Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Les tenseurs

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Introduction des « tenseurs » en mathématiques modifier

     La notion de tenseur prolonge celle de scalaire, de vecteur ou de famille finie de vecteurs en dimension finie ;

     tous ces éléments pris individuellement forment un espace-vectoriel de dimension finie tel que, si le corps sur lequel ils sont construits est  :

  • l'ensemble des scalaires est le -espace vectoriel lui-même de dimension ,
    un scalaire étant un tenseur d'ordre zéro,
  • l'ensemble des vecteurs est le -espace vectoriel isomorphe à de dimension , chaque vecteur étant représentable, avec choix d'une base , par une matrice colonne ,
    un vecteur d'un -espace vectoriel de dimension étant un tenseur d'ordre un[1],
  • l'ensemble des familles ordonnées de vecteurs du même -espace vectoriel isomorphe à est le -espace vectoriel isomorphe à , chaque famille ordonnée de vecteurs étant représentable, avec choix d'une base , par une matrice en particulier l'ensemble des familles ordonnées de vecteurs du même -espace vectoriel isomorphe à est le -espace vectoriel isomorphe à , chaque famille ordonnée de vecteurs étant représentable, avec choix d'une base , par une matrice carrée ,
    une famille ordonnée de vecteurs du même -espace vectoriel de dimension étant un tenseur d'ordre deux avec [2] et
  • l'ensemble constitué de collections ordonnées comprenant chacune familles ordonnées de vecteurs du même -espace vectoriel isomorphe à est le -espace vectoriel isomorphe à , chaque collection ordonnée de familles ordonnées de vecteurs étant représentable, avec choix d'une base , par un tableau parallélépipédique constitué de matrices placées en « couches »[3] successives, de même dimension ou taille ,
    une famille ordonnée de familles ordonnées de vecteurs du même -espace vectoriel de dimension étant un tenseur d'ordre trois à condition que [4],
Exemples de tenseurs d'ordre zéro scalaire,
Exemples de tenseurs d'ordre un vecteur de l'espace physique,
Exemples de tenseurs d'ordre deux famille de vecteurs de l'espace physique,
Exemples de tenseurs d'ordre trois collection de familles de vecteurs de l'espace physique

     Les tenseurs d'ordre de l'espace physique construit sur forment donc un -espace vectoriel de dimension on définit en effet l'addition de deux tenseurs de même ordre par loi de composition interne est l'ensemble des tenseurs d'ordre [5] ainsi que la multiplication d'un tenseur d'ordre par un scalaire loi de composition externe [6], ces deux lois ayant les propriétés nécessaires pour assurer à l'ensemble des tenseurs d'ordre d'être un espace vectoriel ;

     ils sont indépendants d'un choix de bases, seules leurs représentations en matrices colonnes s'ils sont d'ordre un ou en matrices rectangulaires s'ils sont d'ordre deux ou en tableaux parallélépipédiques s'ils sont d'ordre trois ou encore tableaux hyperparallélépipédiques[7] s'ils sont d'ordre supérieur à trois en dépendent.

1ères définitions de tenseurs modifier

     Préliminaires : Comme nous l'avons vu en introduction un tenseur nécessite de préciser l'espace vectoriel de travail, nous supposerons que ce dernier est un -espace vectoriel de dimension , ,

     Préliminaires : de plus, si , l'espace vectoriel d'étude sera, quand cela s'avérera utile, choisi euclidien c'est-à-dire muni d'une multiplication scalaire de vecteurs l'espace vectoriel d'étude étant alors la direction de l'espace affine[8] tridimensionnel.

     Préliminaires : Une grandeur est qualifiée de « contravariante » lorsqu'elle varie de façon contraire à celle dont les vecteurs de base sont modifiés[9] si elle varie de la même façon que celle dont les vecteurs de base sont changés, la grandeur est qualifiée de « covariante »[10].

Définition et propriété d'un tenseur d'ordre zéro modifier

     Remarque : Un tenseur d'ordre est évidemment indépendant du choix d'une base dans l'espace affine euclidien tridimensionnel, pour le vérifier il suffit de considérer le scalaire correspondant comme le produit scalaire de deux vecteurs de la direction de l'espace affine[8], le produit scalaire étant invariant par changement de bases[11].

     Propriété : Comme un scalaire est indépendant du choix d'une base, « un tenseur d'ordre est invariant », il n'est ni contravariant ni covariant

Divers types de tenseurs d'ordre un, définitions et propriétés modifier

Définition et propriété d'un 1er type de tenseur d'ordre un modifier

     Remarque : Un tenseur d'ordre de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'espace affine euclidien tridimensionnel, mais ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci[13]

     Propriété : On vérifie que « les composantes de ce 1er type de tenseur d'ordre sont contravariantes »[14],[9], on en déduit que « tout vecteur de l'espace vectoriel tridimensionnel c'est-à-dire tout vecteur de la direction de l'espace affine physique» est un « tenseur d'ordre contravariant[14] ».

Définition et propriété d'un 2ème type de tenseur d'ordre un modifier

     Remarques : Un exemple de tenseur d'ordre de ce type associé au vecteur est la forme linéaire de «» telle que , , la forme linéaire de est un élément de [15], chaque élément de [15] étant encore appelé « covecteur »[16]

     Remarques : un tenseur d'ordre de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'espace affine euclidien tridimensionnel, mais ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci[13]

     Propriété : On vérifie que « les composantes de ce 2ème type de tenseur d'ordre sont covariantes »[14],[17], on en déduit que « toute forme linéaire de l'espace vectoriel tridimensionnel c'est-à-dire de la direction de l'espace affine physique » ou « tout covecteur de l'espace dual de la direction de l'espace affine physique » est un « tenseur d'ordre covariant[14] ».

Lien entre tenseurs d'ordre un contravariant et covariant associés modifier

     Un tenseur d'ordre contravariant[14] étant un vecteur du -espace vectoriel , ses composantes dans la base de ont pour représentation matricielle dans cette base la « matrice colonne » ;
     le changement de base de étant caractérisé par la matrice , les composantes du vecteur dans la base de ont pour représentation matricielle dans cette base la « matrice colonne » étant la matrice de passage de la base à la base [18] et sa matrice inverse.

     Le tenseur d'ordre covariant[14] associé au vecteur du -espace vectoriel étant la forme linéaire de «» telle que la forme linéaire de encore appelé « covecteur » de «» étant un élément de [15] l'espace dual de , ses composantes dans la base de ont pour représentation opérationnelle dans cette base la « multiplication matricielle à droite de la matrice ligne »[19] ;
     le changement de base de étant caractérisé par la matrice de passage , les composantes de dans la base de ont pour représentation opérationnelle dans cette base la « multiplication matricielle à droite de la matrice ligne »[19].

     Propriété : « Le produit scalaire[20] des vecteurs » s'identifiant à « l'image de par la forme linéaire»[15] à savoir «» est invariant par changement de base choisie dans en effet
     Propriété : évalué, dans la base de , par «[19] »[21], on vérifie que
     Propriété : le changement de base de caractérisé par la matrice de passage [18] conduit à l'évaluation dans la nouvelle base de selon «»[19] avec « »[19] caractère « covariant » de “ et « » caractère « contravariant » de “ « » validant l'invariance de par changement de bases en tant que scalaire est un tenseur d'ordre en accord avec son invariance par changement de bases.

Divers types de tenseurs d'ordre deux, définitions et propriétés modifier

     Parmi les tenseurs d'ordre deux nous nous limiterons à ceux dont la représentation matricielle ou opérationnelle fait intervenir une matrice carrée de dimension ou taille , nous écartons donc tout tenseur d'ordre dont la représentation matricielle ou opérationnelle ferait intervenir une matrice rectangulaire dont une dimension ou taille serait et l'autre un entier

Définition et propriété d'un 1er type de tenseur d'ordre deux modifier

     Remarque 1 : Un tenseur d'ordre de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'espace affine euclidien tridimensionnel dans la mesure où chaque vecteur l'est, mais leurs composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci

     Propriété : On vérifie que les composantes de ce 1er type de tenseur d'ordre sont « contravariantes »[14],[23], c'est-à-dire que « toute famille devecteurs de l'espace vectoriel tridimensionnel direction de l'espace affine physique» est un « tenseur d'ordre contravariant[14] ».

     Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre contravariants n'apportent guère plus que les tenseurs d'ordre contravariants mis à part le regroupement de vecteurs dans une même famille c'est-à-dire le regroupement de tenseurs d'ordre contravariants en un seul tenseur d'ordre contravariant

Définition et propriété d'un 2ème type de tenseur d'ordre deux modifier

     Remarques 1 : Un exemple de tenseur d'ordre de ce type associé au triplet de vecteurs est la famille des formes linéaires de «» telle que , , les formes linéaires de sont des éléments de [15] dont chaque élément étant encore appelé « covecteur »[16]

     Remarques 1 : un tenseur d'ordre de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'espace affine euclidien tridimensionnel, mais ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci

     Propriété : On vérifie que les composantes de ce 2ème type de tenseur d'ordre sont « covariantes »[14],[25], c'est-à-dire que « toute famille deformes linéaires de l'espace vectoriel tridimensionnel direction de l'espace affine physique» est un « tenseur d'ordre covariant[14] ».

     Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre covariants n'apportent guère plus que les tenseurs d'ordre covariants mis à part le regroupement de covecteurs dans une même famille c'est-à-dire le regroupement de tenseurs d'ordre covariants en un seul tenseur d'ordre covariant

Définition et propriété d'un 3ème type de tenseur d'ordre deux modifier

     Remarques 1 : Un exemple de tenseur d'ordre de ce type associé à la multiplication scalaire de [20] et à l'endomorphisme [27] est l'application composée «» définie sur telle que , les formes bilinéaires de sont des éléments de «»[15],[27]

     Remarques 1 : un tenseur d'ordre de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'espace affine euclidien tridimensionnel mais ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci

     Propriété : On vérifie que les composantes de ce 3ème type de tenseur d'ordre sont partiellement « covariante et contravariante »[14],[28], c'est-à-dire que « toute forme bilinéaire de l'espace vectoriel tridimensionnel ou encore tout élément de [15],[27] » est un « tenseur d'ordre “mixte”[29],[30] ».

     Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre « mixtes »[29],[30] est pratiquement le seul tenseur d'ordre à ajouter quelque chose de nouveau par rapport aux tenseurs d'ordre contrairement aux tenseurs d'ordre contravariant ou covariant

Différence de représentativités entre les tenseurs d'ordre deux modifier

  • « Un tenseur d'ordre contravariant »[14] étant une « famille de vecteurs est un -espace vectoriel »[31], ses composantes dans la base de à savoir ont pour représentation matricielle dans cette base la « matrice » résultant de la juxtaposition des matrices colonnes représentant chaque vecteur ou tenseur d'ordre contravariant[14] ;
       le changement de base de étant caractérisé par la matrice de passage correspondante , les composantes de la famille des vecteurs dans la base de ont pour représentation matricielle dans cette base la « matrice » les composantes des vecteurs dans la base étant .
  • « Le tenseur d'ordre covariant »[14] associé à la famille des vecteurs étant la « famille des formes linéaires de définie selon »[32] telle que , , les formes linéaires de étant des éléments de [15] espace dual de , c'est-à-dire des « covecteurs »[16] de [15], ses composantes dans la base de ont pour représentation opérationnelle la « multiplication matricielle à droite de la matrice »[33] dans cette base  ;
       le changement de base de étant caractérisé par la matrice de passage correspondante , les composantes de la famille des covecteurs dans la base de ont pour représentation opérationnelle la « multiplication matricielle à droite de la matrice » dans cette base les composantes des vecteurs dans la base étant .
  • « Un tenseur d'ordre “ mixte ”[29],[30] » étant une « forme bilinéaire du -espace vectoriel », c'est-à-dire une « application linéaire de dans » l'image d'un élément de par est donc un scalaire[34], sa représentation opérationnelle matricielle, après choix d'une base du -espace vectoriel , doit contenir cœfficients avec, comme exigence finale, un scalaire pour c'est-à-dire une matrice de dimension ou taille , ce qui nécessite
       une représentation matricielle de dimension ou taille c'est-à-dire une matrice ligne pour le 1er vecteur et
       une représentation matricielle de dimension ou taille c'est-à-dire une matrice colonne pour le 2ème vecteur
    soit la représentation opérationnelle matricielle de la forme bilinéaire du -espace vectoriel par «» dans laquelle est une matrice carrée de dimension ou taille et «» la multiplication matricielle on verifie que la forme bilinéaire , tenseur d'ordre de représentation opérationnelle « une multiplication matricielle à gauche et à droite d'une matrice carrée de dimension ou taille » est covariante à gauche et covariante à droite[35] ;
    étant un scalaire, est invariant par changement de bases de et se calcule, en utilisant la base , par évaluation du produit matriciel «» dans laquelle est la matrice ligne représentant dans la base et la matrice colonne représentant dans la même base avec dans cette base [36],[37] ;
       le changement de base de étant caractérisé par la matrice de passage , la représentation opérationnelle de la forme bilinéaire du -espace vectoriel dans la base de est la « multiplication matricielle à droite et à gauche de la matrice exprimée dans la base » soit
    «»
    dans laquelle est la matrice inverse de la matrice [38].

Tenseurs d'ordre strictement supérieur à deux modifier

     Nous pourrions poursuivre la construction des tenseurs d'ordre à comme celle exposée pour les tenseurs d'ordre à mais la difficulté d'exposé grandissant simultanément à la diminution d'intérêts de tel tenseur dans le domaine de la physique, nous nous contenterons d'une définition de tels tenseurs après l'introduction de deux opérations sur les tenseurs :

     leur introduction conduisant à une définition de tenseur nettement plus concise

Produit tensoriel d'espaces vectoriels de dimension finie modifier

     Bien que les définitions qui suivent restent valables pour des espaces vectoriels de dimension finie quelconque, nous nous plaçons dans les conditions usuelles d'utilisation en physique c'est-à-dire des -espaces vectoriels isomorphes à avec

Définition du produit tensoriel de deux espaces vectoriels tridimensionnels modifier

     Remarque 1 : À partir du « vecteur » et de « la multiplication scalaire définie sur »,
          Remarque 1 : on construit le « covecteur » étant le dual de c'est-à-dire l'ensemble des formes linéaires définies sur , une forme linéaire sur étant un « covecteur de » et
          Remarque 1 : on en déduit l'« image d'un élément quelconque par la forme linéaire définie comme le scalaire »,

     Remarque 1 : à partir du « vecteur » et de « la multiplication scalaire définie sur »,
          Remarque 1 : on construit le « covecteur » étant le dual de c'est-à-dire l'ensemble des formes linéaires définies sur , une forme linéaire sur étant un « covecteur de » et
          Remarque 1 : on en déduit l'« image d'un élément quelconque par la forme linéaire définie comme le scalaire » ;

     Remarque 1 : en utilisant les deux observations précédentes, l'« application linéaire de dans ” » peut être considérée comme la « composition de deux applications linéaires »
     Remarque 1 : « la 1ère de dans » étant la « composition de la forme linéaire de appliquée sur du couple dont l'image est et
     Remarque 1 : « la 1ère de dans » étant la « composition de l'homothétie de rapport de appliquée sur du couple dont l'image est » soit

«»[39] suivi de

     Remarque 1 : « la 2nde étant la forme linéaire de », laquelle, « appliquée sur , donne » soit

«»
                                                 c'est-à-dire l'image définitive » ;

     Remarque 1' : « la 1ère application linéaire ci-dessus de dans étant construite à l'aide de la forme linéaire » et
     Remarque 1' : « la 2nde application linéaire ci-dessusde dans étant la forme linéaire », on en déduit que

« l'application linéaire de dans ” » est une « forme bilinéaire de »
                                                                                   construite en utilisant un élément particulier de
et définie selon « avec »

« » ;

     Remarque 1' : réciproquement on admet que « toute forme bilinéaire de » peut être mise sous la forme
     Remarque 1' : réciproquement on admet que d'une « application linéaire de dans du type “” » avec couple particulier caractérisant la forme bilinéaire  ;
     Remarque 1' : nous en déduisons que l'ensemble des formes bilinéaires de noté «»[40] est isomorphe[41] à
     Remarque 1' : nous en déduisons que l'ensemble des applications linéaires de dans du type “” avec ».

     Conséquence : Sur l'ensemble des formes bilinéaires de c'est-à-dire «»[42], on définit :

     Conséquence : une addition «» telle que «, »[40], vérifiant
     Conséquence : une addition «» telle que «, » ;
     Conséquence : cette addition ayant les propriétés suivantes
     Conséquence : associative «»,
     Conséquence : admettant un élément neutre «»[40] c'est-à-dire tel que «»[43],
     Conséquence : tout élément «» admet un opposé «» c'est-à-dire tel que «»[44] et
     Conséquence : commutative c'est-à-dire tel que «»,
     Conséquence : on déduit, de la cumulation des propriétés ci-dessus, que

«[40] muni de l'addition a une structure de groupe abélien »[45] ;

     Conséquence : une loi de composition externe «» telle que « et [40], »[40], vérifiant
     Conséquence : une loi de composition externe «» telle que «, » ;
     Conséquence : cette loi de composition externe ayant les propriétés suivantes
     Conséquence : distributive à gauche par rapport à l'addition de [40] c'est-à-dire tel que «»[46] et
     Conséquence : distributive à droite par rapport à l'addition définie sur c'est-à-dire tel que «»[47],
     Conséquence : associative mixte par rapport à la multiplication dans c'est-à-dire tel que «»[48] et
     Conséquence : admettant l'élément neutre multiplicatif de , noté «», comme neutre à gauche pour «» c'est-à-dire tel que «»[49],
     Conséquence : on déduit, de la cumulation des propriétés ci-dessus et de la structure de groupe abélien[45] muni de l'addition pour [40], que

«[40] a une structure de -espace vectoriel ».

     Remarque 2 : Théoriquement les multiplications scalaires définies sur et [20] à savoir « et » étant des formes bilinéaires particulières sur et sur peuvent être remplacées par n'importe quelle forme bilinéaire non dégénérée définie sur et sur de façon plus générale une forme bilinéaire «» est non dégénérée « si les espaces singuliers à droite et à gauche[50] se réduisent respectivement à et », « et » étant des formes bilinéaires non dégénérées particulières sur et sur [51] ;
     Remarque 2 : les formes bilinéaires non dégénérées définies sur et sont alors respectivement notées et [52] ;
     Remarque 2 : avec ce remplacement le produit tensoriel «» est l'application linéaire de dans telle que

«, »[52] avec
« les formes linéaires associées à » ;

     Remarque 2 : sous cet aspect «» est toujours une forme bilinéaire de construite à l'aide d'un couple particulier de car
     Remarque 2 : sous cet aspect «[52] étant une forme bilinéaire non dégénérée de » pour , [52] est une forme linéaire de donc s'appliquant à et
     Remarque 2 : sous cet aspect «[52] étant une forme bilinéaire non dégénérée de » pour , [52] est une forme linéaire de donc s'appliquant à .

Divers produits tensoriels de deux espaces vectoriels tridimensionnels formés à partir de ces derniers ou de leurs duals modifier

Notion d'espace bidual modifier

     Soit « un -espace vectoriel de dimension »,
     Soit « le dual de c'est-à-dire l'ensemble des formes linéaires définies sur »,
     nous nous proposons de préciser la signification à donner à
     Soit « le bidual de l'existence de étant assurée car est lui-même un -espace vectoriel de dimension » ;

     pour cela introduisons tout d'abord la forme bilinéaire non dégénérée appelée « crochet de dualité » définie sur selon

«,» puis,

     pour cela définissons une application linéaire « de dans » telle que

« et , »[54]  ;

     nous en déduisons que «, est la forme linéaire définie sur » qui, « à toute forme linéaire définie sur » associe «» c'est-à-dire

«» est telle que «» « et ».

     Propriété : Dans la mesure où le -espace vectoriel est de dimension finie, l'application linéaire «» de dans définit « un isomorphisme de dans » en effet

     Propriété : si le « crochet de dualité » défini sur est construit à l'aide de la multiplication scalaire sur [20] c'est-à-dire «»,
     Propriété : si le « crochet de dualité » défini sur il y a une correspondance bijective entre éléments de et de définie selon « » et
     Propriété : si le « crochet de dualité » défini sur il y a une correspondance bijective entre éléments de et de     selon « »[55],
     Propriété : si le « crochet de dualité » défini sur on en déduit le caractère bijectif de l'application linéaire «» de dans » par construction, cette application se réécrivant
     Propriété : si le « crochet de dualité » défini sur «»[56] telle que «»[55].

     Propriété : En conclusion, « le bidual de » étant isomorphe à « un -espace vectoriel de dimension », et
     Propriété : En conclusion, admettant que cet isomorphisme est indépendant de tout choix de bases dans et [57] nous pouvons les identifier[58]

Les quatre produits tensoriels de deux espaces vectoriels tridimensionnels formés à partir de ces derniers ou de leurs duals modifier

     Soit « deux -espaces vectoriels de dimension » et «[15] leur dual respectif c'est-à-dire l'ensemble des formes linéaires définies sur chaque espace vectoriel tridimensionnel et », chacun constituant « un -espace vectoriel de dimension »,
     à partir de ces espaces vectoriels et en utilisant les « crochets de dualité et [59] respectivement définis sur ou sur identifié à et sur ou sur identifié à » selon, par exemple, «», on peut former les quatre produits tensoriels ci-dessous :

  • ensemble des formes bilinéaires de [40] :
    «, avec , on a »,
    ou, avec les « crochets de dualité définis à l'aide de la multiplication scalaire sur ou sur »,
    «, avec , on a » ;
  • ensemble des formes bilinéaires de [40] le bidual identifié à voir paragraphe « notion d'espace bidual (propriété) » plus haut dans ce chapitre :
    «, avec [60], on a »,
    ou, avec les « crochets de dualité définis à l'aide de la multiplication scalaire sur ou sur »,
    «, avec , on a » ;
  • ensemble des formes bilinéaires de [40] le bidual identifié à voir paragraphe « notion d'espace bidual (propriété) » plus haut dans ce chapitre :
    «, avec [61], on a »,
    ou, avec les « crochets de dualité définis à l'aide de la multiplication scalaire sur ou sur »,
    «, avec , on a » ;
  • ensemble des formes bilinéaires de [40] les biduaux et respectivement identifiés à et voir paragraphe « notion d'espace bidual (propriété) » plus haut dans ce chapitre :
    «, avec [60],[61], on a »,
    ou, avec les « crochets de dualité » définis à l'aide de la multiplication scalaire sur ou sur ,
    «, avec , on a ».

