Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Coniques

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Introduction

Le nom « coniques » vient du fait que ces courbes sont les intersections d'un cône de révolution avec un « plan ne passant pas par le sommet du cône » $\rightsquigarrow$ voir les trois tracés ci-dessous  :

Hyperbole comme intersection d'un cône de révolution avec un plan ne passant pas par le sommet et coupant le cône en deux parties distinctes

Ellipse comme intersection d'un cône de révolution avec un plan ne passant pas par le sommet et sécant avec toutes les génératrices du cône

Parabole comme intersection d'un cône de révolution avec un plan ne passant pas par le sommet et $\;\parallel \;$ à une génératrice du cône

Définition géométrique des coniques

Définition bifocale d'une hyperbole

     On considère deux points distincts $\;F\;$ et $\;F'$ $\;{\big (}$définissant les deux « foyers » de l'hyperbole${\big )}\;$ séparés de la distance $\;FF'=2\,c$, le milieu $\;C\;$ du segment $\;[FF']\;$ et une longueur $\;a<c$ :

Définition

     L'hyperbole de foyers $\;F\;$ et $\;F'\;$ et d'excentricité $\;e={\dfrac {c}{a}}>1\;$ est l'ensemble des points $\;M\;$ du plan tel que

$\;\vert MF-MF'\vert =2\,a$.

Principales propriétés d'une hyperbole

Schéma d'une hyperbole utilisant la définition bifocale avec les principaux points et grandeurs caractéristiques

$\;\rightsquigarrow \;$Il existe :

• deux asymptotes $\;(\delta _{1})\;$ et $\;(\delta _{2})\;$ passant par $\;C$ $\;{\big (}$centre de l'hyperbole${\big )}\;$ et deux branches d'hyperbole ;
• deux axes de symétrie dont l'un passant par les deux foyers $\;F\;$ et $\;F'\;$ est appelé « axe focal » , l'autre $\;(\Delta )\;$ lui étant $\;\perp \;$ en $\;C$ $\;{\big (}$centre de l'hyperbole${\big )}\;$ est appelé « axe non focal »  ;

$\;\rightsquigarrow \;$nommant $\;A\;$ et $\;A'\;$ les points de l'hyperbole sur l'axe focal $\;{\big (}A\;$ étant le plus proche de $\;F{\big )}$,

• la longueur $\;CA=CA'=a\;$ est appelée « demi-axe focal »,
• on peut introduire le demi-axe non focal $\;b\;$ comme la longueur commune $\;CB=CB'=b$, $\;B\;$ et $\;B'\;$ étant les points de l'axe non focal, projetés orthogonaux des points d'intersections des perpendiculaires à l'axe focal en $\;A\;$ et $\;A'\;$ avec les asymptotes $\;{\big (}$les points d'intersections sont notés $\;K_{1}\;$ ou $\;K_{2}$, $\;K'_{1}\;$ ou $\;K'_{2}\;$ et pour des questions de lisibilité seul $\;K'_{2}\;$ est représenté${\big )}$ ;

$\;\rightsquigarrow \;$nommant $\;H_{1}\;$ et $\;H_{2}\;$ les projetés orthogonaux de $\;F\;$ sur les asymptotes ${\big (}H'_{1}\;$ et $\;H'_{2}\;$ les projetés orthogonaux de $\;F'{\big )}$,

• la longueur $\;CH_{1}=CH_{2}=CH'_{1}=CH'_{2}=a\;$ ;
• on établit que la longueur $\;FH_{1}=FH_{2}=(F'H'_{1}=F'H'_{2})=b\;$ car, dans les triangles $\;CFH_{1}\;$ et $\;CA'K'_{2}$, $\;\tan(\alpha )={\dfrac {FH_{1}}{CH_{1}}}={\dfrac {A'K'_{2}}{A'C}}\;$ avec $\;{\dfrac {A'K'_{2}}{A'C}}={\dfrac {b}{a}}\;$ d'où $\;FH_{1}={\dfrac {b}{a}}\,CH_{1}=b\;$, $\;b\;$ est donc aussi la distance orthogonale entre les foyers et les asymptotes  ;
• le triangle $\;H_{1}FC\;$ rectangle en $\;H_{1}\;$ a pour longueur de côtés $\;\left({\begin{array}{l}CF=c\\H_{1}F=b\\CH_{1}=a\end{array}}\right)\;$ $\Rightarrow$ $\;c^{2}=a^{2}+b^{2}$ ; on peut aussi déduire de ce triangle rectangle que l'angle $\;\alpha \;$ entre les asymptotes et l'axe focal vaut $\;\alpha =\arctan \!\left({\dfrac {b}{a}}\right)\;$  ;
• on définit le paramètre par $\;p={\dfrac {b^{2}}{a}}\;$ et on peut établir son lien avec $\;e\;$ et $\;a\;$ en éliminant $\;b^{2}\;$ par $\;b^{2}=c^{2}-a^{2}\;$ puis $\;c\;$ par $\;c=e\,a\;$ d'où $\;b^{2}=a^{2}\,(e^{2}-1)\;$ et par suite $\;p=a\,(e^{2}-1)$.

À retenir

• Dans le triangle $\;H_{1}FC\;$ rectangle en $\;H_{1}$ $\;{\big [}$car $\;H_{1}\;$ est le projeté orthogonal de $\;F\;$ sur l'asymptote $\;(\delta _{1}){\big ]}$ : $\;\left({\begin{array}{l}CF=c\\H_{1}F=b\\CH_{1}=a\end{array}}\right)\;$ d'où
  par théorème de Pythagore $\;c^{2}=a^{2}+b^{2}\;$ et
  par angle $\;\alpha ={\widehat {FCH_{1}}}$ $\;{\big [}$l'angle entre l'asymptote $\;(\delta _{1})\;$ et l'axe focal${\big ]}$, $\;\alpha =\arctan \!\left({\dfrac {b}{a}}\right)\;$ ;
• l'excentricité $\;e={\dfrac {c}{a}}>1\;$ et le paramètre $\;p={\dfrac {b^{2}}{a}}\;$.

Définition bifocale d'une ellipse

     On considère deux points distincts $\;F\;$ et $\;F'$ $\;{\big (}$définissant les deux « foyers » de l'ellipse${\big )}\;$ séparés de la distance $\;FF'=2\,c$, le milieu $\;C\;$ du segment $\;[FF']\;$ et une longueur $\;a>c$ :

Définition

     L'ellipse de foyers $\;F\;$ et $\;F'\;$ et d'excentricité $\;e={\dfrac {c}{a}}<1\;$ est l'ensemble des points $\;M\;$ du plan tel que

$\;MF+MF'=2\,a\;$.

