Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Fonctions implicites

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Dans ce chapitre nous nous limitons aux fonctions implicites les plus couramment utilisées en physique à savoir des fonctions implicites entre variables réelles.

Définition d'une fonction implicite

Fonction implicite entre deux variables réelles

Définition d'une fonction implicite entre deux variables réelles

     Considérant «$\;\left(x\,,\,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}\;$ un couple a priori quelconque de variables indépendantes » et
     Considérant «$\;f\;$ est une fonction de $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ dans $\;\mathbb {R} \;$» définie par «$\;\forall \;\left(x\,,\,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}\;:\;\left(x\,,\,y\right)\;{\overset {f}{\rightarrow }}\;f\left(x\,,\,y\right)\;\in \mathbb {R} \;$»,
     l'équation $\;f\left(x\,,\,y\right)=0\;$ définit une fonction implicite entre les variables $\;x\;$ et $\;y\;$ si on peut exprimer une des variables $\;x$ $\;{\big (}$ou $\;y{\big )}\;$ en fonction de l'autre $\;y$ $\;{\big (}$ou $\;x{\big )}\;$ pour tous les couples $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ vérifiant l'équation soit mathématiquement
     «$\;f\left(x\,,\,y\right)=0\;$ définit une fonction implicite entre $\;x\;$ et $\;y\;$» « si $\;\exists \;\psi \;:\;\mathbb {R} \mapsto \mathbb {R} \;$ telle que $\;f\left(x\,,\,y\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;y=\psi (x)\;$»
«$\;\color {transparent}{f\left(x\,,\,y\right)=0}\;$ définit une fonction implicite entre $\;\color {transparent}{x}\;$ et $\;\color {transparent}{y}\;$» ou « si $\;\exists \;\varphi \;:\;\mathbb {R} \mapsto \mathbb {R} \;$ telle que $\;f\left(x\,,\,y\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;x=\varphi (y)\;$»,
«$\;\color {transparent}{f\left(x\,,\,y\right)=0}\;$ définit une fonction implicite entre $\;\color {transparent}{x}\;$ et $\;\color {transparent}{y}\;$» et ceci pour tous les couples $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ vérifiant l'équation $\;f\left(x\,,\,y\right)=0$.

     Remarques : La fonction «$\;\psi \;:\;x\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y\;$» ou celle «$\;\varphi \;:\;y\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x\;$» définie pour tous les couples $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ vérifiant l'équation $\;f\left(x\,,\,y\right)=0\;$ est appelée « fonction implicite » $\;{\big \{}f\left(x\,,\,y\right)=0\;$ étant, quant à elle, appelée « équation implicite »${\big )}$ ;

     Remarques : «$\;y=\psi (x)\;$» ou «$\;x=\varphi (y)\;$» est l'équation du graphe de la fonction implicite «$\;\psi \;$ ou $\;\varphi \;$» $\;{\big \{}$mais, en général, il n'est pas nécessaire d'expliciter les fonctions «$\;\psi \;$ ou $\;\varphi \;$» pour représenter le graphe de la fonction implicite, lequel est une courbe en général continue${\big \}}$.

Fonction implicite entre trois variables réelles ou plus

Définition d'une fonction implicite entre trois variables réelles

     Considérant «$\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\in \mathbb {R} ^{3}\;$ un triplet a priori quelconque de variables indépendantes » et
     Considérant «$\;f\;$ est une fonction de $\;\mathbb {R} ^{3}\;$ dans $\;\mathbb {R} \;$» définie par «$\;\forall \;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\in \mathbb {R} ^{3}\;:\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\;{\overset {f}{\rightarrow }}\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\;\in \mathbb {R} \;$»,
     l'équation $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ définit une fonction implicite entre les variables $\;x$, $\;y\;$ et $\;z\;$ si on peut exprimer une des variables $\;x$ $\;{\big [}$ou $\;y\;$ ou $\;z{\big ]}\;$ en fonction des deux autres $\;\left(y\,,\,z\right)$ $\;{\big [}$ou $\;\left(x\,,\,z\right)\;$ ou $\;\left(x\,,\,y\right){\big ]}\;$ pour tous les triplets $\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\;$ vérifiant l'équation soit encore
     $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ définit une fonction implicite entre $\;x$, $\;y\;$ et $\;z\;$ « si $\;\exists \;\psi \;:\;\mathbb {R} ^{2}\mapsto \mathbb {R} \;$ telle que $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;y=\psi (x\,,\,z)\;$»
$\;\color {transparent}{f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0}\;$ définit une fonction implicite entre $\;\color {transparent}{x}$, $\;\color {transparent}{y}\;$ et $\;\color {transparent}{z}\;$ ou « si $\;\exists \;\varphi \;:\;\mathbb {R} ^{2}\mapsto \mathbb {R} \;$ telle que $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;x=\varphi (y\,,\,z)\;$»,
$\;\color {transparent}{f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0}\;$ définit une fonction implicite entre $\;\color {transparent}{x}$, $\;\color {transparent}{y}\;$ et $\;\color {transparent}{z}\;$ ou « si $\;\exists \;\zeta \;:\;\mathbb {R} ^{2}\mapsto \mathbb {R} \;$ telle que $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;z=\zeta \,(x\,,\,y)\;$»
$\;\color {transparent}{f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0}\;$ définit une fonction implicite entre $\;\color {transparent}{x}$, $\;\color {transparent}{y}\;$ et $\;\color {transparent}{z}\;$ et ceci pour tous les triplets $\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\;$ vérifiant $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0$.

     Remarques 1 : La fonction «$\;\psi \;:\;(x\,,\,z)\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y\;$» ou celle «$\;\varphi \;:\;(y\,,\,z)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x\;$» ou encore celle «$\;\zeta \;:\;(x\,,\,y)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z\;$» définie pour tous les triplets $\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\;$ vérifiant l'équation $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ est appelée « fonction implicite » $\;{\big \{}f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ étant, quant à elle, appelée « équation implicite »${\big )}$ ;

     Remarques 1 : «$\;y=\psi (x,\,z)\;$» ou «$\;x=\varphi (y,\,z)\;$» ou «$\;z=\zeta \,(x,\,y)\;$» est l'équation du graphe de la fonction implicite «$\;\psi \;$ ou $\;\varphi \;$ ou $\;\zeta \;$» $\;{\big \{}$mais, en général, il n'est pas nécessaire d'expliciter les fonctions «$\;\psi \;$ ou $\;\varphi \;$ ou $\;\zeta \;$» pour représenter le graphe de la fonction implicite, lequel est une surface en général continue${\big \}}$.

