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Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) : Les torseurs
Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Les torseurs », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Notion d'équiprojectivité d'un champ de vecteurs dans un espace affine euclidien tridimensionnel
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Espace affine euclidien tridimensionnel
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Un espace tridimensionnel 
est dit 
affine si on peut y définir le parallélisme ainsi que la notion de barycentre [1] et
Un espace tridimensionnel 
est dit euclidien si la « direction de l'espace affine » [2] est un espace 
vectoriel [3] dans lequel on définit
Un espace tridimensionnel est dit 
euclidien un produit scalaire [4] permettant de déterminer la distance entre deux points de l'espace affine [5] et
Un espace tridimensionnel est dit euclidien un produit scalaire permettant de déterminer l'angle entre deux bipoints [6].
Champ de vecteurs dans un espace affine euclidien tridimensionnel
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Un champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel a été introduit dans le paragraphe « définition intrinsèque d'un champ (ou d'une fonction) vectoriel(le) de l'espace » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », sa définition est rappelée ci-dessous :
Champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel
On définit un champ de vecteurs
en
point de l'
espace affine euclidien tridimensionnel
[7] selon :
[7], où
est l'espace
vectoriel de dimension trois, « direction de l'
espace affine »
[2] euclidien 
.
Définition de l'équiprojectivité d'un champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel
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Équiprojectivité d'un champ de vecteur d'un espace affine euclidien tridimensionnel
Un champ de vecteurs
défini en
[7] est «
équiprojectif » si
.
On démontre alors qu'il existe un
endomorphisme [8] antisymétrique [9] 
tel que
.
Domaine pratique d'utilisation de torseurs
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Les torseurs sont essentiellement utilisés en mécanique 
et plus particulièrement en mécanique du solide
, ils servent à modéliser des champs de vecteurs possédant des propriétés particulières comme
- le champ de vitesses d'un solide [10] défini en chacun des points de ce dernier
les propriétés particulières traduisant le fait que la distance entre deux points quelconques du solide reste constante![{\displaystyle {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6409e9848c1422eef16462fbeae301d8fa0f831)
ou
- le champ de moments de forces de même source [11] appliquées en chacun des points d'un solide [10] ici encore les propriétés particulières traduisent le fait que les points d'application des forces restent à une distance constante les uns des autres ou
Définition d'un torseur
Un torseur est un
champ de vecteurs équiprojectif 
[12] défini sur un
espace affine euclidien [7] tridimensionnel soit plus précisément une application
de
[7] dans
direction
[2] de
![{\displaystyle \;{\mathcal {E}}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdc95aabb089123a3a9c34904cef1a9b17264fb1)
telle que
[7], 
vérifiant 
[7], 
[13].
Appellation : 
avec est appelé « moment du torseur au point », c'est donc un élément de direction [2] de ![{\displaystyle \;{\mathcal {E}}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be48b6183b6c5d6bc0479d97362bb437e7500c3d)
, le torseur étant une application de [7] dans direction [2] de .
Notion de résultante d'un torseur
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Début d’un théorème
Relation de Varignon (ou règle de transport des moments)
La relation de Varignon
[14] (admise) s'énonce sous une forme directe et une forme réciproque :
Forme directe : Soit un torseur
sur
, il existe un unique vecteur
de
direction
[2] de
vérifiant
[15], 
étant « la résultante du torseur ».
Forme réciproque : Si est une application de sur direction [2] de et
Forme réciproque : s'il existe un couple 
tel que 
Forme réciproque : alors est un torseur sur et en est « la résultante ».
Fin du théorème
Remarque : D'après la relation de Varignon [14] on constate que le vecteur d'une part et 
d'autre part ne se comportent pas de la même façon lors d'un changement d'orientation de l'espace affine cette affirmation résultant du fait qu'une multiplication vectorielle dépend de l'orientation de l'espace![{\displaystyle {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d63350d68291e3f56604a089e0e0b5a86c2472)
, il y a deux types de torseurs suivant le comportement comparé de et de 
, ce dernier qui, par construction, ne dépend pas de l'orientation de l'espace étant nécessairement un vecteur polaire ou vrai vecteur
[16] :
Remarque : 
le 1er type de torseur correspondant à ne dépendant pas de l'orientation de l'espace affine 
est un vecteur polaire ou vrai vecteur[16],
Remarque : 
sont des vecteurs polaires ou vrais vecteurs[16], indépendants de l'orientation de l'espace 
dépendant de l'orientation de l'espace est un vecteur axial ou pseudo-vecteur[17] et
Remarque : ainsi que ![{\displaystyle \;{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {MN}}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7463660324780d715def26c9bcaa08043f7478a2)
sont des vecteurs axiaux ou pseudo-vecteurs[17], dépendants de l'orientation de l'espace,
Remarque : le 2ème type de torseur correspondant à dépendant de l'orientation de l'espace affine est un vecteur axial ou pseudo-vecteur[17] et comme 
est un vecteur polaire ou vrai vecteur[16] dépendant de l'orientation de l'espace est un vecteur polaire ou ou vrai vecteur[16] et il en est de même des vecteurs soit, en résumé,
Remarque : ainsi que et sont des vecteurs polaires ou vrais vecteurs[16], indépendants de l'orientation de l'espace et
Remarque : est un vecteur axial ou pseudo-vecteur[17], dépendant de l'orientation de l'espace.
Réduction d'un torseur en un point quelconque de l'espace affine euclidien tridimensionnel sur lequel il est défini
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Un torseur défini sur l'espace affine euclidien tridimensionnel [7] est déterminé par un couple de deux vecteurs 
chacun à direction [2] de ; on distingue deux types de torseurs suivant que sa résultante est un vecteur polaire ou vrai vecteur[16] ou si elle est un vecteur axial ou pseudo-vecteur[17] :
Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire (ou vrai vecteur)
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Dans ce cas, le torseur défini sur l'espace affine euclidien tridimensionnel [7] étant déterminé par un couple de deux vecteurs 
étant la direction [2] de , on distingue chacun d'eux suivant leur dépendance à l'orientation de l'espace de la façon suivante :
- un 1er vrai vecteur ou vecteur polaire[16] indépendant du point
en lequel est appliqué et
- un 2nd pseudo-vecteur ou vecteur axial[17] noté
dépendant a priori du point en lequel est appliqué 
plus précisément ![{\displaystyle \;{\mathcal {T}}(A)={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}{\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f71cacac51b165c6a54fb86ce5b0c673e059b8f)
;
ce couple d'un vrai vecteur [16] et d'un pseudo-vecteur [17] 
constitue « la réduction du torseur au point 
[7] »,
- le 1er vrai vecteur [16] étant la résultante du torseur et
- le 2nd pseudo-vecteur [17] le moment du torseur au point
,
cette réduction du torseur en [7] s'écrivant symboliquement 
[18], [19].
Remarques : D'après la note « 15 » l'ensemble des torseurs formant un espace vectoriel de dimension six, il est possible de décrire un torseur, après avoir choisi une base orthonormée 
[20] de cet espace vectoriel de dimension six, par les six composantes de sa réduction en un point quelconque de [7], ces six composantes constituant les coordonnées plückeriennes [21] de la réduction du torseur au point [7] soit, avec 
, il est possible de réécrire la réduction du torseur au point [7] par ses coordonnées plückeriennes 
.
Remarques : D'après la relation de Varignon [14], la connaissance de « la réduction du torseur en un point quelconque [7] » permet de déduire le torseur en n'importe quel point 
[7] selon 
[22], [23].
Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial (ou pseudo-vecteur)
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Dans ce cas, le torseur défini sur l'espace affine euclidien tridimensionnel [7] étant déterminé par un couple de deux vecteurs étant la direction [2] de , on distingue chacun d'eux suivant leur dépendance à l'orientation de l'espace de la façon suivante :
- un 1er pseudo-vecteur ou vecteur axial[17] indépendant du point en lequel est appliqué et
- un 2nd vrai vecteur ou vecteur polaire[16] noté dépendant a priori du point en lequel est appliqué plus précisément ;
ce couple d'un pseudo-vecteur [17] et d'un vrai vecteur [16] constitue « la réduction du torseur au point [7] »,
- le 1er pseudo-vecteur [17] étant la résultante du torseur et
- le 2nd vrai vecteur [16] étant le moment du torseur au point ,
cette réduction du torseur en [7] s'écrivant symboliquement [18], [24].