Propriétés de la multiplication tensorielle d'espaces vectoriels (tridimensionnels) modifier

     Les vecteurs d'un -espace vectoriel étant des tenseurs d'ordre contravariants de et
     les covecteurs du -espace vectoriel dual des tenseurs d'ordre covariants de ,
     le produit tensoriel de deux vecteurs défini plus haut dans ce chapitre au paragraphe « définition du produit tensoriel de deux espaces vectoriels tridimensionnels (produit tensoriel de deux vecteurs) » introduit la notion de « multiplication tensorielle sur les tenseurs d'ordre », loi de composition externe sur les -espaces vectoriels des tenseurs d'ordre possédant les propriétés suivantes :

Associativité de la multiplication tensorielle modifier

     «» où sont -espaces vectoriels tridimensionnels[62], on a
     «» « ou » la mise entre parenthèses ou crochets ou accolades devenant inutile
     «» en effet , soit encore, d'après l'associativité de la multiplication des scalaires,  ;

     cette propriété étant vraie pour tout vecteur de chaque -espace vectoriel considéré, on en déduit

«»[62] la mise entre parenthèses ou crochets ou accolades étant inutile
avec « l'ensemble des formes trilinéaires de »[62].

     En itérant la propriété d'associativité on peut affirmer

«»[62]
avec « l'ensemble des formes k-linéaires de »[62].

Le corps des réels, élément « neutre » de la multiplication tensorielle modifier

     « étant un -espace vectoriel de dimension », on peut, avec un «-espace vectoriel de dimension », définir deux produits tensoriels :

  • «» avec le produit tensoriel «» défini selon «, [63],[64] » s'écrivant encore «» soit finalement avec , se réécrivant sous la forme «» avec c'est-à-dire
    «, si »
    établissant que « est canoniquement (au sens de l'algèbre linéaire) isomorphe à »[57] et
    permettant l'identification entre « et » ;
  • «» avec le produit tensoriel «» défini selon «, [63],[64] » s'écrivant encore «» soit finalement avec , se réécrivant sous la forme «» avec c'est-à-dire
    «, si »
    établissant que « est canoniquement (au sens de l'algèbre linéaire) isomorphe à »[57] et
    permettant l'identification entre « et ».

     Propriété : Notant l'« identification de deux -espaces vectoriels canoniquement (au sens de l'algèbre linéaire) isomorphes par le symbole », nous en déduisons «»,
     Propriété : la relation traduisant que est l'élément « neutre » de la multiplication tensorielle à gauche des -espaces vectoriels tridimensionnels et
     Propriété : la relation traduisant que est l'élément « neutre » de la multiplication tensorielle à droite des -espaces vectoriels tridimensionnels.

     Remarque : Si est l'élément « neutre » de la multiplication tensorielle des -espaces vectoriels tridimensionnels et  : -espaces vectoriels tridimensionnels,
     Remarque : un réel quelconque n'est usuellement pas élément neutre de sa multiplication tensorielle avec le produit tensoriel de deux vecteurs quelconques de et c'est-à-dire

«», «»[65]
«», «»[66].

Puissance tensorielle d'un espace vectoriel tridimensionnel modifier

     Le carré tensoriel du -espace vectoriel de dimension résultant de la multiplication tensorielle de par lui-même est défini par «» dans lequel le produit tensoriel «» suit «, » avec pour choix de forme bilinéaire non dégénérée de , celle formée à l'aide de la multiplication scalaire ,
     le carré tensoriel de se note, plus succinctement, «» ou encore mais plus rarement «» c'est aussi l'ensemble des formes bilinéaires définies sur c'est-à-dire «»[40] ;

     la ème puissance tensorielle du -espace vectoriel de dimension notée «» ou plus rarement «» avec se définit à partir de la ème puissance tensorielle notée «» ou plus rarement «» selon «» ou «»,
     la ème puissance tensorielle de est aussi l'ensemble des formes k-linéaires de soit «» ;

     pour que «» soit définie , il reste à préciser la signification pour et  :

  • pour , on doit avoir «» en effet c'est-à-dire l'ensemble des formes linéaires de soit le dual de  ;
  • pour , on pose «» pour que soit l'élément « neutre » de la puissance tensorielle.

     Avec toutes ces définitions on en déduit les deux propriétés suivantes «».

Dualité du produit tensoriel d'espaces vectoriels modifier

     On admet que « la dualisation commute avec la multiplication tensorielle d'espaces vectoriels de dimension »[67] à savoir,

si et sont deux -espaces vectoriels quelconques de dimension , on a «» ;

     on admet la « généralisation de la propriété ci-dessus à un nombre fini d'espaces vectoriels de dimension » soit

«» dans laquelle sont des -espaces vectoriels de dimension .

Définition de tenseurs à l'aide de la notion de produit tensoriel d'espaces vectoriels tridimensionnels modifier

Rappel sur la notion de produit tensoriel d'espaces vectoriels tridimensionnels modifier

     Considérant « deux -espaces vectoriels tridimensionnels et », nous avons défini le « produit tensoriel de et noté » plus haut dans ce chapitre[68]
     Considérant « deux -espaces vectoriels tridimensionnels et », comme « ensemble des éléments » avec
     Considérant « deux -espaces vectoriels tridimensionnels et », «, »
     Considérant « deux -espaces vectoriels tridimensionnels et », dans laquelle [59] sont des formes bilinéaires non dégénérées de comme par exemple la multiplication scalaire définie sur [20] dans le cas où ces derniers sont euclidiens ;

     comme nous l'avons vu en « remarque 2 » du paragraphe « définition du produit tensoriel de deux espaces vectoriels tridimensionnels » plus haut dans ce chapitre, le « produit tensoriel de et noté » est canoniquement isomorphe à l'ensemble des formes bilinéaires définies sur soit «»[40],[69] étant les duaux respectifs de  ;

     la « forme bilinéaire définie sur » avec «» définit le « produit tensoriel entre vecteurs de et »[70].

Construction des 1ers tenseurs à l'aide de la notion de produit tensoriel d'espaces vectoriels modifier

Rappel des tenseurs d'ordre zéro et un modifier

     Les tenseurs d'ordre ou sont introduits uniquement dans le cadre de -espaces vectoriels de dimension et de leur dual, ces derniers seront noté et .

     « Tout scalaire c'est-à-dire tout élément de qui est un -espace vectoriel de dimension est un tenseur d'ordre », il n'est ni contravariant ni covariant mais « invariant » voir le paragraphe « définition d'un tenseur d'ordre zéro » plus haut dans ce chapitre ;

« l'ensemble des tenseurs d'ordre » est «»[71] -espace vectoriel de dimension .

     « Tout vecteur c'est-à-dire tout élément du -espace vectoriel de dimension est un tenseur d'ordre contravariant » voir le paragraphe « définition et propriété d'un 1er type de tenseur d'ordre un » plus haut dans ce chapitre ;

« l'ensemble des tenseurs d'ordre contravariants » est «»[71] -espace vectoriel de dimension .

     « Tout covecteur c'est-à-dire tout élément du dual du -espace vectoriel de dimension » est un « tenseur d'ordre covariant », c'est aussi une forme linéaire de voir le paragraphe « définition et propriété d'un 2ème type de tenseur d'ordre un » plus haut dans ce chapitre ;

« l'ensemble des tenseurs d'ordre covariants » est «»[71] -espace vectoriel de dimension .

Construction de tenseurs d'ordre deux modifier

     Les tenseurs d'ordre sont construits ci-dessous comme produit tensoriel de deux tenseurs d'ordre , donc comme élément d'un produit tensoriel de deux -espaces vectoriels choisis parmi  :

  • « Tout élément de est un tenseur d'ordre contravariant », ce dernier étant encore le « produit tensoriel de tenseurs d'ordre contravariants » voir une définition équivalente dans le paragraphe « définition et propriété d'un 1er type de tenseur d'ordre deux » plus haut dans ce chapitre ;
    « l'ensemble des tenseurs d'ordre contravariants » est «»[71] -espace vectoriel de dimension .
  • « Tout élément de est un tenseur d'ordre covariant », ce dernier étant encore le « produit tensoriel de tenseurs d'ordre covariants »[72], c'est aussi une « forme bilinéaire de » on rappelle que [69] ces définitions équivalentes étant en accord avec celle du paragraphe « définition et propriété d'un 2ème type de tenseur d'ordre deux » plus haut dans ce chapitre ;
    « l'ensemble des tenseurs d'ordre covariants » est «»[71] -espace vectoriel de dimension .
  • « Tout élément de est un tenseur d'ordre “ mixte ” »[29],[30], ce dernier étant encore le « produit tensoriel de deux tenseurs d'ordre l'un contravariant et l'autre covariant »[73], c'est aussi une « forme bilinéaire de » on rappelle que [69] ces définitions équivalentes étant en accord avec celle du paragraphe « définition et propriété d'un 3ème type de tenseur d'ordre deux » plus haut dans ce chapitre ;
    « l'ensemble des tenseurs d'ordre “ mixtes ” »[29],[30] contravariant à gauche et covariant à droite est «» -espace vectoriel de dimension .
  • « Tout élément de est un tenseur d'ordre “ mixte ” »[29],[30], ce dernier étant encore le « produit tensoriel de deux tenseurs d'ordre l'un covariant et l'autre contravariant »[74], c'est aussi une « forme bilinéaire de » on rappelle que [69] ces définitions équivalentes étant en accord avec celle du paragraphe « définition et propriété d'un 3ème type de tenseur d'ordre deux » plus haut dans ce chapitre ;
    « l'ensemble des tenseurs d'ordre “ mixtes ” »[29],[30] covariant à gauche et contravariant à droite est «» -espace vectoriel de dimension .

   Remarque : la multiplication dans étant commutative, « tout tenseur d'ordre “ mixte ”[29],[30] de est aussi un tenseur d'ordre “ mixte ”[29],[30] de »[75] et réciproquement d'où

« est donc canoniquement (au sens de l'algèbre linéaire) isomorphe à ».

Construction de tenseurs d'ordre quelconque modifier

     Il nous reste à construire des tenseurs d'ordre contravariants, covariants ou « mixtes »[29] à partir des deux -espaces vectoriels tridimensionnels et le dual de  :

  • « Tout élément de est un tenseur d'ordre contravariant », ce dernier étant encore le « produit tensoriel de tenseurs d'ordre contravariants » ;
    « l'ensemble des tenseurs d'ordre contravariants » est «»[71] -espace vectoriel de dimension .
  • « Tout élément de est un tenseur d'ordre covariant », ce dernier étant encore le « produit tensoriel de tenseurs d'ordre covariants »[76], c'est aussi une « forme p-linéaire de » en effet [69] ;
    « l'ensemble des tenseurs d'ordre covariants » est «»[71] -espace vectoriel de dimension .
  • « Tout élément de est un tenseur d'ordre “ mixte ” »[29], ce dernier étant encore le « produit tensoriel de tenseurs d'ordre contravariants et de tenseurs d'ordre covariants »[77], c'est aussi une « forme p-linéaire de » [69] ;
    « l'ensemble des tenseurs d'ordre “ mixtes ” contravariant à gauche et covariant à droite»[29] est «»,
                                                                chaque élément de la réunion étant un -espace vectoriel de dimension .

     Remarque : compte-tenu de la commutativité de la multiplication dans , « un tenseur d'ordre “ mixte ”[29] contravariant d'ordre partiel et covariant d'ordre partiel » est « parfaitement défini dès que est fixé, ceci indépendamment de l'ordre d'apparition des espaces vectoriels et des duaux » « tous les produits tensoriels de espaces vectoriels et de duaux » sont « canoniquement (au sens de l'algèbre linéaire) isomorphes entre eux » quel que soit leur ordre d'apparition.

