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Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) : Les torseurs
Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Les torseurs », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Notion d'équiprojectivité d'un champ de vecteurs dans un espace affine euclidien tridimensionnel
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Espace affine euclidien tridimensionnel
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Un espace tridimensionnel 
est dit 
affine si on peut y définir le parallélisme ainsi que la notion de barycentre [1] et
Un espace tridimensionnel 
est dit euclidien si la « direction de l'espace affine » [2] est un espace 
vectoriel [3] dans lequel on définit
Un espace tridimensionnel est dit 
euclidien un produit scalaire [4] permettant de déterminer la distance entre deux points de l'espace affine [5] et
Un espace tridimensionnel est dit euclidien un produit scalaire permettant de déterminer l'angle entre deux bipoints [6].
Champ de vecteurs dans un espace affine euclidien tridimensionnel
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Un champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel a été introduit dans le paragraphe « définition intrinsèque d'un champ (ou d'une fonction) vectoriel(le) de l'espace » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », sa définition est rappelée ci-dessous :
Champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel
On définit un champ de vecteurs
en
point de l'
espace affine euclidien tridimensionnel
[7] selon :
[7], où
est l'espace
vectoriel de dimension trois, « direction de l'
espace affine »
[2] euclidien 
.
Définition de l'équiprojectivité d'un champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel
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Équiprojectivité d'un champ de vecteur d'un espace affine euclidien tridimensionnel
Un champ de vecteurs
défini en
[7] est «
équiprojectif » si
.
On démontre alors qu'il existe un
endomorphisme [8] antisymétrique [9] 
tel que
.
Domaine pratique d'utilisation de torseurs
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Les torseurs sont essentiellement utilisés en mécanique 
et plus particulièrement en mécanique du solide
, ils servent à modéliser des champs de vecteurs possédant des propriétés particulières comme
- le champ de vitesses d'un solide [10] défini en chacun des points de ce dernier
les propriétés particulières traduisant le fait que la distance entre deux points quelconques du solide reste constante![{\displaystyle {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6409e9848c1422eef16462fbeae301d8fa0f831)
ou
- le champ de moments de forces de même source [11] appliquées en chacun des points d'un solide [10] ici encore les propriétés particulières traduisent le fait que les points d'application des forces restent à une distance constante les uns des autres ou
Définition d'un torseur
Un
torseur est un
champ de vecteurs équiprojectif 
[12] défini sur un
espace affine euclidien [7] tridimensionnel soit plus précisément
Un torseur est une application
de
[7] dans
direction
[2] de
![{\displaystyle \;{\mathcal {E}}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdc95aabb089123a3a9c34904cef1a9b17264fb1)
telle que
[7], 
vérifiant 
[7], 
[13].
Appellation : 
où est appelé « moment du torseur au point », c'est donc un élément de direction [2] de ![{\displaystyle \;{\mathcal {E}}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be48b6183b6c5d6bc0479d97362bb437e7500c3d)
,
Appellation : 
où 
est appelé « moment du torseur 
au point 
», le torseur étant une application de [7] dans direction [2] de .
Notion de résultante d'un torseur
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Début d’un théorème
Relation de Varignon (ou règle de transport des moments)
La
relation de Varignon [14] admise
s'énonce sous une forme directe et une forme réciproque :
Forme directe : Soit un
torseur sur
, il existe un unique vecteur
de
direction
[2] de
vérifiant
[15], étant « la résultante du torseur ».
Forme réciproque : Si est une application de sur direction [2] de et
Forme réciproque : s'il existe un couple 
tel que 
Forme réciproque : alors est un torseur sur et en est « la résultante ».
Fin du théorème
Remarque : D'après la relation de Varignon [14], on constate que d'une part et 
d'autre part ne se comportent pas de la même façon lors d'un changement d'orientation de [16],
Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs suivant le comportement comparé de et de 
, par construction, ne dépendant pas de l'orientation de l'espace
Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs suivant le comportement comparé de 
et de 
, est nécessairement un vecteur polaire ou vrai vecteur[17]![{\displaystyle {\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3562ad363226e09873d4861d879d5d4116de3287)
:
Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs 
le 1er type de torseur correspondant à ne dépendant pas de l'orientation de l'espace affine 
est un vecteur polaire
Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs 
le 1er type de torseur correspondant à ne dépendant pas de l'orientation de l'espace affine 
ou vrai vecteur[17],
Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs le 1er type de torseur 
étant des vecteurs polaires ou vrais vecteurs[17],
Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs le 1er type de torseur 
étant des vecteurs c.-à-d. indépendants de l'orientation de l'espace affine
Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs le 1er type de torseur 
est un vecteur axial [18] ou pseudo-vecteur[19] car la multiplication vectorielle
Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs le 1er type de torseur 
est un vecteur axial dépend de l'orientation de l'espace affine et
Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs le 1er type de torseur 
comme ![{\displaystyle \;{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {MN}}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7463660324780d715def26c9bcaa08043f7478a2)
sont des vecteurs axiaux ou pseudo-vecteurs[19] car
Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs le 1er type de torseur 
comme ![{\displaystyle \;\color {transparent}{{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {MN}}{\big ]}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1858dd5b0e83839be6868bdb67f0425f688a8d3)
sont dépendants de l'orientation de l'espace affine,
Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs le 2ème type de torseur correspondant à dépendant de l'orientation de l'espace affine est un vecteur axial
Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs le 2ème type de torseur correspondant à dépendant de l'orientation de l'espace affine ou pseudo-vecteur[19] et
Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs le 2ème type de torseur comme est un vecteur polaire ou vrai vecteur[17] on en déduit que,
Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs le 2ème type de torseur comme 
est un vecteur polaire [20] ou vrai vecteur[17] car la multiplication
Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs le 2ème type de torseur comme est vectorielle dépend de l'orientation de l'espace affine, en résumé :
Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs le 2ème type de torseur 
comme et sont des vecteurs polaires
Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs le 2ème type de torseur 
comme et sont des ou vrais vecteurs[17] car
Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs le 2ème type de torseur comme et indépendants de l'orientation de l'espace et
Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs le 2ème type de torseur 
est un vecteur axial ou pseudo-vecteur[19], dépendant de l'orientation de l'espace affine.
Réduction d'un torseur en un point quelconque de l'espace affine euclidien tridimensionnel sur lequel il est défini
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Un torseur défini sur l'espace affine euclidien tridimensionnel [7] est déterminé par un couple de deux vecteurs 
chacun à direction [2] de ;
on distingue deux types de torseurs suivant que sa résultante est un vecteur polaire ou vrai vecteur[17] ou
on distingue deux types de torseurs suivant que sa résultante est un vecteur axial ou pseudo-vecteur[19] :
Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire (ou vrai vecteur)
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Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaireou vrai vecteur[17] : le torseur défini sur l'espace affine euclidien tridimensionnel [7]
Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire
ou vrai vecteur
: le torseur étant déterminé par un couple de deux vecteurs 
étant la direction [2] de ,
Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaireou vrai vecteur : on distingue chacun d'eux suivant leur dépendance à l'orientation de l'espace de la façon suivante :
Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaireou vrai vecteur : on distingue un 1er vrai vecteur ou vecteur polaire[17] indépendant du point 
en lequel est appliqué et
Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaireou vrai vecteur : on distingue un 2nd pseudo-vecteur ou vecteur axial[19] 
[21] dépendant a priori du point où est appliqué ;
Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaireou vrai vecteur : ce couple d'un vrai vecteur [17] et d'un pseudo-vecteur [19] 
[22]
Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaireou vrai vecteur : ce couple d'un vrai vecteur et d'un pseudo-vecteur constitue « la réduction du torseurau point
[7] »,
Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaireou vrai vecteur : ce couple le 1er vecteur « polaire » [17] étant la résultante du torseur et
Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaireou vrai vecteur : ce couple le 2nd vecteur « axial » [19] 
le moment du torseur au point
,
Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaireou vrai vecteur : cette réduction du torseur en [7] s'écrivant symboliquement 
[23], [24].
Remarques : D'après la note « 24 », l'ensemble des torseurs formant un espace vectoriel de dimension six,
Remarques : D'après la note « 24 », il est possible de décrire un torseur, après avoir choisi une base orthonormée 
[25] de cet espace vectoriel de dimension six,
Remarques : D'après la note « 24 », il est possible de décrire un torseur, par les six composantes de sa réduction en un point quelconque de [7],
Remarques : D'après la note « 24 », il est possible de décrire un torseur, par ces six composantes constituant les coordonnées plückeriennes [26] de la réduction du torseur au point[7] soit,
Remarques : D'après la note « 24 », il est possible de décrire avec 
[27], [28], il est possible de réécrire la réduction du torseur au point [7] par
Remarques : D'après la note « 24 », il est possible de décrire un torseur, par ces six composantes constituant ses coordonnées plückeriennes 
.
Remarques : D'après la relation de Varignon [14], la connaissance de « la réduction du torseur en un point quelconque [7] » permet de déduire le torseur en n'importe quel point 
[7] selon
Remarques : D'après la relation de Varignon, la connaissance de « la réduction du torseur en un point quelconque 
» permet de déduire le torseur 
[29], [30].
Exemples : les torseurs statiques, voir le paragraphe « torseur statique » plus loin dans ce chapitre, la résultante étant appelée résultante dynamique notée 
[31] et
Exemples : les torseurs statiques, voir le paragraphe « torseur statique » plus loin dans ce chapitre, le moment résultant en appelé moment résultant dynamique en , noté 
[32] ;
Exemples : les torseurs cinétiques des systèmes fermés définis dans un référentiel 
fixé, voir le paragraphe « torseur cinématique » plus loin dans ce chapitre,
Exemples : les torseurs cinétiques des systèmes fermés définis dans un référentiel 
fixé, la résultante étant appelée résultante cinétique, notée 
[33] et
Exemples : les torseurs cinétiques des systèmes fermés définis dans un référentiel fixé, le moment résultant en appelé moment cinétique résultant en , noté 
[34],
Exemples : les torseurs cinétiques des systèmes fermés définis dans un référentiel fixé, la relation de Varignon [14] s'écrivant en 
selon 
[35] ;
Exemples : les torseurs dynamiques des systèmes fermés définis dans un référentiel fixé, voir le paragraphe « torseur dynamique » plus loin dans ce chapitre,
Exemples : les torseurs dynamiques des systèmes fermés définis dans un référentiel fixé, la résultante étant appelée, par certains, quantité d'accélération [36], [37], notée 
[38] et
Exemples : les torseurs dynamiques des systèmes fermés définis dans un référentiel fixé, le moment résultant en fixe dans 
, appelé moment résultant du torseur dynamique en ,
Exemples : les torseurs dynamiques des systèmes fermés définis dans un référentiel fixé, le moment résultant en 
fixe dans 
, noté 
[38], [39],
Exemples : les torseurs dynamiques des systèmes fermés définis dans un référentiel fixé, la relation de Varignon [14] s'écrivant en fixe dans , 
étant aussi fixe dans , selon
Exemples : les torseurs dynamiques des systèmes fermés définis dans un référentiel fixé, la relation de Varignon s'écrivant 
[40].
Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial (ou pseudo-vecteur)
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Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axialou pseudo-vecteur[19] : le torseur défini sur l'espace affine euclidien tridimensionnel [7]
Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axialou pseudo-vecteur : le torseur étant déterminé par un couple de deux vecteurs étant la direction [2] de ,
Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axialou pseudo-vecteur : on distingue chacun d'eux suivant leur dépendance à l'orientation de l'espace de la façon suivante :
Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axialou pseudo-vecteur : on distingue un 1er pseudo-vecteur ou vecteur axial[19] indépendant du point en lequel est appliqué et
Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axialou pseudo-vecteur : on distingue un 2nd vrai vecteur ou vecteur polaire[17] [21] dépendant a priori du point où est appliqué ;
Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axialou pseudo-vecteur : ce couple d'un pseudo-vecteur [19] et d'un vrai vecteur [17] [22]
Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axialou pseudo-vecteur : ce couple d'un pseudo-vecteur et d'un vrai vecteur constitue « la réduction du torseurau point[7] »,
Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axialou pseudo-vecteur : ce couple le 1er vecteur « axial » [19] étant la résultante du torseur et
Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axialou pseudo-vecteur : ce couple le 2nd vecteur « polaire » [17] le moment du torseur au point,
Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axialou pseudo-vecteur : cette réduction du torseur en [7] s'écrivant symboliquement [23], [41].
