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Introduction des « matrices » en mathématiquesmodifier
En mathématiques, les « matrices » sont des tableaux rectangulaires de nombres servant à interpréter en termes calculatoires les résultats théoriques de l'algèbre linéaire[1] et des applications linéaires[2].
Une matrice avec [3],[4] tels qu'au moins un des nombres est de [5] est un tableau rectangulaire de lignes et colonnes, le terme générique de la matrice définie sur [6], noté [7] occupant la case de la ième ligne et la jème colonne, la matrice étant encore notée [8]voir ci-contre ;
les appellations suivantes sont utilisées pour les cas particuliers de matrices :
« matrice nulle si »,
« matrice colonne si »,
« matrice ligne si »,
« matrice carrée si »,
« matrice triangulaire supérieure pour une matrice carrée telle que et »,
« matrice triangulaire inférieure pour une matrice carrée telle que et »,
« matrice diagonale pour une matrice carrée telle que [9] et [10] » et
« matrice identité notée pour une matrice diagonale telle que ».
Dans toute la suite du chapitre, nous nous intéressons sauf avis contraire à des matrices définies sur .
Soit une matrice «[8] de dimension ou taille», on appelle « matrice transposée de»
« la matrice notée [11]de dimensionou taille» telle que «»[12].
Exemple : soit la matrice de dimension ou taille, la matrice transposée de est la matrice de dimension ou taille s'écrivant , elle s'obtient pratiquement par symétrie axiale par rapport à la diagonale principale[13] de la matrice ou en permutant lignes et colonnes de la matrice de départ, Exemple : la matrice transposée de redonnant la matrice soit ; Exemple : ci-contre une animation permettant de visualiser la formation de la matrice transposée [14] de la matrice [14] et son itération c'est-à-dire de visualiser la formation de la matrice transposée [14] de la matrice [14]
Addition de matrices et multiplication par un scalairemodifier
Ces opérations sont définies sur l'« ensemble des matrices de dimension ou de taille[15] définies sur » et noté «».
Addition de matrices de même dimension (ou taille)modifier
Sur «» on définit la loi de composition interne « addition de matrices » notée «» définie selon
«», «» ;
l'ensemble «» muni de l'addition «» est un groupe abélien (ou commutatif)[16], en effet la loi de composition interne possède les propriétés nécessaires :
elle est associative «»,
elle est commutative «»,
elle admet la matrice nulle comme élément neutre «» et
elle est telle que « un opposé vérifiant » car «».
Sur «» on définit la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de » notée «» [17] définie selon
«», «» ou «», «» ;
cette loi de composition externe « multiplication par un scalaire de » définie sur le groupe abélien (ou commutatif)[16] «» et notée «» possède les propriétés suivantes :
elle est « distributive par rapport à l'addition de » «»,
elle est « distributive par rapport à l'addition de » «»,
elle est « associative mixte par rapport à la multiplication dans » «» et
elle est telle que « l'élément neutre de la multiplication dans noté est neutre pour “” » «».
Conséquence sur l'ensemble des matrices de dimension (ou taille) fixéemodifier
Structure d'espace vectoriel de l'ensemble des matrices de dimension (ou taille) fixéemodifier
L'ensemble «» muni de l'addition «» étant un groupe abélien (ou commutatif)[16] et la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de » étant
« distributive par rapport à l'addition de ainsi que
« distributive par rapport à l'addition de »,
« associative mixte par rapport à la multiplication dans » et
« telle que l'élément neutre de la multiplication dans est neutre pour la loi de composition externe »,
on en déduit que «» est un «-espace vectoriel » et on démontre que « la dimension de cet espace[18] est ».
Base canonique de l'ensemble des matrices de dimension (ou taille) fixée et décomposition d'une matrice sur la base canoniquemodifier
Tout élément de est décomposable de façon unique sur sa base canonique composée des « matrices » dans tous les éléments sont nuls à l'exception de l'élément d'indices qui vaut , ce qui peut encore s'écrire, en utilisant le symbole de Kronecker[19], avec pour et ,
la décomposition de la matrice [8] sur la base canonique s'écrivant
«» soit,
en reprenant l'exemple de dimension ou taille, les six vecteurs de la base canonique étant
, , , , et ,
la décomposition de sur sa base canonique s'écrit .