Composantes d'un tenseur modifier

     Les tenseurs considérés ici étant les éléments des « produits tensoriels construits à partir d'un -espace vectoriel tridimensionnel et de son dual », nous considérerons ces espaces vectoriels « euclidiens » avec

  • la multiplication scalaire définie sur [20] notée «» puis
  • une forme bilinéaire non dégénérée définie sur , notée «» et appelée « crochet de dualité » construite à l'aide de la multiplication scalaire sur [20] telle que
    «», «»[78]
    «» étant l'élément de en correspondance avec l'élément de .

     Remarque de terminologie : bien que la règle en mathématiques soit de parler de « coordonnées de vecteur » et donc de « coordonnées de tenseur », nous remplaçons ici ces termes par « composantes de vecteur » et donc par « composantes de tenseur », réservant les termes « coordonnées » pour les points d'un espace affine

Définition d'une base de l'espace vectoriel tridimensionnel et de celle de son dual modifier

     Soit « une base orthonormée du -espace vectoriel tridimensionnel euclidien »,
     Soit « vecteurs base tels que «» dans lequel est le symbole de Kronecker[79],
     Soit « à cette base nous faisons correspondre, par utilisation du crochet de dualité entre et son dual , une famille de covecteurs de ce dernier, ainsi,

     Soit « aux « vecteurs » de la base de , on associe les « covecteurs de »[80] définis par crochets de dualité entre chacun d'entre eux et chaque vecteur de la base  : «»[78] d'où
     Soit « l'« unicité des covecteurs construits à partir de la base » ; de plus

     Soit « « ces covecteurs forment une famille libre de » en effet, considérant la « forme linéaire nulle de », nous déduisons de la définition de ces covecteurs «» en appliquant cette forme linéaire nulle à chaque « » soit, « étant nul », «», enfin

     Soit « « ces covecteurs forment également une famille génératrice dans la mesure où le nombre d'éléments de la famille libre est égal à la dimension de ,

on conclut donc que « forme une base de ».

     Pour affirmer que « est une base orthonormée du -espace vectoriel tridimensionnel euclidien », il faut, au préalable, définir la multiplication scalaire «» sur par exemple à l'aide des composantes de covecteurs de ou des composantes de formes linéaires de sur la base de [11], selon

«», «»,
cette définition contenant le caractère orthonormé de la base car «» symbole de Kronecker[79].

Construction d'une base pour chaque produit tensoriel d'espaces vectoriels formé à partir d'un espace vectoriel tridimensionnel et de son dual modifier

Bases pour les espaces vectoriels dont les éléments sont des tenseurs d'ordre deux modifier

     « Les -espaces vectoriels contenant les tenseurs d'ordre sont de dimension » « toute famille libre de tenseurs d'ordre constituera une base de l'espace vectoriel en question », ce sont :

  • « ensemble des tenseurs d'ordre contravariants » avec pour base «»,
  • « ensemble des tenseurs d'ordre covariants » avec pour base «» et
  • « ou canoniquement (au sens de l'algèbre linéaire) isomorphe[81] ensemble des tenseurs d'ordre “ mixtes ” »[29],[30] avec pour base la famille libre « ».

Bases pour les espaces vectoriels dont les éléments sont des tenseurs d'ordre p modifier

     « Les -espaces vectoriels contenant les tenseurs d'ordre sont de dimension » « toute famille libre de tenseurs d'ordre constituera une base de l'espace vectoriel en question », ce sont :

  • «[71] ensemble des tenseurs d'ordre contravariants » avec pour base «»,
  • «[71] ensemble des tenseurs d'ordre covariants » avec pour base «» et
  • «[71] ou n'importe quel produit tensoriel de et contenant fois le 1er et fois le 2nd, canoniquement (au sens de l'algèbre linéaire) isomorphe[82] ensemble des tenseurs d'ordre “ mixtes ”[29] -contravariant et -covariant » avec pour base la famille libre « ».

Définition des composantes d'un tenseur d'un produit tensoriel d'espaces vectoriels formé à partir d'un espace vectoriel tridimensionnel et de son dual modifier

Composantes d'un tenseur d'ordre deux modifier

     Il s'agit des « composantes d'un tenseur décomposé sur la base du -espace vectoriel nonadimensionnel auquel il appartient » soit :

  • pour un « tenseur d'ordre contravariant » dans lequel la base «» a été choisie, on obtient la décomposition de sur cette base selon
    «» composantes de «», qualifiées de « contravariantes »,
  • pour un « tenseur d'ordre covariant » dans lequel la base «» a été choisie, on obtient la décomposition de sur cette base selon
    «» composantes de «», qualifiées de « covariantes » et
  • pour un « tenseur d'ordre “ mixte ”[29],[30] »[83] dans lequel la base «» a été choisie, on obtient la décomposition de sur cette base selon
    «» composantes de «», qualifiées de “ mixtes ”[29],[30].

Composantes d'un tenseur d'ordre p modifier

     Il s'agit des « composantes d'un tenseur décomposé sur la base du -espace vectoriel -dimensionnel auquel il appartient » soit :

  • pour un « tenseur d'ordre contravariant »[71] dans lequel la base «» a été choisie, on obtient la décomposition de sur cette base selon
    «» composantes «», qualifiées de « contravariantes »,
  • pour un «tenseur d'ordre covariant »[71] dans lequel la base «» a été choisie, on obtient la décomposition de sur cette base selon
    «» composantes «», qualifiées de « covariantes » et
  • pour un « tenseur d'ordre « mixte »[29] -contravariant et -covariant »[71],[84] avec «» choisie comme base, on obtient la décomposition de sur cette base selon
    «»

    composantes «», qualifiées de “ mixtes[29] «-contravariantes et -covariantes ».

Produit scalaire de deux vecteurs de l'ensemble des tenseurs d'ordre p contravariants, covariants ou « k-contravariants et (p - k)-covariants » formé à partir d'un même espace vectoriel et de son dual, conséquence sur la base choisie modifier

Rappel sur les bases de l'espace vectoriel tridimensionnel euclidien et de son dual modifier

     Ayant choisi une « base orthonormée du -espace vectoriel tridimensionnel euclidien », telle que «» étant le symbole de Kronecker[79], puis
     Ayant construit une « base du -espace vectoriel tridimensionnel euclidien, dual de », chaque élément de cette base étant une forme linéaire de telle que « »[85] étant le symbole de Kronecker[79], on a ensuite
     Ayant défini la multiplication scalaire «» sur selon «» avec « et »[11], ceci permettant de conclure au caractère orthonormé de la base car «»[85].

Produits scalaires de deux vecteurs du même ensemble des tenseurs d'ordre 2 contravariants, covariants ou mixtes et déduction du caractère orthonormé des bases y étant définies modifier

  • Dans le «-espace vectoriel nonadimensionnel des tenseurs d'ordre contravariants » de base «», on définit
    Dans le «-espace vectoriel nonadimensionnel la multiplication scalaire «» entre deux vecteurs de tels que par
    «»[11]
    Dans le «-espace vectoriel nonadimensionnel d'où le produit scalaire entre deux vecteurs de base «»[86] et par suite
    Dans le «-espace vectoriel nonadimensionnel le caractère orthonormé de la base «» de ainsi que le caractère euclidien de ce dernier ;
  • dans le «-espace vectoriel nonadimensionnel des tenseurs d'ordre covariants » de base «», on définit
    Dans le «-espace vectoriel nonadimensionnel la multiplication scalaire «» entre vecteurs quelconques de tels que par
    «»[11]
    Dans le «-espace vectoriel nonadimensionnel d'où le produit scalaire entre deux vecteurs de base «»[86] et par suite
    Dans le «-espace vectoriel nonadimensionnel le caractère orthonormé de la base «» de ainsi que le caractère euclidien de ce dernier ;
  • dans le «-espace vectoriel nonadimensionnel [83] des tenseurs d'ordre “ mixtes ” »[29],[30] de base «», on définit
        Dans le «-espace vectoriel nonadimensionnel la multiplication scalaire «» entre vecteurs quelconques de tels que par
    «»[11]
        Dans le «-espace vectoriel nonadimensionnel d'où le produit scalaire entre deux vecteurs de base «»[86] et par suite
        Dans le «-espace vectoriel nonadimensionnel le caractère orthonormé de la base «» de ainsi que le caractère euclidien de ce dernier.

Produits scalaires de deux vecteurs du même ensemble des tenseurs d'ordre p contravariants, covariants ou « k-contravariants et (p - k)-covariants », déduction du caractère orthonormé des bases y étant définies modifier

  • Dans le «-espace vectoriel -dimensionnel des tenseurs d'ordre contravariants » de base «», on définit
    Dans le «-espace vectoriel dimensionnel la multiplication scalaire «» entre vecteurs quelconques de par
    «»[11]
    Dans le «-espace vectoriel dimensionnel d'où le produit scalaire entre deux vecteurs de base de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre contravariants
                        «»[86]
    Dans le «-espace vectoriel dimensionnel et par suite le caractère orthonormé de la base «» de ainsi que le caractère euclidien de ce dernier ;
  • dans le «-espace vectoriel -dimensionnel des tenseurs d'ordre covariants » de base «», on définit
    Dans le «-espace vectoriel dimensionnel la multiplication scalaire «» entre vecteurs de par
    «»[11]
    Dans le «-espace vectoriel dimensionnel d'où le produit scalaire entre deux vecteurs de base de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre covariants
                                        «»[86]
    Dans le «-espace vectoriel dimensionnel et par suite le caractère orthonormé de la base «» de ainsi que le caractère euclidien de ce dernier ;
  • dans le «-espace vectoriel -dimensionnel “[71],[84] des tenseurs d'ordre “ mixtes ”[29] -contravariants et -covariants »[87]
                 dans le «-espace vectoriel -dimensionnel “de base «», on définit
                 dans le «-espace vectoriel -dimensionnel “la multiplication scalaire «» entre deux vecteurs quelconques de soit par
                 dans le «-espace vectoriel -dimensionnel “«»[11]
                 dans le «-espace vectoriel -dimensionnel “d'où le produit scalaire entre deux vecteurs de base du -espace vectoriel -dimensionnel des tenseurs d'ordre “ mixtes ”[29] -contravariants et -covariants[87]

                                                                                                                       [86]
                 dans le «-espace vectoriel -dimensionnel “et par suite le caractère orthonormé de la base «» de l'espace vectoriel ainsi que le caractère euclidien de ce dernier.

Contraction tensorielle modifier

     L'opération « contraction tensorielle » a pour effet, quand celle-ci est définie, de diminuer de l'ordre d'un tenseur, la C.N[88]. pour qu'une « contraction tensorielle » soit définissable sur un tenseur est que ce dernier soit d'ordre mais cette C.N[88]. n'est pas une C.S[89].

Introduction à la contraction tensorielle modifier

     Pour introduire cette opération nous allons d'abord revenir sur la notion de « crochet de dualité » [78] qui est une forme bilinéaire non dégénérée définie sur et construite

  • à l'aide de la multiplication scalaire sur [20] telle que «, » «» étant l'élément de associé à l'élément de ou,
  • sachant que tout élément est une forme linéaire de , telle que «, » ;

     Pour introduire cette opération le « crochet de dualité » [78] étant une forme bilinéaire non dégénérée de est un tenseur d'ordre “ mixte ”[29],[30] de [83] encore appelé
     Pour introduire cette opération le « crochet de dualité » « tenseur de Kronecker »[79],[90] noté «», s'exprimant en fonction de la base orthonormée «» de ou
                  Pour introduire cette opération le « crochet de dualité » « tenseur de Kronecker » noté «», s'exprimant en fonction de la base orthonormée «» de selon

«»[91],[92],[93] dont l'action
sur un couple de engendre un scalaire ou encore
                                                        sur un couple de tenseurs d'ordre covariant et contravariant engendre un tenseur d'ordre .

