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Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) : Les matrices, généralités Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Les matrices, généralités », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
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En mathématiques, les « matrices » sont des tableaux rectangulaires de nombres pour interpréter, en termes calculatoires, En mathématiques, les « matrices » sont des tableaux rectangulaires de nombres pour interpréter, les résultats théoriques de l'algèbre linéaire [ 1] En mathématiques, les « matrices » sont des tableaux rectangulaires de nombres pour interpréter, les résultats théoriques des applications linéaires [ 2]
Une matrice
m
×
n
{\displaystyle \;m\times n\;}
{
{\displaystyle {\big \{}}
(
m
,
n
)
∈
[
N
∗
]
2
{\displaystyle \;\left(m\,,\,n\right)\in \left[\mathbb {N} ^{*}\right]^{2}\;}
[ 3] , [ 4]
≠
{\displaystyle \;\neq \;}
1
{\displaystyle \;1\;}
[ 5]
}
{\displaystyle {\big \}}\;}
Une matrice
m
×
n
{\displaystyle \;\color {transparent}{m\times n}\;}
est un tableau rectangulaire
[
A
]
{\displaystyle \;\left[A\right]\;}
m
{\displaystyle \;m\;}
n
{\displaystyle \;n\;}
Une matrice
m
×
n
{\displaystyle \;\color {transparent}{m\times n}\;}
le terme générique de la matrice
[
A
]
{\displaystyle \;\left[A\right]\;}
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} \;}
[ 6]
a
i
,
j
{\displaystyle \;a_{i,\,j}\;}
[ 7] Une matrice
m
×
n
{\displaystyle \;\color {transparent}{m\times n}\;}
occupant la case de la ième ligne et la jème colonne, Une matrice
m
×
n
{\displaystyle \;\color {transparent}{m\times n}\;}
la matrice étant encore notée
(
a
i
,
j
)
1
⩽
i
⩽
m
,
1
⩽
j
⩽
n
{\displaystyle \;\left(a_{i,\,j}\right)_{1\leqslant i\leqslant m\,,\,1\leqslant j\leqslant n}\;}
[ 8]
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
matrices : les appellations suivantes
∙
{\displaystyle \bullet \;}
matrice nulle si
a
i
,
j
=
0
∀
(
i
,
j
)
{\displaystyle \;a_{i,\,j}=0\;\;\forall \;\left(i\,,\,j\right)\;}
les appellations suivantes
∙
{\displaystyle \bullet \;}
matrice colonne si
n
=
1
{\displaystyle \;n=1}
les appellations suivantes
∙
{\displaystyle \bullet \;}
matrice ligne si
m
=
1
{\displaystyle \;m=1\;}
les appellations suivantes
∙
{\displaystyle \bullet \;}
matrice carrée si
m
=
n
≠
1
{\displaystyle \;m=n\neq 1\;}
les appellations suivantes
∙
{\displaystyle \bullet \;}
matrice triangulaire supérieure pour une matrice carrée telle que
a
i
,
j
=
0
∀
j
>
i
{\displaystyle \;a_{i,\,j}=0\;\;\forall \;j>i\;}
∃
(
i
,
j
⩽
i
)
:
a
i
,
j
≠
0
{\displaystyle \;\exists \;\left(i,\,j\leqslant i\right)\;:\;a_{i,\,j}\neq 0\;}
les appellations suivantes
∙
{\displaystyle \bullet \;}
matrice triangulaire inférieure pour une matrice carrée telle que
a
i
,
j
=
0
∀
j
<
i
{\displaystyle \;a_{i,\,j}=0\;\;\forall \;j<i\;}
∃
(
i
,
j
⩾
i
)
:
a
i
,
j
≠
0
{\displaystyle \;\exists \;\left(i,\,j\geqslant i\right)\;:\;a_{i,\,j}\neq 0\;}
les appellations suivantes
∙
{\displaystyle \bullet \;}
matrice diagonale pour une matrice carrée telle que
a
i
,
j
=
0
∀
j
≠
i
{\displaystyle \;a_{i,\,j}=0\;\;\forall \;j\neq i\;}
∃
j
:
a
j
,
j
≠
0
{\displaystyle \;\exists \;j\;:\;a_{j,\,j}\neq 0\;}
[ 10] les appellations suivantes
∙
{\displaystyle \bullet \;}
matrice identité notée
[
I
]
{\displaystyle \;\left[I\right]\;}
matrice diagonale telle que
∀
j
:
i
j
,
j
=
1
{\displaystyle \;\forall \;j\;:\;i_{j,\,j}=1\;}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}\;}
matrices définies sur
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
Définition
Soit une matrice «
[
A
]
=
(
a
i
,
j
)
1
⩽
i
⩽
m
,
1
⩽
j
⩽
n
{\displaystyle \;\left[A\right]=\left(a_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;}
[ 8]
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
(
m
,
n
)
{\displaystyle \;\left(m\,,\,n\right)\;}
Soit « matrice transposée de
[
A
]
{\displaystyle \;\left[A\right]\;}
la matrice notée
t
[
A
]
{\displaystyle \;^{t\!}\left[A\right]\;}
[ 11] de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
(
n
,
m
)
{\displaystyle \;\left(n\,,\,m\right)\;}
Soit « matrice transposée de
[
A
]
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[A\right]}\;}
«
t
[
A
]
=
(
a
j
,
i
)
1
⩽
j
⩽
n
,
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;^{t\!}\left[A\right]=\left(a_{j,\,i}\right)_{1\leqslant j\leqslant n\,,\,1\leqslant i\leqslant m}\;}
[ 12]
Exemple : soit la matrice
[
A
]
=
[
1
2
3
4
5
6
]
{\displaystyle \;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}1&2\\3&4\\5&6\end{array}}\right]\;}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
(
3
,
2
)
{\displaystyle \;\left(3\,,\,2\right)}
Exemple : soit la matrice transposée de
[
A
]
{\displaystyle \;\left[A\right]\;}
matrice de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
(
2
,
3
)
{\displaystyle \;\left(2\,,\,3\right)\;}
t
[
A
]
=
[
1
3
5
2
4
6
]
{\displaystyle \;^{t\!}\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}1&3&5\\2&4&6\end{array}}\right]}
Exemple : soit la matrice transposée elle s'obtient pratiquement par symétrie axiale par rapport à la diagonale principale [ 13] matrice
[
A
]
{\displaystyle \;\left[A\right]}
Exemple : soit la matrice transposée elle s'obtient pratiquement
(
{\displaystyle {\big (}}
matrice de départ
)
{\displaystyle {\big )}}
Exemple : soit la matrice transposée de
t
[
A
]
{\displaystyle \;^{t\!}\left[A\right]\;}
matrice
[
A
]
{\displaystyle \;\left[A\right]\;}
t
{
t
[
A
]
}
=
[
A
]
{\displaystyle \;^{t\!}\left\lbrace ^{t\!}\left[A\right]\right\rbrace =\;\left[A\right]}
Exemple : ci-contre une animation permettant de visualiser la formation de la matrice transposée
t
[
A
]
{\displaystyle \;^{t\!}\left[A\right]\;}
[ 14] matrice
[
A
]
{\displaystyle \;\left[A\right]\;}
[ 14] Exemple : ci-contre une animation permettant de visualiser son itération
(
{\displaystyle \;{\Big (}}
matrice transposée
t
{
t
[
A
]
}
{\displaystyle \;^{t\!}\left\lbrace ^{t\!}\left[A\right]\right\rbrace \;}
[ 14] transposée
t
[
A
]
{\displaystyle \;^{t\!}\left[A\right]\;}
[ 14]
)
…
{\displaystyle {\Big )}\;\ldots }
Addition de matrices et multiplication par un scalaire
modifier
Ces opérations sont définies sur l'« ensemble des matrices de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
(
m
,
n
)
{\displaystyle \;\left(m\,,\,n\right)\;}
[ 15]
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} \;}
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
modifier
Sur «
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
addition de matrices » notée «
+
{\displaystyle \;+\;}
{
M
m
,
n
(
R
)
}
2
→
+
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\left\lbrace M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\right\rbrace ^{2}\;{\overset {+}{\rightarrow }}\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
Sur «
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
«
∀
{
(
a
i
,
j
)
,
(
b
i
,
j
)
}
∈
{
M
m
,
n
(
R
)
}
2
{\displaystyle \;\forall \;\left\lbrace \left(a_{i,\,j}\right)\,,\,\left(b_{i,\,j}\right)\right\rbrace \;\in \;\left\lbrace M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\right\rbrace ^{2}\;}
{
(
a
i
,
j
)
,
(
b
i
,
j
)
}
→
+
(
a
i
,
j
)
+
(
b
i
,
j
)
=
(
a
i
,
j
+
b
i
,
j
)
∈
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\left\lbrace \left(a_{i,\,j}\right)\,,\,\left(b_{i,\,j}\right)\right\rbrace \;{\overset {+}{\rightarrow }}\;\left(a_{i,\,j}\right)+\left(b_{i,\,j}\right)=\left(a_{i,\,j}+b_{i,\,j}\right)\;\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
Sur «
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
l'ensemble «
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
addition «
+
{\displaystyle \;+\;}
groupe abélien (ou commutatif) [ 16] Sur «
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
la loi de composition interne possède les propriétés :
∙
{\displaystyle \bullet \;}
(
a
i
,
j
)
+
{
(
b
i
,
j
)
+
(
c
i
,
j
)
}
=
(
a
i
,
j
)
+
(
b
i
,
j
+
c
i
,
j
)
=
(
a
i
,
j
+
b
i
,
j
+
c
i
,
j
)
=
{
(
a
i
,
j
)
+
(
b
i
,
j
)
}
+
(
c
i
,
j
)
{\displaystyle \;\left(a_{i,\,j}\right)+\left\lbrace \left(b_{i,\,j}\right)+\left(c_{i,\,j}\right)\right\rbrace =\left(a_{i,\,j}\right)+\left(b_{i,\,j}+c_{i,\,j}\right)=\left(a_{i,\,j}+b_{i,\,j}+c_{i,\,j}\right)=\left\lbrace \left(a_{i,\,j}\right)+\left(b_{i,\,j}\right)\right\rbrace +\left(c_{i,\,j}\right)\;}
Sur «
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
(
a
i
,
j
)
+
(
b
i
,
j
)
=
(
a
i
,
j
+
b
i
,
j
)
=
(
b
i
,
j
+
a
i
,
j
)
=
(
b
i
,
j
)
+
(
a
i
,
j
)
{\displaystyle \;\left(a_{i,\,j}\right)+\left(b_{i,\,j}\right)=\left(a_{i,\,j}+b_{i,\,j}\right)=\left(b_{i,\,j}+a_{i,\,j}\right)=\left(b_{i,\,j}\right)+\left(a_{i,\,j}\right)\;}
Sur «
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
matrice nulle » qui vérifie «
(
a
i
,
j
)
+
(
0
i
,
j
)
=
(
a
i
,
j
+
0
i
,
j
)
=
(
a
i
,
j
)
{\displaystyle \;\left(a_{i,\,j}\right)+\left(0_{i,\,j}\right)=\left(a_{i,\,j}+0_{i,\,j}\right)=\left(a_{i,\,j}\right)\;}
Sur «
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
matrice admet un opposé unique «
∀
(
a
i
,
j
)
{\displaystyle \;\forall \;\left(a_{i,\,j}\right)\;}
∃
!
{\displaystyle \;\exists \,!\;}
(
a
′
i
,
j
)
{\displaystyle \;\left({a'}_{i,\,j}\right)\;}
a
′
i
,
j
=
−
a
i
,
j
{\displaystyle \;{a'}_{i,\,j}=-a_{i,\,j}\;}
Sur «
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
«
(
a
i
,
j
)
+
(
a
′
i
,
j
)
=
(
a
i
,
j
+
a
′
i
,
j
)
=
(
a
i
,
j
−
a
i
,
j
)
=
(
0
i
,
j
)
{\displaystyle \;\left(a_{i,\,j}\right)+\left({a'}_{i,\,j}\right)=\left(a_{i,\,j}+{a'}_{i,\,j}\right)=\left(a_{i,\,j}-a_{i,\,j}\right)=\left(0_{i,\,j}\right)\;}
Sur «
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
multiplication par un scalaire de
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} \;}
⋅
{\displaystyle \;\cdot \;}
R
×
M
m
,
n
(
R
)
→
⋅
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\mathbb {R} \times M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;{\overset {\cdot }{\rightarrow }}\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
[ 17] Sur «
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
«
∀
λ
∈
R
,
∀
(
a
i
,
j
)
∈
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\forall \;\lambda \;\in \;\mathbb {R} ,\;\;\forall \;\left(a_{i,\,j}\right)\;\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
{
λ
,
(
a
i
,
j
)
}
→
⋅
λ
⋅
(
a
i
,
j
)
=
(
λ
a
i
,
j
)
∈
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\left\lbrace \lambda \,,\,\left(a_{i,\,j}\right)\right\rbrace \;{\overset {\cdot }{\rightarrow }}\;\lambda \cdot \left(a_{i,\,j}\right)=\left(\lambda \;a_{i,\,j}\right)\;\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
Sur «
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
«
∀
λ
∈
R
,
∀
(
a
i
,
j
)
∈
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\forall \;\lambda \;\in \;\mathbb {R} ,\;\;\forall \;\left(a_{i,\,j}\right)\;\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
{
(
a
i
,
j
)
,
λ
}
→
⋅
(
a
i
,
j
)
⋅
λ
=
(
a
i
,
j
λ
)
=
(
λ
a
i
,
j
)
∈
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\left\lbrace \left(a_{i,\,j}\right)\,,\,\lambda \right\rbrace \;{\overset {\cdot }{\rightarrow }}\;\left(a_{i,\,j}\right)\cdot \lambda =\left(a_{i,\,j}\;\lambda \right)=\left(\lambda \;a_{i,\,j}\right)\;\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
Sur «
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
cette loi de composition externe « multiplication par un scalaire de
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} \;}
groupe abélien (ou commutatif) [ 16]
{
M
m
,
n
(
R
)
,
+
}
{\displaystyle \;\left\lbrace M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\,,\,+\right\rbrace \;}
⋅
{\displaystyle \;\cdot \;}
Sur «
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
possède les propriétés :
∙
{\displaystyle \bullet \;}
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
Sur «
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
«
λ
⋅
{
(
a
i
,
j
)
+
(
b
i
,
j
)
}
=
λ
⋅
(
a
i
,
j
)
+
λ
⋅
(
b
i
,
j
)
=
(
λ
a
i
,
j
)
+
(
λ
b
i
,
j
)
=
(
λ
a
i
,
j
+
λ
b
i
,
j
)
=
(
λ
{
a
i
,
j
+
b
i
,
j
}
)
{\displaystyle \;\lambda \cdot \left\lbrace \left(a_{i,\,j}\right)+\left(b_{i,\,j}\right)\right\rbrace =\lambda \cdot \left(a_{i,\,j}\right)+\lambda \cdot \left(b_{i,\,j}\right)=\left(\lambda \;a_{i,\,j}\right)+\left(\lambda \;b_{i,\,j}\right)=\left(\lambda \;a_{i,\,j}+\lambda \;b_{i,\,j}\right)=\left(\lambda \left\lbrace a_{i,\,j}+b_{i,\,j}\right\rbrace \right)\;}
Sur «
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} \;}
Sur «
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
«
{
λ
+
μ
}
⋅
(
a
i
,
j
)
=
λ
⋅
(
a
i
,
j
)
+
μ
⋅
(
b
i
,
j
)
=
(
λ
a
i
,
j
)
+
(
μ
a
i
,
j
)
=
(
λ
a
i
,
j
+
μ
a
i
,
j
)
=
(
{
λ
+
μ
}
a
i
,
j
)
{\displaystyle \;\left\lbrace \lambda +\mu \right\rbrace \cdot \left(a_{i,\,j}\right)=\lambda \cdot \left(a_{i,\,j}\right)+\mu \cdot \left(b_{i,\,j}\right)=\left(\lambda \;a_{i,\,j}\right)+\left(\mu \;a_{i,\,j}\right)=\left(\lambda \;a_{i,\,j}+\mu \;a_{i,\,j}\right)=\left(\left\lbrace \lambda +\mu \right\rbrace \;a_{i,\,j}\right)\;}
Sur «
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} \;}
Sur «
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
«
{
λ
μ
}
⋅
(
a
i
,
j
)
=
λ
⋅
{
μ
⋅
(
a
i
,
j
)
}
=
λ
⋅
(
μ
a
i
,
j
)
=
(
λ
μ
a
i
,
j
)
=
(
{
λ
μ
}
a
i
,
j
)
{\displaystyle \;\left\lbrace \lambda \;\mu \right\rbrace \cdot \left(a_{i,\,j}\right)=\lambda \cdot \left\lbrace \mu \cdot \left(a_{i,\,j}\right)\right\rbrace =\lambda \cdot \left(\mu \;a_{i,\,j}\right)=\left(\lambda \;\mu \;a_{i,\,j}\right)=\left(\left\lbrace \lambda \;\mu \right\rbrace \;a_{i,\,j}\right)\;}
Sur «
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} \;}
1
R
{\displaystyle \;1_{\mathbb {R} }\;}
⋅
{\displaystyle \;\cdot \;}
1
R
⋅
(
a
i
,
j
)
=
(
1
R
a
i
,
j
)
=
(
a
i
,
j
)
{\displaystyle \;1_{\mathbb {R} }\cdot \left(a_{i,\,j}\right)=\left(1_{\mathbb {R} }\;a_{i,\,j}\right)=\left(a_{i,\,j}\right)\;}
modifier
modifier
L'ensemble «
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
addition «
+
{\displaystyle \;+\;}
groupe abélien (ou commutatif) [ 16] , [ 18] L'ensemble «
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} \;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
addition de
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
[ 19] L'ensemble «
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
distributive par rapport à l'addition de
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} \;}
[ 19] L'ensemble «
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} \;}
[ 19] L'ensemble «
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
1
R
{\displaystyle \;1_{\mathbb {R} }\;}
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} \;}
L'ensemble «
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
1
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{1_{\mathbb {R} }}\;}
est neutre pour la loi de composition externe » [ 19] L'ensemble «
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
nous en déduisons que «
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel » et L'ensemble «
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
nous pourrions démontrer [ 20] espace vectoriel [ 21]
m
×
n
{\displaystyle \;m\times n\;}
modifier
Tout élément de
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
base canonique composée des «
m
n
{\displaystyle \;m\;n\;}
matrices
[
E
]
p
,
q
{\displaystyle \;\left[E\right]_{p,\,q}\;}
Tout élément de
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
{
{\displaystyle {\bigg \{}}
[
E
]
p
,
q
{\displaystyle \;\left[E\right]_{p,\,q}\;}
p
,
q
{\displaystyle _{p,\,q}\;}
1
{\displaystyle \;1}
Tout élément de
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
{
{\displaystyle \color {transparent}{\bigg \{}}
en utilisant le symbole de Kronecker [ 22]
δ
k
,
l
=
{
0
si
k
≠
l
1
si
k
=
l
}
{\displaystyle \;\delta _{k,\,l}=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;{\text{si }}\;k\neq l\\1\;{\text{si }}\;k=l\end{array}}\right\rbrace }
Tout élément de
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
{
{\displaystyle \color {transparent}{\bigg \{}}
[
E
]
p
,
q
=
(
e
i
,
j
p
,
q
)
p
,
q
{\displaystyle \;\left[E\right]_{p,\,q}=\left(e_{i,\,j}^{p,\,q}\right)_{p,\,q}\;}
e
i
,
j
p
,
q
=
δ
i
,
p
δ
j
,
q
{\displaystyle \;e_{i,\,j}^{p,\,q}=\delta _{i,\,p}\;\delta _{j,\,q}\;}
i
∈
[
[
1
,
m
]
]
{\displaystyle \;i\in \left[\left[1\,,\,m\right]\right]\;}
j
∈
[
[
1
,
n
]
]
}
{\displaystyle \;j\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]{\bigg \}}}
Tout élément de
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
la décomposition de la matrice
[
A
]
=
(
a
i
,
j
)
1
⩽
i
⩽
m
,
1
⩽
j
⩽
n
{\displaystyle \;\left[A\right]=\left(a_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;}
[ 8] base canonique s'écrivant Tout élément de
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
«
[
A
]
=
(
a
i
,
j
)
1
⩽
i
⩽
m
,
1
⩽
j
⩽
n
=
∑
1
⩽
p
⩽
m
1
⩽
q
⩽
n
a
p
,
q
⋅
[
E
]
p
,
q
=
∑
1
⩽
p
⩽
m
1
⩽
q
⩽
n
a
p
,
q
⋅
(
e
i
,
j
p
,
q
)
p
,
q
=
∑
1
⩽
p
⩽
m
1
⩽
q
⩽
n
a
p
,
q
⋅
(
δ
i
,
p
δ
j
,
q
)
p
,
q
{\displaystyle \;\left[A\right]=\left(a_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}=\sum \limits _{\begin{array}{c}1\leqslant p\leqslant m\\1\leqslant q\leqslant n\end{array}}a_{p,\,q}\cdot \left[E\right]_{p,\,q}=\sum \limits _{\begin{array}{c}1\leqslant p\leqslant m\\1\leqslant q\leqslant n\end{array}}a_{p,\,q}\cdot \left(e_{i,\,j}^{p,\,q}\right)_{p,\,q}=\sum \limits _{\begin{array}{c}1\leqslant p\leqslant m\\1\leqslant q\leqslant n\end{array}}a_{p,\,q}\cdot \left(\delta _{i,\,p}\;\delta _{j,\,q}\right)_{p,\,q}\;}
Exemple :
[
A
]
=
[
1
2
3
4
5
6
]
{\displaystyle \;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}1&2\\3&4\\5&6\end{array}}\right]\;}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
(
3
,
2
)
{\displaystyle \;\left(3\,,\,2\right)}
Exemple : les six vecteurs de la base canonique étant
[
E
]
1
,
1
=
[
1
0
0
0
0
0
]
{\displaystyle \;\left[E\right]_{1,\,1}=\left[{\begin{array}{c}1&0\\0&0\\0&0\end{array}}\right]}
[
E
]
1
,
2
=
[
0
1
0
0
0
0
]
{\displaystyle \;\left[E\right]_{1,\,2}=\left[{\begin{array}{c}0&1\\0&0\\0&0\end{array}}\right]}
[
E
]
2
,
1
=
[
0
0
1
0
0
0
]
{\displaystyle \;\left[E\right]_{2,\,1}=\left[{\begin{array}{c}0&0\\1&0\\0&0\end{array}}\right]}
[
E
]
2
,
2
=
[
0
0
0
1
0
0
]
{\displaystyle \;\left[E\right]_{2,\,2}=\left[{\begin{array}{c}0&0\\0&1\\0&0\end{array}}\right]}
[
E
]
3
,
1
=
[
0
0
0
0
1
0
]
{\displaystyle \;\left[E\right]_{3,\,1}=\left[{\begin{array}{c}0&0\\0&0\\1&0\end{array}}\right]\;}
[
E
]
3
,
2
=
[
0
0
0
0
0
1
]
{\displaystyle \;\left[E\right]_{3,\,2}=\left[{\begin{array}{c}0&0\\0&0\\0&1\end{array}}\right]}
Exemple : la décomposition de
[
A
]
{\displaystyle \;\left[A\right]\;}
base canonique s'écrit «
[
A
]
=
1
⋅
[
E
]
1
,
1
+
2
⋅
[
E
]
1
,
2
+
3
⋅
[
E
]
2
,
1
+
4
⋅
[
E
]
2
,
2
+
5
⋅
[
E
]
3
,
1
+
6
⋅
[
E
]
3
,
2
{\displaystyle \;\left[A\right]=1\cdot \left[E\right]_{1,\,1}+2\cdot \left[E\right]_{1,\,2}+3\cdot \left[E\right]_{2,\,1}+4\cdot \left[E\right]_{2,\,2}+5\cdot \left[E\right]_{3,\,1}+6\cdot \left[E\right]_{3,\,2}\;}
modifier
modifier
Description du mode opératoire de la multiplication à droite de la matrice
[
A
]
∈
M
4
,
2
(
R
)
{\displaystyle \;\left[A\right]\in M_{4,\,2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
matrice
[
B
]
∈
M
2
,
3
(
R
)
{\displaystyle \;\left[B\right]\in M_{2,\,3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
La multiplication matricielle à droite d'une matrice de l'ensemble
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
matrices de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
(
m
,
n
)
{\displaystyle \;\left(m\,,\,n\right)\;}
[ 15]
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} \;}
La multiplication matricielle à droite est une loi de composition externe nécessitant l'intervention, à droite, d'une matrice de l'ensemble
M
n
,
p
(
R
)
{\displaystyle \;M_{n,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
La multiplication matricielle à droite est une loi de composition externe nécessitant des matrices de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
(
n
,
p
)
{\displaystyle \;\left(n\,,\,p\right)\;}
[ 23]
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
La multiplication matricielle à droite le résultat de cette multiplication matricielle à droite La multiplication matricielle à droite le résultat étant une matrice de l'ensemble
M
m
,
p
(
R
)
{\displaystyle \;M_{m,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
matrices de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
(
m
,
p
)
{\displaystyle \;\left(m\,,\,p\right)\;}
[ 24] La multiplication matricielle à droite en notant «
×
{\displaystyle \;\times \;}
multiplication matricielle
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
La multiplication matricielle à droite en notant «
×
{\displaystyle \;\color {transparent}{\times }\;}
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}}
M
m
,
n
(
R
)
×
M
n
,
p
(
R
)
→
×
M
m
,
p
(
R
)
{\displaystyle M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\times M_{n,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;{\overset {\times }{\rightarrow }}\;M_{m,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
La multiplication matricielle à droite « pour
[
A
]
=
(
a
i
,
j
)
∈
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\left[A\right]=\left(a_{i,\,j}\right)\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
[
B
]
=
(
b
i
,
j
)
∈
M
n
,
p
(
R
)
{\displaystyle \;\left[B\right]=\left(b_{i,\,j}\right)\in M_{n,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
[
A
]
×
[
B
]
=
[
C
]
∈
M
m
,
p
(
R
)
{\displaystyle \;\left[A\right]\times \left[B\right]=\left[C\right]\in M_{m,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
La multiplication matricielle à droite «
(
a
i
,
j
)
1
⩽
i
⩽
m
,
1
⩽
j
⩽
n
×
(
b
i
,
j
)
1
⩽
i
⩽
n
,
1
⩽
j
⩽
p
=
(
c
i
,
j
)
1
⩽
i
⩽
m
,
1
⩽
j
⩽
p
{\displaystyle \;\left(a_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\times \left(b_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,n\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,p}=\left(c_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,p}\;}
c
i
,
j
=
∑
k
=
[
[
1
,
n
]
]
a
i
,
k
b
k
,
j
{\displaystyle \;c_{i,\,j}=\sum \limits _{k=\left[\left[1,\,n\right]\right]}a_{i,\,k}\;b_{k,\,j}\;}
La multiplication matricielle à droite voir mode opératoire de la multiplication matricielle à droite ci-contre.
