Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Théorème d'Emmy Nœther

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......Après une introduction rapide de la notion de « groupe de symétries », on développera le théorème de Nœther liant l'invariance de lois physiques par transformations d'un groupe de symétries à la conservation d'une grandeur physique.

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Notion de groupe et de morphisme

Structure de groupe

......Un groupe est un ensemble $\;{\mathcal {G}}\neq \emptyset \;$ (c'est-à-dire non vide), muni d'une loi de composition interne [que nous noterons $\;*{\big ]}$,

• associative [c'est-à-dire telle que $\;(a*b)*c=a*(b*c)\;\;\forall \;(a\,,\,b\,,\,c)\in {\mathcal {G}}^{3}{\big ]}\;$ permettant de définir sans ambiguïté $\;a*b*c$,
• possédant un élément neutre $\;e\in {\mathcal {G}}\;$ ${\bigg [}$c'est-à-dire telle que $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}a*e=a\\e*a=a\end{array}}\right\rbrace \;\;\forall \;a\in {\mathcal {G}}{\bigg ]}\;$ et
• telle qu'elle associe un élément symétrique $\;x^{-1}\in {\mathcal {G}}\;$ à tout élément $\;x\in {\mathcal {G}}\;$ ${\bigg [}$c'est-à-dire telle que $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x*x^{-1}=e\\x^{-1}*x=e\end{array}}\right\rbrace \;\;\forall \;x\in {\mathcal {G}}{\bigg ]}$.

......Propriétés : l'élément neutre $\;e\;$ est unique et il existe un unique symétrique pour chaque élément de $\;{\mathcal {G}}$ ;

......Propriétés : tout élément de $\;{\mathcal {G}}\;$ est « régulier » (ou « simplifiable ») c'est-à-dire que si $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}a*x=a*y\\{\text{ou}}\\x*a=y*a\end{array}}\right\rbrace \;\;\forall \;a\in {\mathcal {G}}\;$ alors $\;x=y$ ;

......Propriétés : un groupe n'est pas nécessairement commutatif c'est-à-dire qu'il est possible que $\;a*b\neq b*a$.

Morphisme de groupes

......Une fonction $\;f\;{\text{:}}\;{\mathcal {G}}\;\mapsto \;{\mathcal {H}}\;$ entre deux groupes $\;{\mathcal {G}}\;$ et $\;{\mathcal {H}}\;$ munis respectivement de la loi de composition interne $\;\bullet \;$ et $\;\star \;$ est un morphisme si

l'égalité $\;f(a\bullet b)=f(a)\star f(b)\;\;\forall \;(a\,,\,b)\;\in {\mathcal {G}}\;$ est valable ;

......cette définition a pour conséquence que le résultat reste le même si on utilise la loi de composition interne adaptée avant ou après avoir appliqué le morphisme,

• avant d'appliquer le morphisme cela donnant $\;f(a\bullet b)\;$ et
• après avoir appliqué le morphisme cela donnant $\;f(a)\star f(b)\;$ c'est-à-dire le même résultat.

......Propriétés : l'image de l'élément neutre du groupe $\;({\mathcal {G}}\,;\;\bullet )\;$ est l'élément neutre du groupe $\;({\mathcal {H}}\,;\;\star )\;$ c'est-à-dire $\;f(e_{\mathcal {G}})=e_{\mathcal {H}}\;$ et

......Propriétés : l'image du symétrique d'un élément quelconque du groupe $\;({\mathcal {G}}\,;\;\bullet )\;$ est le symétrique de l'image de cet élément quelconque, laquelle est un élément décrivant le groupe $\;({\mathcal {H}}\,;\;\star )$, c'est-à-dire $\;f(a^{-1})=\left[f(a)\right]^{-1}\;\;\forall \;a\;\in \;{\mathcal {G}}$.

