Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Fonctions hyperboliques directes et inverses

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     Les fonctions hyperboliques ont été inventées par Vincenzo Riccati [1] vers en cherchant à calculer l'« aire sous l'hyperbole d'équation » [2], la méthode géométrique qu'il employa était semblable à celle qu'il utilisait pour calculer l'« aire sous le cercle d'équation » méthode où il introduisait les fonctions trigonométriques qu'il appela « circulaires » ; par analogie il nomma les nouvelles fonctions créées « hyperboliques ».

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Fonctions hyperboliques directes

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     Il y a un lien de construction à partir de la fonction exponentielle entre les fonctions « trigonométriques » directes et « hyperboliques » directes, par exemple :
     Il y a un lien de construction à partir de la fonction exponentielle « le cosinus  trigonométrique  est construit à partir de la fonction exponentielle définie sur   et
     Il y a un lien de construction à partir de la fonction exponentielle « le cosinus hyperbolique est construit à partir de la fonction exponentielle définie sur  » [3].


Cosinus hyperbolique

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Tracé du graphe de cosinus hyperbolique sur l'intervalle de définition restreint à  , l'intervalle de valeurs correspondantes étant  

     Le cosinus hyperbolique, noté  [4], est « défini sur  » selon « »,

        Le cosinus hyperbolique, noté  , « son domaine de valeurs est  »,

        Le cosinus hyperbolique, noté  , c'est une fonction « paire » c.-à-d. « » et

        Le cosinus hyperbolique, noté  , c'est une fonction « dérivable sur  » avec « » [5] car
        Le cosinus hyperbolique, noté  , c'est une fonction « dérivable sur  »  [5] ;

        Le cosinus hyperbolique, noté  , variation de  : «  de   à   sur  » puis
        Le cosinus hyperbolique, noté  , variation de  : «  de   à   sur  »,
        Le cosinus hyperbolique, noté  , variation de  : voir graphe ci-contre sur l'intervalle de définition restreint à   ;

        Le cosinus hyperbolique, noté  , variation de  : ce graphe est appelé « chaînette » [6],
     Le cosinus hyperbolique, noté  , variation de  : ce graphe il est symétrique relativement à l'axe des ordonnées  .

Sinus hyperbolique

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Tracé du graphe de sinus hyperbolique sur l'intervalle de définition restreint à  , l'intervalle de valeurs correspondantes étant  

     Le sinus hyperbolique, noté  [7], est « défini sur  » selon « »,

        Le sinus hyperbolique, noté  , « son domaine de valeurs est  »,

        Le sinus hyperbolique, noté  , c'est une fonction « impaire » c.-à-d. « » et

        Le sinus hyperbolique, noté  , c'est une fonction « dérivable sur  » avec « » [8] car
        Le sinus hyperbolique, noté  , c'est une fonction « dérivable sur  »  [8] ;

        Le sinus hyperbolique, noté  , variation de  : «  de   à   sur  »
        Le sinus hyperbolique, noté  , variation de  : voir graphe ci-contre sur l'intervalle de définition restreint à  ,
        Le sinus hyperbolique, noté  , variation de  : voir graphe ci-contre l'intervalle de valeurs étant   ;

        Le sinus hyperbolique, noté  , variation de  : ce graphe est symétrique relativement à l'origine du repérage  .

Tangente hyperbolique

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Tracé du graphe de tangente hyperbolique sur l'intervalle de définition restreint à  , l'intervalle de valeurs correspondantes étant  

     La tangente hyperbolique, notée  [9], est « définie sur  » selon « » ou encore,
        La tangente hyperbolique, notée  , est « définie sur  » selon « » [10],