Multiplication matricielle à droite (ou à gauche)modifier
Définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)modifier
La multiplication matricielle à droite d'une matrice de l'ensemble des matrices de dimension ou de taille[15] définies sur La multiplication matricielle à droite est une loi de composition externe nécessitant l'intervention d'une matrice de l'ensemble des matrices de dimension ou de taille[20] définies sur , La multiplication matricielle à droite le résultat de cette multiplication matricielle à droite étant une matrice de l'ensemble des matrices de dimension ou de taille[21] soit, en notant «» la multiplication matricielle à droite, la définition de la loi de composition externe suivante telle que
« pour et », «» ou «» avec «», voir mode opératoire de la multiplication matricielle à droite ci-contre.
De même on définit la multiplication matricielle à gauche d'une matrice de l'ensemble des matrices de dimension ou de taille[15] définies sur De même on définit la multiplication matricielle à gauche comme loi de composition externe nécessitant l'intervention d'une matrice de l'ensemble des matrices de dimension ou de taille[22] définies sur , De même on définit la multiplication matricielle à gauche le résultat de cette multiplication matricielle à gauche étant une matrice de l'ensemble des matrices de dimension ou de taille[23] soit, en notant «» la multiplication matricielle à gauche, la définition de la loi de composition externe suivante telle que
« pour et », «» ou «» avec «», le mode opératoire de la multiplication matricielle à gauche est le même que celui décrit dans le schéma ci-dessus à condition de permuter la position de avec celle de .
Exemple : soit la matrice à multiplier à droite par la matrice , on obtient la matrice telle que [24] ;
Exemple : le choix des dimensions ou tailles des matrices ci-dessus a été fait pour que la multiplication à gauche de la matrice par la matrice soit aussi possible, on obtient alors la matrice telle que [25] ;
Exemple : on vérifie que «» est de «», les dimensions ou tailles étant d'ailleurs différentes[26],[27].
Relation de transposition d'un produit matricielmodifier
Transposée d'un produit matriciel
« La matrice étant obtenue par dans laquelle », « sa transposée vérifie avec »,
soit encore «».
Démonstration : soit « et », Démonstration : « le produit matriciel est une matrice » selon «» avec «» ;
Démonstration : « la matrice transposée de s'écrit alors » avec «» ;
Démonstration : « la matrice transposée de s'écrivant » avec «» et Démonstration : « celle transposée de s'écrivant » avec «», on en déduit
Démonstration : « le produit matriciel » tel que «» établissant que «» et par suite
«».
Particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée et conséquence sur la structure de cet ensemblemodifier
Particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixéemodifier
Toute matrice de l'ensemble des matrices carrées de dimension ou taille fixée[28] pouvant être multipliée à droite ou à gauche par n'importe matrice de , « la multiplication matricielle à droite ou à gauche définie sur » devient alors « une loi de composition interne » possédant les propriétés suivantes :
« associativité de la multiplication matricielle » c'est-à-dire «»,
« distributivité de la multiplication matricielle à gauche relativement à l'addition matricielle » soit «»,
« distributivité de la multiplication matricielle à droite relativement à l'addition matricielle » soit «» et
« existence d'un élément neutre de la multiplication matricielle “la matrice identité ” » c'est-à-dire « et ».
« La multiplication matricielle n'est pas commutative » c'est-à-dire qu'usuellement «» voir la note « 27 » plus haut dans ce chapitre.