Remarques : D'après la note « 24 », l'ensemble des torseurs formant un espace vectoriel de dimension six,
Remarques : D'après la note « 24 », il est possible de décrire un torseur, après avoir choisi une base orthonormée 
[42] de cet espace vectoriel de dimension six,
Remarques : D'après la note « 24 », il est possible de décrire un torseur, par les six composantes de sa réduction en un point quelconque de [7],
Remarques : D'après la note « 24 », il est possible de décrire un torseur, par ces six composantes constituant les coordonnées plückeriennes [26] de la réduction du torseur au point[7] soit,
Remarques : D'après la note « 24 », il est possible de décrire avec 
[43], [44], il est possible de réécrire la réduction du torseur au point [7] par
Remarques : D'après la note « 24 », il est possible de décrire un torseur, par ces six composantes constituant ses coordonnées plückeriennes 
.
Remarques : D'après la relation de Varignon [14], la connaissance de « la réduction du torseur en un point quelconque [7] » permet de déduire le torseur en n'importe quel point [7] selon
Remarques : D'après la relation de Varignon, la connaissance de « la réduction du torseur en un point quelconque » permet de déduire le torseur [29], [45].
Exemple : les torseurs cinématiques des solides définis dans un référentiel fixé, voir le paragraphe « torseur cinématique » plus loin dans ce chapitre,
Exemple : les torseurs cinématiques des solides définis dans un référentiel fixé, la résultante étant appelée vecteur rotation instantanée notée 
[46],
Exemple : les torseurs cinématiques des solides définis dans un référentiel fixé, le moment résultant en un point du solide étant appelé vecteur vitesse de dans le référentiel 
,
Exemple : les torseurs cinématiques des solides définis dans un référentiel fixé, le moment résultant en un point du solide étant noté 
[47],
Exemple : les torseurs cinématiques des solides définis dans un référentiel fixé, la relation de Varignon [14] s'écrivant en 
, point du solide, selon 
[48]
Diverses opérations sur les torseurs
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Deux torseurs 
et 
sont égaux ssi leurs éléments de réduction au même point sont égaux soit «
».
La somme de deux torseurs et est le torseur dont les éléments de réduction en un point sont la somme des éléments de réduction de chacun des torseurs au même point soit
«
».
Multiplication d'un torseur par un scalaire
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Soit un torseur quelconque, 
, le torseur 
est le torseur dont les éléments de réduction en un point sont 
fois les éléments de réduction du torseur au même point soit
«
».
Un torseur est nul ssi ses éléments de réduction en un point sont tous deux nuls soit «
» [49].
Ce sont : la résultante du torseur 
,
Ce sont : la projection du moment 
du torseur sur sa résultante soit «
» appelée « invariant scalaire du torseur »
Ce sont : la projection du moment 
du torseur 
sur sa résultante 
se démontre d'après la relation de Varignon [14] : 
Ce sont : la projection du moment du torseur sur sa résultante 
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\cdot {\vec {R}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}\;{\cancel {+\left[{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\right]\cdot {\vec {R}}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5084e0b57ee026d77bacb8d4928b04a068217c16)
[50]![{\displaystyle {\bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d9e51d2d3cafc3e7d1a34196d9b65ac61640ed1)
et
Ce sont : la relation d'équiprojectivité «
» contenu dans la définition d'un torseur [51]![{\displaystyle {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d63350d68291e3f56604a089e0e0b5a86c2472)
.
Notion d'axe central d'un torseur
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Définition de point central d'un torseur
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Définition
Un point
en lequel le
moment du torseur a même direction que la
résultante de ce dernier
[52] est dit «
central »
[53] c.-à-d.
est un point central [53] du torseur ssi 
[54] 
.
Définition d'axe central d'un torseur
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Définition
L'ensemble
des points centraux du
torseur définit «
l'axe central » du
torseur c.-à-d.
est l'axe central du torseur 
[55].
Propriétés du torseur sur son axe central
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Si la résultante du torseur est 
, son axe central est une droite de vecteur directeur et dans la mesure où on admet l'existence d'un point central [56]
Si la résultante du torseur est 
, son axe central 
c'est la droite de vecteur directeur issue de en effet,
Si la résultante du torseur est , son axe central d'après la relation de Varignon [14] on peut écrire 
dont on déduit
Si la résultante du torseur est , son axe central ![{\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\wedge {\vec {R}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\wedge {\vec {R}}+\left[{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\right]\wedge {\vec {R}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fc995fb7620064df269c04e94fc0f5108a5e919)
ou, en utilisant une formule du double produit vectoriel [57]
Si la résultante du torseur est , son axe central ![{\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\wedge {\vec {R}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\wedge {\vec {R}}-\left[{\overrightarrow {PQ}}\cdot {\vec {R}}\right]{\vec {R}}+{\vec {R}}^{2}\;{\overrightarrow {PQ}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcc46a257eeb7f1d9e11afd7a000704796dc4c8b)
et par suite, 
, 
d'où
Si la résultante du torseur est , son axe central ![{\displaystyle {\cancel {{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\wedge {\vec {R}}}}={\cancel {{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\wedge {\vec {R}}}}-\left[{\overrightarrow {PQ}}\cdot {\vec {R}}\right]{\vec {R}}+{\vec {R}}^{2}\;{\overrightarrow {PQ}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2fc235833a497a8fabbbc4f2dad1bd68fdb35f0)
avec 
établissant la propriété directe
Si la résultante du torseur est , son axe central « si 
, alors ils sont sur une droite de vecteur directeur » ou encore
Si la résultante du torseur est , son axe central l'« ensemble des points centraux [56] du torseur est 
dans la droite de vecteur directeur passant par »,
Si la résultante du torseur est , son axe central réciproquement, si 
avec point central [56] dont l'existence est admise,
Si la résultante du torseur est , son axe central réciproquement, la relation de Varignon [14] donne 
[58] 
et par suite,
Si la résultante du torseur est , son axe central réciproquement, 
point central [56] de 
c.-à-d. 
est un point central [56] de ,
Si la résultante du torseur est , son axe central réciproquement, d'où l'« ensemble des points de la droite de vecteur directeur passant par est dans l'axe central »,
Si la résultante du torseur est , son axe central finalement « la droite de vecteur directeur issue du point central [56] existence admise est l'axe central du torseur » ;
Si la résultante du torseur est , le moment du torseurest le même en tout point de l'axe central en effet, étant une droite de vecteur directeur
Si la résultante du torseur est , le moment du torseurest le même en tout point de l'axe central en effet, dans la mesure où on admet l'existence d'un point central [56],
Si la résultante du torseur est , le moment du torseurest le même la relation de Varignon [14] nous donne 
C.Q.F.D. [59] ;
Si la résultante du torseur est , la norme du moment du torseurest minimale sur son axe central en effet, étant une droite de vecteur directeur 
Si la résultante du torseur est , la norme du moment du torseurest minimale sur son axe central en effet, dans la mesure où on admet l'existence d'un point central [56],
Si la résultante du torseur est , la norme du moment du torseurest minimale la relation de Varignon [14] nous donne 
avec 
, 
,
Si la résultante du torseur est , la norme du moment du torseurest minimale la relation de Varignon nous donne où 
est 
à et 
à donc à
Si la résultante du torseur est , la norme du moment du torseurest minimale la relation de Varignon nous donne 
[60] d'où
Si la résultante du torseur est , la norme du moment du torseurest minimale la relation de Varignon nous donne 
car 
pour 
,
Si la résultante du torseur est , la norme du moment du torseurest minimale la relation de Varignon nous donne vrai 
, le moment du torseur
Si la résultante du torseur est , la norme du moment du torseurest minimale la relation de Varignon nous donne vrai 
, étant constant sur son axe central d'où
Si la résultante du torseur est , la norme du moment du torseurest minimale la relation de Varignon nous donne 
C.Q.F.D. [59].
Torseurs particuliers et décomposition centrale d'un torseur quelconque
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Le torseur nul 
est le torseur dont les éléments de réduction en un point quelconque sont nuls soit 
[61].
Un torseur couple 
est un torseur pour lequel les éléments de réduction en n'importe quel point 
se réduisent à son moment non nul soit 
.
- « Le moment d'un torseur coupleest constant en tout point» en effet la relation de Varignon [14] appliquée à en
soit
« Le moment d'un torseur couple
est constant en tout point
» en effet la relation de Varignon appliquée à en 
« Le moment d'un torseur coupleest constant en tout point» une conséquence est qu'il est inutile de préciser en quel point les éléments de réduction du couple sont évalués,
« Le moment d'un torseur coupleest constant en tout point» ainsi le moment du couple sera-t-il simplement noté 
sans ajouter 
en indice précisant le point où il est évalué ;
- un torseur couplen'a pas d'axe central
, en effet l'existence d'un point central [56] pour un torseur couple impliquerait qu'en ce point le moment du couple soit nul puisque colinéaire à sa résultante 
,
un torseur couplen'a pas d'axe central
, en effet l'existence d'un point central pour un torseur couple impliquerait ce qui est impossible, le moment d'un torseur couple étant constant 
[62].
- La somme de deux couples
et
est un couple si leurs moments
et
ne sont pas opposés, en effet 
, les éléments de réduction de chacun des couples étant
La somme de deux couples
et
est un couple si leurs moments
et
ne sont pas opposés, en effet 
, les éléments de réduction 
et 
,
La somme de deux couplesetest un couple si leurs momentsetne sont pas opposés, en effet on en déduit ceux de la somme des deux couples au même point
La somme de deux couplesetest un couple si leurs momentsetne sont pas opposés, en effet on en déduit ceux 
[63] assurant que
La somme de deux couplesetest un couple si leurs momentsetne sont pas opposés, en effet on en déduit cette somme est un couple de moment 
;
- si les moments des deux couplesetsont opposés, la somme de ces deux couples
est le torseur nul
.
Définition d'un torseur glisseur
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Un torseur glisseur 
est un torseur pour lequel il existe un point particulier en lequel les éléments de réduction non nuls se réduisent à sa résultante , son moment en étant nul, c.-à-d.
Un torseur glisseur 
est un torseur pour lequel 
.
Propriétés d'un torseur glisseur
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- « Le moment d'un torseur glisseurest nul en tout point de son axe central
» en effet le point particulier est un point de c.-à-d. un point central [56] du glisseur 
,
« Le moment d'un torseur glisseurest nul en tout point de son axe central
» en effet 
de 
on tire soit 
avec 
[64] c.-à-d. une 1ère justification ou
« Le moment d'un torseur glisseurest nul en tout point de son axe central» en effet 
l'axe central étant le lieu à 
minimale [65], 
minimale d'où 
« Le moment d'un torseur glisseurest nul en tout point de son axe central» en effet l'axe central étant le lieu à 
minimale, 
c.-à-d. une 2ème justification![{\displaystyle {\Big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb5ec6bb7771c982c131bdb53858ed6e79e456a4)
et
« Le moment d'un torseur glisseurest nul en tout point de son axe central» en effet le moment du torseur en tout point de son axe central étant le même [66] est égal à celui de d'où
« Le moment d'un torseur glisseurest nul en tout point de son axe central» 
, 
C.Q.F.D. [59] ;
- l'axe central d'un torseur glisseur est encore appelé support du glisseur ;
- en tout point
les éléments de réduction du torseur glisseur sont tous deux non nuls c.-à-d. 
, en effet
en tout point 
les éléments de réduction du torseur glisseur sont tous deux non nuls le moment du glisseur en 
s'obtient par relation de Varignon [14] à partir de 
soit
en tout point les éléments de réduction du torseur glisseur sont tous deux non nuls 
car 
non colinéaire à [67] C.Q.F.D. [59].