Principales propriétés d'une ellipse

Schéma d'une ellipse utilisant la définition bifocale avec les principaux points et grandeurs caractéristiques

$\;\rightsquigarrow \;$Il existe :

• deux axes de symétrie dont l'un passant par les deux foyers $\;F\;$ et $\;F'\;$ est appelé « axe focal » ou « grand axe », l'autre $\;(\Delta )\;$ lui étant $\;\perp \;$ en $\;C$ $\;{\big (}$centre de l'ellipse${\big )}\;$ est appelé « axe non focal » ou « petit axe » ;

$\;\rightsquigarrow \;$nommant $\;A\;$ et $\;A'\;$ les points de l'ellipse sur l'axe focal $\;{\big (}A\;$ étant le plus proche de $\;F{\big )}$,

• la longueur $\;CA=CA'=a\;$ est appelée « demi grand axe » ;

$\;\rightsquigarrow \;$nommant $\;B\;$ et $\;B'\;$ les points de l'ellipse sur le petit axe,

• la longueur $\;CB=CB'=b\;$ est appelée « demi petit axe » ;
• le triangle $\;BFC\;$ rectangle en $\;C\;$ a pour longueur de côtés $\;\left({\begin{array}{l}CF=c\\CB=b\\FB=a\end{array}}\right)\;$ $\Rightarrow$ $\;a^{2}=b^{2}+c^{2}$ ; on peut aussi déduire de ce triangle rectangle que l'angle $\;\alpha ={\widehat {CBF}}\;$ a pour sinus $\;\sin(\alpha )={\dfrac {c}{a}}=e$ ;
• on définit le paramètre par $\;p={\dfrac {b^{2}}{a}}\;$ et on peut établir son lien avec $\;e\;$ et $\;a\;$ en éliminant $\;b^{2}\;$ par $\;b^{2}=a^{2}-c^{2}\;$ puis $\;c\;$ par $\;c=e\,a\;$ d'où $\;b^{2}=a^{2}\,(1-e^{2})\;$ et par suite $\;p=a\,(1-e^{2})$.

À retenir

• Dans le triangle $\;CFB\;$ rectangle en $\;C$ : $\;\left({\begin{array}{l}CF=c\\CB=b\\BF=a\end{array}}\right)\;$ d'où
  par théorème de Pythagore $\;a^{2}=b^{2}+c^{2}\;$ et
  par angle $\;\alpha ={\widehat {CBF}}$ $\;{\big [}$l'angle sous lequel de $\;B$, un des sommets du petit axe, on voit la distance entre le centre $\;C\;$ et l'un des foyers $\;F{\big ]}$, $\;\alpha =\arcsin \!\left({\dfrac {c}{a}}\right)=\arcsin(e)\;$ ;
• l'excentricité $\;e={\dfrac {c}{a}}<1\;$ et le paramètre $\;p={\dfrac {b^{2}}{a}}\;$.

Définition monofocale d'une parabole

     La parabole n'a pas de définition bifocale car une parabole n'a qu'un foyer ; elle n'a donc qu'une définition monofocale, nécessitant de préciser son foyer $\;F\;$ et la directrice associée à son foyer $\;(D)$, droite séparée du foyer d'une distance définissant son paramètre $\;p$ :

Définition

     La parabole de foyer $\;F\;$ et de directrice $\;(D)\;$ est l'ensemble des points $\;M\;$ du plan tel que $\;MF=MH\;$      dans laquelle «$\;H\;$ est le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur la directrice $\;(D)\;$», « la distance séparant le foyer $\;F\;$ de la directrice $\;(D)\;$ définissant le paramètre $\;p\;$ de la parabole » et celle-ci étant d'excentricité «$\;e=1\;$» .

Schéma explicitant la définition monofocale d'une parabole de foyer $\;F$, de directrice $\;(D)\;$ et de paramètre $\;p$

Principales propriétés d'une parabole

$\;\rightsquigarrow \;$Il existe :

• un axe de symétrie « la droite passant par $\;F\;$ et $\;\perp \;$ à $\;(D)\;$», cet axe est appelé « axe focal »,

$\;\rightsquigarrow \;$nommant $\;S\;$ le point de la parabole situé sur son axe focal,

• c'est « le milieu de $\;[FK]\;$» dans lequel $\;K\;$ est le projeté orthogonal du foyer $\;F\;$ sur la directrice $\;(D)\;$ $\Rightarrow$ «$\;FS={\dfrac {p}{2}}\;$», $\;S\;$ étant nommé « sommet de la parabole ».

Définition monofocale d'une conique

     C'est la seule définition commune aux trois coniques « ellipse, parabole ou hyperbole », on précise alors :

• le couple « foyer, directrice associée » ,
• le « paramètre $\;p\;$» ,
• l'« excentricité $\;e\;$» et
• la « distance $\;2\,c\;$ séparant le 2^ème foyer $\;{\big (}$celui qui n'est pas utilisé${\big )}\;$ du 1^er $\;{\big (}$celui qui est utilisé${\big )}\;$» dans le cas d'une ellipse ou d'une hyperbole correspondant à l'existence d'un deuxième couple « foyer, directrice associée ».

Définition

     La conique de foyer $\;F$, de directrice associée $\;(D)\;$ et d'excentricité $\;e\geqslant 0\;$ est l'ensemble des points $\;M\;$ du plan tel que «$\;MF=e\;MH\;$»

     dans laquelle «$\;H\;$ est le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur la directrice $\;(D)\;$», « le paramètre $\;p\;$ de la conique étant le produit de la distance séparant le foyer $\;F\;$ de la directrice $\;(D)\;$ par l'excentricité » $\;{\Big [}$appelant $\;K\;$ le projeté orthogonal du foyer $\;F\;$ sur la directrice $\;(D)$, on en déduit «$\;FK={\dfrac {p}{e}}\;$» ${\Big ]}$.

     Sauf dans le cas d'une parabole, il existe un autre couple de foyer $\;F'\;$ et de directrice associée $\;(D')\;$ pour une conique de même excentricité $\;e\in \mathbb {R} ^{+}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace$, la définition de cette conique est la même en remplaçant les foyers entre eux et les directrices entre elles .

     Remarque : Dans le cas d'un cercle, $\;M\;$ restant à distance finie de $\;F$, $\;MH\;$ est $\;\infty \;$ et comme $\;e\;$ est nulle, «$\;e\;MH\;$» constitue une forme indéterminée laquelle doit être identifiée à la distance $\;MF\;$ c.-à-d. au rayon du cercle ; on en déduit que la définition monofocale d'un cercle est peu exploitable ;

     Remarque : dans le cas d'une parabole on retrouve bien la définition fournie précédemment dans la mesure où l'« excentricité $\;e\;$ de la parabole est égale à $\;1\;$».

Application à une hyperbole

Schéma explicitant la définition monofocale d'une hyperbole de foyer $\;F$, de directrice associée $\;(D)\;$ et d'excentricité $\;e>1$ ; sont aussi représentés l'autre foyer $\;F'\;$ et sa directrice associée $\;(D')\;$ ainsi que les principales caractéristiques de l'hyperbole

     Voir ci-contre le tracé de l'hyperbole de foyer $\;F$, de directrice associée $\;(D)\;$ et d'excentricité $\;e>1$, la distance séparant $\;F\;$ de $\;(D)\;$ est $\;KF={\dfrac {p}{e}}\;$ dans lequel $\;K\;$ est le projeté orthogonal de $\;F\;$ sur $\;(D)$ $\;{\Big [}e\;$ étant $\;>\;$ à $\;1$, on en déduit que $\;KF={\dfrac {p}{e}}<p\;$${\Big ]}$ ;

     l'excentricité $\;e\;$ étant $\;>1\;$ l'hyperbole cherchée est l'« ensemble des points $\;M\;$ du plan tel que $\;MF=e\;MH>MH\;$ dans laquelle $\;H\;$ est le projeté orthogonal de $\;F\;$ sur $\;(D)\;$» $\;{\big [}$sur le schéma la branche correspondant à $\;M\;$ et $\;F\;$ situés d'un même côté relativement à $\;(D)\;$ est tracée et expliquée en rouge, l'autre branche correspondant à $\;M\;$ et $\;F\;$ situés de part et d'autre relativement à $\;(D)\;$ tracée en bleu et expliquée en noir${\big ]}$ ;

         l'excentricité e étant > 1 l'hyperbole cherchée c'est aussi l'« ensemble des points $\;M\;$ du plan tel que $\;MF'=e\;MH'>MH'\;$ dans laquelle $\;H'\;$ est le projeté orthogonal du foyer $\;F'\;$ sur la directrice associée $\;(D')\;$», $\;\left\lbrace F'\,,\,(D')\right\rbrace \;$ étant l'autre couple « foyer - directrice » possible pour définir, de façon monofocale, l'hyperbole $\;{\big [}$sur le schéma la branche correspondant à $\;M\;$ et $\;F'\;$ situés d'un même côté relativement à $\;(D')\;$ tracée et expliquée en bleu, l'autre branche rouge n'étant pas expliquée pour éviter la surcharge${\big ]}$.