La multiplication matricielle à gauche d'une matrice de l'ensemble
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
matrices de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
(
m
,
n
)
{\displaystyle \;\left(m\,,\,n\right)\;}
[ 15]
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} \;}
La multiplication matricielle à gauche est une loi de composition externe nécessitant l'intervention, à gauche, d'une matrice de l'ensemble
M
q
,
m
(
R
)
{\displaystyle \;M_{q,\,m}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
La multiplication matricielle à gauche est une loi de composition externe nécessitant des matrices de dimension
(
{\displaystyle \,{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
(
q
,
m
)
{\displaystyle \left(q\,,\,m\right)\,}
[ 25]
R
{\displaystyle \,\mathbb {R} }
La multiplication matricielle à gauche le résultat de cette multiplication matricielle à gauche La multiplication matricielle à gauche le résultat étant une matrice de l'ensemble
M
q
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;M_{q,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
matrices de dimension
(
{\displaystyle \,{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
(
q
,
n
)
{\displaystyle \,\left(q\,,\,n\right)\;}
[ 26] La multiplication matricielle à gauche en notant «
×
{\displaystyle \;\times \;}
multiplication matricielle
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
La multiplication matricielle à gauche en notant «
×
{\displaystyle \;\color {transparent}{\times }\;}
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}}
M
q
,
m
(
R
)
×
M
m
,
n
(
R
)
→
×
M
q
,
n
(
R
)
{\displaystyle M_{q,\,m}\!\left(\mathbb {R} \right)\times M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;{\overset {\times }{\rightarrow }}\;M_{q,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
La multiplication matricielle à gauche « pour
[
A
]
=
(
a
i
,
j
)
∈
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\left[A\right]=\left(a_{i,\,j}\right)\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
[
B
]
=
(
b
i
,
j
)
∈
M
q
,
m
(
R
)
{\displaystyle \;\left[B\right]=\left(b_{i,\,j}\right)\in M_{q,\,m}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
[
B
]
×
[
A
]
=
[
D
]
∈
M
q
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\left[B\right]\times \left[A\right]=\left[D\right]\in M_{q,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
La multiplication matricielle à gauche «
(
b
i
,
j
)
1
⩽
i
⩽
q
,
1
⩽
j
⩽
m
×
(
a
i
,
j
)
1
⩽
i
⩽
m
,
1
⩽
j
⩽
n
=
(
d
i
,
j
)
1
⩽
i
⩽
q
,
1
⩽
j
⩽
n
{\displaystyle \;\left(b_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,q\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,m}\times \left(a_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}=\left(d_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,q\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;}
d
i
,
j
=
∑
l
=
[
[
1
,
m
]
]
b
i
,
l
a
l
,
j
{\displaystyle \;d_{i,\,j}=\sum \limits _{l=\left[\left[1,\,m\right]\right]}b_{i,\,l}\;a_{l,\,j}\;}
La multiplication matricielle à gauche le mode opératoire de la multiplication matricielle à gauche est le même que celui décrit dans le schéma ci-dessus La multiplication matricielle à gauche le mode opératoire de la multiplication matricielle à gauche est le même à condition de permuter la position de
[
A
]
{\displaystyle \;\left[A\right]\;}
[
B
]
{\displaystyle \;\left[B\right]}
Exemple : soit la matrice
[
A
]
=
[
1
2
3
4
5
6
]
∈
M
3
,
2
(
R
)
{\displaystyle \;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}1&2\\3&4\\5&6\end{array}}\right]\in M_{3,\,2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
multiplier à droite par la matrice
[
B
]
=
[
7
9
11
8
10
12
]
∈
M
2
,
3
(
R
)
{\displaystyle \;\left[B\right]=\left[{\begin{array}{c}7&9&11\\8&10&12\end{array}}\right]\in M_{2,\,3}\!\left(\mathbb {R} \right)}
matrice
[
A
]
×
[
B
]
=
[
C
]
∈
M
3
,
3
(
R
)
{\displaystyle \;\left[A\right]\times \left[B\right]=\left[C\right]\in M_{3,\,3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
[
C
]
=
{\displaystyle \;\left[C\right]=}
Exemple : soit la matrice
[
A
]
=
[
1
2
]
∈
M
3
,
2
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}1&2\end{array}}\right]\in M_{3,\,2}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
[
B
]
=
[
7
9
11
]
∈
M
2
,
3
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[B\right]=\left[{\begin{array}{c}7&9&11\end{array}}\right]\in M_{2,\,3}\!\left(\mathbb {R} \right)}}
[
1
2
3
4
5
6
]
×
[
7
9
11
8
10
12
]
=
[
23
29
35
53
67
81
83
105
127
]
{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}1&2\\3&4\\5&6\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}7&9&11\\8&10&12\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}23&29&35\\53&67&81\\83&105&127\end{array}}\right]\;}
[ 27]
Exemple : le choix des dimensions
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}\;}
matrices ci-dessus a été fait pour que la multiplication à gauche de la matrice
[
A
]
∈
M
3
,
2
(
R
)
{\displaystyle \;\left[A\right]\in M_{3,\,2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
matrice
[
B
]
∈
M
2
,
3
(
R
)
{\displaystyle \;\left[B\right]\in M_{2,\,3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
Exemple : le choix des dimensions
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
[
A
]
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[A\right]}\;}
on obtient alors la matrice
[
B
]
×
[
A
]
=
[
D
]
∈
M
2
,
2
(
R
)
{\displaystyle \;\left[B\right]\times \left[A\right]=\left[D\right]\in M_{2,\,2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
Exemple : le choix des dimensions
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
[
A
]
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[A\right]}\;}
[
D
]
=
[
7
9
11
8
10
12
]
×
[
1
2
3
4
5
6
]
{\displaystyle \left[D\right]=\left[{\begin{array}{c}7&9&11\\8&10&12\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}1&2\\3&4\\5&6\end{array}}\right]}
=
[
89
116
98
128
]
{\displaystyle =\left[{\begin{array}{c}89&116\\98&128\end{array}}\right]\;}
[ 28]
Exemple : on vérifie que «
[
B
]
×
[
A
]
=
[
D
]
∈
M
2
,
2
(
R
)
{\displaystyle \;\left[B\right]\times \left[A\right]=\left[D\right]\in M_{2,\,2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
≠
{\displaystyle \;\neq \;}
[
A
]
×
[
B
]
=
[
C
]
∈
M
3
,
3
(
R
)
{\displaystyle \;\left[A\right]\times \left[B\right]=\left[C\right]\in M_{3,\,3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}\;}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}\;}
[ 29] Exemple : on vérifie que si les matrices facteurs
[
A
]
{\displaystyle \;\left[A\right]\;}
[
B
]
{\displaystyle \;\left[B\right]\;}
carrées de même dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
[
A
]
×
[
B
]
{\displaystyle \;\left[A\right]\times \left[B\right]\;}
≠
{\displaystyle \;\neq \;}
[
B
]
×
[
A
]
{\displaystyle \;\left[B\right]\times \left[A\right]\;}
Exemple : on vérifie que si les matrices facteurs
[
A
]
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[A\right]}\;}
[
B
]
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[B\right]}\;}
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}}
les matrices produits étant carrées de même dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}\;}
matrices facteurs [ 30]
modifier
Transposée d'un produit matriciel
« La
matrice
[
C
]
∈
M
m
,
p
(
R
)
{\displaystyle \;\left[C\right]\in M_{m,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
étant obtenue par
[
A
]
×
[
B
]
{\displaystyle \;\left[A\right]\times \left[B\right]\;}
dans laquelle
{
[
A
]
∈
M
m
,
n
(
R
)
[
B
]
∈
M
n
,
p
(
R
)
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[A\right]\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\\\left[B\right]\in M_{n,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\end{array}}\right\rbrace \;}
»,
« sa
transposée
t
[
C
]
∈
M
p
,
m
(
R
)
{\displaystyle \;^{t\!}\left[C\right]\in M_{p,\,m}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
vérifie
t
[
C
]
=
t
[
B
]
×
t
[
A
]
{\displaystyle \;^{t\!}\left[C\right]=\;^{t\!}\left[B\right]\times \,^{t\!}\left[A\right]\;}
avec
{
t
[
B
]
∈
M
p
,
n
(
R
)
t
[
A
]
∈
M
n
,
m
(
R
)
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}\,^{t\!}\left[B\right]\in M_{p,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\\\,^{t\!}\left[A\right]\in M_{n,\,m}\!\left(\mathbb {R} \right)\end{array}}\right\rbrace \;}
»,
soit encore «
t
{
[
A
]
×
[
B
]
}
=
t
[
B
]
×
t
[
A
]
{\displaystyle \;^{t\!}\left\lbrace \left[A\right]\times \left[B\right]\right\rbrace =\;^{t\!}\left[B\right]\times \,^{t\!}\left[A\right]\;}
Démonstration : soit «
[
A
]
=
(
a
i
,
j
)
1
⩽
i
⩽
m
,
1
⩽
j
⩽
n
∈
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\left[A\right]=\left(a_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
[
B
]
=
(
b
i
,
j
)
1
⩽
i
⩽
n
,
1
⩽
j
⩽
p
∈
M
n
,
p
(
R
)
{\displaystyle \;\left[B\right]=\left(b_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,n\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,p}\in M_{n,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
Démonstration : « le produit
[
A
]
×
[
B
]
{\displaystyle \;\left[A\right]\times \left[B\right]\;}
matrice
[
C
]
∈
M
m
,
p
(
R
)
{\displaystyle \;\left[C\right]\in M_{m,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
(
a
i
,
j
)
1
⩽
i
⩽
m
,
1
⩽
j
⩽
n
×
(
b
i
,
j
)
1
⩽
i
⩽
n
,
1
⩽
j
⩽
p
=
(
c
i
,
j
)
1
⩽
i
⩽
m
,
1
⩽
j
⩽
p
{\displaystyle \;\left(a_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\times \left(b_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,n\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,p}=\left(c_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,p}\;}
c
i
,
j
=
∑
k
=
[
[
1
,
n
]
]
a
i
,
k
b
k
,
j
{\displaystyle \;c_{i,\,j}=\sum \limits _{k=\left[\left[1,\,n\right]\right]}a_{i,\,k}\;b_{k,\,j}\;}
Démonstration : « la matrice transposée de
[
C
]
{\displaystyle \;\left[C\right]\;}
t
[
C
]
=
(
c
′
j
,
i
)
1
⩽
j
⩽
p
,
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;^{t\!}\left[C\right]=\left({c'}_{j,\,i}\right)_{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,p\;,\;1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;}
c
′
j
,
i
=
c
i
,
j
=
∑
k
=
[
[
1
,
n
]
]
a
i
,
k
b
k
,
j
{\displaystyle \;{c'}_{j,\,i}=c_{i,\,j}=\sum \limits _{k=\left[\left[1,\,n\right]\right]}a_{i,\,k}\;b_{k,\,j}\;}
Démonstration : « la matrice transposée de
[
B
]
{\displaystyle \;\left[B\right]\;}
t
[
B
]
=
(
b
′
j
,
i
)
1
⩽
j
⩽
p
,
1
⩽
i
⩽
n
{\displaystyle \;^{t\!}\left[B\right]=\left({b'}_{j,\,i}\right)_{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,p\;,\;1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,n}\;}
b
′
j
,
i
=
b
i
,
j
{\displaystyle \;{b'}_{j,\,i}=b_{i,\,j}\;}
Démonstration : « celle transposée de
[
A
]
{\displaystyle \;\left[A\right]\;}
s'écrivant
t
[
A
]
=
(
a
′
j
,
i
)
1
⩽
j
⩽
n
,
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;^{t\!}\left[A\right]=\left({a'}_{j,\,i}\right)_{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n\;,\;1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;}
a
′
j
,
i
=
a
i
,
j
{\displaystyle \;{a'}_{j,\,i}=a_{i,\,j}\;}
Démonstration : « le produit
t
[
B
]
×
t
[
A
]
=
[
D
]
=
(
d
j
i
)
1
⩽
j
⩽
p
,
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;^{t\!}\left[B\right]\times \,^{t\!}\left[A\right]=\left[D\right]=\left(d_{j\,i}\right)_{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,p\;,\;1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;}
d
j
,
i
=
∑
k
=
[
[
1
,
n
]
]
b
′
j
,
k
a
′
k
,
i
=
∑
k
=
[
[
1
,
n
]
]
b
k
,
j
a
i
,
k
=
c
′
j
,
i
{\displaystyle \;d_{j,\,i}=\sum \limits _{k=\left[\left[1,\,n\right]\right]}{b'}_{j,\,k}\;{a'}_{k,\,i}=\sum \limits _{k=\left[\left[1,\,n\right]\right]}b_{k,\,j}\;a_{i,\,k}={c'}_{j,\,i}\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
[
D
]
=
t
[
C
]
{\displaystyle \;\left[D\right]=\;^{t\!}\left[C\right]\;}
Démonstration : « le produit
t
[
B
]
×
t
[
A
]
=
[
D
]
=
(
d
j
i
)
1
⩽
j
⩽
p
,
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;\color {transparent}{^{t\!}\left[B\right]\times \,^{t\!}\left[A\right]=\left[D\right]=\left(d_{j\,i}\right)_{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,p\;,\;1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}}\;}
d
j
,
i
=
∑
k
=
[
[
1
,
n
]
]
b
′
j
,
k
a
′
k
,
i
=
∑
k
=
[
[
1
,
n
]
]
b
k
,
j
a
i
,
k
=
c
′
j
,
i
{\displaystyle \;\color {transparent}{d_{j,\,i}=\sum \limits _{k=\left[\left[1,\,n\right]\right]}{b'}_{j,\,k}\;{a'}_{k,\,i}=\sum \limits _{k=\left[\left[1,\,n\right]\right]}b_{k,\,j}\;a_{i,\,k}={c'}_{j,\,i}}\;}
⇒
{\displaystyle \color {transparent}{\Rightarrow }}
«
t
[
B
]
×
t
[
A
]
=
t
{
[
A
]
×
[
B
]
}
{\displaystyle \;^{t\!}\left[B\right]\times \,^{t\!}\left[A\right]=\;^{t\!}\left\lbrace \left[A\right]\times \left[B\right]\right\rbrace \;}
[ 31]
modifier
modifier
Toute matrice de l'ensemble
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
matrices carrées de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
n
{\displaystyle \;n\;}
[ 32] multipliée à droite
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}\;}
matrice de
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}
Toute matrice de l'ensemble
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
« la multiplication matricielle à droite
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}\;}
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
{
M
n
(
R
)
}
2
→
×
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;\left\lbrace M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\right\rbrace ^{2}\;{\overset {\times }{\rightarrow }}\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
Toute matrice de l'ensemble
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
possédant les propriétés :
∙
{\displaystyle \bullet \;}
multiplication matricielle » c.-à-d. «
{
[
A
]
×
[
B
]
}
×
[
C
]
=
[
A
]
×
{
[
B
]
×
[
C
]
}
{\displaystyle \;\left\lbrace \left[A\right]\times \left[B\right]\right\rbrace \times \left[C\right]=\left[A\right]\times \left\lbrace \left[B\right]\times \left[C\right]\right\rbrace \;}
Toute matrice de l'ensemble
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
multiplication matricielle à gauche relativement à l'addition matricielle » soit Toute matrice de l'ensemble
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
«
[
A
]
×
{
[
B
]
+
[
C
]
}
=
[
A
]
×
[
B
]
+
[
A
]
×
[
C
]
{\displaystyle \;\left[A\right]\times \left\lbrace \left[B\right]+\left[C\right]\right\rbrace =\left[A\right]\times \left[B\right]+\left[A\right]\times \left[C\right]\;}
Toute matrice de l'ensemble
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
multiplication matricielle à droite relativement à l'addition matricielle » soit Toute matrice de l'ensemble
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
«
{
[
A
]
+
[
B
]
}
×
[
C
]
=
[
A
]
×
[
C
]
+
[
B
]
×
[
C
]
{\displaystyle \;\left\lbrace \left[A\right]+\left[B\right]\right\rbrace \times \left[C\right]=\left[A\right]\times \left[C\right]+\left[B\right]\times \left[C\right]\;}
Toute matrice de l'ensemble
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
multiplication matricielle “la matrice identité
[
I
]
{\displaystyle \;\left[I\right]\;}
Toute matrice de l'ensemble
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
«
[
A
]
×
[
I
]
=
[
A
]
{\displaystyle \;\left[A\right]\times \left[I\right]=\left[A\right]\;}
[
I
]
×
[
A
]
=
[
A
]
{\displaystyle \;\left[I\right]\times \left[A\right]=\left[A\right]\;}
Toute matrice de l'ensemble
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
« La multiplication matricielle n'est pas commutative » c.-à-d. qu'usuellement «
[
A
]
×
[
B
]
≠
[
B
]
×
[
A
]
{\displaystyle \;\left[A\right]\times \left[B\right]\neq \left[B\right]\times \left[A\right]\;}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
30
)
{\displaystyle {\big )}}
modifier
L'ensemble
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
matrices carrées de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
n
{\displaystyle \;n\;}
[ 32] ensemble
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
matrices de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
(
m
,
n
)
{\displaystyle \;\left(m\,,\,n\right)\;}
L'ensemble
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}}
n
{\displaystyle \;\color {transparent}{n}\;}
lequel, muni de l'addition «
+
{\displaystyle \;+\;}
groupe abélien (ou commutatif) [ 16] , [ 33]
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
L'ensemble
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}}
n
{\displaystyle \;\color {transparent}{n}\;}
l'ensemble
{
M
n
(
R
)
,
+
}
{\displaystyle \;\left\lbrace M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\,,\,+\right\rbrace \;}
matrices carrées de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
n
{\displaystyle \;n\;}
[ 32] addition «
+
{\displaystyle \;+\;}
L'ensemble
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}}
n
{\displaystyle \;\color {transparent}{n}\;}
{
M
n
(
R
)
,
+
}
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\,,\,+\right\rbrace }\;}
est aussi un groupe abélien (ou commutatif) [ 16] , [ 33] L'ensemble
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}}
n
{\displaystyle \;\color {transparent}{n}\;}
la multiplication matricielle [ 34] ensemble
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
L'ensemble
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}}
n
{\displaystyle \;\color {transparent}{n}\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
associativité » [ 35] L'ensemble
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}}
n
{\displaystyle \;\color {transparent}{n}\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
distributivité à gauche et à droite relativement à l'addition matricielle » [ 35] L'ensemble
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}}
n
{\displaystyle \;\color {transparent}{n}\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
existence d'un élément neutre » [ 35] L'ensemble
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}}
n
{\displaystyle \;\color {transparent}{n}\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
absence de commutativité » [ 35]
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
L'ensemble
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}}
n
{\displaystyle \;\color {transparent}{n}\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
ensemble
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
anneau unitaire non commutatif[ 36] L'ensemble
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}}
n
{\displaystyle \;\color {transparent}{n}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
l'ensemble
{
M
n
(
R
)
,
+
}
{\displaystyle \;\left\lbrace M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\,,\,+\right\rbrace \;}
groupe abélien (ou commutatif) [ 16] , [ 33] L'ensemble
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}}
n
{\displaystyle \;\color {transparent}{n}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
les propriétés de la 2nde loi de composition interne «
×
{\displaystyle \;\times \;}
ensemble
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
matrices de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
(
m
,
n
)
{\displaystyle \;\left(m\,,\,n\right)\;}
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel [ 33] ensemble
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
matrices carrées de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
n
{\displaystyle \;n\;}
[ 32] l'ensemble
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}}
(
m
,
n
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left(m\,,\,n\right)}\;}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
en étant un cas particulier
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
l'ensemble
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}}
(
m
,
n
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left(m\,,\,n\right)}\;}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
« l'ensemble
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
matrices carrées de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
n
{\displaystyle \;n\;}
[ 32] l'ensemble
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}}
(
m
,
n
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left(m\,,\,n\right)}\;}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
est aussi un
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel l'ensemble
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}}
(
m
,
n
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left(m\,,\,n\right)}\;}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
dont la dimension [ 21]
n
2
{\displaystyle \;n^{2}\;}
[ 33]
la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} \;}
ensemble
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
matrices carrées de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
n
{\displaystyle \;n\;}
[ 32]
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel de par la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;}
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
les propriétés de cette loi rappelées au paragraphe « multiplication par un scalaire » plus haut dans ce chapitre la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;}
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
avec une structure de groupe abélien (ou commutatif) [ 16] , [ 33] ensemble
{
M
n
(
R
)
,
+
}
{\displaystyle \;\left\lbrace M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\,,\,+\right\rbrace }
la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;}
de plus, cette loi étant « associative mixte par rapport à la multiplication matricielle » c.-à-d. la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;}
«
∀
λ
∈
R
,
∀
{
[
A
]
,
[
B
]
}
∈
{
M
n
(
R
)
}
2
{\displaystyle \;\forall \;\lambda \in \mathbb {R} ,\;\;\forall \;\left\lbrace \left[A\right]\,,\,\left[B\right]\right\rbrace \in \left\lbrace M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\right\rbrace ^{2}}
λ
{
[
A
]
×
[
B
]
}
=
{
λ
[
A
]
}
×
[
B
]
=
[
A
]
×
{
λ
[
B
]
}
{\displaystyle \;\lambda \;\left\lbrace \left[A\right]\times \left[B\right]\right\rbrace =\left\lbrace \lambda \;\left[A\right]\right\rbrace \times \left[B\right]=\left[A\right]\times \left\lbrace \lambda \;\left[B\right]\right\rbrace \;}
la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;}
propriété qui, ajoutée à la structure d'espace vectoriel et d'anneau unitaire que possède
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}
la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;}
confère à «
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
algèbre associative unitaire
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}\;}
[ 37]
modifier
ère interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) fixée définie sur le corps des réels
modifier
m
modifier
Considérant l'ensemble
R
m
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{m}\;}
m
∈
N
∗
∖
{
1
}
{\displaystyle \;m\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \;}
[ 38]
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel de dimension [ 21]
m
{\displaystyle \;m\;}
base canonique
{
e
1
,
⋯
e
i
,
⋯
e
m
}
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;\left\lbrace e_{1},\cdots e_{i},\cdots e_{m}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;}
Considérant l'ensemble
R
m
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{m}}\;}
m
∈
N
∗
∖
{
1
}
{\displaystyle \;\color {transparent}{m\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace }\;}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
m
{\displaystyle \;\color {transparent}{m}\;}
e
i
=
(
δ
1
,
i
,
⋯
δ
k
,
i
,
⋯
δ
m
,
i
)
1
⩽
k
⩽
m
{\displaystyle \;e_{i}=\left(\delta _{1,\,i},\cdots \delta _{k,\,i},\cdots \delta _{m,\,i}\right)_{1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,m}\;}
δ
k
,
i
=
{
0
si
k
≠
i
1
si
k
=
i
}
{\displaystyle \;\delta _{k,\,i}=\left\lbrace {\begin{array}{c}0\;\;{\text{si }}k\neq i\\1\;\;{\text{si }}k=i\end{array}}\right\rbrace \;}
Considérant l'ensemble
R
m
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{m}}\;}
m
∈
N
∗
∖
{
1
}
{\displaystyle \;\color {transparent}{m\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace }\;}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
m
{\displaystyle \;\color {transparent}{m}\;}
e
i
=
(
δ
1
,
i
,
⋯
δ
k
,
i
,
⋯
δ
m
,
i
)
1
⩽
k
⩽
m
{\displaystyle \;\color {transparent}{e_{i}=\left(\delta _{1,\,i},\cdots \delta _{k,\,i},\cdots \delta _{m,\,i}\right)_{1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,m}}\;}
le symbole de Kronecker » [ 22]
