Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Les tenseurs

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Introduction des « tenseurs » en mathématiques

     $\succ \;$La notion de tenseur prolonge celle de scalaire, de vecteur ou de famille finie de vecteurs en dimension finie ;

     $\color {transparent}{\succ }\;$tous ces éléments pris individuellement forment un espace-vectoriel de dimension finie tel que, si le corps sur lequel ils sont construits est $\;\mathbb {R}$ :

• l'ensemble des scalaires est le $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;\mathbb {R} \;$ lui-même de dimension $\;1$, un scalaire étant un tenseur d'ordre zéro,
• l'ensemble des vecteurs est le $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel isomorphe à $\;\mathbb {R} ^{n}\;$ de dimension $\;n$, chaque vecteur étant représentable, avec choix d'une base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1}\,,\,\cdots \,,\,b_{i}\,,\,\cdots \,,\,b_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,n}$, par une matrice colonne $\;\left[{\begin{array}{c}x_{1}\\\vdots \\x_{j}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\right]\in M_{n,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)$, un vecteur d'un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;n\;$ étant un tenseur d'ordre un,
• l'ensemble des familles ordonnées de $\;p\;$ vecteurs du même $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel isomorphe à $\;\mathbb {R} ^{n}\;$ est le $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel isomorphe à $\;\left\lbrace \mathbb {R} ^{n}\right\rbrace ^{p}$, chaque famille ordonnée de $\;p\;$ vecteurs étant représentable, avec choix d'une base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1}\,,\,\cdots \,,\,b_{i}\,,\,\cdots \,,\,b_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,n}$, par une matrice $\;\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}&\cdots &x_{1,\,j}&\cdots &x_{1,\,p}\\&&\vdots &&\\x_{i,\,1}&\cdots &x_{i,\,j}&\cdots &x_{i,\,p}\\&&\vdots &&\\x_{n,\,1}&\cdots &x_{n,\,j}&\cdots &x_{n,\,p}\end{array}}\right]\in M_{n,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)$ ${\Bigg \{}$en particulier l'ensemble des familles ordonnées de $\;n\;$ vecteurs du même $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel isomorphe à $\;\mathbb {R} ^{n}\;$ est le $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel isomorphe à $\;\left\lbrace \mathbb {R} ^{n}\right\rbrace ^{n}$, chaque famille ordonnée de $\;n\;$ vecteurs étant représentable, avec choix d'une base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =$ $\left\lbrace b_{1}\,,\,\cdots \,,\,b_{i}\,,\,\cdots \,,\,b_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,n}$, par une matrice carrée $\;\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}&\cdots &x_{1,\,j}&\cdots &x_{1,\,n}\\&&\vdots &&\\x_{i,\,1}&\cdots &x_{i,\,j}&\cdots &x_{i,\,n}\\&&\vdots &&\\x_{n,\,1}&\cdots &x_{n,\,j}&\cdots &x_{n,\,n}\end{array}}\right]\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right){\Bigg \}}$, une famille ordonnée de $\;p\;$ vecteurs du même $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;n\;$ étant un tenseur d'ordre deux $\;{\big (}$avec $\;p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace \!{\big )}\;$ et
• l'ensemble constitué de collections ordonnées comprenant chacune $\;q\;$ familles ordonnées de $\;p\;$ vecteurs du même $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel isomorphe à $\;\mathbb {R} ^{n}\;$ est le $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel isomorphe à $\;\left\lbrace \left\lbrace \mathbb {R} ^{n}\right\rbrace ^{p}\right\rbrace ^{q}$, chaque collection ordonnée de $\;q\;$ familles ordonnées de $\;p\;$ vecteurs étant représentable, avec choix d'une base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1}\,,\,\cdots \,,\,b_{i}\,,\,\cdots \,,\,b_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,n}$, par un tableau parallélépipédique constitué de $\;q\;$ matrices placées en « couches » successives, de même dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left(n\,,\,p\right)$, une famille ordonnée de $\;q\;$ familles ordonnées de $\;p\;$ vecteurs du même $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;n\;$ étant un tenseur d'ordre trois $\;{\Big [}$à condition que $\;\left(p\,,\,q\right)\,\in \,{\big \{}\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace \!{\big \}}^{2}{\Big ]}\;$,
• $\;\ldots \;$

Exemples de tenseurs d'ordre zéro $\;{\big (}$scalaire${\big )}$,
Exemples de tenseurs d'ordre un $\;{\big (}$vecteur de l'espace physique${\big )}$,
Exemples de tenseurs d'ordre deux $\;{\big (}$famille de $\;3\;$ vecteurs de l'espace physique${\big )}$,
Exemples de tenseurs d'ordre trois $\;{\big (}$collection de $\;3\;$ familles de $\;3\;$ vecteurs de l'espace physique${\big )}$

     $\succ \;$Les tenseurs d'ordre $\;p\;\in \mathbb {N} \;$ de l'espace physique $\;{\mathcal {E}}_{3}\;$ construit sur $\;\mathbb {R} \;$ forment donc un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;3^{\,p}$ $\;{\Big [}$on définit en effet l'addition de deux tenseurs de même ordre $\;p$ $\;{\Big (}$par loi de composition interne $\;T_{p}\times T_{p}\;{\overset {+}{\rightarrow }}\;T_{p}\;$ où $\;T_{p}\;$ est l'ensemble des tenseurs d'ordre $\;p\;$${\Big )}\;$ ainsi que la multiplication d'un tenseur d'ordre $\;p\;$ par un scalaire $\;{\Big (}$loi de composition externe $\;\mathbb {R} \times T_{p}\;{\overset {\cdot }{\rightarrow }}\;T_{p}\;$${\Big )}$, ces deux lois ayant les propriétés nécessaires pour assurer à l'ensemble $\;T_{p}\;$ des tenseurs d'ordre $\;p\;$ d'être un espace vectoriel${\Big ]}$ ;

     $\color {transparent}{\succ }\;$ils sont indépendants d'un choix de bases, seules leurs représentations en matrices colonnes s'ils sont d'ordre un ou en matrices rectangulaires s'ils sont d'ordre deux ou en tableaux parallélépipédiques s'ils sont d'ordre trois $\;{\big (}$ou encore tableaux hyperparallélépipédiques s'ils sont d'ordre supérieur à trois${\big )}\;$ en dépendent.

1^ères définitions de tenseurs

     Préliminaires : Comme nous l'avons vu en introduction un tenseur nécessite de préciser l'espace vectoriel de travail, nous supposerons que ce dernier est un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;3^{\,p}$, $\;p\;\in \mathbb {N}$,

     Préliminaires : de plus, si $\;p=1$, l'espace vectoriel d'étude sera, quand cela s'avérera utile, choisi euclidien c'est-à-dire muni d'une multiplication scalaire de vecteurs $\;{\big (}$l'espace vectoriel d'étude étant alors la direction de l'espace affine tridimensionnel${\big )}$.

     Préliminaires : Une grandeur est qualifiée de « contravariante » lorsqu'elle varie de façon contraire à celle dont les vecteurs de base sont modifiés $\;{\big (}$si elle varie de la même façon que celle dont les vecteurs de base sont changés, la grandeur est qualifiée de « covariante »${\big )}$.

Définition et propriété d'un tenseur d'ordre zéro

Définition d'un tenseur d'ordre zéro

     « Tout scalaire $\;{\big (}$c'est-à-dire tout élément de $\;\mathbb {R} {\big )}\;$ est un tenseur d'ordre $\;0\;$».

     Remarque : Un tenseur d'ordre $\;0\;$ est évidemment indépendant du choix d'une base dans l'espace affine euclidien tridimensionnel, pour le vérifier il suffit de considérer le scalaire correspondant comme le produit scalaire de deux vecteurs de la direction de l'espace affine, le produit scalaire étant invariant par changement de bases.

     Propriété : Comme un scalaire est indépendant du choix d'une base, « un tenseur d'ordre $\;0\;$ est invariant », il n'est ni contravariant ni covariant $\;\ldots$

Divers types de tenseurs d'ordre un, définitions et propriétés

Définition et propriété d'un 1^er type de tenseur d'ordre un

Définition d'un 1^er type de tenseur d'ordre un

     « Tout élément du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;3$ $\;{\big (}$c'est-à-dire tout vecteur de cet espace vectoriel tridimensionnel${\big )}$,
     « Tout élément du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel de dimension $\;\color {transparent}{3}\;$ est un tenseur d'ordre $\;1\;$».

     Remarque : Un tenseur d'ordre $\;1\;$ de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'espace affine euclidien tridimensionnel, mais ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci$\;\ldots$

     Propriété : On vérifie que « les composantes de ce 1^er type de tenseur d'ordre $\;1\;$ sont contravariantes », on en déduit que « tout vecteur de l'espace vectoriel tridimensionnel $\;{\big (}$c'est-à-dire tout vecteur de la direction de l'espace affine physique${\big )}\;$» est un « tenseur d'ordre $\;1\;$ contravariant ».

Définition et propriété d'un 2^ème type de tenseur d'ordre un

Définition d'un 2^ème type de tenseur d'ordre un

     « Tout élément du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;W^{*}\;$ de dimension $\;3$ $\;{\big (}W^{*}\;$ étant l'espace dual de $\;W\;$ direction de l'espace affine tridimensionnel${\big )}$ $\;{\big [}$c'est-à-dire toute forme linéaire du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;W{\big ]}$
     « Tout élément du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{W^{*}}\;$ de dimension $\;\color {transparent}{3}\;$ est un tenseur d'ordre $\;1\;$».

     Remarques : Un exemple de tenseur d'ordre $\;1\;$ de ce type associé au vecteur $\;{\vec {a}}\;\in \;W\;$ est la forme linéaire de $\;W\;$ «$\;f:={\vec {a}}\cdot \;$» telle que $\;\forall \;{\vec {x}}\;\in \;W$, $\;f({\vec {x}})={\vec {a}}\cdot {\vec {x}}$, $\;{\big [}$la forme linéaire de $\;W\;$ est un élément de $\;W^{*}\;$, chaque élément de $\;W^{*}\;$ étant encore appelé « covecteur »${\big ]}\;\ldots$

     Remarques : un tenseur d'ordre $\;1\;$ de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'espace affine euclidien tridimensionnel, mais ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci $\;\ldots$

     Propriété : On vérifie que « les composantes de ce 2^ème type de tenseur d'ordre $\;1\;$ sont covariantes », on en déduit que « toute forme linéaire de l'espace vectoriel tridimensionnel c'est-à-dire de la direction de l'espace affine physique » $\;{\big (}$ou « tout covecteur de l'espace dual de la direction de l'espace affine physique »${\big )}\;$ est un « tenseur d'ordre $\;1\;$ covariant ».

Lien entre tenseurs d'ordre un contravariant et covariant associés

     $\succ \;$Un tenseur d'ordre $\;1\;$ contravariant étant un vecteur $\;{\vec {a}}\;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;W$, ses composantes $\;\left(a_{1}\,,\,a_{2}\,,\,a_{3}\right)\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =$ $\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ ont pour représentation matricielle dans cette base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ la « matrice colonne $\;\left[{\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{array}}\right]\;$» ;
     $\color {transparent}{\succ }\;$le changement de base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {b'}}_{\!3}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ étant caractérisé par la matrice $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\in M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)$, les composantes du vecteur $\;{\vec {a}}\;\in \;W\;$ dans la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ ont pour représentation matricielle dans cette base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ la « matrice colonne $\;\left[{\begin{array}{c}{a'}_{\!1}\\{a'}_{\!2}\\{a'}_{\!3}\end{array}}\right]=$ $\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[{\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{array}}\right]\;$» $\;{\Big \{}\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\;$ étant la matrice de passage de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ à la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ et $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\;$ sa matrice inverse${\Big \}}$.

     $\succ \;$Le tenseur d'ordre $\;1\;$ covariant associé au vecteur $\;{\vec {a}}\;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;W\;$ étant la forme linéaire de $\;W\;$ «$\;f:=a\cdot \;$» telle que $\;\forall \;x\;\in \;W$ $\;f(x)=a\cdot x$ $\;{\big [}$la forme linéaire de $\;W$ $\;{\big (}$encore appelé « covecteur » de $\;W^{*}{\big )}\;$ «$\;f:=a\cdot \;$» étant un élément de $\;W^{*}\;$ l'espace dual de $\;W{\big ]}$, ses composantes dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ ont pour représentation opérationnelle dans cette base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ la « multiplication matricielle à droite de la matrice ligne $\;\left[a_{1}\;\;a_{2}\;\;a_{3}\right]\times \;$» ;
     $\color {transparent}{\succ }\;$le changement de base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {b'}}_{\!3}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ étant caractérisé par la matrice de passage $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\in M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)$, les composantes de $\;\left\lbrace {\vec {a}}\;\cdot \right\rbrace \in \;W^{*}\;$ dans la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ ont pour représentation opérationnelle dans cette base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ la « multiplication matricielle à droite de la matrice ligne $\;\left[{a'}_{\!1}\;\;{a'}_{2}\;\;{a'}_{3}\right]\times =\left[a_{1}\;\;a_{2}\;\;a_{3}\right]\times \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace C\right\rbrace }\times \;$».

     $\succ \;$Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs $\;\left({\vec {a}}\,,\,{\vec {x}}\right)\;\in \;W^{2}\;$» s'identifiant à « l'image de $\;{\vec {x}}\;\in \;W\;$ par la forme linéaire “$\;f:={\vec {a}}\;\cdot \;$” $\;\in \;W^{*}\;$» à savoir «$\;{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}=f({\vec {x}})\;\in \;\mathbb {R} \;$» est invariant par changement de base choisie dans $\;W\;$ en effet
     $\color {transparent}{\succ }\;$Propriété : évalué, dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$ de $\;W$, par «$\;{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}=\left[a_{1}\;\;a_{2}\;\;a_{3}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}}\right]\;$ $=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,3}a_{k}\;x_{k}\;$», on vérifie que
     $\color {transparent}{\succ }\;$Propriété : le changement de base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ caractérisé par la matrice de passage $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\;$ conduit à l'évaluation dans la nouvelle base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {b'}}_{\!3}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ selon «$\;{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}=\left[{a'}_{1}\;\;{a'}_{2}\;\;{a'}_{3}\right]\times \left[{\begin{array}{c}{x'}_{1}\\{x'}_{2}\\{x'}_{3}\end{array}}\right]\;$» avec «$\;\left[{a'}_{1}\;\;{a'}_{2}\;\;{a'}_{3}\right]\times$ $=\left[a_{1}\;\;a_{2}\;\;a_{3}\right]\times \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\times \;$» $\;{\big \{}$caractère « covariant » de “$\;f:={\vec {a}}\;\cdot \;$” $\;\in \;W^{*}{\big \}}\;$ et «$\;\left[{\begin{array}{c}{x'}_{1}\\{x'}_{2}\\{x'}_{3}\end{array}}\right]=$ $\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}}\right]\;$» $\;{\big \{}$caractère « contravariant » de “$\;{\vec {x}}\;$” $\;\in \;W{\big \}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;\left[{a'}_{1}\;\;{a'}_{2}\;\;{a'}_{3}\right]\times \left[{\begin{array}{c}{x'}_{1}\\{x'}_{2}\\{x'}_{3}\end{array}}\right]=\left\lbrace \left[a_{1}\;\;a_{2}\;\;a_{3}\right]\times \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\times \right\rbrace \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}}\right]=$ $\left[a_{1}\;\;a_{2}\;\;a_{3}\right]\times {\cancel {{\bigg \{}\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}{\bigg \}}}}\times \left[{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}}\right]\;$» validant l'invariance de $\;{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}\;$ par changement de bases $\;{\big (}$en tant que scalaire $\;{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}\;$ est un tenseur d'ordre $\;0\;$ en accord avec son invariance par changement de bases${\big )}$.

Divers types de tenseurs d'ordre deux, définitions et propriétés

     Parmi les tenseurs d'ordre deux nous nous limiterons à ceux dont la représentation matricielle ou opérationnelle fait intervenir une matrice carrée de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;3$, nous écartons donc tout tenseur d'ordre $\;2\;$ dont la représentation matricielle ou opérationnelle ferait intervenir une matrice rectangulaire dont une dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ serait $\;3\;$ et l'autre un entier $\;p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\,,\,3\right\rbrace \;\ldots$

Définition et propriété d'un 1^er type de tenseur d'ordre deux

Définition d'un 1^er type de tenseur d'ordre deux

     « Tout élément du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;3^{2}=9\;$ ${\big (}$c'est-à-dire toute famille de $\;3\;$ vecteurs de l'espace vectoriel tridimensionnel${\big )}\;$
     « Tout élément du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel de dimension $\;\color {transparent}{3^{2}=9}\;$ est un tenseur d'ordre $\;2\;$».

     Remarque 1 : Un tenseur d'ordre $\;2\;$ de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'espace affine euclidien tridimensionnel dans la mesure où chaque vecteur l'est, mais leurs composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci $\;\ldots$

     Propriété : On vérifie que les composantes de ce 1^er type de tenseur d'ordre $\;2\;$ sont « contravariantes », c'est-à-dire que « toute famille de${\underline {\;3\;}}$vecteurs de l'espace vectoriel tridimensionnel $\;{\big (}$direction de l'espace affine physique${\big )}\;$» est un « tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant ».

     Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants n'apportent guère plus que les tenseurs d'ordre $\;1\;$ contravariants mis à part le regroupement de $\;3\;$ vecteurs dans une même famille c'est-à-dire le regroupement de $\;3\;$ tenseurs d'ordre $\;1\;$ contravariants en un seul tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant $\;\ldots$

Définition et propriété d'un 2^ème type de tenseur d'ordre deux

Définition d'un 2^ème type de tenseur d'ordre deux

     « Toute famille de $\;3\;$ formes linéaires du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;W\;$ ${\big (}$direction de l'espace affine tridimensionnel${\big )}$ ou toute famille de $\;3\;$ éléments du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;W^{*}$ $\;{\big (}$dual de $\;W\;$${\big )}\;$ $\;{\big \{}$ou encore toute famille de $\;3\;$ covecteurs de $\;W^{*}{\big \}}\;$
     « Toute famille de $\;\color {transparent}{3}\;$ formes linéaires du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{W}\;$ est un tenseur d'ordre $\;2\;$».

     Remarques 1 : Un exemple de tenseur d'ordre $\;2\;$ de ce type associé au triplet de vecteurs $\;\left({\vec {a}}\,,\,{\vec {a'}}\,,\,{\vec {a''}}\right)\;\in \;W^{3}\;$ est la famille des $\;3\;$ formes linéaires de $\;W\;$ «$\;\left(f:={\vec {a}}\,\cdot \,,\,f':={\vec {a'}}\cdot \,,\,f'':={\vec {a''}}\cdot \right)\;$» telle que $\;\forall \;{\vec {x}}\;\in \;W$, $\;\left\lbrace f({\vec {x}})={\vec {a}}\cdot {\vec {x}}\,,\,f'({\vec {x}})={\vec {a'}}\cdot {\vec {x}}\,,\,f''({\vec {x}})={\vec {a''}}\cdot {\vec {x}}\right\rbrace$, $\;{\big [}$les formes linéaires de $\;W\;$ sont des éléments de $\;W^{*}\;$ dont chaque élément étant encore appelé « covecteur »${\big ]}\;\ldots$

     Remarques 1 : un tenseur d'ordre $\;2\;$ de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'espace affine euclidien tridimensionnel, mais ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci $\;\ldots$

     Propriété : On vérifie que les composantes de ce 2^ème type de tenseur d'ordre $\;2\;$ sont « covariantes », c'est-à-dire que « toute famille de${\underline {\;3\;}}$formes linéaires de l'espace vectoriel tridimensionnel $\;{\big (}$direction de l'espace affine physique${\big )}\;$» est un « tenseur d'ordre $\;2\;$ covariant ».

     Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre $\;2\;$ covariants n'apportent guère plus que les tenseurs d'ordre $\;1\;$ covariants mis à part le regroupement de $\;3\;$ covecteurs dans une même famille c'est-à-dire le regroupement de $\;3\;$ tenseurs d'ordre $\;1\;$ covariants en un seul tenseur d'ordre $\;2\;$ covariant $\;\ldots$

Définition et propriété d'un 3^ème type de tenseur d'ordre deux

Définition d'un 3^ème type de tenseur d'ordre deux

     « Toute forme bilinéaire du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;W\;$ direction de l'espace affine tridimensionnel $\;{\Big \{}$c'est-à-dire toute application linéaire $\;\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)\;$ de $\;W^{2}\;$ dans $\;\mathbb {R} \;$ vérifiant “$\;\forall \;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\;\in \;W^{2}$, $\;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\;{\overset {\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)}{\rightarrow }}\;\left({\vec {x}}\,\vert \,{\vec {y}}\right)\;\in \;\mathbb {R} \;$ telle que $\;\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)\;$ soit linéaire relativement à $\;{\vec {x}}\;$ et $\;{\vec {y}}\;$”${\Big \}}\;$
     « Toute forme bilinéaire du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{W}\;$ est un tenseur d'ordre $\;2\;$».