     Nous nous proposons de déterminer un opérateur qui aurait une action analogue à celle du « crochet de dualité » ou « tenseur de Kronecker »[79],[90] mais sur un tenseur d'ordre “ mixte ”[29],[30] comme et non un couple de tenseurs d'ordre covariant et contravariant comme transformant le tenseur d'ordre “ mixte ”[29],[30] en tenseur d'ordre .

Contraction tensorielle d'un tenseur d'ordre deux mixte modifier

     Préliminaire : D'une part nous avons vu, au paragraphe « introduction à la constraction tensorielle » et note « 92 » plus haut dans ce chapitre, que l'image du « crochet de dualité » ou « tenseur de Kronecker »[79],[90] “ mixte ”[29],[30] d'un couple de tenseurs d'ordre covariant et contravariant comme s'écrit

«»

     Préliminaire : D'une part dans laquelle sont les composantes de sur les vecteurs de base respectifs  ;
     Préliminaire : d'autre part les composantes du tenseur d'ordre “ mixte ”[29],[30] sur les vecteurs de base orthonormée «» de s'écrivant

«»

     Préliminaire : d'autre part car «», nous remarquons que
     Préliminaire : l'image du « crochet de dualité » du couple «» c'est-à-dire «»
     Préliminaire : l'image du « crochet de dualité » utilise des composantes du tenseur d'ordre “ mixte ”[29],[30] c'est-à-dire «» sur les vecteurs de base orthonormée de d'où
     Préliminaire : la définition de la contraction tensorielle du tenseur d'ordre “ mixte ”[29],[30] permettant l'identification du tenseur contracté d'ordre avec l'image du « crochet de dualité » du couple

Contraction tensorielle d'un tenseur d'ordre p mixte modifier

     Pour que l'opération de contraction tensorielle définie sur se généralise à [71],[84], il faut que l'ordre du tenseur à contracter soit et
                  Pour que l'opération de contraction tensorielle définie sur se généralise à , il suffit que ce tenseur soit « mixte »[29] c'est-à-dire que .

     Remarque : La contraction tensorielle peut être poursuivie tant que le tenseur contracté n'est pas purement contravariant ou purement covariant

Produit contracté de deux tenseurs modifier

     Le produit contracté de deux tenseurs est le résultat de leur produit tensoriel suivi d'une contraction tensorielle entre le 1er tenseur et le 2nd, il n'est faisable que

  • si les deux tenseurs sont d'ordre et « mixtes »[29] ou
  • si l'un des deux tenseurs est d'ordre contravariant ou covariant, l'autre étant d'ordre « mixte »[29] ou encore
  • si les deux tenseurs sont d'ordre , l'un étant contravariant et l'autre covariant ;

     le produit contracté entre un tenseur et un tenseur quand il est faisable est noté [94],
     le produit contracté si le tenseur est d'ordre et le tenseur d'ordre , le tenseur [94] est d'ordre .

     Remarque : comme il a été vu dans le paragraphe « contraction tensorielle d'un tenseur d'ordre p mixte » plus haut dans ce chapitre, la contraction tensorielle nécessite de préciser au préalable les composantes du tenseur à contracter sur la base de l'espace vectoriel le contenant, il faut donc ici
     Remarque : préciser les composantes du 1er tenseur sur la base de son espace vectoriel ainsi que celles du 2ème tenseur sur la base adéquate et,
     Remarque : utiliser la règle suivante : « par défaut, la contraction tensorielle entre deux tenseurs est faite entre le dernier indice des composantes du 1er tenseur et le 1er indice des composantes de nature différente du 2nd tenseur[95] »

     Exemples : soit « un tenseur d'ordre covariant de » ou une forme linéaire de et
     Exemples : soit « un tenseur d'ordre contravariant de » ou un vecteur de ,
     Exemples : le produit contracté « est un tenseur d'ordre » défini par «»[96] ;

     Exemples : soit «[92] le “ tenseur de Kronecker ”[79],[90], d'ordre “ mixte ”[29],[30] de » c'est-à-dire aussi une forme bilinéaire (non dégénérée) de et
     Exemples : soit « le tenseur d'ordre contravariant » construit à partir du couple ,
     Exemples : le produit contracté « des deux tenseurs est le tenseur d'ordre contravariant » résultant de la contraction tensorielle du tenseur d'ordre “ mixte ”[29] « tri-contravariant et mono-covariant » de composantes «» sur la base «», la contraction tensorielle étant faite sur les indices «» et «» les composantes de dans la base «» sont «»[97] soit encore «»[98] dont on déduit

«»[99].

Notation d'Einstein, convention de sommation d'Einstein modifier

     La notation d'Einstein[100] a pour but de mettre concrètement en évidence la différence entre composantes contravariantes et covariantes d'un tenseur ainsi qu'entre vecteurs de base du -espace vectoriel tridimensionnel euclidien et ceux de son dual ;

     la convention de sommation d'Einstein[100] utilisée simultanément à la notation d'Einstein[100] permet de simplifier l'écriture de formules «» en introduisant la notion d'« indice muet » correspondant à l'indice sur lequel est faite la sommation.

Notation d'Einstein modifier

     La notation d'Einstein[100] consiste à étendre le positionnement des indices placés en bas à droite des grandeurs indexées en ne se limitant pas à «» mais en autorisant également «» suivant la propriété de la grandeur indexée, plus exactement :

  • « les vecteurs de base du -espace vectoriel tridimensionnel euclidien sont indexés par un indice en bas » les vecteurs de la base orthonormée de sont notés «»,
  • « les composantes contravariantes d'un vecteur de sont indexées par un indice en haut » les composantes contravariantes du vecteur de sont notées «»,
  • « la décomposition du vecteur de dans la base orthonormée de ce dernier » s'écrit «» ;
  • « les covecteurs de base du dual du -espace vectoriel tridimensionnel euclidien sont indexés par un indice en haut » les covecteurs de la base orthonormée de sont notés «»,
  • « les composantes covariantes d'un covecteur de sont indexées par un indice en bas » les composantes covariantes du covecteur de sont notées «»,
  • « la décomposition du covecteur de dans la base orthonormée de ce dernier » s'écrit «» ;
  • « les composantes contravariantes d'un tenseur d'ordre de sont indexées par des indices en haut » les composantes contravariantes du tenseur d'ordre de sont notées «»,
  • « les composantes covariantes d'un tenseur d'ordre de sont indexées par des indices en bas » les composantes covariantes du tenseur d'ordre de sont notées «»,
  • « les composantes “ mixtes ”[29] -contravariantes et -covariantes d'un tenseur d'ordre de sont indexées par des indices en haut ou en bas suivant le caractère contravariant ou covariant » les composantes “ mixtes ”[29] -contravariantes et -covariantes du tenseur d'ordre de sont notées «».

Convention de sommation d'Einstein modifier

     Avec la notation d'Einstein[100] exposée dans le paragraphe « de même nom » plus haut dans ce chapitre, les indices « muets » c'est-à-dire les indices sur lesquels les sommations sont faites étant systématiquement en positions opposées « haute » et « basse » c'est-à-dire suivant l'une ou l'autre des deux formules «» ou «»,
            Avec la notation d'Einstein la convention de sommation d'Einstein[100] consiste à omettre le symbole de sommation «» en considérant qu'il fait double emploi avec la répétition, dans une formule, d'un indice commun en positions alternées ainsi les formules «» ou «» seront simplement écrites «» ou «», la répétition de l'indice commun en positions alternées entraînant la sommation sur cet indice, cela justifiant le qualificatif « muet » attribué à cet indice.

     Exemples d'utilisation de la convention de sommation d'Einstein[100] en pratique, dès lors que la « notation » d'Einstein[100] est utilisée, la « convention de sommation » l'est aussi[101] :

  • « la décomposition du vecteur de dans la base orthonormée de ce dernier » s'écrira «»[102],
  • « la décomposition du covecteur de dans la base orthonormée de ce dernier » s'écrira «»[102] ;
  • « la contraction tensorielle de tenseur d'ordre “ mixte ” »[29],[30] de composantes, sur la base de , «» s'écrira «» correspondant à un tenseur d'ordre ou encore «»[102],
  • « la contraction tensorielle de tenseur d'ordre “ mixte ”[29] -contravariant et -covariant » de composantes «» sur la base de son espace vectoriel , donnant « un tenseur d'ordre “ mixte ou non[29] -contravariant et -covariant » de composantes, sur la base de l'espace vectoriel , s'écrivant «, »[103],[104]