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
nous pouvons définir
∙
{\displaystyle \bullet \;}
correspondance bijective entre chaque élément
e
i
=
(
δ
1
,
i
,
⋯
δ
k
,
i
,
⋯
δ
m
,
i
)
1
⩽
k
⩽
m
{\displaystyle \;e_{i}=\left(\delta _{1,\,i},\cdots \delta _{k,\,i},\cdots \delta _{m,\,i}\right)_{1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,m}\;}
base canonique de
R
m
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{m}\;}
nous pouvons définir
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
chaque matrice colonne
[
δ
1
,
i
⋯
δ
k
,
i
⋯
δ
m
,
i
]
1
⩽
k
⩽
m
{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}\delta _{1,\,i}\\\cdots \\\delta _{k,\,i}\\\cdots \\\delta _{m,\,i}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,m}}
ensemble des matrices colonnes
M
m
,
1
(
R
)
{\displaystyle \;M_{m,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
nous pouvons définir
∙
{\displaystyle \bullet \;}
correspondance bijective entre le
m
{\displaystyle \;m}
(
a
1
,
⋯
a
i
,
⋯
a
m
)
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;\left(a_{1},\,\cdots a_{i},\cdots a_{m}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;}
R
m
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{m}\;}
nous pouvons définir
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
la matrice colonne
[
a
1
⋯
a
i
⋯
a
m
]
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}a_{1}\\\cdots \\a_{i}\\\cdots \\a_{m}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}}
ensemble des matrices colonnes
M
m
,
1
(
R
)
{\displaystyle \;M_{m,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
nous pouvons définir
∙
{\displaystyle \bullet \;}
matrice colonne
[
a
1
⋯
a
i
⋯
a
m
]
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}a_{1}\\\cdots \\a_{i}\\\cdots \\a_{m}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}}
matrice coordonnée canonique
m
{\displaystyle \;m}
(
a
1
,
⋯
a
i
,
⋯
a
m
)
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;\left(a_{1},\,\cdots a_{i},\cdots a_{m}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;}
R
m
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{m}\;}
Considérant l'ensemble
R
m
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{m}\;}
m
∈
N
∗
∖
{
1
}
{\displaystyle \;m\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \;}
[ 38]
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel de dimension [ 21]
m
{\displaystyle \;m\;}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
{
b
1
,
⋯
b
i
,
⋯
b
m
}
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;\left\lbrace b_{1},\cdots b_{i},\cdots b_{m}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;}
R
m
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{m}\;}
[ 39]
∙
{\displaystyle \bullet \;}
correspondance bijective entre chaque élément
b
i
=
∑
1
⩽
k
⩽
m
b
k
,
i
e
k
{\displaystyle \;b_{i}=\sum \limits _{1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,m}b_{k,\,i}\;e_{k}\;}
[ 40]
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}\;}
R
m
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{m}\;}
nous pouvons établir
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
chaque matrice colonne
[
b
1
,
i
⋯
b
k
,
i
⋯
b
m
,
i
]
1
⩽
k
⩽
m
{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}b_{1,\,i}\\\cdots \\b_{k,\,i}\\\cdots \\b_{m,\,i}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,m}}
ensemble
M
m
,
1
(
R
)
{\displaystyle \;M_{m,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
nous pouvons établir
∙
{\displaystyle \bullet \;}
correspondance bijective entre le
m
{\displaystyle \;m}
R
m
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{m}\;}
(
α
1
,
⋯
α
i
,
⋯
α
m
)
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;\left(\alpha _{1},\cdots \alpha _{i},\cdots \alpha _{m}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;}
{
b
1
,
⋯
b
i
,
⋯
b
m
}
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;\left\lbrace b_{1},\cdots b_{i},\cdots b_{m}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;}
[ 41] nous pouvons établir
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
la matrice colonne
[
α
1
⋯
α
i
⋯
α
m
]
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}\alpha _{1}\\\cdots \\\alpha _{i}\\\cdots \\\alpha _{m}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}}
ensemble des matrices colonnes
M
m
,
1
(
R
)
{\displaystyle \;M_{m,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
[ 42] nous pouvons établir
∙
{\displaystyle \bullet \;}
matrice colonne
[
α
1
⋯
α
i
⋯
α
m
]
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}\alpha _{1}\\\cdots \\\alpha _{i}\\\cdots \\\alpha _{m}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;}
matrice coordonnée
m
{\displaystyle \;m}
R
m
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{m}\;}
(
α
1
,
⋯
α
i
,
⋯
α
m
)
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;\left(\alpha _{1},\cdots \alpha _{i},\cdots \alpha _{m}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;}
nous pouvons établir
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
[
α
1
]
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\begin{array}{c}\alpha _{1}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}}\;}
m
{\displaystyle \;\color {transparent}{m}}
R
m
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{m}}\;}
dans la base non canonique
{
b
1
,
⋯
b
i
,
⋯
b
m
}
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;\left\lbrace b_{1},\cdots b_{i},\cdots b_{m}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;}
[ 41] [ 42]
ère interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m , n), matrice coordonnée d'une famille de n « m-uplets » dans une base de Rm
modifier
Après avoir défini une correspondance bijective entre « le
m
{\displaystyle \;m}
(
a
1
,
⋯
a
i
,
⋯
a
m
)
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;\left(a_{1},\,\cdots a_{i},\cdots a_{m}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;}
R
m
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{m}\;}
Après avoir défini une correspondance bijective entre « sa matrice coordonnée canonique
[
a
1
⋯
a
i
⋯
a
m
]
1
⩽
i
⩽
m
∈
M
m
,
1
(
R
)
{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}a_{1}\\\cdots \\a_{i}\\\cdots \\a_{m}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\!\in \;M_{m,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
[ 43] Après avoir défini une correspondance bijective entre « le
m
{\displaystyle \;m}
(
a
1
,
⋯
a
i
,
⋯
a
m
)
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;\left(a_{1},\,\cdots a_{i},\cdots a_{m}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;}
∑
1
⩽
i
⩽
m
α
i
b
i
{\displaystyle \;\sum \limits _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\alpha _{i}\;b_{i}\;}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
{
b
1
,
⋯
b
i
,
⋯
b
m
}
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;\left\lbrace b_{1},\cdots b_{i},\cdots b_{m}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;}
R
m
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{m}\;}
[ 42] Après avoir défini une correspondance bijective entre « sa matrice coordonnée
[
α
1
⋯
α
i
⋯
α
m
]
1
⩽
i
⩽
m
∈
M
m
,
1
(
R
)
{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}\alpha _{1}\\\cdots \\\alpha _{i}\\\cdots \\\alpha _{m}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\!\in \;M_{m,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
{
b
1
,
⋯
b
i
,
⋯
b
m
}
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;\left\lbrace b_{1},\cdots b_{i},\cdots b_{m}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;}
R
m
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{m}\;}
[ 43]
on prolonge cette correspondance bijective entre « les familles de
n
{\displaystyle \;n}
m
{\displaystyle \;m}
[
R
m
]
n
{\displaystyle \;\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}\;}
on prolonge cette correspondance bijective entre « l'ensemble
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
matrices de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
(
m
,
n
)
{\displaystyle \;\left(m\,,\,n\right)\;}
base canonique de
R
m
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{m}}
on prolonge cette correspondance bijective entre « l'élément
{
(
a
1
,
1
⋯
a
i
,
1
⋯
a
m
,
1
)
1
⩽
i
⩽
m
⋮
(
a
1
,
j
⋯
a
i
,
j
⋯
a
m
,
j
)
1
⩽
i
⩽
m
⋮
(
a
1
,
n
⋯
a
i
,
n
⋯
a
m
,
n
)
1
⩽
i
⩽
m
}
1
⩽
j
⩽
n
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left(a_{1,\,1}\,\cdots a_{i,\,1}\cdots a_{m,\,1}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\\\vdots \\\left(a_{1,\,j}\,\cdots a_{i,\,j}\cdots a_{m,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\\\vdots \\\left(a_{1,\,n}\,\cdots a_{i,\,n}\cdots a_{m,\,n}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\end{array}}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;}
n
{\displaystyle \;n\;}
m
{\displaystyle \;m}
[
R
m
]
n
{\displaystyle \;\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}\;}
on prolonge cette correspondance bijective entre « la matrice de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
(
m
,
n
)
{\displaystyle \;\left(m\,,\,n\right)}
[
a
1
,
1
⋯
a
1
,
j
⋯
a
1
,
n
⋮
a
i
,
1
⋯
a
i
,
j
⋯
a
i
,
n
⋮
a
m
,
1
⋯
a
m
,
j
⋯
a
m
,
n
]
1
⩽
i
⩽
m
1
⩽
j
⩽
n
∈
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}&\cdots &a_{1,\,j}&\cdots &a_{1,\,n}\\&&\vdots &&\\a_{i,\,1}&\cdots &a_{i,\,j}&\cdots &a_{i,\,n}\\&&\vdots &&\\a_{m,\,1}&\cdots &a_{m,\,j}&\cdots &a_{m,\,n}\end{array}}\right]_{\begin{array}{c}1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\\1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n\end{array}}\!\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
on prolonge cette correspondance bijective entre « la matrice
[
{\displaystyle {\big [}}
n
{\displaystyle \;n\;}
matrices coordonnées canoniques des “
m
{\displaystyle \;m}
]
{\displaystyle {\big ]}\;}
on prolonge cette correspondance bijective entre « la matrice appelée matrice coordonnée canonique de la famille des
n
{\displaystyle \;n\;}
m
{\displaystyle \;m}
on prolonge cette correspondance bijective entre « l'ensemble
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}}
(
m
,
n
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left(m\,,\,n\right)}\;}
avec une base non canonique
{
b
1
,
⋯
b
i
,
⋯
b
m
}
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;\left\lbrace b_{1},\cdots b_{i},\cdots b_{m}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}}
R
m
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{m}}
on prolonge cette correspondance bijective entre « l'élément
{
(
a
1
,
1
⋯
a
i
,
1
⋯
a
m
,
1
)
1
⩽
i
⩽
m
⋮
(
a
1
,
j
⋯
a
i
,
j
⋯
a
m
,
j
)
1
⩽
i
⩽
m
⋮
(
a
1
,
n
⋯
a
i
,
n
⋯
a
m
,
n
)
1
⩽
i
⩽
m
}
1
⩽
j
⩽
n
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left(a_{1,\,1}\,\cdots a_{i,\,1}\cdots a_{m,\,1}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\\\vdots \\\left(a_{1,\,j}\,\cdots a_{i,\,j}\cdots a_{m,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\\\vdots \\\left(a_{1,\,n}\,\cdots a_{i,\,n}\cdots a_{m,\,n}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\end{array}}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}}
n
{\displaystyle \;n\;}
m
{\displaystyle \;m}
[
R
m
]
n
{\displaystyle \;\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}\;}
(
m
{\displaystyle {\big (}m}
R
m
)
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{m}{\big )}}
on prolonge cette correspondance bijective entre « l'élément
{
(
a
1
,
1
⋯
a
i
,
1
⋯
a
m
,
1
)
1
⩽
i
⩽
m
}
1
⩽
j
⩽
n
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{c}\left(a_{1,\,1}\,\cdots a_{i,\,1}\cdots a_{m,\,1}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\end{array}}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}}}
{
{\displaystyle {\Big \{}}
m
{\displaystyle \;m}
(
a
1
,
j
⋯
a
i
,
j
⋯
a
m
,
j
)
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;\left(a_{1,\,j}\,\cdots a_{i,\,j}\cdots a_{m,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;}
on prolonge cette correspondance bijective entre « l'élément
{
(
a
1
,
1
⋯
a
i
,
1
⋯
a
m
,
1
)
1
⩽
i
⩽
m
}
1
⩽
j
⩽
n
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{c}\left(a_{1,\,1}\,\cdots a_{i,\,1}\cdots a_{m,\,1}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\end{array}}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}}}
{
{\displaystyle \color {transparent}{\Big \{}}
base non canonique
{
b
1
,
⋯
b
i
,
⋯
b
m
}
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;\left\lbrace b_{1},\cdots b_{i},\cdots b_{m}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}}
R
m
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{m}\;}
∑
1
⩽
i
⩽
m
α
i
,
j
b
i
}
{\displaystyle \;\sum \limits _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\alpha _{i,\,j}\;b_{i}{\Big \}}\;}
on prolonge cette correspondance bijective entre « la matrice de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
(
m
,
n
)
{\displaystyle \;\left(m\,,\,n\right)\;}
[
α
1
,
1
⋯
α
1
,
j
⋯
α
1
,
n
⋮
α
i
,
1
⋯
α
i
,
j
⋯
α
i
,
n
⋮
α
m
,
1
⋯
α
m
,
j
⋯
α
m
,
n
]
1
⩽
i
⩽
m
1
⩽
j
⩽
n
∈
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}\alpha _{1,\,1}&\cdots &\alpha _{1,\,j}&\cdots &\alpha _{1,\,n}\\&&\vdots &&\\\alpha _{i,\,1}&\cdots &\alpha _{i,\,j}&\cdots &\alpha _{i,\,n}\\&&\vdots &&\\\alpha _{m,\,1}&\cdots &\alpha _{m,\,j}&\cdots &\alpha _{m,\,n}\end{array}}\right]_{\begin{array}{c}1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\\1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n\end{array}}\!\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}
on prolonge cette correspondance bijective entre « la matrice
[
{\displaystyle {\big [}}
n
{\displaystyle \;n\;}
matrices coordonnées
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}\;}
m
{\displaystyle \;m}
]
{\displaystyle {\big ]}}
on prolonge cette correspondance bijective entre « la matrice appelée matrice coordonnée non canonique de la famille des
n
{\displaystyle \;n\;}
m
{\displaystyle \;m}
{
b
1
,
⋯
b
i
,
⋯
b
m
}
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;\left\lbrace b_{1},\cdots b_{i},\cdots b_{m}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}}
R
m
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{m}\;}
Définition
On appelle « rang de la matrice
[
D
]
=
[
α
1
,
1
⋯
α
1
,
j
⋯
α
1
,
n
⋮
α
i
,
1
⋯
α
i
,
j
⋯
α
i
,
n
⋮
α
m
,
1
⋯
α
m
,
j
⋯
α
m
,
n
]
1
⩽
i
⩽
m
1
⩽
,
j
⩽
n
∈
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\left[D\right]=\left[{\begin{array}{c}\alpha _{1,\,1}&\cdots &\alpha _{1,\,j}&\cdots &\alpha _{1,\,n}\\&&\vdots &&\\\alpha _{i,\,1}&\cdots &\alpha _{i,\,j}&\cdots &\alpha _{i,\,n}\\&&\vdots &&\\\alpha _{m,\,1}&\cdots &\alpha _{m,\,j}&\cdots &\alpha _{m,\,n}\end{array}}\right]_{\begin{array}{c}1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\\1\,\leqslant ,j\,\leqslant \,n\end{array}}\!\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
On appelle « dimension du sous-espace vectoriel
[
R
m
]
n
{\displaystyle \;\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}\;}
n
{\displaystyle \;n\;}
m
{\displaystyle \;m}
R
m
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{m}\;}
On appelle « dimension du sous-espace vectoriel de
[
R
m
]
n
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}}\;}
généré par
{
(
a
1
,
1
⋯
a
i
,
1
⋯
a
m
,
1
)
1
⩽
i
⩽
m
⋮
(
a
1
,
j
⋯
a
i
,
j
⋯
a
m
,
j
)
1
⩽
i
⩽
m
⋮
(
a
1
,
n
⋯
a
i
,
n
⋯
a
m
,
n
)
1
⩽
i
⩽
m
}
1
⩽
j
⩽
n
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left(a_{1,\,1}\,\cdots a_{i,\,1}\cdots a_{m,\,1}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\\\vdots \\\left(a_{1,\,j}\,\cdots a_{i,\,j}\cdots a_{m,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\\\vdots \\\left(a_{1,\,n}\,\cdots a_{i,\,n}\cdots a_{m,\,n}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\end{array}}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}}
{
{\displaystyle {\Big \{}}
[
D
]
{\displaystyle \;\left[D\right]\;}
On appelle « dimension du sous-espace vectoriel de
[
R
m
]
n
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}}\;}
matrice coordonnée non canonique de la famille des
n
{\displaystyle \;n\;}
m
{\displaystyle \;m}
On appelle « dimension du sous-espace vectoriel de
[
R
m
]
n
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}}\;}
en base non canonique
{
b
1
,
⋯
b
i
,
⋯
b
m
}
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;\left\lbrace b_{1},\cdots b_{i},\cdots b_{m}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}}
R
m
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{m}}
On appelle « dimension du sous-espace vectoriel de
[
R
m
]
n
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}}\;}
le “
m
{\displaystyle \;m}
(
a
1
,
j
⋯
a
i
,
j
⋯
a
m
,
j
)
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;\left(a_{1,\,j}\,\cdots a_{i,\,j}\cdots a_{m,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;}
On appelle « dimension du sous-espace vectoriel de
[
R
m
]
n
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}}\;}
égal à sa décomposition en base non canonique
∑
1
⩽
i
⩽
m
α
i
,
j
b
i
}
{\displaystyle \;\sum \limits _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\alpha _{i,\,j}\;b_{i}{\Big \}}\;}
rang de la matrice
[
D
]
{\displaystyle \;\left[D\right]\;}
⩽
min
[
m
,
n
]
{\displaystyle \;\leqslant \min \left[m,\,n\right]\;}
m , réécriture de la matrice coordonnée d'un « m-uplet » par changement de base de Rm
modifier
Considérant « le “
m
{\displaystyle \;m}
(
a
1
,
⋯
a
i
,
⋯
a
m
)
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;\left(a_{1},\,\cdots a_{i},\cdots a_{m}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;}
R
m
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{m}\;}
{
B
}
=
{
b
1
,
⋯
b
i
,
⋯
b
m
}
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\cdots b_{i},\cdots b_{m}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;}
R
m
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{m}\;}
∑
1
⩽
i
⩽
m
α
i
b
i
{\displaystyle \;\sum \limits _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\alpha _{i}\;b_{i}\;}
Considérant « la matrice coordonnée non canonique
[
X
]
=
[
α
1
⋯
α
i
⋯
α
m
]
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;\left[X\right]=\left[{\begin{array}{c}\alpha _{1}\\\cdots \\\alpha _{i}\\\cdots \\\alpha _{m}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;}
m
{\displaystyle \;m}
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace \;}
[ 43] Considér « le même “
m
{\displaystyle \;m}
(
a
1
,
⋯
a
i
,
⋯
a
m
)
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;\left(a_{1},\,\cdots a_{i},\cdots a_{m}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;}
R
m
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{m}\;}
{
C
}
=
{
c
1
,
⋯
c
i
,
⋯
c
m
}
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace c_{1},\cdots c_{i},\cdots c_{m}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;}
R
m
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{m}\;}
∑
1
⩽
i
⩽
m
β
i
c
i
{\displaystyle \;\sum \limits _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\beta _{i}\;c_{i}\;}
Considérant « la matrice coordonnée non canonique
[
X
′
]
=
[
β
1
⋯
β
i
⋯
β
m
]
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;\left[X'\right]=\left[{\begin{array}{c}\beta _{1}\\\cdots \\\beta _{i}\\\cdots \\\beta _{m}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;}
m
{\displaystyle \;m}
{
C
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace \;}
[ 43]
nous cherchons « la relation permettant de passer de la matrice coordonnée
[
X
]
{\displaystyle \;\left[X\right]\;}
m
{\displaystyle \;m}
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace \;}
matrice coordonnée
[
X
′
]
{\displaystyle \;\left[X'\right]\;}
m
{\displaystyle \;m}
{
C
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace \;}
nous cherchons « la relation à partir de la connaissance de la décomposition de la base
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace \;}
{
C
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace }
matrice carrée
[
P
]
{\displaystyle \;\left[P\right]\;}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
m
{\displaystyle \;m\;}
nous cherchons « la relation à partir de la connaissance de la décomposition de la base
{
B
}
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;}
{
C
}
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }}
« matrice de passage de la base
{
C
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace \;}
à la base
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace \;}
nous cherchons « la relation à partir de la connaissance de la décomposition de la base
{
B
}
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;}
{
C
}
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }}
{
{\displaystyle {\Big \{}}
matrice
[
P
]
{\displaystyle \;\left[P\right]\;}
matrices colonnes de la nous cherchons « la relation à partir de la connaissance de la décomposition de la base
{
B
}
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;}
{
C
}
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }}
{
{\displaystyle \color {transparent}{\Big \{}}
décomposition de chaque élément de la base non canonique
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace \;}
nous cherchons « la relation à partir de la connaissance de la décomposition de la base
{
B
}
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;}
{
C
}
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }}
{
{\displaystyle \color {transparent}{\Big \{}}
dans la base non canonique
{
C
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace \;}
[ 44]
}
{\displaystyle {\Big \}}}
nous cherchons « la relation avec la matrice
[
P
]
{\displaystyle \;\left[P\right]\;}
de passage de la base
{
C
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace \;}
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace }
nous cherchons « la relation avec la matrice
[
P
]
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[P\right]}\;}
{
C
}
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;}
{
B
}
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }}
« la matrice coordonnée
[
X
′
]
{\displaystyle \;\left[X'\right]\;}
m
{\displaystyle \;m}
{
C
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace \;}
nous cherchons « la relation avec la matrice
[
P
]
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[P\right]}\;}
{
C
}
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;}
{
B
}
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }}
« la matrice coordonnée
[
X
]
{\displaystyle \;\left[X\right]\;}
m
{\displaystyle \;m}
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace \;}
nous cherchons « la relation avec la matrice
[
P
]
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[P\right]}\;}
{
C
}
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;}
{
B
}
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }}
«
[
X
′
]
=
[
P
]
×
[
X
]
{\displaystyle \;\left[X'\right]=\left[P\right]\times \left[X\right]\;}
[ 45]
inversement « la relation permettant de passer de la matrice coordonnée
[
X
′
]
{\displaystyle \;\left[X'\right]\;}
m
{\displaystyle \;m}
{
C
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace \;}
matrice coordonnée
[
X
]
{\displaystyle \;\left[X\right]\;}
m
{\displaystyle \;m}
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace \;}
inversement « la relation à partir de la décomposition de la base
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace \;}
{
C
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace \;}
matrice de passage
[
P
]
{\displaystyle \;\left[P\right]\;}
{
C
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace \;}
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace \;}
inversement « la relation à partir de la décomposition de la base
{
C
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace \;}
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace \;}
matrice de passage
[
P
]
−
1
{\displaystyle \;\left[P\right]^{-1}\;}
de la base
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace \;}
à la base
{
C
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace \;}
[ 46] inversement « la relation à partir de la décomposition de la base
{
C
}
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;}
{
B
}
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;}
{
{\displaystyle {\Big \{}}
matrice résultant de l'inversion de la « matrice
[
P
]
{\displaystyle \;\left[P\right]\;}
de passage inversement « la relation à partir de la décomposition de la base
{
C
}
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;}
{
B
}
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;}