Structure de l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixéemodifier
L'ensemble des matrices carrées de dimension ou taille fixée étant un cas particulier de l'ensemble des matrices de dimension ou taille fixée pour lequel il a été démontré que, muni de l'addition «», c'est un groupe abélien (ou commutatif)[16],[29], on en déduit que
de plus la multiplication matricielle étant « associative, distributive à gauche et à droite relativement à l'addition matricielle, et possédant un élément neutre »,
ensuite ayant établi, avec les propriétés de la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de »[31], que l'ensemble des matrices de dimension ou taille fixée est un -espace vectoriel[29], on en déduit que
« l'ensemble des matrices carrées de dimension ou taille fixée est aussi un -espace vectoriel » ;
enfin la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de » suivant, relativement à la multiplication matricielle de , «, », cette propriété, ajoutée à la structure d'espace vectoriel et à celle d'anneau unitaire que possède
1ère interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) fixée définie sur le corps des réelsmodifier
Interprétation linéaire d'une matrice colonne de dimension (ou taille) m, matrice coordonnée d'un « m-uplet » dans une base de Rmmodifier
Considérant l'ensemble avec [32] en tant que -espace vectoriel ainsi que « la base canonique de cet espace avec » dans lequel « est le symbole de Kronecker »[19], nous pouvons définir
une « correspondance bijective entre chaque élément de la base canonique de et chaque matrice colonne de l'ensemble des matrices colonnes » et par suite,
une « correspondance bijective entre chaque -uplet de et la matrice colonne de l'ensemble des matrices colonnes »,
« la matrice colonne définissant la matrice coordonnée canonique du -uplet de ».
Considérant « une autre base non canonique de »[33] on établit une « correspondance bijective »
« entre chaque élément de la base non canonique de et la matrice colonne de l'ensemble » avec « le projeté de sur »[33] et « entre le -uplet de dont la décomposition basique est et la matrice colonne de l'ensemble »[34],
« la matrice colonne définissant la matrice coordonnée dans la base de , du -uplet de de décomposition basique »[34].
1ère interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m , n), matrice coordonnée d'une famille de n « m-uplets » dans une base de Rmmodifier
Ayant précédemment défini une correspondance bijective « entre le -uplet de et Ayant précédemment défini une correspondance bijective « entre sa matrice coordonnée canonique» ou Ayant précédemment défini une correspondance bijective « entre le -uplet tel que dans la base non canonique de [34] et Ayant précédemment défini une correspondance bijective « entre sa matrice coordonnéedans la basenon canonique de »,
on prolonge cette correspondance bijective « entre les familles de «-uplets » de et on prolonge cette correspondance bijective « entre l'ensemble des matrices de dimension ou taille» soit
on prolonge cette correspondance bijective à « l'élément de la famille de “-uplets ” de » on associe on prolonge cette correspondance bijective à « la matrice de dimension ou taillematrice résultant de la juxtaposition des matrices coordonnées canoniques des “-uplets ” appelée matrice coordonnée canonique de la famille des “-uplets ” » ;
si on considère « une base non canonique de », on a la « correspondance bijective suivante »
si on considère « une base non canonique de », à « l'élément de la famille de “-uplets ” de pour laquelle chaque -uplet est décomposé selon sur la base non canonique de », on associe si on considère « une base non canonique de », à « la matrice de dimension ou taillerésultant de la juxtaposition des matrices coordonnées non canoniques des “-uplets ”, appelée matrice coordonnée non canonique de la famille des “-uplets ” dans la basenon canonique de ».
Définition
On appelle « rang de la matrice» « la dimension du sous-espace vectoriel de généré par les “-uplets ” , avec matrice coordonnée non canonique de la famille des “-uplets ” dans la base non canonique de , le “-uplet ” étant à », on établit que « le rang de la matrice est ».