Groupes isomorphes, isomorphisme entre groupes

......Deux groupes $\;({\mathcal {G}}\,;\;\bullet )\;$ et $\;({\mathcal {H}}\,;\;\star )\;$ sont dits isomorphes s'il existe deux morphismes de groupe $\;f\;{\text{:}}\;{\mathcal {G}}\;\mapsto \;{\mathcal {H}}\;$ et $\;g\;{\text{:}}\;{\mathcal {H}}\;\mapsto \;{\mathcal {G}}\;$ tels que leur composé donne l'identité quel que soit l'ordre d'application c'est-à-dire

si $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}g\left[f(a)\right]=a\;\;\forall \;a\;\in \;{\mathcal {G}}\\f\left[g(b)\right]=b\;\;\forall \;b\;\in \;{\mathcal {H}}\end{array}}\right\rbrace \;$ ou si $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}g\circ f=id_{\mathcal {G}}\\f\circ g=id_{\mathcal {H}}\end{array}}\right\rbrace$,
$\;id_{\mathcal {G}}\;$ et $\;id_{\mathcal {H}}\;$ étant respectivement les identités des groupes $\;({\mathcal {G}}\,;\;\bullet )\;$ et $\;({\mathcal {H}}\,;\;\star )$.

......Les deux morphismes de groupe $\;f\;{\text{:}}\;{\mathcal {G}}\;\mapsto \;{\mathcal {H}}\;$ et $\;g\;{\text{:}}\;{\mathcal {H}}\;\mapsto \;{\mathcal {G}}\;$ sont alors inverses l'un de l'autre à gauche et à droite, chacun réalisant une bijection entre les deux groupes et définissant un isomorphisme entre ces derniers.

Endomorphisme d'un groupe

......Un morphisme $\;f\;{\text{:}}\;{\mathcal {G}}\;\mapsto \;{\mathcal {G}}\;$ du groupe $\;({\mathcal {G}}\,;\;\bullet )\;$ sur lui-même constitue un endomorphisme du groupe $\;({\mathcal {G}}\,;\;\bullet )$, c'est-à-dire que

l'égalité $\;f(a\bullet b)=f(a)\bullet f(b)\;\;\forall \;(a\,,\,b)\;\in {\mathcal {G}}\;$ est valable ;

......cette définition a pour conséquence que le résultat reste le même si on utilise la loi de composition interne avant ou après avoir appliqué l'endomorphisme,

• avant d'appliquer l'endomorphisme cela donnant $\;f(a\bullet b)\;$ et
• après avoir appliqué l'endomorphisme cela donnant $\;f(a)\bullet f(b)\;$ c'est-à-dire le même résultat.

......Propriétés : l'image de l'élément neutre du groupe $\;({\mathcal {G}}\,;\;\bullet )\;$ est l'élément neutre de ce dernier c'est-à-dire $\;f(e_{\mathcal {G}})=e_{\mathcal {G}}\;$ et

......Propriétés : l'image du symétrique d'un élément quelconque du groupe $\;({\mathcal {G}}\,;\;\bullet )\;$ est le symétrique de l'image de cet élément quelconque, c'est-à-dire

$\;f(a^{-1})=\left[f(a)\right]^{-1}\;\;\forall \;a\;\in \;{\mathcal {G}}$.

Automorphisme d'un groupe

......Si deux endomorphismes $\;f\;{\text{:}}\;{\mathcal {G}}\;\mapsto \;{\mathcal {G}}\;$ et $\;g\;{\text{:}}\;{\mathcal {G}}\;\mapsto \;{\mathcal {G}}\;$ du groupe $\;({\mathcal {G}}\,;\;\bullet )\;$ sur lui-même, sont inverses l'un de l'autre à gauche et à droite, chacun d'entre eux réalise une bijection sur ce groupe et définit un automorphisme sur ce dernier ;

......on peut également dire qu'un automorphisme sur un groupe est un endomorphisme de ce groupe qui est aussi un isomorphisme sur ce dernier c'est-à-dire

si $\;f\;{\text{:}}\;{\mathcal {G}}\;\mapsto \;{\mathcal {G}}\;$ est un automorphisme de $\;({\mathcal {G}}\,;\;\bullet )$,
il existe un automorphisme inverse à gauche et à droite $\;g\;{\text{:}}\;{\mathcal {G}}\;\mapsto \;{\mathcal {G}}\;$
tel que $\;f\circ g=id_{\mathcal {G}}=g\circ f$.