Autres caractérisations d'un torseur glisseur
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- Un torseurdont les éléments de réduction en un point
sont non nuls et
soit ![{\displaystyle \;{\mathcal {T}}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}\left[{\begin{array}{c}\neq {\overrightarrow {0}}\\\perp \;{\text{à}}\;{\vec {R}}\end{array}}\right]\end{array}}\right\rbrace _{B}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0057944ac9074a6642adabb19fe541648f6a4988)
Un torseurdont les éléments de réduction en un point
sont non nuls et
est un glisseur en effet, appliquant la relation de Varignon [14] en a priori quelconque 
à partir de 
Un torseurdont les éléments de réduction en un pointsont non nuls et est un glisseur en effet, 
avec 
et 
tous deux à , permettant de
Un torseurdont les éléments de réduction en un pointsont non nuls et est un glisseur en effet, choisir 
vérifiant 
c.-à-d. 
Un torseurdont les éléments de réduction en un pointsont non nuls et est un glisseur en effet, choisir 
et colinéaires 
ou,
Un torseurdont les éléments de réduction en un pointsont non nuls et est un glisseur en effet, choisir en utilisant une des formules du double produit vectoriel [57] on obtient
Un torseurdont les éléments de réduction en un pointsont non nuls et est un glisseur en effet, choisir 
[68] c.-à-d.
Un torseurdont les éléments de réduction en un pointsont non nuls et est un glisseur en effet, choisir 
dans le plan à en C.N. [69] non S. [70] avec
Un torseurdont les éléments de réduction en un pointsont non nuls et est un glisseur en effet, choisir choix supplémentaire de 
dans le plan à en [71] soit
Un torseurdont les éléments de réduction en un pointsont non nuls et est un glisseur en effet, choisir dans le plan à 
en [71] le trièdre
Un torseurdont les éléments de réduction en un pointsont non nuls et est un glisseur en effet, choisir 
est orthogonal [72] ou, avec 
[73],
Un torseurdont les éléments de réduction en un pointsont non nuls et est un glisseur en effet, choisir orthogonal [72] direct [74] dans orienté à droite [75],
Un torseurdont les éléments de réduction en un pointsont non nuls et est un glisseur en effet, choisir sens de 
déterminé par la règle de la main droite [76], finalement
Un torseurdont les éléments de réduction en un pointsont non nuls et est un glisseur en effet, choisir la condition [73] 
ou,
Un torseurdont les éléments de réduction en un pointsont non nuls et est un glisseur en effet, choisir 
[77] soit, avec 
à ,
Un torseurdont les éléments de réduction en un pointsont non nuls et est un glisseur en effet, choisir 
C.Q.F.D. [59] [78] d'où
Un torseurdont les éléments de réduction en un pointsont non nuls et est un glisseur en effet, la déduction que le torseur est un glisseur de support passant par ce point particulier 
.
- Un torseurnon nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi son invariant scalaire [79] est nul soit
Un torseurnon nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «
» en effet si est un glisseur et si son axe central, [80] dont on déduit
Un torseurnon nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «
» en effet si est un glisseur et si 
son axe central![{\displaystyle \color {transparent}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36e3aeba89a1a84cb71d709e925b4d3d1cfbbee6)
, 
alors que
Un torseurnon nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «» en effet si est un glisseur et si 
, 
est à [81] dont on déduit
Un torseurnon nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «» en effet si est un glisseur et si 
[82] d'où la proposition directe ;
Un torseurnon nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «» en effet si 
étant 
, deux hypothèses peuvent être conjecturées :
Un torseurnon nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «» en effet si 
il existe des points 
en lesquels [83]
Un torseurnon nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «» en effet si il existe le torseur est un glisseur par définition [84] ou
Un torseurnon nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «» en effet si il n'existe aucun point en lesquels
Un torseurnon nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «» en effet si il n'existe 
, parmi ces points,
Un torseurnon nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «» en effet si il n'existe on choisit un et d'autres tels que
Un torseurnon nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «» en effet si il n'existe on choisit 
soit à et 
[85],
Un torseurnon nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «» en effet si il n'existe la relation de Varignon [14] en à partir de
Un torseurnon nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «» en effet si il n'existe 
dans laquelle
Un torseurnon nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «» en effet si il n'existe 
[85] et donc 
d'où,
Un torseurnon nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «» en effet si il n'existe selon les sens comparés de 
et [86],
Un torseurnon nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «» en effet si il n'existe 
[87] ou encore
Un torseurnon nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «» en effet si il n'existe 
[88] d'où
Un torseurnon nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «» en effet si existence de 
tel que 
[89] ou 
,
Un torseurnon nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «» en effet si laquelle, étant contraire à l'hypothèse initiale [90], prouve que
Un torseurnon nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «» en effet si il existe des points en lesquels et par suite
Un torseurnon nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «» en effet si il existe le torseur 
, par définition [84], est un glisseur
Un torseurnon nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «» en effet si d'où la proposition réciproque.
- La somme de deux glisseurs
et
est un glisseur
si leurs axes centraux
et
sont concourants soit 
, plus précisément
La somme de deux glisseurs
et
est un glisseur
si 
[91] en effet, en 
, les éléments de réduction des glisseurs étant 
, 
,
La somme de deux glisseursetest un glisseursi 
en effet, les éléments de réduction de la somme des deux glisseurs au même point s'écrivent selon
La somme de deux glisseursetest un glisseursi en effet, 
[92] assurant que cette somme est un glisseur [84]
La somme de deux glisseursetest un glisseursi en effet, dont le support est la droite issue de de vecteur directeur 
ou
La somme de deux glisseursetest un glisseursi leurs axes centrauxetsont parallèlesou confondusavec leurs résultantes non opposées en effet
La somme de deux glisseursetest un glisseursi est à en étant différent, ces axes centraux n'ont aucun point commun et par suite, en un point 
,
La somme de deux glisseursetest un glisseursi 
est 
à 
en étant différent, les éléments de réduction de chacun des glisseurs en ce point sont
La somme de deux glisseursetest un glisseursi est à en étant différent, ![{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{1}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q}\left[\!{\begin{array}{c}\neq {\overrightarrow {0}}\\\perp \;{\text{à}}\;{\vec {R}}_{1}\end{array}}\!\right]\end{array}}\right\rbrace _{\!Q}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e7ad4b8f103f5ec80f3540b0d4f853154fb522f)
et ![{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q}\left[\!{\begin{array}{c}\neq {\overrightarrow {0}}\\\perp \;{\text{à}}\;{\vec {R}}_{2}\end{array}}\!\right]\end{array}}\!\right\rbrace _{\!Q}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13f286a82a150c3ed878e04c8326ce5ef0f6584a)
ceux de la somme s'écrivent
La somme de deux glisseursetest un glisseursi est à en étant différent, 
[93], son moment en a priori [94], à [95]
La somme de deux glisseursetest un glisseursi est à en étant différent, 
est un glisseur [96] de support « la droite passant par où ![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q_{0}}+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q_{0}}={\overrightarrow {0}}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a844cb032d77a703bfc6779f1483d4c62561d1b)
[97]
La somme de deux glisseursetest un glisseursi est à en étant différent, 
est un glisseur de support « la droite de vecteur directeur » [98] C.Q.F.D. [59] ;
La somme de deux glisseursetest un glisseursi est à en étant différent, remarque : si le moment de 
en quelconque est nul, cela prouve, sans autre démonstration,
La somme de deux glisseursetest un glisseursi est à en étant différent, remarque : que est un glisseur [84] de support « la droite passant par ce point et
La somme de deux glisseursetest un glisseursi est à en étant différent, remarque : que 
est un glisseur de support « la droite de vecteur directeur » ;
La somme de deux glisseursetest un glisseursi est confondu avec 
, tous les points de ces axes centraux sont communs et par suite, 
,
La somme de deux glisseursetest un glisseursi est confondu avec 
, les éléments de réduction des glisseurs en sont 
et 
La somme de deux glisseursetest un glisseursi est confondu avec , 
[93] est un glisseur [84] de support l'axe central commun
La somme de deux glisseursetest un glisseursi est confondu avec , 
est un glisseur de support 
et
La somme de deux glisseursetest un glisseursi est confondu avec , est un glisseur de vecteur directeur 
.
- La somme de deux glisseursetn'est pas un glisseursi leurs axes centrauxetne concourent pas c.-à-d. si et ne sont pas coplanaires.
- La somme de deux glisseursetest un couplesi leurs axes centrauxetsont parallèles avec leurs résultantes opposées en effet
La somme de deux glisseursetest un couplesi est à en étant différent, ces axes centraux n'ont aucun point commun et par suite, en un point ,
La somme de deux glisseursetest un couplesi est à en étant différent, les éléments de réduction de chacun des glisseurs en ce point sont
La somme de deux glisseursetest un couplesi est à en étant différent, et ![{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q}\left[\!{\begin{array}{c}\neq {\overrightarrow {0}}\\\perp \;{\text{à}}\;{\vec {R}}_{2}\end{array}}\!\right]\end{array}}\!\right\rbrace _{\!Q}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a54a1e4eef0feb7fbe2214eb3653efc5176834e3)
ceux de la somme s'écrivent
La somme de deux glisseursetest un couplesi est à en étant différent, 
[99], 
étant [100], [101] prouve que
La somme de deux glisseursetest un couplesi est à en étant différent, est un couple [102] de moment constant [103] propriété caractéristique d'un couple [104].
- La somme de deux glisseursetest le torseur nulsi leurs axes centrauxetsont confondus avec leurs résultantes opposées en effet
La somme de deux glisseursetest le torseur nulsi est confondu avec , tous les points de ces axes centraux sont communs et par suite, ,
La somme de deux glisseursetest le torseur nulsi est confondu avec , les éléments de réduction de chacun des glisseurs en ce point sont
La somme de deux glisseursetest le torseur nulsi est confondu avec , « et 
» [80] ceux de la somme s'écrivent
La somme de deux glisseursetest le torseur nulsi est confondu avec , 
[99] est le torseur nul C.Q.F.D. [59].
Décomposition centrale d'un torseur quelconque
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Début d’un théorème
Théorème
« Tout
torseur peut être décomposé de façon unique
« Tout torseur peut être décomposé en la somme d'un
torseur glisseur de support identique à l'
axe central du
torseur et
« Tout torseur peut être décomposé en la somme d'un
torseur couple » soit encore
tel que 
.
Fin du théorème
Démonstration : Soit le torseur et ses éléments de réduction en un point de son axe central 
, 
[105], nous décomposons
Démonstration : Soit le torseur et les éléments de réduction du torseur en de la façon unique selon 
, avec
Démonstration : Soit le torseur et les éléments de réduction du torseur en de la façon unique selon le 1er terme du 2nd membre 
définissant un glisseur unique en [106]
Démonstration : Soit le torseur et les éléments de réduction du torseur en de la façon unique selon le 1er terme de support « la droite issue de de vecteur directeur » [107] et
Démonstration : Soit le torseur et les éléments de réduction du torseur en de la façon unique selon le 2 nd terme du 2nd membre 
définissant un couple unique en [108]
Démonstration : Soit le torseur et les éléments de réduction du torseur en de la façon unique selon le 2 nd terme de moment constant [104] égal à 
.
Remarque : C'est par le choix des éléments de réduction du torseur en un point de son axe central que l'on assure l'unicité de la décomposition précédente, c'est aussi
Remarque : C'est la raison pour laquelle cette décomposition est appelée « décomposition centrale », les trois éléments indispensables pour établir cette décomposition étant 
[109]
Remarque : C'est la raison pour laquelle cette décomposition est appelée « décomposition centrale », les trois éléments indispensables encore appelés « éléments centraux de ».
Produit (ou comoment) de deux torseurs
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Définition du produit (ou comoment) de deux torseurs
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Définition
Le
produit ou
comoment des deux
torseurs et
dont les
éléments de réduction en un même point quelconque
sont
Le produit ou comoment des deux torseurs 
et
est la grandeur
telle que
«
».
Propriétés du produit (ou comoment) de deux torseurs
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- Le produitou comomentde deux torseursetest commutatif c.-à-d.
