Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Fonctions implicites

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Dans ce chapitre nous nous limitons aux fonctions implicites les plus couramment utilisées en physique à savoir des fonctions implicites entre variables réelles.

Définition d'une fonction implicite modifier

Fonction implicite entre deux variables réelles modifier

     Remarques : La fonction «» ou celle «» définie pour tous les couples vérifiant l'équation est appelée « fonction implicite » étant, quant à elle, appelée « équation implicite »[1] ;

     Remarques : «» ou «» est l'équation du graphe de la fonction implicite « ou » mais, en général, il n'est pas nécessaire d'expliciter les fonctions « ou » pour représenter le graphe de la fonction implicite, lequel est une courbe en général continue[2].

Fonction implicite entre trois variables réelles ou plus modifier

     Remarques 1 : La fonction «» ou celle «» ou encore celle «» définie pour tous les triplets vérifiant l'équation est appelée « fonction implicite » étant, quant à elle, appelée « équation implicite »[3] ;

     Remarques 1 : «» ou «» ou «» est l'équation du graphe de la fonction implicite « ou ou » mais, en général, il n'est pas nécessaire d'expliciter les fonctions « ou ou » pour représenter le graphe de la fonction implicite, lequel est une surface en général continue[4].

     Remarques 2 : La définition d'une fonction implicite entre quatre variables réelles ou plus se déduit aisément de celle exposée ci-dessus entre trois variables réelles, elle est simplement évoquée ci-après :

     Remarques 2 : considérant « un quadruplet a priori quelconque de variables indépendantes » et
     Remarques 2 : considérant « est une fonction de dans » définie par «»,
     Remarques 2 : l'équation définit une fonction implicite entre les variables , , et si on peut exprimer une des variables ou ou ou en fonction des trois autres ou ou ou pour tous les quadruplets vérifiant l'équation soit, par exemple,
     Remarques 2 : considérant « définit une fonction implicite entre , , et » « si telle que »[5] ou

Exemples de fonctions implicites modifier

Exemples de fonctions implicites entre deux variables réelles modifier

     L'équation implicite «» définit une fonction implicite «»[6] ou
     L'équation implicite «» définit une fonction implicite «»[7]
     L'équation implicite «» définit une fonction implicite toutes deux étant l'équation du cercle trigonométrique[8].

     L'équation implicite «» définit une fonction implicite «»[6] ou
     L'équation implicite «» définit une fonction implicite «»[7]
     L'équation implicite «» définit une fonction implicite toutes deux étant l'équation de l'ellipse de centre , d'axes et , dont est le demi-grand axe ou le demi-petit axe et le demi-petit axe ou le demi-grand axe[9],[10].

     L'équation implicite «» définit une fonction implicite «»[6] ou
     L'équation implicite «» définit une fonction implicite «»[7]
     L'équation implicite «» définit une fonction implicite toutes deux étant l'équation de l'hyperbole de centre , d'axes focal et non focal , dont est le demi-axe focal et le demi-axe non focal[11],[12].

Exemples de fonctions implicites entre trois variables réelles modifier

     L'équation implicite «» définit une fonction implicite «»[13] ou
     L'équation implicite «» définit une fonction implicite «»[14] ou
     L'équation implicite «» définit une fonction implicite «»[15]
     L'équation implicite «» définit une fonction implicite toutes trois étant l'équation de l'ellipsoïde triaxial de centre , d'axes , et , dont , et sont les demi-axes paramètres positifs et deux à deux différents quand l'ellipsoïde est triaxial[16],[17].

     L'équation implicite «» définit une fonction implicite «»[13] ou
     L'équation implicite «» définit une fonction implicite «»[14] ou
     L'équation implicite «» définit une fonction implicite « avec »[15]
     L'équation implicite «» définit une fonction implicite toutes trois étant l'équation de l'hyperboloïde à une nappe de centre , d'axes , et , dont , et sont les demi-axes paramètres positifs, le caractère connexe de l'hyperboloïde présence d'une seule nappe étant assuré par le fait que peut prendre toute valeur réelle alors que et prennent des valeurs de la réunion de deux intervalles disjoints[18],[19].

     L'équation implicite «» définit une fonction implicite «»[13] ou
     L'équation implicite «» définit une fonction implicite «»[14] ou
     L'équation implicite «» définit une fonction implicite «»[15]
     L'équation implicite «» définit une fonction implicite toutes trois étant l'équation de l'hyperboloïde à deux nappes de centre , d'axes , et , dont , et sont les demi-axes paramètres positifs, le caractère non connexe de l'hyperboloïde présence de deux nappes étant assuré par le fait que et peuvent prendre toute valeur réelle alors que prend des valeurs de la réunion de deux intervalles disjoints[20],[21].