     Remarques 2 : La définition d'une fonction implicite entre quatre variables réelles $\;{\big (}$ou plus${\big )}\;$ se déduit aisément de celle exposée ci-dessus entre trois variables réelles, elle est simplement évoquée ci-après :

     Remarques 2 : considérant «$\;\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)\in \mathbb {R} ^{4}\;$ un quadruplet a priori quelconque de variables indépendantes » et
     Remarques 2 : considérant «$\;f\;$ est une fonction de $\;\mathbb {R} ^{4}\;$ dans $\;\mathbb {R} \;$» définie par «$\;\forall \;\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)\in \mathbb {R} ^{4}\;:\;\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)\;{\overset {f}{\rightarrow }}\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)\;\in \mathbb {R} \;$»,
     Remarques 2 : l'équation $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0\;$ définit une fonction implicite entre les variables $\;x$, $\;y$, $\;z\;$ et $\;t\;$ si on peut exprimer une des variables $\;x$ $\;{\big [}$ou $\;y\;$ ou $\;z\;$ ou $\;t{\big ]}\;$ en fonction des trois autres $\;\left(y\,,\,z\,,\,t\right)$ $\;{\big [}$ou $\;\left(x\,,\,z\,,\,t\right)\;$ ou $\;\left(x\,,\,y\,,\,t\right)\;$ ou $\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right){\big ]}\;$ pour tous les quadruplets $\;\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)\;$ vérifiant l'équation soit, par exemple,
     Remarques 2 : considérant «$\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0\;$ définit une fonction implicite entre $\;x$, $\;y$, $\;z\;$ et $\;t\;$» « si $\;\exists \;\psi \;:\;\mathbb {R} ^{3}\mapsto \mathbb {R} \;$ telle que $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;y=\psi (x\,,\,z\,,\,t)\;$» ou $\;\ldots$

Exemples de fonctions implicites

Exemples de fonctions implicites entre deux variables réelles

     L'équation implicite «$\;x^{2}+y^{2}-1=0\;$» définit une fonction implicite «$\;\psi \;:\;x\in \left[-1\,,\,+1\right]\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y=\psi (x)=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}\;$» ou
     L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» définit une fonction implicite «$\;\varphi \;:\;y\in \left[-1\,,\,+1\right]\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x=\varphi (y)=\pm {\sqrt {1-y^{2}}}\;$»
     L'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» définit une fonction implicite toutes deux étant l'équation du cercle trigonométrique.

     L'équation implicite «$\;{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-1=0\;$» définit une fonction implicite «$\;\psi \;:\;x\in \left[-a'\,,\,+a'\right]\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y=\psi (x)=\pm \,b'\;{\sqrt {1-{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}}}\;$» ou
     L'équation implicite «$\;\color {transparent}{{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-1=0}\;$» définit une fonction implicite «$\;\varphi \;:\;y\in \left[-b'\,,\,+b'\right]\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x=\varphi (y)=\pm \,a'\;{\sqrt {1-{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}}}\;$»
     L'équation implicite «$\;\color {transparent}{{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-1=0}\;$» définit une fonction implicite toutes deux étant l'équation de l'ellipse de centre $\;O$, d'axes $\;x'x\;$ et $\;y'y$, dont $\;a'\;$ est le demi-grand axe $\;{\big (}$ou le demi-petit axe${\big )}\;$ et $\;b'\;$ le demi-petit axe $\;{\big (}$ou le demi-grand axe${\big )}\;$.

     L'équation implicite «$\;{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\dfrac {y^{2}}{b^{2}}}-1=0\;$» définit une fonction implicite «$\;\psi \;:\;x\in \left]-\infty \,,\,-a\right]\cup \left[+a\,,\,+\infty \right[\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y=\psi (x)=\pm \,b\;{\sqrt {{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}-1}}\;$» ou
     L'équation implicite «$\;\color {transparent}{{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\dfrac {y^{2}}{b^{2}}}-1=0}\;$» définit une fonction implicite «$\;\varphi \;:\;y\in \left]-\infty \,,\,-b\right]\cup \left[+b\,,\,+\infty \right[\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x=\varphi (y)=\pm \,a\;{\sqrt {{\dfrac {y^{2}}{b^{2}}}+1}}\;$»
     L'équation implicite «$\;\color {transparent}{{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\dfrac {y^{2}}{b^{2}}}-1=0}\;$» définit une fonction implicite toutes deux étant l'équation de l'hyperbole de centre $\;O$, d'axes focal $\;x'x\;$ et non focal $\;y'y$, dont $\;a\;$ est le demi-axe focal et $\;b\;$ le demi-axe non focal.

Exemples de fonctions implicites entre trois variables réelles

     L'équation implicite «$\;{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}+{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}-1=0\;$» définit une fonction implicite «$\;\psi \;:\;\left(x\,,\,z\right)\in \left[-a'\,,\,+a'\right]\times \left[-c'\,,\,+c'\right]\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y=\psi (x,\,z)=\pm \,b'\;{\sqrt {1-{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}-{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}}}\;$» ou
     L'équation implicite «$\;\color {transparent}{{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}+{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}-1=0}\;$» définit une fonction implicite «$\;\varphi \;:\;\left(y\,,\,z\right)\in \left[-b'\,,\,+b'\right]\times \left[-c'\,,\,+c'\right]\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x=\varphi (y,\,z)=\pm \,a'\;{\sqrt {1-{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}}}\;$» ou
     L'équation implicite «$\;\color {transparent}{{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}+{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}-1=0}\;$» définit une fonction implicite «$\;\zeta \;:\;\left(x\,,\,y\right)\in \left[-a'\,,\,+a'\right]\times \left[-b'\,,\,+b'\right]\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z=\zeta \,(x,\,y)=\pm \,c'\;{\sqrt {1-{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}-{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}}}\;$»
     L'équation implicite «$\;\color {transparent}{{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}+{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}-1=0}\;$» définit une fonction implicite toutes trois étant l'équation de l'ellipsoïde triaxial de centre $\;O$, d'axes $\;x'x$, $\;y'y\;$ et $\;z'z$, dont $\;a'$, $\;b'\;$ et $\;c'\;$ sont les demi-axes $\;{\big (}$paramètres positifs et deux à deux différents quand l'ellipsoïde est triaxial${\big )}\;$.