{
{\displaystyle \color {transparent}{\Big \{}}
de la base
{
C
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace \;}
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace \;}
[ 47]
}
{\displaystyle {\Big \}}\;}
inversement « la relation permettant de passer de la matrice coordonnée
[
X
′
]
{\displaystyle \;\left[X'\right]\;}
m
{\displaystyle \;m}
{
C
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace \;}
matrice coordonnée
[
X
]
{\displaystyle \;\left[X\right]\;}
m
{\displaystyle \;m}
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace \;}
«
[
X
]
=
[
P
]
−
1
×
[
X
′
]
{\displaystyle \;\left[X\right]=\left[P\right]^{-1}\times \left[X'\right]\;}
[ 48]
m
modifier
« La matrice coordonnée d'une famille de
n
{\displaystyle \;n\;}
m
{\displaystyle \;m}
[
R
m
]
n
{\displaystyle \;\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}\;}
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace \;}
R
m
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{m}\;}
[
A
]
{\displaystyle \;\left[A\right]\;}
matrices coordonnées de chaque “
m
{\displaystyle \;m}
« La matrice coordonnée d'une famille de
n
{\displaystyle \;\color {transparent}{n}\;}
m
{\displaystyle \;\color {transparent}{m}}
[
R
m
]
n
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}}\;}
{
B
}
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;}
R
m
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{m}}\;}
[
A
]
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[A\right]}\;}
dans la base
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace \;}
R
m
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{m}\;}
[
X
j
]
1
,
⩽
j
⩽
n
{\displaystyle \;\left[X_{j}\right]_{1,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;}
« La matrice coordonnée d'une famille de
n
{\displaystyle \;\color {transparent}{n}\;}
m
{\displaystyle \;\color {transparent}{m}}
[
R
m
]
n
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}}\;}
{
B
}
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;}
R
m
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{m}}\;}
«
[
A
]
=
[
X
1
,
1
⋯
X
1
,
j
⋯
X
1
,
n
⋮
X
i
,
1
⋯
X
i
,
j
⋯
X
i
,
n
⋮
X
m
,
1
⋯
X
m
,
j
⋯
X
m
,
n
]
1
⩽
i
⩽
m
1
⩽
j
⩽
n
∈
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}X_{1,\,1}&\cdots &X_{1,\,j}&\cdots &X_{1,\,n}\\&&\vdots &&\\X_{i,\,1}&\cdots &X_{i,\,j}&\cdots &X_{i,\,n}\\&&\vdots &&\\X_{m,\,1}&\cdots &X_{m,\,j}&\cdots &X_{m,\,n}\end{array}}\right]_{\begin{array}{c}1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\\1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n\end{array}}\!\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
[ 49]
« la matrice coordonnée d'un “
m
{\displaystyle \;m}
{
C
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace \;}
R
m
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{m}}
[
X
′
j
]
1
⩽
j
⩽
n
{\displaystyle \;\left[{X'}_{\!j}\right]_{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;}
matrice coordonnée du “
m
{\displaystyle \;m}
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace \;}
R
m
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{m}}
[
X
j
]
1
⩽
j
⩽
n
{\displaystyle \;\left[X_{j}\right]_{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;}
« la matrice coordonnée d'un “
m
{\displaystyle \;\color {transparent}{m}}
{
C
}
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;}
R
m
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{m}}}
[
X
′
j
]
1
⩽
j
⩽
n
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{X'}_{\!j}\right]_{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}}\;}
par « la matrice de passage
[
P
]
{\displaystyle \;\left[P\right]\;}
{
C
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace \;}
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace \;}
« la matrice coordonnée d'un “
m
{\displaystyle \;\color {transparent}{m}}
{
C
}
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;}
R
m
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{m}}}
«
[
X
′
j
]
1
⩽
j
⩽
n
=
[
P
]
×
[
X
j
]
1
⩽
j
⩽
n
{\displaystyle \;\left[{X'}_{\!j}\right]_{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}=\left[P\right]\times \left[X_{j}\right]_{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;}
[ 50]
« la matrice coordonnée de la famille des
n
{\displaystyle \;n\;}
m
{\displaystyle \;m}
[
R
m
]
n
{\displaystyle \;\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}\;}
{
C
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace \;}
R
m
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{m}}
[
A
′
]
=
[
X
′
1
,
1
⋯
X
′
1
,
j
⋯
X
′
1
,
n
⋮
X
′
i
,
1
⋯
X
′
i
,
j
⋯
X
′
i
,
n
⋮
X
′
m
,
1
⋯
X
′
m
,
j
⋯
X
′
m
,
n
]
1
⩽
i
⩽
m
1
⩽
j
⩽
n
∈
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\left[A'\right]=\left[{\begin{array}{c}{X'}_{\!1,\,1}&\cdots &{X'}_{\!1,\,j}&\cdots &{X'}_{\!1,\,n}\\&&\vdots &&\\{X'}_{\!i,\,1}&\cdots &{X'}_{\!i,\,j}&\cdots &{X'}_{\!i,\,n}\\&&\vdots &&\\{X'}_{\!m,\,1}&\cdots &{X'}_{\!m,\,j}&\cdots &{X'}_{\!m,\,n}\end{array}}\right]_{\begin{array}{c}1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\\1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n\end{array}}\!\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
«
[
A
′
]
=
[
P
]
×
[
A
]
dans
{
C
}
de
{
C
}
à
{
B
}
dans
{
B
}
{\displaystyle \;{\begin{array}{c c c c c}\;\left[A'\right]&=&\left[P\right]&\times &\left[A\right]\;\\\;{\text{dans }}\,\left\lbrace C\right\rbrace &&{\begin{array}{c}{\text{de }}\,\left\lbrace C\right\rbrace \;\\\;{\text{à }}\,\left\lbrace B\right\rbrace \end{array}}&&{\text{dans }}\,\left\lbrace B\right\rbrace \;\end{array}}\;}
inversement « la matrice coordonnée de la famille des
n
{\displaystyle \;n\;}
m
{\displaystyle \;m}
[
R
m
]
n
{\displaystyle \;\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}\;}
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace \;}
R
m
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{m}}
[
A
]
=
[
X
1
,
1
⋯
X
1
,
j
⋯
X
1
,
n
⋮
X
i
,
1
⋯
X
i
,
j
⋯
X
i
,
n
⋮
X
m
,
1
⋯
X
m
,
j
⋯
X
m
,
n
]
1
⩽
i
⩽
m
1
⩽
j
⩽
n
∈
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}X_{1,\,1}&\cdots &X_{1,\,j}&\cdots &X_{1,\,n}\\&&\vdots &&\\X_{i,\,1}&\cdots &X_{i,\,j}&\cdots &X_{i,\,n}\\&&\vdots &&\\X_{m,\,1}&\cdots &X_{m,\,j}&\cdots &X_{m,\,n}\end{array}}\right]_{\begin{array}{c}1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\\1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n\end{array}}\!\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
inversement « la matrice coordonnée de la famille des
n
{\displaystyle \;\color {transparent}{n}\;}
m
{\displaystyle \;\color {transparent}{m}}
[
R
m
]
n
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}}\;}
{
B
}
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;}
R
m
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{m}}}
s'obtient à l'aide de « la matrice de passage
[
P
]
−
1
{\displaystyle \;\left[P\right]^{-1}\;}
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace \;}
{
C
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace \;}
«
[
A
]
=
[
P
]
−
1
×
[
A
′
]
dans
{
B
}
de
{
B
}
à
{
C
}
dans
{
C
}
{\displaystyle \;{\begin{array}{c c c c c}\;\left[A\right]&=&\left[P\right]^{-1}&\times &\left[A'\right]\;\\\;{\text{dans }}\,\left\lbrace B\right\rbrace &&{\begin{array}{c}{\text{de }}\,\left\lbrace B\right\rbrace \;\\\;{\text{à }}\,\left\lbrace C\right\rbrace \end{array}}&&{\text{dans }}\,\left\lbrace C\right\rbrace \;\end{array}}\;}
[ 51]
ème interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) fixée définie sur le corps des réels
modifier
modifier
Application linéaire entre deux espaces vectoriels sur le corps des réels
Remarques : On constate qu'« une application du
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel
E
{\displaystyle \;E\;}
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
F
{\displaystyle \;F\;}
[ 52] Remarques : On constate qu'« une application du
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{E}\;}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }}
F
{\displaystyle \;\color {transparent}{F}\;}
ssi «
{
∀
(
λ
i
)
i
∈
[
[
1
,
p
]
]
∈
R
p
∀
(
x
i
)
i
∈
[
[
1
,
p
]
]
∈
E
p
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}\forall \;\left(\lambda _{i}\right)_{i\in \left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\;\in \mathbb {R} ^{p}\\\forall \;\left(x_{i}\right)_{i\in \left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\;\in E^{p}\end{array}}\right\rbrace }
φ
(
∑
i
[
[
1
,
p
]
]
λ
i
x
i
)
=
∑
i
[
[
1
,
p
]
]
λ
i
φ
(
x
i
)
{\displaystyle \;\varphi \!\left(\sum _{i}^{\left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\lambda _{i}\;x_{i}\right)=\sum _{i}^{\left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\lambda _{i}\;\varphi \!\left(x_{i}\right)\;}
Remarques : L'ensemble des applications linéaires du
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel
E
{\displaystyle \;E\;}
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel
F
{\displaystyle \;F\;}
L
(
E
,
F
)
{\displaystyle \;L\!\left(E\,,\,F\right)\;}
[ 53] Remarques : L'ens. celui des applications linéaires bijectives
[
{\displaystyle \;{\big [}}
isomorphismes de
E
{\displaystyle \;E\;}
F
]
{\displaystyle \;F{\big ]}\;}
est noté «
I
s
o
m
(
E
,
F
)
{\displaystyle \;\mathrm {Isom} \!\left(E\,,\,F\right)\;}
[ 54]
Remarques : l'ensemble des applications linéaires du
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel
E
{\displaystyle \;E\;}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
endomorphismes de
E
]
{\displaystyle \;E{\big ]}\;}
L
(
E
)
{\displaystyle \;L\!\left(E\right)\;}
[ 55] Remarques : l'ens. celui des applications linéaires bijectives du
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel
E
{\displaystyle \;E\;}
E
{\displaystyle \;E}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
automorphismes de
E
]
{\displaystyle \;E{\big ]}\;}
G
L
(
E
)
{\displaystyle \;GL\!\left(E\right)\;}
[ 56] groupe linéaire de
E
{\displaystyle \;E\;}
Remarques : l'ensemble des applications linéaires du
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel
E
{\displaystyle \;E\;}
corps
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
[
{\displaystyle \;{\big [}}
corps de construction de l'espace vectoriel dans lequel l'application linéaire
(
{\displaystyle \;{\big (}}
forme linéaire »
)
{\displaystyle {\big )}\;}
]
{\displaystyle {\big ]}\;}
E
∗
{\displaystyle \;E^{*}\;}
espace dual de
E
{\displaystyle \;E\;}
[
E
∗
{\displaystyle \;{\big [}E^{*}\;}
formes linéaires de
E
{\displaystyle \;E\;}
[ 57]
]
{\displaystyle {\big ]}}
ème interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m , n), matrice d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel de dimension m de base C dans le couple de bases (B, C)
modifier
Considérant deux
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espaces vectoriels avec définition d'une base dans chacun d'eux
un « 1er
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel
E
{\displaystyle \;E\;}
n
{\displaystyle \;n\;}
{
B
}
=
{
b
1
,
⋯
b
j
,
⋯
b
n
}
1
⩽
j
⩽
n
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\cdots b_{j},\cdots b_{n}\right\rbrace _{1\leqslant j\leqslant n}\;}
E
{\displaystyle \;E\;}
un « 2ème
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel
F
{\displaystyle \;F\;}
m
{\displaystyle \;m\;}
{
C
}
=
{
c
1
,
⋯
c
i
,
⋯
c
m
}
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace c_{1},\cdots c_{i},\cdots c_{m}\right\rbrace _{1\leqslant i\leqslant m}\;}
F
{\displaystyle \;F\;}
Considérant une « application linéaire
φ
{\displaystyle \;\varphi \;}
E
{\displaystyle \;E\;}
F
{\displaystyle \;F\;}
Matrice d'application linéaire d'un
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
-espace vectoriel E dans un
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
-espace vectoriel F
On appelle «
matrice de l'application linéaire
φ
{\displaystyle \;\varphi \;}
du
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
-
espace vectoriel
E
{\displaystyle \;E\;}
de dimension
n
{\displaystyle \;n\;}
de base
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace \;}
dans le
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
-
espace vectoriel
F
{\displaystyle \;F\;}
de dimension
m
{\displaystyle \;m\;}
de base
{
C
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace \;}
»,
On appelle «
la matrice de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
(
m
,
n
)
{\displaystyle \;\left(m\,,\,n\right)\;}
notée
[
A
]
∈
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\left[A\right]\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
»
telle que «
∀
x
∈
E
{\displaystyle \;\forall \;x\in E\;}
[
X
]
∈
M
n
,
1
(
R
)
{\displaystyle \;\left[X\right]\in M_{n,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace \;}
E
{\displaystyle \;E\;}
[ 58]
φ
(
x
)
∈
F
{\displaystyle \;\varphi (x)\in F\;}
[
X
′
]
∈
M
m
,
1
(
R
)
{\displaystyle \;\left[X'\right]\in M_{m,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
{
C
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace \;}
F
{\displaystyle \;F\;}
[ 58]
[
X
′
]
=
[
A
]
×
[
X
]
{\displaystyle \;\left[X'\right]=\left[A\right]\times \left[X\right]\;}
Propriétés : « à toute application linéaire
φ
{\displaystyle \;\varphi \;}
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel
E
{\displaystyle \;E\;}
n
{\displaystyle \;n\;}
{
B
}
=
{
b
1
,
⋯
b
j
,
⋯
b
n
}
1
⩽
j
⩽
n
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\cdots b_{j},\cdots b_{n}\right\rbrace _{1\leqslant j\leqslant n}\;}
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel
F
{\displaystyle \;F\;}
m
{\displaystyle \;m\;}
{
C
}
=
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace =}
{
c
1
,
⋯
c
i
,
⋯
c
m
}
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \left\lbrace c_{1},\cdots c_{i},\cdots c_{m}\right\rbrace _{1\leqslant i\leqslant m}\;}
une et une seule matrice d'application linéaire
[
A
]
{\displaystyle \;\left[A\right]\;}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
(
m
,
n
)
{\displaystyle \;\left(m\,,\,n\right)\;}
Propriétés : « à toute application linéaire
φ
{\displaystyle \;\color {transparent}{\varphi }\;}
« la jème colonne de
[
A
]
{\displaystyle \;\left[A\right]\;}
φ
(
b
j
)
{\displaystyle \;\varphi (b_{j})\;}
{
C
}
=
{
c
1
,
⋯
c
i
,
⋯
c
m
}
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace c_{1},\cdots c_{i},\cdots c_{m}\right\rbrace _{1\leqslant i\leqslant m}\;}
F
{\displaystyle \;F\;}
[ 58]
[
φ
(
b
j
)
1
⋯
φ
(
b
j
)
i
⋯
φ
(
b
j
)
m
]
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}\varphi (b_{j})_{1}\\\cdots \\\varphi (b_{j})_{i}\\\cdots \\\varphi (b_{j})_{m}\end{array}}\right]_{1\leqslant i\leqslant m}\;}
{
{\displaystyle \;{\bigg \{}}
φ
(
b
j
)
{\displaystyle \;\varphi (b_{j})\;}
{
C
}
=
{
c
1
,
⋯
c
i
,
⋯
c
m
}
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace c_{1},\cdots c_{i},\cdots c_{m}\right\rbrace _{1\leqslant i\leqslant m}\;}
φ
(
b
j
)
=
∑
i
=
1
.
.
m
φ
(
b
j
)
i
c
i
{\displaystyle \;\varphi (b_{j})=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,m}\varphi (b_{j})_{i}\;c_{i}\;}
}
{\displaystyle {\bigg \}}}
Propriétés : « à toute application linéaire
φ
{\displaystyle \;\color {transparent}{\varphi }\;}
la matrice
[
A
]
{\displaystyle \;\left[A\right]\;}
matrice de l'application linéaire
φ
{\displaystyle \;\varphi \;}
dans le couple de bases
(
{
B
}
,
{
C
}
)
{\displaystyle \;\left(\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace \right)\;}
m
a
t
{
B
}
,
{
C
}
(
φ
)
{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;}
«
∀
x
∈
E
{\displaystyle \;\forall \;x\in E\;}
m
a
t
{
B
}
(
x
)
{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace }(x)\;}
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace \;}
E
{\displaystyle \;E\;}
[ 58]
φ
(
x
)
{\displaystyle \;\varphi (x)\;}
{
C
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace \;}
F
{\displaystyle \;F}
m
a
t
{
C
}
[
φ
(
x
)
]
{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]\;}
[ 58]
{
m
a
t
{
C
}
[
φ
(
x
)
]
=
m
a
t
{
B
}
,
{
C
}
(
φ
)
×
m
a
t
{
B
}
(
x
)
∈
M
m
1
(
R
)
∈
M
m
n
(
R
)
∈
M
n
1
(
R
)
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]&=&\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)&\times &\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace }(x)\\\in M_{m\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)&&\in M_{m\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)&&\in M_{n\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\end{array}}\right\rbrace \;}
Propriétés : On déduit que « l'application de l'ensemble
L
(
E
,
F
)
{\displaystyle \;L\!\left(E\,,\,F\right)\;}
applications linéaires du
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel
E
{\displaystyle \;E\;}
n
{\displaystyle \;n\;}
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel
F
{\displaystyle \;F\;}
m
{\displaystyle \;m\;}
dans l'ensemble
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
(
m
,
n
)
{\displaystyle \;\left(m\,,\,n\right)\;}
{
{\displaystyle \;{\Big \{}}
application linéaire
φ
∈
L
(
E
,
F
)
{\displaystyle \;\varphi \;\in L\!\left(E\,,\,F\right)\;}
application linéaire
φ
{\displaystyle \;\varphi \;}
(
{
B
}
,
{
C
}
)
{\displaystyle \;\left(\left\lbrace B\right\rbrace \,,\,\left\lbrace C\right\rbrace \right)\;}
m
a
t
{
B
}
,
{
C
}
(
φ
)
∈
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
}
{\displaystyle {\Big \}}\;}
est un isomorphisme d'espaces vectoriels [ 59]
Exemple d'un automorphisme du plan vectoriel, la similitude directe
S
{\displaystyle \;{\mathcal {S}}\;}
2
{\displaystyle \;{\sqrt {2}}\;}
45
°
{\displaystyle \;45\;{\text{°}}}
Exemple : La similitude directe
S
{\displaystyle \;{\mathcal {S}}\;}
2
{\displaystyle \;{\sqrt {2}}\;}
45
°
{\displaystyle \;45\;{\text{°}}\;}
automorphisme du
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel euclidien
E
{\displaystyle \;E\;}
2
{\displaystyle \;2}
Exemple : avec le choix de la base canonique
{
B
can
}
=
(
e
1
,
e
2
)
{\displaystyle \;\left\lbrace B_{\text{can}}\right\rbrace =\left(e_{1}\,,\,e_{2}\right)\;}
E
{\displaystyle \;E\;}
automorphisme
S
{\displaystyle \;{\mathcal {S}}\;}
Exemple : avec le choix de la même base canonique
{
B
can
}
=
(
e
1
,
e
2
)
{\displaystyle \;\left\lbrace B_{\text{can}}\right\rbrace =\left(e_{1}\,,\,e_{2}\right)\;}
automorphisme
S
{\displaystyle \;{\mathcal {S}}\;}
E
{\displaystyle \;E\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
{
S
(
e
1
)
=
2
[
cos
(
45
°
)
e
1
+
sin
(
45
°
)
e
2
]
=
e
1
+
e
2
S
(
e
2
)
=
2
[
cos
(
135
°
)
e
1
+
sin
(
135
°
)
e
2
]
=
−
e
1
+
e
2
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\mathcal {S}}(e_{1})\!\!\!&={\sqrt {2}}\,\left[\cos(45\,{\text{°}})\;e_{1}+\sin(45\,{\text{°}})\;e_{2}\right]\!\!\!&=\;\;e_{1}+e_{2}\\{\mathcal {S}}(e_{2})\!\!\!&={\sqrt {2}}\,\left[\cos(135\,{\text{°}})\;e_{1}+\sin(135\,{\text{°}})\;e_{2}\right]\!\!\!&=-e_{1}+e_{2}\end{array}}\right\rbrace }
Exemple : la matrice de l'automorphisme
S
{\displaystyle \;{\mathcal {S}}\;}
E
{\displaystyle \;E\;}
(
{
B
can
}
,
{
B
can
}
)
{\displaystyle \;\left(\left\lbrace B_{\text{can}}\right\rbrace ,\,\left\lbrace B_{\text{can}}\right\rbrace \right)\;}
m
a
t
{
B
can
}
,
{
B
can
}
(
S
)
=
[
1
−
1
1
1
]
{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B_{\text{can}}\right\rbrace ,\,\left\lbrace B_{\text{can}}\right\rbrace }\!\left({\mathcal {S}}\right)=\left[{\begin{array}{c}1&-1\\1&1\end{array}}\right]}
Exemple : ainsi un vecteur
x
∈
E
{\displaystyle \;x\;\in E\;}
(
a
,
b
)
{\displaystyle \;\left(a\,,\,b\right)\;}
base canonique
{
B
can
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B_{\text{can}}\right\rbrace \;}
m
a
t
{
B
can
}
(
x
)
=
[
a
b
]
{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B_{\text{can}}\right\rbrace }\!\left(x\right)=\left[{\begin{array}{c}a\\b\end{array}}\right]\;}
Exemple : ainsi un vecteur
x
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{x\;\in E}\;}
a pour image, par similitude directe
S
{\displaystyle \;{\mathcal {S}}}
S
(
x
)
∈
E
{\displaystyle \;{\mathcal {S}}(x)\;\in E\;}
(
a
′
,
b
′
)
{\displaystyle \;\left(a'\,,\,b'\right)\;}
base canonique
{
B
can
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B_{\text{can}}\right\rbrace \;}
m
a
t
{
B
can
}
[
S
(
x
)
]
=
{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B_{\text{can}}\right\rbrace }\!\left[{\mathcal {S}}(x)\right]=}
[
1
−
1
1
1
]
×
[
a
b
]
=
[
a
−
b
a
+
b
]
{\displaystyle \left[{\begin{array}{c}1&-1\\1&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}a\\b\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}a-b\\a+b\end{array}}\right]\;}
{
a
′
=
a
−
b
b
′
=
a
+
b
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}a'=a-b\\b'=a+b\end{array}}\right\rbrace \;}
ère d'un espace vectoriel E de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel F de dimension m de base C et la 2ème de l'espace vectoriel F de dimension m de base C dans un espace vectoriel G de dimension p de base D
modifier
Considérant trois
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espaces vectoriels avec définition d'une base dans chacun d'eux
un « 1er
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel
E
{\displaystyle \;E\;}
n
{\displaystyle \;n\;}
{
B
}
=
{
b
1
,
⋯
b
j
,
⋯
b
n
}
1
⩽
j
⩽
n
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\cdots b_{j},\cdots b_{n}\right\rbrace _{1\leqslant j\leqslant n}\;}
E
{\displaystyle \;E\;}
un « 2ème
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel
F
{\displaystyle \;F\;}
m
{\displaystyle \;m\;}
{
C
}
=
{
c
1
,
⋯
c
i
,
⋯
c
m
}
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace c_{1},\cdots c_{i},\cdots c_{m}\right\rbrace _{1\leqslant i\leqslant m}\;}
F
{\displaystyle \;F\;}
un « 3ème
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel
G
{\displaystyle \;G\;}
p
{\displaystyle \;p\;}
{
D
}
=
{
d
1
,
⋯
c
k
,
⋯
d
p
}
1
⩽
k
⩽
p
{\displaystyle \;\left\lbrace D\right\rbrace =\left\lbrace d_{1},\cdots c_{k},\cdots d_{p}\right\rbrace _{1\leqslant k\leqslant p}\;}
G
{\displaystyle \;G\;}
Considérant deux « applications linéaires
φ
{\displaystyle \;\varphi \;}
E
{\displaystyle \;E\;}
F
{\displaystyle \;F\;}
ψ
{\displaystyle \;\psi \;}
F
{\displaystyle \;F\;}
G
{\displaystyle \;G\;}
on appelle « matrice composée de l'application linéaire
ψ
∘
φ
{\displaystyle \;\psi \circ \varphi \;}
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel
E
{\displaystyle \;E\;}
n
{\displaystyle \;n\;}
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace \;}
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel
G
{\displaystyle \;G\;}
p
{\displaystyle \;p\;}
{
D
}
{\displaystyle \;\left\lbrace D\right\rbrace \;}
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel intermédiaire
F
{\displaystyle \;F\;}
m
{\displaystyle \;m\;}
{
C
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace \;}
On appelle « la matrice de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
(
p
,
n
)
{\displaystyle \;\left(p\,,\,n\right)\;}
m
a
t
{
B
}
,
{
D
}
(
ψ
∘
φ
)
∈
M
p
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace D\right\rbrace }\!\left(\psi \circ \varphi \right)\in M_{p,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
telle que
«
m
a
t
{
B
}
,
{
C
}
(
φ
)
∈
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
application linéaire
φ
{\displaystyle \;\varphi \;}
(
{
B
}
,
{
C
}
)
{\displaystyle \;\left(\left\lbrace B\right\rbrace \,,\,\left\lbrace C\right\rbrace \right)\;}
m
a
t
{
C
}
,
{
D
}
(
ψ
)
∈
M
p
,
m
(
R
)
{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace D\right\rbrace }\!\left(\psi \right)\in M_{p,\,m}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
étant la matrice de l'application linéaire
ψ
{\displaystyle \;\psi \;}
(
{
C
}
,
{
D
}
)
{\displaystyle \;\left(\left\lbrace C\right\rbrace \,,\,\left\lbrace D\right\rbrace \right)\;}
matrice composée de l'application linéaire
ψ
∘
φ
{\displaystyle \;\psi \circ \varphi \;}
(
{
B
}
,
{
D
}
)
{\displaystyle \;\left(\left\lbrace B\right\rbrace \,,\,\left\lbrace D\right\rbrace \right)\;}
{
m
a
t
{
B
}
,
{
D
}
(
ψ
∘
φ
)
=
m
a
t
{
C
}
,
{
D
}
(
ψ
)
×
m
a
t
{
B
}
,
{
C
}
(
φ
)
∈
M
p
,
n
(
R
)
∈
M
p
,
m
(
R
)
∈
M
m
,
n
(
R
)
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace D\right\rbrace }\!\left(\psi \circ \varphi \right)&=&\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace D\right\rbrace }\!\left(\psi \right)&\times &\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\\\in \;M_{p,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)&&\in \;M_{p,\,m}\!\left(\mathbb {R} \right)&&\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\end{array}}\right\rbrace \;}