Groupes de symétries en physique

1^ers exemples de symétries en physique classique

......On se propose de chercher quelle est l'influence de certaines transformations de l'espace temps dans certains contextes par exemple :

• quelle est l'influence d'une translation d'espace ? Dans le cas où on étudie une grandeur physique homogène, celle-ci n'est pas modifiée par translation de l'espace …
• quelle est l'influence d'une translation de temps ? Dans le cas où on étudie une grandeur physique stationnaire, celle-ci n'est pas modifiée par translation du temps …
• quelle est l'influence d'une rotation d'espace ? Dans le cas où on étudie une grandeur physique isotrope, celle-ci n'est pas modifiée par rotation dans l'espace …

......Toutes ces transformations de l'espace temps sont des exemples de symétries en physique classique, ces exemples étant caractérisés par un ou des paramètres pouvant varier continûment constituent des symétries continues de l'espace temps ;

......tous ces exemples de symétries en physique classique correspondant à une même transformation en tous les points de l'espace temps constituent des symétries globales de ce dernier.

Dans ce qui suit nous nous limiterons aux symétries continues et globales de l'espace temps.

Groupes de symétries de l'espace temps

Angles d'Euler ψ, θ et φ ; le système fixe est indiqué en noir (Oxyz), le système mobile en rouge (Ox'y'z') et la ligne des nœuds en bleu (Ou)

......Si un ensemble de symétries continues et globales correspondant à des transformations particulières de l'espace temps, ensemble muni de la loi de composition de ces transformations particulières, est un groupe, celui-ci définit un groupe de symétries de l'espace temps.

......Exemples de groupes de symétries de l'espace temps :

• groupe de translations d'espace [l'élément neutre étant la translation de vecteur nul, l'élément symétrique de la translation de vecteur $\;{\vec {u}}\;$ étant la translation de vecteur $\;-{\vec {u}}{\big ]}$,
• groupe de translations de temps [l'élément neutre étant la translation de décalage horaire nul, l'élément symétrique de la translation d'avance $\;\Delta t\;$ étant la translation de retard $\;\Delta t{\big ]}\;$ et
• groupe de rotations d'espace [l'élément neutre étant la rotation de précession, nutation et rotation propre tous nuls, l'élément symétrique de la rotation d'angles d'Euler $\;(\psi \,,\,\theta \,,\,\varphi )\;$ étant la rotation d'angles d'Euler $\;(-\psi \,,\,-\theta \,,\,-\varphi ){\big ]}$, (voir la définition des angles d'Euler ci-contre).

......Remarque : dans le cas où les symétries envisagées sont appliquées à un groupe $\;{\mathcal {G}}\;$ muni de la loi de composition interne $\;\bullet$, on peut encore définir un groupe de symétries de $\;({\mathcal {G}}\,;\;\bullet )\;$ comme un groupe d'automorphismes du groupe $\;{\mathcal {G}}$.

Énoncé du théorème d'Emmy Nœther

Début d’un théorème

Théorème

......« À toute invariance (de l'espace temps ainsi que des lois physiques utilisées) selon un groupe de symétries (continues et globales) est nécessairement associée une grandeur physique conservée en toutes circonstances ».

Fin du théorème

......Remarques : il est important de préciser le contexte d'utilisation de ce théorème car il existe évidemment des cas où l'invariance d'une loi physique réalisée en absence d'un objet particulier ne l'est plus si cet objet est présent :

• en un lieu vide de matière on peut considérer que l'espace temps est invariant par translation d'espace mais
• s'il y a un corps céleste, la loi de gravitation de Newton (en restant hors relativité générale) implique que l'espace temps n'est plus invariant par translation d'espace.

......Remarques : Les exemples de validité de ce théorème seront donnés dans les leçons « Mécanique 1 (PCSI) » et « Mécanique 2 (PCSI) ».