Remarques : D'après la note « 15 » l'ensemble des torseurs formant un espace vectoriel de dimension six, il est possible de décrire un torseur, après avoir choisi une base orthonormée 
[25] de cet espace vectoriel de dimension six, par les six composantes de sa réduction en un point quelconque de [7], ces six composantes constituant les coordonnées plückeriennes [21] de la réduction du torseur au point [7] soit, avec 
, il est possible de réécrire la réduction du torseur au point [7] par ses coordonnées plückeriennes 
.
Remarques : D'après la relation de Varignon [14], la connaissance de « la réduction du torseur en un point quelconque [7] » permet de déduire le torseur en n'importe quel point [7] selon [22], [26].
Diverses opérations sur les torseurs
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Deux torseurs 
et 
sont égaux ssi leurs éléments de réduction au même point sont égaux soit
.
La somme de deux torseurs et est le torseur dont les éléments de réduction en un point sont la somme des éléments de réduction de chacun des torseurs au même point soit
.
Multiplication d'un torseur par un scalaire
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Soit 
un scalaire quelconque et un torseur également quelconque, le torseur 
est le torseur dont les éléments de réduction en un point sont les éléments de réduction du torseur au même point multipliés par 
soit
.
Un torseur est nul ssi ses éléments de réduction en un point sont tous deux nuls soit
[27].
Définition
Les invariants d'un torseur défini sur l'espace affine euclidien tridimensionnel sont les grandeurs liées au torseur qui sont indépendantes du point où ce dernier est appliqué.
Ce sont :
- la résultante du torseur
,
- la projection du moment du torseur
sur sa résultante soit «
» appelée « invariant scalaire du torseur » 
se démontre d'après la relation de Varignon [14] : 
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\cdot {\vec {R}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}\;{\cancel {+\left[{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\right]\cdot {\vec {R}}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5084e0b57ee026d77bacb8d4928b04a068217c16)
[28]![{\displaystyle {\bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d9e51d2d3cafc3e7d1a34196d9b65ac61640ed1)
et
- la relation d'équiprojectivité «
» contenu dans la définition d'un torseur [29].
Notion d'axe central d'un torseur
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Définition de point central d'un torseur
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Définition
Un point
en lequel le moment du torseur
a même direction que la résultante
de ce dernier
[30] est dit «
central »
l'existence d'au moins un point de ce type est admise
c.-à-d.
est un point central du torseur ssi 
[31] 
.
Définition d'axe central d'un torseur
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Définition
L'ensemble
des points centraux du torseur
définit «
l'axe central » du torseur
c.-à-d.
est l'axe central du torseur 
[32].
Propriétés du torseur sur son axe central
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- Si la résultante du torseur est
, son axe central est une droite de vecteur directeur et dans la mesure où on admet l'existence d'un point central c'est la droite de vecteur directeur issue de en effet,
d'après la relation de Varignon [14] on peut écrire 
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\wedge {\vec {R}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\wedge {\vec {R}}+\left[{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\right]\wedge {\vec {R}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52b88776f8f26a14461b93eb0037a52c57d66196)
ou 
![{\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\wedge {\vec {R}}-\left[{\overrightarrow {PQ}}\cdot {\vec {R}}\right]{\vec {R}}+{\vec {R}}^{2}\;{\overrightarrow {PQ}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/045f29d49cee3bc48c171d50fbf15012da9b2185)
en utilisant une formule du double produit vectoriel [33] et par suite, 
, 
![{\displaystyle {\cancel {{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\wedge {\vec {R}}}}-\left[{\overrightarrow {PQ}}\cdot {\vec {R}}\right]{\vec {R}}+{\vec {R}}^{2}\;{\overrightarrow {PQ}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c24650433c3e3f01badb1958df40056211bc154a)
avec 
soit enfin 
établissant la propriété directe « si 
, alors ils sont sur une droite de vecteur directeur »,
réciproquement, si 
avec point central dont l'existence est admise, l'application de la relation de Varignon [14] donne 
d'où 
et par suite, 
établissant la propriété réciproque « la droite de vecteur directeur passant par le point central dont l'existence est admise est l'axe central du torseur ».
- Le moment du torseur est le même en tout point de l'axe central en effet, étant une droite de vecteur directeur dans la mesure où est
, , l'application de la relation de Varignon [14] nous donne 
soit la propriété énoncée dans le cas 
mais qui est trivialement vérifiée dans le cas 
.
- Si la résultante du torseur est , la norme du moment d'un torseur est minimale sur son axe central en effet, avec
, est une droite de vecteur directeur 
et par suite, considérant un point 
et un autre point 
quelconque 
, l'application de la relation de Varignon [14] nous donnant 
avec 
à et 
à nous en déduisons 
, ceci restant vrai pour n'importe quel point compte-tenu du fait que le moment du torseur est constant sur son axe central.
Torseurs particuliers et décomposition centrale d'un torseur quelconque
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Le torseur nul 
est le torseur dont les éléments de réduction en un point quelconque sont nuls soit 
[34].
Un torseur couple 
est un torseur pour lequel les éléments de réduction non nuls en n'importe quel point 
se réduisent à son moment 
soit
.
- « Le moment d'un torseur couple est constant en tout point » en effet appliquant la relation de Varignon [14] à un couple de points quelconques distincts
on obtient 
soit 
une conséquence est qu'il est inutile de préciser en quel point les éléments de réduction du couple sont évalués, ainsi le moment du couple sera-t-il simplement noté 
sans ajouter 
en indice précisant le point 
où il est évalué ;
- un torseur couple n'a pas d'axe central
, en effet l'existence d'un point central pour un torseur couple nécessiterait qu'en ce point le moment du torseur soit nul, ce qui est impossible puisque le moment d'un torseur couple est constant et non nul.
- La somme de deux couples
et 
est un couple si leurs moments 
et 
ne sont pas opposés 
en effet, en n'importe quel point 
, les éléments de réduction de chacun des couples étant 
et 
, on en déduit ceux de la somme des deux couples au même point 
[35] assurant que cette somme est un couple de moment ![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1}+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2}{\Bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9f549991bdd7ebce4d559ffba92a7092a9b4faa)
;
- si les moments des deux couples et sont opposés, la somme de ces deux couples
est le torseur nul 
.
Définition d'un torseur glisseur
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Un torseur glisseur 
est un torseur pour lequel il existe un point particulier en lequel les éléments de réduction non nuls se réduisent à sa résultante soit
.
Propriétés d'un torseur glisseur
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- « Le moment d'un torseur glisseur est nul en tout point de son axe central
» en effet le point particulier est un point de 
car dans la mesure où 
d'une part ou d'autre part l'axe central étant le lieu à 
minimale et 
étant la valeur minimale ![{\displaystyle \;A\in \Delta _{\mathcal {G}}{\Big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5759c17a7681d57b06c3bc34a01fbb77cdd114e3)
et le moment du torseur en tout point de l'axe central étant le même est donc égal à celui du point particulier c.-à-d. nul ;
- l'axe central d'un torseur glisseur est encore appelé support du glisseur ;
- en tout point
les éléments de réduction du torseur glisseur sont tous deux non nuls c.-à-d. 
[36].
Autres caractérisations d'un torseur glisseur
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- Un torseur dont les éléments de réduction en un point
sont non nuls et orthogonaux ![{\displaystyle \;{\mathcal {T}}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}\left[{\begin{array}{c}\neq {\overrightarrow {0}}\\\perp \;{\text{à}}\;{\vec {R}}\end{array}}\right]\end{array}}\right\rbrace _{B}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0057944ac9074a6642adabb19fe541648f6a4988)
est un glisseur en effet, considérant un point a priori quelconque 
et y appliquant la relation de Varignon [14] à partir du point 
, on obtient 
dans laquelle 
et 
étant tous deux à , il est possible de déterminer 
vérifiant 
[37] et par suite de déduire que le torseur est un glisseur dont le support passe par ce point particulier 
.