     Remarques 1 : Un exemple de tenseur d'ordre $\;2\;$ de ce type associé à la multiplication scalaire de $\;W\;$ et à l'endomorphisme $\;\varphi \;\in \;L(W)\;$ est l'application composée «$\;\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)={\text{?}}\cdot \,\varphi ({\text{?}})\;$» définie sur $\;W^{2}\;$ telle que $\;\forall \;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\;\in \;W^{2}$, $\;\left({\vec {x}}\,\vert \,{\vec {y}}\right)={\vec {x}}\cdot \varphi ({\vec {y}})$ $\;{\Big [}$les formes bilinéaires de $\;W\;$ sont des éléments de «$\;W^{*}\!\times L(W)\;$»${\Big ]}\;\ldots$

     Remarques 1 : un tenseur d'ordre $\;2\;$ de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'espace affine euclidien tridimensionnel mais ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci $\;\ldots$

     Propriété : On vérifie que les composantes de ce 3^ème type de tenseur d'ordre $\;2\;$ sont partiellement « covariante et contravariante », c'est-à-dire que « toute forme bilinéaire de l'espace vectoriel tridimensionnel $\;{\big [}$ou encore tout élément de $\;W^{*}\!\times L(W)\;$ »${\big ]}\;$ est un « tenseur d'ordre $\;2\;$ “mixte” ».

     Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre $\;2\;$ « mixtes » est pratiquement le seul tenseur d'ordre $\;2\;$ à ajouter quelque chose de nouveau par rapport aux tenseurs d'ordre $\;1\;$ contrairement aux tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariant ou covariant $\;\ldots$

Différence de représentativités entre les tenseurs d'ordre deux

• « Un tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant » étant une « famille de $\;3\;$ vecteurs $\;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {v}}\,,\,{\vec {w}}\right)\;\in \;W^{3}\;$ où $\;W\;$ est un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel », ses composantes dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =$ $\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ à savoir $\;\left\lbrace {\vec {x}}\;\left(x_{1}\,,\,x_{2}\,,\,x_{3}\right)\,;\,{\vec {v}}\;\left(v_{1}\,,\,v_{2}\,,\,v_{3}\right)\,;\,{\vec {w}}\;\left(w_{1}\,,\,w_{2}\,,\,w_{3}\right)\right\rbrace \;$ ont pour représentation matricielle dans cette base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ la « matrice $\;\left[{\begin{array}{c}x_{1}&v_{1}&w_{1}\\x_{2}&v_{2}&w_{2}\\x_{3}&v_{3}&w_{3}\end{array}}\right]\in M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» résultant de la juxtaposition des matrices colonnes représentant chaque vecteur $\;{\big (}$ou tenseur d'ordre $\;1\;$ contravariant${\big )}$ ;
     le changement de base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {b'}}_{\!3}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ étant caractérisé par la matrice de passage correspondante $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\in M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)$, les composantes de la famille des $\;3\;$ vecteurs $\;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {v}}\,,\,{\vec {w}}\right)\;\in \;W^{3}\;$ dans la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ ont pour représentation matricielle dans cette base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ la « matrice $\;\left[{\begin{array}{c}{x'}_{\!1}&{v'}_{\!1}&{w'}_{\!1}\\{x'}_{\!2}&{v'}_{\!2}&{w'}_{\!2}\\{x'}_{\!3}&{v'}_{\!3}&{w'}_{\!3}\end{array}}\right]=$ $\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[{\begin{array}{c}x_{1}&v_{1}&w_{1}\\x_{2}&v_{2}&w_{2}\\x_{3}&v_{3}&w_{3}\end{array}}\right]\;$» $\;{\big \{}$les composantes des $\;3\;$ vecteurs dans la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ étant $\;{\vec {x}}\,:\,\left({x'}_{\!1}\,,\,{x'}_{\!2}\,,\,{x'}_{\!3}\right)\,;\,{\vec {v}}\,:\,\left({v'}_{\!1}\,,\,{v'}_{\!2}\,,\,{v'}_{\!3}\right)\,;\,{\vec {w}}\,:\,\left({w'}_{\!1}\,,\,{w'}_{\!2}\,,\,{w'}_{\!3}\right){\big \}}$.
• « Le tenseur d'ordre $\;2\;$ covariant » associé à la famille des $\;3\;$ vecteurs $\;\left({\vec {a}}\,,\,{\vec {r}}\,,\,{\vec {s}}\right)\;\in \;W^{3}\;$ étant la « famille des $\;3\;$ formes linéaires de $\;W\;$ définie selon $\;\left(f:={\vec {a}}\,\cdot \,,\,g:={\vec {r}}\cdot \,,\,h:={\vec {s}}\cdot \right)\;$» telle que $\;\forall \;{\vec {x}}\;\in \;W$, $\;\left\lbrace f({\vec {x}})={\vec {a}}\cdot {\vec {x}}\,,\,g({\vec {x}})={\vec {r}}\cdot {\vec {x}}\,,\,h({\vec {x}})={\vec {s}}\cdot {\vec {x}}\right\rbrace$, $\;{\big [}$les formes linéaires de $\;W\;$ étant des éléments de $\;W^{*}\;$ espace dual de $\;W$, c'est-à-dire des « covecteurs » de $\;W^{*}\;$${\big ]}\;$, ses composantes dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =$ $\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ ont pour représentation opérationnelle la « multiplication matricielle à droite de la matrice $\;\left[{\begin{array}{c}\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{1}\right)&\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{2}\right)&\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {r}}\cdot {\vec {b}}_{1}\right)&\left({\vec {r}}\cdot {\vec {b}}_{2}\right)&\left({\vec {r}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {s}}\cdot {\vec {b}}_{1}\right)&\left({\vec {s}}\cdot {\vec {b}}_{2}\right)&\left({\vec {s}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right)\end{array}}\right]\;\times \;$» dans cette base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ ;
     le changement de base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {b'}}_{\!3}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ étant caractérisé par la matrice de passage correspondante $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\in M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)$, les composantes de la famille des $\;3\;$ covecteurs $\;\left({\vec {a}}\,\cdot \,,\,{\vec {r}}\,\cdot \,,\,{\vec {s}}\,\cdot \right)\in \;\left\lbrace W^{*}\right\rbrace ^{3}\;$ dans la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ ont pour représentation opérationnelle la « multiplication matricielle à droite de la matrice $\left[{\begin{array}{c}\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b'}}_{\!1}\right)&\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b'}}_{\!2}\right)&\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b'}}_{\!3}\right)\\\left({\vec {r}}\cdot {\vec {b'}}_{\!1}\right)&\left({\vec {r}}\cdot {\vec {b'}}_{\!2}\right)&\left({\vec {r}}\cdot {\vec {b'}}_{\!3}\right)\\\left({\vec {s}}\cdot {\vec {b'}}_{\!1}\right)&\left({\vec {s}}\cdot {\vec {b'}}_{\!2}\right)&\left({\vec {s}}\cdot {\vec {b'}}_{\!3}\right)\end{array}}\right]\times$ $=\left[{\begin{array}{c}\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{1}\right)&\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{2}\right)&\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {r}}\cdot {\vec {b}}_{1}\right)&\left({\vec {r}}\cdot {\vec {b}}_{2}\right)&\left({\vec {r}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {s}}\cdot {\vec {b}}_{1}\right)&\left({\vec {s}}\cdot {\vec {b}}_{2}\right)&\left({\vec {s}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right)\end{array}}\right]\!\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\times \;$» dans cette base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace$ $\;{\Bigg \langle }$les composantes des $\;3\;$ vecteurs dans la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ étant $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {a}}\,:\,\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {a}}\cdot {\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {a}}\cdot {\vec {b'}}_{\!3}\right)\\{\vec {r}}\,:\,\left({\vec {r}}\cdot {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {r}}\cdot {\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {r}}\cdot {\vec {b'}}_{\!3}\right)\\{\vec {s}}\,:\,\left({\vec {s}}\cdot {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {s}}\cdot {\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {s}}\cdot {\vec {b'}}_{\!3}\right)\end{array}}\right\rbrace {\Bigg \rangle }$.
• « Un tenseur d'ordre $\;2\;$ “ mixte ” » étant une « forme bilinéaire du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;W\;$», c'est-à-dire une « application linéaire $\;\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)\;$ de $\;W^{2}\;$ dans $\;\mathbb {R} \;$» $\;{\Big \{}$l'image d'un élément $\;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\;$ de $\;W^{2}\;$ par $\;\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)\;$ est donc un scalaire${\Big \}}\;$, sa représentation opérationnelle $\;{\big (}$matricielle${\big )}$, après choix d'une base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =$ $\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;W$, doit contenir $\;3^{2}=9\;$ cœfficients avec, comme exigence finale, un scalaire pour $\;\left({\vec {x}}\,\vert \,{\vec {y}}\right)\;$ c'est-à-dire une matrice de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left(1\,,\,1\right)$, ce qui nécessite
     $\;\succ \;$une représentation matricielle de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left(1\,,\,3\right)\;$ ${\big (}$c'est-à-dire une matrice ligne${\big )}\;$ pour le 1^er vecteur $\;{\vec {x}}\;$ et
     $\;\succ \;$une représentation matricielle de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left(3\,,\,1\right)\;$${\big (}$c'est-à-dire une matrice colonne${\big )}\;$ pour le 2^ème vecteur $\;{\vec {y}}\;$
  soit la représentation opérationnelle $\;{\big (}$matricielle${\big )}\;$ de la forme bilinéaire $\;\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)\;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;W\;$ par «$\;\times \left[A\right]\times \;$» dans laquelle $\;\left[A\right]\;\in \;M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ est une matrice carrée de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left(3\,,\,3\right)\;$ et «$\;\times \;$» la multiplication matricielle $\;{\Big \{}$on verifie que la forme bilinéaire $\;\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)$, tenseur d'ordre $\;2\;$ de représentation opérationnelle « une multiplication matricielle à gauche et à droite d'une matrice carrée de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;3\;$» est covariante à gauche et covariante à droite${\Big \}}$ ;
  $\;\left({\vec {x}}\,\vert \,{\vec {y}}\right)\;$ étant un scalaire, est invariant par changement de bases de $\;W\;$ et se calcule, en utilisant la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace$, par évaluation du produit matriciel «$\;\left[x_{1}\;\;x_{2}\;\;x_{3}\right]\times \left[A\right]\times \left[{\begin{array}{c}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{array}}\right]\;$» dans laquelle $\;\left[x_{1}\;\;x_{2}\;\;x_{3}\right]\;$ est la matrice ligne représentant $\;{\vec {x}}\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ et $\;\left[{\begin{array}{c}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{array}}\right]\;$ la matrice colonne représentant $\;{\vec {y}}\;$ dans la même base avec $\;\left[A\right]=$ $\left[{\begin{array}{c c c}\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\!&\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{2}\right)\!&\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\!&\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b_{2}}}\right)\!&\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\!&\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{2}\right)\!&\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\end{array}}\right]\;$ dans cette base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ ;
     le changement de base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {b'}}_{\!3}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ étant caractérisé par la matrice de passage $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\in M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)$, la représentation opérationnelle de la forme bilinéaire $\;\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)\;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;W\;$ dans la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ est la « multiplication matricielle à droite et à gauche de la matrice $\;\left[A\right]\;$ exprimée dans la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$» soit «$\;\times \;\left[{\begin{array}{c c c}\left({\vec {b'}}_{\!1}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!1}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!1}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!2}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!1}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!3}\right)\\\left({\vec {b'}}_{\!2}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!1}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!2}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!2}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!2}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!3}\right)\\\left({\vec {b'}}_{\!3}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!1}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!3}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!2}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!3}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!3}\right)\end{array}}\right]\times \;=\;\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace b'\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[{\begin{array}{c c c}\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\!&\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{2}\right)\!&\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\!&\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b_{2}}}\right)\!&\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\!&\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{2}\right)\!&\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\end{array}}\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\times \;$»
  dans laquelle $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\;$ est la matrice inverse de la matrice $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\;$.

Tenseurs d'ordre strictement supérieur à deux

     Nous pourrions poursuivre la construction des tenseurs d'ordre $\;\geqslant \;$ à $\;3\;$ comme celle exposée pour les tenseurs d'ordre $\;\leqslant \;$ à $\;2\;$ mais la difficulté d'exposé grandissant simultanément à la diminution d'intérêts de tel tenseur dans le domaine de la physique, nous nous contenterons d'une définition de tels tenseurs après l'introduction de deux opérations sur les tenseurs :

• la multiplication tensorielle d'une part et
• la contraction tensorielle d'autre part,

     leur introduction conduisant à une définition de tenseur nettement plus concise $\;\ldots$

Produit tensoriel d'espaces vectoriels de dimension finie

     Bien que les définitions qui suivent restent valables pour des espaces vectoriels de dimension finie quelconque, nous nous plaçons dans les conditions usuelles d'utilisation en physique c'est-à-dire des $\;\mathbb {R}$-espaces vectoriels isomorphes à $\;\left\lbrace \mathbb {R} ^{3}\right\rbrace ^{p}\;$ avec $\;p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}\;\ldots$

Définition du produit tensoriel de deux espaces vectoriels tridimensionnels

Produit tensoriel de deux vecteurs

     Soit deux $\;\mathbb {R}$-espaces vectoriels tridimensionnels $\;E\;$ et $\;F$, ainsi qu'un couple de vecteurs quelconques $\;\left({\vec {u}}\,,\,{\vec {v}}\right)\;\in E\times F$, on appelle « produit tensoriel de ces deux vecteurs » « l'application linéaire de $\;E\times F\;$ dans $\;\mathbb {R} \;$, notée $\;\left\lbrace {\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\right\rbrace \;$», telle que «$\;\forall \;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\;\in E\times F$, $\;\left\lbrace {\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\right\rbrace \left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)=\left({\vec {u}}\cdot _{E}{\vec {x}}\right)\left({\vec {v}}\cdot _{F}{\vec {y}}\right)\;\in \mathbb {R} \;$»,
«$\;\cdot _{E}\;$ et $\;\cdot _{F}\;$ étant les multiplications scalaires respectivement définies sur $\;E\;$ et $\;F\;$».

     Remarque 1 : À partir du « vecteur $\;{\vec {u}}\;\in \;E\;$» et de « la multiplication scalaire $\;\cdot _{E}\;$ définie sur $\;E\;$»,
          Remarque 1 : on construit le « covecteur $\;{\vec {u}}\cdot _{E}\;\in \;E^{*}\;$» $\;{\big [}E^{*}\;$ étant le dual de $\;E\;$ c'est-à-dire l'ensemble des formes linéaires définies sur $\;E$, une forme linéaire sur $\;E\;$ étant un « covecteur de $\;E^{*}\,$»${\big ]}\;$ et
          Remarque 1 : on en déduit l'« image d'un élément quelconque $\;{\vec {x}}\;\in E\;$ par la forme linéaire $\;{\vec {u}}\cdot _{E}\;\in \;E^{*}\,$ définie comme le scalaire $\;\left({\vec {u}}\cdot _{E}{\vec {x}}\right)\;$»,

     Remarque 1 : à partir du « vecteur $\;{\vec {v}}\;\in \;F\;$» et de « la multiplication scalaire $\;\cdot _{F}\;$ définie sur $\;F\;$»,
          Remarque 1 : on construit le « covecteur $\;{\vec {v}}\cdot _{F}\;\in \;F^{*}\;$» $\;{\big [}F^{*}\;$ étant le dual de $\;F\;$ c'est-à-dire l'ensemble des formes linéaires définies sur $\;F$, une forme linéaire sur $\;F\;$ étant un « covecteur de $\;F^{*}\,$»${\big ]}\;$ et
          Remarque 1 : on en déduit l'« image d'un élément quelconque $\;{\vec {y}}\;\in F\;$ par la forme linéaire $\;{\vec {v}}\cdot _{F}\;\in \;F^{*}\,$ définie comme le scalaire $\;\left({\vec {v}}\cdot _{F}{\vec {y}}\right)\;$» ;

     Remarque 1 : en utilisant les deux observations précédentes, l'« application linéaire de $\;E\times F\;$ dans $\;\mathbb {R} \;$ “$\;\left\lbrace {\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\right\rbrace \;$” » peut être considérée comme la « composition de deux applications linéaires »
     Remarque 1 : $\succ \;$« la 1^ère de $\;E\times F\;$ dans $\;F\;$» étant la « composition de la forme linéaire $\;{\vec {u}}\cdot _{E}\;$ de $\;E\;$ appliquée sur $\;{\vec {x}}\;$ du couple $\;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\;\in E\times F\;$ dont l'image est $\;{\vec {u}}\cdot _{E}{\vec {x}}\;\in \mathbb {R} \;$ et
     Remarque 1 : $\color {transparent}{\succ }\;$« la 1^ère de $\;\color {transparent}{E\times F}\;$ dans $\;\color {transparent}{F}\;$» étant la « composition de l'homothétie de rapport $\;{\vec {u}}\cdot _{E}{\vec {x}}\;$ de $\;F\;$ appliquée sur $\;{\vec {y}}\;$ du couple $\;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\;\in E\times F\;$ dont l'image est $\;\left({\vec {u}}\cdot _{E}{\vec {x}}\right)\;{\vec {y}}\;\in F\;$» soit

«$\;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\;\in E\times F\;\;{\overset {{\vec {u}}\cdot _{E}\,\in \,E^{*}}{\longrightarrow }}\;\left\lbrace \left({\vec {u}}\cdot _{E}{\vec {x}}\right),{\vec {y}}\right\rbrace \;\in \;\mathbb {R} \,\times \,F\;\;{\overset {{\mathcal {H}}_{F}}{\rightarrow }}\;\;\left({\vec {u}}\cdot _{E}{\vec {x}}\right)\,{\vec {y}}\;\in \;F\;$» suivi de

     Remarque 1 : $\succ \;$« la 2^nde étant la forme linéaire $\;{\vec {v}}\cdot _{F}\;$ de $\;F\;$», laquelle, « appliquée sur $\;\left({\vec {u}}\cdot _{E}{\vec {x}}\right)\,{\vec {y}}\;\in \;F$, donne $\;{\vec {v}}\cdot _{F}\left[\left({\vec {u}}\cdot _{E}{\vec {x}}\right)\,{\vec {y}}\right]=\left({\vec {u}}\cdot _{E}{\vec {x}}\right)\,\left({\vec {v}}\cdot _{F}{\vec {y}}\right)\;\in \mathbb {R} \;$» soit

«$\;\left({\vec {u}}\cdot _{E}{\vec {x}}\right)\,{\vec {y}}\;\in \;F\;\;{\overset {{\vec {v}}\cdot _{F}\,\in \,F^{*}}{\longrightarrow }}\;\;{\vec {v}}\cdot _{F}\left[\left({\vec {u}}\cdot _{E}{\vec {x}}\right)\,{\vec {y}}\right]=\left({\vec {u}}\cdot _{E}{\vec {x}}\right)\,\left({\vec {v}}\cdot _{F}{\vec {y}}\right)\;\in \mathbb {R} \;$»
                                                 c'est-à-dire l'image définitive $\;\left\lbrace {\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\right\rbrace \left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\in \,\mathbb {R} \;$» ;

     Remarque 1' : « la 1^ère application linéaire ci-dessus de $\;E\times F\;$ dans $\;F\;$ étant construite à l'aide de la forme linéaire $\;{\vec {u}}\cdot _{E}\;\in \;E^{*}\;$» et
     Remarque 1' : « la 2^nde application linéaire ci-dessusde $\;F\;$ dans $\;\mathbb {R} \;$ étant la forme linéaire $\;{\vec {v}}\cdot _{F}\;\in \;F^{*}\;$», on en déduit que

« l'application linéaire de $\;E\times F\;$ dans $\;\mathbb {R} \;$ “$\;\left\lbrace {\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\right\rbrace \;$” » est une « forme bilinéaire $\;\left({\text{?}}_{1}\,\vert \,{\text{?}}_{2}\right)\;$ de $\;E\times F\;$»
                                                                                   construite en utilisant un élément particulier de $\;E^{*}\times F^{*}\;$
et définie selon «$\;\left({\text{?}}_{1}\,\vert \,{\text{?}}_{2}\right)=\left({\vec {u}}\cdot _{E}{\text{?}}_{1}\right)\,\left({\vec {v}}\cdot _{F}{\text{?}}_{2}\right)\;$ avec $\;\left({\vec {u}}\cdot _{E}\,,\,{\vec {v}}\,\cdot _{F}\right)\;\in E^{*}\times F^{*}\;$»
$\Downarrow$
«$\;\forall \;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\;\in \;E\times F\;$ $\;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\;{\overset {\left({\text{?}}_{1}\,\vert \,{\text{?}}_{2}\right)}{\rightarrow }}\;\left({\vec {x}}\,\vert \,{\vec {y}}\right)=\left({\vec {u}}\cdot _{E}{\vec {x}}\right)\,\left({\vec {v}}\cdot _{F}{\vec {y}}\right)=\left\lbrace {\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\right\rbrace \left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\;\in \;\mathbb {R} \;$» ;

     Remarque 1' : réciproquement on admet que « toute forme bilinéaire $\;\left({\text{?}}_{1}\,\vert \,{\text{?}}_{2}\right)\;$ de $\;E\times F\;$» peut être mise sous la forme
     Remarque 1' : réciproquement on admet que d'une « application linéaire de $\;E\times F\;$ dans $\;\mathbb {R} \;$ du type “$\;\left\lbrace {\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\right\rbrace \;$” » $\;{\big \{}$avec $\;\left({\vec {u}}\,,\,{\vec {v}}\right)\,\in E\times F\;$ couple particulier caractérisant la forme bilinéaire $\;\left({\text{?}}_{1}\,\vert \,{\text{?}}_{2}\right){\big \}}$ ;
     Remarque 1' : nous en déduisons que l'ensemble des formes bilinéaires de $\;E\times F\;$ noté «$\;{\mathcal {L}}_{2}\!\left(E^{*}\times F^{*}\,,\,\mathbb {R} \right)\;$» est isomorphe à
     Remarque 1' : nous en déduisons que l'ensemble des applications linéaires de $\;E\times F\;$ dans $\;\mathbb {R} \;$ du type “$\;\left\lbrace {\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\right\rbrace \;$” avec $\;\left({\vec {u}}\,,\,{\vec {v}}\right)\,\in E\times F\;$».