        La tangente hyperbolique, notée  , « son domaine de valeurs est  »,

        La tangente hyperbolique, notée  , c'est une fonction « impaire » c.-à-d. « » et

        La tangente hyperbolique, notée  , c'est une fonction « dérivable sur  » avec « » car
        La tangente hyperbolique, noté  , c'est une fonction « dérivable sur  »  
        La tangente hyperbolique, noté  , c'est une fonction « dérivable sur  »    [11]
        La tangente hyperbolique, noté  , c'est une fonction « dérivable sur  »    [12] C.Q.F.D. [13] ou bien

        La tangente hyperbolique, notée  , c'est une fonction « dérivable sur  » avec « » [14] ;

        La tangente hyperbolique, notée  , variation de  : «  de   à   sur  »
        La tangente hyperbolique, notée  , variation de  : voir graphe ci-dessus avec un intervalle de définition restreint à   ;

        La tangente hyperbolique, notée  , variation de  : ce graphe est symétrique relativement à l'origine du repérage   et
        La tangente hyperbolique, notée  , variation de  : ce graphe admet deux asymptotes horizontales [15] pour les ordonnées  .

Cotangente hyperbolique

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Tracé du graphe de cotangente hyperbolique sur l'intervalle restreint de définition   avec pour intervalle de valeurs associées  

     La cotangente hyperbolique, notée  [16], est « définie sur  » selon « » ou encore,
        La cotangente hyperbolique, notée  , est « définie sur  » selon « » [17] ou enfin,
        La cotangente hyperbolique, notée  , est « définie sur  » selon « » [18], [19],

         La cotangente hyperbolique, notée  , « son domaine de valeurs est  »,

         La cotangente hyperbolique, notée  , c'est une fonction « impaire » c.-à-d. « »,

         La cotangente hyperbolique, notée  , c'est une fonction « dérivable sur  », de dérivée « » car
        La cotangente hyperbolique, noté  , c'est une fonction « dérivable sur  »  
        La cotangente hyperbolique, noté  , c'est une fonction « dérivable sur  »    [20]
        La cotangente hyperbolique, noté  , c'est une fonction « dérivable sur  »    [12] C.Q.F.D. [13], ou encore, « » [21] ;

         La cotangente hyperbolique, notée  , variation de   : «  de   à   sur  » puis
         La cotangente hyperbolique, notée  , variation de   : «  de   à   sur  »
         La cotangente hyperbolique, notée  , variation de   : voir graphe ci-dessus avec un intervalle de définition restreint à   et un domaine de valeurs à   ;

         La cotangente hyperbolique, notée  , variation de   : ce graphe est symétrique relativement à l'origine du repérage   et
         La cotangente hyperbolique, notée  , variation de   : ce graphe admet deux asymptotes horizontales [15] pour les ordonnées   ainsi qu'
         La cotangente hyperbolique, notée  , variation de   : ce graphe admet une asymptote verticale [22] pour  .

Commentaires : explication du nom donné aux nouvelles fonctions créées par Vincenzo Riccati

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Raison pour laquelle Vincenzo Riccati [1] introduisit les fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique [23]

     « Une demi-droite passant par l'origine coupe l’hyperbole d'équation  [2] en un point dont les coordonnées paramétrées par Vincenzo Riccati en fonction d'une grandeur  » lui permirent de créer de nouvelles fonctions baptisées « cosinus hyperbolique » pour l'abscisse et « sinus hyperbolique » pour l'ordonnée, plus précisément « », « le paramètre   s'avérant être le double de l'aire algébrique de la surface délimitée par la demi-droite, l'hyperbole et l'axe des abscisses »  en rouge sur le schéma ci-contre .