Matrice de passage entre deux bases de Rm, réécriture de la matrice coordonnée d'un « m-uplet » par changement de base de Rmmodifier
Considérant « le “-uplet ” de décomposé dans une base de selon » et Considérant « la matrice coordonnée du “-uplet ” dans la base » puis
Considér« le même “-uplet ” de décomposé dans une autre base de selon » et Considérant « la matrice coordonnée du “-uplet ” dans la base »,
nous cherchons « la relation permettant de passer de la matrice coordonnée du “-uplet ” dans la base à la matrice coordonnée du même “-uplet ” dans la base » nous cherchons « la relation à partir de la connaissance de la décomposition de la base sur la base , matérialisée par une matrice carrée de dimension ou taille appelée « matrice de passage de la baseà la base» matrice obtenue en juxtaposant les matrices colonnes de la décomposition de chaque élément de la base dans la base [35] ;
nous cherchons « la relation avec la matrice de passage de la base à la base , nous établissons que « la matrice coordonnée du “-uplet ” dans la base » se déduit de « la matrice coordonnée du “-uplet ” dans la base » par
inversement « la relation permettant de passer de la matrice coordonnée du “-uplet ” dans la base à la matrice coordonnée du même “-uplet ” dans la base » se détermine sans difficulté majeure car, inversement « la relation à partir de la décomposition de la base sur la base on déduit aisément celle de la base sur la base , décomposition matérialisée par la « matrice de passage de la baseà la base», notée [37]en effet cette matrice résulte de l'inversion de la « matrice de passage de la base à la base »[38] et par suite inversement « la relation permettant de passer de la matrice coordonnée du “-uplet ” dans la base à la matrice coordonnée du même “-uplet ” dans la base » s'écrit
Réécriture de la matrice coordonnée d'une famille de « m-uplets » par changement de base de Rmmodifier
« La matrice coordonnée d'une famille de “-uplets ” de dans la base de notée » s'obtenant par « juxtaposition des matrices coordonnées de chaque “-uplet ” dans la base de à savoir » soit «» et la relation permettant de réécrire
« la matrice coordonnée d'un “-uplet ” dans la base de à savoir » consistant à multiplier à gauche « la matrice coordonnée du “-uplet ” dans la base de à savoir » par « la matrice de passage de la base à la base » selon «» on en déduit aisément que
« la matrice coordonnée de la famille des “-uplets ” de dans la base de , » s'obtient selon la relation
«» ;
inversement « la matrice coordonnée de la famille des “-uplets ” de dans la base de , » s'obtient à l'aide de « la matrice de passage de la base à la base » selon la relation
«».
2ème interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) fixée définie sur le corps des réelsmodifier
Définition d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n dans un autre espace vectoriel de dimension mmodifier
Application linéaire entre deux espaces vectoriels sur le corps des réels
Considérant deux -espaces vectoriels et , une « application linéaire de dans » est Considérant deux -espaces vectoriels et , une « application : additive et homogène » c'est-à-dire
«, » additivité et « et , » homogénéité.
Remarques : On constate qu'« une application du -espace vectoriel dans le -espace vectoriel est linéaire » ssi elle respecte les C.L[40]. à savoir Remarques : On constate qu'« une application du -espace vectoriel dans le -espace vectoriel est linéaire » ssi «, ».
Remarques : L'ensemble des applications linéaires du -espace vectoriel dans le -espace vectoriel est noté «»[41] et Remarques : L'ens. celui des applications linéaires bijectives c'est-à-dire des isomorphismes de dans est noté «»[42] ;
Remarques : l'ensemble des applications linéaires du -espace vectoriel dans lui-même c'est-à-dire des endomorphismes de est noté «»[43] et Remarques : l'ens. celui des applications linéaires bijectives du -espace vectoriel dans c'est-à-dire des automorphismes de noté «»[44] et encore appelé « groupe linéaire de » ;
Remarques : l'ensemble des applications linéaires du -espace vectoriel dans le corps corps de construction de l'espace vectoriel dans lequel l'application linéaire alors appelée « forme linéaire » est définie est noté et définit l'« espace dual de » étant donc l'ensemble des formes linéaires de [45].