     Conséquence : Sur l'ensemble des formes bilinéaires de $\;E\times F\;$ c'est-à-dire «$\;{\mathcal {L}}_{2}\!\left(E^{*}\times F^{*}\,,\,\mathbb {R} \right):=\left\lbrace {\vec {u}}\otimes {\vec {v}},\;\;\forall \;\left({\vec {u}}\,,\,{\vec {v}}\right)\in E\times F\right\rbrace \;$», on définit :

     Conséquence : $\blacktriangleright \;$une addition «$\;+\;$» telle que «$\;\forall \;\left({\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\,,\,{\vec {u'}}\otimes {\vec {v'}}\right)\;\in \;\left\lbrace {\mathcal {L}}_{2}\!\left(E^{*}\times F^{*}\,,\,\mathbb {R} \right)\right\rbrace ^{2}$, $\;\left({\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\,,\,{\vec {u'}}\otimes {\vec {v'}}\right)\;{\overset {+}{\rightarrow }}\;{\vec {u}}\otimes {\vec {v}}+{\vec {u'}}\otimes {\vec {v'}}\;\in \;{\mathcal {L}}_{2}\!\left(E^{*}\times F^{*}\,,\,\mathbb {R} \right)\;$», vérifiant
     Conséquence : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$une addition «$\;\color {transparent}{+}\;$» telle que «$\;\forall \;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\in E\times F$, $\;\left\lbrace {\vec {u}}\otimes {\vec {v}}+{\vec {u'}}\otimes {\vec {v'}}\right\rbrace \left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)=\left[\left({\vec {u}}\cdot _{E}{\vec {x}}\right)\left({\vec {v}}\cdot _{F}{\vec {y}}\right)+\left({\vec {u'}}\cdot _{E}{\vec {x}}\right)\left({\vec {v'}}\cdot _{F}{\vec {y}}\right)\right]\;\in \;\mathbb {R} \;$» ;
     Conséquence : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$cette addition ayant les propriétés suivantes
     Conséquence : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\;\succ \;$associative «$\;{\big [}\left({\vec {u}}\otimes {\vec {v}}+{\vec {u'}}\otimes {\vec {v'}}\right)+{\vec {u''}}\otimes {\vec {v''}}={\vec {u}}\otimes {\vec {v}}+\left({\vec {u'}}\otimes {\vec {v'}}+{\vec {u''}}\otimes {\vec {v''}}\right)={\vec {u}}\otimes {\vec {v}}+{\vec {u'}}\otimes {\vec {v'}}+{\vec {u''}}\otimes {\vec {v''}}{\big ]}\;$»,
     Conséquence : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\;\succ \;$admettant un élément neutre «$\;0_{{\mathcal {L}}_{2}\left(E^{*}\times F^{*}\,,\,\mathbb {R} \right)}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {u}}\otimes {\vec {0}}_{F}\;\;\forall \;{\vec {u}}\;\in \;E\\{\text{ou}}\\{\vec {0}}_{E}\otimes {\vec {v}}\;\;\forall \;{\vec {v}}\;\in \;F\end{array}}\right\rbrace \;$» c'est-à-dire tel que «$\;{\vec {u}}\otimes {\vec {v}}+0_{{\mathcal {L}}_{2}\left(E^{*}\times F^{*}\,,\,\mathbb {R} \right)}={\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\;$»,
     Conséquence : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\;\succ \;$tout élément «$\;{\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\;$» admet un opposé «$\;-\left({\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\right)=(-{\vec {u}})\otimes {\vec {v}}={\vec {u}}\otimes (-{\vec {v}})\;$» c'est-à-dire tel que «$\;{\vec {u}}\otimes {\vec {v}}+\left[-\left({\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\right)\right]=0_{{\mathcal {L}}_{2}\left(E^{*}\times F^{*}\,,\,\mathbb {R} \right)}\;$» et
     Conséquence : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\;\succ \;$commutative c'est-à-dire tel que «$\;{\vec {u}}\otimes {\vec {v}}+{\vec {u'}}\otimes {\vec {v'}}={\vec {u'}}\otimes {\vec {v'}}+{\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\;$»,
     Conséquence : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$on déduit, de la cumulation des propriétés ci-dessus, que

«$\;{\mathcal {L}}_{2}\!\left(E^{*}\times F^{*}\,,\,\mathbb {R} \right)\;$ muni de l'addition a une structure de groupe abélien » ;

     Conséquence : $\blacktriangleright \;$une loi de composition externe «$\;\cdot \;$» telle que «$\;\forall \;\lambda \;\in \;\mathbb {R} \;$ et $\;\forall \;{\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\;\in \;{\mathcal {L}}_{2}\!\left(E^{*}\times F^{*}\,,\,\mathbb {R} \right)\;$, $\;\left(\lambda \,,\,{\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\right)\;{\overset {\cdot }{\rightarrow }}\;\lambda \cdot \left({\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\right)\;\in \;{\mathcal {L}}_{2}\!\left(E^{*}\times F^{*}\,,\,\mathbb {R} \right)\;$», vérifiant
     Conséquence : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$une loi de composition externe «$\;\color {transparent}{\cdot }\;$» telle que «$\;\forall \;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\in E\times F$, $\;\left\lbrace \lambda \cdot \left[{\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\right]\right\rbrace \left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)=\lambda \;\left[\left({\vec {u}}\cdot _{E}{\vec {x}}\right)\left({\vec {v}}\cdot _{F}{\vec {y}}\right)\right]\;\in \;\mathbb {R} \;$» ;
     Conséquence : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$cette loi de composition externe ayant les propriétés suivantes
     Conséquence : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\;\succ \;$distributive à gauche par rapport à l'addition de $\;{\mathcal {L}}_{2}\!\left(E^{*}\times F^{*}\,,\,\mathbb {R} \right)\;$ c'est-à-dire tel que «$\;\lambda \cdot \left({\vec {u}}\otimes {\vec {v}}+{\vec {u'}}\otimes {\vec {v'}}\right)=\lambda \cdot \left({\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\right)+\lambda \cdot \left({\vec {u'}}\otimes {\vec {v'}}\right)\;$» et
     Conséquence : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\;\color {transparent}{\succ }\;$distributive à droite par rapport à l'addition définie sur $\;\mathbb {R}$ c'est-à-dire tel que «$\;\left(\lambda +\mu \right)\cdot \left({\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\right)=\lambda \cdot \left({\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\right)+\mu \cdot \left({\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\right)\;$»,
     Conséquence : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\;\succ \;$associative mixte $\;{\big (}$par rapport à la multiplication dans $\;\mathbb {R} {\big )}$ c'est-à-dire tel que «$\;\left(\lambda \;\mu \right)\cdot \left({\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\right)=\lambda \cdot \left[\mu \cdot \left({\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\right)+\right]\;$» et
     Conséquence : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\;\succ \;$admettant l'élément neutre multiplicatif de $\;\mathbb {R}$, noté «$\;1_{\mathbb {R} }\;$», comme neutre à gauche pour «$\;\cdot \;$» c'est-à-dire tel que «$\;1_{\mathbb {R} }\cdot \left({\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\right)=\left({\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\right)\;$»,
     Conséquence : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$on déduit, de la cumulation des propriétés ci-dessus et de la structure de groupe abélien muni de l'addition pour $\;{\mathcal {L}}_{2}\!\left(E^{*}\times F^{*}\,,\,\mathbb {R} \right)\;$, que

«$\;{\mathcal {L}}_{2}\!\left(E^{*}\times F^{*}\,,\,\mathbb {R} \right)\;$ a une structure de $\;{\underline {\mathbb {R} }}$-espace vectoriel ».

     Remarque 2 : Théoriquement les multiplications scalaires définies sur $\;E\;$ et $\;F\;$ à savoir «$\;\cdot _{E}\;$ et $\;\cdot _{F}\;$» étant des formes bilinéaires particulières sur $\;E\times E\;$ et sur $\;F\times F\;$ peuvent être remplacées par n'importe quelle forme bilinéaire non dégénérée définie sur $\;E\times E\;$ et sur $\;F\times F$ $\;{\Big [}$de façon plus générale une forme bilinéaire «$\;f\;{\text{:}}\;E\times F\;\rightarrow \;\mathbb {R} \;$» est non dégénérée « si les espaces singuliers à droite et à gauche se réduisent respectivement à $\;\left\lbrace {\vec {0}}_{F}\right\rbrace \;$ et $\;\left\lbrace {\vec {0}}_{E}\right\rbrace \;$»${\Big ]}$, «$\;\cdot _{E}\;$ et $\;\cdot _{F}\;$» étant des formes bilinéaires non dégénérées particulières sur $\;E\times E\;$ et sur $\;F\times F\;$ ;
     Remarque 2 : les formes bilinéaires non dégénérées définies sur $\;E\times E\;$ et $\;F\times F\;$ sont alors respectivement notées $\;\langle {\text{?}}_{E^{*}}\,,\,{\text{?}}\rangle \;$ et $\;\langle {\text{?}}_{F^{*}}\,,\,{\text{?}}\rangle \;$ ;
     Remarque 2 : avec ce remplacement le produit tensoriel «$\;\left\lbrace {\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\right\rbrace \;$» est l'application linéaire de $\;E\times F\;$ dans $\;\mathbb {R} \;$ telle que

«$\;\forall \;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\in E\times F$, $\;\left\lbrace {\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\right\rbrace \left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)=\langle {\vec {u}}_{E^{*}}\,,\,{\vec {x}}\rangle \;\langle {\vec {v}}_{F^{*}}\,,\,{\vec {y}}\rangle \in \mathbb {R} \;$» avec
«$\;\left({\vec {u}}_{E^{*}}\,,\,{\vec {v}}_{F^{*}}\right)\,\in \,E^{*}\times F^{*}\;$ les formes linéaires associées à $\left({\vec {u}}\,,\,{\vec {v}}\right)\,\in \,E\times F\;$» ;

     Remarque 2 : sous cet aspect «$\;\left\lbrace {\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\right\rbrace \;$» est toujours une forme bilinéaire de $\;E\times F\;$ construite à l'aide d'un couple particulier de $\;E^{*}\times F^{*}\;$ car
     Remarque 2 : sous cet aspect «$\;\langle {\text{?}}_{E^{*}}\,,\,{\text{?}}\rangle \;$ étant une forme bilinéaire non dégénérée de $\;E\times E\;$» $\Rightarrow$ pour $\;{\vec {u}}\;\in \;E$, $\;\langle {\vec {u}}_{E^{*}}\,,\,{\text{?}}\rangle \;$ est une forme linéaire de $\;E\;$ donc $\;\in E^{*}\;$ s'appliquant à $\;{\vec {x}}\in E\;$ et
     Remarque 2 : sous cet aspect «$\;\langle {\text{?}}_{F^{*}}\,,\,{\text{?}}\rangle \;$ étant une forme bilinéaire non dégénérée de $\;F\times F\;$» $\Rightarrow$ pour $\;{\vec {v}}\;\in \;F$, $\;\langle {\vec {v}}_{F^{*}}\,,\,{\text{?}}\rangle \;$ est une forme linéaire de $\;F\;$ donc $\;\in F^{*}\;$ s'appliquant à $\;{\vec {y}}\in F$.

Produit tensoriel de deux espaces vectoriels tridimensionnels

     On appelle « produit tensoriel des deux $\;\mathbb {R}$-espaces vectoriels tridimensionnels $\;E\;$ et $\;F\;$» noté «$\;E\otimes _{\mathbb {R} }F\;$»
     On appelle « l'ensemble des produits tensoriels de tous les couples de vecteurs de $\;E\times F\;$» soit mathématiquement «$\;E\otimes _{\mathbb {R} }F:=\left\lbrace {\vec {u}}\otimes {\vec {v}},\;\;\forall \;\left({\vec {u}}\,,\,{\vec {v}}\right)\in E\times F\right\rbrace \;$»,
«$\;E\otimes _{\mathbb {R} }F\;$» étant un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;3^{2}=9$.

Divers produits tensoriels de deux espaces vectoriels tridimensionnels formés à partir de ces derniers ou de leurs duals

Notion d'espace bidual

     Soit «$\;E\;$ un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;3\;$»,
     Soit «$\;E^{*}\;$ le dual de $\;E$ $\;{\big [}$c'est-à-dire l'ensemble des formes linéaires définies sur $\;E{\big ]}\;$»,
     nous nous proposons de préciser la signification à donner à
     Soit «$\;\left(E^{*}\right)^{*}\;$ le bidual de $\;E$ $\;{\big [}$l'existence de $\;\left(E^{*}\right)^{*}\;$ étant assurée car $\;E^{*}\;$ est lui-même un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;3{\big ]}\;$» ;

     pour cela introduisons tout d'abord la forme bilinéaire non dégénérée $\;\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle \;$ appelée « crochet de dualité » définie sur $\;E^{*}\times E\;$ selon

«$\;\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle \;{\text{:}}\;E^{*}\times E\;\rightarrow \;\mathbb {R}$,$\quad \left(\chi \,,\,{\vec {x}}\right)\;\rightarrow \;\langle \chi \,,\,{\vec {x}}\rangle \;:=\;\chi ({\vec {x}})\;$» puis,

     pour cela définissons une application linéaire «$\;\iota \;$ de $\;E\;$ dans $\;\left(E^{*}\right)^{*}$» telle que

«$\;\forall \;\chi \;\in \;E^{*}$ et $\;\forall \;{\vec {x}}\;\in \;E$, $\;\langle \iota ({\vec {x}})\,,\,\chi \rangle =\langle \chi \,,\,{\vec {x}}\rangle \;$» $\;=\chi ({\vec {x}})\;\in \;\mathbb {R}$ ;

     nous en déduisons que «$\;\forall \;{\vec {x}}\;\in \;E$, $\;\iota ({\vec {x}})\;\in \;\left(E^{*}\right)^{*}$ est la forme linéaire définie sur $\;E^{*}\;$» qui, « à toute forme linéaire $\;\chi \;\in \;E^{*}\;$ définie sur $\;E\;$» associe «$\;\chi ({\vec {x}})\;\in \;\mathbb {R} \;$» c'est-à-dire

«$\;\iota ({\vec {x}})\;\in \;\left(E^{*}\right)^{*}\;$» est telle que «$\;\left\lbrace \iota ({\vec {x}})\right\rbrace \!\left[\chi \right]=\chi ({\vec {x}})\;$» «$\;\forall \;{\vec {x}}\;\in \;E\;$ et $\;\forall \;\chi \;\in \;E^{*}\;$».

     Propriété : Dans la mesure où le $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ est de dimension finie, l'application linéaire «$\;\iota \;$» de $\;E\;$ dans $\;\left(E^{*}\right)^{*}\;$ définit « un isomorphisme de $\;E\;$ dans $\;\left(E^{*}\right)^{*}\;$» en effet

     Propriété : si le « crochet de dualité » $\;\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle \;$ défini sur $\;E^{*}\times E\;$ est construit à l'aide de la multiplication scalaire sur $\;E\;$ c'est-à-dire «$\;\cdot _{E}\;$»,
     Propriété : si le « crochet de dualité » $\;\color {transparent}{\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle }\;$ défini sur $\;\color {transparent}{E^{*}\times E}\;$ il y a une correspondance bijective entre éléments de $\;E\;$ et de $\;E^{*}\;$ définie selon «$\;{\vec {u}}\;\in \;E\;$ $\longmapsto$ $\;{\vec {u}}\cdot _{E}\;\in \;E^{*}\;$» et
     Propriété : si le « crochet de dualité » $\;\color {transparent}{\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle }\;$ défini sur $\;\color {transparent}{E^{*}\times E}\;$ il y a une correspondance bijective entre éléments de $\;E^{*}\;$ et de $\;\left(E^{*}\right)^{*}\;$     selon «$\;{\vec {u}}^{*}\;\in \;E^{*}\;$ $\longmapsto$ $\;{\vec {u}}^{*}\cdot _{E^{*}}\;\in \;\left(E^{*}\right)^{*}\;$»,
     Propriété : si le « crochet de dualité » $\;\color {transparent}{\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle }\;$ défini sur $\;\color {transparent}{E^{*}\times E}\;$ on en déduit le caractère bijectif de l'application linéaire «$\;\iota \;$» de $\;E\;$ dans $\;\left(E^{*}\right)^{*}\;$» par construction, cette application se réécrivant
     Propriété : si le « crochet de dualité » $\;\color {transparent}{\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle }\;$ défini sur $\;\color {transparent}{E^{*}\times E}\;$ «$\;\left({\vec {x}}\in E\,,\,{\vec {u}}^{*}\in E^{*}\right)\longmapsto {\Big (}{\vec {u}}^{*}\in E^{*}\,,\,\iota ({\vec {x}})=\left({\vec {x}}^{*}\right)^{*}\in \left(E^{*}\right)^{*}{\Big )}\;$» telle que «$\;\langle \iota ({\vec {x}})\,,\,{\vec {u}}^{*}\rangle =\langle {\vec {u}}^{*}\,,\,{\vec {x}}\rangle ={\vec {u}}\cdot _{E}{\vec {x}}\in \mathbb {R} \;$».