     Identification des fonctions hyperboliques créées par Vincenzo Ricati avec celles définies par exponentielles [24] : on établit

  • d'abord que « le point   d'abscisse   et d'ordonnée   vérifie l'équation de l'hyperbole  » [2] par utilisation de la relation fondamentale liant   et  [12] soit « »,
  • ensuite, du fait que le vecteur position de   s'écrivant « » on peut en déduire
    ensuite  l'expression du « vecteur déplacement élémentaire  » puis
    ensuite             celle du « vecteur surface élémentaire   balayée par   quand   se déplace de   sur l'hyperbole »
    ensuite  à l'aide de sa définition « » [25], ce qui permet de déterminer, dans le cas présent, l'expression
    ensuite  « » et,
    ensuite  en utilisant la relation fondamentale liant   et  [12] c.-à-d. « », l'expression finale
    ensuite  « » d'où
  • « l'aire de la surface balayée par le rayon vecteur   quand le point   se déplace de   sur l'hyperbole », valant « »  
    « l'aire balayée par le rayon vecteur   quand le point   se déplace sur l'hyperbole du point de l'axe des abscisses jusqu'au point repéré par le paramètre  » est « » C.Q.F.V. [26].

     Remarque : Il y a également un lien entre « l'angle  » et
     Remarque : Il y a également un lien entre « l'aire   de la surface balayée par   quand   se déplace sur l'hyperbole du point de l'axe des abscisses jusqu'au point repéré par  » mais
     Remarque : Il y a également un lien contrairement au cas du cercle [23], « » en effet :
     Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, les coordonnées polaires de   sont telles que  »    [27] ou
     Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, «  équation polaire de la branche d'hyperbole »
     Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole,  on trouve ainsi les deux asymptotes de l'hyperbole correspondant à   soit   dont on peut déduire
     Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, « le vecteur surface élémentaire balayée par   quand   se déplace de   sur la branche d'hyperbole »
     Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, « [25] se réécrivant en polaire  » dont on tire
     Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, « l'aire de la surface élémentaire balayée par le rayon vecteur   effectivement  » ;
     Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, on obtient alors «  en intégrant la relation précédente entre   et   soit  » qui s'intègre
     Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, on obtient en posant «      soit  » et
     Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, on obtient en posant «     [28]
     Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, on obtient en posant «        soit « » d'où
     Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, on obtient alors « » ou, avec « » [29] donnant
     Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, on obtient alors « 
     Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, on obtient alors «   » soit finalement « » [30].

Liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique

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     Relation fondamentale [31] : Si on calcule   et
           Relation fondamentale : Si on calcule  ,
           Relation fondamentale : Si on vérifie aisément, en ajoutant les deux relations ci-dessus et après simplification évidente, la relation fondamentale [31] « ».

     Autres relations : Il existe deux autres liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique faisant intervenir l'une ou l'autre exponentielle de la variable ou de son opposée et
     Autres relations : Il existe deux autres liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique se démontrant par simple utilisation de la définition des fonctions hyperboliques, ce sont
     Autres relations : Il existe deux autres liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique « » [32].

Relations d'addition et de duplication

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     Relations d'addition : celles-ci se vérifient sans difficulté en utilisant la définition de la fonction hyperbolique utilisée,
     Relations d'addition : celles-ci se vérifient sans difficulté en utilisant les propriétés des exponentielles et
     Relations d'addition : celles-ci se vérifient sans difficulté en faisant réapparaître les fonctions hyperboliques souhaitées :  « » [33] et
     Relations d'addition : celles-ci se vérifient sans difficulté en faisant réapparaître les fonctions hyperboliques souhaitées :  « » [34],

     Relations d'addition : celles-ci se vérifient sans difficulté en faisant réapparaître les fonctions hyperboliques souhaitées :  « » [35] et
     Relations d'addition : celles-ci se vérifient sans difficulté en faisant réapparaître les fonctions hyperboliques souhaitées :  « » [36].

     Relations de duplication : celles-ci se vérifient à partir des relations d'addition précédentes et éventuelle utilisation de la relation fondamentale [31] liant le cosinus hyperbolique et le sinus hyperbolique [37] :

     Relations de duplication :  « » [38]
     Relations de duplication :   on en déduit les relations de linéarisation suivantes « » [39] et « » [40] ,

     Relations de duplication :  « » [41].