Établissement de la définition bifocale d'une hyperbole à partir de sa définition monofocale

     Partant de la définition monofocale de l'hyperbole utilisant le couple « foyer $\;F$ - directrice $\;(D)\;$» on a «$\;MF=e\;MH\;$ avec $\;H\;$ projeté orthogonal de $\;F\;$ sur $\;(D)\;$» et

     Partant de la définition monofocale de l'hyperbole utilisant le couple « foyer $\;F'$ - directrice $\;(D')\;$» on a «$\;MF'=e\;MH'\;$ avec $\;H'\;$ projeté orthogonal de $\;F'\;$ sur $\;(D')\;$» ;

     en faisant la différence de ces deux définitions on obtient «$\;MF-MF'=e\;(MH-MH')\;$» ou, $\;M\;$ ayant été choisi sur la branche représentée en bleu , «$\;MF-MF'=e\;H'H\;$» avec «$\;H'H=2\,\left(CF-KF\right)=2\,\left(c-{\dfrac {p}{e}}\right)\;$» $\;{\big [}$en introduisant la grandeur $\;2\;c=FF'\;$ $\Rightarrow$ $\;CF=c\;$ intervenant dans la définition bifocale de l'hyperbole${\big ]}\;$ d'où «$\;MF-MF'=2\;(e\;c-p)\;$» ;

     il reste à montrer que cette constante $\;2\;(e\;c-p)\;$ est égale à l'axe focal «$\;A'A=2\;a\;$» et pour cela il faut, ${\big (}$en utilisant exclusivement la définition monofocale de l'hyperbole${\big )}$, établir le lien de cette constante avec «$\;e\;$ et $\;p\;$» d'une part ainsi qu'avec «$\;e\;$ et $\;c\;$» d'autre part ;

     dans ce but définissons $\;A\;$ de façon monofocale utilisant le couple « foyer $\;F$ - directrice $\;(D)\;$ selon «$\;AF=e\;AK\;$ avec $\;K\;$ le pied de la directrice $\;(D)\;$ sur l'axe focal » et

        dans ce but définissons A de façon monofocale utilisant le couple « foyer $\;F'$ - directrice $\;(D')\;$ selon «$\;AF'=e\;AK'\;$ avec $\;K'\;$ le pied de la directrice $\;(D')\;$ sur l'axe focal » ;

     de la 1^ère définition nous déduisons «$\;AF=e\;AK=e\;(FK-FA)=e\,\left({\dfrac {p}{e}}-AF\right)=p-e\;AF\;$» $\Rightarrow$ $\;AF\,(1+e)=p\;$ soit encore «$\;AF={\dfrac {p}{1+e}}=CF-CA\;$» avec $\;CF=c\;$ et $\;CA=a$ $\;{\big [}$grandeurs intervenant toutes deux dans la définition bifocale de l'hyperbole${\big ]}\;$ d'où «$\;c-a={\dfrac {p}{1+e}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;a=c-{\dfrac {p}{1+e}}\;$» ;

     de la 2^ème définition nous déduisons «$\;AF'=e\;AK'=e\;(F'A-F'K')=e\,\left(AF'-{\dfrac {p}{e}}\right)=e\;AF'-p\;$» $\Rightarrow$ $\;AF'\,(e-1)=p\;$ soit encore «$\;AF'={\dfrac {p}{e-1}}=CF'+CA\;$» avec $\;CF'=c\;$ et $\;CA=a$ $\;{\big [}$grandeurs intervenant toutes deux dans la définition bifocale de l'hyperbole${\big ]}\;$ d'où «$\;c+a={\dfrac {p}{e-1}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;a={\dfrac {p}{e-1}}-c\;$» ;

     $\;\succ \;$faisant la somme des deux expressions de $\;a\;$ dans le but d'éliminer $\;c$, nous en déduisons «$\;2\;a={\dfrac {p}{e-1}}-{\dfrac {p}{1+e}}={\dfrac {2\;p}{e^{2}-1}}\;$» d'où «$\;a={\dfrac {p}{e^{2}-1}}\;$» ;

     $\;\succ \;$faisant la différence des deux expressions de $\;a\;$ dans le but d'obtenir $\;c\;$, nous en déduisons «$\;0=2\;c-{\dfrac {p}{1+e}}-{\dfrac {p}{e-1}}=2\;c-{\dfrac {2\;p\;e}{e^{2}-1}}\;$» d'où «$\;c={\dfrac {e\;p}{e^{2}-1}}\;$» que nous pouvons réécrire, en tenant compte de l'expression de $\;a\;$ précédemment obtenue, $\;c=e\;a\;$ soit «$\;a={\dfrac {c}{e}}\;$» $\;{\Big [}$la définition bifocale de l'excentricité de l'hyperbole «$\;e={\dfrac {c}{a}}>1\;$» est ainsi retrouvée${\Big ]}$ ;

     reprenant l'expression trouvée pour «$\;MF-MF'=2\;(e\;c-p)\;$» et y reportant les expressions de $\;c\;$ et $\;p\;$ en fonction de $\;a$ $\;{\Big [}$selon «$\;a={\dfrac {p}{e^{2}-1}}\;$ $\Rightarrow$ $\;p=a\,\left(e^{2}-1\right)\;$» ainsi que «$\;a={\dfrac {c}{e}}\;$ $\Rightarrow$ $\;c=e\;a\;$»${\Big ]}\;$ nous obtenons «$\;MF-MF'=2\,\left[e^{2}\;a-a\,\left(e^{2}-1\right)\right]\;$» c.-à-d.

«$\;MF-MF'=2\;a\;$» pour les points $\;M\;$ de la branche représentée en bleu ;
pour les points $\;M\;$ de la branche représentée en rouge nous trouverions «$\;MF'-MF=2\;a\;$» ;

     finalement les deux définitions monofocales de l'hyperbole $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}MF=e\;MH\;{\text{avec}}\;H\;{\text{projeté orthogonal de}}\;F\;{\text{sur}}\;(D)\\MF'=e\;MH'\;{\text{avec}}\;H'\;{\text{projeté orthogonal de}}\;F'\;{\text{sur}}\;(D')\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ la définition bifocale de celle-ci «$\;\vert MF-MF'\vert =2\;a\;$» .

     Il reste à montrer que «$\;a$, $\;b\;$ et $\;p\;$ définis de façon monofocale  » sont effectivement reliés par «$\;p={\dfrac {b^{2}}{a}}\;$», mais ayant établi que « la définition monofocale $\Rightarrow$ la définition bifocale », nous pouvons utiliser le résultat tiré du « triangle rectangle $\;CFH_{1}\;$» $\;{\big [}$voir le paragraphe « principales propriétés d'une hyperbole (à retenir) » plus haut dans ce chapitre${\big ]}\;$ dont nous déduisons «$\;b^{2}=c^{2}-a^{2}=\left(e\;a\right)^{2}-a^{2}\;$ $\Rightarrow$ $\;b^{2}=a^{2}\;(e^{2}-1)=a\,\left[a\;(e^{2}-1)\right]=a\;p\;$ » soit effectivement le lien cherché «$\;p={\dfrac {b^{2}}{a}}\;$».