     Propriété : En conclusion, «$\;\left(E^{*}\right)^{*}\;$ le bidual de $\;E\;$» étant isomorphe à «$\;E\;$ un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;3\;$», et
     Propriété : En conclusion, admettant que cet isomorphisme est indépendant de tout choix de bases dans $\;E\;$ et $\;\left(E^{*}\right)^{*}\;$ nous pouvons les identifier

Les quatre produits tensoriels de deux espaces vectoriels tridimensionnels formés à partir de ces derniers ou de leurs duals

     Soit «$\;\left\lbrace E\,,\,F\right\rbrace \;$ deux $\;\mathbb {R}$-espaces vectoriels de dimension $\;3\;$» et «$\;\left\lbrace E^{*}=L_{\mathbb {R} }\!\left(E\,,\,\mathbb {R} \right)\,,\,F^{*}=L_{\mathbb {R} }\!\left(F\,,\,\mathbb {R} \right)\right\rbrace \;$ leur dual respectif $\;{\big (}$c'est-à-dire l'ensemble des formes linéaires définies sur chaque espace vectoriel tridimensionnel $\;E\;$ et $\;F{\big )}\;$», chacun constituant « un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;3\;$»,
     à partir de ces espaces vectoriels et en utilisant les « crochets de dualité $\;\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle _{E}\;$ et $\;\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle _{F}\;$ respectivement définis sur $\;E^{*}\times E$ $\;{\big \{}$ou sur $\;\left(E^{*}\right)^{*}\times E^{*}\;$ identifié à $\;E\times E^{*}{\big \}}\;$ et sur $\;F^{*}\times F\;$ ${\big \{}$ou sur $\;\left(F^{*}\right)^{*}\times F^{*}\;$ identifié à $\;F\times F^{*}{\big \}}\;$» selon, par exemple, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle _{E}\;{\text{:}}\;E^{*}\times E\;\rightarrow \;\mathbb {R} ,\quad \left(\varpi \,,\,{\vec {x}}\right)\;\rightarrow \;\langle \varpi \,,\,{\vec {x}}\rangle \;:=\;\varpi ({\vec {x}})\\\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle _{F}\;{\text{:}}\;F^{*}\times F\;\rightarrow \;\mathbb {R} ,\quad \left(\omega \,,\,{\vec {y}}\right)\;\rightarrow \;\langle \omega \,,\,{\vec {y}}\rangle \;:=\;\omega ({\vec {y}})\end{array}}\right\rbrace \;$», on peut former les quatre produits tensoriels ci-dessous :

• $\;E\otimes F={\mathcal {L}}_{2}\!\left(E^{*}\times F^{*}\,,\,\mathbb {R} \right)\;$ ensemble des formes bilinéaires de $\;E\times F\;$ : «$\;\forall \left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\in E\times F$, avec $\;\left({\vec {u}}\,,\,{\vec {v}}\right)\in E\times F\;$ $\mapsto$ $\;\left(\varpi \,,\,\omega \right)\in E^{*}\times F^{*}$, on a $\;\left\lbrace {\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\right\rbrace \left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)=\langle \varpi \,,\,{\vec {x}}\rangle _{E}\;\langle \omega \,,\,{\vec {y}}\rangle _{F}=\varpi ({\vec {x}})\;\omega ({\vec {y}})\;$»,
  ou, avec les « crochets de dualité définis à l'aide de la multiplication scalaire sur $\;E\;$ ou sur $\;F\;$»,
  «$\;\forall \left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\in E\times F$, avec $\;\left({\vec {u}}\,,\,{\vec {v}}\right)\in E\times F\;$ $\mapsto$ $\;\left({\vec {u}}\cdot _{E}\,,\,{\vec {v}}\cdot _{F}\right)\in E^{*}\times F^{*}$, on a $\;\left\lbrace {\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\right\rbrace \left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)=\langle {\vec {u}}\cdot _{E}\,,\,{\vec {x}}\rangle _{E}\;\langle {\vec {v}}\cdot _{F}\,,\,{\vec {y}}\rangle _{F}=\left({\vec {u}}\cdot _{E}{\vec {x}}\right)\;\left({\vec {v}}\cdot _{F}{\vec {y}}\right)\;$» ;
• $\;E^{*}\otimes F={\mathcal {L}}_{2}\!\left(E\times F^{*}\,,\,\mathbb {R} \right)\;$ ensemble des formes bilinéaires de $\;E^{*}\times F\;$ $\;{\big \{}$le bidual $\;\left(E^{*}\right)^{*}\;$ identifié à $\;E$ $\;{\big [}$voir paragraphe « notion d'espace bidual (propriété) » plus haut dans ce chapitre${\big ]}{\big \}}$ : «$\;\forall \left(\chi \,,\,{\vec {y}}\right)\in E^{*}\times F$, avec $\;\left(\varpi \,,\,{\vec {v}}\right)\in E^{*}\times F\;$ $\mapsto$ $\;\left(\varpi ^{*}\,,\,\omega \right)\in \left(E^{*}\right)^{*}\times F^{*}\;$, on a $\;\left\lbrace \varpi \otimes {\vec {v}}\right\rbrace \left(\chi \,,\,{\vec {y}}\right)=\langle \varpi ^{*}\,,\,\chi \rangle _{E^{*}}\;\langle \omega \,,\,{\vec {y}}\rangle _{F}=\varpi ^{*}(\chi )\;\omega ({\vec {y}})\;$»,
  ou, avec les « crochets de dualité définis à l'aide de la multiplication scalaire sur $\;E^{*}\;$ ou sur $\;F\;$»,
  «$\;\forall \left(\chi \,,\,{\vec {y}}\right)\in E^{*}\times F$, avec $\;\left(\varpi \,,\,{\vec {v}}\right)\in E^{*}\times F\;$ $\mapsto$ $\;\left(\varpi \cdot _{E^{*}}\,,\,{\vec {v}}\cdot _{F}\right)\in \left(E^{*}\right)^{*}\times F^{*}$, on a $\;\left\lbrace \varpi \otimes {\vec {v}}\right\rbrace \left(\chi \,,\,{\vec {y}}\right)=\langle \varpi \cdot _{E^{*}}\,,\,\chi \rangle _{E^{*}}\;\langle {\vec {v}}\cdot _{F}\,,\,{\vec {y}}\rangle _{F}=\left(\varpi \cdot _{E^{*}}\chi \right)\;\left({\vec {v}}\cdot _{F}{\vec {y}}\right)\;$» ;
• $\;E\otimes F^{*}={\mathcal {L}}_{2}\!\left(E^{*}\times F\,,\,\mathbb {R} \right)\;$ ensemble des formes bilinéaires de $\;E\times F^{*}\;$ $\;{\big \{}$le bidual $\;\left(F^{*}\right)^{*}\;$ identifié à $\;F$ $\;{\big [}$voir paragraphe « notion d'espace bidual (propriété) » plus haut dans ce chapitre${\big ]}{\big \}}$ : «$\;\forall \left({\vec {x}}\,,\,\psi \right)\in E\times F^{*}$, avec $\;\left({\vec {u}}\,,\,\omega \right)\in E\times F^{*}\;$ $\mapsto$ $\;\left(\varpi \,,\,\omega ^{*}\right)\in E^{*}\times \left(F^{*}\right)^{*}\;$, on a $\;\left\lbrace {\vec {u}}\otimes \omega \right\rbrace \left({\vec {x}}\,,\,\psi \right)=\langle \varpi \,,\,{\vec {x}}\rangle _{E}\;\langle \omega ^{*}\,,\,\psi \rangle _{F^{*}}=\varpi ({\vec {x}})\;\omega ^{*}(\psi )\;$»,
  ou, avec les « crochets de dualité définis à l'aide de la multiplication scalaire sur $\;E\;$ ou sur $\;F^{*}\;$»,
  «$\;\forall \left({\vec {x}}\,,\,\psi \right)\in E\times F^{*}$, avec $\;\left({\vec {u}}\,,\,\omega \right)\in E\times F^{*}\;$ $\mapsto$ $\;\left({\vec {u}}\cdot _{E}\,,\,\omega \cdot _{F^{*}}\right)\in E^{*}\times \left(F^{*}\right)^{*}$, on a $\;\left\lbrace {\vec {u}}\otimes \omega \right\rbrace \left({\vec {x}}\,,\,\psi \right)=\langle {\vec {u}}\cdot _{E}\,,\,{\vec {x}}\rangle _{E}\;\langle \omega \cdot _{F^{*}}\,,\,\psi \rangle _{F^{*}}=\left({\vec {u}}\cdot _{E}{\vec {x}}\right)\;\left(\omega \cdot _{F^{*}}\psi \right)\;$» ;
• $\;E^{*}\otimes F^{*}={\mathcal {L}}_{2}\!\left(E\times F\,,\,\mathbb {R} \right)\;$ ensemble des formes bilinéaires de $\;E^{*}\times F^{*}\;$ $\;{\big \{}$les biduaux $\;\left(E^{*}\right)^{*}\;$ et $\;\left(F^{*}\right)^{*}\;$ respectivement identifiés à $\;E\;$ et $\;F$ $\;{\big [}$voir paragraphe « notion d'espace bidual (propriété) » plus haut dans ce chapitre${\big ]}{\big \}}$ : «$\;\forall \left(\chi \,,\,\psi \right)\in E^{*}\times F^{*}$, avec $\;\left(\varpi \,,\,\omega \right)\in E^{*}\times F^{*}\;$ $\mapsto$ $\;\left(\varpi ^{*}\,,\,\omega ^{*}\right)\in \left(E^{*}\right)^{*}\times \left(F^{*}\right)^{*}\;$, on a $\;\left\lbrace \varpi \otimes \omega \right\rbrace \left(\chi \,,\,\psi \right)=\langle \varpi ^{*}\,,\,\chi \rangle _{E^{*}}\;\langle \omega ^{*}\,,\,\psi \rangle _{F^{*}}\;$»,
  ou, avec les « crochets de dualité » définis à l'aide de la multiplication scalaire sur $\;E^{*}\;$ ou sur $\;F^{*}$,
  «$\;\forall \left(\chi \,,\,\psi \right)\in E^{*}\times F^{*}$, avec $\;\left(\varpi \,,\,\omega \right)\in E^{*}\times F^{*}\;$ $\mapsto$ $\;\left(\varpi \cdot _{E^{*}}\,,\,\omega \cdot _{F^{*}}\right)\in \left(E^{*}\right)^{*}\times \left(F^{*}\right)^{*}$, on a $\;\left\lbrace \varpi \otimes \omega \right\rbrace \left(\chi \,,\,\psi \right)=\langle \varpi \cdot _{E^{*}}\,,\,\chi \rangle _{E^{*}}\;\langle \omega \cdot _{F^{*}}\,,\,\psi \rangle _{F^{*}}=\left(\varpi \cdot _{E^{*}}\chi \right)\;\left(\omega \cdot _{\left\lbrace F^{*}\right\rbrace }\psi \right)\;$».

Propriétés de la multiplication tensorielle d'espaces vectoriels (tridimensionnels)

     Les vecteurs d'un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;F\;$ étant des tenseurs d'ordre $\;1\;$ contravariants de $\;F\;$ et
     les covecteurs du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel dual $\;F^{*}$ des tenseurs d'ordre $\;1\;$ covariants de $\;F$,
     le produit tensoriel de deux vecteurs défini plus haut dans ce chapitre au paragraphe « définition du produit tensoriel de deux espaces vectoriels tridimensionnels (produit tensoriel de deux vecteurs) » introduit la notion de « multiplication tensorielle sur les tenseurs d'ordre $\;1\;$», loi de composition externe sur les $\;\mathbb {R}$-espaces vectoriels des tenseurs d'ordre $\;1\;$ possédant les propriétés suivantes :

Associativité de la multiplication tensorielle

     «$\;\forall \;\left({\vec {u}}\,,\,{\vec {v}}\,,\,{\vec {w}}\right)\;\in \;E\times F\times G\;$» où $\;\left\lbrace E\,,\,F\,,\,G\right\rbrace \;$ sont $\;3$ $\;\mathbb {R}$-espaces vectoriels tridimensionnels, on a
     «$\;\color {transparent}{\forall \;\left({\vec {u}}\,,\,{\vec {v}}\,,\,{\vec {w}}\right)\;\in \;E\times F\times G}\;$» «$\;\left\lbrace {\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\right\rbrace \otimes {\vec {w}}={\vec {u}}\otimes \left\lbrace {\vec {v}}\otimes {\vec {w}}\right\rbrace \;$ ou $\;={\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\otimes {\vec {w}}\;$» $\;{\big \{}$la mise entre parenthèses $\;{\big (}$ou crochets ou accolades${\big )}\;$ devenant inutile${\big \}}\;$
     «$\;\color {transparent}{\forall \;\left({\vec {u}}\,,\,{\vec {v}}\,,\,{\vec {w}}\right)\;\in \;E\times F\times G}\;$» ${\Big \{}$en effet $\;\forall \;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\,,\,{\vec {z}}\right)\;\in \;E\times F\times G$, $\;\left[\left\lbrace {\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\right\rbrace \otimes {\vec {w}}\right]\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\,,\,{\vec {z}}\right)=\left\lbrace {\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\right\rbrace \left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\;\left({\vec {w}}\cdot _{G}{\vec {z}}\right)=\left[\left({\vec {u}}\cdot _{E}{\vec {x}}\right)\;\left({\vec {v}}\cdot _{F}{\vec {y}}\right)\right]\;\left({\vec {w}}\cdot _{G}{\vec {z}}\right)\;$ soit encore, d'après l'associativité de la multiplication des scalaires, $\;=\left({\vec {u}}\cdot _{E}{\vec {x}}\right)\;\left[\left({\vec {v}}\cdot _{F}{\vec {y}}\right)\;\left({\vec {w}}\cdot _{G}{\vec {z}}\right)\right]=\left[{\vec {u}}\otimes \left\lbrace {\vec {v}}\otimes {\vec {w}}\right\rbrace \right]\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\,,\,{\vec {z}}\right){\Big \}}$ ;

     cette propriété étant vraie pour tout vecteur de chaque $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel considéré, on en déduit

«$\;\left\lbrace E\otimes F\right\rbrace \otimes G=E\otimes \left\lbrace F\otimes G\right\rbrace =E\otimes F\otimes G\;$» $\;{\big \{}$la mise entre parenthèses $\;{\big (}$ou crochets ou accolades${\big )}\;$ étant inutile${\big \}}\;$
avec «$\;E\otimes F\otimes G={\mathcal {L}}_{3}\!\left(E\times F\times G\,,\,\mathbb {R} \right)\;$ l'ensemble des formes trilinéaires de $\;E\times F\times G\;$».

     En itérant la propriété d'associativité on peut affirmer

«$\;\left\lbrace E_{1}\otimes \cdots \otimes E_{i}\otimes \cdots \otimes E_{k}\right\rbrace _{1\,<\,i\,<\,k}=\bigotimes _{i\,=\,1\,..\,k}E_{i}={\mathcal {L}}_{k}\!\left(\left\lbrace E_{1}\times \cdots \times E_{i}\times \cdots \times E_{k}\right\rbrace _{1\,<\,i\,<\,k}\,,\,\mathbb {R} \right)\;$»
avec «$\;{\mathcal {L}}_{k}\!\left(\left\lbrace E_{1}\times \cdots \times E_{i}\times \cdots \times E_{k}\right\rbrace _{1\,<\,i\,<\,k}\,,\,\mathbb {R} \right)={\mathcal {L}}_{k}\!\left(\prod _{i\,=\,1\,..\,k}E_{i}\,,\,\mathbb {R} \right)\;$ l'ensemble des formes k-linéaires de $\;\prod _{i\,=\,1\,..\,k}E_{i}\;$».

Le corps des réels, élément « neutre » de la multiplication tensorielle

     «$\;\mathbb {R} \;$ étant un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;1=3^{\,0}\;$», on peut, avec un «$\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ de dimension $\;3\;$», définir deux produits tensoriels :

• «$\;\mathbb {R} \otimes E=\left\lbrace a\otimes {\vec {v}},\;\;\forall \;\left(a\,,\,{\vec {v}}\right)\in \mathbb {R} \times E\right\rbrace \;$» avec le produit tensoriel «$\;a\otimes {\vec {v}}\;$» défini selon «$\;\forall \;\left(\lambda \,,\,{\vec {y}}\right)\in \mathbb {R} \times E$, $\;\left\lbrace a\otimes {\vec {v}}\right\rbrace \left(\lambda \,,\,{\vec {y}}\right)=\langle a\,,\,\lambda \rangle _{\mathbb {R} }\;\langle {\vec {v}}\,,\,{\vec {y}}\rangle _{E}\;$ $=\left(a\;\lambda \right)\left({\vec {v}}\cdot _{E}{\vec {y}}\right)\in \mathbb {R} \;$» s'écrivant encore «$\;\left(a\;{\vec {v}}\right)\cdot _{E}\left(\lambda \;{\vec {y}}\right)\;$» soit finalement $\;\forall \;{\vec {y'}}\in E$ $\;{\big [}$avec $\;{\vec {y'}}=\left(\lambda \;{\vec {y}}\right){\big ]}$, se réécrivant sous la forme «$\;{\vec {v'}}\cdot _{E}{\vec {y'}}$» $\;{\big [}$avec $\;{\vec {v'}}=\left(a\;{\vec {v}}\right)\in E{\big ]}\;$ c'est-à-dire «$\;\forall \;\left(\lambda \,,\,{\vec {y}}\right)\in \mathbb {R} \times E$, $\;\left\lbrace a\otimes {\vec {v}}\right\rbrace \left(\lambda \,,\,{\vec {y}}\right)={\vec {v'}}\cdot _{E}{\vec {y'}}\;$ si $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {v'}}=a\;{\vec {v}}\in E&{\text{unique}}\\{\vec {y'}}=\lambda \;{\vec {y}}\in E&{\text{quelconque}}\end{array}}\right\rbrace \;$»
  établissant que «$\;\mathbb {R} \otimes E\;$ est canoniquement (au sens de l'algèbre linéaire) isomorphe à $\;E\;$» et
  permettant l'identification entre «$\;\mathbb {R} \otimes E\;$ et $\;E\;$» ;
• «$\;E\otimes \mathbb {R} =\left\lbrace {\vec {u}}\otimes b,\;\;\forall \;\left({\vec {u}}\,,\,b\right)\in E\times \mathbb {R} \right\rbrace \;$» avec le produit tensoriel «$\;{\vec {u}}\otimes b\;$» défini selon «$\;\forall \;\left({\vec {x}}\,,\,\mu \right)\in E\times \mathbb {R}$, $\;\left\lbrace {\vec {u}}\otimes b\right\rbrace \left({\vec {x}}\,,\,\mu \right)=\langle {\vec {u}}\,,\,{\vec {x}}\rangle _{E}\;\langle b\,,\,\mu \rangle _{\mathbb {R} }\;$ $=\left({\vec {u}}\cdot _{E}{\vec {x}}\right)\left(b\;\mu \right)\in \mathbb {R} \;$» s'écrivant encore «$\;\left(b\;{\vec {u}}\right)\cdot _{E}\left(\mu \;{\vec {x}}\right)\;$» soit finalement $\;\forall \;{\vec {x'}}\in E$ $\;{\big [}$avec $\;{\vec {x'}}=\left(\mu \;{\vec {x}}\right){\big ]}$, se réécrivant sous la forme «$\;{\vec {u'}}\cdot _{E}{\vec {x'}}$» $\;{\big [}$avec $\;{\vec {u'}}=\left(b\;{\vec {u}}\right)\in E{\big ]}\;$ c'est-à-dire «$\;\forall \;\left({\vec {x}}\,,\,\mu \right)\in E\times \mathbb {R}$, $\;\left\lbrace {\vec {u}}\otimes b\right\rbrace \left({\vec {x}}\,,\,\mu \right)={\vec {u'}}\cdot _{E}{\vec {x'}}\;$ si $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {u'}}=b\;{\vec {u}}\in E&{\text{unique}}\\{\vec {x'}}=\mu \;{\vec {x}}\in E&{\text{quelconque}}\end{array}}\right\rbrace \;$»
  établissant que «$\;E\otimes \mathbb {R} \;$ est canoniquement (au sens de l'algèbre linéaire) isomorphe à $\;E\;$» et
  permettant l'identification entre «$\;E\otimes \mathbb {R} \;$ et $\;E\;$».

     Propriété : Notant l'« identification de deux $\;\mathbb {R}$-espaces vectoriels canoniquement (au sens de l'algèbre linéaire) isomorphes par le symbole $\;{\underset {\text{isom.}}{\overset {\text{can.}}{\;=\;}}}\;$», nous en déduisons «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\mathbb {R} \otimes E\;{\underset {\text{isom.}}{\overset {\text{can.}}{\;=\;}}}\;E\;\left({\mathfrak {d}}\right)\\E\otimes \mathbb {R} \;{\underset {\text{isom.}}{\overset {\text{can.}}{\;=\;}}}\;E\;\left({\mathfrak {e}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$»,
     Propriété : la relation $\;\left({\mathfrak {d}}\right)\;$ traduisant que $\;\mathbb {R} \;$ est l'élément « neutre » de la multiplication tensorielle à gauche des $\;\mathbb {R}$-espaces vectoriels tridimensionnels et
     Propriété : la relation $\;\left({\mathfrak {e}}\right)\;$ traduisant que $\;\mathbb {R} \;$ est l'élément « neutre » de la multiplication tensorielle à droite des $\;\mathbb {R}$-espaces vectoriels tridimensionnels.

     Remarque : Si $\;\mathbb {R} \;$ est l'élément « neutre » de la multiplication tensorielle des $\;\mathbb {R}$-espaces vectoriels tridimensionnels $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\mathbb {R} \otimes E\otimes F\;{\underset {\text{isom.}}{\overset {\text{can.}}{\;=\;}}}\;E\otimes F\\E\otimes F\otimes \mathbb {R} \;{\underset {\text{isom.}}{\overset {\text{can.}}{\;=\;}}}\;E\otimes F\end{array}}\right\rbrace \;$ ${\big \{}E\;$ et $\;F$ : $\;\mathbb {R}$-espaces vectoriels tridimensionnels${\big \}}$,
     Remarque : un réel quelconque n'est usuellement pas élément neutre de sa multiplication tensorielle avec le produit tensoriel de deux vecteurs quelconques de $\;E\;$ et $\;F\;$ c'est-à-dire

«$\;\forall \;\left(a\,,\,{\vec {u}}\,,\,{\vec {v}}\right)\in \mathbb {R} \times E\times F\;$», «$\;a\otimes {\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\neq {\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\;$»
«$\;\color {transparent}{\forall \;\left(a\,,\,{\vec {u}}\,,\,{\vec {v}}\right)\in \mathbb {R} \times E\times F}\;$», «$\;{\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\otimes a\neq {\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\;$».

