({\dfrac {\partial f_{y}}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(M_{0})\,dz\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1389afb6bb64d4c1ebce18ee2820fdfa9d349488)
![{\displaystyle \;df_{z}(M_{0})=\left[\left({\dfrac {\partial f_{z}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(M_{0})\,dx+\left({\dfrac {\partial f_{z}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(M_{0})\,dy+\left({\dfrac {\partial f_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(M_{0})\,dz\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a72de9d7b8c9fed2d0e65fa0297a284f8f060b9)
![{\displaystyle {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6409e9848c1422eef16462fbeae301d8fa0f831)
![{\displaystyle \;\left[{\dfrac {\partial {\vec {f}}}{\partial {\vec {r}}}}\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9b86c2f41e349ba4f8943c93bd2fd7b57abf16c)
![{\displaystyle \left[\!\!\!{\begin{array}{c}{\dfrac {\partial f_{x}}{\partial x}}\;\;\;{\dfrac {\partial f_{x}}{\partial y}}\;\;\;{\dfrac {\partial f_{x}}{\partial z}}\\{\dfrac {\partial f_{y}}{\partial x}}\;\;\;{\dfrac {\partial f_{y}}{\partial y}}\;\;\;{\dfrac {\partial f_{y}}{\partial z}}\\{\dfrac {\partial f_{z}}{\partial x}}\;\;\;{\dfrac {\partial f_{z}}{\partial y}}\;\;\;{\dfrac {\partial f_{z}}{\partial z}}\end{array}}\!\!\!\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9167520954251ca3cb1f8018f53e22e108dd455)
![{\displaystyle {\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3562ad363226e09873d4861d879d5d4116de3287)
![{\displaystyle \;\left[{\dfrac {\partial {\vec {f}}}{\partial {\vec {r}}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e214abee9dafc1045e8e6fb5b87125d3f4fcb21e)
![{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {dM}}\right]=\left[\!{\begin{array}{c}dx\\dy\\dz\end{array}}\!\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a34744ff13f0316f8112ff88ed1ed00dbb944940)
![{\displaystyle \;\left[{\dfrac {\partial {\vec {f}}}{\partial {\vec {r}}}}\right]\times \left[{\overrightarrow {dM}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b0e413d0d3f396fdc28a6dac409ad7c023b71a4)
![{\displaystyle =\left[\!{\begin{array}{c}{\dfrac {\partial f_{x}}{\partial x}}\,dx+{\dfrac {\partial f_{x}}{\partial y}}\,dy+{\dfrac {\partial f_{x}}{\partial z}}\,dz\\{\dfrac {\partial f_{y}}{\partial x}}\,dx+{\dfrac {\partial f_{y}}{\partial y}}\,dy+{\dfrac {\partial f_{y}}{\partial z}}\,dz\\{\dfrac {\partial f_{z}}{\partial x}}\,dx+{\dfrac {\partial f_{z}}{\partial y}}\,dy+{\dfrac {\partial f_{z}}{\partial z}}\,dz\end{array}}\!\right]=\left[\!{\begin{array}{c}df_{x}\\\\df_{y}\\\\df_{z}\end{array}}\!\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/421be16d6604eca242494a4c18a10deca985819f)
![{\displaystyle \;\left[{\dfrac {\partial {\vec {f}}}{\partial {\vec {r}}}}\right]\times \left[{\overrightarrow {dM}}\right]=\left[\!{\begin{array}{c}{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left\lbrace f_{x}\right\rbrace \cdot {\overrightarrow {dM}}\\{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left\lbrace f_{y}\right\rbrace \cdot {\overrightarrow {dM}}\\{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left\lbrace f_{z}\right\rbrace \cdot {\overrightarrow {dM}}\end{array}}\!\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fb8391239bca1fc6d31d501bf98f2f52337ab10)
![{\displaystyle \;\left[{\dfrac {\partial {\vec {f}}}{\partial {\vec {r}}}}\right]\times \left[{\overrightarrow {dM}}\right]=\left[\!{\begin{array}{c}df_{x}\\df_{y}\\df_{z}\end{array}}\!\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a390973316fe93063cfdfd3103a3247e0bc1cd48)