Application à une ellipse

Schéma explicitant la définition monofocale d'une ellipse de foyer $\;F$, de directrice associée $\;(D)\;$ et d'excentricité $\;e<1$ ; sont aussi représentés l'autre foyer $\;F'\;$ et sa directrice associée $\;(D')\;$ ainsi que les principales caractéristiques de l'ellipse

     Voir ci-contre le tracé de l'ellipse de foyer $\;F$, de directrice associée $\;(D)\;$ et d'excentricité $\;e<1$, la distance séparant $\;F\;$ de $\;(D)\;$ est $\;KF={\dfrac {p}{e}}\;$ dans lequel $\;K\;$ est le projeté orthogonal de $\;F\;$ sur $\;(D)$ $\;{\Big [}e\;$ étant $\;<\;$ à $\;1$, on en déduit que $\;KF=$ ${\dfrac {p}{e}}>p\;$${\Big ]}$ ;

     l'excentricité $\;e\;$ étant $\;<1\;$ l'ellipse cherchée est l'« ensemble des points $\;M\;$ du plan tel que $\;MF=e\;MH<MH\;$ dans laquelle $\;H\;$ est le projeté orthogonal de $\;F\;$ sur $\;(D)\;$» ;

         l'excentricité e étant < 1 l'ellipse cherchée c'est aussi l'« ensemble des points $\;M\;$ du plan tel que $\;MF'=e\;MH'<MH'\;$ dans laquelle $\;H'\;$ est le projeté orthogonal du foyer $\;F'\;$ sur la directrice associée $\;(D')\;$».

Établissement de la définition bifocale d'une ellipse à partir de sa définition monofocale

     Partant de la définition monofocale de l'ellipse utilisant le couple « foyer $\;F$ - directrice $\;(D)\;$» on a «$\;MF=e\;MH\;$ avec $\;H\;$ projeté orthogonal de $\;F\;$ sur $\;(D)\;$» et

     Partant de la définition monofocale de l'ellipse utilisant le couple « foyer $\;F'$ - directrice $\;(D')\;$» on a «$\;MF'=e\;MH'\;$ avec $\;H'\;$ projeté orthogonal de $\;F'\;$ sur $\;(D')\;$» ;

     en faisant la somme de ces deux définitions on obtient «$\;MF+MF'=e\;(MH+MH')=e\;HH'\;$» avec «$\;H'H=2\,\left(CF+KF\right)=2\,\left(c+{\dfrac {p}{e}}\right)\;$» $\;{\big [}$en introduisant la grandeur $\;2\;c=FF'\;$ $\Rightarrow$ $\;CF=c\;$ intervenant dans la définition bifocale de l'ellipse${\big ]}\;$ d'où «$\;MF+MF'=2\;(e\;c+p)\;$» ;

     il reste à montrer que cette constante $\;2\;(e\;c+p)\;$ est égale au grand axe «$\;A'A=2\;a\;$» et pour cela il faut, ${\big (}$en utilisant exclusivement la définition monofocale de l'ellipse${\big )}$, établir le lien de cette constante avec «$\;e\;$ et $\;p\;$» d'une part ainsi qu'avec «$\;e\;$ et $\;c\;$» d'autre part ;

     dans ce but définissons $\;A\;$ de façon monofocale utilisant le couple « foyer $\;F$ - directrice $\;(D)\;$ selon «$\;AF=e\;AK\;$ avec $\;K\;$ le pied de la directrice $\;(D)\;$ sur l'axe focal » et

        dans ce but définissons A de façon monofocale utilisant le couple « foyer $\;F'$ - directrice $\;(D')\;$ selon «$\;AF'=e\;AK'\;$ avec $\;K'\;$ le pied de la directrice $\;(D')\;$ sur l'axe focal  » ;

     de la 1^ère définition nous déduisons «$\;AF=e\;AK=e\;(FK-FA)=e\,\left({\dfrac {p}{e}}-AF\right)=p-e\;AF\;$» $\Rightarrow$ $\;AF\,(1+e)=p\;$ soit encore «$\;AF={\dfrac {p}{1+e}}=CA-CF\;$» avec $\;CF=c\;$ et $\;CA=a$ $\;{\big [}$grandeurs intervenant toutes deux dans la définition bifocale de l'ellipse${\big ]}\;$ d'où «$\;a-c={\dfrac {p}{1+e}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;a={\dfrac {p}{1+e}}+c\;$» ;

     de la 2^ème définition nous déduisons «$\;AF'=e\;AK'=e\;(AF'+F'K')\;$ ou $\;AF'=e\,\left(AF'+{\dfrac {p}{e}}\right)=e\;AF'+p\;$» $\Rightarrow$ $\;AF'\,(1-e)=p\;$ soit encore «$\;AF'={\dfrac {p}{1-e}}=CF'+CA\;$» avec $\;CF'=c\;$ et $\;CA=a$ $\;{\big [}$grandeurs intervenant toutes deux dans la définition bifocale de l'hyperbole${\big ]}\;$ d'où «$\;c+a={\dfrac {p}{1-e}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;a={\dfrac {p}{1-e}}-c\;$» ;

     $\;\succ \;$faisant la somme des deux expressions de $\;a\;$ dans le but d'éliminer $\;c$, nous en déduisons «$\;2\;a={\dfrac {p}{1+e}}+{\dfrac {p}{1-e}}={\dfrac {2\;p}{1-e^{2}}}\;$» d'où «$\;a={\dfrac {p}{1-e^{2}}}\;$» ;

     $\;\succ \;$faisant la différence des deux expressions de $\;a\;$ dans le but d'obtenir $\;c\;$, nous en déduisons «$\;0=2\;c+{\dfrac {p}{1+e}}-{\dfrac {p}{1-e}}=2\;c-{\dfrac {2\;p\;e}{1-e^{2}}}\;$» d'où «$\;c={\dfrac {e\;p}{1-e^{2}}}\;$» que nous pouvons réécrire, en tenant compte de l'expression de $\;a\;$ précédemment obtenue, $\;c=e\;a\;$ soit «$\;a={\dfrac {c}{e}}\;$» $\;{\Big [}$la définition bifocale de l'excentricité de l'ellipse «$\;e={\dfrac {c}{a}}<1\;$» est ainsi retrouvée${\Big ]}$ ;

     reprenant l'expression trouvée pour «$\;MF+MF'=2\;(e\;c+p)\;$» et y reportant les expressions de $\;c\;$ et $\;p\;$ en fonction de $\;a$ $\;{\Big [}$selon «$\;a={\dfrac {p}{1-e^{2}}}\;$ $\Rightarrow$ $\;p=a\,\left(1-e^{2}\right)\;$» ainsi que «$\;a={\dfrac {c}{e}}\;$ $\Rightarrow$ $\;c=e\;a\;$»${\Big ]}\;$ nous obtenons «$\;MF+MF'=2\,\left[e^{2}\;a+a\,\left(1-e^{2}\right)\right]\;$» c.-à-d.