Puissance tensorielle d'un espace vectoriel tridimensionnel

     Le carré tensoriel du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ de dimension $\;3\;$ résultant de la multiplication tensorielle de $\;E\;$ par lui-même est défini par «$\;E\otimes E=\left\lbrace {\vec {u}}\otimes {\vec {v}},\;\;\forall \;\left({\vec {u}}\,,\,{\vec {v}}\right)\in E\times E\right\rbrace \;$» dans lequel le produit tensoriel «$\;{\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\;$» suit «$\;\forall \;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\in E\times E$, $\;\left\lbrace {\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\right\rbrace \left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)=\left({\vec {u}}\cdot _{E}{\vec {x}}\right)\left({\vec {v}}\cdot _{E}{\vec {y}}\right)\in \mathbb {R} \;$» $\;{\big [}$avec pour choix de forme bilinéaire non dégénérée de $\;E$, celle formée à l'aide de la multiplication scalaire $\;\cdot _{E}{\big ]}$,
     le carré tensoriel de $\;E\;$ se note, plus succinctement, «$\;E^{\,\otimes \,2}\;$» ou encore $\;{\big (}$mais plus rarement${\big )}\;$ «$\;\bigotimes _{2}E\;$» c'est aussi l'ensemble des formes bilinéaires définies sur $\;E\times E\;$ c'est-à-dire «$\;{\mathcal {L}}_{2}\!\left(E^{*}\times E^{*}\,,\,\mathbb {R} \right)\;$» ;

     la $\;k$^ème puissance tensorielle du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ de dimension $\;3\;$ notée «$\;E^{\,\otimes \,k}\;$» ou plus rarement «$\;\bigotimes _{k}E\;$» $\;{\big [}$avec $\;k\geqslant 3{\big ]}\;$ se définit à partir de la $\;(k-1)$^ème puissance tensorielle notée «$\;E^{\,\otimes \,(k-1)}\;$» ou plus rarement «$\;\bigotimes _{(k-1)}E\;$» selon «$\;E^{\,\otimes \,k}=E^{\,\otimes \,(k-1)}\otimes E\;$» $\;{\Big [}$ou «$\;\bigotimes _{k}E=\bigotimes _{(k-1)}E\;\otimes E\;$»${\Big ]}$,
     la $\;k$^ème puissance tensorielle de $\;E\;$ est aussi l'ensemble des formes k-linéaires de $\;\prod _{k}E\;$ soit «$\;{\mathcal {L}}_{k}\!\left(\prod _{k}E^{*}\,,\,\mathbb {R} \right)\;$» ;

     pour que «$\;E^{\,\otimes \,k}=\bigotimes _{k}E={\mathcal {L}}_{k}\!\left(\prod _{k}E^{*}\,,\,\mathbb {R} \right)\;$» soit définie $\;\forall \;k\;\in \;\mathbb {N}$, il reste à préciser la signification pour $\;k=1\;$ et $\;k=0$ :

• pour $\;k=1$, on doit avoir «$\;E^{\,\otimes \,1}=E\;$» en effet $\;E^{\,\otimes \,1}={\mathcal {L}}\!\left(E\,,\,\mathbb {R} \right)\;$ c'est-à-dire l'ensemble des formes linéaires de $\;E\;$ soit $\;E^{*}\;$ le dual de $\;E$ ;
• pour $\;k=0$, on pose «$\;E^{\,\otimes \,0}=\mathbb {R} \;$» pour que $\;E^{\,\otimes \,0}\;$ soit l'élément « neutre » de la puissance tensorielle.

     Avec toutes ces définitions on en déduit les deux propriétés suivantes «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}E^{\,\otimes \,k}\otimes E^{\,\otimes \,l}=E^{\,\otimes \,(k+l)}\\\left\lbrace E^{\,\otimes \,k}\right\rbrace ^{\,\otimes \,l}=E^{\,\otimes \,(k\,l)}\end{array}}\right\rbrace \;\forall \;\left(k\,,\,l\right)\;\in \mathbb {N} ^{2}\;$».

Dualité du produit tensoriel d'espaces vectoriels

     On admet que « la dualisation commute avec la multiplication tensorielle d'espaces vectoriels de dimension $\;3\;$» à savoir,

si $\;E\;$ et $\;F\;$ sont deux $\;\mathbb {R}$-espaces vectoriels quelconques de dimension $\;3$, on a «$\;\left\lbrace E\otimes F\right\rbrace ^{*}=E^{*}\otimes F^{*}\;$» ;

     on admet la « généralisation de la propriété ci-dessus à un nombre fini d'espaces vectoriels de dimension $\;3\;$» soit

«$\;\left\lbrace \bigotimes _{i\,=\,1\,..\,n}E_{i}\right\rbrace ^{\!*}=\bigotimes _{i\,=\,1\,..\,n}E_{i}^{*}\;$» dans laquelle $\;E_{i},\;\;\forall \;i\;\in \;\left[\left[1\,,\,n\right]\right]\;$ sont des $\;\mathbb {R}$-espaces vectoriels de dimension $\;3$.

Définition de tenseurs à l'aide de la notion de produit tensoriel d'espaces vectoriels tridimensionnels

Rappel sur la notion de produit tensoriel d'espaces vectoriels tridimensionnels

     Considérant « deux $\;\mathbb {R}$-espaces vectoriels tridimensionnels $\;E\;$ et $\;F\;$», nous avons défini le « produit tensoriel $\;E\otimes F\;$ de $\;E\;$ et $\;F\;$ noté $\;E\otimes F\;$» plus haut dans ce chapitre
     Considérant « deux $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espaces vectoriels tridimensionnels $\;\color {transparent}{E}\;$ et $\;\color {transparent}{F}\;$», comme « ensemble des éléments $\;{\vec {u}}\otimes {\vec {v}},\;\forall \;\left({\vec {u}}\,,\,{\vec {v}}\right)\;\in \;E\times F\;$» avec
     Considérant « deux $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espaces vectoriels tridimensionnels $\;\color {transparent}{E}\;$ et $\;\color {transparent}{F}\;$», «$\;\forall \;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\in E\times F$, $\;\left\lbrace {\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\right\rbrace \left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)=\langle {\vec {u}}\,,\,{\vec {x}}\rangle _{E}\;\langle {\vec {v}}\,,\,{\vec {y}}\rangle _{F}\in \mathbb {R} \;$»
     Considérant « deux $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espaces vectoriels tridimensionnels $\;\color {transparent}{E}\;$ et $\;\color {transparent}{F}\;$», dans laquelle $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\langle {\text{?}}_{1}\,,\,{\text{?}}_{2}\rangle _{E}\\\langle {\text{?}}_{3}\,,\,{\text{?}}_{4}\rangle _{F}\end{array}}\right\rbrace \;$ sont des formes bilinéaires non dégénérées de $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}E\times E\\F\times F\end{array}}\right\rbrace$ $\;{\bigg [}$comme par exemple la multiplication scalaire $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\text{?}}_{1}\,\cdot _{E}\,{\text{?}}_{2}\right)\\\left({\text{?}}_{3}\,\cdot _{F}\,{\text{?}}_{4}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ définie sur $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}E\\F\end{array}}\right\rbrace \;$ dans le cas où ces derniers sont euclidiens${\bigg ]}$ ;

     comme nous l'avons vu en « remarque 2 » du paragraphe « définition du produit tensoriel de deux espaces vectoriels tridimensionnels » plus haut dans ce chapitre, le « produit tensoriel $\;E\otimes F\;$ de $\;E\;$ et $\;F\;$ noté $\;E\otimes F\;$» est canoniquement isomorphe à l'ensemble des formes bilinéaires définies sur $\;E\times F\;$ soit «$\;E\otimes F\;{\underset {\text{isom.}}{\overset {\text{can.}}{\;=\;}}}\;{\mathcal {L}}_{2}\!\left(E^{*}\times F^{*}\,,\,\mathbb {R} \right)\;$» $\;{\bigg \{}{\begin{array}{c}E^{*}\\F^{*}\end{array}}\;$ étant les duaux respectifs de $\;{\begin{array}{c}E\\F\end{array}}{\bigg \}}$ ;

     la « forme bilinéaire définie sur $\;E\times F\;$» avec $\;\left({\vec {u}}\,,\,{\vec {v}}\right)\;\in \;E\times F\;$ «$\;{\vec {u}}\otimes {\vec {v}}\;\in \;E\otimes F\;$» définit le « produit tensoriel entre vecteurs de $\;E\;$ et $\;F\;$».

Construction des 1^ers tenseurs à l'aide de la notion de produit tensoriel d'espaces vectoriels

Rappel des tenseurs d'ordre zéro et un

     Les tenseurs d'ordre $\;0\;$ ou $\;1\;$ sont introduits uniquement dans le cadre de $\;\mathbb {R}$-espaces vectoriels de dimension $\;3\;$ et de leur dual, ces derniers seront noté $\;E\;$ et $\;E^{*}$.

     « Tout scalaire $\;{\big (}$c'est-à-dire tout élément de $\;\mathbb {R} \;$ qui est un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;1=3^{\,0}{\big )}\;$ est un tenseur d'ordre $\;0\;$», il n'est ni contravariant ni covariant mais « invariant » $\;{\big [}$voir le paragraphe « définition d'un tenseur d'ordre zéro » plus haut dans ce chapitre${\big ]}$ ;

« l'ensemble des tenseurs d'ordre $\;0\;$» est «$\;\mathbb {R} =E^{\,\otimes \,0}\;$» $\;{\big [}\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;3^{\,0}=1{\big ]}$.

     « Tout vecteur $\;{\big (}$c'est-à-dire tout élément du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ de dimension $\;3=3^{\,1}{\big )}\;$ est un tenseur d'ordre $\;1\;$ contravariant » $\;{\big [}$voir le paragraphe « définition et propriété d'un 1^er type de tenseur d'ordre un » plus haut dans ce chapitre${\big ]}$ ;

« l'ensemble des tenseurs d'ordre $\;1\;$ contravariants » est «$\;E=E^{\,\otimes \,1}\;$» $\;{\big [}\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;3^{\,1}=3{\big ]}$.

     « Tout covecteur $\;{\big (}$c'est-à-dire tout élément du dual $\;E^{*}\;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ de dimension $\;3=3^{\,1}{\big )}\;$» est un « tenseur d'ordre $\;1\;$ covariant », c'est aussi une forme linéaire de $\;E$ $\;{\big [}$voir le paragraphe « définition et propriété d'un 2^ème type de tenseur d'ordre un » plus haut dans ce chapitre${\big ]}$ ;

« l'ensemble des tenseurs d'ordre $\;1\;$ covariants » est «$\;E^{*}=\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,1}\;$» $\;{\big [}\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;3^{\,1}=3{\big ]}$.

Construction de tenseurs d'ordre deux

     Les tenseurs d'ordre $\;2\;$ sont construits ci-dessous comme produit tensoriel de deux tenseurs d'ordre $\;1$, donc comme élément d'un produit tensoriel de deux $\;\mathbb {R}$-espaces vectoriels choisis parmi $\;\left\lbrace E\,,\,E^{*}\right\rbrace$ :

• « Tout élément de $\;E\otimes E\;$ est un tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant », ce dernier étant encore le « produit tensoriel de $\;2\;$ tenseurs d'ordre $\;1\;$ contravariants » $\;{\big [}$voir une définition équivalente dans le paragraphe « définition et propriété d'un 1^er type de tenseur d'ordre deux » plus haut dans ce chapitre${\big ]}$ ; « l'ensemble des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants » est «$\;E\otimes E=E^{\,\otimes \,2}\;$» $\;{\big [}\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;3^{\,2}=9{\big ]}$.
• « Tout élément de $\;E^{*}\otimes E^{*}\;$ est un tenseur d'ordre $\;2\;$ covariant », ce dernier étant encore le « produit tensoriel de $\;2\;$ tenseurs d'ordre $\;1\;$ covariants », c'est aussi une « forme bilinéaire de $\;E^{*}\times E^{*}\;$» $\;{\Big [}$on rappelle que $\;E^{*}\otimes E^{*}\;{\underset {\text{isom.}}{\overset {\text{can.}}{\;=\;}}}\;{\mathcal {L}}_{2}\!\left(\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{*}\times \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{*}\,,\,\mathbb {R} \right)\;{\underset {\text{isom.}}{\overset {\text{can.}}{\;=\;}}}\;{\mathcal {L}}_{2}\!\left(E\times E\,,\,\mathbb {R} \right)\;$${\Big ]}$ $\;{\big [}$ces définitions équivalentes étant en accord avec celle du paragraphe « définition et propriété d'un 2^ème type de tenseur d'ordre deux » plus haut dans ce chapitre${\big ]}$ ; « l'ensemble des tenseurs d'ordre $\;2\;$ covariants » est «$\;E^{*}\otimes E^{*}=\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,2}\;$» $\;{\big [}\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;3^{\,2}=9{\big ]}$.
• « Tout élément de $\;E\otimes E^{*}\;$ est un tenseur d'ordre $\;2\;$ “ mixte ” », ce dernier étant encore le « produit tensoriel de deux tenseurs d'ordre $\;1\;$ l'un contravariant et l'autre covariant », c'est aussi une « forme bilinéaire de $\;E\times E^{*}\;$» $\;{\Big [}$on rappelle que $\;E\otimes E^{*}\;{\underset {\text{isom.}}{\overset {\text{can.}}{\;=\;}}}\;{\mathcal {L}}_{2}\!\left(E^{*}\times \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{*}\,,\,\mathbb {R} \right)\;{\underset {\text{isom.}}{\overset {\text{can.}}{\;=\;}}}\;{\mathcal {L}}_{2}\!\left(E^{*}\times E\,,\,\mathbb {R} \right)\;$${\Big ]}$ $\;{\big [}$ces définitions équivalentes étant en accord avec celle du paragraphe « définition et propriété d'un 3^ème type de tenseur d'ordre deux » plus haut dans ce chapitre${\big ]}$ ; « l'ensemble des tenseurs d'ordre $\;2\;$ “ mixtes ” » $\;{\big (}$contravariant à gauche et covariant à droite${\big )}\;$ est «$\;E\otimes E^{*}\;$» $\;{\big [}\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;3^{\,2}=9{\big ]}$.
• « Tout élément de $\;E^{*}\otimes E\;$ est un tenseur d'ordre $\;2\;$ “ mixte ” », ce dernier étant encore le « produit tensoriel de deux tenseurs d'ordre $\;1\;$ l'un covariant et l'autre contravariant », c'est aussi une « forme bilinéaire de $\;E^{*}\times E\;$» $\;{\Big [}$on rappelle que $\;E^{*}\otimes E\;{\underset {\text{isom.}}{\overset {\text{can.}}{\;=\;}}}\;{\mathcal {L}}_{2}\!\left(\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{*}\times E^{*}\,,\,\mathbb {R} \right)\;{\underset {\text{isom.}}{\overset {\text{can.}}{\;=\;}}}\;{\mathcal {L}}_{2}\!\left(E\times E^{*}\,,\,\mathbb {R} \right)\;$${\Big ]}$ $\;{\big [}$ces définitions équivalentes étant en accord avec celle du paragraphe « définition et propriété d'un 3^ème type de tenseur d'ordre deux » plus haut dans ce chapitre${\big ]}$ ; « l'ensemble des tenseurs d'ordre $\;2\;$ “ mixtes ” » $\;{\big (}$covariant à gauche et contravariant à droite${\big )}\;$ est «$\;E^{*}\otimes E\;$» $\;{\big [}\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;3^{\,2}=9{\big ]}$.

   Remarque : la multiplication dans $\;\mathbb {R} \;$ étant commutative, « tout tenseur d'ordre $\;2\;$ “ mixte ” de $\;E^{*}\otimes E\;$ est aussi un tenseur d'ordre $\;2\;$ “ mixte ” de $\;E\otimes E^{*}\;$» et réciproquement d'où

«$\;E^{*}\otimes E\;$ est donc canoniquement (au sens de l'algèbre linéaire) isomorphe à $\;E\otimes E^{*}\;$».

Construction de tenseurs d'ordre quelconque

     Il nous reste à construire des tenseurs d'ordre $\;p\;\in \mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace \;$ contravariants, covariants ou « mixtes » à partir des deux $\;\mathbb {R}$-espaces vectoriels tridimensionnels $\;E\;$ et $\;E^{*}\;$ ${\big (}$le dual de $\;E{\big )}$ :

• « Tout élément de $\;E^{\,\otimes \,p},\;p\;\in \mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace \;$ est un tenseur d'ordre $\;p\;$ contravariant », ce dernier étant encore le « produit tensoriel de $\;p\;$ tenseurs d'ordre $\;1\;$ contravariants » ; « l'ensemble des tenseurs d'ordre $\;p\;$ contravariants » est «$\;E^{\,\otimes \,p}\;$» $\;{\big [}\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;3^{\,p}{\big ]}$.
• « Tout élément de $\;\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,p},\;p\;\in \mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace \;$ est un tenseur d'ordre $\;p\;$ covariant », ce dernier étant encore le « produit tensoriel de $\;p\;$ tenseurs d'ordre $\;1\;$ covariants », c'est aussi une « forme p-linéaire de $\;\left(E^{*}\right)^{p}\;$» $\;{\Big [}$en effet $\;\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,p}\;{\underset {\text{isom.}}{\overset {\text{can.}}{\;=\;}}}\;{\mathcal {L}}_{p}\!\left(\left[\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{*}\right]^{p}\,,\,\mathbb {R} \right)\;{\underset {\text{isom.}}{\overset {\text{can.}}{\;=\;}}}\;{\mathcal {L}}_{p}\!\left(E^{\,p}\,,\,\mathbb {R} \right)\;$${\Big ]}$ ; « l'ensemble des tenseurs d'ordre $\;p\;$ covariants » est «$\;\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,p}\;$» $\;{\big [}\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;3^{\,p}{\big ]}$.
• « Tout élément de $\;E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)},\;k\,\in \left[\left[1\,,\,(p-1)\right]\right]\;$ est un tenseur d'ordre $\;p\;$ “ mixte ” », ce dernier étant encore le « produit tensoriel de $\;k\;$ tenseurs d'ordre $\;1\;$ contravariants et de $\;(p-k)\;$ tenseurs d'ordre $\;1\;$ covariants », c'est aussi une « forme p-linéaire de $\;E^{\,k}\times \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,(p-k)}\;$» $\;{\Big [}\!\Leftarrow$ $\;E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}\;{\underset {\text{isom.}}{\overset {\text{can.}}{\;=\;}}}\;{\mathcal {L}}_{p}\!\left(\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{k}\times \left[\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{*}\right]^{(p-k)}\,,\,\mathbb {R} \right)\;{\underset {\text{isom.}}{\overset {\text{can.}}{\;=\;}}}\;{\mathcal {L}}_{p}\!\left(\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{k}\times E^{\,(p-k)}\,,\,\mathbb {R} \right)\;$${\Big ]}$ ; « l'ensemble des tenseurs d'ordre $\;p\;$ “ mixtes ” $\;{\big (}$contravariant à gauche et covariant à droite${\big )}\;$» est «$\;\bigcup _{k\,=\,1\,..\,(p-1)}E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}\;$»,
                                                              $\;{\Big [}$chaque élément $\;E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}\;$ de la réunion étant un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;3^{\,p}{\Big ]}$.

     Remarque : compte-tenu de la commutativité de la multiplication dans $\;\mathbb {R}$, « un tenseur d'ordre $\;p\;$ “ mixte ” contravariant d'ordre partiel $\;k\;$ et covariant d'ordre partiel $\;(p-k)\;$» est « parfaitement défini dès que $\;k\;$ est fixé, ceci indépendamment de l'ordre d'apparition des $\;k\;$ espaces vectoriels $\;E\;$ et des $\;(p-k)\;$ duaux $\;E^{*}\;$» $\;{\big [}$« tous les produits tensoriels de $\;k\;$ espaces vectoriels $\;E\;$ et de $\;(p-k)\;$ duaux $\;E^{*}\;$» sont « canoniquement (au sens de l'algèbre linéaire) isomorphes entre eux » quel que soit leur ordre d'apparition${\big ]}$.

Composantes d'un tenseur

     Les tenseurs considérés ici étant les éléments des « produits tensoriels construits à partir d'un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel tridimensionnel $\;E\;$ et de son dual $\;E^{*}\;$», nous considérerons ces espaces vectoriels « euclidiens » avec

• la multiplication scalaire définie sur $\;E\;$ notée «$\;\cdot _{E}\;$» puis
• une forme bilinéaire non dégénérée définie sur $\;E^{*}\times E$, notée «$\;\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle \;$» et appelée « crochet de dualité » construite à l'aide de la multiplication scalaire sur $\;E\;$ telle que «$\;\forall \;\left({\vec {u}}\cdot _{E}\;\in \,E^{*}\,,\,{\vec {x}}\;\in \,E\right)\;$», «$\;\langle {\vec {u}}\cdot _{E}\,,\,{\vec {x}}\rangle ={\vec {u}}\cdot _{E}{\vec {x}}\;\in \mathbb {R} \;$»
  ${\Big [}$«$\;{\vec {u}}\cdot _{E}\;$» étant l'élément de $\;E^{*}\;$ en correspondance avec l'élément $\;{\vec {u}}\;$ de $\;E{\Big ]}$.