Fonctions hyperboliques inverses

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Seule la fonction « cosinus hyperbolique » n'est pas bijective [8] et nécessite une « restriction de définition » pour devenir inversable  

Fonction argument sinus hyperbolique

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     « La fonction   est inversable sur son domaine de définition  » car elle y est « bijective » ; « son inverse notée  » [42] définit la fonction « argument sinus hyperbolique » ;

 
Tracé du graphe de   sur l'intervalle de définition restreint à  , avec pour intervalle de valeurs  

     « La fonction   est la fonction inverse de »,
     « pour   le domaine de définition étant   et le domaine des valeurs  »,  
     pour   « le domaine de définition de la fonction   est  » et « son domaine de valeurs  » ;

     tracé du graphe de la fonction  :  le graphe de   est le symétrique par rapport à la 1ère diagonale
     tracé du graphe de la fonction  :  de celui de   voir ci-contre ;

     tracé du graphe de la fonction  : on observe que la fonction est « »,
     tracé du graphe de la fonction  : on observe que la fonction est « impaire »  ,
     tracé du graphe de la fonction  : on observe que la fonction est « continue et dérivable sur  », sa dérivée valant
     tracé du graphe de la fonction  : on observe que la fonction est « continue et « » ;
     tracé du graphe de la fonction  : on déduit de cette expression de dérivée de la fonction   la propriété :
     tracé du graphe de la fonction  : on déduit « une primitive de   est  ».

     Justification de l'expression de la dérivée de  : on inverse la fonction   selon  , puis
     Justification de l'expression de la dérivée de  : on différencie la fonction inversée    [5] dont on tire
     Justification de l'expression de la dérivée de  : on différencie la fonction inversée     sans restriction
       Justification de l'expression de la dérivée de  : on différencie la fonction inversée     car  [8],
     Justification de l'expression de la dérivée de  : on termine en éliminant   au profit de   avec  [43]   soit
     Justification de l'expression de la dérivée de  : on différencie la fonction inversée     dont on déduit  .

     Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : « » ;
     Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : en effet « »   « » c.-à-d.
     Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : en effet «  est la solution de même signe que   de l'équation  » ou,
     Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : en multipliant les deux membres par   et en ordonnant en puissance   de  ,
     Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : en effet «  est solution [44] de l'équation  »,
           Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : en effet «  est solution de l’équation du 2nd degré en   de discriminant réduit   d'où
     Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : en effet « » [45] soit finalement, en inversant, « ».

Fonction argument cosinus hyperbolique

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     « Pour que la fonction   soit inversable » il faut « restreindre son domaine de définition  » pour qu'elle y soit « bijective »,
     « Pour que la fonction   soit inversable » on le « restreint à  » [46] ; « son inverse notée  » [47] définit alors la fonction « argument cosinus hyperbolique » ;

 
Tracé du graphe de   sur l'intervalle de définition restreint à  , avec pour intervalle de valeurs  

     « La fonction   est la fonction inverse de »,
     « pour   le domaine de définition étant restreint à  » [46] et « le domaine des valeurs étant  »,  
     pour   « le domaine de définition de la fonction   est  » et « son domaine de valeurs  » [46] ;

     tracé du graphe de la fonction  :  le graphe de   est le symétrique par rapport à la 1ère diagonale
     tracé du graphe de la fonction  :  de celui de   restreint à  [46]  voir ci-contre ;

     tracé du graphe de la fonction  : on observe que la fonction est « »,
     tracé du graphe de la fonction  : on observe que la fonction est « continue   et dérivable sur  »,
     tracé du graphe de la fonction  : on observe que la fonction sa dérivée valant « » ;
     tracé du graphe de la fonction  : on déduit de cette expression de dérivée de la fonction   la propriété :
     tracé du graphe de la fonction  : on déduit « une primitive de   est  ».