[110] ;
- le produitou comomentde deux torseursetest indépendant du pointen lequel sont définis les éléments de réduction des torseurs en effet,
le produitou comomentde deux torseurs
et
est indépendant du point avec un point 
, seul le moment des torseurs est modifié selon la relation de Varignon [14]
le produitou comomentde deux torseursetest indépendant du point avec un point 
, seul le moment des torseurs est modifié selon![{\displaystyle \left[\!{\begin{array}{c}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,B}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A}+{\vec {R}}_{1}\wedge {\overrightarrow {AB}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,B}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A}+{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {AB}}\end{array}}\!\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bf1d42261585fa3d67281f9b688cfbaaa16eaef)
le produitou comomentde deux torseursetest indépendant du point 
le produitou comomentde deux torseursetest indépendant du point ![{\displaystyle ={\vec {R}}_{1}\cdot \left[{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A}+{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {AB}}\right]+{\vec {R}}_{2}\cdot \left[{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A}+{\vec {R}}_{1}\wedge {\overrightarrow {AB}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f94330554721908d40fdaaf2f87a2481b7b284c)
le produitou comomentde deux torseursetest indépendant du point ![{\displaystyle ={\vec {R}}_{1}\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A}+{\vec {R}}_{2}\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A}\;{\cancel {+\;{\vec {R}}_{1}\cdot \left[{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {AB}}\right]+{\vec {R}}_{2}\cdot \left[{\vec {R}}_{1}\wedge {\overrightarrow {AB}}\right]}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c78bb22359034946e18eb805533eea89f994b6c)
[111], [112]
le produitou comomentde deux torseursetest indépendant du point 
soit finalement
le produitou comomentde deux torseursetest indépendant du point 
C.Q.F.D. [59].
- Le produitou comomentde deux torseurs couplesetest identiquement nul en effet
[113] 
[114] C.Q.F.D. [59] ;
- le produitou comomentd'un torseur couple et d'un glisseuretn'est quasi jamais nul car
[115] 
[116], [117]
en général 
[118] ;
- le produitou comomentde deux torseurs glisseursetest nulsi leurs axes centrauxetsont concourants en effet, en notant
le point d'intersection des axes centraux,
le produitou comomentde deux torseurs glisseursetest nulsi leurs axes centrauxetsont concourants 
[84]
le produitou comomentde deux torseurs glisseursetest nulsi leurs axes centrauxetsont concourants 
[116] 
[119] ou
le produitou comomentde deux torseurs glisseurset est nulsi leurs axes centrauxetsont confondus, en effet le cas des axes centraux confondus peut être considéré comme
le produitou comomentde deux torseurs glisseurset est nulsi leurs axes centrauxetsont confondus, en effet le cas particulier d'axes centraux concourants en tous leurs points ou
le produitou comomentde deux torseurs glisseurset est nulsi leurs axes centrauxetsont parallèles en effet, avec 
donc hors 
, 
et
le produitou comomentde deux torseurs glisseurset est nulsi leursaxes centrauxetsont parallèles en effet, avec 
, 
où 
s'obtient
le produitou comomentde deux torseurs glisseurset est nulsi leurs axes centrauxetsont parallèles en effet, avec par relation de Varignon [14] appliquée en 
avec 
,
le produitou comomentde deux torseurs glisseurset est nulsi leurs axes centrauxetsont parallèles en effet, avec 
car 
,
le produitou comomentde deux torseurs glisseurset est nulsi leurs axes centrauxetsont parallèles en effet, avec soit 
dont on déduit
le produitou comomentde deux torseurs glisseurset est nulsi leurs axes centrauxetsont parallèles en effet, avec 
le produitou comomentde deux torseurs glisseurset est nulsi leurs axes centrauxetsont parallèles en effet, avec ![{\displaystyle ={\vec {R}}_{1}\cdot \left[{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {A_{2}A_{1}}}\right]\;{\cancel {+\;{\vec {R}}_{2}\cdot {\overrightarrow {0}}_{(1),\,A_{1}}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dcad1e112b4938ac7762275620fae393dfcaa3)
[116] 
,
le produitou comomentde deux torseurs glisseurset est nulsi leurs axes centrauxetsont parallèles en effet, avec les trois vecteurs 
étant coplanaires [120]
le produitou comomentde deux torseurs glisseurset est nulsi leurs axes centrauxetsont parallèles en effet, avec les trois vecteurs leur produit mixte est nul [50] ;
- le produitou comomentde deux torseurs glisseursetest non nul si leurs axes centrauxetne sont pas concourants, parallèles ou confondus, en effet
le produitou comomentde deux torseurs glisseursetest non nul comme il n'existe aucun point commun des axes centraux et , on choisit un point 
le produitou comomentde deux torseurs glisseursetest non nul pour évaluer les éléments de réduction des torseurs 
, ![{\displaystyle \left[\!{\begin{array}{c}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{1}}={\cancel {{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{2}}\;+}}\;{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {A_{2}A_{1}}}\neq {\overrightarrow {0}}\\A_{2}\;\in \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\Rightarrow {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{2}}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6605c01a76a1fc80a2ac4bc200f40a419674d0cc)
[121] d'où
le produitou comomentde deux torseurs glisseursetest non nul ![{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{1}\otimes {\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R_{1}}}\neq 0\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A_{1}}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A_{1}}\otimes \left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{1}}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A_{1}}={\vec {R}}_{1}\cdot \left[{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {A_{2}A_{1}}}\right]\;{\cancel {+\;{\vec {R}}_{2}\cdot {\overrightarrow {0}}_{(1),\,A_{1}}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/450ba764cc3fd00ad372350e0c41c45a88887420)
[116] 
,
le produitou comomentde deux torseurs glisseursetest non nul les trois vecteurs n'étant pas coplanaires leur produit mixte [50] est non nul [50].
Exemples de torseurs en mécanique
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Le torseur statique ou torseur des actions mécaniques sert à modéliser les actions mécaniques lors de la résolution d'un problème de statique tridimensionnel [122].
Une action mécanique exercée sur un système de points matériels ![{\displaystyle \;\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ee3138e2c2628b45459878815a5dc9c70f99d34)
peut être représentée par une force 
s'exerçant sur le point 
ou
Une action mécanique exercée sur un système de points matériels ![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ef441b4f21d1fdcf5baf929d39632ce5250033b)
peut être représentée par une répartition de forces de somme nulle ![{\displaystyle \;{\vec {C}}_{\left(l\,\in \left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]\right)}=\left\lbrace {\vec {F}}_{l},\;\sum \limits _{l}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\vec {F}}_{l}={\vec {0}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/135e26517ec8c2557e95beb95d263d2f3eac994c)
Une action mécanique exercée sur un système de points matériels peut être représentée par une répartition définissant un couple au sens de la mécanique s'appliquant au moins
Une action mécanique exercée sur un système de points matériels peut être représentée par une répartition définissant un couple en deux points distincts «![{\displaystyle \;A_{l},\,l\in \left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62b25ac2ac69c7501ec1fa47530ef5298f1735aa)
» ;
Une action mécanique exercée sur un système de points matériels chaque force s'exerçant sur le point est un torseur glisseur 
de support 
défini par
Une action mécanique exercée sur un système de points matériels chaque force 
s'exerçant sur le point 
est la droite issue de de vecteur directeur 
,
Une action mécanique exercée sur un système de points matériels chaque force s'exerçant sur le point est ses éléments de réduction en un point 
quelconque
Une action mécanique exercée sur un système de points matériels chaque force s'exerçant sur le point est étant 
[123],
Une action mécanique exercée sur un système de points matériels chaque répartition de forces de somme nulle
Une action mécanique exercée sur un système de points matériels chaque répartition de forces de somme nulle est un torseur couple ![{\displaystyle \;{\mathcal {C}}_{\left(l\,\in \left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad9d64a42e73d03ae7f5da8cbc1252df83d3be6)
,
Une action mécanique exercée sur un système de points matériels chaque répartition de forces de somme nulle est ses éléments de réduction en un point quelconque étant
Une action mécanique exercée sur un système de points matériels chaque répartition de forces de somme nulle est ![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\vec {C}}_{\left(l\,\in \left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]\right)}}=\sum \limits _{l}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\vec {F}}_{l}\wedge {\overrightarrow {A_{l}O}}\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77cf68b6365be6f178b8f901bd596a56f90b7e1e)
[124], [125]
Une action mécanique exercée sur un système de points matériels les actions mécaniques s'exerçant sur le système de points matériels
Une action mécanique exercée sur un système de points matériels les actions mécaniques sont représentées par un torseur 
nommé « torseur statique [126] » dont
Une action mécanique exercée sur un système de points matériels les actions mécaniques les éléments de réduction en un point quelconque sont
Une action mécanique exercée sur un système de points matériels les actions mécaniques ![{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{\text{stat.}}=\sum _{k}{\mathcal {G}}_{k}+\sum \limits _{q,\,{\text{indexant}}}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\mathcal {C}}_{q}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3977da809e63365faf01bb4931e9ccbbec08c252)
[127]
Une action mécanique exercée sur un système de points matériels les actions mécaniques 
![{\displaystyle =\left\lbrace {\begin{array}{c}\sum _{k}{\vec {F}}_{k}\\\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\vec {F}}_{k}}+\sum \limits _{q,\,{\text{indexant}}}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{{\vec {C}}_{\left(l\,\in \left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]_{q}\right)}}\end{array}}\right\rbrace _{O}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26ec0e0a78b1e85f28f3db862d060d4d15210f1c)
[128].
Le torseur cinématique sert à représenter pratiquement les comportements de translation et de rotation d'un solide ou système indéformable de points matériels mais
Le torseur cinématique ne peut pas être utilisé pour un système déformable ce qui limite son introduction dans le domaine de la physique[129]..
On établit en effet que le champ de vitesse des points d'un solide![{\displaystyle \;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right),\,A_{i}A_{j}\,=\,cste\;\forall (i,\,j)}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5577b2a02afffbfa4ab93d16eed6e5f5152b7b)
dans un référentiel donné 
On établit en effet que le champ de vitesse des points d'un solide
est équiprojectif donc représentable par un torseur en effet
On établit en effet que le champ de vitesse des points d'un solide 
d'où,
On établit en effet que le champ de vitesse des points d'un solide en repérant les positions du solide dans le référentiel d'étude relativement à un point lié au référentiel,
On établit en effet que le champ de vitesse des points d'un solide 
, d'où 
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {A_{i}A_{j}}}(t)\cdot \left[{\vec {V}}_{A_{j}}(t)-{\vec {V}}_{A_{i}}(t)\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f1486800999652ce82123e6d0ad61422f82096f)
ou
On établit en effet que le champ de vitesse des points d'un solide 
établissant le caractère équiprojectif [130] du champ de vitesse d'un solide [131] ;
d'après la forme directe de la relation de Varignon [14], [132] on peut définir, pour le torseur du champ de vitesse d'un solide nommé « torseur cinématique »,
d'après la forme directe de la relation de Varignon on peut définir, un vecteur unique vérifiant 
,
d'après la forme directe de la relation de Varignon on peut définir, un vecteur unique définissant la résultante du torseur cinématique [133] ;
les éléments de réduction du torseur cinématique du solide 
en un point de sont 
, le mouvement de dépendant de la nature de son torseur cinématique :
- le torseur cinématique est un torseur couple si
traduisant une translation du solide, la relation de Varignon [14] s'écrivant 
pour 
, dans ce cas le torseur cinématique n'a pas d'axe central,
- le torseur cinématique est un torseur glisseur si
avec l'existence d'un point 
tel que 
point central [56] du glisseur, le torseur glisseur ayant pour support « la droite issue de de vecteur directeur » [134], les autres points 
et 
de vecteurs vitesse 
selon la relation de Varignon [14] établissent que le solide a un mouvement de rotation de vecteur rotation instantanée autour du point fixe du solide [135],
- le torseur cinématique est un torseur non particulier si avec l'existence d'un point tel que
à 
point central [56] du torseur [136], le torseur ayant pour axe central 
« la droite issue de [136] de vecteur directeur », les autres points 
de vecteurs vitesse 
selon la relation de Varignon [14] établissent que le mouvement du solide résulte de la composition d'une rotation de vecteur rotation instantanée autour l'axe central et d'une translation de vecteur vitesse 
à et
- le torseur cinématique est un torseur non particulier si avec absence de point tel que à absence de point central [56] du torseur, le torseur n'ayant donc pas d'axe central ; le choix d'un point quelconque
de vecteur vitesse 
et d'un autre point 
mais 
de vecteurs vitesse 
selon la relation de Varignon [14] établit que le mouvement du solide résulte de la composition d'une rotation de vecteur rotation instantanée autour d'un axe à passant par et d'une translation de vecteur vitesse 
à .