2ème interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m , n), matrice d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel de dimension m de base C dans le couple de bases (B, C)modifier
Considérant deux -espaces vectoriels avec définition d'une base dans chacun d'eux
un « 1er-espace vectoriel de dimension avec choix d'une base de »,
un « 2ème-espace vectoriel de dimension avec choix d'une base de » et
Considérant une « application linéaire de dans » :
Matrice d'application linéaire d'un -espace vectoriel E dans un -espace vectoriel F
On appelle « matrice de l'application linéaire du -espace vectoriel de dimension de base dans le -espace vectoriel de dimension de base », On appelle « la matrice de dimensionou taille notée » telle que
« de matrice coordonnée dans la base de »[46], on associe « de matrice coordonnée dans la base de »[46] se déterminant par «».
Propriétés : « à toute application linéaire d'un -espace vectoriel de dimension de base dans un -espace vectoriel de dimension de base » on peut associer « une et une seule matrice d'application linéaire de dimension ou taille» dans laquelle Propriétés : « à toute application linéaire « la jème colonne de est la matrice coordonnée de dans la base de [46] c'est-à-dire » la décomposition de dans la base étant «» ;
Propriétés : « à toute application linéaire la matrice appelée « matrice de l'application linéairedans le couple de bases» et notée «» vérifie
«» et « sa matrice coordonnée dans la base de »[46], « la matrice coordonnée de dans la base de , notée »[46] s'évalue par «».
Propriétés : On déduit que « l'application de l'ensemble des applications linéaires du -espace vectoriel de dimension dans le -espace vectoriel de dimension dans l'ensemble des matrices de dimension ou taille» application qui, à « chaque application linéaire » fait correspondre « la matrice de l'application linéaire dans le couple de bases c'est-à-dire »est un isomorphisme d'espaces vectoriels[47].
Exemple : La similitude directe de rapport et d'angle est un automorphisme du -espace vectoriel euclidien de dimension ; Exemple : avec le choix de la base canonique pour décrire les vecteurs de du domaine de définition de l'automorphisme et Exemple : avec le choix de la même base canonique pour les images par l'automorphisme des vecteurs de , Exemple : la matrice de l'automorphisme de dans le couple de bases s'écrit
;
Exemple : ainsi un vecteur de composantes dans la base canonique et de matrice coordonnée Exemple : ainsi un vecteur a pour image, par similitude directe, le vecteur de composantes dans la base canonique et de matrice coordonnée soit ce qu'on vérifie aisément sur le diagramme ci-contre.
Matrice de la composée de deux applications linéaires, la 1ère d'un espace vectoriel E de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel F de dimension m de base C et la 2ème de l'espace vectoriel F de dimension m de base C dans un espace vectoriel G de dimension p de base Dmodifier
Considérant trois -espaces vectoriels avec définition d'une base dans chacun d'eux
un « 1er-espace vectoriel de dimension avec choix d'une base de »,
un « 2ème-espace vectoriel de dimension avec choix d'une base de »,
un « 3ème-espace vectoriel de dimension avec choix d'une base de » ainsi que
Considérant deux « applications linéaires de dans et de dans »,
on appelle « matrice composée de l'application linéaire du -espace vectoriel de dimension de base dans le -espace vectoriel de dimension de base avec pour -espace vectoriel intermédiaire de dimension de base », On appelle « la matrice de dimensionou taille notée » telle que
« étant la matrice de l'application linéaire dans le couple de bases » et «étant la matrice de l'application linéaire dans le couple de bases », « la matrice composée de l'application linéaire dans le couple de bases » se détermine par «».