     Justification de l'expression de la dérivée de  : on inverse la fonction   selon  [46] et
     Justification de l'expression de la dérivée de  : on différencie la fonction inversée    [8] dont on tire
     Justification de l'expression de la dérivée de  : on différencie la fonction inversée      nécessitant       non dérivable pour  ,
     Justification de l'expression de la dérivée de  : on termine en éliminant   au profit de   avec  [48]   soit
     Justification de l'expression de la dérivée de  : on différencie la fonction inversée     dont on déduit  .

     Forme logarithmique de la fonction argument cosinus hyperbolique : « » ;
     Forme logarithmique de la fonction argument cosinus hyperbolique : en effet « »   « » [46] c.-à-d.
     Forme logarithmique de la fonction argument cosinus hyperbolique : en effet «  est solution de l'équation  » ou,
     Forme logarithmique de la fonction argument cosinus hyperbolique : en multipliant les deux membres par   et en ordonnant en puissance   de  ,
     Forme logarithmique de la fonction argument cosinus hyperbolique : en effet «  est solution [49] de l'équation  »,
           Forme logarithmique de la fonction argument cosinus hyperbolique : en effet «  est solution de l’équation du 2nd degré en   de discriminant réduit   d'où
     Forme logarithmique de la fonction argument cosinus hyperbolique : en effet « » [50] soit finalement, en inversant, « ».

Fonction argument tangente hyperbolique

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     « La fonction   est inversable sur son domaine de définition  » car elle y est « bijective » ; « son inverse notée  » [51] définit la fonction « argument tangente hyperbolique » ;

 
Tracé du graphe de   sur l'intervalle de définition  , avec pour intervalle de valeurs restreint à  

     « La fonction   est la fonction inverse de »,
     « pour   le domaine de définition étant   et le domaine des valeurs  »,  
     pour   « le domaine de définition de la fonction   est  » et « son domaine de valeurs  » ;

     tracé du graphe de la fonction  :  le graphe de   est le symétrique par rapport à la 1ère diagonale
     tracé du graphe de la fonction  :  de celui de   voir ci-contre ;

     tracé du graphe de la fonction  : on observe que la fonction est « »,
     tracé du graphe de la fonction  : on observe que la fonction est « impaire »  ,
     tracé du graphe de la fonction  : on observe que la fonction est « continue et dérivable sur  »,
     tracé du graphe de la fonction  : on observe que la fonction sa dérivée valant « » ;
     tracé du graphe de la fonction  : on déduit de cette expression de dérivée de la fonction   la propriété :
     tracé du graphe de la fonction  : on déduit « une primitive de   est  » [52], [53].

     Justification de l'expression de la dérivée de  : on inverse la fonction   selon  , puis
     Justification de l'expression de la dérivée de  : on différencie la fonction inversée    [54] et
     Justification de l'expression de la dérivée de  : on différencie la fonction inversée     sans restriction car  [54],
     Justification de l'expression de la dérivée de  : on termine en éliminant   au profit de   avec   soit   dont on déduit  .

     Forme logarithmique de la fonction argument tangente hyperbolique : « » ;
     Forme logarithmique de la fonction argument tangente hyperbolique : en effet « »   « » c.-à-d.
     Forme logarithmique de la fonction argument tangente hyperbolique : en effet «  est la solution de même signe que   de l'équation  » ou,
     Forme logarithmique de la fonction argument tangente hyperbolique : en regroupant les termes en   et en   dans des membres distincts « » puis
     Forme logarithmique de la fonction argument tangente hyperbolique : en multipliant chaque membre par     « » ou,   étant  , « »  
     Forme logarithmique de la fonction argument tangente hyperbolique : en multipliant chaque membre par     « » ou,   étant  , « » soit
     Forme logarithmique de la fonction argument tangente hyperbolique : en inversant cette dernière relation, « ».