Cette introduction n'est valable que dans le domaine de la cinétique newtonienne.
Le torseur cinétique sert à représenter pratiquement les comportements de « mouvement inertiel » [137] d'un système de points matériels déformable ou indéformable[138].
La grandeur cinétique d'un système de points matériels dans le référentiel d'étude
La grandeur cinétique est représentée, à l'instant 
, par son vecteur quantité de mouvement 
du point avec 
masse du point et son vecteur vitesse à l'instant ;
la quantité de mouvement 
du point est un torseur glisseur dont le support 
est la droite issue de de vecteur directeur 
,
la quantité de mouvement 
du point est un torseur glisseur 
ses éléments de réduction en un point quelconque sont 
[139] ;
l'ensemble des quantités de mouvement des points du système de points matériels
l'ensemble des quantités de mouvement des points du système est un torseur 
nommé « torseur cinétique »
l'ensemble des quantités de mouvement des points du système est un torseur 
dont les éléments de réduction en un point quelconque sont 
[140],
l'ensemble des quantités de mouvement des points du système est un torseur la résultante 
du torseur cinétique notée 
est appelée « résultante cinétique » et
l'ensemble des quantités de mouvement des points du système est un torseur le moment 
du torseur cinétique noté, en physique,
l'ensemble des quantités de mouvement des points du système est un torseur ![{\displaystyle {\overrightarrow {\sigma }}_{O,\,\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c4074f5e4cbcc3a2b2c0146a31ef6415af6316f)
[141] est appelé « moment résultant cinétique » au point [142], il s'écrit, en physique,
l'ensemble des quantités de mouvement des points du système est un torseur 
et la relation de Varignon [14] lui est applicable selon
l'ensemble des quantités de mouvement des points du système est un torseur 
ou encore 
.
Le torseur cinétique du système de points matériels dans le référentiel d'étude à l'instant 
est :
- un torseur couple si
traduisant l'immobilité du C.D.I. [143] 
du système quand celui-ci est fermé [144], la relation de Varignon [14] s'écrivant 
pour 
quelconque, dans ce cas le torseur cinétique n'a pas d'axe central,
- un torseur glisseur si
avec l'existence d'un point tel que 
point central [56] du glisseur, le torseur glisseur ayant pour support « la droite issue de de vecteur directeur » [145], en un autre point 
et le moment résultant cinétique s'écrit 
ou 
comme on le note préférentiellement en physique selon la relation de Varignon [14] établissant que le moment résultant cinétique du système en est égal au moment cinétique en du point auquel on aurait affecté une quantité de mouvement égale à la résultante cinétique du système,
- un torseur non particulier si avec l'existence d'un point tel que
à 
point central [56] du torseur [146], le torseur ayant pour axe central 
« la droite issue de [146] de vecteur directeur », en un autre point et le moment résultant cinétique s'écrit 
ou 
comme on le note préférentiellement en physique selon la relation de Varignon [14] établissant que le moment résultant cinétique du système en résulte de la composition du moment résultant cinétique en et du moment cinétique en du point auquel on aurait affecté une quantité de mouvement égale à la résultante cinétique du système, ces deux moments résultants cinétiques étant entre eux [147] et
- un torseur non particulier si avec absence de point tel que à absence de point central [56] du torseur, le torseur n'ayant pas d'axe central, considérant un point
par rapport auquel le moment résultant cinétique est 
et un autre point et 
par rapport auquel le moment résultant cinétique s'écrit 
ou 
comme on le note préférentiellement en physique selon la relation de Varignon [14] établissant que le moment résultant cinétique du système en résulte de la composition du moment résultant cinétique en 
, point quelconque, et du moment cinétique en du point 
auquel on aurait affecté une quantité de mouvement égale à la résultante cinétique du système, ces deux moments résultants cinétiques étant a priori quelconques.
Cette introduction n'est valable que dans le domaine de la dynamique newtonienne.
Le torseur dynamique sert à représenter les variations de « mouvement inertiel » [137] d'un système de points matériels déformable ou indéformable[148].
La grandeur dynamique d'un système de points matériels dans le référentiel d'étude
La grandeur dynamique est représentée, à l'instant , par la dérivée temporelle de son vecteur quantité de mouvement 
du point avec
La grandeur dynamique est représentée, à l'instant 
, par la dérivée temporelle de son vecteur quantité de mouvement masse du point et 
son vecteur accélération à l'instant ;
la dérivée temporelle du vecteur quantité de mouvement 
du point est un glisseur dont le support est la droite issue de de vecteur directeur 
avec
la dérivée temporellle du vecteur quantité de mouvement 
du point est un glisseur pour éléments de réduction en un point quelconque 
[149] ;
l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points du système de points matériels
l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur 
nommé « torseur dynamique » avec
l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur pour éléments de réduction en un point 
[150],
l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur la résultante 
du torseur dynamique
l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur la résultante est appelée, par quelques uns, « quantité d'accélération » [36], [37] et
l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur le moment 
du torseur dynamique noté, en physique,
l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur ![{\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,\left\lbrace A_{k}\,,\,{\dot {\vec {p_{k}}}}\,,\,k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right\rbrace }(t)=\sum _{k}{\overrightarrow {OA_{k}}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{k}}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1390255cdac4b6c347d4e005f4181f5dff7e2a85)
[151] est appelé, par quelques uns, l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur « moment (résultant) dynamique » au point [152] il s'écrit donc, en physique,
l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur 
et
l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur la relation de Varignon [14] lui est applicable selon
l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur 
ou encore
l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur 
.
Produit (ou comoment) du torseur statique exercé sur un solide et du torseur cinématique de ce dernier
modifier
Soient ![{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{{\text{stat. sur}}\,({\mathcal {S}})}=\left\lbrace {\begin{array}{c}\sum _{k}{\vec {F}}_{k}\\\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\vec {F}}_{k}}+\sum \limits _{q,\,{\text{indexant}}}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{{\vec {C}}_{\left(l\,\in \left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]_{q}\right)}}\end{array}}\right\rbrace _{O}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/566547c0d5d51b797d5287a40dbaed1ab26f55c0)
[128] le torseur statique s'exerçant sur le solide ![{\displaystyle \;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44bdef13e59a7b027547c07b8fe90ab55026400d)
ou 
[153] et
Soient 
le torseur cinématique du solide pour lequel doit être un point du solide,
le produit ou comoment des torseurs statique et cinématique relatif au solide 
, à savoir 
, nécessite de choisir 
,
le produit ou comoment des torseurs statique et cinématique relatif au solide , s'écrit 
le produit ou comoment des torseurs statique et cinématique relatif au solide , s'écrit 
correspondant à
le produit ou comoment des torseurs statique et cinématique relatif au solide , la puissance développée par la résultante dynamique lors de la translation de vecteur vitesse 
c.-à-d.
le produit ou comoment des torseurs statique et cinématique relatif au solide , la puissance développée par la résultante dynamique 
augmentée de
le produit ou comoment des torseurs statique et cinématique relatif au solide , la puissance développée par le moment résultant dynamique 
lors de la rotation autour du point 
le produit ou comoment des torseurs statique et cinématique relatif au solide , la puissance développée par le moment résultant dynamique 
de vecteur rotation instantanée
le produit ou comoment des torseurs statique et cinématique relatif au solide , la puissance développée par le moment résultant dynamique c.-à-d. 
soit finalement
le produit ou comoment des torseurs statique et cinématique relatif au solide , s'écrit 
c.-à-d. la puissance développée par les actions extérieures
le produit ou comoment des torseurs statique et cinématique relatif au solide , s'écrit 
c.-à-d. la puissance s'exerçant sur le solide 
;
en conclusion le produit ou comoment des torseurs statique et cinématique relatif au solide évalue la puissance développée par les actions extérieures s'exerçant sur le solide
en conclusion le produit ou comoment des torseurs statique et cinématique relatif au solide 
évalue la puissance développée dans le référentiel où le torseur cinématique est déterminé soit
[154].
- ↑ Voir le paragraphe « définition du barycentre d'un système de n points pondérés » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ 2,00 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05 2,06 2,07 2,08 et 2,09 Représentant l'espace vectoriel auquel on associe l'ensemble des bipoints de l'espace affine.
- ↑ Les notions élémentaires des vecteurs de l'espace sont suffisants, il n'est pas, pour l'instant, utile de définir un espace vectoriel.
- ↑ Voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit scalaire de deux vecteurs » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Égale à la norme du vecteur associé au bipoint.
- ↑ Se déterminant à l'aide du produit scalaire des vecteurs associés aux bipoints, voir le paragraphe « calcul de l'angle entre deux vecteurs connaissant leurs composantes dans une même base orthonormée et par l'intermédiaire de leur produit scalaire » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ 7,00 7,01 7,02 7,03 7,04 7,05 7,06 7,07 7,08 7,09 7,10 7,11 7,12 7,13 7,14 7,15 7,16 7,17 7,18 7,19 7,20 7,21 7,22 7,23 et 7,24 Ou sous-ensemble de , le sous-ensemble correspondant au domaine de définition.
- ↑ Ici application de direction de dans .
- ↑ L'adjoint d'un endomorphisme
de , direction de l'espace affine , est l'endomorphisme 
tel que 
dans laquelle 
représente la multiplication scalaire définie sur 
ainsi 
est le produit scalaire de 
sur 
, 
étant l'élément de , image de 
par l'endomorphisme 
, 
est le produit scalaire de 
sur 
et enfin ce produit scalaire devant être égal à 
c.-à-d. au produit scalaire de 
, image de par l'endomorphisme adjoint 
, sur 
définit l'endomorphisme adjoint de ;
les endomorphismes égaux à leur adjoint sont dits « symétriques » exemple 
avec 
car 
et
les endomorphiceux opposés à leur adjoint sont dits « antisymétriques » 
exemple 
avec 
car 
, le produit scalaire 
étant le produit mixte 
en adoptant la notation usuelle de la multiplication scalaire ainsi que celle des vecteurs pour les éléments de ![{\displaystyle \;{\mathcal {V}}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f2b668064a7faf1a02dd5d0752b04eee129267a)
égal à 
par permutation circulaire du produit mixte voir le paragraphe « propriétés (1ère propriété) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ou à 
par commutativité du produit scalaire voir le paragraphe « autres propriétés (1ère propriété) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et enfin à 
par anticommutativité du produit vectoriel voir le paragraphe « propriétés (1ère propriété) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »![{\displaystyle {\big ]}{\Big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5577b661a1dfefecf33aefa485d1af26c7d4af26)
.
- ↑ 10,0 et 10,1 On rappelle qu'au sens de la mécanique un solide est un système de points matériels indéformable.
- ↑ Par exemple, le moment des forces gravitationnelles crées par la Terre ou forces électrostatiques dues à un corps électrisé
La notion de moment de force est introduite dans le paragraphe « définition (du moment vectoriel d'une force) » du chap.
de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
- ↑ C'est un abus fréquemment utilisé, on devrait énoncer « l'image d'un torseur est un champ de vecteurs
», le torseur étant une application d'un espace affine sur la direction de ce dernier.
- ↑ L'équiprojectivité du torseur peut encore être écrite selon
.
- ↑ 14,00 14,01 14,02 14,03 14,04 14,05 14,06 14,07 14,08 14,09 14,10 14,11 14,12 14,13 14,14 14,15 14,16 14,17 14,18 14,19 14,20 14,21 14,22 14,23 14,24 14,25 14,26 14,27 et 14,28 Pierre Varignon (1654 - 1722) mathématicien français ayant fourni d'importantes contributions dans le domaine de la statique
- ↑ Le torseur étant un champ de vecteurs équiprojectif et ayant admis qu'un tel champ équiprojectif vérifiait la propriété « il existe un endomorphisme antisymétrique tel que
» nous en déduisons que l'endomorphisme antisymétrique est tel que 
.