modifier
Considérant deux
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espaces vectoriels avec définition de deux bases distinctes dans chacun d'eux
un « 1er
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel
E
{\displaystyle \;E\;}
n
{\displaystyle \;n\;}
(
{
B
}
=
{
b
1
,
⋯
b
j
,
⋯
b
n
}
1
⩽
j
⩽
n
{
B
′
}
=
{
b
′
1
,
⋯
b
′
j
,
⋯
b
′
n
}
1
⩽
j
⩽
n
)
{\displaystyle \;\left({\begin{array}{c}\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\cdots b_{j},\cdots b_{n}\right\rbrace _{1\leqslant j\leqslant n}\\\left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {b'}_{1},\cdots {b'}_{j},\cdots {b'}_{n}\right\rbrace _{1\leqslant j\leqslant n}\end{array}}\right)\;}
E
{\displaystyle \;E\;}
un « 2ème
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel
F
{\displaystyle \;F\;}
m
{\displaystyle \;m\;}
(
{
C
}
=
{
c
1
,
⋯
c
i
,
⋯
c
m
}
1
⩽
i
⩽
m
{
C
′
}
=
{
c
′
1
,
⋯
c
′
i
,
⋯
c
′
m
}
1
⩽
i
⩽
m
)
{\displaystyle \;\left({\begin{array}{c}\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace c_{1},\cdots c_{i},\cdots c_{m}\right\rbrace _{1\leqslant i\leqslant m}\\\left\lbrace C'\right\rbrace =\left\lbrace {c'}_{1},\cdots {c'}_{i},\cdots {c'}_{m}\right\rbrace _{1\leqslant i\leqslant m}\end{array}}\right)\;}
F
{\displaystyle \;F\;}
Considérant une « application linéaire
φ
{\displaystyle \;\varphi \;}
E
{\displaystyle \;E\;}
F
{\displaystyle \;F\;}
application linéaire
φ
{\displaystyle \;\varphi \;}
« la matrice
m
a
t
{
B
}
,
{
C
}
(
φ
)
∈
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
application linéaire
φ
{\displaystyle \;\varphi \;}
(
{
B
}
,
{
C
}
)
{\displaystyle \;\left(\left\lbrace B\right\rbrace \,,\,\left\lbrace C\right\rbrace \right)\;}
« la matrice
m
a
t
{
B
′
}
,
{
C
′
}
(
φ
)
∈
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace ,\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
application linéaire
φ
{\displaystyle \;\varphi \;}
(
{
B
′
}
,
{
C
′
}
)
{\displaystyle \;\left(\left\lbrace B'\right\rbrace \,,\,\left\lbrace C'\right\rbrace \right)\;}
on se propose de « déterminer la matrice
m
a
t
{
B
′
}
,
{
C
′
}
(
φ
)
∈
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace ,\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
m
a
t
{
B
}
,
{
C
}
(
φ
)
∈
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
matrices de passage
[
P
]
{
B
}
→
{
B
′
}
∈
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace \;}
{
B
′
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B'\right\rbrace \;}
[
Q
]
{
C
}
→
{
C
′
}
∈
M
m
(
R
)
{\displaystyle \;\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }\in M_{m}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
{
C
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace \;}
{
C
′
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C'\right\rbrace \;}
on se propose de « déterminer les conséquences sur la matrice de l'application linéaire
φ
{\displaystyle \;\varphi \;}
E
{\displaystyle \;E\;}
F
{\displaystyle \;F\;}
«
m
a
t
{
B
′
}
,
{
C
′
}
(
φ
)
=
[
Q
]
{
C
}
→
{
C
′
}
−
1
×
m
a
t
{
B
}
,
{
C
}
(
φ
)
×
[
P
]
{
B
}
→
{
B
′
}
{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace ,\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\;}
[
Q
]
{
C
}
→
{
C
′
}
−
1
{\displaystyle \;\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }^{\,-1}\;}
matrice inverse [ 47]
[
Q
]
{
C
}
→
{
C
′
}
{\displaystyle \;\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }\;}
[ 60]
on se propose de Justification : Appliquant
φ
{\displaystyle \;\varphi \;}
x
∈
E
{\displaystyle \;x\;\in \;E\;}
{
B
}
=
{
b
1
,
⋯
b
j
,
⋯
b
n
}
1
⩽
j
⩽
n
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\cdots b_{j},\cdots b_{n}\right\rbrace _{1\leqslant j\leqslant n}\;}
m
a
t
{
B
}
(
x
)
{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace }(x)\;}
φ
(
x
)
∈
F
{\displaystyle \;\varphi (x)\;\in \;F\;}
{
C
}
=
{
c
1
,
⋯
c
i
,
⋯
c
m
}
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace c_{1},\cdots c_{i},\cdots c_{m}\right\rbrace _{1\leqslant i\leqslant m}\;}
m
a
t
{
C
}
[
φ
(
x
)
]
{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]\;}
on se propose de Justification : notant «
m
a
t
{
B
}
,
{
C
}
(
φ
)
∈
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
application linéaire
φ
{\displaystyle \;\varphi \;}
(
{
B
}
,
{
C
}
)
{\displaystyle \;\left(\left\lbrace B\right\rbrace \,,\,\left\lbrace C\right\rbrace \right)\;}
m
a
t
{
C
}
[
φ
(
x
)
]
{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]\;}
m
a
t
{
B
}
(
x
)
{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace }(x)\;}
m
a
t
{
C
}
[
φ
(
x
)
]
=
m
a
t
{
B
}
,
{
C
}
(
φ
)
×
m
a
t
{
B
}
(
x
)
{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]=\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace }(x)\;}
[ 61] on se propose de Justification : notant «
[
P
]
{
B
}
→
{
B
′
}
∈
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
matrice de passage de la base
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace \;}
{
B
′
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B'\right\rbrace \;}
m
a
t
{
B
}
(
x
)
{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace }(x)\;}
x
∈
E
{\displaystyle \;x\;\in \;E\;}
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace \;}
m
a
t
{
B
′
}
(
x
)
{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace }(x)\;}
x
∈
E
{\displaystyle \;x\;\in \;E\;}
{
B
′
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B'\right\rbrace \;}
m
a
t
{
B
}
(
x
)
=
[
P
]
{
B
}
→
{
B
′
}
×
m
a
t
{
B
′
}
(
x
)
{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace }(x)=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace }(x)\;}
[ 62]
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
m
a
t
{
C
}
[
φ
(
x
)
]
{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]\;}
φ
(
x
)
∈
F
{\displaystyle \;\varphi (x)\;\in \;F\;}
{
C
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace \;}
m
a
t
{
B
′
}
(
x
)
{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace }(x)\;}
x
∈
E
{\displaystyle \;x\;\in \;E\;}
{
B
′
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B'\right\rbrace \;}
m
a
t
{
C
}
[
φ
(
x
)
]
=
m
a
t
{
B
}
,
{
C
}
(
φ
)
×
{
[
P
]
{
B
}
→
{
B
′
}
×
m
a
t
{
B
′
}
(
x
)
}
=
{
m
a
t
{
B
}
,
{
C
}
(
φ
)
×
[
P
]
{
B
}
→
{
B
′
}
}
×
m
a
t
{
B
′
}
(
x
)
{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]=\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left\lbrace \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace }(x)\right\rbrace =\left\lbrace \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\right\rbrace \times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace }(x)\;}
[ 63] on se propose de Justification : notant «
[
Q
]
{
C
}
→
{
C
′
}
∈
M
m
(
R
)
{\displaystyle \;\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }\in M_{m}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
matrice de passage de la base
{
C
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace \;}
{
C
′
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C'\right\rbrace \;}
{
C
′
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C'\right\rbrace \;}
{
C
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace \;}
[
Q
]
{
C
}
→
{
C
′
}
−
1
∈
M
m
(
R
)
{\displaystyle \;\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }^{\,-1}\in M_{m}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
m
a
t
{
C
′
}
[
φ
(
x
)
]
{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]\;}
φ
(
x
)
∈
F
{\displaystyle \;\varphi (x)\;\in \;F\;}
{
C
′
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C'\right\rbrace \;}
m
a
t
{
C
}
[
φ
(
x
)
]
{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]\;}
φ
(
x
)
∈
F
{\displaystyle \;\varphi (x)\;\in \;F\;}
{
C
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace \;}
«
m
a
t
{
C
′
}
[
φ
(
x
)
]
{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]}
=
[
Q
]
{
C
}
→
{
C
′
}
−
1
×
m
a
t
{
C
}
[
φ
(
x
)
]
{\displaystyle =\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]\;}
[ 62]
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
m
a
t
{
C
′
}
[
φ
(
x
)
]
{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]\;}
φ
(
x
)
∈
F
{\displaystyle \;\varphi (x)\;\in \;F\;}
{
C
′
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C'\right\rbrace \;}
m
a
t
{
B
′
}
(
x
)
{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace }(x)\;}
x
∈
E
{\displaystyle \;x\;\in \;E\;}
{
B
′
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B'\right\rbrace \;}
m
a
t
{
C
′
}
[
φ
(
x
)
]
=
[
Q
]
{
C
}
→
{
C
′
}
−
1
×
⟨
{
m
a
t
{
B
}
,
{
C
}
(
φ
)
×
[
P
]
{
B
}
→
{
B
′
}
}
×
m
a
t
{
B
′
}
(
x
)
⟩
=
{
[
Q
]
{
C
}
→
{
C
′
}
−
1
×
m
a
t
{
B
}
,
{
C
}
(
φ
)
×
[
P
]
{
B
}
→
{
B
′
}
}
×
m
a
t
{
B
′
}
(
x
)
(
a
)
{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]=\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }^{\,-1}\times {\bigg \langle }\left\lbrace \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\right\rbrace \times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace }(x){\bigg \rangle }=\left\lbrace \left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\right\rbrace \times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace }(x)\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)}
[ 63] on se propose de Justification : pour terminer, notant «
m
a
t
{
B
′
}
,
{
C
′
}
(
φ
)
∈
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace ,\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
application linéaire
φ
{\displaystyle \;\varphi \;}
(
{
B
′
}
,
{
C
′
}
)
{\displaystyle \;\left(\left\lbrace B'\right\rbrace \,,\,\left\lbrace C'\right\rbrace \right)\;}
m
a
t
{
C
′
}
[
φ
(
x
)
]
{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]\;}
φ
(
x
)
∈
F
{\displaystyle \;\varphi (x)\;\in \;F\;}
{
C
′
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C'\right\rbrace \;}
m
a
t
{
B
′
}
(
x
)
{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace }(x)\;}
x
∈
E
{\displaystyle \;x\;\in \;E\;}
{
B
′
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B'\right\rbrace \;}
m
a
t
{
C
′
}
[
φ
(
x
)
]
=
m
a
t
{
B
′
}
,
{
C
′
}
(
φ
)
×
m
a
t
{
B
′
}
(
x
)
{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]=\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace ,\,\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace }(x)\;}
[ 61] on se propose de Justification : pour terminer, par identification avec la relation
(
a
)
{\displaystyle \;\left({\mathfrak {a}}\right)\;}
valable
∀
x
∈
E
{\displaystyle \;\forall \;x\;\in \;E}
m
a
t
{
B
′
}
,
{
C
′
}
(
φ
)
=
[
Q
]
{
C
}
→
{
C
′
}
−
1
×
m
a
t
{
B
}
,
{
C
}
(
φ
)
×
[
P
]
{
B
}
→
{
B
′
}
{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace ,\,\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\;}
[ 31]
Cas particulier : Soit «
φ
∈
L
(
E
)
{\displaystyle \;\varphi \;\in L(E)\;}
endomorphisme du
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel
E
{\displaystyle \;E\;}
n
{\displaystyle \;n\;}
(
{
B
}
=
{
b
1
,
⋯
b
j
,
⋯
b
n
}
1
⩽
j
⩽
n
{
B
′
}
=
{
b
′
1
,
⋯
b
′
j
,
⋯
b
′
n
}
1
⩽
j
⩽
n
)
{\displaystyle \;\left({\begin{array}{c}\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\cdots b_{j},\cdots b_{n}\right\rbrace _{1\leqslant j\leqslant n}\\\left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {b'}_{1},\cdots {b'}_{j},\cdots {b'}_{n}\right\rbrace _{1\leqslant j\leqslant n}\end{array}}\right)\;}
Cas particulier : Soit «
[
P
]
{
B
}
→
{
B
′
}
∈
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
matrice de passage de la base
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace \;}
{
B
′
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B'\right\rbrace \;}
Cas particulier : « les matrices de l'endomorphisme
φ
{\displaystyle \;\varphi \;}
E
{\displaystyle \;E\;}
(
{
B
}
,
{
B
}
)
{\displaystyle \;\left(\left\lbrace B\right\rbrace \,,\,\left\lbrace B\right\rbrace \right)\;}
(
{
B
′
}
,
{
B
′
}
)
{\displaystyle \;\left(\left\lbrace B'\right\rbrace \,,\,\left\lbrace B'\right\rbrace \right)\;}
«
m
a
t
{
B
′
}
,
{
B
′
}
(
φ
)
=
[
P
]
{
B
}
→
{
B
′
}
−
1
×
m
a
t
{
B
}
,
{
B
}
(
φ
)
×
[
P
]
{
B
}
→
{
B
′
}
{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace ,\left\lbrace B'\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\;}
Cas particulier : « les matrices de l'endomorphisme
φ
{\displaystyle \;\color {transparent}{\varphi }\;}
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{E}\;}
sont qualifiées de « matrices semblables »
{
{\displaystyle \;{\Big \{}}
(
[
A
]
,
[
B
]
)
∈
{
M
n
(
R
)
}
2
{\displaystyle \;\left(\left[A\right]\,,\,\left[B\right]\right)\in \left\lbrace M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\right\rbrace ^{2}\;}
semblables »
∃
[
P
]
∈
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;\exists \;\left[P\right]\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
inversible
[
A
]
×
[
P
]
=
[
P
]
×
[
B
]
{\displaystyle \;\left[A\right]\times \left[P\right]=\left[P\right]\times \left[B\right]\;}
⇕
{\displaystyle \Updownarrow }
[
A
]
=
[
P
]
×
[
B
]
×
[
P
]
−
1
{\displaystyle \;\left[A\right]=\left[P\right]\times \left[B\right]\times \left[P\right]^{-1}\;}
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
[
B
]
=
[
P
]
−
1
×
[
A
]
×
[
P
]
{\displaystyle \;\left[B\right]=\left[P\right]^{-1}\times \left[A\right]\times \left[P\right]\;}
}
{\displaystyle {\Big \}}}
↑ Branche des mathématiques s'intéressant aux espaces vectoriels
{
{\displaystyle \;{\Big \{}}
E
{\displaystyle \;E\;}
corps commutatif
K
{\displaystyle \;K\;}
corps
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} \;}
Branche des mathématiques s'intéressant aux espaces vectoriels
{
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Big \{}}
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{E}\;}
munis de deux lois :
▹
{\displaystyle \triangleright \;}
+
{\displaystyle \;+\;}
somme vectorielle » Branche des mathématiques s'intéressant aux espaces vectoriels
{
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Big \{}}
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{E}\;}
▹
{\displaystyle \color {transparent}{\triangleright }\;}
«
E
2
→
+
E
{\displaystyle \;E^{2}\;{\overset {+}{\rightarrow }}\;E\;}
Branche des mathématiques s'intéressant aux espaces vectoriels
{
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Big \{}}
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{E}\;}
▹
{\displaystyle \triangleright \;}
⋅
{\displaystyle \;\cdot \;}
multiplication par un scalaire » Branche des mathématiques s'intéressant aux espaces vectoriels
{
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Big \{}}
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{E}\;}
▹
{\displaystyle \color {transparent}{\triangleright }\;}
«
K
×
E
→
⋅
E
{\displaystyle \;K\times E\;{\overset {\cdot }{\rightarrow }}\;E\;}
Branche des mathématiques s'intéressant aux espaces vectoriels
{
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Big \{}}
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{E}\;}
avec les propriétés suivantes :
≻
{\displaystyle \succ \;}
(
E
,
+
)
{\displaystyle (E,\;+)\;}
groupe abélien (ou commutatif) Branche des mathématiques s'intéressant aux espaces vectoriels
{
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Big \{}}
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{E}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
[
{\displaystyle {\big [}}
+
{\displaystyle \;+\;}
Branche des mathématiques s'intéressant aux espaces vectoriels
{
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Big \{}}
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{E}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
[
{\displaystyle \color {transparent}{\big [}}
+
{\displaystyle \;\color {transparent}{+}\;}
admet un élément neutre noté
0
E
{\displaystyle \;0_{E}\;}
Branche des mathématiques s'intéressant aux espaces vectoriels
{
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Big \{}}
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{E}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
[
{\displaystyle \color {transparent}{\big [}}
+
{\displaystyle \;\color {transparent}{+}\;}
telle que tout vecteur
v
{\displaystyle \;v\;}
−
v
{\displaystyle \;-v\;}
Branche des mathématiques s'intéressant aux espaces vectoriels
{
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Big \{}}
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{E}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
[
{\displaystyle \color {transparent}{\big [}}
+
{\displaystyle \;\color {transparent}{+}\;}
est commutative
]
{\displaystyle {\big ]}\;}
Branche des mathématiques s'intéressant aux espaces vectoriels
{
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Big \{}}
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{E}\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
⋅
{\displaystyle \;\cdot \;}
distributive à gauche par rapport à la loi «
+
{\displaystyle \;+\;}
E
{\displaystyle \;E}
Branche des mathématiques s'intéressant aux espaces vectoriels
{
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Big \{}}
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{E}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
[
{\displaystyle {\big [}}
λ
∈
K
{\displaystyle \;\lambda \in K\;}
(
u
,
v
)
∈
E
2
{\displaystyle \;\left(u\,,\,v\right)\in E^{2}}
λ
⋅
(
u
+
v
)
=
λ
⋅
u
+
λ
⋅
v
]
{\displaystyle \;\lambda \cdot \left(u+v\right)=\lambda \cdot u+\lambda \cdot v{\big ]}\;}
Branche des mathématiques s'intéressant aux espaces vectoriels
{
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Big \{}}
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{E}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
⋅
{\displaystyle \;\color {transparent}{\cdot }\;}
à droite par rapport à l'addition de
K
{\displaystyle \;K}
Branche des mathématiques s'intéressant aux espaces vectoriels
{
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Big \{}}
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{E}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
[
{\displaystyle {\big [}}
(
λ
,
μ
)
∈
K
2
{\displaystyle \;\left(\lambda \,,\,\mu \right)\in K^{2}\;}
u
∈
E
{\displaystyle \;u\in E}
(
λ
+
μ
)
⋅
u
=
λ
⋅
u
+
μ
⋅
u
]
{\displaystyle \;\left(\lambda +\mu \right)\cdot u=\lambda \cdot u+\mu \cdot u{\big ]}}
Branche des mathématiques s'intéressant aux espaces vectoriels
{
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Big \{}}
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{E}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
⋅
{\displaystyle \;\color {transparent}{\cdot }\;}
associative mixte par rapport à la multiplication dans
K
{\displaystyle \;K}
Branche des mathématiques s'intéressant aux espaces vectoriels
{
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Big \{}}
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{E}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
[
{\displaystyle {\big [}}
(
λ
,
μ
)
∈
K
2
{\displaystyle \;\left(\lambda \,,\,\mu \right)\in K^{2}\;}
u
∈
E
{\displaystyle \;u\in E}
(
λ
μ
)
⋅
u
=
λ
⋅
(
μ
⋅
u
)
]
{\displaystyle \;\left(\lambda \;\mu \right)\cdot u=\lambda \cdot \left(\mu \cdot u\right){\big ]}}
Branche des mathématiques s'intéressant aux espaces vectoriels
{
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Big \{}}
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{E}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
⋅
{\displaystyle \;\color {transparent}{\cdot }\;}
telle que l'élément neutre multiplicatif de
K
{\displaystyle \;K\;}
1
K
{\displaystyle \;1_{K}\;}
Branche des mathématiques s'intéressant aux espaces vectoriels
{
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Big \{}}
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{E}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
⋅
{\displaystyle \;\color {transparent}{\cdot }\;}
est neutre à gauche pour «
⋅
{\displaystyle \;\cdot \;}
Branche des mathématiques s'intéressant aux espaces vectoriels
{
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Big \{}}
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{E}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
⋅
{\displaystyle \;\color {transparent}{\cdot }\;}
[
{\displaystyle {\big [}}
u
∈
E
{\displaystyle \;u\in E}
1
K
⋅
u
=
u
]
}
{\displaystyle \;1_{K}\cdot u=u{\big ]}{\Big \}}}
Niels Henrich Abel (1802 - 1829)analyse mathématique et aussi sur la résolution des équations en algèbre
…
{\displaystyle \;\ldots }
↑ Pour
E
{\displaystyle \;E\;}
F
{\displaystyle \;F\;}
espaces vectoriels à gauche sur un même corps
K
{\displaystyle \;K}
f
:
E
→
F
{\displaystyle \;f\;:\;E\;\rightarrow \;F\;}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
morphisme de
K
{\displaystyle \;K}
espaces vectoriels
)
{\displaystyle {\big )}\;}
Pour
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{E}\;}
F
{\displaystyle \;\color {transparent}{F}\;}
K
{\displaystyle \;\color {transparent}{K}}
f
:
E
→
F
{\displaystyle \;\color {transparent}{f\;:\;E\;\rightarrow \;F}\;}
ssi
{
∀
(
u
,
v
)
∈
E
2
,
f
(
u
+
v
)
=
f
(
u
)
+
f
(
v
)
∀
λ
∈
K
,
∀
u
∈
E
,
f
(
λ
u
)
=
λ
f
(
u
)
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}\forall \;\left(u\,,\,v\right)\in E^{2},\qquad \!\!&f(u+v)\!\!&=f(u)+f(v)\\\forall \;\lambda \in K,\;\forall \;u\in E,\quad \!\!&f(\lambda \;u)\!\!&=\lambda \;f(u)\end{array}}\right\rbrace }
↑ En toute rigueur il est possible d'admettre les valeurs nulles pour
m
{\displaystyle \;m\;}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
n
{\displaystyle \;n}
matrice correspondante en absence de lignes ou
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}\;}
matrice vide » ;
(
m
,
n
)
{\displaystyle \;\left(m\,,\,n\right)\;}
[
N
∗
]
2
{\displaystyle \;\left[\mathbb {N} ^{*}\right]^{2}\;}
↑ Le couple
(
m
,
n
)
{\displaystyle \;\left(m\,,\,n\right)\;}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}\;}
matrice .
↑ Les matrices de taille
(
1
,
1
)
{\displaystyle \;\left(1\,,\,1\right)\;}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
K
]
{\displaystyle \;K{\big ]}}
(
i
,
j
)
{\displaystyle \;\left(i\,,\,j\right)\;}
≠
{\displaystyle \;\neq \;}
1
{\displaystyle \;1\;}
↑ Nous nous limiterons a priori aux matrices définies sur
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} \;}
C
…
{\displaystyle \;\mathbb {C} \;\ldots }
↑ Le terme générique de la matrice
[
A
]
{\displaystyle \;\left[A\right]\;}
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} \;}
a
i
,
j
∈
R
{\displaystyle \;a_{i,\,j}\in \mathbb {R} }
[
A
]
{\displaystyle \;\left[A\right]\;}
C
{\displaystyle \;\mathbb {C} \;}
a
i
,
j
∈
C
…
{\displaystyle \;a_{i,\,j}\in \mathbb {C} \;\ldots }
↑ 8,0 8,1 8,2 Ou plus simplement
(
a
i
,
j
)
{\displaystyle \;\left(a_{i,\,j}\right)\;}
↑ Ces éléments sont appelés « diagonaux ».
↑ Ou
[
A
]
T
{\displaystyle \;\left[A\right]^{T}\;}
[
A
]
t
{\displaystyle \;\left[A\right]^{t}}
↑ Ou plus simplement
(
a
j
,
i
)
{\displaystyle \;\left(a_{j,\,i}\right)\;}
↑ La diagonale principale d'une matrice est l'ensemble des positions pour lesquelles le numéro de ligne est égal au numéro de colonne.
↑ 14,0 14,1 14,2 14,3 Sur l'animation la matrice
[
A
]
{\displaystyle \;\left[A\right]\;}
A
{\displaystyle \;A}
matrice transposée
t
[
A
]
{\displaystyle \;^{t\!}\left[A\right]\;}
A
T
{\displaystyle \;A^{T}\;}
matrice transposée de la transposée
t
{
t
[
A
]
}
{\displaystyle \;^{t\!}\left\lbrace ^{t\!}\left[A\right]\right\rbrace \;}
(
A
T
)
T
{\displaystyle \;\left(A^{T}\right)^{T}}
↑ 15,0 15,1 15,2 Les nombres
m
{\displaystyle \;m\;}
n
{\displaystyle \;n\;}
N
∗
{\displaystyle \;\mathbb {N} ^{*}\;}
≠
{\displaystyle \;\neq \;}
1
{\displaystyle \;1\;}
↑ 16,0 16,1 16,2 16,3 16,4 16,5 16,6 C.-à-d. que la loi de composition interne est associative, commutative, admet un élément neutre et possède la propriété suivante : pour tout élément de l'ensemble existe un élément unique telle que la composition de ces deux éléments donne l'élément neutre
[
{\displaystyle \;{\big [}}
0
{\displaystyle \;0\;}
a
{\displaystyle \;a\;}
0
{\displaystyle \;0\;}
−
a
{\displaystyle \;-a\;}
a
)
{\displaystyle \;a{\big )}}
Niels Henrich Abel (1802 - 1829)analyse mathématique et aussi sur la résolution des équations en algèbre
…
{\displaystyle \;\ldots }
↑ La multiplication par un scalaire se fait aussi bien à gauche qu'à droite, dans ce cas la loi est l'application
M
m
,
n
(
R
)
×
R
→
⋅
M
m
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\times \mathbb {R} \;{\overset {\cdot }{\rightarrow }}\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}
↑ Voir le paragraphe « addition de matrices de même dimension (ou taille) » plus haut dans ce chapitre.