«$\;MF+MF'=2\;a\;$» pour tous les points $\;M\;$ de l'ellipse ;

     finalement les deux définitions monofocales de l'hyperbole $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}MF=e\;MH\;{\text{avec}}\;H\;{\text{projeté orthogonal de}}\;F\;{\text{sur}}\;(D)\\MF'=e\;MH'\;{\text{avec}}\;H'\;{\text{projeté orthogonal de}}\;F'\;{\text{sur}}\;(D')\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ la définition bifocale de celle-ci «$\;MF+MF'=2\;a\;$» .

     Il reste à montrer que «$\;a$, $\;b\;$ et $\;p\;$ définis de façon monofocale  » sont effectivement reliés par «$\;p={\dfrac {b^{2}}{a}}\;$», mais ayant établi que « la définition monofocale $\Rightarrow$ la définition bifocale », nous pouvons utiliser le résultat tiré du « triangle rectangle $\;BFC\;$» $\;{\big [}$voir le paragraphe « principales propriétés d'une ellipse (à retenir) » plus haut dans ce chapitre${\big ]}\;$ dont nous déduisons «$\;b^{2}=a^{2}-c^{2}=a^{2}-\left(e\;a\right)^{2}\;$ $\Rightarrow$ $\;b^{2}=a^{2}\;(1-e^{2})=a\,\left[a\;(1-e^{2})\right]=a\;p\;$ » soit effectivement le lien cherché «$\;p={\dfrac {b^{2}}{a}}\;$».

Retour sur la parabole

     Au vu de la définition monofocale d'une conique, il semble possible de supposer que « la parabole de foyer $\;F\;$ et de directrice $\;(D)$ $\;{\big [}$donc de paramètre $\;p\;$ fixé ${\big ]}\;$» est

• « la limite d'une ellipse d'excentricité $\;e\;$ dont $\;F\;$ est un des foyers, de même paramètre $\;p\;$ et de directrice associée $\;(D_{e})\;\parallel \;$ à $\;(D)\;$ quand l'excentricité $\;e\;$ de l'ellipse tend vers $\;1^{-}\;$» $\;{\Big [}$cette induction se vérifie aisément, en effet quand $\;e\rightarrow 1^{-}$, $\;{\dfrac {p}{e}}\rightarrow p\;$ $\Rightarrow$ $\;(D_{e})\rightarrow (D)\;$ d'une part et d'autre part la définition monofocale de l'ellipse « ensemble des points $\;M\;$ du plan tel que $\;MF=e\times d\!\left\lbrace M,\,(D_{e})\right\rbrace \;$» devient « ensemble des points $\;M\;$ du plan tel que $\;MF=1\times d\!\left\lbrace M,\,(D)\right\rbrace =d\!\left\lbrace M,\,(D)\right\rbrace \;$» c.-à-d. la définition monofocale de la parabole${\Big ]}$ ainsi que
• « la limite d'une branche d'hyperbole d'excentricité $\;e\;$ dont $\;F\;$ est le foyer qu'elle contourne, de même paramètre $\;p\;$ et de directrice associée $\;(D_{h})\;\parallel \;$ à $\;(D)\;$ quand l'excentricité $\;e\;$ de l'hyperbole tend vers $\;1^{+}\;$» $\;{\Big [}$cette induction se vérifie aisément, en effet quand $\;e\rightarrow 1^{+}$, $\;{\dfrac {p}{e}}\rightarrow p\;$ $\Rightarrow$ $\;(D_{h})\rightarrow (D)\;$ d'une part et d'autre part la définition monofocale de l'hyperbole « ensemble des points $\;M\;$ du plan tel que $\;MF=e\times d\!\left\lbrace M,\,(D_{h})\right\rbrace \;$» devient « ensemble des points $\;M\;$ du plan tel que $\;MF=1\times d\!\left\lbrace M,\,(D)\right\rbrace =d\!\left\lbrace M,\,(D)\right\rbrace \;$» c.-à-d. la définition monofocale de la parabole${\Big ]}$ ;

     que deviennent le « demi-axe focal $\;a\;$» et le « demi-axe non focal $\;b\;$» ainsi que la « distance $\;c\;$ séparant chaque foyer du centre de symétrie » de l'ellipse ou de l'hyperbole quand l'ellipse ou la branche d'hyperbole tend vers la parabole et

     que devient la définition bifocale de l'ellipse ou de l'hyperbole dans les mêmes conditions de limite ?

Passage de l'ellipse à la parabole

Limite parabolique d'une ellipse de foyer $\;F$, de directrice associée $\;(D_{e})$, de paramètre $\;p\;$ et d'excentricité $\;e\;$ quand «$\;e\rightarrow 1^{-}\;$ à foyer et paramètre fixés »

     Partant de l'ellipse de foyer $\;F\;$ et de directrice associée $\;(D_{e})\;\parallel \;$ à $\,(D)$ $\;{\big [}F\;$ et $\;(D)\;$ étant le foyer et la directrice de la parabole que l'on cherche à former${\big ]}\;$ tel que « le paramètre $\;p\;$ de l'ellipse soit le même que celui de la parabole à construire » et faisons tendre l'excentricité $\;e\;$ de l'ellipse vers $\;1^{-}$ :

     montrons que « le 2^ème foyer $\;F'\;$ de l'ellipse se trouve rejeté à l'infini de $\;F\;$ perpendiculairement à la direction commune de $\;(D_{e})\;$ et $\;(D)\;$», en effet, partant de l'expression «$\;FF'=2\;c={\dfrac {2\;e\,p}{1-e^{2}}}\;$» établie à partir de la définition monofocale de l'ellipse au paragraphe « établissement de la définition bifocale d'une ellipse à partir de sa définition monofocale » plus haut dans ce chapitre, on établit que «$\;FF'=$ $2\;c={\dfrac {2\;e\,p}{1-e^{2}}}\rightarrow \infty \;$ quand $\;e\rightarrow 1^{-}\;$» $\;{\big [}$la parabole limite n'a donc pas de 2^ème foyer $\;F'\;$ et la distance $\;c\;$ n'y est pas définie ${\big ]}$ ;

     simultanément on constate que «$\;A\rightarrow S\;$ sommet de la parabole » car, partant de l'expression «$\;FA={\dfrac {p}{1+e}}\;$» établie à partir de la définition monofocale de l'ellipse au paragraphe « établissement de la définition bifocale d'une ellipse à partir de sa définition monofocale » plus haut dans ce chapitre, on établit que «$\;FA={\dfrac {p}{1+e}}\rightarrow {\dfrac {p}{2}}\;$ quand $\;e\rightarrow 1^{-}\;$» et

     simultanément on constate que «$\;A'\;$ s'éloigne à l'infini de $\;F\;$ perpendiculairement à la direction commune de $\;(D_{e})\;$ et $\;(D)\;$» car, partant de l'expression «$\;FA'=F'A={\dfrac {p}{1-e}}\;$» établie à partir de la définition monofocale de l'ellipse au paragraphe « établissement de la définition bifocale d'une ellipse à partir de sa définition monofocale » plus haut dans ce chapitre, on établit que «$\;FA'={\dfrac {p}{1-e}}\rightarrow \infty \;$ quand $\;e\rightarrow 1^{-}\;$» $\;{\big [}$la parabole limite n'a donc qu'un point à distance finie sur l'axe focal, son sommet ${\big ]}$ ;