Changement de bases des espaces vectoriels définition et image d'une application linéaire et conséquence sur la matrice de l'application linéaire dans le couple de bases des espaces vectoriels définition et imagemodifier
Considérant deux -espaces vectoriels avec définition de deux bases distinctes dans chacun d'eux
un « 1er-espace vectoriel de dimension avec choix des deux bases distinctes de »,
un « 2ème-espace vectoriel de dimension avec choix des deux bases distinctes de » et
Considérant une « application linéaire de dans » ainsi que les matrices de l'application linéaire dans différents couples de bases :
« la matrice de l'application linéaire dans le couple de bases » et
« la matrice de l'application linéaire dans le couple de bases » ;
on se propose de « déterminer la matrice » connaissant «» et « les matrices de passage de la base à la base ainsi que de la base à la base », c'est-à-dire on se propose de « déterminer les conséquences sur la matrice de l'application linéaire du changement simultané de la base dans laquelle les vecteurs de sont repérés et de celle dans laquelle ceux de le sont » ; on établit
on se propose de Justification : Appliquant à tout « repéré dans la base par la matrice coordonnée » on obtient « repéré dans la base par la matrice coordonnée » et on se propose de Justification : notant « la matrice de l'application linéaire dans le couple de bases », la matrice coordonnée se déduit de celle par «»[49] ; on se propose de Justification : notant « la matrice de passage de la base à la base », la matrice coordonnée de dans est liée à celle de dans selon «»[50] la réécriture de la matrice coordonnée de dans en fonction de celle de dans selon «» par utilisation de l'associativité de la multiplication matricielle[51] ; on se propose de Justification : notant « la matrice de passage de la base à la base », « celle de passage de la base à la base est l'inverse de la précédente c'est-à-dire » et par suite la matrice coordonnée de dans est liée à celle de dans selon «»[50] l'expression de la matrice coordonnée de dans en fonction de celle de dans selon «» par utilisation de l'associativité de la multiplication matricielle[51] ; on se propose de Justification : pour terminer, notant « la matrice de l'application linéaire dans le couple de bases », la matrice coordonnée de dans se déduit de celle de dans par «»[49] soit on se propose de Justification : pour terminer, par identification avec la relation valable , «» C.Q.F.D[52]..
Cas particulier : Soit « un endomorphisme du -espace vectoriel de dimension dans lequel on choisit deux bases distinctes » et Cas particulier : Soit « la matrice de passage de la base à la base », Cas particulier : « les matrices de l'endomorphisme de dans chaque couple de bases et » étant liées par
«»
Cas particulier : « les matrices de l'endomorphisme de sont qualifiées de « matrices semblables »
↑ Branche des mathématiques s'intéressant aux espaces vectorielsensembles définis sur un corps commutatif comme le corps des réels, munis de deux lois une loi de composition interne notée «» appelée « addition ou somme vectorielle » «» ainsi qu'une loi de composition externe à gauche notée «» appelée « multiplication par un scalaire » «» possédant les propriétés suivantes est un groupe abélien (ou commutatif)c'est-à-dire que la loi «» est associative, admet un élément neutre noté appelé vecteur nul et telle que tout vecteur a un opposé , de plus elle est commutative et la loi «» est distributive à gauche par rapport à la loi «» de c'est-à-dire pour et , et à droite par rapport à l'addition de c'est-à-dire pour et , , associative mixte par rapport à la multiplication dans c'est-à-dire pour et , et telle que l'élément neutre multiplicatif de noté est neutre à gauche pour «» c'est-à-dire pour , ; Niels Henrich Abel (1802 - 1829) mathématicien norvégien, connu pour ses travaux divers en analyse mathématique et aussi sur la résolution des équations en algèbre
↑ Pour et deux espaces vectoriels à gauche sur un même corps , l'application est dite linéaire c'est alors un morphisme de -espaces vectoriels ssi .
↑ En toute rigueur il est possible d'admettre les valeurs nulles pour ou (et) , la matrice correspondante en absence de lignes ou (et) de colonnes définit la « matrice vide » ; pour l'exposé que nous faisons par la suite son introduction n'a pas d'intérêt d'où la limitation de à .
↑ Le couple est appelé « dimension ou taille» de la matrice.
↑ Les matrices de taille théoriquement possibles sont aussi éliminées car leurs propriétés s'identifient pratiquement à celles d'un élément de , elles n'interviendront pas dans l'exposé de cette leçon d'où l'ajout qu'« au moins un des nombres de doit être de ».
↑ Nous nous limiterons a priori aux matrices définies sur mais tout ce qui est exposé pourrait être répété pour les matrices définies sur
↑ Le terme générique de la matrice définie sur est donc tel que , celui d'une matrice définie sur serait tel que
↑ 8,08,1 et 8,2 Ou plus simplement en absence d'ambiguïté.