Notes et références modifier

  1. Comme nous le voyons au paragraphe « divers types de tenseurs d'ordre un, définitions et propriétés » plus loin dans ce chapitre il existe d'autres tenseurs d'ordre un que les vecteurs.
  2. Comme nous le voyons au paragraphe « divers types de tenseurs d'ordre deux, définitions et propriétés » plus loin dans ce chapitre il existe d'autres tenseurs d'ordre deux que les familles de vecteurs.
  3. Le terme « couche » pour un tableau parallélépipédique n'est pas codifié car la représentation en perspective d'un tel tableau parallélépipédique n'est guère utilisée, on préfère représenter chaque « couche » par une matrice de même dimension ou taille fixée, chacune à la suite des précédentes comme si on faisait des coupes successives du tableau parallélépipédique au niveau de chaque « couche »
  4. Comme cela est évoqué au paragraphe « tenseurs d'ordre strictement supérieur à deux » plus loin dans ce chapitre il existe d'autres tenseurs d'ordre trois que les collections de familles de vecteurs.
  5. Soient deux tenseurs d'ordre de l'espace physique construit sur représentables, avec choix d'une base , par une matrice carrée et par un autre matrice carrée , la somme de ces deux tenseurs d'ordre peut être définie par la matrice carrée la représentant, à l'aide de la base , c'est-à-dire  ;
       on prolonge de la même façon la définition de l'addition de deux tenseurs d'ordre de l'espace physique construit sur à celle de deux tenseurs d'ordre quelconque de cet espace physique construit sur .
  6. Soient un tenseur d'ordre de l'espace physique construit sur représentable, avec choix d'une base , par une matrice carrée et un scalaire , le produit de ce tenseur d'ordre par ce scalaire peut être définie par la matrice carrée le représentant, à l'aide de la base , c'est-à-dire  ;
       on prolonge de la même façon la définition de la multiplication d'un tenseur d'ordre de l'espace physique construit sur par un scalaire à celle d'un tenseur d'ordre quelconque de cet espace physique construit sur .
  7. Un parallélépipède est une expansion tridimensionnelle particulière de l'espace physique à trois dimensions, si on considère une expansion tétradimensionnelle dans un espace affine euclidien à quatre dimensions construit en suivant la même méthode que celle utilisée pour un parallélépipède on définit un hyperparallélépipède une expansion pentadimensionnelle dans un espace affine euclidien à cinq dimensions construit selon la même méthode est encore appelée hyperparallélépipède, cette appellation restant valable dans le cas d'un espace affine euclidien de dimensions .
  8. 8,0 8,1 8,2 8,3 et 8,4 C.-à-d. l'espace vectoriel associé à l'espace affine.
  9. 9,0 et 9,1 Soit le triplet de scalaires réels défini comme composantes d'un vecteur au -espace vectoriel de dimension , composantes selon la base choisie dans , c'est-à-dire telles que «» et
                     Soit une autre base de selon laquelle le vecteur a pour composantes le triplet de scalaires réels telles que « »,
       considérant la matrice de passage de la base à la base «» telle que la jème matrice colonne est la décomposition de dans la base ce qui se traduit par «» ou matriciellement selon voir, dans le chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », les paragraphes « matrice de passage entre deux bases de Rm, réécriture de la matrice coordonnée d'un m-uplet par changement de base de Rm » appliqué à et prolongé au cas d'un -espace vectoriel ainsi que « définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche) », on en déduit
       par report des relations dans la relation , «» ou, en permutant le nom des indices «» à identifier à la relation soit «» ou matriciellement selon  ;
       dans la mesure où tout changement de bases peut être inverser, la matrice de passage de la base à la base «» est inversible, son inverse est notée «» et les composantes du vecteur sont modifiées selon prouvant que le triplet de composantes d'un vecteur est une grandeur contravariante on parle de « composantes contravariantes du vecteur », « le triplet étant représenté par une matrice colonne ».
  10. Soit un vecteur du -espace vectoriel euclidien de dimension et ses composantes selon la base choisie dans à savoir où « est la multiplication scalaire définie sur » voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit scalaire de deux vecteurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et
       Soit une autre base de dans laquelle les composantes du vecteur sont ,
       considérant la matrice de passage de la base à la base «» telle que la jème matrice colonne est la décomposition de dans la base ce qui se traduit par «» ou matriciellement selon voir, dans le chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », les paragraphes « matrice de passage entre deux bases de Rm, réécriture de la matrice coordonnée d'un m-uplet par changement de base de Rm » appliqué à et prolongé au cas d'un -espace vectoriel ainsi que « définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche) », on en déduit
       par report des relations dans les composantes de dans exprimées selon , « » ou, matriciellement selon ou encore prouvant que le triplet de composantes d'un vecteur écrites sous forme de produits scalaires avec la base utilisée est une grandeur covariante on parle de « composantes covariantes du vecteur », « le triplet étant représenté par une matrice ligne ».
  11. 11,0 11,1 11,2 11,3 11,4 11,5 11,6 11,7 et 11,8 Voir le paragraphe « définition du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace (remarque) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  12. Mais tout tenseur d'ordre n'est pas un vecteur de l'espace vectoriel tridimensionnel c'est-à-dire de la direction de l'espace affine physique.
  13. 13,0 et 13,1 Pour définir les composantes contravariantes d'un vecteur il n'est pas utile que l'espace vectoriel de définition soit euclidien par contre
                        pour définir les composantes covariantes du même vecteur, son espace vectoriel de définition doit être euclidien.
  14. 14,00 14,01 14,02 14,03 14,04 14,05 14,06 14,07 14,08 14,09 14,10 14,11 14,12 et 14,13 Une grandeur est dite covariante lorsqu'elle varie comme les vecteurs de base et contravariante quand elle varie de façon contraire.
  15. 15,00 15,01 15,02 15,03 15,04 15,05 15,06 15,07 15,08 15,09 15,10 et 15,11 Le dual de étant l'ensemble des formes linéaires de est encore noté ou ou encore mais le plus souvent on se contente de .
  16. 16,0 16,1 et 16,2 La justification de cette appellation venant du fait que ses composantes dans une base de sont « covariantes ».
  17. Le caractère covariant des composantes du vecteur direction de l'espace affine euclidien tridimensionnel écrites sous forme de produits scalaires ayant été établi dans la note « 10 » plus haut dans ce chapitre, nous allons l'expliciter en termes de vecteur de étant le dual de encore appelé covecteur de ou de forme linéaire sur  ;
       soit un vecteur de se décomposant dans la base de selon et
       soit le changement de base de défini par la matrice de passage obtenue en juxtaposant les matrices colonnes de décomposition des vecteurs de dans la base , on en a déduit,
       le vecteur se décomposant dans la nouvelle base selon , l'influence du changement de bases de sur les somposantes de écrites en termes de produit scalaire , d'où une 1ère justification du qualificatif « covariantes » données aux composantes du vecteur exprimées sous forme de produit scalaire avec les vecteurs de base de la base ou  ;
       considérant la forme linéaire de associée à « telle que , » est encore appelé « covecteur de », l'image de par s'écrivant encore, dans la base , «» par distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ou, sous forme matricielle «» où est la matrice colonne des composantes de sur cette base, on déduit,
       considérant la forme linéaire de associée à « du caractère invariant par changement de bases du scalaire et
       considérant la forme linéaire de associée à « de celui contravariant des composantes de représentées par la matrice colonne caractère contravariant établi dans la note « 9 » plus haut dans ce chapitre,
       considérant la forme linéaire de associée à « le caractère covariant des composantes de exprimées sous forme de produit scalaire avec les vecteurs de base et représentées par la matrice ligne ceci constituant la 2ème justification du qualificatif « covariantes » données à ces composantes.
  18. 18,0 et 18,1 Voir le paragraphe « matrice de passage entre deux bases de Rm, réécriture de la matrice coordonnée d'un m-uplet par changement de base de Rm » appliqué à et prolongé au cas d'un -espace vectoriel du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  19. 19,0 19,1 19,2 19,3 et 19,4 Pour simplifier l'écriture on dira que « le covecteur associé au vecteur » est représenté, « dans la base par la matrice ligne au lieu de », idem pour la représentation dans la base
  20. 20,0 20,1 20,2 20,3 20,4 20,5 20,6 20,7 et 20,8 Voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit scalaire de deux vecteurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  21. Voir le paragraphe « définition du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  22. Mais tout tenseur d'ordre n'est pas une famille de vecteurs de l'espace vectoriel tridimensionnel c'est-à-dire de la direction de l'espace affine physique.
  23. Le caractère contravariant des composantes d'un vecteur direction de l'espace affine euclidien tridimensionnel ayant été établi dans la note « 9 » plus haut dans ce chapitre, nous rappelons ci-dessous, les principaux résultats :
       soit un vecteur quelconque de se décomposant dans la base de selon représenté matriciellement par la matrice colonne et
       soit le changement de base de défini par la matrice de passage obtenue en juxtaposant les matrices colonnes de décomposition des vecteurs de dans la base «», on en a déduit,
       la représentation matricielle du vecteur dans la nouvelle base par la matrice colonne dans laquelle le triplet sont les composantes de sur c'est-à-dire telles que soit «», étant la matrice inverse de , la relation établissant le caractère contravariant des composantes de  ;
       considérant maintenant une famille de vecteurs , de composantes sur la base , et représentées matriciellement par les matrices colonnes et
       considérant le changement de base précédemment défini par la matrice de passage , nous déduisons de ce qui précède
       les composantes des trois vecteurs dans la nouvelle base à savoir respectivement représentées matriciellement par les matrices colonnes suivantes , liées aux matrices colonnes de dans la base selon , étant la matrice inverse de et
       la représentation matricielle de la famille des vecteurs dans la base ou étant une matrice carrée de dimension ou taille obtenue en juxtaposant les matrices colonnes de chaque vecteur selon dans ou dans , nous en déduisons le lien entre ces dernières lors du changement de bases, compte-tenu de la définition de la multiplication matricielle voir le paragraphe « définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » «» la jème colonne de résultant de la multiplication matricielle à gauche par de la jème colonne de , la relation établissant le caractère contravariant des composantes de la famille des vecteurs .
  24. Mais tout tenseur d'ordre n'est pas une famille de formes linéaires de l'espace vectoriel dual de la direction de l'espace affine physique.
  25. Le caractère covariant des composantes d'un vecteur direction de l'espace affine euclidien tridimensionnel écrites sous forme de produits scalaires ayant été établi dans la note « 17 » plus haut dans ce chapitre, on sait, en considérant la base de que les composantes de écrites selon sont covariantes et on en a déduit
       le caractère covariant de la forme linéaire ou covecteur dual de dans le paragraphe « lien entre tenseurs d'ordre un contravariant et covariant (propriété) » plus haut dans ce chapitre,
       soit, en considérant sa représentation opérationnelle dans cette base c'est-à-dire la « multiplication matricielle à droite de la matrice ligne » ainsi que
       soit, en considérant le changement de base de défini par la matrice de passage obtenue en juxtaposant les matrices colonnes de décomposition des vecteurs de dans la base , on en a déduit, dans le paragraphe « lien entre tenseurs d'ordre un contravariant et covariant (propriété) » plus haut dans ce chapitre,
       soit, la représentation opérationnelle dans cette base de la forme linéaire ou covecteur en fonction de celle dans la base , la « multiplication matricielle à droite de la matrice ligne » voir la note « 19 pour la simplification d'écriture des composantes covariantes d'un vecteur » plus haut dans ce chapitre, la relation traduisant le caractère covariant du triplet de formes linéaires appelé, par abus, « composantes covariantes du covecteur » ;