Dérivée d'une fonction implicite modifier

   Préliminaire : Dans ce paragraphe nous nous proposons d'exprimer la dérivée première ou n'importe quelle des dérivées partielles premières d'une fonction implicite en utilisant les dérivées partielles du 1er membre de l'équation implicite dont la fonction implicite est solution l'utilisation de la relation ainsi trouvée peut être particulièrement utile quand la fonction implicite est impossible à déterminer algébriquement.

Dérivée première d'une fonction implicite entre deux variables réelles modifier

     Démonstration : différenciant « en » nous obtenons « ou » dont nous déduisons, dans la mesure où , « étant par abus d'écriture C.Q.F.D[22]. ».

     Remarque : à partir de « la fonction implicite solution de l'équation implicite », pour laquelle « est une fonction continue et différentiable en » nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « la fonction implicite est continue et différentiable en », la valeur de sa dérivée 1ère en pouvant se déterminer par

«» ou «» si
« la dérivée partielle 1ère de par rapport à à figée vérifie ».

     Lien entre les dérivées des fonctions implicites d'une même équation implicite[23] : « les deux fonctions implicites et solutions de l'équation implicite pour laquelle est une fonction continue et différentiable en » étant elles-mêmes continues et différentiables, ont une dérivée 1ère[23] finie, inverse l'une de l'autre dans la mesure où « ainsi que » en effet «» et «» d'où

« » si [24].

Dérivées partielles premières d'une fonction implicite entre trois variables réelles modifier

     Démonstration : différenciant, à figée, « en » nous obtenons «[25] ou » dont nous déduisons, dans la mesure où , « étant par abus d'écriture C.Q.F.D[22]. » et

     Démonstration : différenciant, à figée, « en » nous obtenons «[25] ou » dont nous déduisons, dans la mesure où , « étant par abus d'écriture C.Q.F.D[22]. ».

     Remarque : à partir de « la fonction implicite solution de l'équation implicite », pour laquelle « est une fonction continue et différentiable en » nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « la fonction implicite est continue et différentiable en », sa dérivée partielle 1ère par rapport à à figée ainsi que celle par rapport à à figée, toutes deux évaluées au point , pouvant se déterminer par

«» ou «» et
«» ou «» si
« la dérivée partielle 1ère de par rapport à à et figées vérifie » ;

     Remarque : à partir de « la fonction implicite solution de l'équation implicite », pour laquelle « est une fonction continue et différentiable en » nous déduisons, par application de la proposition ci-dessus, que « la fonction implicite est continue et différentiable en », sa dérivée partielle 1ère par rapport à à figée ainsi que celle par rapport à à figée, toutes deux évaluées au point , pouvant se déterminer par

«» ou «» et
«» ou «» si
« la dérivée partielle 1ère de par rapport à à et figées vérifie ».

     Liens entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite[26] : « les trois fonctions implicites , et solutions de l'équation implicite pour laquelle est une fonction continue et différentiable en » étant elles-mêmes continues et différentiables, ont des dérivées partielles 1ères[26] liées à selon :

  • «»[27] dans la mesure où « ainsi que » en effet «» et « » [28],
  • «»[29] dans la mesure où « ainsi que » en effet «» et « » [30] et
  • «»[31] dans la mesure où « ainsi que » en effet «» et « » [32] ;

          Liens entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : nous pouvons déduire des liens ci-dessus entre « les dérivées partielles 1ères[26] des trois fonctions implicites , et solutions de l'équation implicite pour laquelle est une fonction continue et différentiable en », une relation liant trois des dérivées partielles 1ères judicieusement choisies des fonctions implicites , et solutions de l'équation implicite à condition qu'aucune des trois dérivées partielles 1ères de ne s'annule au point c'est-à-dire «», «» et «» soit :

«»[33],[34] «»[35],
                   «» «»[36],[37],
«»[38],[39] «»[40],
                   «» «»[41],[42].