Fonction argument cotangente hyperbolique

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     « La fonction   est inversable sur son domaine de définition  » car elle y est « bijective » ; « son inverse notée  » [55] définit la fonction « argument cotangente hyperbolique » ;

 
Tracé du graphe de   sur l'intervalle de définition restreint à  , avec un intervalle de valeurs restreint à  

     « La fonction   est la fonction inverse de »,
     « pour   le domaine de définition étant   et le domaine des valeurs  »,  
     pour   « le domaine de définition de la fonction   est  » et
     pour   « son domaine de valeurs  » ;

     tracé du graphe de la fonction  :  le graphe de   est le symétrique par rapport à la 1ère diagonale
     tracé du graphe de la fonction  :  de celui de   voir ci-contre ;

     tracé du graphe de la fonction  : on observe que la fonction est «  sur   ainsi que sur  »,
     tracé du graphe de la fonction  : on observe que la fonction est « impaire »  ,
     tracé du graphe de la fonction  : on observe que la fonction est « continue et dérivable sur   ainsi que
     tracé du graphe de la fonction  : on observe que la fonction est « continue et dérivable sur  »,
     tracé du graphe de la fonction  : on observe que la fonction sa dérivée valant « » [56] ;
     tracé du graphe de la fonction   : on déduit de cette expression de dérivée de la fonction   la propriété :
     tracé du graphe de la fonction  : on déduit « une primitive de   est  » [52], [57].

     Justification de l'expression de la dérivée de  : on inverse la fonction   selon  , puis
     Justification de l'expression de la dérivée de  : on différencie la fonction inversée    [58] et
     Justification de l'expression de la dérivée de  : on différencie la fonction inversée     sans restriction car  [58],
     Justification de l'expression de la dérivée de  : on termine en éliminant   au profit de   avec   soit   dont on déduit  .

     Forme logarithmique de la fonction argument cotangente hyperbolique : « » ;
     Forme logarithmique de la fonction argument cotangente hyperbolique : en effet « »   « » c.-à-d.
     Forme logarithmique de la fonction argument cotangente hyperbolique : en effet «  est la solution de même signe que   de l'équation  » ou,
     Forme logarithmique de la fonction argument cotangente hyperbolique : en regroupant les termes en   et en   dans des membres distincts « » puis
     Forme logarithmique de la fonction argument cotangente hyperbolique : en multipliant chaque membre par     « » ou,   étant  , « »  
     Forme logarithmique de la fonction argument cotangente hyperbolique : en multipliant chaque membre par     « » ou,   étant  , « » soit
     Forme logarithmique de la fonction argument cotangente hyperbolique : en inversant cette dernière relation, « ».