- Un torseur non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi son invariant scalaire «
» est nul en effet
si est un glisseur et si 
son axe central, 
alors que si 
, 
est à 
d'où la proposition directe,
réciproquement si 
cela signifie qu'il pourrait exister des points tels que 
[38], l'existence éventuelle de ces points assurant alors que le torseur est un glisseur et, en faisant l'hypothèse qu'il n'existe aucun de ces points, on aurait, pour tous les points 
, 
à [39] ce qui permettrait de déduire l'existence de points tels que et contredirait l'hypothèse de l'inexistence de tels points, la conclusion étant donc que le torseur est un glisseur.
- La somme de deux glisseurs
et 
est un glisseur si leurs axes centraux 
et 
sont concourants en en effet, en ce point, les éléments de réduction de chacun des glisseurs étant 
et 
, on en déduit ceux de la somme des deux glisseurs au même point 
[40] assurant que cette somme est un glisseur dont le support est la droite issue de 
de vecteur directeur ![{\displaystyle \;{\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2}{\Bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fed9b98917807a7caf382aa121d7854ddd3557ec)
ou
La somme de deux glisseurs 
et 
est un glisseur si leurs axes centraux et sont parallèles ou confondus avec leurs résultantes non opposées en effet
Remarques : si est à en étant différent, ces axes centraux n'ont aucun point commun et par suite, en un point 
, les éléments de réduction de chacun des glisseurs sont ![{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{1}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q}\left[{\begin{array}{c}\neq {\overrightarrow {0}}\\\perp \;{\text{à}}\;{\vec {R}}_{1}\end{array}}\right]\end{array}}\right\rbrace _{Q}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e756ae0258112f64ff5b920929646ed5a6a1a03)
et ![{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q}\left[{\begin{array}{c}\neq {\overrightarrow {0}}\\\perp \;{\text{à}}\;{\vec {R}}_{2}\end{array}}\right]\end{array}}\right\rbrace _{Q}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a83f6c3b0ce3499302c1480e14a4384f81cad068)
[41], le moment de 
étant a priori 
[42] et à 
[43], cela assure que est un glisseur, plus précisément qu'il existe un point 
au plan 
tel que 
ou, avec 
les projetés orthogonaux de 
sur les axes centraux respectifs et 
des deux glisseurs et 
, 
[44] et par suite, que le support du glisseur est la droite issue de de vecteur directeur et
Remarques : si est confondu avec , tous les points de ces axes centraux sont communs et par suite, 
, les éléments de réduction de chacun des glisseurs sont 
et 
[41] est un glisseur dont le support est l'axe central commun 
de vecteur directeur ![{\displaystyle \;{\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2}{\Bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/434f09c759128f5991fb3f49580aa8c17b4e3d89)
.
- Dans le cas le plus général correspondant au cas où les axes centraux et des deux glisseurs et ne sont pas concourants, la somme des deux glisseurs et n'est pas un glisseur.
- La somme de deux glisseurs et est un couple si leurs axes centraux et sont parallèles avec leurs résultantes opposées en effet si est à en étant différent, ces axes centraux n'ont aucun point commun et par suite, en un point , les éléments de réduction de chacun des glisseurs sont et
![{\displaystyle \left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q}\left[{\begin{array}{c}\neq {\overrightarrow {0}}\\\perp \;{\text{à}}\;{\vec {R}}_{2}\end{array}}\right]\end{array}}\right\rbrace _{Q}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fcec0259b801e76d60748922d266b66a199d27b)
[45], le moment de étant et constant [46], ce qui établit que la somme est un couple.
- La somme de deux glisseurs et est le torseur nul si leurs axes centraux et sont confondus avec leurs résultantes opposées en effet si est confondu avec , tous les points de ces axes centraux sont communs et par suite, , les éléments de réduction de chacun des glisseurs sont
et 
[45] est le torseur nul .
Décomposition centrale d'un torseur quelconque
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Début d’un théorème
Théorème
« Tout torseur
peut être décomposé de façon unique en la somme d'un torseur glisseur
de support identique à l'axe central
du torseur et d'un torseur couple
» soit encore
tel que 
.
Fin du théorème
Démonstration : Soit le torseur et ses éléments de réduction en un point de son axe central 
, 
[47], nous décomposons les éléments de réduction du torseur en de la façon unique suivante 
,
Démonstration : le 1er terme du 2nd membre 
étant les éléments de réduction d'un glisseur unique en de support « la droite issue de de vecteur directeur » qui est aussi l'axe central du torseur et
Démonstration : le 2ème terme du 2nd membre 
les éléments de réduction d'un couple unique de moment constant égal à 
.
Remarque : C'est par le choix des éléments de réduction du torseur en un point de son axe central que l'on assure l'unicité de la décomposition précédente, c'est aussi la raison pour laquelle cette décomposition est appelée « décomposition centrale », les trois éléments indispensables à connaître pour établir cette décomposition sont 
[48] encore appelés « éléments centraux de ».
Produit (ou comoment) de deux torseurs
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Définition du produit (ou comoment) de deux torseurs
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Définition
Le produit
ou comoment
des deux torseurs
et
dont les éléments de réduction en un même point quelconque
sont
et
est la grandeur
telle que
.
Propriétés du produit (ou comoment) de deux torseurs
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- Le produit ou comoment de deux torseurs et est commutatif c.-à-d.
;
- le produit ou comoment de deux torseurs et est indépendant du point en lequel sont définis les éléments de réduction des torseurs en effet, si on choisit un point
différent de , seul le moment des torseurs est modifié selon la relation de Varignon [14] ![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,B}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A}+{\vec {R}}_{1}\wedge {\overrightarrow {AB}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,B}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A}+{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {AB}}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd87e30f7614608741d275f4e067a6cd687c6294)
et par suite on en déduit ![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,B}\end{array}}\right\rbrace _{B}\otimes \left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,B}\end{array}}\right\rbrace _{B}={\vec {R}}_{1}\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,B}+{\vec {R}}_{2}\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,B}={\vec {R}}_{1}\cdot \left[{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A}+{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {AB}}\right]+{\vec {R}}_{2}\cdot \left[{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A}+{\vec {R}}_{1}\wedge {\overrightarrow {AB}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e864b3c54c2cbc2375eb6c5672f03fae8cb0c1af)
expression dans laquelle on reconnaît 
d'où 
en fonction de 
selon ![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,B}\end{array}}\right\rbrace _{B}\otimes \left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,B}\end{array}}\right\rbrace _{B}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A}\end{array}}\right\rbrace _{A}\otimes \left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A}\end{array}}\right\rbrace _{A}+{\vec {R}}_{1}\cdot \left[{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {AB}}\right]+{\vec {R}}_{2}\cdot \left[{\vec {R}}_{1}\wedge {\overrightarrow {AB}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95630672ce0c17afc7522e67e6f0528530314d91)
soit, en utilisant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire [49] ![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\cdot \left({\vec {R}}_{1}\wedge {\overrightarrow {AB}}\right)={\overrightarrow {AB}}\cdot \left({\vec {R}}_{2}\wedge {\vec {R}}_{1}\right)\\{\vec {R}}_{1}\cdot \left({\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {AB}}\right)={\overrightarrow {AB}}\cdot \left({\vec {R}}_{1}\wedge {\vec {R}}_{2}\right)\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4f5c90eff74d820355eba3f55ae31813251f72b)
d'une part et l'anticommutativité de la multiplication vectorielle [50] 
d'autre part ![{\displaystyle \;{\vec {R}}_{1}\cdot \left[{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {AB}}\right]=-{\vec {R}}_{2}\cdot \left[{\vec {R}}_{1}\wedge {\overrightarrow {AB}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc939a489b67e600c9902b36281fd48760660aa6)
et par suite 
(C.Q.F.D.) [51] ;
- Le produit ou comoment de deux torseurs couples et est identiquement nul c.-à-d.