Dérivées partielles premières d'une fonction implicite entre quatre variables réelles (ou plus) modifier

     Soit « l’équation implicite des variables réelles , , et , étant continue et différentiable en » et
     Soit « la fonction implicite solution de l'équation implicite » c'est-à-dire telle que « »,
     « la fonction implicite étant, par suite, continue et différentiable en »,
     « la fonction implicite sa dérivée partielle 1ère par rapport à , à et figées, évaluée au point peut se déterminer par

«» ou «»,

     « la fonction implicite sa dérivée partielle 1ère par rapport à , à et figées, évaluée au point peut se déterminer par

«» ou «» et

     « la fonction implicite sa dérivée partielle 1ère par rapport à , à et figées, évaluée au point peut se déterminer par

«» ou «»
si « la dérivée partielle 1ère de par rapport à , et étant figées est telle que ».

     Démonstration : différenciant, à et figées, « en » nous obtenons «[25] soit, en explicitant la différentielle, à et figées, de , » dont nous déduisons, dans la mesure où , « étant par abus d'écriture C.Q.F.D[22]. »,
     Démonstration : les expressions des deux autres dérivées partielles 1ères[43] se déterminant de la même façon

     « Les trois autres fonctions implicites”, “” et “” solutions de l'équation implicite sont continues et différentiables respectivement en “”, “” et “” », « les trois dérivées partielles 1ères[43] de chacune des trois autres fonctions implicites s'expriment en fonction de certaines dérivées partielles 1ères de , de la même façon que celles de » laissées au bon soin du lecteur.

     Liens entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite[43] : en procédant d'une façon analogue à celle utilisée pour les trois fonctions implicites d'une même équation implicite , nous déterminons les « liens entre dérivées partielles des quatre fonctions implicites de la même équation implicite » si aucune des dérivées partielles 1ères de ne s'annule au point c'est-à-dire «», «», «» et «» dont un lien est explicité ci-dessous :

«»[44] ;

            Liens entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite : il y a six relations du type précédent dont nous laissons l'explicitation au bon soin du lecteur

     Liens entre dérivées partielles des fonctions implicites d'une même équation implicite entre plus de quatre variables : à partir de « l’équation implicite des variables réelles , , , , avec dans laquelle est continue et différentiable en », nous associons « fonctions implicites solutions de ”, , “”, , “” » continues et différentiables en , , , , et nous pouvons établir « liens entre les dérivées partielles[45] judicieusement choisies des fonctions implicites de l'équation » du type

«»[45]
dans lequel une permutation de [46] et la puissance k de la permutation telle que ,
étant telle que « est » et « »[47],
sous la condition qu'« aucune des dérivées partielles 1ères de ne s'annule en ».

Théorème des fonctions implicites modifier

Théorème des fonctions implicites en dimension deux modifier

     Préliminaire : Le théorème des fonctions implicites en dimension deux précise à quelles conditions une équation implicite des variables réelles et peut être résolue c'est-à-dire à quelles conditions il est possible d'exprimer une des variables ou en fonction de l'autre ou pour tous les couples vérifiant l'équation.

Énoncé modifier

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Autre version du théorème des fonctions implicites en dimension deux : si « la dérivée partielle 1ère de par rapport à à figée au point de l'ouvert de est non nulle c'est-à-dire » en plus de «», « étant une fonction réelle de classe Cp [48] définie sur l'ouvert de », il existe une fonction réelle de classe classe Cp[48], définie sur un intervalle ouvert réel et un voisinage ouvert de dans , noté , tels que

«» «»,
« définissant une fonction implicite solution de l'équation implicite ».

     Remarque : nous admettons le théorème des fonctions implicites en dimension deux dans l'une ou l'autre version énoncée ci-dessus.

Exemples d'application modifier

     Retour sur l'équation implicite «» équation cartésienne du cercle trigonométrique :
     Retour sur l'équation implicite «» en tout point d'abscisse il existe deux valeurs de possibles, donc l'application du théorème des fonctions implicites en dimension deux étant local ne peut fournir qu'une fonction implicite dont le graphe ne décrit qu'une partie du cercle trigonométrique : «», les fonctions implicites distinctes « étant de graphe décrivant le demi-cercle trigonométrique hors bornes strictement au-dessus de l'axe » et « de graphe décrivant le demi-cercle trigonométrique hors bornes strictement au-dessous de l'axe » chacune d'elles étant de classe C1 c'est-à-dire continûment dérivable sur l'intervalle ouvert correspondant, la dérivée ou ne s'y annulant pas,
     Retour sur l'équation implicite «» aux points d'abscisse et il existe une seule valeur de possible , mais le théorème des fonctions implicites en dimension deux ne peut s'y appliquer car, pour tout intervalle ouvert ou , aux points d'abscisse ou du cercle trigonométrique il existe deux valeurs de possibles rendant l'explicitation d'une fonction implicite définie sur l'intervalle ouvert ou impossible une des hypothèses d'application du théorème des fonctions implicites en dimension deux n'étant pas vérifiée pour les points d'abscisse et car la dérivée partielle par rapport à à figée de c'est-à-dire s'y annulant,