↑ 19,0 19,1 19,2 19,3 Voir le paragraphe « multiplication par un scalaire » plus haut dans ce chapitre.
↑ Mais nous l'admettrons.
↑ 21,0 21,1 21,2 21,3 C'est le nombre de vecteurs indépendants permettant de générer un élément quelconque de l'espace vectoriel .
↑ 22,0 22,1 Leopold Kronecker (1823 - 1891)
1850
{\displaystyle \;1850\;}
équation quintique en utilisant la théorie des groupes .
↑ Les nombres
n
{\displaystyle \;n\;}
p
{\displaystyle \;p\;}
N
∗
{\displaystyle \;\mathbb {N} ^{*}\;}
≠
{\displaystyle \;\neq \;}
1
{\displaystyle \;1}
n
{\displaystyle \;n\;}
er facteur du produit
…
{\displaystyle \;\ldots }
↑ Avec les restrictions pratiques imposées sur
(
m
,
n
)
{\displaystyle \;\left(m\,,\,n\right)\;}
(
n
,
p
)
{\displaystyle \;\left(n\,,\,p\right)}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
m
{\displaystyle \;m\;}
n
{\displaystyle \;n\;}
N
∗
{\displaystyle \;\mathbb {N} ^{*}\;}
≠
{\displaystyle \;\neq \;}
1
{\displaystyle \;1}
p
{\displaystyle \;p\;}
N
∗
{\displaystyle \;\mathbb {N} ^{*}\;}
n
{\displaystyle \;n\;}
p
{\displaystyle \;p\;}
≠
{\displaystyle \neq \;}
1
]
{\displaystyle \;1{\big ]}}
matrice de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
(
1
,
1
)
{\displaystyle \;\left(1\,,\,1\right)\;}
matrice ligne de
M
1
,
n
(
R
)
{\displaystyle \;M_{1,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
matrice colonne de
M
n
,
1
(
R
)
…
{\displaystyle \;M_{n,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;\ldots }
↑ Les nombres
q
{\displaystyle \;q\;}
m
{\displaystyle \;m\;}
N
∗
{\displaystyle \;\mathbb {N} ^{*}\;}
≠
{\displaystyle \;\neq \;}
1
{\displaystyle \;1}
m
{\displaystyle \;m\;}
ème facteur du produit
…
{\displaystyle \;\ldots }
↑ Avec les restrictions pratiques imposées sur
(
m
,
n
)
{\displaystyle \;\left(m\,,\,n\right)\;}
(
q
,
m
)
{\displaystyle \;\left(q\,,\,m\right)}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
m
{\displaystyle \;m\;}
n
{\displaystyle \;n\;}
N
∗
{\displaystyle \;\mathbb {N} ^{*}\;}
≠
{\displaystyle \;\neq \;}
1
{\displaystyle \;1}
q
{\displaystyle \;q\;}
N
∗
{\displaystyle \;\mathbb {N} ^{*}\;}
q
{\displaystyle \;q\;}
m
{\displaystyle \;m\;}
≠
{\displaystyle \neq \;}
1
]
{\displaystyle \;1{\big ]}}
matrice de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
(
1
,
1
)
{\displaystyle \;\left(1\,,\,1\right)\;}
matrice colonne de
M
m
,
1
(
R
)
{\displaystyle \;M_{m,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
matrice ligne de
M
1
,
m
(
R
)
…
{\displaystyle \;M_{1,\,m}\!\left(\mathbb {R} \right)\;\ldots }
↑ En effet
c
1
,
1
=
a
1
,
1
b
1
,
1
+
a
1
,
2
b
2
,
1
=
1
×
7
+
2
×
8
=
23
{\displaystyle \;c_{1,\,1}=a_{1,\,1}\;b_{1,\,1}+a_{1,\,2}\;b_{2,\,1}=1\times 7+2\times 8=23}
c
1
,
2
=
a
1
,
1
b
1
,
2
+
a
1
,
2
b
2
,
2
=
1
×
9
+
2
×
10
=
29
{\displaystyle \;c_{1,\,2}=a_{1,\,1}\;b_{1,\,2}+a_{1,\,2}\;b_{2,\,2}=1\times 9+2\times 10=29}
En effet
c
1
,
3
=
a
1
,
1
b
1
,
3
+
a
1
,
2
b
2
,
3
=
1
×
11
+
2
×
12
=
35
{\displaystyle \;c_{1,\,3}=a_{1,\,1}\;b_{1,\,3}+a_{1,\,2}\;b_{2,\,3}=1\times 11+2\times 12=35}
c
2
,
1
=
a
2
,
1
b
1
,
1
+
a
2
,
2
b
2
,
1
=
3
×
7
+
4
×
8
=
53
{\displaystyle \;c_{2,\,1}=a_{2,\,1}\;b_{1,\,1}+a_{2,\,2}\;b_{2,\,1}=3\times 7+4\times 8=53}
En effet
c
2
,
2
=
a
2
,
1
b
1
,
2
+
a
2
,
2
b
2
,
2
=
3
×
9
+
4
×
10
=
67
{\displaystyle \;c_{2,\,2}=a_{2,\,1}\;b_{1,\,2}+a_{2,\,2}\;b_{2,\,2}=3\times 9+4\times 10=67}
c
2
,
3
=
a
2
,
1
b
1
,
3
+
a
2
,
2
b
2
,
3
=
3
×
11
+
4
×
12
=
81
{\displaystyle \;c_{2,\,3}=a_{2,\,1}\;b_{1,\,3}+a_{2,\,2}\;b_{2,\,3}=3\times 11+4\times 12=81}
En effet
c
3
,
1
=
a
3
,
1
b
1
,
1
+
a
3
,
2
b
2
,
1
=
5
×
7
+
6
×
8
=
83
{\displaystyle \;c_{3,\,1}=a_{3,\,1}\;b_{1,\,1}+a_{3,\,2}\;b_{2,\,1}=5\times 7+6\times 8=83}
c
3
,
2
=
a
3
,
1
b
1
,
2
+
a
3
,
2
b
2
,
2
=
5
×
9
+
6
×
10
=
105
{\displaystyle \;c_{3,\,2}=a_{3,\,1}\;b_{1,\,2}+a_{3,\,2}\;b_{2,\,2}=5\times 9+6\times 10=105\;}
En effet
c
3
,
3
=
a
3
,
1
b
1
,
3
+
a
3
,
2
b
2
,
3
=
5
×
11
+
6
×
12
=
127
{\displaystyle \;c_{3,\,3}=a_{3,\,1}\;b_{1,\,3}+a_{3,\,2}\;b_{2,\,3}=5\times 11+6\times 12=127}
↑ En effet
d
1
,
1
=
b
1
,
1
a
1
,
1
+
b
1
,
2
a
2
,
1
+
b
1
,
3
a
3
,
1
=
7
×
1
+
9
×
3
+
11
×
5
=
89
{\displaystyle \;d_{1,\,1}=b_{1,\,1}\;a_{1,\,1}+b_{1,\,2}\;a_{2,\,1}+b_{1,\,3}\;a_{3,\,1}=7\times 1+9\times 3+11\times 5=89}
En effet
d
1
,
2
=
b
1
,
1
a
1
,
2
+
b
1
,
2
a
2
,
2
+
b
1
,
3
a
3
,
2
=
7
×
2
+
9
×
4
+
11
×
6
=
116
{\displaystyle \;d_{1,\,2}=b_{1,\,1}\;a_{1,\,2}+b_{1,\,2}\;a_{2,\,2}+b_{1,\,3}\;a_{3,\,2}=7\times 2+9\times 4+11\times 6=116}
En effet
d
2
,
1
=
b
2
,
1
a
1
,
1
+
b
2
,
2
a
2
,
1
+
b
2
,
3
a
3
,
1
=
8
×
1
+
10
×
3
+
12
×
5
=
98
{\displaystyle \;d_{2,\,1}=b_{2,\,1}\;a_{1,\,1}+b_{2,\,2}\;a_{2,\,1}+b_{2,\,3}\;a_{3,\,1}=8\times 1+10\times 3+12\times 5=98\;}
En effet
d
2
,
2
=
b
2
,
1
a
1
,
2
+
b
2
,
2
a
2
,
2
+
b
2
,
3
a
3
,
2
=
8
×
2
+
10
×
4
+
12
×
6
=
128
{\displaystyle \;d_{2,\,2}=b_{2,\,1}\;a_{1,\,2}+b_{2,\,2}\;a_{2,\,2}+b_{2,\,3}\;a_{3,\,2}=8\times 2+10\times 4+12\times 6=128}
↑ Sauf quand les deux matrices facteurs sont carrées de même dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
matrices produit de l'une des matrices facteurs par multiplication à droite ou à gauche par l'autre matrice facteur étant alors de même dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}\;}
matrices facteurs.
↑ On vérifie aisément que la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de même dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}\;}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}\;}
matrices «
[
B
]
{\displaystyle \;\left[B\right]\;}
et
[
A
]
{\displaystyle \;\left[A\right]\;}
carrées de même dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
[
B
]
×
[
A
]
≠
[
A
]
×
[
B
]
{\displaystyle \;\left[B\right]\times \left[A\right]\neq \left[A\right]\times \left[B\right]\;}
matrices carrées de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
(
2
,
2
)
{\displaystyle \;\left(2\,,\,2\right)\;}
[
A
]
=
[
1
2
3
4
]
∈
M
2
,
2
(
R
)
{\displaystyle \;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}1&2\\3&4\end{array}}\right]\in M_{2,\,2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
[
B
]
=
[
2
3
4
5
]
∈
M
2
,
2
(
R
)
{\displaystyle \;\left[B\right]=\left[{\begin{array}{c}2&3\\4&5\end{array}}\right]\in M_{2,\,2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
{
[
C
]
=
[
A
]
×
[
B
]
=
[
1
2
3
4
]
×
[
2
3
4
5
]
=
[
10
13
22
29
]
[
D
]
=
[
B
]
×
[
A
]
=
[
2
3
4
5
]
×
[
1
2
3
4
]
=
[
11
16
19
28
]
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[C\right]=\left[A\right]\times \left[B\right]=\left[{\begin{array}{c}1&2\\3&4\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}2&3\\4&5\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}10&13\\22&29\end{array}}\right]\\\left[D\right]=\left[B\right]\times \left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}2&3\\4&5\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}1&2\\3&4\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}11&16\\19&28\end{array}}\right]\end{array}}\right\rbrace \;}
c
1
,
1
=
a
1
,
1
b
1
,
1
+
a
1
,
2
b
2
,
1
=
1
×
2
+
2
×
4
=
10
{\displaystyle \;c_{1,\,1}=a_{1,\,1}\;b_{1,\,1}+a_{1,\,2}\;b_{2,\,1}=1\times 2+2\times 4=10}
d
1
,
1
=
b
1
,
1
a
1
,
1
+
b
1
,
2
a
2
,
1
=
2
×
1
+
3
×
3
=
11
{\displaystyle \;d_{1,\,1}=b_{1,\,1}\;a_{1,\,1}+b_{1,\,2}\;a_{2,\,1}=2\times 1+3\times 3=11}
en effet
c
1
,
2
=
a
1
,
1
b
1
,
2
+
a
1
,
2
b
2
,
2
=
1
×
3
+
2
×
5
=
13
{\displaystyle \;c_{1,\,2}=a_{1,\,1}\;b_{1,\,2}+a_{1,\,2}\;b_{2,\,2}=1\times 3+2\times 5=13}
d
1
,
2
=
b
1
,
1
a
1
,
2
+
b
1
,
2
a
2
,
2
=
2
×
2
+
3
×
4
=
16
{\displaystyle \;d_{1,\,2}=b_{1,\,1}\;a_{1,\,2}+b_{1,\,2}\;a_{2,\,2}=2\times 2+3\times 4=16}
en effet
c
2
,
1
=
a
2
,
1
b
1
,
1
+
a
2
,
2
b
2
,
1
=
3
×
2
+
4
×
4
=
22
{\displaystyle \;c_{2,\,1}=a_{2,\,1}\;b_{1,\,1}+a_{2,\,2}\;b_{2,\,1}=3\times 2+4\times 4=22}
d
2
,
1
=
b
2
,
1
a
1
,
1
+
b
2
,
2
a
2
,
1
=
4
×
1
+
5
×
3
=
19
{\displaystyle \;d_{2,\,1}=b_{2,\,1}\;a_{1,\,1}+b_{2,\,2}\;a_{2,\,1}=4\times 1+5\times 3=19}
en effet
c
2
,
2
=
a
2
,
1
b
1
,
2
+
a
2
,
2
b
2
,
2
=
3
×
3
+
4
×
5
=
29
{\displaystyle \;c_{2,\,2}=a_{2,\,1}\;b_{1,\,2}+a_{2,\,2}\;b_{2,\,2}=3\times 3+4\times 5=29}
d
2
,
2
=
b
2
,
1
a
1
,
2
+
b
2
,
2
a
2
,
2
=
4
×
2
+
5
×
4
=
28
{\displaystyle \;d_{2,\,2}=b_{2,\,1}\;a_{1,\,2}+b_{2,\,2}\;a_{2,\,2}=4\times 2+5\times 4=28}
↑ 31,0 31,1 Ce Qu'il Fallait Démontrer.
↑ 32,0 32,1 32,2 32,3 32,4 32,5 Les matrices de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
(
n
,
n
)
{\displaystyle \;\left(n\,,\,n\right)\;}
carrées de taille
n
{\displaystyle \;n\;}
ensemble de ces matrices définies sur
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} \;}
M
n
(
R
)
{\displaystyle \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}
↑ 33,0 33,1 33,2 33,3 33,4 33,5 Voir le paragraphe « structure d'espace vectoriel de l'ensemble des matrices de dimension (ou taille) fixée » plus haut dans ce chapitre.
↑ À droite
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
↑ 35,0 35,1 35,2 35,3 Voir le paragraphe « particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée » plus haut dans ce chapitre.
↑ Un ensemble
A
{\displaystyle \;{\mathcal {A}}\;}
anneau unitaire s'il est muni de deux lois de composition interne noté
+
{\displaystyle \;+\;}
×
{\displaystyle \;\times \;}
{
A
,
+
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\mathcal {A}}\,,\,+\right\rbrace \;}
groupe abélien (ou commutatif) , Un ensemble
A
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {A}}\;}
+
{\displaystyle \;\color {transparent}{+}\;}
×
{\displaystyle \;\color {transparent}{\times }\;}
{
A
,
×
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\mathcal {A}}\,,\,\times \right\rbrace \;}
monoïde
(
{\displaystyle \;{\big (}}
×
{\displaystyle \;\times \;}
)
{\displaystyle {\big )}\;}
Un ensemble
A
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {A}}\;}
+
{\displaystyle \;\color {transparent}{+}\;}
×
{\displaystyle \;\color {transparent}{\times }\;}
distributivité
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}\;}
×
{\displaystyle \;\times \;}
+
{\displaystyle \;+}
Un ensemble
A
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {A}}\;}
+
{\displaystyle \;\color {transparent}{+}\;}
×
{\displaystyle \;\color {transparent}{\times }\;}
si
×
{\displaystyle \;\times \;}
anneau unitaire est dit non commutatif. Remarques : le qualificatif « unitaire » ajouté au substantif « anneau » n'est pas indispensable car la définition de ce dernier inclut l'existence d'un élément neutre pour
×
{\displaystyle \;\times }
{
A
,
×
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\mathcal {A}}\,,\,\times \right\rbrace \;}
monoïde ; Remarques : quand toutes les propriétés sont présentes sans l'existence d'un élément neutre pour
×
{\displaystyle \;\times }
pseudo-anneau ,
{
A
,
×
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\mathcal {A}}\,,\,\times \right\rbrace \;}
demi-groupe
(
{\displaystyle \;{\big (}}
×
{\displaystyle \;\times \;}
)
{\displaystyle {\big )}}
Remarques : si tous les éléments non nuls du monoïde
{
A
,
×
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\mathcal {A}}\,,\,\times \right\rbrace \;}
A
∖
0
{\displaystyle \;{\mathcal {A}}\,\setminus 0\;}
groupe multiplicatif ,
A
{\displaystyle \;{\mathcal {A}}\;}
corps
(
{\displaystyle \;{\big (}}
commutatif ou non suivant que
×
{\displaystyle \;\times \;}
)
{\displaystyle {\big )}}
↑ Un ensemble
A
{\displaystyle \;{\mathcal {A}}\;}
algèbre associative sur le corps
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} \;}
A
{\displaystyle \;{\mathcal {A}}\;}
+
{\displaystyle \;+\;}
×
{\displaystyle \;\times \;}
Un ensemble
A
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {A}}\;}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;}
A
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {A}}\;}
telles que
{
A
,
+
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\mathcal {A}}\,,\,+\right\rbrace \;}
groupe abélien (ou commutatif) ainsi que Un ensemble
A
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {A}}\;}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;}
A
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {A}}\;}
{
A
∖
0
,
×
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\mathcal {A}}\,\setminus 0\,,\,\times \right\rbrace \;}
est un groupe multiplicatif , soit globalement, Un ensemble
A
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {A}}\;}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;}
A
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {A}}\;}
A
{\displaystyle \;{\mathcal {A}}\;}
anneau unitaire
(
{\displaystyle \;{\big (}}
commutatif ou non
)
{\displaystyle {\big )}\;}
Un ensemble
A
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {A}}\;}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;}
A
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {A}}\;}
une loi de composition externe la « multiplication par un scalaire réel
⋅
{\displaystyle \;\cdot \;}
Un ensemble
A
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {A}}\;}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;}
A
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {A}}\;}
telle que
{
A
,
+
,
⋅
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\mathcal {A}}\,,\,+\,,\,\cdot \right\rbrace \;}
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel , enfin Un ensemble
A
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {A}}\;}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;}
A
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {A}}\;}
la propriété d'« associativité mixte mixte par rapport à la multiplication
×
{\displaystyle \;\times \;}
Remarques : le qualificatif « unitaire » ajouté à « algèbre associative » peut être omis, la définition de ce dernier incluant l'existence d'un élément neutre pour
×
{\displaystyle \;\times }
{
A
∖
0
,
×
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\mathcal {A}}\,\setminus 0\,,\,\times \right\rbrace \;}
groupe ; Remarques : l'« algèbre associative
A
{\displaystyle \;{\mathcal {A}}\;}
{
A
∖
0
,
×
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\mathcal {A}}\,\setminus 0\,,\,\times \right\rbrace \;}
groupe multiplicatif commutatif.
↑ 38,0 38,1 En fait la valeur
1
{\displaystyle \;1\;}
m
{\displaystyle \;m\;}
matrices colonnes de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
(
1
,
1
)
{\displaystyle \;\left(1\,,\,1\right)\;}
…
{\displaystyle \;\ldots }
↑ Par exemple une base non canonique de
R
2
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{2}\;}
{
b
1
,
b
2
}
{\displaystyle \;\left\lbrace b_{1},\,b_{2}\right\rbrace \;}
b
1
=
(
1
,
1
)
{\displaystyle \;b_{1}=\left(1\,,\,1\right)\;}
b
2
=
(
1
,
−
1
)
{\displaystyle \;b_{2}=\left(1\,,\,-1\right)\;}
b
1
=
e
1
+
e
2
{\displaystyle \;b_{1}=e_{1}+e_{2}\;}
b
2
=
e
1
−
e
2
{\displaystyle \;b_{2}=e_{1}-e_{2}\;}
b
1
{\displaystyle \;b_{1}\;}
b
2
{\displaystyle \;b_{2}\;}
base canonique
…
{\displaystyle \;\ldots }
correspondance bijective entre
b
1
{\displaystyle \;b_{1}\;}
matrice colonne
[
b
1
,
1
=
1
b
2
,
1
=
1
]
{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}b_{1,\,1}=1\\b_{2,\,1}=1\end{array}}\right]\;}
ensemble
M
2
,
1
(
R
)
{\displaystyle \;M_{2,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
Dans cet exemple il y a une correspondance bijective entre
b
2
{\displaystyle \;b_{2}\;}
matrice colonne
[
b
1
,
2
=
1
b
2
,
2
=
−
1
]
{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}b_{1,\,2}=1\\b_{2,\,2}=-1\end{array}}\right]\;}
ensemble
M
2
,
1
(
R
)
…
{\displaystyle \;M_{2,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;\ldots }
↑ «
b
k
,
i
{\displaystyle \;b_{k,\,i}\;}
b
i
{\displaystyle \;b_{i}\;}
(
{\displaystyle {\big (}}
ème élément de la base non canonique de
R
m
)
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{m}{\big )}\;}
e
k
{\displaystyle \;e_{k}\;}
(
{\displaystyle {\big (}}
ème élément de la base canonique de
R
m
)
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{m}{\big )}}
canonique et non canonique de
R
2
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{2}\;}
39
↑ 41,0 41,1 Le
m
{\displaystyle \;m}
R
m
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{m}\;}
∑
1
⩽
i
⩽
m
α
i
b
i
{\displaystyle \;\sum \limits _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\alpha _{i}\;b_{i}\;}
b
i
{\displaystyle \;b_{i}\;}
{
b
1
,
⋯
b
i
,
⋯
b
m
}
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;\left\lbrace b_{1},\cdots b_{i},\cdots b_{m}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;}
R
m
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{m}\;}
m
{\displaystyle \;m}
R
2
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{2}\;}
39
↑ 42,0 42,1 42,2 Considérant la base non canonique de
R
2
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{2}\;}
39
{
b
1
,
b
2
}
{\displaystyle \;\left\lbrace b_{1},\,b_{2}\right\rbrace \;}
b
1
=
e
1
+
e
2
{\displaystyle \;b_{1}=e_{1}+e_{2}\;}
b
2
=
e
1
−
e
2
{\displaystyle \;b_{2}=e_{1}-e_{2}\;}
Considérant le
2
{\displaystyle \;2}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
(
a
,
b
)
{\displaystyle \;\left(a\,,\,b\right)\;}
base canonique
(
a
,
b
)
=
a
e
1
+
b
e
2
{\displaystyle \;\left(a\,,\,b\right)=a\;e_{1}+b\;e_{2}\;}
{
b
1
=
e
1
+
e
2
b
2
=
e
1
−
e
2
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}b_{1}=e_{1}+e_{2}\\b_{2}=e_{1}-e_{2}\end{array}}\right\rbrace \;}
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
{
e
1
=
b
1
+
b
2
2
e
2
=
b
1
−
b
2
2
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}e_{1}={\dfrac {b_{1}+b_{2}}{2}}\\e_{2}={\dfrac {b_{1}-b_{2}}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;}
(
a
,
b
)
=
a
b
1
+
b
2
2
+
b
b
1
−
b
2
2
=
a
+
b
2
b
1
+
a
−
b
2
b
2
{\displaystyle \;\left(a\,,\,b\right)=a\;{\dfrac {b_{1}+b_{2}}{2}}+b\;{\dfrac {b_{1}-b_{2}}{2}}={\dfrac {a+b}{2}}\;b_{1}+{\dfrac {a-b}{2}}\;b_{2}\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
correspondance bijective entre le
2
{\displaystyle \;2}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
(
a
,
b
)
{\displaystyle \;\left(a\,,\,b\right)\;}
matrice colonne
[
a
+
b
2
a
−
b
2
]
…
{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {a+b}{2}}\\{\dfrac {a-b}{2}}\end{array}}\right]\;\ldots }
↑ 43,0 43,1 43,2 43,3 Voir le paragraphe « interprétation linéaire d'une matrice colonne de dimension (ou taille) m, matrice coordonnée d'un m-uplet dans une base de Rm » plus haut dans ce chapitre.