[52] ;
- Le produit ou comoment de deux torseurs couple et glisseur et n'est jamais nul c.-à-d.
[53] ;
- Le produit ou comoment de deux torseurs glisseurs et est nul si leurs axes centraux et sont concourants c.-à-d., en notant
le point d'intersection des axes centraux, 
[54] ou
Le produit 
ou comoment
de deux torseurs glisseurs et est nul si leurs axes centraux et sont confondus en effet le cas des axes centraux confondus peut être considéré comme le cas particulier des axes centraux concourants en tous leurs points ou
Le produit ou comoment de deux torseurs glisseurs et est nul si leurs axes centraux et sont parallèles 
en effet si les éléments de réduction du 1er torseur glisseur sont pris en un point 
de son axe central mais évidemment hors de l'axe central du 2ème torseur glisseur on a 
en notant 
un point de l'axe central et ![{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{1}\otimes {\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R_{1}}}\neq 0\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A_{1}}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\right\rbrace _{A_{1}}\otimes \left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{1}}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\right\rbrace _{A_{1}}={\vec {R}}_{1}\cdot \left[{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {A_{2}A_{1}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f4ddeda995bf3f45caf9331557673280cbb1262)
car les trois vecteurs 
étant coplanaires leur produit mixte est nul voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »![{\displaystyle {\big ]}{\bigg \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fb3020f9fabe43e83937b2d052054cce50116d2)
;
- le produit ou comoment de deux torseurs glisseurs et est non nul si leurs axes centraux et ne sont pas concourants, parallèles ou confondus, en effet comme il n'existe aucun point commun des axes centraux et , on choisit un point
pour évaluer les éléments de réduction des deux torseurs 
et ![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{1}}={\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {A_{2}A_{1}}}\neq {\overrightarrow {0}}\\A_{2}\;\in \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad5bb41fbea70fecb046761f478912580bb8ce8d)
d'où ![{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{1}\otimes {\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R_{1}}}\neq 0\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A_{1}}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\right\rbrace _{A_{1}}\otimes \left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{1}}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\right\rbrace _{A_{1}}={\vec {R}}_{1}\cdot \left[{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {A_{2}A_{1}}}\right]\neq 0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91f33a95825e81618ac0e9c55069830f013f6b46)
car les trois vecteurs 
n'étant pas coplanaires leur produit mixte est non nul voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
Exemples de torseurs en mécanique
modifier
Le torseur statique ou torseur d'action sert à modéliser les actions mécaniques lors de la résolution d'un problème de statique tridimensionnel.
Une action mécanique exercée sur un système de points matériels ![{\displaystyle \;\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ee3138e2c2628b45459878815a5dc9c70f99d34)
peut être représentée par une force 
s'exerçant sur le point 
ou par une répartition de forces de somme nulle ![{\displaystyle \;{\vec {C}}_{\left(l\,\in \left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]\right)}=\left\lbrace {\vec {F}}_{l},\;\sum \limits _{l}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\vec {F}}_{l}={\vec {0}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/135e26517ec8c2557e95beb95d263d2f3eac994c)
définissant un couple au sens de la mécanique s'appliquant en au moins deux points distincts «![{\displaystyle \;A_{l},\,l\in \left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62b25ac2ac69c7501ec1fa47530ef5298f1735aa)
» ;
chaque force s'exerçant sur le point est un torseur glisseur 
dont le support 
est la droite issue de de vecteur directeur 
, ses éléments de réduction en un point 
quelconque sont 
[55],
chaque répartition de forces de somme nulle est un torseur couple ![{\displaystyle \;{\mathcal {C}}_{\left(l\,\in \left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad9d64a42e73d03ae7f5da8cbc1252df83d3be6)
, ses éléments de réduction en un point quelconque sont ![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\vec {C}}_{\left(l\,\in \left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]\right)}}=\sum \limits _{l}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\vec {F}}_{l}\wedge {\overrightarrow {A_{l}O}}\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77cf68b6365be6f178b8f901bd596a56f90b7e1e)
[56], [57] ;
finalement l'ensemble des actions mécaniques s'exerçant sur le système de points matériels est un torseur 
nommé « torseur statique » dont les éléments de réduction en un point quelconque sont ![{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{\text{stat.}}=\sum _{k}{\mathcal {G}}_{k}+\sum \limits _{q,\,{\text{indexant}}}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\mathcal {C}}_{q}=\left\lbrace {\begin{array}{c}\sum _{k}{\vec {F}}_{k}\\\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\vec {F}}_{k}}+\sum \limits _{q,\,{\text{indexant}}}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{{\vec {C}}_{\left(l\,\in \left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]_{q}\right)}}\end{array}}\right\rbrace _{O}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24eacf35149a8d019edaf749d57dc36a0dc9cf53)
[58].
Le torseur cinématique sert à représenter pratiquement les comportements de translation et de rotation d'un solide ou système indéformable de points matériels mais ne peut pas être utilisé pour un système déformable ce qui limite son introduction dans le domaine de la physique.
On établit en effet que le champ de vitesse des points d'un solide ![{\displaystyle \;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right),\,A_{i}A_{j}\,=\,cste\;\forall (i,\,j)}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5577b2a02afffbfa4ab93d16eed6e5f5152b7b)
dans un référentiel donné 
est équiprojectif donc représentable par un torseur en effet 
d'où, en repérant les positions du solide dans le référentiel d'étude relativement au point 
, 
, ce qui permet de déduire de 
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {A_{i}A_{j}}}(t)\cdot \left[{\vec {V}}_{A_{j}}(t)-{\vec {V}}_{A_{i}}(t)\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f1486800999652ce82123e6d0ad61422f82096f)
ou 
établissant le caractère équiprojectif du champ de vitesse d'un solide ;
d'après la forme directe de la relation de Varignon [14], [59] on peut définir, pour le torseur du champ de vitesse d'un solide nommé « torseur cinématique », un vecteur unique 
vérifiant 
, le vecteur définissant la résultante du torseur cinématique [60] ;
les éléments de réduction du torseur cinématique du solide en un point de ce dernier s'écrivent 
, le mouvement du solide diffère suivant la nature de son torseur cinématique :
- le torseur cinématique est un torseur couple si
traduisant une translation du solide, la relation de Varignon [14] s'écrivant 
pour 
, dans ce cas le torseur cinématique n'a pas d'axe central,
- le torseur cinématique est un torseur glisseur si
avec l'existence d'un point 
tel que 
point central du glisseur, le torseur glisseur ayant pour support « la droite issue de de vecteur directeur » [61], les autres points 
et 
de vecteurs vitesse 
selon la relation de Varignon [14] établissent que le solide a un mouvement de rotation de vecteur rotation instantanée autour du point fixe du solide [62],
- le torseur cinématique est un torseur non particulier si avec l'existence d'un point tel que
à 
point central du torseur [63], le torseur ayant pour axe central 
« la droite issue de [63] de vecteur directeur », les autres points 
de vecteurs vitesse 
selon la relation de Varignon [14] établissent que le mouvement du solide résulte de la composition d'une rotation de vecteur rotation instantanée autour l'axe central et d'une translation de vecteur vitesse 
à et
- le torseur cinématique est un torseur non particulier si avec absence de point tel que à absence de point central du torseur, le torseur n'ayant donc pas d'axe central, considérant un point quelconque
de vecteur vitesse 
et un autre point 
et 
de vecteurs vitesse 
selon la relation de Varignon [14] établissent que le mouvement du solide résulte de la composition d'une rotation de vecteur rotation instantanée autour d'un axe à passant par et d'une translation de vecteur vitesse 
à .
Ce torseur est un 1er exemple à moments formés de vecteurs polaires ou vrais vecteurs[16] et dont la résultante est un vecteur axial ou pseudo-vecteurs[17].
Cette introduction n'est valable que dans le domaine de la cinétique newtonienne.
Le torseur cinétique sert à représenter pratiquement les comportements de « mouvement inertiel » [64] d'un système de points matériels déformable ou indéformable.
