Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Produit scalaire, produit vectoriel et produit mixte

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Produit scalaire de deux vecteursModifier

Définition intrinsèque du produit scalaire de deux vecteursModifier

     Soient deux vecteurs   et   d'un espace vectoriel à trois  ou deux  dimensions représentés au même point   de l'espace physique affine dont l'espace vectoriel est la direction [1] ; nous commençons par donner une « définition intrinsèque » [2] du produit scalaire avant de poursuivre avec une définition équivalente utilisant une base de l'espace.

     Avec  , on en déduit   ainsi que   d'où, en utilisant l'une ou l'autre forme de la définition intrinsèque du produit scalaire de   et  ,  .


Conséquence de la définition d'un produit scalaire sur un espace vectoriel à trois (ou deux) dimensionsModifier

     La définition de la multiplication scalaire de deux vecteurs d'un espace vectoriel à trois  ou deux  rend l'espace vectoriel euclidien de même que l'espace affine dont cet espace vectoriel est la direction [1], le caractère euclidien de l'espace affine permettant de définir la distance entre deux points de l'espace affine [3].

PropriétésModifier

Valeurs possibles d'un produit scalaire de deux vecteursModifier

     Lorsque   ou   est nul,   ;

     lorsqu'aucun des vecteurs n'est nul mais  ,   d'où   ;

     dans tous les autres cas   en étant   si   est aigu et   si   est obtus.

Autres propriétésModifier

     La multiplication scalaire entre deux vecteurs est commutative c.-à-d.  [4].

     La multiplication scalaire entre deux vecteurs est distributive par rapport à l'addition vectorielle c.-à-d.  [5].

Définition du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espaceModifier

     On considère une base « orthonormée » [6] de l'espace vectoriel à trois dimensions  [7] ainsi que la décomposition de   et   dans cette base   ; utilisant la distributivité de la multiplication scalaire entre deux vecteurs relativement à l'addition vectorielle on obtient :

       soit finalement, en utilisant le caractère normé des vecteurs de base  .

Calcul de l'angle entre deux vecteurs connaissant leurs composantes dans une même base orthonormée et par l'intermédiaire de leur produit scalaireModifier

     Soient deux vecteurs non nuls   et   de l'espace vectoriel à trois dimensions dans lequel on définit la base orthonormée  , supposons connues les composantes de ces vecteurs dans cette base c.-à-d.   et cherchons à déterminer   ;
     pour cela on peut exprimer le produit scalaire de ces deux vecteurs de façon intrinsèque d'une part et en utilisant leurs composantes d'autre part soit :   donnant   expression dans laquelle on peut éliminer les normes des vecteurs par   et   d'où

 .

Produit vectoriel de deux vecteursModifier

     La définition de la multiplication vectorielle de deux vecteurs d'un espace vectoriel à trois dimensions nécessite de vérifier, au préalable, que l'espace affine dont l'espace vectoriel est la direction [1] est orientable [9], ce que nous admettrons ;
     l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction [1] étant orientable [9] et connexe, nous admettrons qu'il y a exactement deux orientations possibles différentes, le choix d'une de ces orientations qualifiant l'espace physique affine à trois dimensions de

  • « orienté à droite »  orientation définie par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de Maxwell [10] positionné en un point   de l'espace  ou
  • « orienté à gauche »  orientation définissable par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de farces et attrapes [11] positionné en un point   de l'espace .

     Dans la suite de ce paragraphe nous supposons, en absence de précision, l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction [1] « orienté à droite »  par abus nous dirons « l'espace vectoriel est orienté à droite » au lieu de « l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction [1] est orienté à droite »  nous emploierions le même abus pour « l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction [1] orienté à gauche » .

Base directe d'un espace orienté à droiteModifier

 
Vues en perspective et projetée d'un trièdre direct
 
Vues en perspective et projetée d'un trièdre indirect

     Soit une base « orthonormée » [6]   de l'espace vectoriel, direction [1] de l'espace physique affine à trois dimensions « orienté à droite », la base est

  • « directe » si, levant le pouce de la main droite dans le sens de  , l'index pointant dans le sens de  , « le sens de   est donné par le majeur courbé vers la paume de la main droite » [12]  voir schémas [13] ci-contre à gauche  ou
  • « indirecte » si, levant le pouce de la main gauche dans le sens de  , l'index pointant dans le sens de  , « le sens de   est donné par le majeur courbé vers la paume de la main gauche »  « règle de la main gauche » [14]   voir schémas [15] ci-contre à droite .