↑ Par exemple sur
R
2
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{2}\;}
ère base
{
B
}
=
{
b
1
,
b
2
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\,b_{2}\right\rbrace \;}
39
b
1
=
e
1
+
e
2
{\displaystyle \;b_{1}=e_{1}+e_{2}\;}
b
2
=
e
1
−
e
2
{\displaystyle \;b_{2}=e_{1}-e_{2}\;}
{
e
1
,
e
2
}
{\displaystyle \;\left\lbrace e_{1},\,e_{2}\right\rbrace \;}
base canonique de
R
2
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{2}\;}
{
e
1
=
(
1
,
0
)
e
2
=
(
0
,
1
)
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}e_{1}=\left(1,\,0\right)\\e_{2}=\left(0,\,1\right)\end{array}}\right\rbrace \;}
Par exemple sur
R
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{2}}\;}
comme 2ème base
{
C
}
=
{
e
1
,
e
2
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace e_{1},\,e_{2}\right\rbrace \;}
base canonique de
R
2
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{2}}
{
b
1
=
e
1
+
e
2
b
1
=
e
1
−
e
2
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}b_{1}=e_{1}+e_{2}\\b_{1}=e_{1}-e_{2}\end{array}}\right\rbrace \;}
{
b
1
=
(
1
,
1
)
b
2
=
(
1
,
−
1
)
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}b_{1}=\left(1,\,1\right)\\b_{2}=\left(1,\,-1\right)\end{array}}\right\rbrace \;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
matrice coordonnée de
b
1
{\displaystyle \;b_{1}\;}
{
C
}
=
{
e
1
,
e
2
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace e_{1},\,e_{2}\right\rbrace \;}
[
1
1
]
{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}1\\1\end{array}}\right]\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
la matrice coord celle de
b
2
{\displaystyle \;b_{2}\;}
{
C
}
=
{
e
1
,
e
2
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace e_{1},\,e_{2}\right\rbrace \;}
[
1
−
1
]
{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}1\\-1\end{array}}\right]\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
matrice de passage de la base
{
C
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace \;}
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace \;}
[
P
]
{\displaystyle \;\left[P\right]\;}
matrices colonnes précédentes soit «
[
P
]
=
[
1
1
1
−
1
]
{\displaystyle \;\left[P\right]=\left[{\begin{array}{c}1&\,1\\1&-1\end{array}}\right]\;}
↑ Par exemple sur
R
2
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{2}\;}
ère base
{
B
}
=
{
b
1
,
b
2
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\,b_{2}\right\rbrace \;}
39
b
1
=
e
1
+
e
2
{\displaystyle \;b_{1}=e_{1}+e_{2}\;}
b
2
=
e
1
−
e
2
{\displaystyle \;b_{2}=e_{1}-e_{2}\;}
{
e
1
,
e
2
}
{\displaystyle \;\left\lbrace e_{1},\,e_{2}\right\rbrace \;}
base canonique de
R
2
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{2}\;}
{
e
1
=
(
1
,
0
)
e
2
=
(
0
,
1
)
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}e_{1}=\left(1,\,0\right)\\e_{2}=\left(0,\,1\right)\end{array}}\right\rbrace \;}
Par exemple sur
R
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{2}}\;}
comme 2ème base
{
C
}
=
{
e
1
,
e
2
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace e_{1},\,e_{2}\right\rbrace \;}
base canonique de
R
2
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{2}}
44 matrice de passage
[
P
]
{\displaystyle \;\left[P\right]\;}
{
C
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace \;}
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace \;}
[
P
]
=
[
1
1
1
−
1
]
{\displaystyle \;\left[P\right]=\left[{\begin{array}{c}1&\,1\\1&-1\end{array}}\right]\;}
42
2
{\displaystyle \;2}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
(
a
,
b
)
{\displaystyle \;\left(a\,,\,b\right)\;}
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace \;}
matrice coordonnée
[
X
]
=
[
a
+
b
2
a
−
b
2
]
{\displaystyle \;\left[X\right]=\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {a+b}{2}}\\{\dfrac {a-b}{2}}\end{array}}\right]\;}
“
2
{\displaystyle \;2}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
(
a
,
b
)
{\displaystyle \;\left(a\,,\,b\right)\;}
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace }
[
P
]
×
[
X
]
=
[
1
1
1
−
1
]
×
[
a
+
b
2
a
−
b
2
]
=
[
a
+
b
2
+
a
−
b
2
a
+
b
2
−
a
−
b
2
]
=
[
a
b
]
=
[
X
′
]
{\displaystyle \;\left[P\right]\times \left[X\right]=\left[{\begin{array}{c}1&\,1\\1&-1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}{\dfrac {a+b}{2}}\\{\dfrac {a-b}{2}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {a+b}{2}}+{\dfrac {a-b}{2}}\\{\dfrac {a+b}{2}}-{\dfrac {a-b}{2}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}a\\b\end{array}}\right]=\left[X'\right]\;}
matrice coordonnée du “
2
{\displaystyle \;2}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
(
a
,
b
)
{\displaystyle \;\left(a\,,\,b\right)\;}
base canonique
{
C
}
…
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace \;\ldots }
↑ Par exemple sur
R
2
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{2}\;}
ère base
{
B
}
=
{
b
1
,
b
2
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\,b_{2}\right\rbrace \;}
39
b
1
=
e
1
+
e
2
{\displaystyle \;b_{1}=e_{1}+e_{2}\;}
b
2
=
e
1
−
e
2
{\displaystyle \;b_{2}=e_{1}-e_{2}\;}
{
e
1
,
e
2
}
{\displaystyle \;\left\lbrace e_{1},\,e_{2}\right\rbrace \;}
base canonique de
R
2
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{2}\;}
{
e
1
=
(
1
,
0
)
e
2
=
(
0
,
1
)
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}e_{1}=\left(1,\,0\right)\\e_{2}=\left(0,\,1\right)\end{array}}\right\rbrace \;}
Par exemple sur
R
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{2}}\;}
comme 2ème base
{
C
}
=
{
e
1
,
e
2
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace e_{1},\,e_{2}\right\rbrace \;}
base canonique de
R
2
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{2}}
44 matrice de passage
[
P
]
{\displaystyle \;\left[P\right]\;}
{
C
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace \;}
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace \;}
[
P
]
=
[
1
1
1
−
1
]
{\displaystyle \;\left[P\right]=\left[{\begin{array}{c}1&\,1\\1&-1\end{array}}\right]\;}
nous avons inversé dans la note « 42
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace \;}
{
C
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace \;}
{
b
1
=
e
1
+
e
2
b
2
=
e
1
−
e
2
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}b_{1}=e_{1}+e_{2}\\b_{2}=e_{1}-e_{2}\end{array}}\right\rbrace \;}
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
{
e
1
=
b
1
+
b
2
2
e
2
=
b
1
−
b
2
2
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}e_{1}={\dfrac {b_{1}+b_{2}}{2}}\\e_{2}={\dfrac {b_{1}-b_{2}}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;}
matrice
[
P
]
−
1
{\displaystyle \;\left[P\right]^{-1}\;}
de passage de la base
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace \;}
{
C
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace \;}
[
P
]
−
1
=
[
1
2
1
2
1
2
−
1
2
]
{\displaystyle \;\left[P\right]^{-1}=\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {1}{2}}&\,{\dfrac {1}{2}}\\{\dfrac {1}{2}}&-{\dfrac {1}{2}}\end{array}}\right]\;}
{
{\displaystyle \;{\Bigg \{}}
matrice colonne
[
1
2
1
2
]
{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {1}{2}}\\{\dfrac {1}{2}}\end{array}}\right]\;}
c
1
=
e
1
{\displaystyle \;c_{1}=e_{1}\;}
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace \;}
[
1
2
−
1
2
]
{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {1}{2}}\\-{\dfrac {1}{2}}\end{array}}\right]\;}
c
2
=
e
2
{\displaystyle \;c_{2}=e_{2}\;}
{
B
}
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace {\Bigg \}}}
↑ 47,0 47,1 Une matrice carrée n'est pas toujours « inversible » mais ici elle l'est puisque la décomposition d'une 1ère base sur une 2nde se déduit sans difficulté de celle de la 2nde sur la 1ère
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
↑ Par exemple sur
R
2
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{2}\;}
ère base
{
B
}
=
{
b
1
,
b
2
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\,b_{2}\right\rbrace \;}
39
b
1
=
e
1
+
e
2
{\displaystyle \;b_{1}=e_{1}+e_{2}\;}
b
2
=
e
1
−
e
2
{\displaystyle \;b_{2}=e_{1}-e_{2}\;}
{
e
1
,
e
2
}
{\displaystyle \;\left\lbrace e_{1},\,e_{2}\right\rbrace \;}
base canonique de
R
2
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{2}\;}
{
e
1
=
(
1
,
0
)
e
2
=
(
0
,
1
)
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}e_{1}=\left(1,\,0\right)\\e_{2}=\left(0,\,1\right)\end{array}}\right\rbrace \;}
Par exemple sur
R
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{2}}\;}
comme 2ème base
{
C
}
=
{
e
1
,
e
2
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace e_{1},\,e_{2}\right\rbrace \;}
base canonique de
R
2
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{2}}
46 matrice
[
P
]
−
1
{\displaystyle \;\left[P\right]^{-1}\;}
de passage de la base
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace \;}
{
C
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace \;}
[
P
]
−
1
=
[
1
2
1
2
1
2
−
1
2
]
{\displaystyle \;\left[P\right]^{-1}=\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {1}{2}}&\,{\dfrac {1}{2}}\\{\dfrac {1}{2}}&-{\dfrac {1}{2}}\end{array}}\right]\;}
matrice coordonnée du “
2
{\displaystyle \;2}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
(
a
,
b
)
{\displaystyle \;\left(a\,,\,b\right)\;}
{
C
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace \;}
[
X
′
]
=
[
a
b
]
{\displaystyle \;\left[X'\right]=\left[{\begin{array}{c}a\\b\end{array}}\right]\;}
[
P
]
−
1
×
[
X
′
]
=
[
1
2
1
2
1
2
−
1
2
]
×
[
a
b
]
=
[
a
+
b
2
a
−
b
2
]
{\displaystyle \;\left[P\right]^{-1}\times \left[X'\right]=\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {1}{2}}&\,{\dfrac {1}{2}}\\{\dfrac {1}{2}}&-{\dfrac {1}{2}}\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}a\\b\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {a+b}{2}}\\{\dfrac {a-b}{2}}\end{array}}\right]\;}
matrice coordonnée
[
X
]
{\displaystyle \;\left[X\right]\;}
2
{\displaystyle \;2}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
(
a
,
b
)
{\displaystyle \;\left(a\,,\,b\right)\;}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace \;}
42
↑ Voir le paragraphe « 1ère interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m, n), matrice coordonnée d'une famille de n “ m-uplet ” dans une base de Rm » plus haut dans ce chapitre.
↑ Voir le paragraphe « matrice de passage entre deux bases de Rm , réécriture de la matrice coordonnée d'un “ m-uplet ” par changement de base de Rm » plus haut dans ce chapitre.
↑ En effet si on multiplie les deux membres de la relation «
[
A
′
]
=
[
P
]
×
[
A
]
{\displaystyle \;\left[A'\right]=\left[P\right]\times \left[A\right]\;}
matrice de passage
[
P
]
−
1
{\displaystyle \;\left[P\right]^{-1}\;}
{
B
}
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace \;}
{
C
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace \;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
«
[
P
]
−
1
×
[
A
′
]
=
[
P
]
−
1
×
{
[
P
]
×
[
A
]
}
{\displaystyle \;\left[P\right]^{-1}\times \left[A'\right]=\left[P\right]^{-1}\times {\Big \{}\left[P\right]\times \left[A\right]{\Big \}}\;}
En effet si on utilise l'associativité de la multiplication matricielle des matrices carrées de même dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée (1ère propriété) » plus haut dans ce chapitre
]
{\displaystyle {\big ]}\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
[
P
]
−
1
×
[
A
′
]
=
{
[
P
]
−
1
×
[
P
]
}
×
[
A
]
{\displaystyle \;\left[P\right]^{-1}\times \left[A'\right]={\Big \{}\left[P\right]^{-1}\times \left[P\right]{\Big \}}\times \left[A\right]\;}
En effet si on utilise que les matrices
[
P
]
{\displaystyle \;\left[P\right]\;}
[
P
]
−
1
{\displaystyle \;\left[P\right]^{-1}\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
[
P
]
−
1
×
[
A
′
]
=
[
I
]
n
×
[
A
]
{\displaystyle \;\left[P\right]^{-1}\times \left[A'\right]=\left[I\right]_{n}\times \left[A\right]\;}
En effet si on utilise la neutralité de la matrice identité pour la multiplication matricielle ayant un sens
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
[
P
]
−
1
×
[
A
′
]
=
[
A
]
{\displaystyle \;\left[P\right]^{-1}\times \left[A'\right]=\left[A\right]\;}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
↑ Combinaison(s) Linéaire(s).
↑ Ou «
L
R
(
E
,
F
)
{\displaystyle \;L_{\,\mathbb {R} }\!\left(E\,,\,F\right)\;}
H
o
m
R
(
E
,
F
)
{\displaystyle \;\mathrm {Hom} _{\,\mathbb {R} }\!\left(E\,,\,F\right)\;}
homomorphismes de
E
{\displaystyle \;E\;}
F
{\displaystyle \;F\;}
↑ Ou «
I
s
o
m
R
(
E
,
F
)
{\displaystyle \;\mathrm {Isom} _{\,\mathbb {R} }\!\left(E\,,\,F\right)\;}
↑ Ou «
L
R
(
E
)
{\displaystyle \;L_{\,\mathbb {R} }\!\left(E\right)\;}
E
n
d
R
(
E
)
{\displaystyle \;\mathrm {End} _{\,\mathbb {R} }\!\left(E\right)\;}
↑ Ou plus rarement «
A
u
t
R
(
E
)
{\displaystyle \;\mathrm {Aut} _{\,\mathbb {R} }\!\left(E\right)\;}
↑ Un élément de
E
∗
{\displaystyle \;E^{*}}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
forme linéaire définie dans l'espace vectoriel
E
)
{\displaystyle \;E{\big )}\;}
E
{\displaystyle \;E\;}
↑ 58,0 58,1 58,2 58,3 58,4 On prolonge aisément la notion de matrice coordonnée d'un “
n
{\displaystyle \;n}
R
n
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{n}}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
m
{\displaystyle \;m}
R
m
]
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{m}{\big ]}\;}
{
B
′
}
=
{\displaystyle \;\left\lbrace B'\right\rbrace =}
{
b
′
1
,
⋯
b
′
j
,
⋯
b
′
n
}
1
⩽
j
⩽
n
{\displaystyle \left\lbrace {b'}_{1},\cdots {b'}_{j},\cdots {b'}_{n}\right\rbrace _{1\leqslant j\leqslant n}\;}
R
n
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{n}}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
{
C
′
}
=
{
c
′
1
,
⋯
c
′
j
,
⋯
c
′
m
}
1
⩽
i
⩽
m
{\displaystyle \;\left\lbrace C'\right\rbrace =\left\lbrace {c'}_{1},\cdots {c'}_{j},\cdots {c'}_{m}\right\rbrace _{1\leqslant i\leqslant m}\;}
R
m
]
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{m}{\big ]}\;}
On prolonge aisément la celle de matrice coordonnée d'un vecteur du
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel
E
{\displaystyle \;E\;}
n
{\displaystyle \;n\;}
{
B
}
=
{
b
1
,
⋯
b
j
,
⋯
b
n
}
1
⩽
j
⩽
n
{\displaystyle \;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\cdots b_{j},\cdots b_{n}\right\rbrace _{1\leqslant j\leqslant n}}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
espace vectoriel
F
{\displaystyle \;F\;}
m
{\displaystyle \;m\;}
{
C
}
=
{
c
1
,
⋯
c
i
,
⋯
c
m
}
1
⩽
i
⩽
m
]
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace c_{1},\cdots c_{i},\cdots c_{m}\right\rbrace _{1\leqslant i\leqslant m}{\big ]}}
espace vectoriel de dimension
n
{\displaystyle \;n}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
m
]
{\displaystyle \;m{\big ]}\;}
n
{\displaystyle \;n}
R
n
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{n}}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
m
{\displaystyle \;m}
R
m
]
…
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{m}{\big ]}\;\ldots }
↑ Compte-tenu de cet isomorphisme, une confusion entre l'application linéaire et la matrice de l'application linéaire est un abus toléré
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
…
{\displaystyle {\big )}\;\ldots }
↑
[
Q
]
{
C
}
→
{
C
′
}
−
1
{\displaystyle \;\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }^{\,-1}\;}
matrice de passage de la base
{
C
′
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C'\right\rbrace \;}
{
C
}
{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace }
↑ 61,0 61,1 Voir le paragraphe 2ème interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m , n), matrice d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel de dimension m de base C dans le couple de bases (B, C) (1ère propriété) plus haut dans ce chapitre.
↑ 62,0 62,1 Voir le paragraphe « matrice de passage entre deux bases de Rm , réécriture de la matrice coordonnée d'un m-uplet par changement de base de Rm » associé à la note « 46
↑ 63,0 63,1 Généralisation de l'associativité vue dans le paragraphe particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée plus haut dans ce chapitre, l'associativité restant applicable dès lors que la multiplication matricielle est possible
…
{\displaystyle \;\ldots }
![{\displaystyle \;\left(m\,,\,n\right)\in \left[\mathbb {N} ^{*}\right]^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a02226a937cc4c39a08f291f5bc1f1ac984a7cdf)
![{\displaystyle \;\left[A\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2911291b192c80e3aed908c7f5667327115c33ec)
![{\displaystyle \;\left[I\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/043566d3a1f2520c96476cda225f8ee8e00011b3)
![{\displaystyle \;\left[A\right]=\left(a_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d6908b9d6cf161ba53fb87993ac88dda9999fff)
![{\displaystyle \;^{t\!}\left[A\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc2967515d639589e196defe98b1ff3581ea640c)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[A\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c825a52dedbfabb1f4d70979fb7b99e8da6475d)
![{\displaystyle \;^{t\!}\left[A\right]=\left(a_{j,\,i}\right)_{1\leqslant j\leqslant n\,,\,1\leqslant i\leqslant m}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5810c448933120c0fa0b0b9249b63c0b3019847)
![{\displaystyle \;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}1&2\\3&4\\5&6\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcf6ff1c5202170ff06f38e053e4a8d103d6c007)
![{\displaystyle \;^{t\!}\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}1&3&5\\2&4&6\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c38ba74e5e865cced7b7639d4be11ff5d6dbf12)
![{\displaystyle \;\left[A\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37edfa82eb1fe40a86db4c29e816f0fbd3c87606)
![{\displaystyle \;^{t\!}\left\lbrace ^{t\!}\left[A\right]\right\rbrace =\;\left[A\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/665791bf72557c256cf6019c4b4b3aee9a677b54)
![{\displaystyle \;^{t\!}\left\lbrace ^{t\!}\left[A\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/720ba07b465222cc09afc16fad81e1a38fd81280)
![{\displaystyle \;\left[E\right]_{p,\,q}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c1ba111f2037777589985e6838f5254fbd2b6ad)
![{\displaystyle \;\left[E\right]_{p,\,q}=\left(e_{i,\,j}^{p,\,q}\right)_{p,\,q}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/542fc6439eb562c1e0aaaf0ed7bfabe31d6ce567)
![{\displaystyle \;i\in \left[\left[1\,,\,m\right]\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08c9d9cda45e694df94e53a2db24e8e39553b7bd)
![{\displaystyle \;j\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]{\bigg \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff734f459069188cac44a7bbfa21cb988480d1a9)
![{\displaystyle \;\left[A\right]=\left(a_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}=\sum \limits _{\begin{array}{c}1\leqslant p\leqslant m\\1\leqslant q\leqslant n\end{array}}a_{p,\,q}\cdot \left[E\right]_{p,\,q}=\sum \limits _{\begin{array}{c}1\leqslant p\leqslant m\\1\leqslant q\leqslant n\end{array}}a_{p,\,q}\cdot \left(e_{i,\,j}^{p,\,q}\right)_{p,\,q}=\sum \limits _{\begin{array}{c}1\leqslant p\leqslant m\\1\leqslant q\leqslant n\end{array}}a_{p,\,q}\cdot \left(\delta _{i,\,p}\;\delta _{j,\,q}\right)_{p,\,q}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c6d080712eb8471b509af97bab8eaf1ce4d27b3)
![{\displaystyle \;\left[E\right]_{1,\,1}=\left[{\begin{array}{c}1&0\\0&0\\0&0\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a26889e3d9d7d2dc31e1cc2b73d904da0b2d9749)
![{\displaystyle \;\left[E\right]_{1,\,2}=\left[{\begin{array}{c}0&1\\0&0\\0&0\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21d44236c0ad99ad820dc7a45f3f95059a933d3c)
![{\displaystyle \;\left[E\right]_{2,\,1}=\left[{\begin{array}{c}0&0\\1&0\\0&0\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d904ae54773755503c333644fe716f70d04abf07)
![{\displaystyle \;\left[E\right]_{2,\,2}=\left[{\begin{array}{c}0&0\\0&1\\0&0\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73d5be2a7eb2704d693edadfd99ed8a0ecc37454)
![{\displaystyle \;\left[E\right]_{3,\,1}=\left[{\begin{array}{c}0&0\\0&0\\1&0\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81f036cff0aedda04cb03936a34e049e004c9b2d)
![{\displaystyle \;\left[E\right]_{3,\,2}=\left[{\begin{array}{c}0&0\\0&0\\0&1\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc7753149d7c9e4f2f061cbf3276c4b1f7acd459)
![{\displaystyle \;\left[A\right]=1\cdot \left[E\right]_{1,\,1}+2\cdot \left[E\right]_{1,\,2}+3\cdot \left[E\right]_{2,\,1}+4\cdot \left[E\right]_{2,\,2}+5\cdot \left[E\right]_{3,\,1}+6\cdot \left[E\right]_{3,\,2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61e419015f29466102822e9d3e35d532a4b1b141)
![{\displaystyle \;\left[A\right]\in M_{4,\,2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ed5ad9fe12ef7a26281436202294fe29b224ad1)
![{\displaystyle \;\left[B\right]\in M_{2,\,3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74a3ae99f17766e72a439b0b8268b4896a772bdd)
![{\displaystyle \;\left[A\right]=\left(a_{i,\,j}\right)\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5db14047376e7598cc9754d7f7f85efda15ffb32)
![{\displaystyle \;\left[B\right]=\left(b_{i,\,j}\right)\in M_{n,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0afd54105b6d6a3c7fdb9c053167711dcd46a580)
![{\displaystyle \;\left[A\right]\times \left[B\right]=\left[C\right]\in M_{m,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0323a1cf767c61bc6e7989e470473f8ac4617ce)
![{\displaystyle \;c_{i,\,j}=\sum \limits _{k=\left[\left[1,\,n\right]\right]}a_{i,\,k}\;b_{k,\,j}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97af3c56adbddc911e9dcbc618e4d15d3887dadf)
![{\displaystyle \;\left[B\right]=\left(b_{i,\,j}\right)\in M_{q,\,m}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4ebdcf442f8f8e42fd78bd20517c6ff0f51ad3b)
![{\displaystyle \;\left[B\right]\times \left[A\right]=\left[D\right]\in M_{q,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0b54b187a97f34b9892eef8a1e46ac3bdbd5f0f)
![{\displaystyle \;d_{i,\,j}=\sum \limits _{l=\left[\left[1,\,m\right]\right]}b_{i,\,l}\;a_{l,\,j}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a82b35ad3df288c9b265779cbf746e15fb45fcb9)
![{\displaystyle \;\left[B\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed7fe503d42ccb4bfd3045f4168ce99f94b2a1a8)
![{\displaystyle \;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}1&2\\3&4\\5&6\end{array}}\right]\in M_{3,\,2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88d31f39d6b1505daeb49786279f3d09baed226d)
![{\displaystyle \;\left[B\right]=\left[{\begin{array}{c}7&9&11\\8&10&12\end{array}}\right]\in M_{2,\,3}\!\left(\mathbb {R} \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a65db1267ff51799bd64fc13dd310e6be06ee9e7)
![{\displaystyle \;\left[A\right]\times \left[B\right]=\left[C\right]\in M_{3,\,3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a74dda7cfacbe57feadd1b578ef1e7c857af608)
![{\displaystyle \;\left[C\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8327e4ebf1827234fb922dde169c898fd283c455)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}1&2\end{array}}\right]\in M_{3,\,2}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b4d7167bd404c53272453e88776c0d6e1d8a136)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[B\right]=\left[{\begin{array}{c}7&9&11\end{array}}\right]\in M_{2,\,3}\!\left(\mathbb {R} \right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7231cb0a1fbd91ccbbb715c5c50179e15ea94e02)
![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}1&2\\3&4\\5&6\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}7&9&11\\8&10&12\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}23&29&35\\53&67&81\\83&105&127\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e14932440513c2b02d96397e2a11be9465f6bcd3)
![{\displaystyle \;\left[A\right]\in M_{3,\,2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84ec43dc409321e472def3668fce3cb04bbc4728)
![{\displaystyle \;\left[B\right]\times \left[A\right]=\left[D\right]\in M_{2,\,2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfa912f32508699840921f65403cedb05f1a0ff3)
![{\displaystyle \left[D\right]=\left[{\begin{array}{c}7&9&11\\8&10&12\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}1&2\\3&4\\5&6\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb81e938f24e3809f2726bcf4a6b3df83b46f95b)
![{\displaystyle =\left[{\begin{array}{c}89&116\\98&128\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18112671fe9f577743388dfb64f0c5d5529406cd)
![{\displaystyle \;\left[B\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2685fb2a2f23773ecad215b0e700233b3b1820e0)
![{\displaystyle \;\left[A\right]\times \left[B\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d26f50177f7505555f2d5ca81fd3d8f6edb71831)
![{\displaystyle \;\left[B\right]\times \left[A\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a3ce00bb0068adeb131921cc3b0f9ad8a002da)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[B\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb04d4a35c7bf9af1c0bad1428a432be28bbd718)
![{\displaystyle \;\left[C\right]\in M_{m,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93688fec3e862259f0249230a4c92364f73c80ef)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[A\right]\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\\\left[B\right]\in M_{n,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61292e90407915c5a4ed721183fbdebb0d4d7f18)
![{\displaystyle \;^{t\!}\left[C\right]\in M_{p,\,m}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cabc9384473d4bc6e1833befa2a12bfdf4cccc6)
![{\displaystyle \;^{t\!}\left[C\right]=\;^{t\!}\left[B\right]\times \,^{t\!}\left[A\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df597654463a977a3cd76b4610cf359e15dccf72)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}\,^{t\!}\left[B\right]\in M_{p,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\\\,^{t\!}\left[A\right]\in M_{n,\,m}\!\left(\mathbb {R} \right)\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daa962c81dab95ec9fcb1fc0d2097e4e367c3534)
![{\displaystyle \;^{t\!}\left\lbrace \left[A\right]\times \left[B\right]\right\rbrace =\;^{t\!}\left[B\right]\times \,^{t\!}\left[A\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10ecb181f7a1044e7c9b6e9166ae0aefdeb377e3)
![{\displaystyle \;\left[A\right]=\left(a_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f99004bbd5aa3d833a10a8c23dd81709609c734)
![{\displaystyle \;\left[B\right]=\left(b_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,n\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,p}\in M_{n,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90d41b960fbe75a5216c792440ff55a57a45fa04)
![{\displaystyle \;\left[C\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/949c243767f9dd0e047dc2aca5523bc68b245364)
![{\displaystyle \;^{t\!}\left[C\right]=\left({c'}_{j,\,i}\right)_{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,p\;,\;1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3d35746750fd2885a3786c21c43c22a99bbe9ed)
![{\displaystyle \;{c'}_{j,\,i}=c_{i,\,j}=\sum \limits _{k=\left[\left[1,\,n\right]\right]}a_{i,\,k}\;b_{k,\,j}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/585e62cdbd41b5c58c4bf16066cbd7b8faa02077)