- ↑ Cette affirmation résultant du fait qu'une multiplication vectorielle dépend de l'orientation de l'espace affine voir les paragraphes « produit vectoriel de deux vecteurs (introduction sur l'orientation de l'espace affine) » et « définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ 17,00 17,01 17,02 17,03 17,04 17,05 17,06 17,07 17,08 17,09 17,10 17,11 17,12 et 17,13 Voir le paragraphe « définition d'un vrai vecteur (ou vecteur polaire) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Voir le paragraphe « produit vectoriel de deux vrais vecteurs (ou vecteurs polaires) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ 19,00 19,01 19,02 19,03 19,04 19,05 19,06 19,07 19,08 19,09 19,10 et 19,11 Voir le paragraphe « définition d'un pseudo-vecteur (ou vecteur axial) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Voir le paragraphe « produit vectoriel d'un pseudo-vecteur et d'un vrai vecteur (ou d'un vecteur axial et d'un vrai vecteur) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ 21,0 et 21,1 Était noté
dans la « relation de Varignon (forme réciproque) du paragraphe notion de résultante d'un torseur » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ 22,0 et 22,1 Ici la distinction entre vrai vecteur et pseudo-vecteur n'est pas faite, raison pour laquelle ils sont considérés comme appartenant au même espace vectoriel direction de .
- ↑ 23,0 et 23,1 et sont appelées « éléments de réduction du torseur » ou coordonnées vectorielles du torseur
, seul le 2ème élément ou la 2ème coordonnée dépend du point de la réduction.
- ↑ D'après la réciproque de la relation de Varignon, on voit que l'on peut construire un torseur à partir d'un 1er vrai vecteur
et un 2nd pseudo-vecteur 
,
ceci établissant, à condition de discerner l'espace vectoriel direction de , de celui incluant l'image de par torseur noté 
pour concrétiser la différenciation ceci permettant de distinguer l'espace des vrais vecteurs de celui des pseudo-vecteurs,
ceci établissant que l'ensemble des torseurs forment un espace vectoriel de dimension six dont une base possible est la réunion d'une base de et d'une de 
, considérées comme distinctes si on discerne 
de attention il est impératif de discerner de pour affirmer que la dimension est six, si on ne le fait pas elle n'est que de trois![{\displaystyle \;\ldots {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ad3ffc88399e77946910eb87c77e2259b1247ea)
.
- ↑
étant une base de permettant de décomposer ainsi que tous les vecteurs du type et
une base de permettant de décomposer tous les moments de torseur avec 
et 
de même direction et de même sens respectivement 
et 
de même direction et de même sens ainsi que 
et 
de même direction et de même sens.
- ↑ 26,0 et 26,1 De Julius Plücker (1801 - 1868) mathématicien et physicien allemand, ayant obtenu des résultats fondamentaux en géométrie analytique dans le domaine des mathématiques et effectué des recherches sur les rayons cathodiques, entre autres, dans le domaine de la physique.
- ↑ Les vrais vecteurs constituent l'espace vectoriel direction de , alors que
les pseudo-vecteurs forment l'espace vectoriel où inclut 
, image de par torseur .
- ↑ Avec la distinction faite en note « 27 » plus haut dans ce chapitre, il faut écrire
.
- ↑ 29,0 et 29,1 Ou
compte-tenu du fait que n'est qu'une autre écriture de 
.
- ↑ Si on explicite les composantes plückeriennes de cette relation de Varignon, il faut préciser que et étant décomposés sur alors que et
le sont sur 
, nous devons poser 
en parfait accord avec les directions et sens respectifs des deux bases ainsi que la définition du produit vectoriel suivant l'orientation de l'espace voir le paragraphe « propriété du produit vectoriel de deux vrais vecteurs, de deux pseudo-vecteurs ou d'un vrai vecteur et d'un pseudo-vecteur » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Voir le paragraphe « définition de la résultante dynamique s'exerçant sur un système de points matériels fermé » du chap.
de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
- ↑ Voir le paragraphe « vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point origine quelconque A » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
- ↑ Voir le paragraphe « définition de la résultante cinétique d'un système de points matériels, 1ère grandeur cinétique associée au système » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
- ↑ Voir le paragraphe « définition du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A » du chap.
de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
- ↑ Ou, si le point est choisi au centre d'inertie du système fermé,
ou encore, utilisant le lien entre résultante cinétique et vecteur vitesse du centre d'inertie d'un système de points matériels fermé à savoir 
voir le paragraphe « énoncé du lien entre résultante cinétique et vecteur vitesse du centre d'inertie d'un système de points matériels fermé » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », 
étant la masse du système, 
.
- ↑ 36,0 et 36,1 Ce que je désapprouve car cette appellation ne fait pas référence à l'aspect inertiel de la résultante.
- ↑ 37,0 et 37,1 Pourrait être appelée « résultante dynamique » mais je réserve déjà cette appellation à la résultante du torseur statique en fait, si le système de points matériels est fermé, le théorème de la résultante cinétique appliquée au système voir le paragraphe « énoncé du théorème de la résultante cinétique » du chap.
de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » nous établit que la résultante du torseur statique est égale à la résultante du torseur dynamique et par suite la confusion pourrait être faite dans le cas d'un système fermé, toutefois, comme la confusion n'est plus possible pour un système ouvert, je préfère dire « résultante du torseur dynamique » pour nommer 
.
- ↑ 38,0 et 38,1 A priori, quand on dérive temporellement une grandeur vectorielle, il faut préciser dans quel référentiel cette dérivation est effectuée car, suivant ce dernier, le résultat diffère en effet les vecteurs de base du repère lié au référentiel peuvent être, suivant le cas, fixes ou mobiles ;
ici le repérage et la dérivation étant effectués dans le même référentiel, les vecteurs de base du repère lié au référentiel sont évidemment fixes dans le référentiel de dérivation et il serait inutile de le préciser d'où noter 
ou 
est suffisant ce que nous ferons ultérieurement.
- ↑ La définition est en fait, pour un système de n points matériels fermé
![{\displaystyle \;\left\lbrace M_{k}\right\rbrace _{k\,\in \,\left[\left[1\,,\,n\right]\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cd9192e33ff6d669fdee4b62b58fed5105ca975)
, «
» avec «
» mais si on dérive temporellement cette dernière relation on trouve «
» car, étant fixe dans le référentiel, 
où est la masse du point matériel 
d'où l'identification.
- ↑ Ou, si le point est choisi au centre d'inertie du système fermé,
ou encore, utilisant le lien entre résultante cinétique et vecteur vitesse du centre d'inertie d'un système de points matériels fermé à savoir voir le paragraphe « énoncé du lien entre résultante cinétique et vecteur vitesse du centre d'inertie d'un système de points matériels fermé » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », étant la masse du système, 
où 
est le vecteur accélération de 
, 
.
- ↑ D'après la réciproque de la relation de Varignon, on voit que l'on peut construire un torseur à partir d'un 1er pseudo-vecteur
et un 2nd vrai vecteur ,
ceci établissant, à condition de discerner l'espace vectoriel direction de et incluant l'image de par torseur, de dans lequel la résultante du torseur est générée, pour concrétiser la différenciation ceci permettant de distinguer l'espace des vrais vecteurs de celui des pseudo-vecteurs,
ceci établissant que l'ensemble des torseurs forment un espace vectoriel de dimension six dont une base possible est la réunion d'une base de et d'une de , considérées comme distinctes si on discerne de attention il est impératif de discerner de pour affirmer que la dimension est six, si on ne le fait pas elle n'est que de trois.
- ↑ étant une base de permettant de décomposer tous les vecteurs du type ainsi que tous les moments de torseur et
une base de permettant de décomposer avec et 
de même direction et de même sens respectivement et 
de même direction et de même sens ainsi que et 
de même direction et de même sens.
- ↑ Les vrais vecteurs constituent l'espace vectoriel
avec direction de et incluant l'image de par torseur, alors que
les pseudo-vecteurs forment l'espace vectoriel dans lequel la résultante des torseurs sont générées.
- ↑ Avec la distinction faite en note « 33 » plus haut dans ce chapitre, il faut écrire
.
- ↑ Si on explicite les composantes plückeriennes de cette relation de Varignon, il faut préciser que
, et étant décomposés sur alors que l'est sur 
, nous devons poser 
en parfait accord avec les directions et sens respectifs des deux bases ainsi que la définition du produit vectoriel suivant l'orientation de l'espace voir le paragraphe « propriété du produit vectoriel de deux vrais vecteurs, de deux pseudo-vecteurs ou d'un vrai vecteur et d'un pseudo-vecteur » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ On généralise la propriété développée dans le paragraphe « propriété de la vitesse angulaire d'un point quelconque d'un solide en rotation autour d'un axe fixe » du chap.
de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » au cas d'un solide en mouvement quelconque, ce dernier étant la composition d'un mouvement de translation du solide identifié au mouvement d'un de ses points et d'un mouvement de rotation autour de l'axe instantané de rotation 
du solide 
étant l'axe passant par , dont le support a pour direction celle du vecteur vitesse de dans le référentiel , la direction de étant celle de ![{\displaystyle \;\Delta _{A}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecd2d172165a3bfdcda7fd7c4319a7041a6476cd)
.
Souvent on choisit pour point du solide son centre d'inertie 
- ↑ Voir le paragraphe « définition (intrinsèque) du vecteur vitesse du point M dans le référentiel d'étude » du chap.
de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
- ↑ Ou, si le point du solide est choisi en son centre d'inertie ,
.
- ↑ Il s'agit de l'élément neutre de l'addition des torseurs.
- ↑ 50,0 50,1 50,2 et 50,3 Voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ N'est donc pas à démontrer à partir de la relation de Varignon c'est en fait la relation de Varignon que nous avons admise et qui peut être démontrée à partir de la relation d'équiprojectivité, démonstration non exposée ;
toutefois la relation de Varignon étant admise, nous pouvons vérifier aisément que la relation d'équiprojectivité en découle en effet 
![{\displaystyle ={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\overrightarrow {PQ}}\;{\cancel {+\left[{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\right]\cdot {\overrightarrow {PQ}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c958524e72804ba62a55c7d9e89066e6406daa68)
voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Si le moment du torseur en ou si la résultante est nul(le), le caractère « même direction » est considéré comme assuré
- ↑ 53,0 et 53,1 L'existence d'au moins un point de ce type étant admise.
- ↑ Ou
.
- ↑ Ou
.
- ↑ 56,00 56,01 56,02 56,03 56,04 56,05 56,06 56,07 56,08 56,09 56,10 56,11 56,12 56,13 56,14 et 56,15 Voir le paragraphe « définition de point central d'un torseur » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ 57,0 et 57,1 Voir le paragraphe « formules du double produit vectoriel » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Car est colinéaire à .
- ↑ 59,0 59,1 59,2 59,3 59,4 59,5 59,6 59,7 et 59,8 Ce Qu'il Fallait Démontrer.
- ↑ On utilise à
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot \left[{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf46ddb213340318a835e17dae3b285d890db765)
d'où ![{\displaystyle \Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\Vert ^{2}=\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\Vert ^{2}{\cancel {+\;2\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot \left[{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\right]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/972655beb32b13d718aa7b7ec6ea4b33171c8a82)
.
- ↑ On vérifie que les éléments de réduction en un autre point
différant de sont aussi nuls en effet, la résultante étant invariante reste nulle en et le moment du torseur en s'obtenant par application de la relation de Varignon donne 
.
- ↑ Sinon le torseur serait le torseur nul.
- ↑ Le moment de la somme des deux couples est non nul car les moments
et ne sont pas opposés.
- ↑ Voir le paragraphe « définition d'axe central d'un torseur » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ Voir le paragraphe « propriétés du torseur sur son axe central (3ème propriété) » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ Voir le paragraphe « propriétés du torseur sur son axe central (2ème propriété) » plus haut dans ce chapitre.
- ↑
et non colinéaire à donc non colinéaire à .
- ↑
et étant d'où 
.
- ↑ Condition Nécessaire.
- ↑ (Condition) Suffisante.
- ↑ 71,0 et 71,1 La condition « dans le plan à en » correspond à deux degrés de liberté pour
, cette condition supplémentaire réduit le nombre de degré de liberté à un.
- ↑ 72,0 et 72,1 C.-à-d. deux à deux ,
et étant par hypothèse
.