La grandeur cinétique d'un système de points matériels dans le référentiel d'étude est représentée, à l'instant 
, par son vecteur quantité de mouvement 
du point où 
est la masse du point et son vecteur vitesse à l'instant ;
la quantité de mouvement 
du point est un torseur glisseur dont le support 
est la droite issue de de vecteur directeur 
, ses éléments de réduction en un point quelconque sont 
[65] ;
l'ensemble des quantités de mouvement des points du système de points matériels est un torseur 
nommé « torseur cinétique » dont les éléments de réduction en un point quelconque sont 
[66],
- la résultante
du torseur cinétique est notée 
et appelée « résultante cinétique » et
- le moment
du torseur cinétique est, en physique, notée ![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{O,\,\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f55f4cac8f9a06dab8b1cd1303832679217eaac)
[67] et appelé « moment résultant cinétique » au point , il s'écrit donc, en physique, 
et la relation de Varignon [14] lui est applicable selon 
ou encore 
.
Le torseur cinétique du système de points matériels dans le référentiel d'étude à l'instant 
est :
- un torseur couple si
traduisant l'immobilité du C.D.I. [68] 
du système quand celui-ci est fermé [69], la relation de Varignon [14] s'écrivant 
pour 
quelconque, dans ce cas le torseur cinétique n'a pas d'axe central,
- un torseur glisseur si
avec l'existence d'un point tel que 
point central du glisseur, le torseur glisseur ayant pour support « la droite issue de de vecteur directeur » [70], en un autre point 
et le moment résultant cinétique s'écrit 
ou 
comme on le note préférentiellement en physique![{\displaystyle {\Big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb5ec6bb7771c982c131bdb53858ed6e79e456a4)
selon la relation de Varignon [14] établissant que le moment résultant cinétique du système en 
est égal au moment cinétique en du point auquel on aurait affecté une quantité de mouvement égale à la résultante cinétique du système,
- un torseur non particulier si avec l'existence d'un point tel que
à 
point central du torseur [71], le torseur ayant pour axe central 
« la droite issue de [71] de vecteur directeur », en un autre point et le moment résultant cinétique s'écrit 
ou 
comme on le note préférentiellement en physique selon la relation de Varignon [14] établissant que le moment résultant cinétique du système en résulte de la composition du mouvement résultant cinétique en et du moment cinétique en du point auquel on aurait affecté une quantité de mouvement égale à la résultante cinétique du système, ces deux moments résultants étant perpendiculaires entre eux [72] et
- un torseur non particulier si avec absence de point tel que à absence de point central du torseur, le torseur n'ayant pas d'axe central, considérant un point
par rapport auquel le moment résultant cinétique est 
et un autre point et 
par rapport auquel le moment résultant cinétique s'écrit 
ou 
comme on le note préférentiellement en physique selon la relation de Varignon [14] établissant que le moment résultant cinétique du système en résulte de la composition du mouvement résultant cinétique en 
, point quelconque, et du moment cinétique en du point 
auquel on aurait affecté une quantité de mouvement égale à la résultante cinétique du système, ces deux moments résultants étant a priori quelconques.
Cette introduction n'est valable que dans le domaine de la dynamique newtonienne.
Le torseur dynamique sert à représenter les variations de « mouvement inertiel » [64] d'un système de points matériels déformable ou indéformable.
La grandeur dynamique d'un système de points matériels dans le référentiel d'étude est représentée, à l'instant , par la dérivée temporelle de son vecteur quantité de mouvement 
du point où est la masse du point et 
son vecteur accélération à l'instant ;
la dérivée temporelle de la quantité de mouvement 
du point est un torseur glisseur dont le support est la droite issue de de vecteur directeur 
, ses éléments de réduction en un point quelconque sont 
[73] ;
l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points du système de points matériels est un torseur 
nommé « torseur dynamique » dont les éléments de réduction en un point 
sont 
[74],
- la résultante
du torseur dynamique est appelée, par quelques uns, « quantité d'accélération » [75], [76] et
- le moment
du torseur dynamique, notée en physique ![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,\left\lbrace A_{k}\,,\,{\dot {\vec {p_{k}}}}\,,\,k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right\rbrace }(t)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/223798a781616a8aaf2ef2a195df2980aee5fcaf)
[77] est appelé, par quelques uns, « moment résultant dynamique » au point [78], il s'écrit donc, en physique, selon 
et la relation de Varignon [14] peut lui être appliquée selon 
ou encore 
.
Soit ![{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{{\text{stat. sur}}\,({\mathcal {S}})}=\left\lbrace {\begin{array}{c}\sum _{k}{\vec {F}}_{k}\\\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\vec {F}}_{k}}+\sum \limits _{q,\,{\text{indexant}}}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{{\vec {C}}_{\left(l\,\in \left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]_{q}\right)}}\end{array}}\right\rbrace _{O}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/566547c0d5d51b797d5287a40dbaed1ab26f55c0)
[58] le torseur statique s'exerçant sur le solide 
![{\displaystyle \left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7bad922bb789e9abd3b816ff68b39aa041d6512)
ou, en tenant compte des remarques développées dans la note « 54 », 
et
Soit 
le torseur cinématique du solide pour lequel doit être un point du solide,
le produit ou comoment des torseurs statique et cinématique relatif au solide 
, à savoir 
, nécessite de choisir 
, il s'écrit alors 
correspondant à la puissance développée par la résultante dynamique 
lors de la translation de vecteur vitesse 
augmentée de celle développée par le moment résultant dynamique 
lors de la rotation de vecteur rotation instantanée autour du point , c.-à-d. 
la puissance développée par les actions extérieures s'exerçant sur le solide ;
en conclusion le produit ou comoment des torseurs statique et cinématique relatif au solide 
évalue la puissance développée par les actions extérieures s'exerçant sur le solide dans le référentiel où le torseur cinématique est déterminé soit
[79].
- ↑ Voir le paragraphe « définition du barycentre d'un système de n points pondérés » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ 2,00 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05 2,06 2,07 2,08 et 2,09 Représentant l'espace vectoriel auquel on associe l'ensemble des bipoints de l'espace affine.
- ↑ Les notions élémentaires des vecteurs de l'espace sont suffisants, il n'est pas, pour l'instant, utile de définir un espace vectoriel.
- ↑ Voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit scalaire de deux vecteurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Égale à la norme du vecteur associé au bipoint.
- ↑ Se déterminant à l'aide du produit scalaire des vecteurs associés aux bipoints, voir le paragraphe « calcul de l'angle entre deux vecteurs connaissant leurs composantes dans une même base orthonormée et par l'intermédiaire de leur produit scalaire » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ 7,00 7,01 7,02 7,03 7,04 7,05 7,06 7,07 7,08 7,09 7,10 7,11 7,12 7,13 7,14 7,15 7,16 7,17 7,18 7,19 7,20 7,21 7,22 7,23 et 7,24 Ou sous-ensemble de , le sous-ensemble correspondant au domaine de définition.
- ↑ Ici application de direction de dans .
- ↑ L'adjoint d'un endomorphisme
de , direction de l'espace affine , est l'endomorphisme 
tel que 
dans laquelle 
représente la multiplication scalaire définie sur 
ainsi 
est le produit scalaire de 
sur 
, 
étant l'élément de , image de 
par l'endomorphisme 
, 
est le produit scalaire de 
sur 
et enfin ce produit scalaire devant être égal à 
c.-à-d. au produit scalaire de 
, image de par l'endomorphisme adjoint 
, sur 
définit l'endomorphisme adjoint de ;
les endomorphismes égaux à leur adjoint sont dits « symétriques » exemple 
avec 
car 
et
les endomorphiceux opposés à leur adjoint sont dits « antisymétriques » 
exemple 
avec 
car 
, le produit scalaire 
étant le produit mixte 
en adoptant la notation usuelle de la multiplication scalaire ainsi que celle des vecteurs pour les éléments de ![{\displaystyle \;{\mathcal {V}}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f2b668064a7faf1a02dd5d0752b04eee129267a)
égal à 
par permutation circulaire du produit mixte ou à 
par commutativité du produit scalaire et enfin à 
par anticommutativité du produit vectoriel
.