     le « demi-grand axe $\;a\;$ de l'ellipse devient infini » quand son excentricité $\;e\;$ tend vers $\;1\;$ car, partant de l'expression «$\;a=CA=CA'={\dfrac {p}{1-e^{2}}}\;$» établie à partir de la définition monofocale de l'ellipse au paragraphe « établissement de la définition bifocale d'une ellipse à partir de sa définition monofocale » plus haut dans ce chapitre, on établit que «$\;a={\dfrac {p}{1-e^{2}}}\rightarrow \infty \;$ quand $\;e\rightarrow 1^{-}\;$» $\;{\big [}$la parabole limite n'a donc pas de « demi-axe focal $\;a\;$» ${\big ]}$ ;

     les points «$\;B\;$ et $\;B'\;$ se retrouvent rejetés à l'infini parallèlement à la direction commune de $\;(D_{e})\;$ et $\;(D)\;$» car, du lien entre les trois longueurs $\;p$, $\;a\;$ et $\;b\;$ défini pour une ellipse $\;p={\dfrac {b^{2}}{a}}\;$ on tire $\;b=$ $CB=CB'={\sqrt {p\;a}}\;$ et avec $\;a={\dfrac {p}{1-e^{2}}}\;$ établie à partir de la définition monofocale de l'ellipse au paragraphe « établissement de la définition bifocale d'une ellipse à partir de sa définition monofocale » plus haut dans ce chapitre, on en déduit «$\;b=CB=CB'={\dfrac {p}{\sqrt {1-e^{2}}}}\;$» puis on établit que «$\;b=CB=CB'={\dfrac {p}{\sqrt {1-e^{2}}}}\rightarrow \infty \;$ quand $\;e\rightarrow 1^{-}\;$» $\;{\big [}$la parabole limite n'a donc pas d'axe non focal $\;{\big (}$donc pas de points $\;B\;$ et $\;B'{\big )}\;$ ni de « demi-axe non focal $\;b\;$» ${\big ]}$.

Passage de la branche d'hyperbole à la parabole

Limite parabolique d'une branche d'hyperbole de foyer $\;F\;$ contourné par elle, de directrice associée $\;(D_{h})$, de paramètre $\;p\;$ et d'excentricité $\;e\;$ quand «$\;e\rightarrow 1^{+}\;$ à foyer et paramètre fixés »

     Partant de la branche d'hyperbole de foyer $\;F\;$ qu'elle contourne et de directrice associée $\;(D_{h})\;\parallel \;$ à $\,(D)$ $\;{\big [}F\;$ et $\;(D)\;$ étant le foyer et la directrice de la parabole que l'on cherche à former${\big ]}\;$ tel que « le paramètre $\;p\;$ de l'hyperbole soit le même que celui de la parabole à construire » et faisons tendre l'excentricité $\;e\;$ de l'hyperbole vers $\;1^{+}$ :

     montrons que « le 2^ème foyer $\;F'\;$ de l'hyperbole se trouve rejeté à l'infini de $\;F\;$ perpendiculairement à la direction commune de $\;(D_{h})\;$ et $\;(D)\;$», en effet, partant de l'expression «$\;FF'=2\;c={\dfrac {2\;e\,p}{e^{2}-1}}\;$» établie à partir de la définition monofocale de l'hyperbole au paragraphe « établissement de la définition bifocale d'une hyperbole à partir de sa définition monofocale » plus haut dans ce chapitre, on établit que «$\;FF'=$ $2\;c={\dfrac {2\;e\,p}{e^{2}-1}}\rightarrow \infty \;$ quand $\;e\rightarrow 1^{+}\;$» $\;{\big [}$la parabole limite n'a donc pas de 2^ème foyer $\;F'\;$ et la distance $\;c\;$ n'y est pas définie ${\big ]}$ ;

     simultanément on constate que «$\;A\rightarrow S\;$ sommet de la parabole » car, partant de l'expression «$\;FA={\dfrac {p}{1+e}}\;$» établie à partir de la définition monofocale de l'hyperbole au paragraphe « établissement de la définition bifocale d'une hyperbole à partir de sa définition monofocale » plus haut dans ce chapitre, on établit que «$\;FA={\dfrac {p}{1+e}}\rightarrow {\dfrac {p}{2}}\;$ quand $\;e\rightarrow 1^{-}\;$» et

     simultanément on constate que «$\;A'\;$ s'éloigne à l'infini de $\;F\;$ perpendiculairement à la direction commune de $\;(D_{h})\;$ et $\;(D)\;$» car, partant de l'expression «$\;FA'=F'A={\dfrac {p}{e-1}}\;$» établie à partir de la définition monofocale de l'hyperbole au paragraphe « établissement de la définition bifocale d'une hyperbole à partir de sa définition monofocale » plus haut dans ce chapitre, on établit que «$\;FA'={\dfrac {p}{e-1}}\rightarrow \infty \;$ quand $\;e\rightarrow 1^{+}\;$» $\;{\big [}$la parabole limite n'a donc qu'un point à distance finie sur l'axe focal, son sommet ${\big ]}$ ;

     le « demi-axe focal $\;a\;$ de l'hyperbole devient infini » quand son excentricité $\;e\;$ tend vers $\;1\;$ car, partant de l'expression «$\;a=CA=CA'={\dfrac {p}{e^{2}-1}}\;$» établie à partir de la définition monofocale de l'hyperbole au paragraphe « établissement de la définition bifocale d'une hyperbole à partir de sa définition monofocale » plus haut dans ce chapitre, on établit que «$\;a={\dfrac {p}{e^{2}-1}}\rightarrow \infty \;$ quand $\;e\rightarrow 1^{+}\;$» $\;{\big [}$la parabole limite n'a donc pas de « demi-axe focal $\;a\;$» ${\big ]}$ ;

     le « demi-axe non focal $\;b\;$ de l'hyperbole devient infini » quand son excentricité $\;e\;$ tend vers $\;1\;$ car, du lien entre les trois longueurs $\;p$, $\;a\;$ et $\;b\;$ défini pour une hyperbole $\;p={\dfrac {b^{2}}{a}}\;$ on tire $\;b=$ ${\sqrt {p\;a}}\;$ et avec $\;a={\dfrac {p}{e^{2}-1}}\;$ établie à partir de la définition monofocale de l'hyperbole au paragraphe « établissement de la définition bifocale d'une hyperbole à partir de sa définition monofocale » plus haut dans ce chapitre, on en déduit «$\;b={\dfrac {p}{\sqrt {e^{2}-1}}}\;$» puis on établit que «$\;b{\dfrac {p}{\sqrt {e^{2}-1}}}\rightarrow \infty \;$ quand $\;e\rightarrow 1^{+}\;$» $\;{\big [}$la parabole limite n'a donc pas d'axe non focal ni de « demi-axe non focal $\;b\;$» ${\big ]}$ ;

     les « asymptotes $\;\delta _{1}\;$ et $\;\delta _{2}\;$ de l'hyperbole sont rejetées à l'infini perpendiculairement à la direction commune de $\;(D_{h})\;$ et $\;(D)\;$» $\;{\big (}$donc parallèlement à l'axe focal de l'hyperbole${\big )}$ quand l'excentricité $\;e\;$ de cette dernière tend vers $\;1\;$ car l'angle que fait l'une ou l'autre de ces asymptotes avec l'axe focal étant $\;\alpha =\arctan \!\left({\dfrac {b}{a}}\right)\;$ $\;{\big [}$voir le paragraphe « principales propriétés d'une hyperbole (à retenir) » plus haut dans ce chapitre${\big ]}\;$ avec $\;a={\dfrac {p}{e^{2}-1}}\;$ établie à partir de la définition monofocale de l'hyperbole au paragraphe « établissement de la définition bifocale d'une hyperbole à partir de sa définition monofocale » plus haut dans ce chapitre ainsi que $\;b={\dfrac {p}{\sqrt {e^{2}-1}}}$ $\;{\big (}$voir sous-paragraphe précédent${\big )}\;$ on en déduit «$\;\alpha =\arctan \!\left({\dfrac {\dfrac {p}{\sqrt {e^{2}-1}}}{\dfrac {p}{e^{2}-1}}}\right)=\arctan \!\left({\sqrt {e^{2}-1}}\right)\;$» $\Rightarrow$ «$\;\alpha =\arctan \!\left({\sqrt {e^{2}-1}}\right)\rightarrow 0\;$ quand $\;e\rightarrow 1^{+}\;$» $\;{\big [}$la parabole limite n'a donc pas d'asymptotes mais simplement une direction asymptotique parallèle à l'axe de la parabole ${\big ]}$.