- ↑ 73,0 et 73,1 S'obtenant à partir de après utilisation de l'anticommutativité de la multiplication vectorielle, voir le paragraphe « propriétés (1ère propriété) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Voir le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Voir l'introduction du paragraphe « produit vectoriel de deux vecteurs (orienté à droite) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Voir la note « 17 » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs (norme) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Autre démonstration en adoptant les coordonnées plückeriennes du torseur sans faire de distinction entre vecteurs polaires et axiaux, ce qui revient à choisir la même base cartésienne pour la résultante et le moment du glisseur, les vecteurs de base étant colinéaire et de même sens que la résultante on pose
![{\displaystyle \;{\vec {R}}=Z\;{\vec {u}}_{z}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2921723debe7f549fc0f7b4b0a3d8843fd00e61)
et colinéaire et de même sens que le moment du glisseur en c.-à-d. 
on pose ![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}=L\;{\vec {u}}_{x}{\Big ]}{\Big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21985a5583d44866ba3bde3c8a58212080e029f6)
;
Autre démonstration en choisissant comme origine, avec 
, la relation de Varignon appliquée en à partir de à savoir 
se réécrit suivant 
![{\displaystyle L\;{\vec {u}}_{x}+Z\;{\vec {u}}_{z}\wedge \left[x\;{\vec {u}}_{x}+y\;{\vec {u}}_{y}+z\;{\vec {u}}_{z}\right]=\left[L-Z\;y\right]{\vec {u}}_{x}+Z\;x\;{\vec {u}}_{y}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89f7491e5c9f12311a0a8350218f4f4f0b261377)
voir le paragraphe « définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » qui s'annule pour 
telles que 
.
- ↑ Voir le paragraphe « invariants d'un torseur (invariant scalaire) » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ 80,0 et 80,1 Voir le paragraphe « propriétés d'un torseur glisseur (1ère propriété) » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ Plus exactement pour ,
avec point particulier où le moment du glisseur est nul, voir le paragraphe « propriétés d'un torseur glisseur (3ème propriété) » plus haut dans ce chapitre.
- ↑
, pour , étant à 
.
- ↑ En les autres points où
, 
est à .
- ↑ 84,0 84,1 84,2 84,3 84,4 et 84,5 Voir le paragraphe « définition d'un torseur glisseur » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ 85,0 et 85,1 De ces choix on en déduit à
, le trièdre 
étant orthogonal.
- ↑ Sens identiques sur la direction commune si le trièdre orthogonal est direct dans l'espace orienté à droite voir les notes « 74 » et « 75 » plus haut dans ce chapitre et
sens contraires sur la direction commune si le trièdre orthogonal est indirect dans l'espace orienté à droite voir le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite (base indirecte) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et la note « 75 » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ Signe
si et sont de même sens voir la note « 86 » plus haut dans ce chapitre et
Signe 
si et sont de sens contraire voir la note « 86 » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ En effet étant à ,
, voir la note « 77 » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ Correspondant à « et de sens contraire » et «
» soit 
.
- ↑ Il n'existe aucun point en lesquels
.
- ↑
étant unique.
- ↑ La résultante de la somme des deux glisseurs est non nulle car la direction de la résultante de chacun des glisseurs étant celle de son axe central et ces dernières étant différentes,
et 
ont des directions différentes et ne peuvent avoir une somme nulle.
- ↑ 93,0 et 93,1 La résultante de la somme des deux glisseurs est non nulle car et ne sont pas opposées.
- ↑ Le cas du moment de nul sera étudié en remarque plus loin dans ce paragraphe.
- ↑ Car chaque moment de glisseur étant à la direction commune de et de
, leur somme l'est aussi.
- ↑ Voir le paragraphe « autres caractérisations d'un torseur glisseur (1ère caractérisation) » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ Le point en lequel
est un point du plan 
; pour mieux le définir on introduit les points 
projetés orthogonaux de sur les axes centraux respectifs des glisseurs tels que 
, par application de la relation de Varignon à et en 
, 
d'où la condition finale de définition de , «
» ;
en résumé : on choisit un 
quelconque sur 
,
en résumé : on projette orthogonalement sur en 
et
en résumé : on définit sur la droite 
tel que 
si et sont de même sens, 
au segment ![{\displaystyle \;\left[Q_{0,\,1}\,Q_{0,\,2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a53cd69b48a94ee797416728208111578a0c3359)
,
en résumé : on définit 
sur la droite 
tel que 
si et sont de sens contraire, 
hors segment ![{\displaystyle \;\left[Q_{0,\,1}\,Q_{0,\,2}\right]{\big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4e6b343a246d73eebce1543a55b64b19353ad84)
.
- ↑ Autre démonstration en adoptant les coordonnées plückeriennes des glisseurs
sans faire de distinction entre vecteurs polaires et axiaux, ce qui revient à choisir la même base cartésienne pour la résultante et le moment des glisseurs, les vecteurs de base étant colinéaire aux résultantes et on pose
et ![{\displaystyle \;{\vec {R}}_{2}=Z_{2}\;{\vec {u}}_{z}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/678f59fb5f6f1bdaa0a43d0d5631227e00e8cadd)
et colinéaire et de même sens que 
étant quelconque sur , est le projeté orthogonal de sur , on pose ![{\displaystyle \;{\overrightarrow {Q_{1,\,0}Q_{2,\,0}}}=d\;{\vec {u}}_{x}{\Big ]}{\Big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52dd10d00ed5bd006d281ac59dfca1e3c42d7190)
;
Autre démonstration en choisissant 
comme origine, avec 
, la relation de définition de à savoir 
voir la note « 97 » plus haut dans ce chapitre se réécrit ![{\displaystyle \;Z_{1}\;{\vec {u}}_{z}\wedge \left[x\;{\vec {u}}_{x}\right]+Z_{2}\;{\vec {u}}_{z}\wedge \left[-\left(d-x\right){\vec {u}}_{x}\right]=\left[Z_{1}\;x-Z_{2}\left(d-x\right)\right]{\vec {u}}_{y}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9654b31cde494aa4cd66311e18eac17fa773355)
voir le paragraphe « définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » qui s'annule pour 
.
- ↑ 99,0 et 99,1 La résultante de la somme des deux glisseurs est nulle car et sont opposées.
- ↑ Le cas du moment de nul est, a priori, à rejeter, en effet il n'y a pas de point d'intersection des axes centraux
et 
ne peuvent pas être individuellement nuls en un même point, la seule possibilité serait donc qu'ils soient opposés en tout point 
, or si 
voir le paragraphe « propriétés d'un torseur glisseur (1ère propriété) » plus haut dans ce chapitre et son opposé 
devrait être nul aussi alors que 
d'où l'impossibilité.
- ↑ Autre démonstration en adoptant les coordonnées plückeriennes des glisseurs
sans faire de distinction entre vecteurs polaires et axiaux, ce qui revient à choisir la même base cartésienne pour la résultante et le moment des glisseurs, les vecteurs de base étant colinéaire aux résultantes et on pose et
avec ![{\displaystyle \;Z_{2}=-Z_{1}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1673b40ad0771591387c1ac723743d2e451c8ea)
et et colinéaire à la aux axes centraux dans le plan commun de ces derniers, orienté de vers , on pose 
la distance orthogonale entre les deux axes centraux![{\displaystyle {\Big ]}{\Big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccbaccb284ec90d4ee4fe09b7ac4255bd5f36d9d)
;
Autre démonstration en notant et 
les points respectifs de et de même cote que le point où les éléments de réduction sont évalués, en prenant le milieu de ![{\displaystyle \;\left[Q_{1,\,0}Q_{2,\,0}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0932b585132622e2c6a1c78bad1f4cf70b1c129)
comme origine et en posant 
l'origine ayant été choisie à la même cote que le point ![{\displaystyle \;Q{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4d3e7a49a23f6ba3bbb640762f64f666a0f23c5)
, 
voir la note « 97 » plus haut dans ce chapitre se réécrit ![{\displaystyle \;Z_{1}\;{\vec {u}}_{z}\wedge \left[\left(x-{\dfrac {d}{2}}\right)\,{\vec {u}}_{x}+y\;{\vec {u}}_{y}\right]-Z_{1}\;{\vec {u}}_{z}\wedge \left[\left(x+{\dfrac {d}{2}}\right){\vec {u}}_{x}+y\;{\vec {u}}_{y}\right]=Z_{1}\;d\;{\vec {u}}_{y}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c4b5e88741753faa2d2bccd42d44f3c1c183d9e)
voir le paragraphe « définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » qui est toujours 
.
- ↑ Voir le paragraphe « définition d'un torseur couple » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ En effet l'application de la relation de Varignon à et en
dont on déduit le moment de en 
en fonction de celui en soit ![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q'}+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q'}=\left[{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q}+{\vec {R}}_{1}\wedge {\overrightarrow {QQ'}}\right]+\left[{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q}+{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {QQ'}}\right]={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q}+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q}+\left[{\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2}\right]\wedge {\overrightarrow {QQ'}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40fa3133c254f95100530b58e754e423ef8f5367)
par factorisation vectorielle à droite par 
dans la somme des deux produits vectoriels la factorisation vectorielle à gauche ou à droite dans une somme de produits vectoriels étant l'opération inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle voir le paragraphe « propriétés (2ème propriété) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »![{\displaystyle {\big ]}{\big \}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02a034fcc6c80b600edbfced2889da54722687c9)
soit, étant nul, 
c.-à-d. constant.
- ↑ 104,0 et 104,1 Voir le paragraphe « propriétés d'un torseur couple (1ère propriété) » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ Nous supposons que le torseur n'est ni un couple interdisant
![{\displaystyle \;{\vec {R}}={\vec {0}}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bacb1800b0b6e43558e960408e6296e36aa70f5)
, ni un glisseur interdisant ![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}={\overrightarrow {0}}{\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e55c8fb17c7acf64226144735bed219da776a11)
, ni le torseur nul interdisant 
et , car
Nous supposons si 
, le torseur est un couple validité du théorème sans autre démonstration,
Nous supposons si 
, le torseur est un glisseur validité du théorème sans autre démonstration et
Nous supposons si et , le torseur est le torseur nul validité du théorème sans autre démonstration.
- ↑ En effet
sont les éléments de réduction d'un glisseur, voir le paragraphe « définition d'un torseur glisseur » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ Droite qui est aussi l'axe central du torseur .
- ↑ En effet
sont les éléments de réduction d'un couple, voir le paragraphe « définition d'un torseur couple » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ On rappelle que le moment d'un torseur est constant sur son axe central, il est donc indépendant du point choisi.
- ↑ Cela résultant de la commutativité de la multiplication scalaire, voir le paragraphe « autres propriétés (1ère propriété de la multiplication scalaire) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Par distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « propriétés (2ème propriété) de la multiplication vectorielle » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Une permutation entre deux vecteurs d'un produit mixte de trois vecteurs change ce dernier en son opposé, voir le paragraphe « propriétés (2ème propriété) d'un produit mixte » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ On rappelle que le moment d'un torseur couple est indépendant du point où l'élément de réduction est évalué d'où l'absence d'indication du point dans les éléments de réduction
- ↑ Les indices
et 
de 
sont précisés pour rappeler l'origine du couple mais mis entre parenthèses pour rappeler leur inutilité
- ↑ On rappelle que le moment d'un torseur couple est indépendant du point où l'élément de réduction est évalué d'où l'absence d'indication du point dans les éléments de réduction de ce dernier, les éléments de réduction du glisseur étant indiqués évalués en un point de son axe central d'où
.
- ↑ 116,0 116,1 116,2 et 116,3 Les indices chiffrés et de sont précisés pour rappeler l'origine du torseur mais mis entre parenthèses pour rappeler leur inutilité
- ↑ Les éléments de réduction du glisseur pourraient être évalués en un point hors de axe central sans que le résultat de
ne soit modifié d’après la 2ème propriété du produitou comoment de deux torseurs établie dans ce paragraphe, de plus le développement du produitou comoment s’écrivant 
donne effectivement le même résultat.