- ↑ 10,0 et 10,1 On rappelle qu'au sens de la mécanique un solide est un système de points matériels indéformable.
- ↑ Par exemple, le moment des forces gravitationnelles crées par la Terre ou forces électrostatiques dues à un corps électrisé
La notion de moment de force est introduite dans le paragraphe « définition (du moment vectoriel d'une force) » du chap.
de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
- ↑ C'est un abus fréquemment utilisé, on devrait énoncer « l'image d'un torseur est un champ de vecteurs
», le torseur étant une application d'un espace affine sur la direction de ce dernier.
- ↑ L'équiprojectivité du torseur peut encore être écrite selon
.
- ↑ 14,00 14,01 14,02 14,03 14,04 14,05 14,06 14,07 14,08 14,09 14,10 14,11 14,12 14,13 14,14 14,15 14,16 14,17 14,18 14,19 14,20 14,21 et 14,22 Pierre Varignon (1654 - 1722) mathématicien français ayant fourni d'importantes contributions dans le domaine de la statique
- ↑ Le torseur étant un champ de vecteurs équiprojectif et ayant admis qu'un tel champ équiprojectif vérifiait la propriété « il existe un endomorphisme antisymétrique tel que
» nous en déduisons que l'endomorphisme antisymétrique est tel que 
.
- ↑ 16,00 16,01 16,02 16,03 16,04 16,05 16,06 16,07 16,08 16,09 16,10 16,11 16,12 et 16,13 Voir le paragraphe « définition d'un vrai vecteur (ou vecteur polaire) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ 17,00 17,01 17,02 17,03 17,04 17,05 17,06 17,07 17,08 17,09 17,10 et 17,11 Voir le paragraphe « définition d'un pseudo-vecteur (ou vecteur axial) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ 18,0 et 18,1 et sont appelées « éléments de réduction du torseur » ou coordonnées vectorielles du torseur
, seul le 2ème élément ou la 2ème coordonnée dépend du point de la réduction.
- ↑ D'après la réciproque de la relation de Varignon, on voit que l'on peut construire un torseur à partir d'un 1er vrai vecteur
et un 2nd pseudo-vecteur 
, ceci établissant, à condition de discerner l'espace vectoriel direction de , de celui incluant l'image de par torseur noté 
pour concrétiser la différenciation ceci permettant de distinguer l'espace des vrais vecteurs de celui des pseudo-vecteurs, que l'ensemble des torseurs forment un espace vectoriel de dimension six dont une base possible est la réunion d'une base de et d'une de 
, considérées comme distinctes si on discerne 
de attention il est impératif de discerner de pour affirmer que la dimension est six, si on ne le fait pas elle n'est que de trois![{\displaystyle \;\ldots {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ad3ffc88399e77946910eb87c77e2259b1247ea)
.
- ↑
étant une base de permettant de décomposer ainsi que tous les vecteurs du type et 
une base de permettant de décomposer tous les moments de torseur avec 
et 
de même direction et de même sens resp. 
et 
de même direction et de même sens ainsi que 
et 
de même direction et de même sens.
- ↑ 21,0 et 21,1 De Julius Plücker (1801 - 1868) mathématicien et physicien allemand, ayant obtenu des résultats fondamentaux en géométrie analytique dans le domaine des mathématiques et effectué des recherches sur les rayons cathodiques, entre autres, dans le domaine de la physique.
- ↑ 22,0 et 22,1 Ou
compte-tenu du fait que n'est qu'une autre écriture de 
.
- ↑ Si on explicite les composantes plückeriennes de cette relation de Varignon, il faut préciser que et étant décomposés sur alors que et
le sont sur 
, nous devons poser 
en parfait accord avec les directions et sens respectifs des deux bases ainsi que la définition du produit vectoriel suivant l'orientation de l'espace voir le paragraphe « propriété du produit vectoriel de deux vrais vecteurs, de deux pseudo-vecteurs ou d'un vrai vecteur et d'un pseudo-vecteur » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ D'après la réciproque de la relation de Varignon, on voit que l'on peut construire un torseur à partir d'un 1er pseudo-vecteur
et un 2nd vrai vecteur , ceci établissant, à condition de discerner l'espace vectoriel direction de et incluant l'image de par torseur, de dans lequel la résultante du torseur est générée pour concrétiser la différenciation ceci permettant de distinguer l'espace des vrais vecteurs de celui des pseudo-vecteurs, que l'ensemble des torseurs forment un espace vectoriel de dimension six dont une base possible est la réunion d'une base de et d'une de , considérées comme distinctes si on discerne de on rappelle qu'il est impératif de discerner de pour affirmer que la dimension est six, si on ne le fait pas elle n'est que de trois.
- ↑ étant une base de permettant de décomposer tous les vecteurs du type ainsi que tous les moments de torseur et
une base de permettant de décomposer avec et 
de même direction et de même sens resp. et 
de même direction et de même sens ainsi que et 
de même direction et de même sens.
- ↑ Si on explicite les composantes plückeriennes de cette relation de Varignon, il faut préciser que , ainsi que étant décomposés sur alors que l'est sur
, nous devons poser 
en parfait accord avec les directions et sens respectifs des deux bases ainsi que la définition du produit vectoriel suivant l'orientation de l'espace voir le paragraphe « propriété du produit vectoriel de deux vrais vecteurs, de deux pseudo-vecteurs ou d'un vrai vecteur et d'un pseudo-vecteur » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Il s'agit de l'élément neutre de l'addition des torseurs.
- ↑ Voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ N'est donc pas à démontrer à partir de la relation de Varignon c'est en fait la relation de Varignon que nous avons admise et qui peut être démontrée à partir de la relation d'équiprojectivité, démonstration non exposée ;
toutefois la relation de Varignon étant admise, nous pouvons vérifier aisément que la relation d'équiprojectivité en découle en effet 
![{\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\overrightarrow {PQ}}\;{\cancel {+\left[{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\right]\cdot {\overrightarrow {PQ}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fc77fbdf97d1355d41192b4c8c337c85bd7b4a2)
voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Si le moment du torseur en ou si la résultante est nul(le), le caractère « même direction » est considéré comme assuré
- ↑ Ou
.
- ↑ Ou
.
- ↑ Voir le paragraphe « formules du double produit vectoriel » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ On vérifie que les éléments de réduction en un autre point
différent de sont aussi nuls en effet, la résultante étant invariante reste nulle en et le moment du torseur en s'obtenant par application de la relation de Varignon donne 
.
- ↑ Le moment de la somme des deux couples est non nul car les moments
et ne sont pas opposés.
- ↑ Le moment du torseur glisseur en s'obtient en appliquant la relation de Varignon à partir du point particulier
pour lequel 
.
- ↑ En effet, si on adopte les coordonnées plückeriennes du torseur sans faire de distinction entre vecteurs polaires et axiaux, ce qui revient à choisir la même base cartésienne pour la résultante et le moment de torseur, les vecteurs de base étant colinéaire et de même sens que la résultante on pose
![{\displaystyle \;{\vec {R}}=Z\;{\vec {u}}_{z}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2921723debe7f549fc0f7b4b0a3d8843fd00e61)
et colinéaire et de même sens que le moment du torseur en c.-à-d. 
on pose ![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}=L\;{\vec {u}}_{x}{\Big ]}{\Big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21985a5583d44866ba3bde3c8a58212080e029f6)
, en choisissant comme origine, avec 
, 
se réécrit ![{\displaystyle \;L\;{\vec {u}}_{x}+Z\;{\vec {u}}_{z}\wedge \left[x\;{\vec {u}}_{x}+y\;{\vec {u}}_{y}+z\;{\vec {u}}_{z}\right]=\left[L-Z\;y\right]{\vec {u}}_{x}+Z\;x\;{\vec {u}}_{y}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2542b8590a593a0d109707e8923ed89653ff004)
qui s'annule pour 
telles que 
.