Mise en équation des coniques

Équations cartésiennes des coniques

Parabole de sommet O et d'axe Oy

Équation cartésienne

Équation cartésienne d'une parabole de sommet O et d'axe de symétrie Oy

     L'équation cartésienne d'une parabole de sommet $\;O\;$ et d'axe de symétrie $\;Oy\;$ s'écrit «$\;y=a\;x^{2}\;$» avec

• une concavité vers les $\;y>0\;$ pour $\;a>0\;$ et
• une concavité vers les $\;y<0\;$ pour $\;a<0$.

     Justification  : Pour $\;a>0$, la concavité étant vers les $\;y>0$, le foyer $\;F\;$ a pour coordonnées cartésiennes $\;\left(x_{F}=0\,,\,y_{F}={\dfrac {p}{2}}\right)$ $\;{\Big [}$le foyer étant sur l'axe focal $\;Oy\;$ à la distance $\;{\dfrac {p}{2}}\;$ au-dessus du sommet $\;O\,\left(x_{O}=0\,,\,y_{0}=0\right){\Big ]}\;$ et la directrice associée $\;(D)\;\parallel \;$ à l'axe $\;Ox\;$ a pour équation $\;y_{(D)}=-{\dfrac {p}{2}},\;\;\forall \;x\;\in \;\mathbb {R}$ $\;{\Big [}$la directrice étant $\;\perp \;$ à l'axe focal $\;Oy\;$ à la distance $\;{\dfrac {p}{2}}\;$ au-dessous du sommet $\;O\,\left(x_{O}=0\,,\,y_{0}=0\right){\Big ]}$ ;

          Justification : la définition monofocale de la parabole étant l'« ensemble des points $\;M\,\left(x_{M}\,,\,y_{M}\right)\;$ tel que $\;MF=MH\;$» avec $\;H\;$ projeté orthogonal de $\;M\;$ sur la directrice $\;(D)\;$ soit de coordonnées $\;H\,\left(x_{H}=x_{M}\,,\,y_{H}=-{\dfrac {p}{2}}\right)$, nous en déduisons $\;MF^{2}=MH^{2}\;$ avec $\;MF^{2}=\left(x_{F}-x_{M}\right)^{2}+\left(y_{F}-y_{M}\right)^{2}=x_{M}^{2}+\left({\dfrac {p}{2}}-y_{M}\right)^{\!2}\;$ et $\;MH^{2}=\left(x_{H}-x_{M}\right)^{2}+\left(y_{H}-y_{M}\right)^{2}=\left(-{\dfrac {p}{2}}-y_{M}\right)^{\!2}\;$ soit $\;x_{M}^{2}+\left({\dfrac {p}{2}}-y_{M}\right)^{\!2}=\left({\dfrac {p}{2}}+y_{M}\right)^{\!2}\;$ ou $\;x_{M}^{2}=\left({\dfrac {p}{2}}+y_{M}\right)^{\!2}-\left({\dfrac {p}{2}}-y_{M}\right)^{\!2}=\left[\left({\dfrac {p}{2}}+y_{M}\right)+\left({\dfrac {p}{2}}-y_{M}\right)\right]\,\left[\left({\dfrac {p}{2}}+y_{M}\right)-\left({\dfrac {p}{2}}-y_{M}\right)\right]=p\,\left[2\;y_{M}\right]\;$ et finalement «$\;y_{M}={\dfrac {1}{2\;p}}\;x_{M}^{2}\;$» s'identifiant à l'équation cartésienne «$\;y_{M}=a\;x_{M}^{2}\;$» si «$\;a={\dfrac {1}{2\;p}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;p={\dfrac {1}{2\;a}}\;$» $\;{\Big [}$le foyer «$\;F\;$» de la parabole d'équation cartésienne «$\;y=a\;x^{2}\;$» a pour ordonnée «$\;y_{F}={\dfrac {p}{2}}={\dfrac {1}{4\;a}}\;$» et sa directrice associée «$\;(D)\;$» pour équation «$\;y_{(D)}=-{\dfrac {p}{2}}=-{\dfrac {1}{4\;a}},\;\;\forall \;x\;\in \;\mathbb {R} \;$»${\Big ]}$.

Propriété de la tangente à la parabole en un point quelconque

Propriété d'intersection de la tangente à la parabole en un point quelconque $\;M\;$ et de sa tangente au sommet $\;S$

     Énoncé : Considérant une parabole de sommet $\;S$, la tangente en un point quelconque $\;M$ $\;{\big (}$de projeté $\;H\;$ sur la tangente au sommet${\big )}\;$ recoupe la tangente au sommet au milieu de $\;SH$.

     Démonstration : Considérons la parabole d’équation cartésienne $\;y=a\;x^{2}$, de sommet $\;S\;(0,\,0)\;$ et un point quelconque $\;M\;(x,\,y=a\;x^{2})$, la tangente en $\;M\;$ à la parabole a pour équation $\;Y-y=$ $y'(x)\;[X-x]\;$ avec $\;y'(x)=2\;a\;x\;$ soit encore $\;Y-a\;x^{2}=2\;a\;x\;[X-x]\;$ ou $\;Y=2\;a\;x\;X-a\;x^{2}\;$ soit enfin $\;Y=2\;a\;x\left[X-{\dfrac {x}{2}}\right]$ ;

     Démonstration : on en déduit que cette tangente recoupe l’axe des $\;x$ $\;{\big [}$c.-à-d. la tangente au sommet${\big ]}\;$ en $\;J\;$ d’abscisse $\;X_{J}={\dfrac {x}{2}}\;$ c.-à-d. la moitié de l’abscisse de $\;H$ ;

     Démonstration : en conclusion de $\;X_{J}={\dfrac {X_{H}}{2}}\;$ on en déduit que $\;J\;$ est le milieu du segment $\;[SH]$.

Ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy

Équation cartésienne d'une ellipse de centre O, d'axes de symétrie Ox et Oy

     L'équation cartésienne d'une ellipse de centre $\;O$, d'axes de symétrie $\;Ox\;$ et $\;Oy\;$ s'écrit $\;{\big (}$sous forme implicite${\big )}\;$ selon «$\;{\dfrac {x^{2}}{{a'}^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{{b'}^{2}}}=1\;$» dans laquelle
«$\;a'\;$ et $\;b'\;$ sont respectivement le demi-grand axe $\;a\;$ et le demi-petit axe $\;b\;$» ou
«$\;a'\;$ et $\;b'\;$ sont respectivement le demi-petit axe $\;b\;$ et le demi-grand axe $\;a\;$».