- ↑ Sauf dans le cas où la résultante du glisseur est au moment du couple
- ↑ Si les éléments de réduction du 1er glisseur sont pris en un point de son axe central
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A_{1}}={\overrightarrow {0}}{\Big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/700d9ea22d39bfb6bcc26db3076dfa661de02542)
mais
Si les éléments de réduction du 1er glisseur sont pris en un point 
hors de l'axe central du 2ème glisseur 
par relation de Varignon,
Si les éléments de réduction du 1er glisseur sont pris en un point on en déduit ![{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{1}\otimes {\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R_{1}}}\neq 0\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A_{1}}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A_{1}}\!\otimes \left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{1}}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A_{1}}={\vec {R}}_{1}\cdot \left[{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {A_{0}A_{1}}}\right]\;{\cancel {+\;{\vec {R}}_{2}\cdot {\overrightarrow {0}}_{(1),\,A_{1}}}}=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89c633dd78666cd47dd303fd60161ae727ea781c)
Si les éléments de réduction du 1er glisseur sont pris en un point on en déduit 
les trois vecteurs du produit mixte ![{\displaystyle \;{\vec {R}}_{1}\cdot \left[{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {A_{0}A_{1}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed6296d10dee78079bd9a1ef8753726a0568f06)
étant coplanaires ce dernier est nul, voir le paragraphe
Si les éléments de réduction du 1er glisseur sont pris en un point on en déduit 
« définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs » du chap. de la leçon
Si les éléments de réduction du 1er glisseur sont pris en un point on en déduit « définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs » « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
;
si les éléments de réduction du 1er et du 2ème glisseur sont pris en un point hors des deux axes centraux et , aucun des moments de glisseur n'est nul, ces derniers s'écrivant
si les éléments de réduction du 1er et du 2ème glisseur sont pris en un point 
![{\displaystyle \!\left[{\begin{array}{c}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,P}={\cancel {{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A_{0}}\;+}}\;{\vec {R}}_{1}\wedge {\overrightarrow {A_{0}P}}\neq {\overrightarrow {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,P}={\cancel {{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{0}}\;+}}\;{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {A_{0}P}}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\right]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/559daca73a470ce2a5c35da572c14d635806dfe8)
par relation de Varignon avec 
, on en déduit
si les éléments de réduction du 1er et du 2ème glisseur sont pris en un point ![{\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}\otimes {\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R_{1}}}\neq 0\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,P}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!P}\otimes \left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,P}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!P}={\vec {R}}_{1}\cdot \left[{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {A_{0}P}}\right]+{\vec {R}}_{2}\cdot \left[{\vec {R}}_{1}\wedge {\overrightarrow {A_{0}P}}\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5579fc3377a23136d9393529deb5ebb860d5b6d)
car
si les éléments de réduction du 1er et du 2ème glisseur sont pris en un point une permutation entre deux vecteurs d'un produit mixte de trois vecteurs change ce dernier en son opposé,
si les éléments de réduction du 1er et du 2ème glisseur sont pris en un point voir le paragraphe « propriétés (2ème propriété) d'un produit mixte » du chap. de la leçon
si les éléments de réduction du 1er et du 2ème glisseur sont pris en un point voir le paragraphe « propriétés (2ème propriété) d'un produit mixte » « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
en fait ces justifications étaient inutiles car nous avons établi que le produit ou comoment de deux torseurs est indépendant du point en lequel sont définis leurs éléments de réduction, voir la 2ème propriété établie plus haut dans ce paragraphe.
- ↑ Si on applique
en et 
en 
- ↑ Par application de la relation de Varignon en à partir de .
- ↑ Voir le 1er exemple du paragraphe « cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire (ou vrai vecteur) » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ Le moment de ce torseur glisseur sera écrit, en physique, sous la forme
égale à la forme donnée dans l'éléments de réduction du torseur glisseur par 
et anticommutativité de la multiplication vectorielle voir le paragraphe « propriétés de la multiplication vectorielle » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », la raison de ce choix reposant sur la volonté de faire apparaître 
le vecteur position du point 
.
- ↑ Le point en lequel est effectué la réduction n'est pas indiqué en indice des accolades car les éléments de réduction d'un torseur couple ne dépendent pas de ce point.
- ↑ Le moment de ce torseur couple sera écrit, en physique, sous la forme
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\Gamma }}_{\left(l\,\in \left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]\right)}=\sum \limits _{l}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\overrightarrow {OA_{l}}}\wedge {\vec {F}}_{l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34553da9884814f1d4ad2ff8e68e082d10ead638)
égale à la forme donnée dans l'élément de réduction du torseur couple par 
et anticommutativité de la multiplication vectorielle voir le paragraphe « propriétés (1ère propriété) de la multiplication vectorielle » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
nous pouvons vérifier aisément, sous la forme utilisée en physique, l'indépendance du moment du couple relativement au point de réduction, en effet, si nous prenons un autre point 
, le moment du couple évalué en 
se calcule par ![{\displaystyle \;\sum \limits _{l}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\overrightarrow {O'A_{l}}}\wedge {\vec {F}}_{l}=\sum \limits _{l}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}\left[{\overrightarrow {O'O}}+{\overrightarrow {OA_{l}}}\right]\wedge {\vec {F}}_{l}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8fc35bcfcc7ad772adb09229e9658d32bb9d11c)
soit, en utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle, ![{\displaystyle =\;{\cancel {{\overrightarrow {O'O}}\wedge \left[\sum \limits _{l}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\vec {F}}_{l}\right]}}\;+\sum \limits _{l}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\overrightarrow {OA_{l}}}\wedge {\vec {F}}_{l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad04b3c9a1eb3cce1c06fa8decd340b4553354ae)
voir le paragraphe « propriétés (2ème propriété) de la multiplication vectorielle » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Ou torseur des actions mécaniques.
- ↑ Voir le paragraphe « décomposition centrale d'un torseur quelconque » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ 128,0 et 128,1 Le torseur statique est aussi la somme du torseur des actions extérieures s'exerçant sur le système
et du torseur des actions intérieures au système 
lequel est le torseur nul d'après le principe des actions réciproques voir les paragraphes « 1ère conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne, la nullité de la résultante des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » et « vecteur moment résultant des forces intérieures s'exerçant sur un système discret fermé de points matériels par rapport à un point origine A quelconque » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ;
la résultante du torseur des actions extérieures s'exerçant sur le système, notée en physique et appelée « résultante dynamique » est aussi celle du torseur statique 
,
le moment évalué en du torseur des actions extérieures s'exerçant sur le système, noté en physique et appelé « moment résultant dynamique » en est aussi celui du torseur statique au même point ;
le torseur statique s'écrit donc, en physique 
.
- ↑ Voir le 1er exemple du paragraphe « cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial (ou pseudo-vecteur) » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ Voir le paragraphe « définition d'un torseur » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ La relation
s'écrivant encore 
par commutativité de la multiplication scalaire de vecteurs, voir le paragraphe « autres propriétés (1ère propriété de la multiplication scalaire) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Voir le paragraphe notion de résultante d'un torseur plus haut dans le chapitre.
- ↑ Appelé, dans le domaine de la physique, vecteur « rotation instantanée » ou parfois, vecteur vitesse angulaire quand on s'intéresse plus particulièrement au mouvement d'un point ou, plus rarement encore, vecteur taux de rotation pour un système indéformable.
- ↑ Le vecteur rotation instantanée n'étant pas constant, la direction du support du torseur glisseur ne l'est pas non plus bien qu'ayant un point fixe.
- ↑ En effet la rotation de
à l'instant se faisant autour du support du torseur cinématique de direction variable mais passant par le point fixe , elle se fait autour de ce dernier.
- ↑ 136,0 et 136,1 Point de non nécessairement fixe sur ce dernier.
- ↑ 137,0 et 137,1 Appellation personnelle : introduction de la notion de « mouvement inertiel » d'un système de points matériels quand les grandeurs utilisées dépendent à la fois du mouvement du système et de l'inertie de ce dernier qui s'oppose à toute modification de son mouvement.
- ↑ Voir le 2ème exemple du paragraphe « cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire (ou vrai vecteur) » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ Le moment de ce torseur glisseur sera écrit, en physique, sous la forme
égale à la forme donnée dans l'élément de réduction du torseur glisseur par 
et anticommutativité de la multiplication vectorielle voir le paragraphe « propriétés (1ère propriété) de la multiplication vectorielle » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », la raison de ce choix reposant sur la volonté de faire apparaître le vecteur position du point , et
Le moment de ce torseur glisseur sera appelé, en physique, moment cinétique (vectoriel) du point matériel
- ↑ Le moment de ce torseur cinétique sera écrit, en physique, sous la forme
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{O,\,\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}(t)=\sum _{k}{\overrightarrow {OA_{k}}}(t)\wedge {\vec {p}}_{k}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/268d7edad82e0d859471d6cbf80f764a0c8bdd84)
.
- ↑ «
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{O,\,\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f55f4cac8f9a06dab8b1cd1303832679217eaac)
» sera noté simplement «
» en absence d'ambiguïté.
- ↑ Ou parfois « moment cinétique résultant » au point .
- ↑ Centre D'Inertie.
- ↑ Voir le paragraphe « énoncé du lien entre résultante cinétique et vecteur vitesse du centre d'inertie d'un système de points matériels fermé » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » où on a établi que
dans laquelle 
est la masse du système et 
le vecteur vitesse de son C.D.I. .
- ↑ Le vecteur résultante cinétique n'étant pas constant, la direction du support du torseur glisseur ne l'est pas non plus et il en est de même du point non nécessairement fixe.
- ↑ 146,0 et 146,1 Point de non nécessairement fixe dans ce dernier.
- ↑ En effet
est à alors que 
est à .
- ↑ Voir le 3ème exemple du paragraphe « cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire (ou vrai vecteur) » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ Le moment de ce torseur glisseur sera écrit, en physique, sous la forme
égale à 
car 
d'une part et la multiplication vectorielle est anticommutative voir le paragraphe « propriétés de la multiplication vectorielle » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » d'autre part
, la raison de ce choix reposant sur la volonté de faire apparaître le vecteur position du point .
- ↑ Le moment de ce torseur dynamique sera écrit, en physique, sous la forme
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,\left\lbrace A_{k}\,,\,{\dot {\vec {p_{k}}}}\,,\,k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right\rbrace }(t)=\sum _{k}{\overrightarrow {OA_{k}}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{k}}{dt}}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd90b9e2e7ebad7405ecb2ae361dc92e5e2f3d3)
.
- ↑ «
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,\left\lbrace A_{k}\,,\,{\dot {\vec {p_{k}}}}\,,\,k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right\rbrace }(t)=\sum _{k}{\overrightarrow {OA_{k}}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{k}}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dfb06f50e2b0ae71896caa18173a1670ad9e297)
» sera noté simplement «
» en absence d'ambiguïté.
- ↑ Ce que je désapprouve car je réserve déjà l'appellation « moment résultant dynamique » au moment du torseur statique en fait, si le système de points matériels est fermé, le théorème du moment cinétique vectoriel appliquée au système voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel d'étude galiléen en fixe » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » nous établit que le moment résultant du torseur statique en un point fixe est égale au moment résultant du torseur dynamique et par suite la confusion pourrait être faite dans le cas d'un système fermé avec fixe, toutefois, comme la confusion n'est plus possible dans les autres cas, je préfère dire « moment du torseur dynamique » pour nommer
.
- ↑ En tenant compte des remarques développées dans la note « 128 ».
- ↑ La raison pour laquelle ceci ne peut pas être étendu à un système de points matériels fermé déformable alors que l'expression du torseur statique reste valable
La raison pour laquelle ceci ne peut pas être étendu à un système de points matériels fermé déformable est que celle du torseur cinématique est exclusivement réservée à un système indéformable
La raison pour laquelle ceci ne peut pas être étendu à un système de points matériels fermé déformable est que celle du torseur nécessité pour que le champ des vitesses soit équiprojectif ;
s'il est licite de réduire l'ensemble des actions mécaniques s'exerçant sur un système déformable aux actions extérieures car la résultante et le moment résultant des actions intérieures sont nuls, dès qu'on envisage un mouvement accompagné d'une déformation, la puissance des actions intérieures n'étant plus nulle ne doit plus être omise, ceci se traduisant par le fait que les éléments de réduction du torseur cinématique écrits pour un solide sont insuffisants pour un système déformable car ils ne traduisent pas les mouvements relatifs internes