![{\displaystyle \;^{t\!}\left[B\right]=\left({b'}_{j,\,i}\right)_{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,p\;,\;1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,n}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/641af87c2ae6fc0dd67c000b76e10b9825cf2cb4)
![{\displaystyle \;^{t\!}\left[A\right]=\left({a'}_{j,\,i}\right)_{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n\;,\;1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3344683b79f0189414b3f77cb87c327245358993)
![{\displaystyle \;^{t\!}\left[B\right]\times \,^{t\!}\left[A\right]=\left[D\right]=\left(d_{j\,i}\right)_{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,p\;,\;1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae6c7cfd8316a1cd74ba2990e86c78cd2e355d2d)
![{\displaystyle \;d_{j,\,i}=\sum \limits _{k=\left[\left[1,\,n\right]\right]}{b'}_{j,\,k}\;{a'}_{k,\,i}=\sum \limits _{k=\left[\left[1,\,n\right]\right]}b_{k,\,j}\;a_{i,\,k}={c'}_{j,\,i}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e47a04b56fca81ea2fe40e26dd467aebac117d7)
![{\displaystyle \;\left[D\right]=\;^{t\!}\left[C\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b72b11320605cfca52b9b775b8db59f8c11f078)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{^{t\!}\left[B\right]\times \,^{t\!}\left[A\right]=\left[D\right]=\left(d_{j\,i}\right)_{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,p\;,\;1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e94fc9c1b581e494d978694e90f70a8dc69edae5)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{d_{j,\,i}=\sum \limits _{k=\left[\left[1,\,n\right]\right]}{b'}_{j,\,k}\;{a'}_{k,\,i}=\sum \limits _{k=\left[\left[1,\,n\right]\right]}b_{k,\,j}\;a_{i,\,k}={c'}_{j,\,i}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10856e8c653a6a87e2f524692aa56a05d6487a51)
![{\displaystyle \;^{t\!}\left[B\right]\times \,^{t\!}\left[A\right]=\;^{t\!}\left\lbrace \left[A\right]\times \left[B\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2874adf28a6b6bc379e266de725c86ea3ee96a8f)
![{\displaystyle \;\left\lbrace \left[A\right]\times \left[B\right]\right\rbrace \times \left[C\right]=\left[A\right]\times \left\lbrace \left[B\right]\times \left[C\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/897251d94d852aa4169916082c7973521912d302)
![{\displaystyle \;\left[A\right]\times \left\lbrace \left[B\right]+\left[C\right]\right\rbrace =\left[A\right]\times \left[B\right]+\left[A\right]\times \left[C\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b3f4e4bad73327188ae304bdb4ec378ffa9de7c)
![{\displaystyle \;\left\lbrace \left[A\right]+\left[B\right]\right\rbrace \times \left[C\right]=\left[A\right]\times \left[C\right]+\left[B\right]\times \left[C\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dd69066fe0f35d913165c70bb2b8ce8a7ad975a)
![{\displaystyle \;\left[A\right]\times \left[I\right]=\left[A\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95ee56541ea3879463adbf3da5cfa35bb39f665f)
![{\displaystyle \;\left[I\right]\times \left[A\right]=\left[A\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae7ab135fffc18c65fbaa5770490c515d7a11e5)
![{\displaystyle \;\left[A\right]\times \left[B\right]\neq \left[B\right]\times \left[A\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4921d1ffe575813ff81e34cc98b70fc181952606)
![{\displaystyle \;\forall \;\lambda \in \mathbb {R} ,\;\;\forall \;\left\lbrace \left[A\right]\,,\,\left[B\right]\right\rbrace \in \left\lbrace M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\right\rbrace ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38af01af047b2996ca1ecb4e14407ce682797c40)
![{\displaystyle \;\lambda \;\left\lbrace \left[A\right]\times \left[B\right]\right\rbrace =\left\lbrace \lambda \;\left[A\right]\right\rbrace \times \left[B\right]=\left[A\right]\times \left\lbrace \lambda \;\left[B\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fefbfe86b848800cb95567c22957edc862b159a)
![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}\delta _{1,\,i}\\\cdots \\\delta _{k,\,i}\\\cdots \\\delta _{m,\,i}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99f70c62befe2d211d7c2c38cecb7dd1d25a4ac4)
![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}a_{1}\\\cdots \\a_{i}\\\cdots \\a_{m}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/982ff37dab427b0134dd3a45f83b9949fcb912c6)
![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}b_{1,\,i}\\\cdots \\b_{k,\,i}\\\cdots \\b_{m,\,i}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a34d3fd728c92dd7f3d046b84003510882146a3)
![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}\alpha _{1}\\\cdots \\\alpha _{i}\\\cdots \\\alpha _{m}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3b2bf730691820de63f260ab43f8dea41b5fa36)
![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}\alpha _{1}\\\cdots \\\alpha _{i}\\\cdots \\\alpha _{m}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e0920b76be9096fe25912a41d9d1948a428ea14)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\begin{array}{c}\alpha _{1}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c827f40cb912dbdc81502c375bb04233b418416)
![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}a_{1}\\\cdots \\a_{i}\\\cdots \\a_{m}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\!\in \;M_{m,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a562cce82b1c43e2800b1962e586e87e4cf2727)
![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}\alpha _{1}\\\cdots \\\alpha _{i}\\\cdots \\\alpha _{m}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\!\in \;M_{m,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a59007c6ac91561d5afd74c92b1292a7ec5d6e25)
![{\displaystyle \;\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1805eb6e563ad168cd733eb896cca821e5a201a7)
![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}&\cdots &a_{1,\,j}&\cdots &a_{1,\,n}\\&&\vdots &&\\a_{i,\,1}&\cdots &a_{i,\,j}&\cdots &a_{i,\,n}\\&&\vdots &&\\a_{m,\,1}&\cdots &a_{m,\,j}&\cdots &a_{m,\,n}\end{array}}\right]_{\begin{array}{c}1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\\1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n\end{array}}\!\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b82c998b221eb34a22949105ed9880854e402b27)
![{\displaystyle {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6409e9848c1422eef16462fbeae301d8fa0f831)
![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}\alpha _{1,\,1}&\cdots &\alpha _{1,\,j}&\cdots &\alpha _{1,\,n}\\&&\vdots &&\\\alpha _{i,\,1}&\cdots &\alpha _{i,\,j}&\cdots &\alpha _{i,\,n}\\&&\vdots &&\\\alpha _{m,\,1}&\cdots &\alpha _{m,\,j}&\cdots &\alpha _{m,\,n}\end{array}}\right]_{\begin{array}{c}1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\\1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n\end{array}}\!\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8e22eaed7b20b027a982a62fcc3d94f8e888b9a)
![{\displaystyle {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d63350d68291e3f56604a089e0e0b5a86c2472)
![{\displaystyle \;\left[D\right]=\left[{\begin{array}{c}\alpha _{1,\,1}&\cdots &\alpha _{1,\,j}&\cdots &\alpha _{1,\,n}\\&&\vdots &&\\\alpha _{i,\,1}&\cdots &\alpha _{i,\,j}&\cdots &\alpha _{i,\,n}\\&&\vdots &&\\\alpha _{m,\,1}&\cdots &\alpha _{m,\,j}&\cdots &\alpha _{m,\,n}\end{array}}\right]_{\begin{array}{c}1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\\1\,\leqslant ,j\,\leqslant \,n\end{array}}\!\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bd981ed9db81d09de2e70c73dda1829e48b2730)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23b283c1c2992084ffb7116c85076870acb85b2d)
![{\displaystyle \;\left[D\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19fc1192dea96a4470587c8efc28440029f2fce5)
![{\displaystyle \;\leqslant \min \left[m,\,n\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25c1402fe6fe16cd2516b2ebf0bd480b7cb64053)
![{\displaystyle \;\left[X\right]=\left[{\begin{array}{c}\alpha _{1}\\\cdots \\\alpha _{i}\\\cdots \\\alpha _{m}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d5b3113fa598daf059f0bbf063fb7c62fdf9003)
![{\displaystyle \;\left[X'\right]=\left[{\begin{array}{c}\beta _{1}\\\cdots \\\beta _{i}\\\cdots \\\beta _{m}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8321433e3e846e0e44eb45576bd28e4201995fbf)
![{\displaystyle \;\left[X\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a26c8f39f3c6d8a4c4b6f826a2610ac2f106c7c)
![{\displaystyle \;\left[X'\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/414987e2eacf7c6fe28f3a11ad78bc00df0add56)
![{\displaystyle \;\left[P\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dd272409461d80e3a9acc88c6328805e2989d65)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[P\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a79bfef9b788c85d487f357ae09af4ec0ebdcf5)
![{\displaystyle \;\left[X'\right]=\left[P\right]\times \left[X\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1160c10998f15136f243c9716574ccb0462ff8c)
![{\displaystyle \;\left[P\right]^{-1}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/751040e2ff5736bff9bfeb7fb57fecc5436d2ad0)
![{\displaystyle \;\left[X\right]=\left[P\right]^{-1}\times \left[X'\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c95a41c4b7d652816dce3a1f3d15273aa0659c2b)
![{\displaystyle \;\left[X_{j}\right]_{1,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78a28321be10a78c6703829450159820d85ad7cc)
![{\displaystyle \;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}X_{1,\,1}&\cdots &X_{1,\,j}&\cdots &X_{1,\,n}\\&&\vdots &&\\X_{i,\,1}&\cdots &X_{i,\,j}&\cdots &X_{i,\,n}\\&&\vdots &&\\X_{m,\,1}&\cdots &X_{m,\,j}&\cdots &X_{m,\,n}\end{array}}\right]_{\begin{array}{c}1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\\1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n\end{array}}\!\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec127d8cba9a71a19efe4a42ef664e50e2a64db0)
![{\displaystyle \;\left[{X'}_{\!j}\right]_{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b54b7bdae822971088771565f9fdfaa3cd88ad48)
![{\displaystyle \;\left[X_{j}\right]_{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99e1bf104a0b4fbdee2c905ff8899ceb08ab1ed2)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{X'}_{\!j}\right]_{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e568a3fd951dfe86789b68c509352890a56c9a5)
![{\displaystyle \;\left[{X'}_{\!j}\right]_{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}=\left[P\right]\times \left[X_{j}\right]_{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dde3405d2e0186a7dbceb0ffdc7d5211483ac1c6)
![{\displaystyle \;\left[A'\right]=\left[{\begin{array}{c}{X'}_{\!1,\,1}&\cdots &{X'}_{\!1,\,j}&\cdots &{X'}_{\!1,\,n}\\&&\vdots &&\\{X'}_{\!i,\,1}&\cdots &{X'}_{\!i,\,j}&\cdots &{X'}_{\!i,\,n}\\&&\vdots &&\\{X'}_{\!m,\,1}&\cdots &{X'}_{\!m,\,j}&\cdots &{X'}_{\!m,\,n}\end{array}}\right]_{\begin{array}{c}1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\\1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n\end{array}}\!\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73bd309c90b4258e736e3c8caa28f8873f3619f7)
![{\displaystyle \;{\begin{array}{c c c c c}\;\left[A'\right]&=&\left[P\right]&\times &\left[A\right]\;\\\;{\text{dans }}\,\left\lbrace C\right\rbrace &&{\begin{array}{c}{\text{de }}\,\left\lbrace C\right\rbrace \;\\\;{\text{à }}\,\left\lbrace B\right\rbrace \end{array}}&&{\text{dans }}\,\left\lbrace B\right\rbrace \;\end{array}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a440582a6b497eb66e0e6eb20672bbe27315a453)
![{\displaystyle \;{\begin{array}{c c c c c}\;\left[A\right]&=&\left[P\right]^{-1}&\times &\left[A'\right]\;\\\;{\text{dans }}\,\left\lbrace B\right\rbrace &&{\begin{array}{c}{\text{de }}\,\left\lbrace B\right\rbrace \;\\\;{\text{à }}\,\left\lbrace C\right\rbrace \end{array}}&&{\text{dans }}\,\left\lbrace C\right\rbrace \;\end{array}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2757e4f6bcce99e997adc575c867b6dbe47717b8)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}\forall \;\left(\lambda _{i}\right)_{i\in \left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\;\in \mathbb {R} ^{p}\\\forall \;\left(x_{i}\right)_{i\in \left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\;\in E^{p}\end{array}}\right\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17d7c743f1fe4a27c027baa162ea5cb18f25c10d)
![{\displaystyle \;\varphi \!\left(\sum _{i}^{\left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\lambda _{i}\;x_{i}\right)=\sum _{i}^{\left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\lambda _{i}\;\varphi \!\left(x_{i}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/820bae399ea01ba78e9c57c42de6cb45adf54150)
![{\displaystyle \;F{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ab4fa1404af267052249d32f9c5e6add632f41e)
![{\displaystyle \;E{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1cd008c3b67c9f4727c75dcdfa36a5d26ea26a4)
![{\displaystyle \;\left[A\right]\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3037df59e2d0be94213e8decd152fed5b0a1ead4)
![{\displaystyle \;\left[X\right]\in M_{n,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa516e638964f27f01d3ecd6cde050984fad5546)
![{\displaystyle \;\left[X'\right]\in M_{m,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d6651733207bf73ae52e64d78762a8d681acc35)
![{\displaystyle \;\left[X'\right]=\left[A\right]\times \left[X\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c981423b595cdc5ce20fce70b0872f6306b119aa)
![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}\varphi (b_{j})_{1}\\\cdots \\\varphi (b_{j})_{i}\\\cdots \\\varphi (b_{j})_{m}\end{array}}\right]_{1\leqslant i\leqslant m}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebe7dc3e2d328250d180bcc8531b670f3004b7aa)
![{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e8c7ee4ec23a6fa9b827a2f6d33d3a35ad3d7cb)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]&=&\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)&\times &\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace }(x)\\\in M_{m\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)&&\in M_{m\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)&&\in M_{n\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b1a0aa508fcbfddde2b1442805b0069280d6853)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\mathcal {S}}(e_{1})\!\!\!&={\sqrt {2}}\,\left[\cos(45\,{\text{°}})\;e_{1}+\sin(45\,{\text{°}})\;e_{2}\right]\!\!\!&=\;\;e_{1}+e_{2}\\{\mathcal {S}}(e_{2})\!\!\!&={\sqrt {2}}\,\left[\cos(135\,{\text{°}})\;e_{1}+\sin(135\,{\text{°}})\;e_{2}\right]\!\!\!&=-e_{1}+e_{2}\end{array}}\right\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/079a4663bb26928ff99dd0587c71d409ab1f35b8)
![{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B_{\text{can}}\right\rbrace ,\,\left\lbrace B_{\text{can}}\right\rbrace }\!\left({\mathcal {S}}\right)=\left[{\begin{array}{c}1&-1\\1&1\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/821c529eca15a862d7564062c5dad0c8c9affa61)
![{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B_{\text{can}}\right\rbrace }\!\left(x\right)=\left[{\begin{array}{c}a\\b\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/989a0bd0fe7a14e655a2e3ac4164a6d1b2a9695f)
![{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B_{\text{can}}\right\rbrace }\!\left[{\mathcal {S}}(x)\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/020612e52cbf7cf6150653b48c3e1c13bbe8eb40)
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{c}1&-1\\1&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}a\\b\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}a-b\\a+b\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aa366d1ce645ecfffd4d99bf7f197439e14d84c)
![{\displaystyle \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efa3a848fb2a0ad3b1d30d8a3764257366162122)
![{\displaystyle \;\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }\in M_{m}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f94eba77a3403be4c5d6aa532f5ca93438a9d65e)
![{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace ,\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faacb8d46fb8569ff83d93487e35b9e855197e34)
![{\displaystyle \;\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }^{\,-1}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961385ed986ef515f984bc0e3e323a40dda9d299)
![{\displaystyle \;\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2cd8df222108293669545566aca77d3483b81f4)
![{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]=\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace }(x)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94fc37f73f25a6a0ecc55bf5a5e1ca4c561c523f)
![{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace }(x)=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace }(x)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a659ed2d83654b5c4f868f69395194dccbf60f3f)
![{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]=\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left\lbrace \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace }(x)\right\rbrace =\left\lbrace \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\right\rbrace \times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace }(x)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/149c87d5c36f3885758bb7a25d852ad62e999fba)
![{\displaystyle \;\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }^{\,-1}\in M_{m}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/282edd51499b3987d343943c10a0506b80ef151a)
![{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da1b90171e63f9c593dc34ce5fc39a86509e7b66)
![{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf3ee397bd50e7e199dc008408c0e00d70db1446)
![{\displaystyle =\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/446f52cbad811c9190ad0bcf06961c023ee6e4f8)
![{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]=\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }^{\,-1}\times {\bigg \langle }\left\lbrace \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\right\rbrace \times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace }(x){\bigg \rangle }=\left\lbrace \left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\right\rbrace \times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace }(x)\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a962a7d9de4e58e8a1848fb77f71a53f54433528)
![{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]=\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace ,\,\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace }(x)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e8680c97b6ec4e47a53dee1210f2bbfa6317b7c)
![{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace ,\,\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d08e92061c50a6852dd605915338fa5b5a623ae9)
![{\displaystyle \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace ,\left\lbrace B'\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edc4eb333eee8c0888a62e3f1fae94703eb5feb0)
![{\displaystyle \;\left(\left[A\right]\,,\,\left[B\right]\right)\in \left\lbrace M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\right\rbrace ^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccf5738bd9e0d2e2cda56528854faba9224dddf1)
![{\displaystyle \;\exists \;\left[P\right]\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3081fabcd844e5d2b7bd3daa9d3396fe1f0793c)
![{\displaystyle \;\left[A\right]\times \left[P\right]=\left[P\right]\times \left[B\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bd153e6b448d2db6f2cb9bf08482b4cf52155a6)
![{\displaystyle \;\left[A\right]=\left[P\right]\times \left[B\right]\times \left[P\right]^{-1}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35b3f1db36eeb43e8b6b291d833db39389742b58)
![{\displaystyle \;\left[B\right]=\left[P\right]^{-1}\times \left[A\right]\times \left[P\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b6d1c316ba6ef0e6271a0497dfb6ef6f6726a19)
![{\displaystyle \;\lambda \cdot \left(u+v\right)=\lambda \cdot u+\lambda \cdot v{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c8a0fe3240ccaa19436eba556d6fe179b1ebce5)
![{\displaystyle \;\left(\lambda +\mu \right)\cdot u=\lambda \cdot u+\mu \cdot u{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/978e604c77d16bcf56563b0f160a6023223835f6)
![{\displaystyle \;\left(\lambda \;\mu \right)\cdot u=\lambda \cdot \left(\mu \cdot u\right){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/572c6003b1055b476833c5fd8e08ca4907d0d5c7)
![{\displaystyle \;1_{K}\cdot u=u{\big ]}{\Big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bc8575019227f088a4f6d4e904fc34e5b2ff036)
![{\displaystyle \;\left[\mathbb {N} ^{*}\right]^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bab3a5e36229633898ee7556291bcc7a8388f06c)
![{\displaystyle \;K{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/216afc59ce5fdd9c0e45800b18e327ac33deaf31)
![{\displaystyle \;\left[A\right]^{T}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4a12d383bda197f119b767b6dc5a528bd5e1842)
![{\displaystyle \;\left[A\right]^{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2fcbc86d8b616518ac428edf7300d35c6ae9016)
![{\displaystyle \;1{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a87e7ae0bfc1e0abe8515ade72710a345cd374d)
![{\displaystyle \;\left[B\right]\times \left[A\right]\neq \left[A\right]\times \left[B\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd20822bba998ce29dd7855ff922ad6bad3b7c5b)
![{\displaystyle \;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}1&2\\3&4\end{array}}\right]\in M_{2,\,2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e3dc62e3e8db2f4b95ca5227d60b435454b8779)
![{\displaystyle \;\left[B\right]=\left[{\begin{array}{c}2&3\\4&5\end{array}}\right]\in M_{2,\,2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19a8296bbbb1405bc7a48360199ee36fefd03561)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[C\right]=\left[A\right]\times \left[B\right]=\left[{\begin{array}{c}1&2\\3&4\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}2&3\\4&5\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}10&13\\22&29\end{array}}\right]\\\left[D\right]=\left[B\right]\times \left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}2&3\\4&5\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}1&2\\3&4\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}11&16\\19&28\end{array}}\right]\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc79e5c3fec1c711ee365395aac88fb22e4635b)
![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}b_{1,\,1}=1\\b_{2,\,1}=1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d59a7b999bfa9401949ae0f496640fc2cacf710b)
![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}b_{1,\,2}=1\\b_{2,\,2}=-1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0140ae7ff826106462849b8146951b0d0c0f8f29)
![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {a+b}{2}}\\{\dfrac {a-b}{2}}\end{array}}\right]\;\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b0df64e06d1fdbb273d09b82544d3ddd3aab04a)
![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}1\\1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e82d8006007933f85a1aac20073c5a2aa8b73d08)
![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}1\\-1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbca4210d084b11e428d5458274b2b91025f4505)
![{\displaystyle \;\left[P\right]=\left[{\begin{array}{c}1&\,1\\1&-1\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5074c8149a22cdb2dcefc3f7884e19ee3f8ec694)
![{\displaystyle \;\left[X\right]=\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {a+b}{2}}\\{\dfrac {a-b}{2}}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba05407ab5baa9353669bc0726335164aa36df73)
![{\displaystyle \;\left[P\right]\times \left[X\right]=\left[{\begin{array}{c}1&\,1\\1&-1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}{\dfrac {a+b}{2}}\\{\dfrac {a-b}{2}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {a+b}{2}}+{\dfrac {a-b}{2}}\\{\dfrac {a+b}{2}}-{\dfrac {a-b}{2}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}a\\b\end{array}}\right]=\left[X'\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3b81a67d2561cab192475f7701cf8c7b7169e01)
![{\displaystyle \;\left[P\right]^{-1}=\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {1}{2}}&\,{\dfrac {1}{2}}\\{\dfrac {1}{2}}&-{\dfrac {1}{2}}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/642f4898aa317c5a7416498fd0015cf842cda50a)
![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {1}{2}}\\{\dfrac {1}{2}}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/059e89f58dbf3c561de880843792a2689387ac07)
![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {1}{2}}\\-{\dfrac {1}{2}}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f41c118d889bacd016cfa2ae5319b118a2d59b39)
![{\displaystyle \;\left[X'\right]=\left[{\begin{array}{c}a\\b\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16b0a2568d17736292370f5c41a96ce161e3eac7)
![{\displaystyle \;\left[P\right]^{-1}\times \left[X'\right]=\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {1}{2}}&\,{\dfrac {1}{2}}\\{\dfrac {1}{2}}&-{\dfrac {1}{2}}\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}a\\b\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {a+b}{2}}\\{\dfrac {a-b}{2}}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/600fc9abea217288b4b79b8f4c28f1e494908a54)
![{\displaystyle \;\left[A'\right]=\left[P\right]\times \left[A\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f20d44188f500f8b5df59322fba4813242bb74b)
![{\displaystyle \;\left[P\right]^{-1}\times \left[A'\right]=\left[P\right]^{-1}\times {\Big \{}\left[P\right]\times \left[A\right]{\Big \}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58090b32c6f8437484608fe1e377acda3f11944a)
![{\displaystyle \;\left[P\right]^{-1}\times \left[A'\right]={\Big \{}\left[P\right]^{-1}\times \left[P\right]{\Big \}}\times \left[A\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/583b525f9f4ed263d14709504728d9378f0f318f)
![{\displaystyle \;\left[P\right]^{-1}\times \left[A'\right]=\left[I\right]_{n}\times \left[A\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c85b444fcc37dbb05a82f5975f2e338c7b852fb8)
![{\displaystyle \;\left[P\right]^{-1}\times \left[A'\right]=\left[A\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5761d5a6786fcd166d1e553d7f1ccae5b08f7cb8)
![{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{m}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de5b1fc7c76054179e9c59513b5f3e1595f4b0cd)
![{\displaystyle \;\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace c_{1},\cdots c_{i},\cdots c_{m}\right\rbrace _{1\leqslant i\leqslant m}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/781151763d3549636d592b531cb11a144e0b7bcd)
![{\displaystyle \;m{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4edba572343f6cee7645f225aa7fee7c0a1bcc9d)
![{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{m}{\big ]}\;\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4a1a72489b4dfc311603269c5c3842cc6f6eb26)