Notes et références

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  1. 1,0 et 1,1 Vincenzo Riccati (1707 - 1775) mathématicien de la province de Vénétie  serait aujourd'hui italien  surtout connu pour son travail sur les équations différentielles comme celle connue sous le nom d'équation de Riccati et pour la méthode de résolution par tractoire qu'il utilisa.
  2. 2,0 2,1 et 2,2 Voir le paragraphe « hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  3. Ce n'est toutefois pas de cette façon que Vincenzo Riccati introduisit les cosinus et sinus hyperboliques  voir le paragraphe « commentaires : explication du nom donné aux nouvelles fonctions créées par Vincenzo Riccati » plus loin dans le chapitre .
  4. On trouve encore la notation initiale  .
  5. 5,0 5,1 et 5,2 Voir le paragraphe « sinus hyperbolique » plus loin dans ce chapitre.
  6. Le graphe du cosinus hyperbolique est appelé « chaînette » car c'est la courbe que suit une chaînette  ou tout objet filiforme homogène  tenue par ses deux extrémités dans un champ de pesanteur uniforme  pour que la courbe suivie par la chaînette soit symétrique il faut que les deux extrémités soient au même niveau horizontal .
  7. On trouve encore la notation initiale  .
  8. 8,0 8,1 8,2 8,3 et 8,4 Voir le paragraphe « cosinus hyperbolique » plus haut dans ce chapitre.
  9. On trouve encore la notation initiale  .
  10. En effet   en utilisant les deux autres fonctions hyperboliques définies aux paragraphes « sinus hyperbolique » et « cosinus hyperbolique » plus haut dans ce chapitre.
  11. En utilisant la formule de dérivation d'un quotient de fonctions   avec   voir le paragraphe « sinus hyperbolique » plus haut dans ce chapitre et   voir le paragraphe « cosinus hyperbolique » plus haut dans ce chapitre d'où  
  12. 12,0 12,1 12,2 et 12,3 On utilise la relation fondamentale liant   et   établie au paragraphe « liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique » plus loin dans ce chapitre soit  .
  13. 13,0 et 13,1 Ce Qu'il Fallait Démontrer.
  14. Pour cela il suffit de transformer  .
  15. 15,0 et 15,1 Bien sûr le qualificatif « horizontal » est un abus pour traduire de façon succincte «  à l'axe des abscisses ».
  16. On trouve encore la notation initiale  .
  17. En effet   en utilisant les deux autres fonctions hyperboliques définies aux paragraphes « cosinus hyperbolique » et « sinus hyperbolique » plus haut dans ce chapitre.
  18. En effet   en utilisant la tangente hyperbolique définie au paragraphe « tangente hyperbolique » plus haut dans ce chapitre.
  19. Ce dernier lien étant la raison pour laquelle la cotangente hyperbolique est très peu utilisée  tout comme la cotangente  trigonométrique  par rapport à la tangente  trigonométrique .
  20. En utilisant la formule de dérivation d'un quotient de fonctions   avec   voir le paragraphe « cosinus hyperbolique » plus haut dans ce chapitre et   voir le paragraphe « sinus hyperbolique » plus haut dans ce chapitre d'où  
  21. Pour cela il suffit de transformer  .
  22. Bien sûr le qualificatif « vertical » est un abus pour traduire de façon succincte «  à l'axe des ordonnées ».
  23. 23,0 et 23,1
     