     L'équation implicite «$\;{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}-1=0\;$» définit une fonction implicite «$\;\psi \;:\;\left(x\,,\,z\right)\in \left\lbrace \left]-\infty \,,\,-a'\right]\cup \left[+a'\,,\,+\infty \right[\right\rbrace \times \mathbb {R} \;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y=\psi (x,\,z)=\pm \,b'\;{\sqrt {1-{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}}}\;$» ou
     L'équation implicite «$\;\color {transparent}{{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}-1=0}\;$» définit une fonction implicite «$\;\varphi \;:\;\left(y\,,\,z\right)\in \left\lbrace \left]-\infty \,,\,-b'\right]\cup \left[+b'\,,\,+\infty \right[\right\rbrace \times \mathbb {R} \;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x=\varphi (y,\,z)=\pm \,a'\;{\sqrt {1-{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}+{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}}}\;$» ou
     L'équation implicite «$\;\color {transparent}{{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}-1=0}\;$» définit une fonction implicite «$\;\zeta \;:\;\left(x\,,\,y\right)\in \left\lbrace \left]-\infty \,,\,-a'\right]\cup \left[+a'\,,\,+\infty \right[\right\rbrace \times \left\lbrace \left]-\infty \,,\,-b'\right]\cup \left[+b'\,,\,+\infty \right[\right\rbrace \;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z=\zeta \,(x,\,y)\;$ avec $\;\zeta \,(x,\,y)=$ $\pm \,c'\;{\sqrt {1-{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}-{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}}}\;$»
     L'équation implicite «$\;\color {transparent}{{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}-1=0}\;$» définit une fonction implicite toutes trois étant l'équation de l'hyperboloïde à une nappe de centre $\;O$, d'axes $\;x'x$, $\;y'y\;$ et $\;z'z$, dont $\;a'$, $\;b'\;$ et $\;c'\;$ sont les demi-axes $\;{\big (}$paramètres positifs${\big )}$, le caractère connexe de l'hyperboloïde $\;{\big (}$présence d'une seule nappe${\big )}\;$ étant assuré par le fait que $\;z\;$ peut prendre toute valeur réelle alors que $\;x\;$ et $\;y\;$ prennent des valeurs de la réunion de deux intervalles disjoints.

     L'équation implicite «$\;{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}+1=0\;$» définit une fonction implicite «$\;\psi \;:\;\left(x\,,\,z\right)\in \mathbb {R} \times \left\lbrace \left]-\infty \,,\,-c'\right]\cup \left[+c'\,,\,+\infty \right[\right\rbrace \;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y=\psi (x,\,z)=\pm \,b'\;{\sqrt {{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}-{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}-1}}\;$» ou
     L'équation implicite «$\;\color {transparent}{{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}+1=0}\;$» définit une fonction implicite «$\;\varphi \;:\;\left(y\,,\,z\right)\in \mathbb {R} \times \left\lbrace \left]-\infty \,,\,-b'\right]\cup \left[+b'\,,\,+\infty \right[\right\rbrace \;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x=\varphi (y,\,z)=\pm \,a'\;{\sqrt {{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}-{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-1}}\;$» ou
     L'équation implicite «$\;\color {transparent}{{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}+1=0}\;$» définit une fonction implicite «$\;\zeta \;:\;\left(x\,,\,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z=\zeta \,(x,\,y)=\pm \,c'\;{\sqrt {1+{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}}}\;$»
     L'équation implicite «$\;\color {transparent}{{\dfrac {x^{2}}{a'^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b'^{2}}}-{\dfrac {z^{2}}{c'^{2}}}+1=0}\;$» définit une fonction implicite toutes trois étant l'équation de l'hyperboloïde à deux nappes de centre $\;O$, d'axes $\;x'x$, $\;y'y\;$ et $\;z'z$, dont $\;a'$, $\;b'\;$ et $\;c'\;$ sont les demi-axes $\;{\big (}$paramètres positifs${\big )}$, le caractère non connexe de l'hyperboloïde $\;{\big (}$présence de deux nappes${\big )}\;$ étant assuré par le fait que $\;x\;$ et $\;y\;$ peuvent prendre toute valeur réelle alors que $\;z\;$ prend des valeurs de la réunion de deux intervalles disjoints.

Dérivée d'une fonction implicite

   Préliminaire : Dans ce paragraphe nous nous proposons d'exprimer la dérivée première $\;{\big (}$ou n'importe quelle des dérivées partielles premières${\big )}\;$ d'une fonction implicite en utilisant les dérivées partielles du 1^er membre de l'équation implicite dont la fonction implicite est solution $\;{\big \{}$l'utilisation de la relation ainsi trouvée peut être particulièrement utile quand la fonction implicite est impossible à déterminer algébriquement${\big \}}$.

Dérivée première d'une fonction implicite entre deux variables réelles

Dérivée 1^ère d'une fonction implicite entre x et y

     Soit « l’équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\right)=0\;$ des variables réelles $\;x\;$ et $\;y\;$ avec $\;f\;$ fonction continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,y_{0})\;$» et
     Soit « la fonction implicite $\;\psi \;:\;x\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y\;$ solution de l'équation implicite » c'est-à-dire telle que «$\;f\left(x\,,\,y\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;y=\psi (x)\;$»,
     « la fonction implicite $\;\psi \;$ étant, par suite, continue et différentiable en $\;x_{0}\;$», la valeur de sa dérivée 1^ère en $\;x_{0}\;$ peut se déterminer par «$\;\psi '(x_{0})=-{\dfrac {{f'}_{\!x}(x_{0},\,y_{0})}{{f'}_{\!y}(x_{0},\,y_{0})}}\;$» ou «$\;{\dfrac {d\psi }{dx}}(x_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})}}\;$»      si « la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\;y$ $\;{\big (}x\;$ étant figée${\big )}\;$ est telle que $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})\neq 0\;$».

     Démonstration : différenciant «$\;f\left(x\,,\,y\right)=0\;$ en $\;(x_{0}\,,\,y_{0})\;$» nous obtenons «$\;df(x_{0},\,y_{0})=0\;$ ou $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})\;dx+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})\;dy=0\;$» dont nous déduisons, dans la mesure où $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})\neq 0$, «$\;{\dfrac {dy}{dx}}=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})}}\;$ ${\bigg \{}{\dfrac {dy}{dx}}\;$ étant $\;{\dfrac {d\psi }{dx}}(x_{0})\;$ par abus d'écriture${\bigg \}}\;$ C.Q.F.D. ».