↑ La diagonale principale d'une matrice est l'ensemble des positions pour lesquelles le numéro de ligne est égal au numéro de colonne.
↑ 14,014,114,2 et 14,3 Sur l'animation la matrice est simplement notée , la matrice transposée simplement notée et la matrice transposée de la transposée notée .
↑ 15,015,1 et 15,2 Les nombres et appartenant à avec au moins un des nombres de
↑ 16,016,116,216,316,4 et 16,5 C.-à-d. que la loi de composition interne est associative, commutative, admet un élément neutre et possède la propriété suivante : pour tout élément de l'ensemble existe un élément unique telle que la composition de ces deux éléments donne l'élément neutre dans le cas d'une addition, l'élément neutre est noté et l'élément unique dont le composé avec l'élément donne est noté et appelé l'opposé de ; Niels Henrich Abel (1802 - 1829) mathématicien norvégien, connu pour ses travaux divers en analyse mathématique et aussi sur la résolution des équations en algèbre
↑ La multiplication par un scalaire se fait aussi bien à gauche qu'à droite, dans ce cas la loi est l'application .
↑ C'est le nombre de vecteurs indépendants permettant de générer un élément quelconque de l'espace vectoriel.
↑ 19,0 et 19,1Leopold Kronecker (1823 - 1891) mathématicien et logicien allemand, s'est intéressé entre autres à la résolution algébrique des équations, publiant en la démonstration de la non-résolubilité par radicaux de l'équation quintique en utilisant la théorie des groupes.
↑ Les nombres et appartenant à avec au moins un des nombres de , étant le nombre défini dans le 1er facteur du produit
↑ Avec les restrictions pratiques imposées sur et sur les nombres et appartiennent à avec au moins un des nombres de puis le nombre appartient à avec au moins un des nombres et de , rien n'interdit que le résultat soit une matrice de dimension ou de taille si une matrice ligne de est multipliée à droite par une matrice colonne de
↑ Les nombres et appartenant à avec au moins un des nombres de , étant le nombre défini dans le 2ème facteur du produit
↑ Avec les restrictions pratiques imposées sur et sur les nombres et appartiennent à avec au moins un des nombres de puis le nombre appartient à avec au moins un des nombres et de , rien n'interdit que le résultat soit une matrice de dimension ou de taille si une matrice colonne de est multipliée à gauche par une matrice ligne de
↑ En effet , , En effet , , En effet , , En effet , et En effet .
↑ Sauf quand les deux matrices facteurs sont carrées de même dimension ou taille, les matrices produit de l'une des matrices facteurs par multiplication à droite ou à gauche par l'autre étant alors de même dimension ou taille que les matrices facteurs.
↑ On vérifie aisément que la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de même dimension ou taille est sauf cas particulier non commutative c'est-à-dire, pour des matrices « et » carrées de même dimension ou taille, «» : vérification ci-dessous avec des matrices carrées de dimension ou taille soit « et » «» en effet , , en effet , , en effet , en effet , .
↑ Les matrices de dimension ou taille sont dites « carrées de taille » et l'ensemble de ces matrices définies sur est noté, de façon simplifiée, .
↑ Car la multiplication matricielle n'est pas commutative.
↑ Distributivité par rapport à l'addition de et par rapport à l'addition de ainsi qu'associativité mixte par rapport à la multiplication dans et enfin telle que l'élément neutre de la multiplication dans est neutre pour la loi de composition externe.