- ↑ En effet sinon, comme pour ces éventuels points on a le torseur serait le torseur nul, ce qui est exclu.
- ↑ En effet
avec 
pourrait impliquer 
ce qui est exclu par hypothèse.
- ↑ La résultante de la somme des deux glisseurs est non nulle car la direction de la résultante de chacun des glisseurs étant celle de son axe central et ces dernières étant différentes,
et 
ayant des directions différentes ne peuvent avoir une somme nulle.
- ↑ 41,0 et 41,1 La résultante de la somme des deux glisseurs est non nulle car et ne sont pas opposées.
- ↑ Mais s'il est nul, cela prouve que la somme des deux glisseurs est un glisseur dont le support est la droite passant par ce point
.
- ↑ Car chaque moment de glisseur étant à la direction commune de et de
, leur somme l'est aussi.
- ↑ En effet, si on adopte les coordonnées plückeriennes du torseur sans faire de distinction entre vecteurs polaires et axiaux, ce qui revient à choisir la même base cartésienne pour la résultante et le moment de torseur, les vecteurs de base étant colinéaire et de même sens que les résultantes et on pose
et ![{\displaystyle \;{\vec {R}}_{2}=Z_{2}\;{\vec {u}}_{z}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/678f59fb5f6f1bdaa0a43d0d5631227e00e8cadd)
et colinéaire et de même sens que 
on pose ![{\displaystyle \;{\overrightarrow {Q_{1,\,0}Q_{2,\,0}}}=d\;{\vec {u}}_{x}{\Big ]}{\Big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52dd10d00ed5bd006d281ac59dfca1e3c42d7190)
, en choisissant 
comme origine, avec 
, 
se réécrit ![{\displaystyle \;Z_{1}\;{\vec {u}}_{z}\wedge \left[x\;{\vec {u}}_{x}\right]+Z_{2}\;{\vec {u}}_{z}\wedge \left[-\left(d-x\right){\vec {u}}_{x}\right]=\left[Z_{1}\;x-Z_{2}\left(d-x\right)\right]{\vec {u}}_{y}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9654b31cde494aa4cd66311e18eac17fa773355)
qui s'annule pour 
.
- ↑ 45,0 et 45,1 La résultante de la somme des deux glisseurs est nulle car et sont opposées.
- ↑ En effet, si on adopte les coordonnées plückeriennes du torseur sans faire de distinction entre vecteurs polaires et axiaux, ce qui revient à choisir la même base cartésienne pour la résultante et le moment de torseur, les vecteurs de base étant colinéaire et de même sens que les résultantes et on pose et
avec ![{\displaystyle \;Z_{2}=-Z_{1}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1673b40ad0771591387c1ac723743d2e451c8ea)
et colinéaire à la perpendiculaire aux axes centraux dans le plan commun de ces derniers, orienté de vers on pose 
la distance orthogonale entre les deux axes centraux![{\displaystyle {\Big ]}{\Big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccbaccb284ec90d4ee4fe09b7ac4255bd5f36d9d)
, en notant et les points respectifs de et de même cote que le point où les éléments de réduction sont évalués, en prenant le milieu de ![{\displaystyle \;\left[A_{1}A_{2}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd258fa5df9be8781e6e9b23aed365c712b1f0c9)
comme origine et en posant 
l'origine ayant été choisie à la même cote que le point ![{\displaystyle \;Q{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4d3e7a49a23f6ba3bbb640762f64f666a0f23c5)
, 
se réécrit ![{\displaystyle \;Z_{1}\;{\vec {u}}_{z}\wedge \left[\left(x-{\dfrac {d}{2}}\right)\,{\vec {u}}_{x}+y\;{\vec {u}}_{y}\right]-Z_{1}\;{\vec {u}}_{z}\wedge \left[\left(x+{\dfrac {d}{2}}\right){\vec {u}}_{x}+y\;{\vec {u}}_{y}\right]=Z_{1}\;d\;{\vec {u}}_{y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3296920e9dd05524258e38a24e7d598fd7078601)
.
- ↑ Nous supposons que le torseur n'est ni un couple
![{\displaystyle \;{\big [}{\vec {R}}\neq {\vec {0}}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13c6e9b4d5eae58f2bf0bffd18a9a042390d86b6)
, ni un glisseur ![{\displaystyle \;{\big [}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\neq {\overrightarrow {0}}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01cee1e72e17511fa30786079709ba1586cdec0d)
, ni le torseur nul.
- ↑ On rappelle que le moment d'un torseur est constant sur son axe central, il est donc indépendant du point choisi.
- ↑ Voir le paragraphe « propriétés du produit mixte » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Voir le paragraphe « propriétés de la multiplication vectorielle » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Ce Qu'il Fallait Démontrer.
- ↑ On rappelle que le moment d'un torseur couple est indépendant du point où l'élément de réduction est évalué d'où l'absence d'indication du point dans les éléments de réduction
- ↑ On rappelle que le moment d'un torseur couple est indépendant du point où l'élément de réduction est évalué d'où l'absence d'indication du point dans les éléments de réduction de ce dernier, les éléments de réduction du torseur étant indiqués évalués en un point de son axe central mais pouvant l'être aussi en n'importe quel point car si le moment du glisseur n'est pas nul hors de son axe central, le produit avec la résultante nulle du couple l'est
- ↑ Si les éléments de réduction du 1er torseur glisseur sont pris en un point de son axe central mais hors de l'axe central du 2ème torseur glisseur on a
et ![{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{1}\otimes {\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R_{1}}}\neq 0\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A_{1}}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\right\rbrace _{A_{1}}\otimes \left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{1}}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\right\rbrace _{A_{1}}={\vec {R}}_{1}\cdot \left[{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {A_{0}A_{1}}}\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef955bff28c23739dd9d95be337901e63e0b0892)
car les trois vecteurs 
étant coplanaires leur produit mixte est nul voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »![{\displaystyle {\big ]}{\Big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5577b661a1dfefecf33aefa485d1af26c7d4af26)
;
si les éléments de réduction du 1er et du 2ème torseur glisseur sont pris en un point hors des deux axes centraux et , aucun des moments de glisseur n'est nul ![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,P}={\vec {R}}_{1}\wedge {\overrightarrow {A_{0}P}}\neq {\overrightarrow {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,P}={\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {A_{0}P}}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8629d074f0074e77600cf8d542326ce9ad05895)
et ![{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{1}\otimes {\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R_{1}}}\neq 0\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,P}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\right\rbrace _{P}\otimes \left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,P}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\right\rbrace _{P}={\vec {R}}_{1}\cdot \left[{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {A_{0}P}}\right]+{\vec {R}}_{2}\cdot \left[{\vec {R}}_{1}\wedge {\overrightarrow {A_{0}P}}\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20717899bb0252959a16bb41915a090e1752d539)
en utilisant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire voir le paragraphe « propriétés du produit mixte » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\cdot \left({\vec {R}}_{1}\wedge {\overrightarrow {A_{0}P}}\right)={\overrightarrow {A_{0}P}}\cdot \left({\vec {R}}_{2}\wedge {\vec {R}}_{1}\right)\\{\vec {R}}_{1}\cdot \left({\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {A_{0}P}}\right)={\overrightarrow {A_{0}P}}\cdot \left({\vec {R}}_{1}\wedge {\vec {R}}_{2}\right)\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71515012d56422267a43c45b9c6fa4dffeac075a)
d'une part et l'anticommutativité de la multiplication vectorielle voir le paragraphe « propriétés de la multiplication vectorielle » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » d'autre part ![{\displaystyle \;{\vec {R}}_{1}\cdot \left[{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {A_{0}P}}\right]=-{\vec {R}}_{2}\cdot \left[{\vec {R}}_{1}\wedge {\overrightarrow {A_{0}P}}\right]\;\ldots {\Bigg \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bee22387dc2090d61790b246f2336502a34aca7)
;
en fait ces justifications n'avaient pas lieu d'être faites car nous avons établi que le produit ou comoment de deux torseurs est indépendant du point en lequel sont définis les éléments de réduction des torseurs
- ↑ Le moment de ce torseur glisseur sera écrit, en physique, sous la forme
égale à la forme donnée dans l'élément de réduction du torseur glisseur par 
et anticommutativité de la multiplication vectorielle voir le paragraphe « propriétés de la multiplication vectorielle » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », la raison de ce choix reposant sur la volonté de faire apparaître 
le vecteur position du point 
.