     Remarque : à partir de « la fonction implicite $\;\varphi \;:\;y\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x\;$ solution de l'équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;x=\varphi (y)\;$», pour laquelle «$\;f\;$ est une fonction continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,y_{0})\;$» nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « la fonction implicite $\;\varphi \;$ est continue et différentiable en $\;y_{0}\;$», la valeur de sa dérivée 1^ère en $\;y_{0}\;$ pouvant se déterminer par

«$\;\varphi '(y_{0})=-{\dfrac {{f'}_{\!y}(x_{0},\,y_{0})}{{f'}_{\!x}(x_{0},\,y_{0})}}\;$» ou «$\;{\dfrac {d\varphi }{dy}}(y_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})}}\;$» si
« la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\;x$ $\;{\big (}$à $\;y\;$ figée${\big )}\;$ vérifie $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})\neq 0\;$».

     Lien entre les dérivées des fonctions implicites d'une même équation implicite : « les deux fonctions implicites $\;\psi \;:\;x\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y\;$ et $\;\varphi \;:\;y\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x\;$ solutions de l'équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\right)=0\;$ pour laquelle $\;f\;$ est une fonction continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,y_{0})\;$» étant elles-mêmes continues et différentiables, ont une dérivée 1^ère finie, inverse l'une de l'autre dans la mesure où «$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})\neq 0\;$ ainsi que $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})\neq 0\;$» en effet «$\;{\dfrac {d\varphi }{dy}}(y_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})}}\;$» et «$\;{\dfrac {d\psi }{dx}}(x_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})}}\;$» $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {d\varphi }{dy}}(y_{0})\;{\dfrac {d\psi }{dx}}(x_{0})=\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})}}\right]\,\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})}}\right]=1\;$ d'où

«$\;{\dfrac {d\varphi }{dy}}(y_{0})\;{\dfrac {d\psi }{dx}}(x_{0})=1\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {d\varphi }{dy}}(y_{0})={\dfrac {1}{{\dfrac {d\psi }{dx}}(x_{0})}}\;$» si $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\psi \;:\;x\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y\\\varphi \;:\;y\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x\end{array}}\right\rbrace \;$.

Dérivées partielles premières d'une fonction implicite entre trois variables réelles

Dérivées partielles 1^ères d'une fonction implicite entre x, y et z

     Soit « l’équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ des variables réelles $\;x$, $\;y\;$ et $\;z$, $\;f\;$ étant continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\;$» et
     Soit « la fonction implicite $\;\psi \;:\;(x\,,\,z)\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y\;$ solution de l'équation implicite » c'est-à-dire telle que «$\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;y=\psi (x,\,z)\;$»,
     « la fonction implicite $\;\psi \;$ étant, par suite, continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,z_{0})\;$»,
     « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\psi }\;$ sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;x\;$ à $\;z\;$ figée évaluée au point $\;(x_{0}\,,\,z_{0})\;$ peut se déterminer par «$\;{\psi '}_{\!\!x}(x_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {{f'}_{\!\!x}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{{f'}_{\!\!y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$» ou «$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z}(x_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$» et      « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\psi }\;$ sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;z\;$ à $\;x\;$ figée évaluée au point $\;(x_{0}\,,\,z_{0})\;$ peut se déterminer par «$\;{\psi '}_{\!\!z}(x_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {{f'}_{\!\!z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{{f'}_{\!\!y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$» ou «$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x}(x_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$»
si « la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\;y$ $\;{\big (}x\;$ et $\;z\;$ étant figées${\big )}\;$ est telle que $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0\;$».

     Démonstration : différenciant, à $\;z\;$ figée, «$\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\;$» nous obtenons «$\;d_{z}f(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=0\;$ ou $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\;dx+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\;dy=0\;$» dont nous déduisons, dans la mesure où $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0$, «$\;{\dfrac {dy}{dx}}=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$ ${\bigg \{}{\dfrac {dy}{dx}}\;$ étant $\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z}(x_{0},\,z_{0})\;$ par abus d'écriture${\bigg \}}\;$ C.Q.F.D. » et

     Démonstration : différenciant, à $\;x\;$ figée, «$\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\;$» nous obtenons «$\;d_{x}f(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=0\;$ ou $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\;dy+\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\;dz=0\;$» dont nous déduisons, dans la mesure où $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0$, «$\;{\dfrac {dy}{dz}}=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$ ${\bigg \{}{\dfrac {dy}{dz}}\;$ étant $\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x}(x_{0},\,z_{0})\;$ par abus d'écriture${\bigg \}}\;$ C.Q.F.D. ».

     Remarque : à partir de « la fonction implicite $\;\varphi \;:\;(y\,,\,z)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x\;$ solution de l'équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;x=\varphi (y,\,z)\;$», pour laquelle «$\;f\;$ est une fonction continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\;$» nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « la fonction implicite $\;\varphi \;$ est continue et différentiable en $\;(y_{0},\,z_{0})\;$», sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;y\;$ à $\;z\;$ figée ainsi que celle par rapport à $\;z\;$ à $\;y\;$ figée, toutes deux évaluées au point $\;(y_{0}\,,\,z_{0})$, pouvant se déterminer par

«$\;{\varphi '}_{\!\!y}(y_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {{f'}_{\!\!y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{{f'}_{\!\!x}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$» ou «$\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!z}(y_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$» et
«$\;{\varphi '}_{\!\!z}(y_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {{f'}_{\!\!z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{{f'}_{\!\!x}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$» ou «$\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$» si
« la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\;x$ $\;{\big (}$à $\;y\;$ et $\;z\;$ figées${\big )}\;$ vérifie $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0\;$» ;

     Remarque : à partir de « la fonction implicite $\;\zeta \;:\;(x\,,\,y)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z\;$ solution de l'équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;z=\zeta \,(x,\,y)\;$», pour laquelle «$\;f\;$ est une fonction continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\;$» nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « la fonction implicite $\;\zeta \;$ est continue et différentiable en $\;(x_{0},\,y_{0})\;$», sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;x\;$ à $\;y\;$ figée ainsi que celle par rapport à $\;y\;$ à $\;x\;$ figée, toutes deux évaluées au point $\;(x_{0}\,,\,y_{0})$, pouvant se déterminer par

«$\;{\zeta '}_{\!\!x}(x_{0},\,y_{0})=-{\dfrac {{f'}_{\!\!y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{{f'}_{\!\!x}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$» ou «$\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$» et
«$\;{\zeta '}_{\!\!y}(x_{0},\,y_{0})=-{\dfrac {{f'}_{\!\!z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{{f'}_{\!\!x}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$» ou «$\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial y}}\right)_{\!x}(y_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$» si
« la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\;z$ $\;{\big (}$à $\;x\;$ et $\;y\;$ figées${\big )}\;$ vérifie $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0\;$».