     Justification  : L'axe focal étant $\;Ox$, le demi-grand axe est $\;a=a'\;$ et le demi-petit axe $\;b=b'$, la distance séparant le centre $\;O\;$ de chacun des foyers est $\;CF=CF'=c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}\;$ soit $\;CF$ $=CF'=c={\sqrt {{a'}^{2}-{b'}^{2}}}\;$ $\Rightarrow$ le foyer $\;F\;$ a pour coordonnées cartésiennes $\;\left(x_{F}={\sqrt {{a'}^{2}-{b'}^{2}}}\,,\,y_{F}=0\right)$ et sa directrice associée $\;(D)\;$ étant $\;\perp \;$ à l'axe focal $\;Ox\;$ est $\;\parallel \;$ à $\;Oy$, situé à la distance $\;{\dfrac {p}{e}}\;$ au-delà de $\;F\;$ avec $\;p={\dfrac {b^{2}}{a}}\;$ soit ici $\;p={\dfrac {{b'}^{2}}{a'}}\;$ et $\;e={\dfrac {c}{a}}\;$ soit ici $\;e={\dfrac {\sqrt {{a'}^{2}-{b'}^{2}}}{a'}}={\sqrt {1-{\dfrac {{b'}^{2}}{{a'}^{2}}}}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {p}{e}}={\dfrac {\dfrac {{b'}^{2}}{a'}}{\sqrt {1-{\dfrac {{b'}^{2}}{{a'}^{2}}}}}}={\dfrac {{b'}^{2}}{\sqrt {{a'}^{2}-{b'}^{2}}}}\;$ d'où l'équation de la directrice $\;(D)\;$ $\;x_{(D)}=c+{\dfrac {p}{e}}=$ ${\sqrt {{a'}^{2}-{b'}^{2}}}+{\dfrac {{b'}^{2}}{\sqrt {{a'}^{2}-{b'}^{2}}}}\;$ soit finalement $\;x_{(D)}={\dfrac {{a'}^{2}}{\sqrt {{a'}^{2}-{b'}^{2}}}},\;\;\forall \;y\;\in \;\mathbb {R}$ ;

          Justification : la définition monofocale de l'ellipse étant l'« ensemble des points $\;M\,\left(x_{M}\,,\,y_{M}\right)\;$ tel que $\;MF=e\;MH\;$» avec $\;H\;$ projeté orthogonal de $\;M\;$ sur la directrice $\;(D)\;$ soit de coordonnées $\;H\,\left(x_{H}={\dfrac {{a'}^{2}}{\sqrt {{a'}^{2}-{b'}^{2}}}}\,,\,y_{H}=y_{M}\right)$, nous en déduisons $\;MF^{2}=e^{2}\;MH^{2}\;$ avec $\;MF^{2}=\left(x_{F}-x_{M}\right)^{2}+\left(y_{F}-y_{M}\right)^{2}=\left({\sqrt {{a'}^{2}-{b'}^{2}}}-x_{M}\right)^{\!\!2}+y_{M}^{2}\;$ d'une part et d'autre part $\;MH^{2}=$ $\left(x_{H}-x_{M}\right)^{2}+\left(y_{H}-y_{M}\right)^{2}=\left({\dfrac {{a'}^{2}}{\sqrt {{a'}^{2}-{b'}^{2}}}}-x_{M}\right)^{\!\!2}\;$ soit $\;\left({\sqrt {{a'}^{2}-{b'}^{2}}}-x_{M}\right)^{\!\!2}+y_{M}^{\,2}=\left(1-{\dfrac {{b'}^{2}}{{a'}^{2}}}\right)\,\left({\dfrac {{a'}^{2}}{\sqrt {{a'}^{2}-{b'}^{2}}}}-x_{M}\right)^{\!\!2}\;$ ou, en introduisant le 1^er facteur du 2^ème membre $\;\left(1-{\dfrac {{b'}^{2}}{{a'}^{2}}}\right)=$ $\left({\dfrac {\sqrt {{a'}^{2}-{b'}^{2}}}{a'}}\right)^{\!\!2}\;$ dans son 2^ème facteur, $\;\left({\sqrt {{a'}^{2}-{b'}^{2}}}-x_{M}\right)^{\!2}+y_{M}^{\,2}=\left(a'-{\dfrac {\sqrt {{a'}^{2}-{b'}^{2}}}{a'}}\;x_{M}\right)^{\!\!2}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left({a'}^{2}-{b'}^{2}\right)+x_{M}^{\,2}-2\;{\sqrt {{a'}^{2}-{b'}^{2}}}\;x_{M}+y_{M}^{\,2}={a'}^{2}+{\dfrac {{a'}^{2}-{b'}^{2}}{{a'}^{2}}}\;x_{M}^{\,2}-2\;{\sqrt {{a'}^{2}-{b'}^{2}}}\;x_{M}\;$ soit, après simplification, $\;{\dfrac {{b'}^{2}}{{a'}^{2}}}\;x_{M}^{\,2}+y_{M}^{\,2}={b'}^{2}\;$ c.-à-d., en divisant les deux membres par $\;{b'}^{2}$, l'équation cherchée «$\;{\dfrac {x_{M}^{\,2}}{{a'}^{2}}}+{\dfrac {y_{M}^{\,2}}{{b'}^{2}}}=1\;$».

     Cas du cercle : l'excentricité d'un cercle étant $\;e=0\;$ et son expression pour une ellipse $\;e={\sqrt {1-{\dfrac {{b'}^{2}}{{a'}^{2}}}}}$, on en déduit $\;a'=b'\;$ dont la valeur commune définit le rayon $\;R\;$ d'où

Équation cartésienne d'un cercle de centre O

     L'équation cartésienne d'un cercle de centre $\;O\;$ et de rayon $\;R\;$ s'écrit $\;{\big (}$sous forme implicite${\big )}\;$ selon «$\;{\dfrac {x^{2}}{R^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{R^{2}}}=1\;$» ou «$\;x^{2}+y^{2}=R^{2}\;$».

Hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy

Équation cartésienne d'une hyperbole de centre O, d'axes focal Ox et non focal Oy

     L'équation cartésienne d'une hyperbole de centre $\;O$, d'axes focal $\;Ox\;$ et non focal $\;Oy\;$ s'écrit $\;{\big (}$sous forme implicite${\big )}\;$ selon «$\;{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\dfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\;$» dans laquelle
«$\;a\;$ et $\;b\;$ sont respectivement le demi-axe focal et le demi-axe non focal ».

     Justification : L'axe focal étant $\;Ox$, le demi-axe focal est $\;a\;$ et le demi-axe non focal $\;b$, la distance séparant le centre $\;O\;$ de chacun des foyers est $\;CF=CF'=c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\;$ $\Rightarrow$ le foyer $\;F\;$ a pour coordonnées cartésiennes $\;\left(x_{F}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,,\,y_{F}=0\right)$ et sa directrice associée $\;(D)\;$ étant $\;\perp \;$ à l'axe focal $\;Ox\;$ est $\;\parallel \;$ à $\;Oy$, situé à la distance $\;{\dfrac {p}{e}}\;$ en deçà de $\;F\;$ avec $\;p={\dfrac {b^{2}}{a}}\;$ et $\;e={\dfrac {c}{a}}=$ ${\dfrac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{a}}={\sqrt {1+{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {p}{e}}={\dfrac {\dfrac {b^{2}}{a}}{\sqrt {1+{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}}}}={\dfrac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\;$ d'où l'équation de la directrice $\;(D)\;$ $\;x_{(D)}=c-{\dfrac {p}{e}}=$ ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-{\dfrac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\;$