     Retour sur l'équation implicite «» en tout point d'ordonnée il existe deux valeurs de possibles, donc l'application du théorème des fonctions implicites en dimension deux étant local ne peut fournir qu'une fonction implicite dont le graphe ne décrit qu'une partie du cercle trigonométrique : «», les fonctions implicites distinctes « étant de graphe décrivant le demi-cercle trigonométrique hors bornes strictement à droite de l'axe » et « de graphe décrivant le demi-cercle trigonométrique hors bornes strictement à gauche de l'axe » chacune d'elles étant de classe C1 c'est-à-dire continûment dérivable sur l'intervalle ouvert correspondant, la dérivée ou ne s'y annulant pas,
     Retour sur l'équation implicite «» aux points d'ordonnée et il existe une seule valeur de possible , mais le théorème des fonctions implicites en dimension deux ne peut s'y appliquer car, pour tout intervalle ouvert ou , aux points d'abscisse ou du cercle trigonométrique il existe deux valeurs de possibles rendant l'explicitation d'une fonction implicite définie sur l'intervalle ouvert ou impossible une des hypothèses d'application du théorème des fonctions implicites en dimension deux n'étant pas vérifiée pour les points d'ordonnée et car la dérivée partielle par rapport à à figée de c'est-à-dire s'y annulant.

     Remarque : le lecteur pourra constater par lui-même, sur les autres exemples du paragraphe « exemples de fonctions implicites entre deux variables réelles » présentés plus haut dans ce chapitre, que les conditions d'application du théorème des fonctions implicites en dimension deux sont vérifiées

Théorème des fonctions implicites en dimension trois modifier

     Préliminaire : Le théorème des fonctions implicites en dimension trois précise à quelles conditions une équation implicite des variables réelles , et peut être résolue c'est-à-dire à quelles conditions il est possible d'exprimer une des variables ou ou en fonction des deux autrex ou ou pour tous les triplets vérifiant l'équation ;
     Préliminaire : il existe d'autres formulations ou utilisations de ce théorème que nous n'évoquerons pas[49].

Énoncé modifier

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Autres versions du théorème des fonctions implicites en dimension trois : si « la dérivée partielle 1ère de par rapport à à et figées au point de l'ouvert de est non nulle c'est-à-dire » en plus de «», « étant une fonction réelle de classe Cp [48] définie sur l'ouvert de », il existe une fonction réelle de classe classe Cp[48], définie sur un intervalle ouvert de noté et un voisinage ouvert de dans , noté , tels que

«» «»,
« définissant une fonction implicite solution de l'équation implicite ».

     Autres versions du théorème des fonctions implicites en dimension trois : si « la dérivée partielle 1ère de par rapport à à et figées au point de l'ouvert de est non nulle c'est-à-dire » en plus de «», « étant une fonction réelle de classe Cp [48] définie sur l'ouvert de », il existe une fonction réelle de classe classe Cp[48], définie sur un intervalle ouvert de noté et un voisinage ouvert de dans , noté , tels que

«» «»,
« définissant une fonction implicite solution de l'équation implicite ».

     Remarque : nous admettons le théorème des fonctions implicites en dimension trois pour chaque version énoncée ci-dessus.

Exemples d'application modifier

     Nous laissons le soin au lecteur de reproduire les explications du paragraphe « exemples d'application (du théorème des fonctions implicites de dimension deux) » exposées plus haut dans ce chapitre en les adaptant à la dimension trois

Théorème des fonctions implicites en dimension quatre ou plus modifier

     Nous laissons le soin au lecteur de généraliser le « théorème des fonctions implicites de dimension trois » à toute dimension quatre ou plus,
     Nous laissons le soin au lecteur de généraliser le graphe des fonctions implicites représentant « des surfaces en dimension trois » et « des hypersurfaces[50] en dimension quatre ou plus »