- ↑ Le point en lequel est effectué la réduction n'est indiqué en indice des accolades car les éléments de réduction d'un torseur couple ne dépendent pas de ce point.
- ↑ Le moment de ce torseur couple sera écrit, en physique, sous la forme
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\Gamma }}_{\left(l\,\in \left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]\right)}=\sum \limits _{l}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\overrightarrow {OA_{l}}}\wedge {\vec {F}}_{l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34553da9884814f1d4ad2ff8e68e082d10ead638)
égale à la forme donnée dans l'élément de réduction du torseur couple par 
et anticommutativité de la multiplication vectorielle voir le paragraphe « propriétés de la multiplication vectorielle » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
nous pouvons vérifier aisément, sous la forme utilisée en physique, l'indépendance du moment du coupla relativement au point de réduction, en effet, si nous prenons un autre point 
, le moment du couple évalué en 
se calcule par ![{\displaystyle \;\sum \limits _{l}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\overrightarrow {O'A_{l}}}\wedge {\vec {F}}_{l}=\sum \limits _{l}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}\left[{\overrightarrow {O'O}}+{\overrightarrow {OA_{l}}}\right]\wedge {\vec {F}}_{l}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8fc35bcfcc7ad772adb09229e9658d32bb9d11c)
soit, en utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle, ![{\displaystyle =\;{\cancel {{\overrightarrow {O'O}}\wedge \left[\sum \limits _{l}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\vec {F}}_{l}\right]}}\;+\sum \limits _{l}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\overrightarrow {OA_{l}}}\wedge {\vec {F}}_{l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad04b3c9a1eb3cce1c06fa8decd340b4553354ae)
.
- ↑ 58,0 et 58,1 Le torseur statique est aussi la somme du torseur des actions extérieures s'exerçant sur le système
et de celui des actions intérieures au système 
lequel est le torseur nul d'après le principe des actions réciproques ;
la résultante du torseur des actions extérieures s'exerçant sur le système 
, notée en physique et appelée résultante dynamique est aussi celle du torseur statique 
,
le moment évalué en du torseur des actions extérieures s'exerçant sur le système , noté en physique et appelé moment résultant dynamique en est aussi celui du torseur statique au même point ;
le torseur statique s'écrit donc, en physique 
.
- ↑ Voir le paragraphe notion de résultante d'un torseur plus haut dans le chapitre.
- ↑ Appelé, dans le domaine de la physique, vecteur « rotation instantanée ».
- ↑ Le vecteur rotation instantanée n'étant pas constant, la direction du support du torseur glisseur ne l'est pas non plus bien qu'ayant un point fixe.
- ↑ En effet la rotation de
à l'instant se faisant autour du support du torseur cinématique de direction variable mais passant par le point fixe , elle se fait autour de ce dernier.
- ↑ 63,0 et 63,1 Point de non nécessairement fixe sur ce dernier.
- ↑ 64,0 et 64,1 On parle de « mouvement inertiel » d'un système de points matériels quand les grandeurs utilisées dépendent à la fois du mouvement du ssystème et de l'inertie de ce dernier qui s'oppose à toute modification de son mouvement.
- ↑ Le moment de ce torseur glisseur sera écrit, en physique, sous la forme
égale à la forme donnée dans l'élément de réduction du torseur glisseur par 
et anticommutativité de la multiplication vectorielle voir le paragraphe « propriétés de la multiplication vectorielle » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », la raison de ce choix reposant sur la volonté de faire apparaître le vecteur position du point .
- ↑ Le moment de ce torseur cinétique sera écrit, en physique, sous la forme
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{O,\,\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}(t)=\sum _{k}{\overrightarrow {OA_{k}}}(t)\wedge {\vec {p}}_{k}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/268d7edad82e0d859471d6cbf80f764a0c8bdd84)
.
- ↑ «» sera noté simplement «
» en absence d'ambiguïté.
- ↑ Centre D'Inertie.
- ↑ Voir le paragraphe « énoncé du lien entre résultante cinétique et vecteur vitesse du centre d'inertie d'un système de points matériels fermé » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » où on a établi que
dans laquelle 
est la masse du système et 
le vecteur vitesse de son C.D.I. 
.
- ↑ Le vecteur résultante cinétique n'étant pas constant, la direction du support du torseur glisseur ne l'est pas non plus et il en est de même du point non nécessairement fixe.
- ↑ 71,0 et 71,1 Point de non nécessairement fixe dans ce dernier.
- ↑ En effet
est à alors que 
est à .
- ↑ Le moment de ce torseur glisseur sera écrit, en physique, sous la forme
égale à la forme donnée dans l'élément de réduction du torseur glisseur par et anticommutativité de la multiplication vectorielle voir le paragraphe « propriétés de la multiplication vectorielle » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », la raison de ce choix reposant sur la volonté de faire apparaître le vecteur position du point .
- ↑ Le moment de ce torseur dynamique sera écrit, en physique, sous la forme
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,\left\lbrace A_{k}\,,\,{\dot {\vec {p_{k}}}}\,,\,k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right\rbrace }(t)=\sum _{k}{\overrightarrow {OA_{k}}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{k}}{dt}}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd90b9e2e7ebad7405ecb2ae361dc92e5e2f3d3)
.
- ↑ Ce que je désapprouve car cette appellation ne fait pas référence à l'aspect inertiel de la résultante.
- ↑ Pourrait être appelée « résultante dynamique » si l'appellation n'était pas déjà utilisée pour la résultante du torseur statique en fait, si le système de points matériels est fermé, le théorème de la résultante cinétique appliquée au système voir le paragraphe « énoncé du théorème de la résultante cinétique » du chap.
de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » nous établit que la résultante du torseur statique est égale à celle du torseur dynamique et par suite la confusion pourrait être faite dans le cas d'un système fermé, toutefois, comme la confusion n'est plus possible pour un système ouvert, je préfère dire « résultante du torseur dynamique » pour nommer 
.
- ↑ «
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,\left\lbrace A_{k}\,,\,{\dot {\vec {p_{k}}}}\,,\,k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right\rbrace }(t)=\sum _{k}{\overrightarrow {OA_{k}}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{k}}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dfb06f50e2b0ae71896caa18173a1670ad9e297)
» sera noté simplement «
» en absence d'ambiguïté.
- ↑ Ce que je désapprouve car l'appellation « moment résultant dynamique » est déjà utilisée pour le moment du torseur statique en fait, si le système de points matériels est fermé, le théorème du moment cinétique vectoriel appliquée au système voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel d'étude galiléen en fixe » du chap.
de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » nous établit que le moment résultant du torseur statique en un point fixe est égale à celui du torseur dynamique et par suite la confusion pourrait être faite dans le cas d'un système fermé avec fixe, toutefois, comme la confusion n'est plus possible dans les autres cas, je préfère dire « moment du torseur dynamique » pour nommer 
.
- ↑ La raison pour laquelle ceci ne peut pas être étendu à un système de points matériels fermé déformable alors que l'expression du torseur statique reste valable est que celle du torseur cinématique est exclusivement réservée à un système indéformable nécessité pour que le champ des vitesses soit équiprojectif ;
s'il est licite de réduire l'ensemble des actions mécaniques s'exerçant sur un système déformable aux actions extérieures car la résultante et le moment résultant des actions intérieures sont nuls, dès qu'on envisage un mouvement accompagné d'une déformation, la puissance des actions intérieures n'étant plus nulle ne doit plus être omise, ceci se traduisant par le fait que les éléments de réduction du torseur cinématique écrits pour un solide sont insuffisants pour un système déformable car ils ne traduisent pas les mouvements relatifs internes