     Remarque de terminologie : bien que la règle en mathématiques soit de parler de « coordonnées de vecteur » et donc de « coordonnées de tenseur », nous remplaçons ici ces termes par « composantes de vecteur » et donc par « composantes de tenseur », réservant les termes « coordonnées » pour les points d'un espace affine $\;\ldots$

Définition d'une base de l'espace vectoriel tridimensionnel et de celle de son dual

     Soit «$\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$ une base orthonormée du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ tridimensionnel euclidien »,
     Soit «$\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$ vecteurs base tels que «$\;{\vec {b}}_{i}\cdot _{E}{\vec {b}}_{j}=\delta _{i,\,j}=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;{\text{si }}\;i\neq j\\1\;{\text{si }}\;i=j\end{array}}\right\rbrace \;\;\forall \;\left(i\,,\,j\right)\in \left\lbrace \left[\left[1\,,\,3\right]\right]\right\rbrace ^{2}\;$» $\;{\big (}$dans lequel $\;\delta _{i\,,\,j}\;$ est le symbole de Kronecker${\big )}$,
     Soit «$\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$ à cette base nous faisons correspondre, par utilisation du crochet de dualité entre $\;E\;$ et son dual $\;E^{*}$, une famille de $\;3\;$ covecteurs de ce dernier, ainsi,

     Soit «$\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$ aux « vecteurs $\;\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$» de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ de $\;E\;$, on associe les « covecteurs $\;\left({b'}_{\!1}={\vec {b}}_{1}\cdot _{E}\,,\,{b'}_{\!2}={\vec {b}}_{2}\cdot _{E}\,,\,{b'}_{\!3}={\vec {b}}_{3}\cdot _{E}\right)\;$ de $\;E^{*}\;$» définis par crochets de dualité entre chacun d'entre eux et chaque vecteur de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ : «$\;\langle {b'}_{\!i}\,,\,{\vec {b}}_{j}\rangle ={\vec {b}}_{i}\cdot _{E}{\vec {b}}_{j}=\delta _{i,\,j}\;\;\forall \;\left(i\,,\,j\right)\in \left\lbrace \left[\left[1\,,\,3\right]\right]\right\rbrace ^{2}\;$» d'où
     Soit «$\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$ l'« unicité des covecteurs $\;\left({b'}_{\!1}\,,\,{b'}_{\!2}\,,\,{b'}_{\!3}\right)\;$ construits à partir de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$» ; de plus

     Soit «$\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$ « ces covecteurs $\;\left({b'}_{\!1}\,,\,{b'}_{\!2}\,,\,{b'}_{\!3}\right)\;$ forment une famille libre de $\;E^{*}\;$» en effet, considérant la « forme linéaire nulle $\;\alpha _{1}\;{b'}_{\!1}+\alpha _{2}\;{b'}_{\!2}+\alpha _{3}\;{b'}_{\!3}=0_{E^{*}}\;$ de $\;E\;$», nous déduisons de la définition de ces covecteurs «$\;\left(\alpha _{1}=0\,,\,\alpha _{2}=0\,,\,\alpha _{3}=0\right)\;$» en appliquant cette forme linéaire nulle à chaque $\;{\vec {b}}_{j}\;$ $\Rightarrow$ «$\;0_{E^{*}}({\vec {b}}_{j})=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\alpha _{i}\;{b'}_{\!i}({\vec {b}}_{j})=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\alpha _{i}\;\langle {b'}_{\!i}\,,\,{\vec {b}}_{j}\rangle =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\alpha _{i}\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\cdot _{E}{\vec {b}}_{j}\right\rbrace =$ $\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\alpha _{i}\;\delta _{i\,,\,j}=\alpha _{j}\;$» soit, «$\;0_{E^{*}}({\vec {b}}_{j})\;$ étant nul $\;\forall \;j\;\in \;\left[\left[1\,,\,3\right]\right]\;$», «$\;\alpha _{j}=0,\;\;\forall \;j\;\in \;\left[\left[1\,,\,3\right]\right]\;$», enfin

     Soit «$\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$ « ces covecteurs $\;\left({b'}_{\!1}\,,\,{b'}_{\!2}\,,\,{b'}_{\!3}\right)\;$ forment également une famille génératrice dans la mesure où le nombre d'éléments de la famille libre est égal à la dimension de $\;E^{*}$,

on conclut donc que «$\;\left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {b'}_{\!1}\,,\,{b'}_{\!2}\,,\,{b'}_{\!3}\right\rbrace \;$ forme une base de $\;E^{*}\;$».

     Pour affirmer que «$\;\left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {b'}_{\!1}\,,\,{b'}_{\!2}\,,\,{b'}_{\!3}\right\rbrace \;$ est une base orthonormée du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E^{*}\;$ tridimensionnel euclidien », il faut, au préalable, définir la multiplication scalaire «$\;\cdot _{E^{*}}\;$» sur $\;E^{*}\;$ par exemple à l'aide des composantes de covecteurs de $\;E^{*}$ $\;{\big [}$ou des composantes de formes linéaires de $\;E{\big ]}\;$ sur la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ de $\;E^{*}\;$, selon

«$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\varphi =\varphi _{1}\;{b'}_{\!1}+\varphi _{2}\;{b'}_{\!2}+\varphi _{3}\;{b'}_{\!3}\;\in \;E^{*},\;\;\left(\varphi _{1}\,,\,\varphi _{2}\,,\,\varphi _{3}\right)\;\in \;\mathbb {R} ^{3}\\\psi =\psi _{1}\;{b'}_{\!1}+\psi _{2}\;{b'}_{\!2}+\psi _{3}\;{b'}_{\!3}\;\in \;E^{*},\;\;\left(\psi _{1}\,,\,\psi _{2}\,,\,\psi _{3}\right)\;\in \;\mathbb {R} ^{3}\end{array}}\right\rbrace$», «$\;\varphi \cdot _{E^{*}}\psi =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\varphi _{i}\;\psi _{i}\;$»,
cette définition contenant le caractère orthonormé de la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ car «$\;{b'}_{\!i}\cdot _{E^{*}}{b'}_{\!j}=\delta _{i\,,\,j}\;$» $\;{\big (}$symbole de Kronecker${\big )}$.

Construction d'une base pour chaque produit tensoriel d'espaces vectoriels formé à partir d'un espace vectoriel tridimensionnel et de son dual

Bases pour les espaces vectoriels dont les éléments sont des tenseurs d'ordre deux

     « Les $\;\mathbb {R}$-espaces vectoriels contenant les tenseurs d'ordre $\;2\;$ sont de dimension $\;3^{2}=9\;$» $\;{\big [}\!\Leftrightarrow$ « toute famille libre de $\;9\;$ tenseurs d'ordre $\;2\;$ constituera une base de l'espace vectoriel en question »${\big ]}$, ce sont :

• «$\;E\otimes E\;$ ensemble des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants » avec pour base «$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}=\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace _{\left({\vec {b}}_{i}\,,\,{\vec {b}}_{j}\right)\,\in \,\left\lbrace B\right\rbrace ^{2},\,\forall \,\left(i\,,\,j\right)\,\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]}\;$»,
• «$\;E^{*}\otimes E^{*}\;$ ensemble des tenseurs d'ordre $\;2\;$ covariants » avec pour base «$\;\left\lbrace {b'}_{\!i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}=\left\lbrace {b'}_{\!i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace _{\left({b'}_{\!i}\,,\,{b'}_{\!j}\right)\,\in \,\left\lbrace B'\right\rbrace ^{2},\,\forall \,\left(i\,,\,j\right)\,\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]}\;$» et
• «$\;E\otimes E^{*}$ $\;{\big [}$ou $\;E^{*}\otimes E\;$ canoniquement (au sens de l'algèbre linéaire) isomorphe${\big ]}\;$ ensemble des tenseurs d'ordre $\;2\;$ “ mixtes ” » avec pour base la famille libre «$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$ $=\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace _{\left({\vec {b}}_{i}\,,\,{b'}_{\!j}\right)\,\in \,\left\lbrace B\right\rbrace \,\times \,\left\lbrace B'\right\rbrace ,\,\forall \,\left(i\,,\,j\right)\,\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]}\;$».

Bases pour les espaces vectoriels dont les éléments sont des tenseurs d'ordre p

     « Les $\;\mathbb {R}$-espaces vectoriels contenant les tenseurs d'ordre $\;p>2\;$ sont de dimension $\;3^{\,p}\;$» $\;{\big [}\!\Leftrightarrow$ « toute famille libre de $\;3^{\,p}\;$ tenseurs d'ordre $\;p\;$ constituera une base de l'espace vectoriel en question »${\big ]}$, ce sont :

• «$\;E^{\,\otimes \,p}\;$ ensemble des tenseurs d'ordre $\;p\;$ contravariants » avec pour base «$\;\left\lbrace {\underset {1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,p}{\otimes }}\;{\vec {b}}_{i_{k}}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i_{k}\,\leqslant \,3,\,\forall \,k\,\in \left[\left[1\,,\,p\right]\right]}=\left\lbrace {\underset {1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,p}{\otimes }}\;{\vec {b}}_{i_{k}}\right\rbrace _{{\vec {b}}_{i_{k}}\,\in \,\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\forall \,i_{k}\,\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right],\,\forall \,k\,\in \left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\;$»,
• «$\;\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,p}\;$ ensemble des tenseurs d'ordre $\;p\;$ covariants » avec pour base «$\;\left\lbrace {\underset {1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,p}{\otimes }}\;{b'}_{\!i_{k}}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i_{k}\,\leqslant \,3,\,\forall \,k\,\in \left[\left[1\,,\,p\right]\right]}=\left\lbrace {\underset {1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,p}{\otimes }}\;{b'}_{\!i_{k}}\right\rbrace _{{b'}_{\!i_{k}}\,\in \,\left\lbrace B'\right\rbrace ,\,\forall \,i_{k}\,\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right],\,\forall \,k\,\in \left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\;$» et
• «$\;E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)},\;k\,\in \left[\left[1\,,\,(p-1)\right]\right]\;$ $\;{\big [}$ou n'importe quel produit tensoriel de $\;E\;$ et $\;E^{*}\;$ contenant $\;k\;$ fois le 1^er et $\;(p-k)\;$ fois le 2^nd, canoniquement (au sens de l'algèbre linéaire) isomorphe${\big ]}\;$ ensemble des tenseurs d'ordre $\;p\;$ “ mixtes ” $\;k$-contravariant et $\;(p-k)$-covariant » avec pour base la famille libre «$\;\left\lbrace {\overset {1\,\leqslant \,l\,\leqslant \,k}{\underset {k+1\,\leqslant \,m\,\leqslant \,p}{\otimes }}}\;{\vec {b}}_{i_{l}}\otimes {b'}_{\!j_{m}}\right\rbrace _{\begin{array}{|l l|}1\,\leqslant \,i_{l}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,l\,\in \left[\left[1\,,\,k\right]\right]\\1\,\leqslant \,j_{m}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,m\,\in \left[\left[k+1\,,\,p\right]\right]\end{array}}=$ $\left\lbrace {\overset {1\,\leqslant \,l\,\leqslant \,k}{\underset {k+1\,\leqslant \,m\,\leqslant \,p}{\otimes }}}\;{\vec {b}}_{i_{l}}\otimes {b'}_{\!j_{m}}\right\rbrace _{\begin{array}{|l l l|}\,{\vec {b}}_{i_{l}}\,\in \,\left\lbrace B\right\rbrace ,&\!\!\forall \,i_{l}\,\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right],&\!\!\forall \,l\,\in \left[\left[1\,,\,k\right]\right]\,\\\,{b'}_{\!i_{m}}\,\in \,\left\lbrace B'\right\rbrace ,&\!\!\forall \,i_{m}\,\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right],&\!\!\forall \,m\,\in \left[\left[k+1\,,\,p\right]\right]\,\end{array}}\;$».

Définition des composantes d'un tenseur d'un produit tensoriel d'espaces vectoriels formé à partir d'un espace vectoriel tridimensionnel et de son dual

Composantes d'un tenseur d'ordre deux

     Il s'agit des « composantes d'un tenseur décomposé sur la base du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel nonadimensionnel auquel il appartient » soit :

• pour un « tenseur $\;{\mathcal {T}}\;$ d'ordre $\;2\;$ contravariant $\;\in E\otimes E\;$» dans lequel la base «$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}\;$» a été choisie, on obtient la décomposition de $\;{\mathcal {T}}\;$ sur cette base selon «$\;{\mathcal {T}}=\sum \limits _{\begin{array}{c}i\,=\,1\,..\,3\\j\,=\,1\,..\,3\end{array}}{\mathcal {T}}_{i,\,j}\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ $\;9\;$ composantes de $\;{\mathcal {T}}$ «$\;\left({\mathcal {T}}_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$», qualifiées de « contravariantes »,
• pour un « tenseur $\;{\mathcal {S}}\;$ d'ordre $\;2\;$ covariant $\;\in E^{*}\otimes E^{*}\;$» dans lequel la base «$\;\left\lbrace {b'}_{\!i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}\;$» a été choisie, on obtient la décomposition de $\;{\mathcal {S}}\;$ sur cette base selon «$\;{\mathcal {S}}=\sum \limits _{\begin{array}{c}i\,=\,1\,..\,3\\j\,=\,1\,..\,3\end{array}}{\mathcal {S}}_{i,\,j}\;\left\lbrace {b'}_{i}\otimes {b'}_{j}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ $\;9\;$ composantes de $\;{\mathcal {S}}$ «$\;\left({\mathcal {S}}_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$», qualifiées de « covariantes » et
• pour un « tenseur $\;{\mathcal {R}}\;$ d'ordre $\;2\;$ “ mixte ” $\;\in E\otimes E^{*}\;$» dans lequel la base «$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}\;$» a été choisie, on obtient la décomposition de $\;{\mathcal {R}}\;$ sur cette base selon «$\;{\mathcal {R}}=\sum \limits _{\begin{array}{c}i\,=\,1\,..\,3\\j\,=\,1\,..\,3\end{array}}{\mathcal {R}}_{i,\,j}\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ $\;9\;$ composantes de $\;{\mathcal {R}}$ «$\;\left({\mathcal {R}}_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$», qualifiées de “ mixtes ”.

Composantes d'un tenseur d'ordre p

     Il s'agit des « composantes d'un tenseur décomposé sur la base du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;3^{\,p}$-dimensionnel auquel il appartient » soit :

• pour un « tenseur $\;{\mathcal {T}}\;$ d'ordre $\;p\;$ contravariant $\;\in E^{\,\otimes \,p}\;$» dans lequel la base «$\;\left\lbrace {\underset {1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,p}{\otimes }}\;{\vec {b}}_{i_{k}}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i_{k}\,\leqslant \,3,\,\forall \,k\,\in \left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\;$» a été choisie, on obtient la décomposition de $\;{\mathcal {T}}\;$ sur cette base selon «$\;{\mathcal {T}}=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{k},\,..\,i_{p}\right)}{\mathcal {T}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i_{1}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{k}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{p}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ $\;3^{\,p}$ composantes «$\;\left({\mathcal {T}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\right)_{\;\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{k},\,..\,i_{p}\right)}$», qualifiées de « contravariantes »,
• pour un «tenseur $\;{\mathcal {S}}\;$ d'ordre $\;p\;$ covariant $\;\in \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,p}\;$» dans lequel la base «$\;\left\lbrace {\underset {1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,p}{\otimes }}\;{b'}_{\!i_{k}}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i_{k}\,\leqslant \,3,\,\forall \,k\,\in \left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\;$» a été choisie, on obtient la décomposition de $\;{\mathcal {S}}\;$ sur cette base selon «$\;{\mathcal {S}}=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{k},\,..\,i_{p}\right)}{\mathcal {S}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\;\left\lbrace {b'}_{\!i_{1}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{k}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{p}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ $\;3^{\,p}$ composantes «$\;\left({\mathcal {S}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\right)_{\;\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{k},\,..\,i_{p}\right)}$», qualifiées de « covariantes » et
• pour un « tenseur $\;{\mathcal {R}}\;$ d'ordre $\;p\;$ « mixte » $\;k$-contravariant et $\;(p-k)$-covariant $\;\in E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)},\;k\,\in \left[\left[1\,,\,(p-1)\right]\right]\;$» avec «$\;\left\lbrace {\overset {1\,\leqslant \,l\,\leqslant \,k}{\underset {k+1\,\leqslant \,m\,\leqslant \,p}{\otimes }}}\;{\vec {b}}_{i_{l}}\otimes {b'}_{\!j_{m}}\right\rbrace _{\begin{array}{|l l|}1\,\leqslant \,i_{l}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,l\,\in \left[\left[1\,,\,k\right]\right]\\1\,\leqslant \,j_{m}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,m\,\in \left[\left[k+1\,,\,p\right]\right]\end{array}}\;$» choisie comme base, on obtient la décomposition de $\;{\mathcal {R}}\;$ sur cette base selon «$\;{\mathcal {R}}=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{l},\,..\,i_{k},\,i_{(k+1)}\,..\,i_{m},\,..\,i_{p}\right)}{\mathcal {R}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{l},\,\cdots \,i_{k},\,i_{(k+1)},\,\cdots \,i_{m},\,\cdots \,i_{p}}\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i_{1}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{l}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{k}}\,\otimes \,{b'}_{\!i_{(k+1)}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{m}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{p}}\right\rbrace \;$»
  $\Downarrow$
  $\;3^{\,p}$ composantes «$\;\left({\mathcal {R}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{l},\,\cdots \,i_{k},\,i_{(k+1)},\,\cdots \,i_{m},\,\cdots \,i_{p}}\right)_{\qquad \in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{l},\,..\,i_{k},\,i_{(k+1)}\,..\,i_{m},\,..\,i_{p}\right)}$», qualifiées de “ mixtes «$\;k$-contravariantes et $\;(p-k)$-covariantes ».

Produit scalaire de deux vecteurs de l'ensemble des tenseurs d'ordre p contravariants, covariants ou « k-contravariants et (p - k)-covariants » formé à partir d'un même espace vectoriel et de son dual, conséquence sur la base choisie

Rappel sur les bases de l'espace vectoriel tridimensionnel euclidien et de son dual

     Ayant choisi une « base orthonormée $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ tridimensionnel euclidien », telle que «$\;{\vec {b}}_{i}\cdot _{E}{\vec {b}}_{j}=\delta _{i,\,j}=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;{\text{si }}\;i\neq j\\1\;{\text{si }}\;i=j\end{array}}\right\rbrace \;\;\forall \;\left(i\,,\,j\right)\in \left\lbrace \left[\left[1\,,\,3\right]\right]\right\rbrace ^{2}\;$» $\;{\big (}\delta _{i\,,\,j}\;$ étant le symbole de Kronecker${\big )}$, puis
     Ayant construit une « base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {b'}_{\!1}\,,\,{b'}_{\!2}\,,\,{b'}_{\!3}\right\rbrace \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E^{*}\;$ tridimensionnel euclidien, dual de $\;E\;$», chaque élément de cette base étant une forme linéaire de $\;E\;$ telle que «$\;{b'}_{\!i}\left({\vec {b}}_{j}\right)=$ $\delta _{i,\,j}=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;{\text{si }}\;i\neq j\\1\;{\text{si }}\;i=j\end{array}}\right\rbrace \;\;\forall \;\left(i\,,\,j\right)\in \left\lbrace \left[\left[1\,,\,3\right]\right]\right\rbrace ^{2}\;$» $\;{\big (}\delta _{i\,,\,j}\;$ étant le symbole de Kronecker${\big )}$, on a ensuite
     Ayant défini la multiplication scalaire «$\;\cdot _{E^{*}}\;$» sur $\;E^{*}\;$ selon «$\;\varphi \cdot _{E^{*}}\psi =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\varphi _{i}\;\psi _{i}\;$» avec «$\;\left(\varphi \,,\,\psi \right)\;\in \;\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{2}\;$ et $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\varphi =\varphi _{1}\;{b'}_{\!1}+\varphi _{2}\;{b'}_{\!2}+\varphi _{3}\;{b'}_{\!3},\;\;\left(\varphi _{1}\,,\,\varphi _{2}\,,\,\varphi _{3}\right)\;\in \;\mathbb {R} ^{3}\\\psi =\psi _{1}\;{b'}_{\!1}+\psi _{2}\;{b'}_{\!2}+\psi _{3}\;{b'}_{\!3},\;\;\left(\psi _{1}\,,\,\psi _{2}\,,\,\psi _{3}\right)\;\in \;\mathbb {R} ^{3}\end{array}}\right\rbrace \;$», ceci permettant de conclure au caractère orthonormé de la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ car «$\;{b'}_{\!i}\cdot _{E^{*}}{b'}_{\!j}=\delta _{i,\,j}=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;{\text{si }}\;i\neq j\\1\;{\text{si }}\;i=j\end{array}}\right\rbrace \;\;\forall \;\left(i\,,\,j\right)\in \left\lbrace \left[\left[1\,,\,3\right]\right]\right\rbrace ^{2}\;$».