Notes et références modifier

  1. Mais, par abus, «» est parfois appelée « fonction implicite » au lieu d'« équation implicite »
  2. Quand le graphe de l'une ou l'autre des fonctions implicites équivalentes à une même équation implicite est une courbe, l'équation implicite est parfois appelée, par abus, « équation de la courbe sous forme implicite ».
  3. Mais, par abus, «» est parfois appelée « fonction implicite » au lieu d'« équation implicite »
  4. Quand le graphe de l'une des fonctions implicites équivalentes à une même équation implicite est une surface, l'équation implicite est parfois appelée, par abus, « équation de la surface sous forme implicite ».
  5. La fonction «» définie pour tous les quadruplets vérifiant l'équation est appelée « fonction implicite » étant, quant à elle, appelée « équation implicite » ; «» est l'équation du graphe de la fonction implicite «» mais ce dernier étant une hypersurface de dimension trois nécessiterait un espace de dimension quatre pour être représenté
  6. 6,0 6,1 et 6,2 L'utilisation du symbole «» est en fait incorrecte car le théorème des fonctions implicites est d'application locale, il faudrait plutôt écrire « ou » ou exclusif suivant l'endroit que nous voulons localiser.
  7. 7,0 7,1 et 7,2 L'utilisation du symbole «» est en fait incorrecte car le théorème des fonctions implicites est d'application locale, il faudrait plutôt écrire « ou » ou exclusif suivant l'endroit que nous voulons localiser.
  8. Par abus, l'équation implicite «» est parfois appelée « équation du cercle trigonométrique sous forme implicite ».
  9. Voir le paragraphe « ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  10. Par abus, l'équation implicite «» est parfois appelée « équation de l'ellipse de centre , d'axes et , sous forme implicite ».
  11. Voir le paragraphe « hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  12. Par abus, l'équation implicite «» est parfois appelée « équation de l'hyperbole de centre , d'axes et , sous forme implicite ».
  13. 13,0 13,1 et 13,2 L'utilisation du symbole «» est en fait incorrecte car le théorème des fonctions implicites est d'application locale, il faudrait plutôt écrire « ou » ou exclusif suivant l'endroit que nous voulons localiser.
  14. 14,0 14,1 et 14,2 L'utilisation du symbole «» est en fait incorrecte car le théorème des fonctions implicites est d'application locale, il faudrait plutôt écrire « ou » ou exclusif suivant l'endroit que nous voulons localiser.
  15. 15,0 15,1 et 15,2 L'utilisation du symbole «» est en fait incorrecte car le théorème des fonctions implicites est d'application locale, il faudrait plutôt écrire « ou » ou exclusif suivant l'endroit que nous voulons localiser.
  16. L'intersection de l'ellipsoïde triaxial avec le plan est une ellipse de centre , d'axes et , étant le demi-grand axe ou demi-petit axe, le demi-petit axe ou demi-grand axe,
       L'intersection de l'ellipsoïde triaxial avec le plan est une ellipse de centre , d'axes et , étant le demi-grand axe ou demi-petit axe, le demi-petit axe ou demi-grand axe et
       L'intersection de l'ellipsoïde triaxial avec le plan est une ellipse de centre , d'axes et , étant le demi-grand axe ou demi-petit axe, le demi-petit axe ou demi-grand axe,
       voir le paragraphe « ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  17. Par abus, l'équation implicite «» est parfois appelée « équation de l'ellipsoïde triaxial de centre , d'axes , et , sous forme implicite ».
  18. L'intersection de l'hyperboloïde à une nappe avec le plan est une hyperbole de centre , d'axe focal et non focal , étant le demi-axe focal, le demi-axe non focal,
       L'intersection de l'hyperboloïde à une nappe avec le plan est une hyperbole de centre , d'axe focal et non focal , étant le demi-axe focal, le demi-axe non focal et
       L'intersection de l'hyperboloïde à une nappe avec le plan est une ellipse de centre , d'axes et , étant le demi-grand axe ou demi-petit axe, le demi-petit axe ou demi-grand axe,
       voir les paragraphes « hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy » et « ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  19. Par abus, l'équation implicite «» est parfois appelée « équation de l'hyperboloïde à une nappe de centre , d'axes , et , sous forme implicite ».
  20. L'intersection de l'hyperboloïde à deux nappes avec le plan est une hyperbole de centre , d'axe focal et non focal , étant le demi-axe non focal, le demi-axe focal,
       L'intersection de l'hyperboloïde à deux nappes avec le plan est une hyperbole de centre , d'axe focal et non focal , étant le demi-axe non focal, le demi-axe focal et