       considérant maintenant une famille de covecteurs , de « composantes covariantes» sur la base ou sur la base , ou, avec l'ajout de « ' » dans les « composantes covariantes» sur et représentées opérationnellement par la « multiplication matricielle à droite des matrices lignes » et
       considérant le changement de base précédemment défini par la matrice de passage , nous déduisons de ce qui précède
       les « composantes covariantes» sur des trois covecteurs en fonction de celles sur selon leur représentation opérationnelle correspondant à une « multiplication matricielle à droite des matrices lignes » ;
       la représentation opérationnelle de la famille des covecteurs dans la base ou étant la multiplication matricielle à droite d'une matrice carrée de dimension ou taille obtenue en empilant les matrices lignes associées à chaque covecteur selon dans ou dans , nous en déduisons le lien entre ces dernières lors du changement de bases, compte-tenu de la définition de la multiplication matricielle voir le paragraphe « définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » «» la ième ligne de résultant de la multiplication matricielle à droite par de la ième ligne de soit finalement, en représentation opérationnelle, «», la relation établissant le caractère covariant des « composantes covariantes» de la famille des covecteurs .
  26. C.-à-d. telle que «» ce qui aurait pour conséquence
    • «» en développant par rapport à la 1ère variable puis
    • «» en développant par rapport à la 2ème variable.
  27. 27,0 27,1 et 27,2 L'ensemble des endomorphismes de est un -espace vectoriel noté ou encore mais le plus souvent on se contente de .
  28. Les composantes de la forme bilinéaire «» du -espace vectoriel dans laquelle est un endomorphisme de sont, avec choix d'une base de , effectivement « covariantes à droite » et « contravariantes à gauche » en effet,
       considérant deux vecteurs de se décomposant dans la base selon ,
       considérant l'endomorphisme de représenté, dans la même base , par sa matrice obtenue en juxtaposant les matrices coordonnées de dans la base des voir le paragraphe « 2ème interprétation d'une matrice de dimension (ou taille) (m, n), matrice d'une application linéaire d'un espace de dimension n de base B dans un autre espace de dimension m de base C dans le couple de bases (B, C) (1ère propriété) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » dans le cas où les espaces définition et image de dimension commune sont confondus avec choix d'une même base et
       considérant le changement de base de défini matriciellement par la matrice de passage de la base vers la base s'obtenant en juxtaposant les matrices colonnes de décomposition des vecteurs de dans la base selon voir, dans le chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », les paragraphes « matrice de passage entre deux bases de Rm, réécriture de la matrice coordonnée d'un m-uplet par changement de base de Rm » appliqué à et prolongé au cas d'un -espace vectoriel ainsi que « définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche) », conduisant aux modifications
       considérant le changement de base sur la forme linéaire « multiplication scalaire par le vecteur » «» de représentation opérationnelle « multiplication matricielle à droite de la matrice ligne » selon le paragraphe « lien entre tenseurs d'ordre un contravariant et covariant associés (2ème sous-paragraphe) » plus haut dans ce chapitre,
       considérant le changement de base sur le vecteur représenté matriciellement par la matrice colonne dans laquelle est la matrice inverse de selon la note « 9 » plus haut dans le chapitre ainsi que
       considérant le changement de base sur l'endomorphisme représenté matriciellement par la matrice carrée voir le paragraphe « changement de bases des espaces vectoriels définition et image d'une application linéaire et conséquence sur la matrice de l'application linéaire dans le couple de bases des espaces vectoriels définition et image (cas particulier) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » et par suite
       considérant le changement de base sur le vecteur représenté matriciellement par la matrice colonne soit enfin
       considérant le changement de base sur le scalaire représenté matriciellement par le produit matriciel dans la base ou par dans la base soit, en y reportant les relations de changement de bases ci-dessus, ce qui vérifie le caractère invariant du scalaire  ;
       de la repérsentation matricielle de l'image de la forme bilinéaire «» de appliquée à soit représentant dans la base , on en déduit
       de la représentation opérationnelle de la forme bilinéaire «» de dans la base selon une « multiplication matricielle à gauche et à droite de la matrice carrée de dimension ou taille ” » et
       de la représentation opérationnelle de la forme bilinéaire «» de dans la base selon une « multiplication matricielle à gauche et à droite du produit de matrices carrées de dimension ou taille ” » établissant le caractère « covariant à droite » et « contravariant à gauche » de la forme bilinéaire « » de .
  29. 29,00 29,01 29,02 29,03 29,04 29,05 29,06 29,07 29,08 29,09 29,10 29,11 29,12 29,13 29,14 29,15 29,16 29,17 29,18 29,19 29,20 29,21 29,22 29,23 29,24 29,25 29,26 29,27 29,28 29,29 29,30 29,31 29,32 29,33 29,34 29,35 29,36 29,37 29,38 29,39 et 29,40
       Appellation personnelle pour traduire que le tenseur n'est ni covariant ni contravariant mais un mélange des deux, plus exactement
       Appellation personnelle un torseur d'ordre « mixte » est contravariant d'ordre partiel et covariant d'ordre partiel .
  30. 30,00 30,01 30,02 30,03 30,04 30,05 30,06 30,07 30,08 30,09 30,10 30,11 30,12 30,13 30,14 30,15 30,16 30,17 30,18 30,19 30,20 30,21 et 30,22
       Le tenseur d'ordre « mixte » est donc contravariant d'ordre partiel et covariant d'ordre partiel
  31. Voir le paragraphe « définition et propriété d'un 1er type de tenseur d'ordre deux » plus haut dans ce chapitre.
  32. Voir le paragraphe « définition et propriété d'un 2ème type de tenseur d'ordre deux » plus haut dans ce chapitre.
  33. Par abus on dira que la famille des covecteurs «» est représentée par la matrice carrée c'est la transposée de la matrice représentant la famille des vecteurs
  34. Voir le paragraphe « définition et propriété d'un 3ème type de tenseur d'ordre deux » plus haut dans ce chapitre.
  35. En effet l'image du couple de vecteurs par la forme bilinéaire étant un scalaire c'est-à-dire un tenseur d'ordre invariant,
       En effet son évaluation nécessitant l'intervention à gauche d'une matrice ligne représentant un tenseur d'ordre covariant, le côté gauche du tenseur représentant est contravariant et
      En effet son évaluation nécessitant l'interve celle à droite d'une matrice colonne représentant un tenseur d'ordre contravariant le côté droit du tenseur représentant est covariant.
  36. On justifie la forme de la matrice en évaluant par calcul matriciel effectivement égal à compte-tenu de l'expression de et de symbole de Kronecker ;
       Leopold Kronecker (1823 - 1891) mathématicien et logicien allemand, s'est intéressé entre autres à la résolution algébrique des équations, publiant en la démonstration de la non-résolubilité par radicaux de l'équation quintique en utilisant la théorie des groupes.
  37. On vérifie l'accord sur la forme bilinéaire particulière du -espace vectoriel associée à la multiplication scalaire de et à l'endomorphisme c'est-à-dire l'application composée « » définie sur telle que , les formes bilinéaires de sont des éléments de «» la matrice étant voir la note « 28 » plus haut dans ce chapitre avec
  38. On vérifie l'accord avec le résultat de la note « 28 » exposée dans le cadre de la forme bilinéaire particulière du -espace vectoriel associée à la multiplication scalaire de et à l'endomorphisme c'est-à-dire l'application composée «» définie sur telle que , on rappelle que les formes bilinéaires de sont des éléments de «»
  39. Dans la mesure où l'application «» n'agit que sur le 1er vecteur du couple en laissant le 2nd inchangé, cette application se limite effectivement à la forme linéaire de appliquée sur selon «».
  40. 40,00 40,01 40,02 40,03 40,04 40,05 40,06 40,07 40,08 40,09 40,10 40,11 40,12 40,13 et 40,14 Bien que ce soient des éléments de et qui sont en argument de la forme bilinéaire, ce sont leurs duaux et qui interviennent dans la construction de cette dernière d'où la notation «» ; même commentaire si on remplace l'un des -espaces vectoriels ou par leur dual respectif ou ou si on remplace les deux
  41. Si un isomorphisme est indépendant de tout choix de bases dans l'un et l'autre des espaces considérés, il est qualifié de « canonique (au sens de l'algèbre linéaire) » et il est alors possible d'identifier les deux espaces vectoriels, on admet que c'est le cas ici.
  42. Voir, plus haut dans ce paragraphe, la « conclusion de la remarque 1' » associée à la note « 40 »
  43. En effet, avec et un élément quelconque «» ou
       En effet avec et un élément quelconque «».
  44. En effet, avec et un élément quelconque «» soit,
       En effet en factorisant sur par , «» puis
       En effet en factorisant scalairement le 1er facteur par «» la factorisation scalaire étant l'opération inverse de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », enfin
       En effet ceci étant vrai , on en déduit «».
       on obtiendrait une justification analogue en utilisant et
  45. 45,0 et 45,1 Niels Henrich Abel (1802 - 1829) mathématicien norvégien, connu pour ses travaux divers en analyse mathématique et aussi sur la résolution des équations en algèbre
  46. En effet on a « ».
  47. En effet , «».
  48. En effet on a «».
  49. En effet on a «».
  50. L'espace singulier à droite de la forme bilinéaire «» est le sous-espace vectoriel de défini selon «» c'est-à-dire tel que l'image de la forme bilinéaire de n'importe quel élément de et d'un élément de soit  ;
       L'espace singulier à droite cas particulier de la « multiplication scalaire sur forme bilinéaire » : «» en effet seul donne un produit scalaire nul en étant multiplié scalairement à gauche par n'importe quel vecteur .
       L'espace singulier à gauche de la forme bilinéaire «» est le sous-espace vectoriel de défini selon «» c'est-à-dire tel que l'image de la forme bilinéaire de n'importe quel élément de et d'un élément de soit  ;
       L'espace singulier à droite cas particulier de la « multiplication scalaire sur forme bilinéaire » : «» en effet seul donne un produit scalaire nul en étant multiplié scalairement à droite par n'importe quel vecteur .
  51. Voir la justification pour dans la note « 50 » plus haut dans ce chapitre, celle pour étant identique.
  52. 52,0 52,1 52,2 52,3 52,4 et 52,5 Cette notation personnelle pour représenter une forme bilinéaire non dégénérée quelconque définie sur ou sur utilise la notion de crochet de dualité définie sur ou sur introduite dans le paragraphe « notion d'espace bidual » plus loin dans ce chapitre .
  53. Ou en absence d'ambiguïté ;
       « l'ensemble des formes bilinéaires de noté » voir note « 40 » plus haut dans ce chapitre étant isomorphe à « l'ensemble des applications linéaires de dans du type “” avec » c'est-à-dire à «» voir la « conclusion de la remarque 1' » associée à la note « 40 » plus haut dans ce paragraphe, on pourrait utiliser « à la place de » mais on le fera très rarement
  54. Pratiquement l'introduction de l'application linéaire «» de dans permet de créer, à partir de , une forme linéaire sur et par suite,
       Pratiquement à partir des trois variables restant à définir, «» est définie en identifiant le crochet de dualité déjà défini au crochet de dualité restant à définir d'où la définition de «» par identification des crochets de dualité
  55. 55,0 et 55,1 La multiplication scalaire définie sur étant notée «» et, dans le but de simplifier l'écriture, nous employons « pour la forme linéaire définie sur ».
  56. La multiplication scalaire définie sur étant notée «» et, dans le but de simplifier l'écriture, nous employons « pour les formes linéaires définies sur ».
  57. 57,0 57,1 et 57,2 Plus exactement deux espaces vectoriels entre lesquels on peut définir un isomorphisme indépendant de tout choix de bases dans l'un et l'autre de ces espaces sont dits « canoniquement (au sens de l'algèbre linéaire) isomorphes »,
                               la raison pour laquelle et sont canoniquement isomorphes est que le lien entre les deux est réalisé à l'aide du crochet de dualité entre et , lequel, dans le cas où ce dernier est construit à partir de la multiplication scalaire sur , est égal à un produit scalaire d'éléments de indépendant du choix de base dans .
  58. Quand il y a isomorphisme canonique entre deux espaces vectoriels voir note « 57 » plus haut dans ce chapitre, il est possible de les identifier c'est donc le cas pour et ,
       par contre quand l'isomorphisme dépend des bases choisies dans chaque espace vectoriel, l'identification devient impossible on peut montrer mais on l'admettra que c'est le cas pour et .