Produits scalaires de deux vecteurs du même ensemble des tenseurs d'ordre 2 contravariants, covariants ou mixtes et déduction du caractère orthonormé des bases y étant définies

• Dans le «$\;\mathbb {R}$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;E^{\,\otimes \,2}\;$ des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants » de base «$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$», on définit
  Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,2}}\;$ la multiplication scalaire «$\;\cdot _{E^{\,\otimes \,2}}\;$» entre deux vecteurs $\;\left({\mathcal {T}}\,,\,{\mathcal {T}}'\right)\;$ de $\;E^{\,\otimes \,2}$ tels que $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\mathcal {T}}=\sum \limits _{\begin{array}{c}i\,=\,1\,..\,3\\j\,=\,1\,..\,3\end{array}}{\mathcal {T}}_{i,\,j}\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace \\{\mathcal {T}}'=\sum \limits _{\begin{array}{c}i\,=\,1\,..\,3\\j\,=\,1\,..\,3\end{array}}{{\mathcal {T}}'}_{\!i,\,j}\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace \end{array}}\right\rbrace \;$ par «$\;{\mathcal {T}}\cdot _{E^{\,\otimes \,2}}{\mathcal {T}}'=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,i_{2}\right)}{\mathcal {T}}_{i_{1},\,i_{2}}\;{{\mathcal {T}}'}_{\!i_{1},\,i_{2}}\;$» Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,2}}\;$ d'où le produit scalaire entre deux vecteurs de base «$\;\left({\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right)\,\cdot _{E^{\,\otimes \,2}}\left({\vec {b}}_{i'}\otimes {\vec {b}}_{j'}\right)=\delta _{i\,,\,i'}\;\delta _{j\,,\,j'}\;$» et par suite
  Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,2}}\;$ le caractère orthonormé de la base «$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$» de $\;E^{\,\otimes \,2}\;$ ainsi que le caractère euclidien de ce dernier ;
• dans le «$\;\mathbb {R}$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,2}\;$ des tenseurs d'ordre $\;2\;$ covariants » de base «$\;\left\lbrace {b'}_{\!i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$», on définit
  Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,2}}\;$ la multiplication scalaire «$\;\cdot _{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,2}}\;$» entre vecteurs quelconques $\;\left({\mathcal {S}}\,,\,{\mathcal {S}}'\right)\;$ de $\;\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,2}$ tels que $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\mathcal {S}}=\sum \limits _{\begin{array}{c}i\,=\,1\,..\,3\\j\,=\,1\,..\,3\end{array}}{\mathcal {S}}_{i,\,j}\;\left\lbrace {b'}_{\!i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace \\{\mathcal {S}}'=\sum \limits _{\begin{array}{c}i\,=\,1\,..\,3\\j\,=\,1\,..\,3\end{array}}{{\mathcal {S}}'}_{\!i,\,j}\;\left\lbrace {b'}_{\!i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace \end{array}}\right\rbrace \;$ par «$\;{\mathcal {S}}\cdot _{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,2}}{\mathcal {S}}'=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,i_{2}\right)}{\mathcal {S}}_{i_{1},\,i_{2}}\;{{\mathcal {S}}'}_{\!i_{1},\,i_{2}}\;$» Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,2}}\;$ d'où le produit scalaire entre deux vecteurs de base «$\;\left({b'}_{\!i}\otimes {b'}_{\!j}\right)\,\cdot _{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,2}}\left({b'}_{\!i'}\otimes {b'}_{\!j'}\right)=\delta _{i\,,\,i'}\;\delta _{j\,,\,j'}\;$» et par suite
  Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,2}}\;$ le caractère orthonormé de la base «$\;\left\lbrace {b'}_{\!i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$» de $\;\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,2}\;$ ainsi que le caractère euclidien de ce dernier ;
• dans le «$\;\mathbb {R}$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;E\otimes E^{*}\;$ des tenseurs d'ordre $\;2\;$ “ mixtes ” » de base «$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$», on définit
      Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{E\otimes E^{*}}\;$ la multiplication scalaire «$\;\cdot _{E\,\otimes \,E^{*}}\;$» entre vecteurs quelconques $\;\left({\mathcal {R}}\,,\,{\mathcal {R}}'\right)\;$ de $\;E\otimes E^{*}$ tels que $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\mathcal {R}}=\sum \limits _{\begin{array}{c}i\,=\,1\,..\,3\\j\,=\,1\,..\,3\end{array}}{\mathcal {R}}_{i,\,j}\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace \\{\mathcal {R}}'=\sum \limits _{\begin{array}{c}i\,=\,1\,..\,3\\j\,=\,1\,..\,3\end{array}}{{\mathcal {R}}'}_{\!i,\,j}\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace \end{array}}\right\rbrace \;$ par «$\;{\mathcal {R}}\cdot _{E\,\otimes \,E^{*}}{\mathcal {R}}'=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,i_{2}\right)}{\mathcal {R}}_{i_{1},\,i_{2}}\;{{\mathcal {R}}'}_{\!i_{1},\,i_{2}}\;$»     Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{E\otimes E^{*}}\;$ d'où le produit scalaire entre deux vecteurs de base «$\;\left({\vec {b}}_{i}\otimes {b'}_{\!j}\right)\,\cdot _{E\,\otimes \,E^{*}}\left({\vec {b}}_{i'}\otimes {b'}_{\!j'}\right)=\delta _{i\,,\,i'}\;\delta _{j\,,\,j'}\;$» et par suite
      Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{E\otimes E^{*}}\;$ le caractère orthonormé de la base «$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$» de $\;E\otimes E^{*}\;$ ainsi que le caractère euclidien de ce dernier.

Produits scalaires de deux vecteurs du même ensemble des tenseurs d'ordre p contravariants, covariants ou « k-contravariants et (p - k)-covariants », déduction du caractère orthonormé des bases y étant définies

• Dans le «$\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;3^{\,p}$-dimensionnel $\;E^{\,\otimes \,p}\;$ des tenseurs d'ordre $\;p\;$ contravariants » de base «$\;\left\lbrace {\underset {1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,p}{\otimes }}\;{\vec {b}}_{i_{k}}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i_{k}\,\leqslant \,3,\,\forall \,k\,\in \left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\;$», on définit
  Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$dimensionnel $\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,p}}\;$ la multiplication scalaire «$\;\cdot _{E^{\,\otimes \,p}}\;$» entre vecteurs quelconques $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\mathcal {T}}=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{k},\,..\,i_{p}\right)}{\mathcal {T}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i_{1}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{k}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{p}}\right\rbrace \\{\mathcal {T}}'=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{k},\,..\,i_{p}\right)}{{\mathcal {T}}'}_{\!i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i_{1}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{k}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{p}}\right\rbrace \end{array}}\right\rbrace \;$ de $\;E^{\,\otimes \,p}\;$ par «$\;{\mathcal {T}}\cdot _{E^{\,\otimes \,p}}{\mathcal {T}}'=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{k},\,..\,i_{p}\right)}{\mathcal {T}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\;{{\mathcal {T}}'}_{\!i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\;$» Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$dimensionnel $\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,p}}\;$ d'où le produit scalaire entre deux vecteurs de base de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre $\;p\;$ contravariants                     «$\;\left({\vec {b}}_{i_{1}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{k}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{p}}\right)\,\cdot _{E^{\,\otimes \,p}}\left({\vec {b}}_{{i'}_{\!1}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{{i'}_{\!k}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{{i'}_{\!p}}\right)=\delta _{i_{1}\,,\,{i'}_{\!1}}\;\cdots \;\delta _{i_{k}\,,\,{i'}_{\!k}}\;\cdots \;\delta _{i_{p}\,,\,{i'}_{\!p}}\;$» Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$dimensionnel $\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,p}}\;$ et par suite le caractère orthonormé de la base «$\;\left\lbrace {\underset {1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,p}{\otimes }}\;{\vec {b}}_{i_{k}}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i_{k}\,\leqslant \,3,\,\forall \,k\,\in \left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\;$» de $\;E^{\,\otimes \,p}\;$ ainsi que le caractère euclidien de ce dernier ;
• dans le «$\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;3^{\,p}$-dimensionnel $\;\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,p}\;$ des tenseurs d'ordre $\;p\;$ covariants » de base «$\;\left\lbrace {\underset {1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,p}{\otimes }}\;{b'}_{\!i_{k}}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i_{k}\,\leqslant \,3,\,\forall \,k\,\in \left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\;$», on définit
  Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$dimensionnel $\;\color {transparent}{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,p}}\;$ la multiplication scalaire «$\;\cdot _{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,p}}\;$» entre vecteurs $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\mathcal {S}}=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{k},\,..\,i_{p}\right)}{\mathcal {S}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\;\left\lbrace {b'}_{\!i_{1}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{k}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{p}}\right\rbrace \\{\mathcal {S}}'=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{k},\,..\,i_{p}\right)}{{\mathcal {S}}'}_{\!i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\;\left\lbrace {b'}_{\!i_{1}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{k}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{p}}\right\rbrace \end{array}}\right\rbrace \;$ de $\;\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,p}\;$ par «$\;{\mathcal {S}}\cdot _{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,p}}{\mathcal {S}}'=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{k},\,..\,i_{p}\right)}{\mathcal {S}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\;{{\mathcal {S}}'}_{\!i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\;$» Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$dimensionnel $\;\color {transparent}{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,p}}\;$ d'où le produit scalaire entre deux vecteurs de base de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre $\;p\;$ covariants                                     «$\;\left({b'}_{\!i_{1}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{k}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{p}}\right)\,\cdot _{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,p}}\left({b'}_{\!{i'}_{\!1}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!{i'}_{\!k}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!{i'}_{\!p}}\right)=\delta _{i_{1}\,,\,{i'}_{\!1}}\;\cdots \;\delta _{i_{k}\,,\,{i'}_{\!k}}\;\cdots \;\delta _{i_{p}\,,\,{i'}_{\!p}}\;$» Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$dimensionnel $\;\color {transparent}{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,p}}\;$ et par suite le caractère orthonormé de la base «$\;\left\lbrace {\underset {1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,p}{\otimes }}\;{b'}_{\!i_{k}}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i_{k}\,\leqslant \,3,\,\forall \,k\,\in \left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\;$» de $\;\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,p}\;$ ainsi que le caractère euclidien de ce dernier ;
• dans le «$\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;3^{\,p}$-dimensionnel “$\;E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}\;$” des tenseurs d'ordre $\;p\;$ “ mixtes ” $\;k$-contravariants et $\;(p-k)$-covariants »
               dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$-dimensionnel “$\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}}\;$” de base «$\;\left\lbrace {\overset {1\,\leqslant \,l\,\leqslant \,k}{\underset {k+1\,\leqslant \,m\,\leqslant \,p}{\otimes }}}\;{\vec {b}}_{i_{l}}\otimes {b'}_{\!j_{m}}\right\rbrace _{\begin{array}{|l l|}1\,\leqslant \,i_{l}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,l\,\in \left[\left[1\,,\,k\right]\right]\\1\,\leqslant \,j_{m}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,m\,\in \left[\left[k+1\,,\,p\right]\right]\end{array}}\;$», on définit
               dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$-dimensionnel “$\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}}\;$” la multiplication scalaire «$\;\cdot _{E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}}\;$» entre deux vecteurs quelconques de $\;E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}\;$ soit $\;\left({\begin{array}{c}{\mathcal {R}}=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{l},\,..\,i_{k},\,i_{(k+1)}\,..\,i_{m},\,..\,i_{p}\right)}{\mathcal {R}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{l},\,\cdots \,i_{k},\,i_{(k+1)},\,\cdots \,i_{m},\,\cdots \,i_{p}}\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i_{1}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{l}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{k}}\,\otimes \,{b'}_{\!i_{(k+1)}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{m}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{p}}\right\rbrace \\{\mathcal {R}}'=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{l},\,..\,i_{k},\,i_{(k+1)}\,..\,i_{m},\,..\,i_{p}\right)}{{\mathcal {R}}'}_{\!i_{1},\,\cdots \,i_{l},\,\cdots \,i_{k},\,i_{(k+1)},\,\cdots \,i_{m},\,\cdots \,i_{p}}\;\left\lbrace b_{i_{1}}\,\otimes \cdots \,b_{i_{l}}\,\otimes \cdots \,b_{i_{k}}\,\otimes \,{b'}_{i_{(k+1)}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{i_{m}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{i_{p}}\right\rbrace \end{array}}\right)\;$ par
               dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$-dimensionnel “$\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}}\;$” «$\;{\mathcal {R}}\cdot _{E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}}{\mathcal {R}}'=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\begin{array}{c}\left(i_{1},\,..\,i_{l},\,..\,i_{k},\right.\\\left.i_{(k+1)}\,..\,i_{m},\,..\,i_{p}\right)\end{array}}{\mathcal {R}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{l},\,\cdots \,i_{k},\,i_{(k+1)},\,\cdots \,i_{m},\,\cdots \,i_{p}}\;{{\mathcal {R}}'}_{\!i_{1},\,\cdots \,i_{l},\,\cdots \,i_{k},\,i_{(k+1)},\,\cdots \,i_{m},\,\cdots \,i_{p}}\;$»
               dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$-dimensionnel “$\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}}\;$” d'où le produit scalaire entre deux vecteurs de base du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;3^{\,p}$-dimensionnel $\;E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}\;$ des tenseurs d'ordre $\;p\;$ “ mixtes ” $\;k$-contravariants et $\;(p-k)$-covariants $\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i_{1}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{l}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{k}}\,\otimes \,{b'}_{\!i_{(k+1)}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{m}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{p}}\right\rbrace \,\cdot _{E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}}\left\lbrace {\vec {b}}_{{i'}_{\!1}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{{i'}_{\!l}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{{i'}_{\!k}}\,\otimes \,{b'}_{\!{i'}_{\!(k+1)}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!{i'}_{\!m}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!{i'}_{\!p}}\right\rbrace =$
                                                                                                                     $\delta _{i_{1}\,,\,{i'}_{\!1}}\;\cdots \;\delta _{i_{l}\,,\,{i'}_{\!l}}\;\cdots \;\delta _{i_{k}\,,\,{i'}_{\!k}}\;\cdots \;\delta _{i_{(k+1)}\,,\,{i'}_{\!(k+1)}}\;\cdots \;\delta _{i_{m}\,,\,{i'}_{\!m}}\;\cdots \;\delta _{i_{p}\,,\,{i'}_{\!p}}\;$              dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$-dimensionnel “$\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}}\;$” et par suite le caractère orthonormé de la base «$\;\left\lbrace {\overset {1\,\leqslant \,l\,\leqslant \,k}{\underset {k+1\,\leqslant \,m\,\leqslant \,p}{\otimes }}}\;{\vec {b}}_{i_{l}}\otimes {b'}_{\!j_{m}}\right\rbrace _{\begin{array}{|l l|}1\,\leqslant \,i_{l}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,l\,\in \left[\left[1\,,\,k\right]\right]\\1\,\leqslant \,j_{m}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,m\,\in \left[\left[k+1\,,\,p\right]\right]\end{array}}\;$» de l'espace vectoriel $\;E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}\;$ ainsi que le caractère euclidien de ce dernier.

Contraction tensorielle

     L'opération « contraction tensorielle » a pour effet, quand celle-ci est définie, de diminuer de $\;2\;$ l'ordre d'un tenseur, la C.N. pour qu'une « contraction tensorielle » soit définissable sur un tenseur est que ce dernier soit d'ordre $\;p\geqslant 2\;$ mais cette C.N. n'est pas une C.S. $\;\ldots$

Introduction à la contraction tensorielle

     Pour introduire cette opération nous allons d'abord revenir sur la notion de « crochet de dualité » $\;\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle \;$ qui est une forme bilinéaire non dégénérée définie sur $\;E^{*}\times E\;$ et construite

• à l'aide de la multiplication scalaire sur $\;E\;$ telle que «$\;\forall \;\left({\vec {x'}}\cdot _{E}\,\in E^{*}\,,\,{\vec {x}}\in E\right)$, $\;\langle {\vec {x'}}\cdot _{E}\,,\,{\vec {x}}\rangle ={\vec {x'}}\cdot _{E}\,{\vec {x}}\;\in \mathbb {R} \;$» ${\Big [}$«$\;{\vec {x'}}\cdot _{E}\;$» étant l'élément de $\;E^{*}\;$ associé à l'élément $\;{\vec {x'}}\;$ de $\;E{\Big ]}\;$ ou,
• sachant que tout élément $\;\varphi \;\in \;E^{*}\;$ est une forme linéaire de $\;E$, telle que «$\;\forall \;\left(\varphi \in E^{*}\,,\,{\vec {x}}\in E\right)$, $\;\langle \varphi \,,\,{\vec {x}}\rangle =\varphi ({\vec {x}})\;\in \mathbb {R} \;$» ;

     Pour introduire cette opération le « crochet de dualité » $\;\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle \;$ étant une forme bilinéaire $\;{\big (}$non dégénérée${\big )}\;$ de $\;E^{*}\times E\;$ est un tenseur d'ordre $\;2\;$ “ mixte ” de $\;E\otimes E^{*}\;$ encore appelé
     Pour introduire cette opération le « crochet de dualité » « tenseur de Kronecker » noté «$\;\delta \;$», s'exprimant en fonction de la base orthonormée «$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$» de $\;E\otimes E^{*}\;$ ou
                  Pour introduire cette opération le « crochet de dualité » « tenseur de Kronecker » noté «$\;\color {transparent}{\delta }\;$», s'exprimant en fonction de la base orthonormée «$\;\left\lbrace {b'}_{\!i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$» de $\;E^{*}\otimes E\;$ selon

«$\;\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle =\delta =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{b'}_{\!i}\otimes {\vec {b}}_{i}\;$» dont l'action
sur un couple de $\;E^{*}\times E\;$ engendre un scalaire ou encore
                                                        sur un couple de tenseurs d'ordre $\;1\;$ covariant et contravariant engendre un tenseur d'ordre $\;0$.

     Nous nous proposons de déterminer un opérateur qui aurait une action analogue à celle du « crochet de dualité » $\;{\big (}$ou « tenseur de Kronecker »${\big )}\;$ mais sur un tenseur d'ordre $\;2\;$ “ mixte ” comme $\;\varphi \otimes {\vec {x}}\;\in \;E^{*}\otimes E\;$ ${\big \{}$et non un couple de tenseurs d'ordre $\;1\;$ covariant et contravariant comme $\;\left(\varphi \,,\,{\vec {x}}\right)\in E^{*}\times E{\big \}}\;$ transformant le tenseur d'ordre $\;2\;$ “ mixte ” en tenseur d'ordre $\;0$.