     Liens entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : « les trois fonctions implicites $\;\psi \;:\;(x,\,z)\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y$, $\;\varphi \;:\;(y,\,z)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x\;$ et $\;\zeta \;:\;z\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;(x,\,y)\;$ solutions de l'équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ pour laquelle $\;f\;$ est une fonction continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\;$» étant elles-mêmes continues et différentiables, ont des dérivées partielles 1^ères liées $\;2\;$ à $\;2\;$ selon :

• «$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z}(x_{0},\,z_{0})={\dfrac {1}{\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!z}(y_{0},\,z_{0})}}\;$» dans la mesure où «$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0\;$ ainsi que $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0\;$» en effet «$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z}(x_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$» et «$\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!z}(y_{0},\,z_{0})$ $=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$» $\Rightarrow$ $\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!z}(y_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z}(x_{0},\,z_{0})=\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\right]\,\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\right]=1\;$,
• «$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x}(x_{0},\,z_{0})={\dfrac {1}{\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})}}\;$» dans la mesure où «$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0\;$ ainsi que $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0\;$» en effet «$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x}(x_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$» et «$\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})$ $=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$» $\Rightarrow$ $\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x}(x_{0},\,z_{0})=\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\right]\,\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\right]=1\;$ et
• «$\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})={\dfrac {1}{\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})}}\;$» dans la mesure où «$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0\;$ ainsi que $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0\;$» en effet «$\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$» et «$\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})$ $=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\;$» $\Rightarrow$ $\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})=\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\right]\,\left[-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})}}\right]=1\;$ ;

          Liens entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : nous pouvons déduire des liens ci-dessus entre « les dérivées partielles 1^ères des trois fonctions implicites $\;\psi \;:\;(x,\,z)\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y$, $\;\varphi \;:\;(y,\,z)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x\;$ et $\;\zeta \;:\;z\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;(x,\,y)\;$ solutions de l'équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$ pour laquelle $\;f\;$ est une fonction continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\;$», une relation liant trois des dérivées partielles 1^ères judicieusement choisies des fonctions implicites $\;\psi$, $\;\varphi \;$ et $\;\zeta \;$ solutions de l'équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0$ $\;{\bigg \{}$à condition qu'aucune des trois dérivées partielles 1^ères de $\;f\;$ ne s'annule au point $\;(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\;$ c'est-à-dire «$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0\;$», «$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0\;$» et «$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0\;$»${\bigg \}}\;$ soit :

«$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z}(x_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})=-1\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z}(x_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})=-{\dfrac {1}{\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})}}\;$»,
                   «$\;\color {transparent}{\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z}(x_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})=-1}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z}(x_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})=-\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})\;$»,
«$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x}(x_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!z}(x_{0},\,y_{0})=-1\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x}(x_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})=-{\dfrac {1}{\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!z}(x_{0},\,y_{0})}}\;$»,
                   «$\;\color {transparent}{\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x}(x_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)_{\!y}(y_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!z}(x_{0},\,y_{0})=-1}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x}(x_{0},\,z_{0})\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})=-\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z}(x_{0},\,y_{0})\;$».

Dérivées partielles premières d'une fonction implicite entre quatre variables réelles (ou plus)

     Soit « l’équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0\;$ des variables réelles $\;x$, $\;y$, $\;z\;$ et $\;t$, $\;f\;$ étant continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\,,\,t_{0})\;$» et
     Soit « la fonction implicite $\;\psi \;:\;(x\,,\,z\,,\,t)\;{\overset {\psi }{\rightarrow }}\;y\;$ solution de l'équation implicite » c'est-à-dire telle que «$\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;y=\psi (x,\,z,\,t)\;$»,
     « la fonction implicite $\;\psi \;$ étant, par suite, continue et différentiable en $\;(x_{0}\,,\,z_{0}\,,\,t_{0})\;$»,
     « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\psi }\;$ sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;x$, à $\;z\;$ et $\;t\;$ figées, évaluée au point $\;(x_{0}\,,\,z_{0}\,,\,t_{0})\;$ peut se déterminer par

«$\;{\psi '}_{\!\!x}(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {{f'}_{\!\!x}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{{f'}_{\!\!y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$» ou «$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z,\,t}(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$»,

     « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\psi }\;$ sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;z$, à $\;x\;$ et $\;t\;$ figées, évaluée au point $\;(x_{0}\,,\,z_{0},\,t_{0})\;$ peut se déterminer par

«$\;{\psi '}_{\!\!z}(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {{f'}_{\!\!z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{{f'}_{\!\!y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$» ou «$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial z}}\right)_{\!x,\,t}(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$» et

     « la fonction implicite $\;\color {transparent}{\psi }\;$ sa dérivée partielle 1^ère par rapport à $\;t$, à $\;x\;$ et $\;z\;$ figées, évaluée au point $\;(x_{0}\,,\,z_{0},\,t_{0})\;$ peut se déterminer par

«$\;{\psi '}_{\!\!t}(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {{f'}_{\!\!t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{{f'}_{\!\!y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$» ou «$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial t}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$»
si « la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\;y$ $\;{\big (}x$, $\;z\;$ et $\;t\;$ étant figées${\big )}\;$ est telle que $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\;$».

     Démonstration : différenciant, à $\;z\;$ et $\;t\;$ figées, «$\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0\;$ en $\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\,,\,t_{0})\;$» nous obtenons «$\;d_{z,\,t}f(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})=0\;$ soit, en explicitant la différentielle, à $\;z\;$ et $\;t\;$ figées, de $\;f$, $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;dx+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;dy=0\;$» dont nous déduisons, dans la mesure où $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0$, «$\;{\dfrac {dy}{dx}}=-{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}{\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})}}\;$ ${\bigg \{}{\dfrac {dy}{dx}}\;$ étant $\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z,\,t}(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;$ par abus d'écriture${\bigg \}}\;$ C.Q.F.D. »,
     Démonstration : les expressions des deux autres dérivées partielles 1^ères se déterminant de la même façon $\;\ldots$

     « Les trois autres fonctions implicites “$\;\varphi \;:\;(y\,,\,z\,,\,t)\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;x\;$”, “$\;\zeta \;:\;(x\,,\,y\,,\,t)\;{\overset {\zeta }{\rightarrow }}\;z\;$” et “$\;\tau \;:\;(x\,,\,y\,,\,z)\;{\overset {\tau }{\rightarrow }}\;t\;$” solutions de l'équation implicite $\;f\left(x\,,\,y\,,\,z\,,\,t\right)=0\;$ sont continues et différentiables respectivement en “$\;(y_{0}\,,\,z_{0}\,,\,t_{0})\;$”, “$\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,t_{0})\;$” et “$\;(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0})\;$” », « les trois dérivées partielles 1^ères de chacune des trois autres fonctions implicites s'expriment en fonction de certaines dérivées partielles 1^ères de $\;f$, de la même façon que celles de $\;\psi \;$» $\;{\big (}$laissées au bon soin du lecteur${\big )}$.