    Méthode d'introduction des fonctions trigonométriques ayant inspiré Vincenzo Riccati pour introduire les fonctions hyperboliques
    La méthode suivie par Vincenzo Riccati est calquée sur celle qu'il utilisait lorsque le cercle trigonométrique d'équation   était à la place de l'hyperbole d'équation  , voir ci-contre le diagramme explicatif de la méthode avec le cercle trigonométrique ;
       Une demi-droite passant par l'origine coupe le cercle trigonométrique en un point dont les coordonnées paramétrées en fonction de l'angle polaire   s'expriment respectivement en fonction du « cosinus » pour l'abscisse et « sinus » pour l'ordonnée, plus précisément  , le paramètre   s'avérant être aussi « le double de l'aire algébrique de la surface délimitée par la demi-droite, le cercle et l'axe des abscisses »  en rouge sur le schéma ci-contre  ;
       en effet nous avons indiqué dans le corps du « paragraphe sur lequel se greffe cette note de bas de page » que le vecteur surface élémentaire   balayée par le rayon vecteur   quand le point   se déplace de   sur une courbe donnée, est défini par  , pour le cercle trigonométrique le meilleur repérage étant le repérage polaire de base locale   le rayon vecteur s'écrivant   et le vecteur déplacement élémentaire    le cercle étant de rayon unité , on en déduit   d'où l'aire de la surface balayée par le rayon vecteur   quand le point   se déplace sur le cercle de   valant  , celle quand le point   se déplace sur le cercle du point de l'axe des abscisses jusqu'au point repéré par le paramètre   est bien    pour un cercle de rayon   l'aire serait   correspondant à une aire de   pour un tour complet .
  24. Voir les paragraphes « cosinus hyperbolique » et « sinus hyperbolique » plus haut dans ce chapitre.
  25. 25,0 et 25,1 D'une part Le vecteur surface   devant être «  à   et  » est bien colinéaire à « » et
                        d'autre part sa norme   devant être identifiée à l'« aire de la surface triangulaire construite sur les deux vecteurs   et  » c.-à-d. «   »  aire d'un triangle = la moitié du produit d'une base   par la hauteur associée   soit finalement « ».
  26. Ce Qu'il Fallait Vérifier.
  27. Par report dans l'équation cartésienne   de cette branche d'hyperbole.
  28. En utilisant la formule de trigonométrie « ».
  29. Voir méthode d'intégration exposée dans le paragraphe « développement de quelques méthodes de calcul (intégrer une fonction rationnelle par décomposition en éléments simples) » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  30. Ce lien « » entre l'angle   et l'aire   de la surface balayée par le rayon vecteur quand le point   se déplace sur l'hyperbole du point de l'axe des abscisses jusqu'au point repéré par   est nettement plus complexe que « » obtenu dans le cas du cercle d'équation cartésienne  , sa complexité impliquant sa inutilisation.
  31. 31,0 31,1 et 31,2 Appellation personnelle.
  32. Nettement moins utilisées que la précédente.
  33. Noter la différence avec la relation d'addition analogue en trigonométrie « ».
  34. Noter la différence avec la relation d'addition analogue en trigonométrie « ».
  35. Relation d'addition analogue en trigonométrie « ».
  36. Relation d'addition analogue en trigonométrie « ».
  37. Voir le paragraphe « liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique (relation fondamentale) » plus haut dans ce chapitre.
  38. Noter la différence avec la relation de duplication analogue en trigonométrie « ».
  39. Relation de linéarisation analogue en trigonométrie « ».
  40. Noter la différence avec la relation de linéarisation analogue en trigonométrie « ».
  41. Relation de duplication analogue en trigonométrie « ».
  42. On trouve encore la notation initiale  .
  43. En effet la relation fondamentale entre   et   étant    voir le paragraphe « liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique » plus haut dans ce chapitre      soit, avec  , la relation « ».
  44. Si   est  , nous conserverons la solution telle que   soit   c.-à-d. telle que   soit  ,
       si   est  , nous conserverons la solution telle que   soit   c.-à-d. telle que   soit  .
  45. Le produit des racines valant  , les deux racines sont de signes contraires mais, seule la positive peut être une exponentielle et convenir ;
       la recherche de la racine   nous conduit à  , l'autre   étant   car   est toujours  .
  46. 46,0 46,1 46,2 46,3 46,4 et 46,5 L'ensemble des réels positifs ou nuls est encore noté   mais les mathématiciens utilisent  .
  47. On trouve encore la notation initiale  .
  48. En effet la relation fondamentale entre   et   étant    voir le paragraphe « liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique » plus haut dans ce chapitre      soit,   étant  , il en est de même de   d'où la relation « ».
  49.   étant  ,   est  .
  50. Le produit des racines valant  , les deux racines sont de signes contraires mais, seule la positive peut être une exponentielle et convenir ;
       la recherche de la racine   nous conduit à  , l'autre   étant   car   est toujours  .
  51. On trouve encore la notation initiale  .
  52. 52,0 et 52,1 Toutefois on préférera toujours utiliser la décomposition de la fonction rationnelle   en éléments simples comme cela est exposé dans le paragraphe « développement de quelques méthodes de calcul (intégrer une fonction rationnelle par décomposition en éléments simples) » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »     qui s'intègre en     soit finalement  .
  53. Dans la mesure où  , la primitive se réécrit donc    le 1er terme n'est rien d'autre que la forme logarithmique de   établie ci-après .
  54. 54,0 et 54,1 Voir le paragraphe « tangente hyperbolique » plus haut dans ce chapitre.
  55. On trouve encore la notation initiale  .
  56. Que l'on peut écrire encore   c.-à-d. la même expression que   mais sur des domaines de définition différents, plus exactement complémentaires.
  57. Dans la mesure où  , la primitive   se réécrit finalement selon    le 1er terme n'est rien d'autre que la forme logarithmique de   établie ci-après .
  58. 58,0 et 58,1 Voir le paragraphe « cotangente hyperbolique » plus haut dans ce chapitre.