  59. 59,0 et 59,1 Notation personnelle pour représenter un crochet de dualité quelconque construits à partir de ou à partir de .
  60. 60,0 et 60,1 Nous avons vu dans le paragraphe « notion d'espace bidual (propriété) » plus haut dans ce chapitre que le bidual de pouvait être identifié avec ce dernier,
       dans le cas prséent nous notons l'élément de associé à l'élément de , étant identifiable à un élément de .
  61. 61,0 et 61,1 Nous avons vu dans le paragraphe « notion d'espace bidual (propriété) » plus haut dans ce chapitre que le bidual de pouvait être identifié avec ce dernier,
       dans le cas présent nous notons l'élément de associé à l'élément de , étant identifiable à un élément de .
  62. 62,0 62,1 62,2 62,3 et 62,4 Ou, en remplaçant n'importe quel -espace vectoriel tridimensionnel par son dual, remplacement total ou partiel
  63. 63,0 et 63,1 Notation personnelle pour représenter un crochet de dualité quelconque construits à partir de ou à partir de .
  64. 64,0 et 64,1 Le dual de est formé à l'aide de la multiplication usuellement noté ou simplement omis le crochet de dualité correspondant « » ;
                         le dual de est formé à l'aide de la multiplication scalaire le crochet de dualité correspondant «» ;
                         le dual de est formé à l'aide de la multiplication scalaire le crochet de dualité correspondant «».
  65. En effet «», «» voir la note « 64 » plus haut dans ce chapitre pour la définition du dual correspondant à chaque espace vectoriel ou encore «» effectivement « de sauf si » ;
       en conclusion « pour », mais «» c'est-à-dire que « est l'élément neutre de sa multiplication tensorielle à gauche avec le produit tensoriel de ».
  66. En effet «», «» voir la note « 64 » plus haut dans ce chapitre pour la définition du dual correspondant à chaque espace vectoriel ou encore «» effectivement « de sauf si » ;
       en conclusion « pour », mais «» c'est-à-dire que « est l'élément neutre de sa multiplication tensorielle à droite avec le produit tensoriel de ».
  67. Considérons le produit tensoriel des deux -espaces vectoriels et de dimension et
       Considérons leur produit tensoriel , ce dernier étant encore l'ensemble des formes bilinéaires de soit l'« identification de deux -espaces vectoriels canoniquement (au sens de l'algèbre linéaire) isomorphes étant notée par le symbole »,
       on en déduit « le dual du produit tensoriel de et » c'est-à-dire la forme linéaire définie à partir de , par «» ;
       or la « forme bilinéaire avec » est définie comme la « composition de deux formes linéaires, respectivement sur et sur » selon
       or la « forme bilinéaire «, » où sont des crochets de dualité définis sur chaque espace vectoriel, c'est-à-dire des formes bilinéaires non dégénérées définies sur impliquant que sont des formes linéaires sur voir la note « 59 » et le paragraphe « notion d'espace bidual (crochet de dualité) » plus haut dans le chapitre et où est le couple associé à par relation de dualité ; par suite
       or le « dual de la forme bilinéaire » est la « composition des duaux des deux formes linéaires, respectivement sur et sur », c'est-à-dire encore la « composition de deux formes linéaires sur et sur » en effet l'« ensemble des formes linéaires sur étant », son « dual s'écrit selon » dont on tire que
       or le « dual de est une forme bilinéaire de » d'où « c'est-à-dire se réécrit » voir la note « 40 » plus haut dans ce chapitre soit finalement «» par définition de ce dernier.
  68. Voir le paragraphe « définition du produit tensoriel de deux espaces vectoriels tridimensionnels » plus haut dans ce chapitre.
  69. 69,0 69,1 69,2 69,3 69,4 et 69,5 L'identification de deux -espaces vectoriels canoniquement (au sens de l'algèbre linéaire) isomorphes voir les notes « 57 » et « 58 » plus haut dans ce chapitre étant notée notation personnelle par le symbole ».
  70. Voir le paragraphe « définition du produit tensoriel de deux espaces vectoriels tridimensionnels (produit tensoriel de deux vecteurs) » plus haut dans ce chapitre.
  71. 71,00 71,01 71,02 71,03 71,04 71,05 71,06 71,07 71,08 71,09 71,10 71,11 71,12 71,13 71,14 71,15 71,16 et 71,17 Voir le paragraphe puissance tensorielle d'un espace vectoriel tridimensionnel plus haut dans le chapitre.
  72. Soit un couple de tenseurs d'ordre covariants c'est-à-dire un couple de formes linéaires de , le tenseur d'ordre covariant construit à partir des 1ers est «» tel que «, » on note les éléments de associés par dualité aux éléments de et par bidualité aux éléments de , c'est-à-dire qu'avec l'application linéaire « de dans » on a «» tel que «» voir le paragraphe « notion d'espace bidual » plus haut dans ce chapitre soit finalement «, ».
  73. Soit un couple de tenseurs d'ordre le 1er contravariant et le 2nd covariant c'est-à-dire un couple de vecteur et forme linéaire de , le tenseur d'ordre “ mixte ” construit à partir des 1ers est «» tel que «, » on note le couple de associés par dualité au couple de et le 2ème élément du couple associé par bidualité à de , c'est-à-dire qu'avec l'application linéaire « de dans » on a «» tel que «» voir le paragraphe « notion d'espace bidual » plus haut dans ce chapitre soit finalement «, » un exemple de forme linéaire de associée à étant est la multiplication scalaire définie dans .
  74. Soit un couple de tenseurs d'ordre le 1er covariant et le 2nd contravariant c'est-à-dire un couple de forme linéaire et vecteur de , le tenseur d'ordre “ mixte ” construit à partir des 1ers est «» tel que «, » on note le couple de associés par dualité au couple de et le 1er élément du couple associé par bidualité à de , c'est-à-dire qu'avec l'application linéaire « de dans » on a «» tel que «» voir le paragraphe « notion d'espace bidual » plus haut dans ce chapitre soit finalement «, » un exemple de forme linéaire de associée à étant est la multiplication scalaire définie dans .
  75. En effet permet de construire «» tel que «, » voir la note « 74 » plus haut dans ce chapitre qui s'écrit encore, par commutativité de la multiplication dans , «» voir la note « 73 » plus haut dans ce chapitre après adaptation des notations d'où
    l'« identification de appliqué à avec appliqué à »
       toutefois il ne faut pas en déduire la commutativité de la multiplication tensorielle entre et tout simplement parce que et ne s'appliquent pas sur les mêmes couples ordonnés d'éléments
  76. Soit «  un -uplet de tenseurs d'ordre covariants » c'est-à-dire « un -uplet de formes linéaires de », « le tenseur d'ordre covariant » construit à partir des 1ers est «» tel que «, » on note l'élément de associé par dualité à l'élément de et par bidualité à l'élément de , c'est-à-dire qu'avec l'application linéaire « de dans » on a «» tel que «» voir le paragraphe « notion d'espace bidual » plus haut dans ce chapitre soit finalement «, ».
  77. Soit « un -uplet de tenseurs d'ordre les 1ers contravariants, les 2nds covariants» ou « un -uplet de vecteurs et formes linéaires de », « le tenseur d'ordre “ mixte ” contravariant à gauche et covariant à droite» construit à partir des 1ers «» est tel que «, » on note les éléments de associés par dualité aux éléments de , les derniers éléments étant associés par bidualité à de , c'est-à-dire qu'avec l'application linéaire « de dans » on a «» tel que « » voir le paragraphe « notion d'espace bidual » plus haut dans ce chapitre soit finalement
    «, »
    un exemple de forme linéaire de associée à étant est la multiplication scalaire définie dans .
  78. 78,0 78,1 78,2 et 78,3 Voir le paragraphe « notion d'espace bidual (crochet de dualité) » plus haut dans ce chapitre.
  79. 79,0 79,1 79,2 79,3 79,4 79,5 79,6 et 79,7 Leopold Kronecker (1823 - 1891) mathématicien et logicien allemand, s'est intéressé entre autres à la résolution algébrique des équations, publiant en la démonstration de la non-résolubilité par radicaux de l'équation quintique en utilisant la théorie des groupes.
  80. Ces covecteurs sont aussi des formes linéaires de ainsi, «, ».
  81. Mais, dans la suite, nous nous limiterons à
  82. Mais, dans la suite, nous nous limiterons à
  83. 83,0 83,1 et 83,2 Ou lequel lui est canoniquement (au sens de l'algèbre linéaire) isomorphe, mais, dans la suite, nous nous limiterons à
  84. 84,0 84,1 84,2 84,3 84,4 et 84,5 Ou n'importe quel produit tensoriel de et contenant fois le 1er et fois le 2nd lequel lui est canoniquement (au sens de l'algèbre linéaire) isomorphe, mais, dans la suite, nous nous limiterons à
  85. 85,0 et 85,1 Voir le paragraphe « définition d'une base de l'espace vectoriel tridimensionnel et de celle de son dual » plus haut dans ce chapitre.
  86. 86,0 86,1 86,2 86,3 86,4 et 86,5 Avec le symbole de Kronecker ;
       Leopold Kronecker (1823 - 1891) mathématicien et logicien allemand, s'est intéressé entre autres à la résolution algébrique des équations, publiant en la démonstration de la non-résolubilité par radicaux de l'équation quintique en utilisant la théorie des groupes.
  87. 87,0 et 87,1 Avec «».
  88. 88,0 et 88,1 Condition Nécessaire.
  89. Condition Suffisante.
  90. 90,0 90,1 90,2 et 90,3 En fait il y a tenseurs de Kronecker, celui qui s'identifie au « crochet de dualité » est un tenseur “ mixte ” , les autres étant contravariant pour l'un et covariant pour l'autre  ; les trois portent le même nom car la définition de chacun en fonction de la base de l'espace vectoriel auquel il appartient définition précisée dans ce paragraphe en ce qui concerne le tenseur “ mixte ” et dans la note « 93 » plus loin dans ce chapitre en ce qui concerne les tenseurs contravariant ou covariant est semblable.
  91. Le tenseur “ mixte ” de Kronecker est encore défini selon «», on a choisi «» dans le corps du texte pour être en accord avec l'ordre d'apparition des variables dans le crochet de dualité.
  92. 92,0 et 92,1 Si on applique le tenseur “ mixte ” de Kronecker sur un couple , on obtient
        avec et associés à et
        ou, en décomposant sur la base de «» «» d'où
        ou, en décomposant sur la base de «» «» soit
        s'identifiant à en effet d'où «».
    On peut considérer « et l'appliquer à un couple », on vérifie alors «» voir ci_dessous.
                        Si on applique le tenseur “ mixte ” de Kronecker sur un couple , on obtient
        avec et associés à et
        ou, en décomposant sur la base de «» «» d'où
        ou, en décomposant sur la base de «» «» soit
        s'identifiant à en effet d'où «».
  93. Le tenseur contravariant de Kronecker «» noté exceptionnellement ici pour le distinguer des deux autres est défini relativement à la base orthonormée «» de selon «» ; ce tenseur, forme bilinéaire de , donne,
    • lorsqu'il est « appliqué au couple », « » avec symboles de Kronecker, soit finalement «» et par suite
    • lorsqu'il est « appliqué au couple », « » soit finalement
      «».
       Le tenseur covariant de Kronecker «» noté exceptionnellement ici pour le distinguer des deux autres est défini relativement à la base orthonormée «» de selon «» ; ce tenseur, forme bilinéaire de , donne,
    • lorsqu'il est « appliqué au couple », « » avec symboles de Kronecker, soit finalement «» et par suite
    • lorsqu'il est « appliqué au couple », « » soit finalement
      «».
  94. 94,0 et 94,1 Ou encore ou parfois mais à éviter
  95. C.-à-d. si le dernier indice des composantes du 1er tenseur correspond à une composante contravariante, on sélectionnera le 1er indice des composantes covariantes du 2nd tenseur et vice et versa
  96. En effet le produit tensoriel est un tenseur d'ordre “ mixte ” de composantes sur «» «», la contraction tensorielle donnant comme il a été établi dans le paragraphe « contraction tensorielle d'un tenseur d'ordre deux mixte (préliminaire) » plus haut dans le chapitre
  97. L'indice de de étant « local » c'est-à-dire n'intervenant pas en dehors de l'expression est remplacé par lequel n'est plus utilisé après contraction tensorielle.
  98. En effet «».
  99. En effet le produit tensoriel tenseur d'ordre contravariant a pour composantes «» sur la base orthonormée «» de car « ».
  100. 100,0 100,1 100,2 100,3 100,4 100,5 100,6 et 100,7 Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en puis suisse en  ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en , la relativité générale en ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en pour son explication de l'effet photoélectrique.
  101. Raison pour laquelle les articles de Wikipédia ne font pas la différence entre « notation » et « convention de sommation », la différence n'a été faite ici que pour rendre l'exposé plus lisible
  102. 102,0 102,1 et 102,2 Le domaine de variation de l'indice « muet » n'est pas nécessairement écrit à côté de la formule, mais il doit être précisé s'il y a ambiguïté
  103. Ou, en renumérotant les indices « non muets » de à , «»
  104. La colorisation de l'indice « muet » n'a évidemment aucune nécessité, elle n'est utilisée que pour mettre en valeur ce dernier