     Liens entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : en procédant d'une façon analogue à celle utilisée pour les trois fonctions implicites d'une même équation implicite $\;f(x,\,y,\,z)=0$, nous déterminons les « liens entre dérivées partielles des quatre fonctions implicites de la même équation implicite $\;f(x,\,y,\,z,\,t)=0\;$» $\;{\bigg \{}$si aucune des dérivées partielles 1^ères de $\;f\;$ ne s'annule au point $\;(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;$ c'est-à-dire «$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\;$», «$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\;$», «$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\;$» et «$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\!x,\,y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\neq 0\;$»${\bigg \}}\;$ dont un lien est explicité ci-dessous :

«$\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!z,\,t}(x_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{\!y,\,t}(y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\;\left({\dfrac {\partial \zeta }{\partial t}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})\;\left({\dfrac {\partial \tau }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=(-1)^{4}=+1\;$» ;

            Liens entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : il y a six relations du type précédent dont nous laissons l'explicitation au bon soin du lecteur $\;\ldots$

     Liens entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite entre plus de quatre variables : à partir de « l’équation implicite $\;f\left(x_{1}\,,\,..\,,\,x_{i}\,,\,..\,,\,x_{n}\right)=0\;$ des variables réelles $\;x_{1}$, $\ldots$, $\;x_{i}$, $\ldots$, $\;x_{n}\;$ avec $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace \;$ dans laquelle $\;f\;$ est continue et différentiable en $\;(x_{1,\,0}\,,\,..\,,\,x_{i,\,0}\,,\,..\,,\,x_{n,\,0})\;$», nous associons «$\;n\;$ fonctions implicites solutions de $\;f\left(x_{1}\,,\,..\,,\,x_{i}\,,\,..\,,\,x_{n}\right)$ $=0\;$ “$\;\varphi _{1}\;:\;(x_{2}\,,\,..\,,\,x_{j}\,,\,..\,,\,x_{n})\;{\overset {\varphi _{1}}{\rightarrow }}\;x_{1}\;$”, $\ldots$, “$\;\varphi _{i}\;:\;(x_{1}\,,\,..\,,\,x_{i-1}\,,\,x_{i+1}\,\,..\,,\,x_{n})\;{\overset {\varphi _{i}}{\rightarrow }}\;x_{i}\;$”, $\ldots$, “$\;\varphi _{n}\;:\;(x_{1}\,,\,..\,,\,x_{j}\,,\,x_{n-1})\;{\overset {\varphi _{n}}{\rightarrow }}\;x_{n}\;$” » continues et différentiables en $\;(x_{2,\,0}\,,\,..\,,\,x_{j,\,0}\,,\,..\,,\,x_{n,\,0})$, $\;\ldots$, $\;(x_{1,\,0}\,,\,..\,,\,x_{i-1,\,0}\,,\,x_{i+1,\,0}\,\,..\,,\,x_{n,\,0})$, $\;\ldots$, $\;(x_{1,\,0}\,,\,..\,,\,x_{j,\,0}\,,\,..\,,\,x_{n-1,\,0})\;$ et nous pouvons établir «$\;(n-1)\,!\;$ liens entre les dérivées partielles judicieusement choisies des $\;n\;$ fonctions implicites de l'équation $\;f\left(x_{1}\,,\,..\,,\,x_{i}\,,\,..\,,\,x_{n}\right)=0\;$» du type

«$\;\prod \limits _{k\,=\,1\,..\,n}{\dfrac {\partial \varphi _{\sigma ^{k-1}(1)}}{\partial x_{\sigma ^{k}(1)}}}=(-1)^{n}\;$»
dans lequel $\;\sigma \;$ une permutation de $\;S_{n}\;$ et $\;\sigma ^{k}\;$ la puissance k de la permutation $\;\sigma \;$ telle que $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\sigma ^{0}(1)=1\\\sigma ^{n}(1)=1\end{array}}\right\rbrace$,
$\;\sigma \;$ étant telle que «$\;\sigma (1)\;$ est $\;\neq 1\;$» et «$\;\sigma ^{k}(1)\notin \left\lbrace 1,\,..\,\sigma (1),\,..\,\sigma ^{k-1}(1)\right\rbrace \;$ $\;\forall \,k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]\;$»,
sous la condition qu'« aucune des dérivées partielles 1^ères de $\;f\;$ ne s'annule en $\;(x_{1,\,0}\,,\,..\,,\,x_{i,\,0}\,,\,..\,,\,x_{n,\,0})\;$».

Théorème des fonctions implicites

Théorème des fonctions implicites en dimension deux

     Préliminaire : Le théorème des fonctions implicites en dimension deux précise à quelles conditions une équation implicite $\;f(x,\,y)=0\;$ des variables réelles $\;x\;$ et $\;y\;$ peut être résolue c'est-à-dire à quelles conditions il est possible d'exprimer une des variables $\;x$ $\;{\big (}$ou $\;y{\big )}\;$ en fonction de l'autre $\;y$ $\;{\big (}$ou $\;x{\big )}\;$ pour tous les couples $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ vérifiant l'équation.

Énoncé

Début d’un théorème

Théorème des fonctions implicites en dimension deux

     Soit «$\;f\;$ une fonction réelle de classe C^p $\;{\big (}p\,\in \,\mathbb {N} ^{*}{\big )}\;$ définie sur un ouvert $\;U\;$ de $\;\mathbb {R} ^{2}\;$» et
     Soit «$\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$ un point de $\;U\;$ tel que $\;f\!\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)=0\;$ et que la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\;y$ $\;{\big (}$à $\;x\;$ figée${\big )}\;$ y soit non nulle c'est-à-dire $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0},\,y_{0})\neq 0\;$»,
     il existe une fonction réelle $\;\psi \;$ de classe classe C^p, définie sur un intervalle ouvert réel $\;V\,\ni x_{0}\;$ et un voisinage ouvert de $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$ dans $\;U$, noté $\;\Omega$, tels que «$\;\forall \,\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\in \Omega \;{\text{et}}\;f\!\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)=0\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;x\in V\;{\text{et}}\;y=\psi (x)\;$»,
«$\;\psi \;$ définissant une fonction implicite solution de l'équation implicite $\;f\!\left(x\,,\,y\right)=0\;$».