       L'intersection de l'hyperboloïde à deux nappes avec le plan est l'ensemble vide,
       voir le paragraphe « hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  21. Par abus, l'équation implicite «» est parfois appelée « équation de l'hyperboloïde à deux nappes de centre , d'axes , et , sous forme implicite ».
  22. 22,0 22,1 22,2 et 22,3 Ce Qu'il Fallait Démontrer.
  23. 23,0 et 23,1 Il est sous-entendu que la dérivée de la fonction implicite explicitant la variable ou en fonction de la 2ème variable ou est effectuée par rapport à la 2ème variable ou .
  24. Attention les fonctions implicites n'étant pas, a priori, bijectives ne sont donc pas, a priori, inverses l'une de l'autre.
  25. 25,0 25,1 et 25,2 L'indice suivant l'opérateur différenciation signifiant que la différenciation est effectuée à figée.
  26. 26,0 26,1 et 26,2 Il est sous-entendu que la dérivée partielle 1ère de la fonction implicite explicitant la variable ou ou en fonction des autres variables ou ou est effectuée par rapport à l'une ou l'autre des deux autres variables ou ou ou ou encore ou .
  27. En physique et par abus on notera «» mais il est rappelé que ou seule n'a aucune signification
  28. En physique et par abus on notera «» mais il est rappelé que ou seule n'a aucune signification
  29. En physique et par abus on notera «» mais il est rappelé que ou seule n'a aucune signification
  30. En physique et par abus on notera «» mais il est rappelé que ou seule n'a aucune signification
  31. En physique et par abus on notera «» mais il est rappelé que ou seule n'a aucune signification
  32. En physique et par abus on notera «» mais il est rappelé que ou seule n'a aucune signification
  33. En physique et par abus on notera «» mais il est rappelé que ou ou encore seule n'a aucune signification
  34. La justification résultant de «», «» et «» d'où « .
  35. En physique et par abus on notera «» mais il est rappelé que ou ou encore seule n'a aucune signification
  36. En physique et par abus on notera «» mais il est rappelé que ou ou encore seule n'a aucune signification
  37. Encore équivalent à «» soit, en physique et par abus noté « » ou encore «» ainsi que
       encore équivalent à «» soit, en physique et par abus noté « ».
  38. En physique et par abus on notera «» mais il est rappelé que ou ou encore seule n'a aucune signification
  39. La justification résultant de «», «» et «» d'où « .
  40. En physique et par abus on notera «» mais il est rappelé que ou ou encore seule n'a aucune signification
  41. En physique et par abus on notera «» mais il est rappelé que ou ou encore seule n'a aucune signification
  42. Encore équivalent à «» soit, en physique et par abus noté « » ou encore «» ainsi que
       encore équivalent à «» soit, en physique et par abus noté « ».
  43. 43,0 43,1 et 43,2 Il est sous-entendu que la dérivée partielle 1ère de la fonction implicite explicitant la variable ou ou ou en fonction des autres variables ou ou ou est effectuée par rapport à l'une des trois autres variables ou ou ou ou ou ou encore ou ou .
  44. En physique et par abus on notera «» mais il est rappelé que ou ou ou encore seule n'a aucune signification
  45. 45,0 et 45,1 Il est sous-entendu que la dérivée partielle 1ère de la fonction implicite explicitant la variable en fonction des autres variables est effectuée par rapport à l'une des autres variables ; pour alléger l'écriture nous omettons également la valeur des autres variables pour laquelle la dérivée partielle 1ère en question est évaluée.
  46. C.-à-d. l'ensemble des permutations des éléments de .
  47. La 1ère condition assurant que la dérivée partielle 1ère de la fonction implicite est effectuée relativement à l'une des variables dont elle dépend et
       la 2nde condition assurant que la dérivée partielle 1ère des fonctions implicites successives , , n'est effectuée par rapport à aucune des variables explicitées par les fonctions implicites successives déjà écrites dans le produit cette condition étant nécessaire pour que le mode de construction du produit des dérivées partielles 1ères des fonctions implicites utilise toutes les fonctions implicites sans redondance.
  48. 48,00 48,01 48,02 48,03 48,04 48,05 48,06 48,07 48,08 et 48,09 C.-à-d. continue et différentiable jusqu'à l'ordre inclus.
  49. Ces formulations ou utilisations dépassant le cadre d'étude que nous nous sommes fixés voir les paragraphes « multiplicateur de Lagrange », « théorème du redressement d'un flot » et « théorème de Cuachy-Lipschitz » du même chapitre « théorème des fonctions implicites » de wikipedia.
  50. Une « hypersurface dans un espace de dimension est un espace de dimension ».