↑ En toute rigueur la valeur pour pourrait être admise mais nous l'éliminons pour conserver la restriction pratique envisagée précédemment à savoir « pas de matrices colonnes de dimension ou taille»
↑ 33,0 et 33,1 Par exemple une base non canonique de pourrait être avec et c'est-à-dire et dont nous déduisons les composantes de et dans la base canonique Dans cet exemple il y a une correspondance bijective entre et la matrice colonne de l'ensemble ainsi que Dans cet exemple il y a une correspondance bijective entre et la matrice colonne de l'ensemble
↑ 34,034,1 et 34,2 Considérant la base non canonique de choisie dans la note « 33 » plus haut dans ce chapitre à savoir telle que avec et ainsi que Considérant le -uplet ou couple ayant pour décomposition sur la base canonique soit, en utilisant permettant d'en déduire la décomposition dans la base non canonique «» une correspondance bijective entre le -uplet ou couple et la matrice colonne
↑ Par exemple sur considérant comme 1ère base introduite dans la note « 33 » plus haut dans ce chapitre telle que avec et avec la base canonique de correspondant à et Par exemple sur considérant comme 2ème base c'est-à-dire la base canonique de , de nous déduisons l'identification d'où la matrice coordonnée de dans la base «» ainsi que la matrice coord celle de dans la même base «» et par suite la matrice de passage de la base à la base notée s'obtenant en juxtaposant les deux matrices colonnes précédentes soit «».
↑ Par exemple sur considérant comme 1ère base introduite dans la note « 33 » plus haut dans ce chapitre telle que avec et avec la base canonique de correspondant à et Par exemple sur considérant comme 2ème base c'est-à-dire la base canonique de , nous avons établi dans la note « 35 » plus haut dans ce chapitre, la matrice de passage de la base à la base «» ; ayant établi dans la note « 34 » plus haut dans ce chapitre que la décomposition du “-uplet ” ou couple dans la base conduisait à la matrice coordonnée du “-uplet ”ou couple dans , nous vérifions effectivement que «» matrice coordonnée du “-uplet ” ou couple dans la base canonique
↑ Par exemple sur considérant comme 1ère base introduite dans la note « 33 » plus haut dans ce chapitre telle que avec et avec la base canonique de correspondant à et Par exemple sur considérant comme 2ème base c'est-à-dire la base canonique de , nous avons établi dans la note « 35 » plus haut dans ce chapitre, la matrice de passage de la base à la base «» et nous avons inversé dans la note « 34 » plus haut dans ce chapitre la décomposition de la base dans la base selon dont nous déduisons la matrice de passage de la base à la base soit «» juxtaposition de la matrice colonne de la décomposition de dans et de celle de la décomposition de dans .
↑ 38,0 et 38,1 Une matrice carrée n'est pas toujours possible « inversible » mais ici elle l'est puisque la décomposition d'une 1ère base sur une 2nde se déduit sans difficulté de celle de la 2nde sur la 1èreet inversement.
↑ Par exemple sur considérant comme 1ère base introduite dans la note « 33 » plus haut dans ce chapitre telle que avec et avec la base canonique de correspondant à et Par exemple sur considérant comme 2ème base c'est-à-dire la base canonique de , ayant établi dans la note « 37 » plus haut dans ce chapitre la matrice de passage de la base à la base soit «» et sachant que la matrice coordonnée du “-uplet ” ou couple dans la base est nous vérifions effectivement que c'est-à-dire la matrice coordonnée du “-uplet ” ou couple dans la base non canonique comme cela a été établi dans la note « 34 » plus haut dans ce chapitre.
↑ Un élément de c'est-à-dire une forme linéaire définie dans l'espace vectoriel est encore appelé « covecteur de ».
↑ 46,046,146,246,3 et 46,4 On prolonge aisément la notion de matrice coordonnée d'un “-uplet ” de ou d'un “-uplet ” de dans la base de ou dans la base de à On prolonge aisément la celle de matrice coordonnée d'un vecteur du -espace vectoriel de dimension dans la base ou à celle de matrice coordonnée d'un vecteur du -espace vectoriel de dimension dans la base , la raison de ce prolongement étant que les composantes d'un vecteur d'un espace vectoriel de dimension dans n'importe quelle base de cet espace ou de dimension définissent un “-uplet ” de ou un “-uplet ” de
↑ Compte-tenu de cet isomorphisme, une confusion entre l'application linéaire et la matrice de l'application linéaire est un abus toléré même s'il est préférable de l'éviter