Fin du théorème

     Autre version du théorème des fonctions implicites en dimension deux : si « la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\;x$ $\;{\big (}$à $\;y\;$ figée${\big )}\;$ au point $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$ de l'ouvert $\;U\;$ de $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ est non nulle c'est-à-dire $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0},\,y_{0})\neq 0\;$» en plus de «$\;f\!\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)=0\;$», «$\;f\;$ étant une fonction réelle de classe C^p $\;{\big (}p\,\in \,\mathbb {N} ^{*}{\big )}\;$ définie sur l'ouvert $\;U\;$ de $\;\mathbb {R} ^{2}\;$», il existe une fonction réelle $\;\varphi \;$ de classe classe C^p, définie sur un intervalle ouvert réel $\;V'\,\ni y_{0}\;$ et un voisinage ouvert de $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$ dans $\;U$, noté $\;\Omega '$, tels que

«$\;\forall \,\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\in \Omega '\;{\text{et}}\;f\!\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)=0\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;y\in V'\;{\text{et}}\;x=\varphi (y)\;$»,
«$\;\varphi \;$ définissant une fonction implicite solution de l'équation implicite $\;f\!\left(x\,,\,y\right)=0\;$».

     Remarque : nous admettons le théorème des fonctions implicites en dimension deux dans l'une ou l'autre version énoncée ci-dessus.

Exemples d'application

     Retour sur l'équation implicite «$\;x^{2}+y^{2}-1=0\;$» équation cartésienne du cercle trigonométrique :
     Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» en tout point d'abscisse $\;x\in \left]-1\,,\,+1\right[\;$ il existe deux valeurs de $\;y\;$ possibles, donc l'application du théorème des fonctions implicites en dimension deux étant local ne peut fournir qu'une fonction implicite dont le graphe ne décrit qu'une partie du cercle trigonométrique : «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c l}y\!\!&=\psi _{+}(x)\!\!&={\sqrt {1-x^{2}}}\\y\!\!&=\psi _{-}(x)\!\!&=-{\sqrt {1-x^{2}}}\end{array}}\right\rbrace \;$», les fonctions implicites distinctes «$\;\psi _{+}\;$ étant de graphe décrivant le demi-cercle trigonométrique hors bornes strictement au-dessus de l'axe $\;x'x\;$» et «$\;\psi _{-}\;$ de graphe décrivant le demi-cercle trigonométrique hors bornes strictement au-dessous de l'axe $\;x'x\;$» $\;{\bigg \{}$chacune d'elles étant de classe C¹ c'est-à-dire continûment dérivable sur l'intervalle ouvert correspondant, la dérivée $\;{\dfrac {d\psi _{+}}{dx}}(x)\;$ ou $\;{\dfrac {d\psi _{-}}{dx}}(x)\;$ ne s'y annulant pas${\bigg \}}$,
     Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» aux points d'abscisse $\;x_{+}=+1\;$ et $\;x_{-}=-1\;$ il existe une seule valeur de $\;y\;$ possible $\;y=0$, mais le théorème des fonctions implicites en dimension deux ne peut s'y appliquer car, pour tout intervalle ouvert $\;V_{+}\ni x_{+}\;$ ou $\;V_{-}\ni x_{-}$, aux points d'abscisse $\;\neq x_{+}\;$ ou $\;\neq x_{-}\;$ du cercle trigonométrique il existe deux valeurs de $\;y\;$ possibles rendant l'explicitation d'une fonction implicite définie sur l'intervalle ouvert $\;V_{+}\ni x_{+}\;$ ou $\;V_{-}\ni x_{-}\;$ impossible $\;{\Bigg \{}$une des hypothèses d'application du théorème des fonctions implicites en dimension deux n'étant pas vérifiée pour les points d'abscisse $\;x_{+}=+1\;$ et $\;x_{-}=-1\;$ car la dérivée partielle par rapport à $\;y$ $\;{\big (}$à $\;x\;$ figée${\big )}\;$ de $\;f(x,\,y)=x^{2}+y^{2}-1\;$ c'est-à-dire $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=2\;y\;$ s'y annulant${\Bigg \}}$,

     Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» en tout point d'ordonnée $\;y\in \left]-1\,,\,+1\right[\;$ il existe deux valeurs de $\;x\;$ possibles, donc l'application du théorème des fonctions implicites en dimension deux étant local ne peut fournir qu'une fonction implicite dont le graphe ne décrit qu'une partie du cercle trigonométrique : «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c l}x\!\!&=\varphi _{+}(y)\!\!&={\sqrt {1-y^{2}}}\\x\!\!&=\varphi _{-}(y)\!\!&=-{\sqrt {1-y^{2}}}\end{array}}\right\rbrace \;$», les fonctions implicites distinctes «$\;\varphi _{+}\;$ étant de graphe décrivant le demi-cercle trigonométrique hors bornes strictement à droite de l'axe $\;y'y\;$» et «$\;\varphi _{-}\;$ de graphe décrivant le demi-cercle trigonométrique hors bornes strictement à gauche de l'axe $\;y'y\;$» $\;{\bigg \{}$chacune d'elles étant de classe C¹ c'est-à-dire continûment dérivable sur l'intervalle ouvert correspondant, la dérivée $\;{\dfrac {d\varphi _{+}}{dy}}(y)\;$ ou $\;{\dfrac {d\varphi _{-}}{dy}}(y)\;$ ne s'y annulant pas${\bigg \}}$,
     Retour sur l'équation implicite «$\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}-1=0}\;$» aux points d'ordonnée $\;y_{+}=+1\;$ et $\;y_{-}=-1\;$ il existe une seule valeur de $\;x\;$ possible $\;x=0$, mais le théorème des fonctions implicites en dimension deux ne peut s'y appliquer car, pour tout intervalle ouvert $\;{V'}_{\!\!+}\ni y_{+}\;$ ou $\;{V'}_{\!\!-}\ni y_{-}$, aux points d'abscisse $\;\neq y_{+}\;$ ou $\;\neq y_{-}\;$ du cercle trigonométrique il existe deux valeurs de $\;x\;$ possibles rendant l'explicitation d'une fonction implicite définie sur l'intervalle ouvert $\;{V'}_{\!\!+}\ni y_{+}\;$ ou $\;{V'}_{\!\!-}\ni y_{-}\;$ impossible $\;{\Bigg \{}$une des hypothèses d'application du théorème des fonctions implicites en dimension deux n'étant pas vérifiée pour les points d'ordonnée $\;y_{+}=+1\;$ et $\;y_{-}=-1\;$ car la dérivée partielle par rapport à $\;x$ $\;{\big (}$à $\;y\;$ figée${\big )}\;$ de $\;f(x,\,y)=x^{2}+y^{2}-1\;$ c'est-à-dire $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)=2\;x\;$ s'y annulant${\Bigg \}}$.