Contraction tensorielle d'un tenseur d'ordre deux mixte

     Préliminaire : D'une part nous avons vu, au paragraphe « introduction à la constraction tensorielle » et note « ⁹² » plus haut dans ce chapitre, que l'image du « crochet de dualité » $\;{\big \{}$ou « tenseur de Kronecker » “ mixte ”${\big \}}\;$ d'un couple de tenseurs d'ordre $\;1\;$ covariant et contravariant comme $\;\left(\varpi \,,\,{\vec {y}}\right)\in E^{*}\times E\;$ s'écrit

«$\;\langle \varpi \,,\,{\vec {y}}\rangle =\delta (\varpi \,,\,{\vec {y}})=\varpi ({\vec {y}})=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\varpi _{i}\;y_{i}\;$»

     Préliminaire : D'une part dans laquelle $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\varpi _{i}\\y_{i}\end{array}}\right\rbrace _{i\,\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]}\;$ sont les composantes de $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\varpi \;\in E^{*}\\{\vec {y}}\;\in E\end{array}}\right\rbrace \;$ sur les vecteurs de base respectifs $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{b'}_{\!i}\\{\vec {b}}_{i}\end{array}}\right\rbrace _{i\,\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]}$ ;
     Préliminaire : d'autre part les $\;9\;$ composantes du tenseur d'ordre $\;2\;$ “ mixte ” $\;\varpi \otimes {\vec {y}}\;\in E^{*}\otimes E\;$ sur les vecteurs de base orthonormée «$\;\left\lbrace {b'}_{\!i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$» de $\;E^{*}\otimes E$ s'écrivant

«$\;\left(\varpi _{i}\;y_{j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$»

     Préliminaire : d'autre part ${\Bigg (}$car «$\;\varpi \otimes {\vec {y}}=\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\varpi _{i}\;{b'}_{\!i}\right]\otimes \left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,3}y_{j}\;{\vec {b}}_{j}\right]=\sum \limits _{\begin{array}{c}i\,=\,1\,..\,3\\j\,=\,1\,..\,3\end{array}}\varpi _{i}\;y_{j}\;\left\lbrace {b'}_{\!i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace \;$»${\Bigg )}$, nous remarquons que
     Préliminaire : l'image du « crochet de dualité » du couple $\;\left(\varpi \,,\,{\vec {y}}\right)\in E^{*}\times E\;$ «$\;\langle \varpi \,,\,{\vec {y}}\rangle \;$» c'est-à-dire «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\varpi _{i}\;y_{i}\;$»
     Préliminaire : l'image du « crochet de dualité » utilise $\;3\;$ des $\;9\;$ composantes du tenseur d'ordre $\;2\;$ “ mixte ” $\;\varpi \otimes {\vec {y}}\;\in E^{*}\otimes E\;$ c'est-à-dire «$\;\left(\varpi _{i}\;y_{j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$» sur les vecteurs de base orthonormée de $\;E^{*}\otimes E\;$ d'où
     Préliminaire : la définition de la contraction tensorielle du tenseur d'ordre $\;2\;$ “ mixte ” $\;\varpi \otimes {\vec {y}}\;\in E^{*}\otimes E\;$ permettant l'identification du tenseur contracté d'ordre $\;0\;$ avec l'image du « crochet de dualité » du couple $\;\left(\varpi \,,\,{\vec {y}}\right)\in E^{*}\times E$ $\;\ldots$

Contraction tensorielle d'un tenseur d'ordre deux mixte

     Réaliser la contraction tensorielle de $\;{\mathcal {R}}\;$ un tenseur d'ordre $\;2\;$ « mixte » de $\,E^{*}\otimes E$ $\;{\big [}$ou de $\,E\otimes E^{*}{\big ]}\;$ ayant pour composantes sur la base de l'espace considéré «$\;\left({\mathcal {R}}_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$» c'est lui associer le tenseur d'ordre $\;0\;$ «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\mathcal {R}}_{i,\,i}\;\in \;\mathbb {R} \;$».

Contraction tensorielle d'un tenseur d'ordre p mixte

     Pour que l'opération de contraction tensorielle définie sur $\;E\otimes E^{*}\;$ se généralise à $\;E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}\;$, il faut que l'ordre $\;p\;$ du tenseur à contracter soit $\;\geqslant 2\;$ et
                  Pour que l'opération de contraction tensorielle définie sur $\;\color {transparent}{E\otimes E^{*}}\;$ se généralise à $\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}}$, il suffit que ce tenseur soit « mixte » c'est-à-dire que $\;k\in \left[\left[1\,,\,(p-1)\right]\right]$.

Contraction tensorielle d'un tenseur d'ordre p mixte

     Réaliser une contraction tensorielle d'un tenseur d'ordre $\;p\;$ « mixte » du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel “$\;E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}\;$”, $\;{\mathcal {R}}\;$ de composantes sur «$\;\left\lbrace {\overset {1\,\leqslant \,l\,\leqslant \,k}{\underset {k+1\,\leqslant \,m\,\leqslant \,p}{\otimes }}}\;{\vec {b}}_{i_{l}}\otimes {b'}_{\!j_{m}}\right\rbrace _{\begin{array}{|l l|}1\,\leqslant \,i_{l}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,l\,\in \left[\left[1\,,\,k\right]\right]\\1\,\leqslant \,j_{m}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,m\,\in \left[\left[k+1\,,\,p\right]\right]\end{array}}\;$» la base orthonormée de $\;E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}\;$ «$\;\left({\mathcal {R}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{l},\,\cdots \,i_{k},\,i_{(k+1)},\,\cdots \,i_{m},\,\cdots \,i_{p}}\right)_{\begin{array}{|l l|}1\,\leqslant \,i_{l}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,l\,\in \left[\left[1\,,\,k\right]\right]\\1\,\leqslant \,j_{m}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,m\,\in \left[\left[k+1\,,\,p\right]\right]\end{array}}\;$» c'est
     lui associer un tenseur d'ordre $\;(p-2)\;$ de “$\;E^{\,\otimes \,(k-1)}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k-1)}\;$” avec pour composantes sur la base orthonormée de ce dernier «$\;\left\lbrace {\overset {s\,\in \,\left[\left[1\,,\,(l-1)\right]\right]\,\cup \,\left[\left[(l+1)\,,\,k\right]\right]}{\underset {t\,\in \,\left[\left[(k+1)\,,\,(m-1)\right]\right]\,\cup \,\left[\left[(m+1)\,,\,p\right]\right]}{\otimes }}}\;{\vec {b}}_{i_{s}}\otimes {b'}_{\!j_{t}}\right\rbrace _{\begin{array}{|l l|}1\,\leqslant \,i_{s}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,s\,\in \left[\left[1\,,\,l-1\right]\right]\,\cup \,\left[\left[(l+1)\,,\,k\right]\right]\\1\,\leqslant \,j_{t}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,t\,\in \left[\left[(k+1)\,,\,(m-1)\right]\right]\,\cup \,\left[\left[(m+1)\,,\,p\right]\right]\end{array}}\;$» $\;{\big (}$les indices $\;_{l}\;$ sur la partie contravariante et $\;_{m}\;$ sur la partie covariante positionnant les endroits contractés${\big )}$, «$\;\left(\sum \limits _{=\,1\,..\,3}^{i_{l}\,=\,i_{m}}{\mathcal {R}}_{i_{l}}\;{\mathcal {R}}_{i_{m}}\right)\left({\mathcal {R}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{s},\,\cdots \,i_{k},\,i_{(k+1)},\,\cdots \,i_{t},\,\cdots \,i_{p}}\right)_{\begin{array}{|l l|}1\,\leqslant \,i_{s}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,s\,\in \left[\left[1\,,\,l-1\right]\right]\,\cup \,\left[\left[(l+1)\,,\,k\right]\right]\\1\,\leqslant \,j_{t}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,t\,\in \left[\left[(k+1)\,,\,(m-1)\right]\right]\,\cup \,\left[\left[(m+1)\,,\,p\right]\right]\end{array}}\;$».

     Remarque : La contraction tensorielle peut être poursuivie tant que le tenseur contracté n'est pas purement contravariant ou purement covariant $\;\ldots$

Produit contracté de deux tenseurs

     Le produit contracté de deux tenseurs est le résultat de leur produit tensoriel suivi d'une contraction tensorielle entre le 1^er tenseur et le 2^nd, il n'est faisable que

• si les deux tenseurs sont d'ordre $\;\geqslant 2\;$ et « mixtes » ou
• si l'un des deux tenseurs est d'ordre $\;\geqslant 1\;$ contravariant ou covariant, l'autre étant d'ordre $\;\geqslant 2\;$ « mixte » ou encore
• si les deux tenseurs sont d'ordre $\;\geqslant 1$, l'un étant contravariant et l'autre covariant ;

     le produit contracté entre un tenseur $\;{\mathcal {T}}\;$ et un tenseur $\;{\mathcal {S}}$ $\;{\big (}$quand il est faisable${\big )}\;$ est noté $\;{\mathcal {T}}\odot {\mathcal {S}}\;$,
     le produit contracté si le tenseur $\;{\mathcal {T}}\;$ est d'ordre $\;p\;$ et le tenseur $\;{\mathcal {S}}\;$ d'ordre $\;q$, le tenseur $\;{\mathcal {T}}\odot {\mathcal {S}}\;$ est d'ordre $\;p+q-2$.

     Remarque : comme il a été vu dans le paragraphe « contraction tensorielle d'un tenseur d'ordre p mixte » plus haut dans ce chapitre, la contraction tensorielle nécessite de préciser au préalable les composantes du tenseur à contracter sur la base de l'espace vectoriel le contenant, il faut donc ici
     Remarque : préciser les composantes du 1^er tenseur sur la base de son espace vectoriel ainsi que celles du 2^ème tenseur sur la base adéquate et,
     Remarque : utiliser la règle suivante : « par défaut, la contraction tensorielle entre deux tenseurs est faite entre le dernier indice des composantes du 1^er tenseur et le 1^er indice des composantes de nature différente du 2^nd tenseur » $\;\ldots$

     Exemples : $\succ \;$soit «$\;\varphi \;$ un tenseur d'ordre $\;1\;$ covariant de $\;E^{*}\;$» $\;{\big [}$ou une forme linéaire de $\;E{\big ]}\;$ et
     Exemples : $\color {transparent}{\succ }\;$soit «$\;{\vec {x}}\;$ un tenseur d'ordre $\;1\;$ contravariant de $\;E\;$» $\;{\big [}$ou un vecteur de $\;E{\big ]}$,
     Exemples : $\color {transparent}{\succ }\;$le produit contracté «$\;\varphi \odot {\vec {x}}\;$ est un tenseur d'ordre $\;0\;$» défini par «$\;\varphi \odot {\vec {x}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\varphi _{i}\;x_{i}=\varphi ({\vec {x}})\;\in \;\mathbb {R} \;$» ;

     Exemples : $\succ \;$soit «$\;\delta =\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\vec {b}}_{i}\otimes {b'}_{\!i}\;$ le “ tenseur de Kronecker ”, d'ordre $\;2\;$ “ mixte ” de $\;E\otimes E^{*}\;$» $\;{\big [}$c'est-à-dire aussi une forme bilinéaire (non dégénérée) de $\;E\times E^{*}{\big ]}\;$ et
     Exemples : $\color {transparent}{\succ }\;$soit «$\;{\vec {x}}\otimes {\vec {y}}\;\in \;E^{\,\otimes \,2}\;$ le tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant » construit à partir du couple $\;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\in E^{2}$,
     Exemples : $\color {transparent}{\succ }\;$le produit contracté «$\;\delta \odot \left\lbrace {\vec {x}}\otimes {\vec {y}}\right\rbrace \;$ des deux tenseurs est le tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant » résultant de la contraction tensorielle du tenseur d'ordre $\;4\;$ “ mixte ” «$\;\delta \otimes \left\lbrace {\vec {x}}\otimes {\vec {y}}\right\rbrace \;$ tri-contravariant et mono-covariant » de composantes «$\;\left\lbrace \left(\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\delta _{i\,,\,i_{1}}\;\delta _{i\,,\,i_{2}}\right)x_{i_{3}}\;y_{i_{4}}\right\rbrace _{\begin{array}{|c|}1\,\leqslant \,i_{l}\,\leqslant \,3\\l\,\in \,\left[\left[\,1\,,\,4\,\right]\right]\end{array}}\;$» sur la base «$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i_{1}}\otimes {b'}_{\!i_{2}}\otimes {\vec {b}}_{i_{3}}\otimes {\vec {b}}_{i_{4}}\right\rbrace _{\begin{array}{|c|}1\,\leqslant \,i_{l}\,\leqslant \,3\\l\,\in \,\left[\left[\,1\,,\,4\,\right]\right]\end{array}}\;$», la contraction tensorielle étant faite sur les indices «$\;_{i_{2}}\;$» et «$\;_{i_{3}}\;$» $\Rightarrow$ les composantes de $\;\delta \odot \left\lbrace {\vec {x}}\otimes {\vec {y}}\right\rbrace \;$ dans la base «$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i_{1}}\otimes {\vec {b}}_{i_{2}}\right\rbrace _{\begin{array}{|c|}1\,\leqslant \,i_{1}\,\leqslant \,3\\1\,\leqslant \,i_{2}\,\leqslant \,3\end{array}}\;$» sont «$\;\left\lbrace \left(\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\delta _{i\,,\,i_{1}}\;x_{i}\right)y_{i_{2}}\right\rbrace _{\begin{array}{|c|}1\,\leqslant \,i_{1}\,\leqslant \,3\\1\,\leqslant \,i_{2}\,\leqslant \,3\end{array}}\;$» soit encore «$\;\left(x_{i_{1}}\;y_{i_{2}}\right)_{1\,\leqslant \,i_{1}\,\leqslant \,3,\;1\,\leqslant \,i_{2}\,\leqslant \,3}\;$» dont on déduit

«$\;\delta \odot \left\lbrace {\vec {x}}\otimes {\vec {y}}\right\rbrace ={\vec {x}}\otimes {\vec {y}}\;$».

Notation d'Einstein, convention de sommation d'Einstein

     La notation d'Einstein a pour but de mettre concrètement en évidence la différence entre composantes contravariantes et covariantes d'un tenseur ainsi qu'entre vecteurs de base du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel tridimensionnel euclidien et ceux de son dual ;

     la convention de sommation d'Einstein utilisée simultanément à la notation d'Einstein permet de simplifier l'écriture de formules «$\;\sum \limits _{i}a_{i}\;b_{i}\;$» en introduisant la notion d'« indice muet » correspondant à l'indice sur lequel est faite la sommation.

Notation d'Einstein

     La notation d'Einstein consiste à étendre le positionnement des indices placés en bas à droite des grandeurs indexées en ne se limitant pas à «$\;_{i}\;$» mais en autorisant également «$\;^{i}\;$» suivant la propriété de la grandeur indexée, plus exactement :

• « les vecteurs de base du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel tridimensionnel euclidien $\;E\;$ sont indexés par un indice en bas » $\Rightarrow$ les vecteurs de la base orthonormée $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ de $\;E\;$ sont notés «$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$»,
• « les composantes contravariantes d'un vecteur de $\;E\;$ sont indexées par un indice en haut » $\Rightarrow$ les composantes contravariantes du vecteur $\;{\vec {x}}\;$ de $\;E\;$ sont notées «$\;\left\lbrace x^{1}\,,\,x^{2}\,,\,x^{3}\right\rbrace \;$»,
• « la décomposition du vecteur $\;{\vec {x}}\;$ de $\;E\;$ dans la base orthonormée $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ de ce dernier » s'écrit «$\;{\vec {x}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}x^{i}\;{\vec {b}}_{i}\;$» ;
• « les covecteurs de base du dual $\;E^{*}\;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel tridimensionnel euclidien $\;E\;$ sont indexés par un indice en haut » $\Rightarrow$ les covecteurs de la base orthonormée $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ de $\;E^{*}\;$ sont notés «$\;\left\lbrace {b'}^{1}\,,\,{b'}^{2}\,,\,{b'}^{3}\right\rbrace \;$»,
• « les composantes covariantes d'un covecteur de $\;E^{*}\;$ sont indexées par un indice en bas » $\Rightarrow$ les composantes covariantes du covecteur $\;\varphi \;$ de $\;E^{*}\;$ sont notées «$\;\left\lbrace \varphi _{1}\,,\,\varphi _{2}\,,\,\varphi _{3}\right\rbrace \;$»,
• « la décomposition du covecteur $\;\varphi \;$ de $\;E^{*}\;$ dans la base orthonormée $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ de ce dernier » s'écrit «$\;\varphi =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\varphi _{i}\;{b'}^{i}\;$» ;
• « les composantes contravariantes d'un tenseur d'ordre $\;p\;$ de $\;E^{\,\otimes \,p}\;$ sont indexées par des indices en haut » $\Rightarrow$ les composantes contravariantes du tenseur $\;{\mathcal {T}}\;$ d'ordre $\;p\;$ de $\;E^{\,\otimes \,p}\;$ sont notées «$\;\left({\mathcal {T}}^{i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\right)_{\;\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{k},\,..\,i_{p}\right)}\;$»,
• « les composantes covariantes d'un tenseur d'ordre $\;p\;$ de $\;\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,p}\;$ sont indexées par des indices en bas » $\Rightarrow$ les composantes covariantes du tenseur $\;{\mathcal {S}}\;$ d'ordre $\;p\;$ de $\;\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,p}\;$ sont notées «$\;\left({\mathcal {S}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\right)_{\;\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{k},\,..\,i_{p}\right)}\;$»,
• « les composantes “ mixtes ” $\;k$-contravariantes et $\;(p-k)$-covariantes d'un tenseur d'ordre $\;p\;$ de $\;E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,(p-k)}\;$ sont indexées par des indices en haut ou en bas suivant le caractère contravariant ou covariant » $\Rightarrow$ les composantes “ mixtes ” $\;k$-contravariantes et $\;(p-k)$-covariantes du tenseur $\;{\mathcal {R}}\;$ d'ordre $\;p\;$ de $\;E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,(p-k)}\;$ sont notées «$\;\left({\mathcal {R}}_{i_{(k+1)},\,\cdots \,i_{m},\,\cdots \,i_{p}}^{i_{1},\,\cdots \,i_{l},\,\cdots \,i_{k}}\right)_{\qquad \in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{l},\,..\,i_{k},\,i_{(k+1)}\,..\,i_{m},\,..\,i_{p}\right)}\;$».

Convention de sommation d'Einstein

     Avec la notation d'Einstein exposée dans le paragraphe « de même nom » plus haut dans ce chapitre, les indices « muets » $\;{\Big [}$c'est-à-dire les indices sur lesquels les sommations sont faites${\Big ]}\;$ étant systématiquement en positions opposées « haute » et « basse » $\;{\Big [}$c'est-à-dire suivant l'une ou l'autre des deux formules «$\;\sum \limits _{i}a^{i}\;b_{i}\;$» ou «$\;\sum \limits _{i}a_{i}\;b^{i}\;$»${\Big ]}$,
            Avec la notation d'Einstein la convention de sommation d'Einstein consiste à omettre le symbole de sommation «$\;\sum \limits _{i}\;$» en considérant qu'il fait double emploi avec la répétition, dans une formule, d'un indice commun en positions alternées $\;{\Big [}$ainsi les formules «$\;\sum \limits _{i}a^{i}\;b_{i}\;$» ou «$\;\sum \limits _{i}a_{i}\;b^{i}\;$» seront simplement écrites «$\;a^{i}\;b_{i}\;$» ou «$\;a_{i}\;b^{i}\;$», la répétition de l'indice commun en positions alternées entraînant la sommation sur cet indice, cela justifiant le qualificatif « muet » attribué à cet indice${\Big ]}$.

     Exemples d'utilisation de la convention de sommation d'Einstein ${\big [}$en pratique, dès lors que la « notation » d'Einstein est utilisée, la « convention de sommation » l'est aussi${\big ]}$ :

• « la décomposition du vecteur $\;{\vec {x}}\;$ de $\;E\;$ dans la base orthonormée $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ de ce dernier » s'écrira «$\;{\vec {x}}=x^{i}\;{\vec {b}}_{i},\;\;i\;\in \;\left[\left[1\,,\,3\right]\right]\;$»,
• « la décomposition du covecteur $\;\varphi \;$ de $\;E^{*}\;$ dans la base orthonormée $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ de ce dernier » s'écrira «$\;\varphi =\varphi _{i}\;{b'}^{i},\;\;i\;\in \;\left[\left[1\,,\,3\right]\right]\;$» ;
• « la contraction tensorielle de $\;{\mathcal {R}}\;$ tenseur d'ordre $\;2\;$ “ mixte ” » de composantes, sur la base de $\;E\otimes E^{*}$, «$\;\left({\mathcal {R}}_{i_{2}}^{i_{1}}\right)_{1\,\leqslant \,i_{2}\,\leqslant \,3}^{1\,\leqslant \,i_{1}\,\leqslant \,3}\;$» s'écrira «$\;{\mathcal {R}}_{i}^{i}\;$» correspondant à un tenseur d'ordre $\;0\;$ ou encore «$\;{\mathcal {R}}_{i}^{i},\;\;i\;\in \;\left[\left[1\,,\,3\right]\right]\;$»,
• « la contraction tensorielle de $\;{\mathcal {R}}\;$ tenseur d'ordre $\;p\;$ “ mixte ” $\;k$-contravariant et $\;(p-k)$-covariant » de composantes «$\;\left({\mathcal {R}}_{i_{(k+1)},\,\cdots \,i_{m},\,\cdots \,i_{p}}^{i_{1},\,\cdots \,i_{l},\,\cdots \,i_{k}}\right)_{\qquad \in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{l},\,..\,i_{k},\,i_{(k+1)}\,..\,i_{m},\,..\,i_{p}\right)}\;$» sur la base de son espace vectoriel $\;E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,(p-k)}$, donnant « un tenseur d'ordre $\;(p-2)\;$ “ mixte $\;{\big (}$ou non${\big )}\;$” $\;(k-1)$-contravariant et $\;(p-k-1)$-covariant » de composantes, sur la base de l'espace vectoriel $\;E^{\,\otimes \,(k-1)}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,(p-k-1)}$, s'écrivant «$\;\left({\mathcal {R}}_{\color {red}{i}\color {black},\,i_{(k+2)},\,\cdots \,i_{m},\,\cdots \,i_{p}}^{i_{1},\,\cdots \,i_{l},\,\cdots \,i_{(k-1)},\,\color {red}{i}}\right)_{\qquad \qquad \in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{l},\,..\,i_{(k-1)},\,i_{(k+2)}\,..\,i_{m},\,..\,i_{p}\right)}$, $\;\color {red}{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,3\right]\right]}\;$» $\;\ldots$