     Remarque : le lecteur pourra constater par lui-même, sur les autres exemples du paragraphe « exemples de fonctions implicites entre deux variables réelles » présentés plus haut dans ce chapitre, que les conditions d'application du théorème des fonctions implicites en dimension deux sont vérifiées $\;\ldots$

Théorème des fonctions implicites en dimension trois

     Préliminaire : Le théorème des fonctions implicites en dimension trois précise à quelles conditions une équation implicite $\;f(x,\,y,|,z)=0\;$ des variables réelles $\;x$, $\;y\;$ et $\;z\;$ peut être résolue c'est-à-dire à quelles conditions il est possible d'exprimer une des variables $\;x$ $\;{\big \{}$ou $\;y\;$ ou $\;z{\big \}}\;$ en fonction des deux autrex $\;(y\,,\,z)$ $\;{\big \{}$ou $\;(x\,,\,z)\;$ ou $\;(x\,,\,y{\big )}{\big \}}\;$ pour tous les triplets $\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\;$ vérifiant l'équation ;
     Préliminaire : il existe d'autres formulations $\;{\big (}$ou utilisations${\big )}\;$ de ce théorème que nous n'évoquerons pas.

Énoncé

Début d’un théorème

Théorème des fonctions implicites en dimension trois

     Soit «$\;f\;$ une fonction réelle de classe C^p $\;{\big (}p\,\in \,\mathbb {N} ^{*}{\big )}\;$ définie sur un ouvert $\;U\;$ de $\;\mathbb {R} ^{3}\;$» et
     Soit «$\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)\;$ un point de $\;U\;$ tel que $\;f\!\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)=0\;$ et que la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\;y$ $\;{\big (}$à $\;x\;$ et $\;z\;$ figées${\big )}\;$ y soit non nulle c'est-à-dire $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0\;$»,
     il existe une fonction réelle $\;\psi \;$ de classe classe C^p, définie sur un intervalle ouvert de $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ noté $\;V\,\ni (x_{0}\,,\,z_{0})\;$ et un voisinage ouvert de $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)\;$ dans $\;U$, noté $\;\Omega$, tels que «$\;\forall \,\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)\in \Omega \;{\text{et}}\;f\!\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)=0\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;(x,\,z)\in V\;{\text{et}}\;y=\psi (x,\,z)\;$»,
«$\;\psi \;$ définissant une fonction implicite solution de l'équation implicite $\;f\!\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$».

Fin du théorème

     Autres versions du théorème des fonctions implicites en dimension trois : si « la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\;x$ $\;{\big (}$à $\;y\;$ et $\;z\;$ figées${\big )}\;$ au point $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)\;$ de l'ouvert $\;U\;$ de $\;\mathbb {R} ^{3}\;$ est non nulle c'est-à-dire $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0\;$» en plus de «$\;f\!\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)=0\;$», «$\;f\;$ étant une fonction réelle de classe C^p $\;{\big (}p\,\in \,\mathbb {N} ^{*}{\big )}\;$ définie sur l'ouvert $\;U\;$ de $\;\mathbb {R} ^{3}\;$», il existe une fonction réelle $\;\varphi \;$ de classe classe C^p, définie sur un intervalle ouvert de $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ noté $\;V'\,\ni (y_{0},\,z_{0})\;$ et un voisinage ouvert de $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)\;$ dans $\;U$, noté $\;\Omega '$, tels que

«$\;\forall \,\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)\in \Omega '\;{\text{et}}\;f\!\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)=0\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;(y,\,z)\in V'\;{\text{et}}\;x=\varphi (y,\,z)\;$»,
«$\;\varphi \;$ définissant une fonction implicite solution de l'équation implicite $\;f\!\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$».

     Autres versions du théorème des fonctions implicites en dimension trois : si « la dérivée partielle 1^ère de $\;f\;$ par rapport à $\;z$ $\;{\big (}$à $\;x\;$ et $\;y\;$ figées${\big )}\;$ au point $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)\;$ de l'ouvert $\;U\;$ de $\;\mathbb {R} ^{3}\;$ est non nulle c'est-à-dire $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\neq 0\;$» en plus de «$\;f\!\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)=0\;$», «$\;f\;$ étant une fonction réelle de classe C^p $\;{\big (}p\,\in \,\mathbb {N} ^{*}{\big )}\;$ définie sur l'ouvert $\;U\;$ de $\;\mathbb {R} ^{3}\;$», il existe une fonction réelle $\;\zeta \;$ de classe classe C^p, définie sur un intervalle ouvert de $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ noté $\;V''\,\ni (x_{0},\,y_{0})\;$ et un voisinage ouvert de $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)\;$ dans $\;U$, noté $\;\Omega ''$, tels que

«$\;\forall \,\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)\in \Omega ''\;{\text{et}}\;f\!\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)=0\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;(x,\,y)\in V''\;{\text{et}}\;z=\zeta (x,\,y)\;$»,
«$\;\zeta \;$ définissant une fonction implicite solution de l'équation implicite $\;f\!\left(x\,,\,y\,,\,z\right)=0\;$».

     Remarque : nous admettons le théorème des fonctions implicites en dimension trois pour chaque version énoncée ci-dessus.

Exemples d'application

     Nous laissons le soin au lecteur de reproduire les explications du paragraphe « exemples d'application (du théorème des fonctions implicites de dimension deux) » exposées plus haut dans ce chapitre en les adaptant à la dimension trois $\;\ldots$

Théorème des fonctions implicites en dimension quatre ou plus

     Nous laissons le soin au lecteur de généraliser le « théorème des fonctions implicites de dimension trois » à toute dimension quatre ou plus,
     Nous laissons le soin au lecteur de généraliser le graphe des fonctions implicites représentant « des surfaces en dimension trois » et « des hypersurfaces en dimension quatre ou plus » $\;\ldots$