Base directe (au sens de la physique) d'un espace orienté à gaucheModifier

     Préliminaire : Dans un espace « orienté à gauche », la notion de base « directe  au sens de la physique » doit être identifiée à celle de base « indirecte introduite en mathématiques » et
     Préliminaire : Dans un espace « orienté à gauche »,       celle de base « indirecte  au sens de la physique » doit être identifiée à celle de base « directe introduite en mathématiques » en effet,
     Préliminaire : « en mathématiques, une base   est dite directe » si les sens des vecteurs successifs de la base sont donnés par la même règle que celle définissant l'orientation de l'espace à savoir, pour un espace « orienté à gauche » la « règle de la main gauche » [14]  et bien sûr, si les sens des vecteurs successifs de la base sont donnés par la « règle de la main droite » [12] pour un espace « orienté à gauche » la base est, en mathématiques, « indirecte »  alors que
     Préliminaire : « en physique, une base   sera dite directe » si les sens des vecteurs successifs de la base sont donnés par la « règle de la main droite » [12] que l'espace soit « orienté à droite » ou « à gauche »  et bien sûr, si les sens des vecteurs successifs de la base sont donnés par la « règle de la main gauche » [14] pour un espace « orienté à droite » ou « à gauche » la base sera dite « indirecte  au sens de la physique »  ;

     Préliminaire : la raison du choix fait en physique dans un espace « orienté à gauche » est son utilisation pratique en optique géométrique lors de la présence d'un miroir plan en effet
     Préliminaire : la raison du choix fait en physique un miroir plan mettant en correspondance un espace objet [17] avec un espace image [18],
     Préliminaire : la raison du choix fait en physique un miroir plan pour un espace objet usuellement « orienté à droite » avec choix d'une base « directe »     orientant l'axe optique principal [19] dans le sens de propagation de la lumière,   et   étant   au miroir  obtenue par la « règle de la main droite » [12], il est physiquement souhaitable que
     Préliminaire : la raison du choix fait en physique un miroir plan l'espace image correspondant  sachant que l'image d'un objet par un miroir plan est le symétrique de l'objet par rapport au plan du miroir  soit « orienté à gauche » avec choix d'une base   symétrique par rapport au miroir de la base définie dans l'espace objet     orientant l'axe optique principal [19] dans le sens de propagation de la lumière réfléchie sur le miroir,   et   étant   au miroir , la base choisie dans l'espace image « orienté à gauche » étant définie par la « règle de la main gauche » [14] ;
     Préliminaire : la raison du choix fait en physique un miroir plan les sens des vecteurs successifs de la base de l'espace image suivant la même règle que celle définissant l'orientation de l'espace image, la base serait qualifiée de « directe en mathématiques » mais, en physique, elle est qualifiée d'« indirecte » car,
     Préliminaire : la raison du choix fait en physique un miroir plan ce qui importe le plus en physique c'est le choix de la base indépendamment de l'orientation de l'espace, par suite, il semble difficile de qualifier simultanément de « directe »  comme il faudrait le faire en suivant les définitions mathématiques  la base de l'espace objet obtenue par la « règle de la main droite » [12] et celle de l'espace image obtenue par la « règle de la main gauche » [14]  

     Caractère direct ou indirect d'une base d'un espace orienté à gauche en physique : Soit une base « orthonormée » [6]   de l'espace vectoriel, direction [1] de l'espace physique affine à trois dimensions « orienté à gauche »  l'orientation étant obtenue avec la « règle de la main gauche » [14] , la base est qualifiée, en physique, de

  • « directe » si les sens des vecteurs successifs de la base suivent la « règle de la main droite » [12] ou
  • « indirecte » si les sens des vecteurs successifs de la base suivent la « règle de la main gauche » [14].

Définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteursModifier

PropriétésModifier

      La multiplication vectorielle entre deux vecteurs est anticommutative c.-à-d.   ;

      la multiplication vectorielle entre deux vecteurs est distributive par rapport à l'addition vectorielle c.-à-d.    .

Définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espaceModifier

      [23]       [24]       .

     Remarque : La détermination des composantes du produit vectoriel des deux vecteurs   et   étant la même quel que soit le caractère « direct ou indirect  au sens de la physique  de la base » adaptée à l'« orientation à droite ou à gauche de l'espace »   le produit vectoriel de ces deux vecteurs   et   dans un espace orienté à gauche  avec une base indirecte  au sens de la physique  est opposé à celui de   et   dans un espace orienté à droite  avec une base directe  en effet

     Remarque : appelant   la base « directe dans un espace orienté à droite » et   la base « indirecte  au sens de la physique  dans le même espace orienté à gauche »,
     Remarque : les composantes de   dans   étant  , dans   elles sont  , de même
     Remarque : les composantes de   dans   étant  , dans   elles sont  , nous en déduisons que
     Remarque : les composantes de   dans   sont « » et
     Remarque : les composantes de              dans   « » d'où

     Remarque :   exprimé dans   et dans   ayant une même 1ère composante et un couple de 2ème, 3ème composante opposée sont des vecteurs opposés,

     Remarque : cette conclusion étant en accord avec la définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs.

Propriété des vecteurs de base d'une base orthonorméeModifier

     On peut utiliser cette propriété et la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle pour retrouver les composantes du produit vectoriel de deux vecteurs en effet :

       [26] soit enfin
  ou en ordonnant
 .

Interprétation géométriqueModifier

 
Interprétation géométrique de la norme du produit vectoriel

     Notant   l'angle non orienté entre les deux vecteurs, la norme de   s'écrit

  ou,
avec  ,
  soit encore
l'aire du parallélogramme construit à partir des vecteurs   et  [27].


Calcul de l'angle entre deux vecteurs connaissant leurs composantes dans une même base orthonormée et par l'intermédiaire de leur produit vectorielModifier

     Soient deux vecteurs non nuls   et   de l'espace à trois dimensions orienté dans lequel on définit la base orthonormée  [28], supposons connues les composantes de ces vecteurs dans cette base c.-à-d.   et cherchons à déterminer  [29] ;


     pour cela on peut exprimer la norme du produit vectoriel de ces deux vecteurs de façon intrinsèque d'une part et en utilisant leurs composantes d'autre part soit :     donnant     expression dans laquelle on peut éliminer les normes des vecteurs par     et   d'où

 .

Itération de la multiplication vectorielleModifier

Conséquence de la non associativité de la multiplication vectorielleModifier

     Le produit vectoriel de deux vecteurs étant un vecteur, il est possible d'itérer la multiplication vectorielle mais cette dernière étant « non associative » [30] c.-à-d., avec trois vecteurs  ,   et   quelconques, on vérifie qu'en général  [31] il est indispensable de préciser dans quel ordre la multiplication vectorielle est faite ;

     ainsi avec un triplet ordonné de vecteurs   quelconques on peut former deux « doubles produits vectoriels »  [32] a priori différents, la non associativité de la multiplication vectorielle rendant l'expression   sans aucune signification [33].

Formules du double produit vectorielModifier

     Celles-ci peuvent se démontrer laborieusement à l'aide des composantes de chaque produit vectoriel dans une base orthonormée [28], voir le paragraphe « en complément : démonstration d'une des formules du double produit vectoriel par identification des composantes cartésiennes de chaque membre » plus loin dans le chapitre  pour les sceptiques 

  •     le membre de droite est une combinaison linéaire (C.L.) des deux vecteurs à l'intérieur des parenthèses du membre de gauche  à savoir   et  , le facteur multiplicatif de chaque vecteur étant le produit scalaire des deux autres vecteurs  pour   le produit scalaire est   et pour   c'est   avec un signe   devant le 1er vecteur des deux vecteurs à l'intérieur des parenthèses du membre de gauche  à savoir  [34] ;
  •     le membre de droite est une combinaison linéaire (C.L.) des deux vecteurs à l'intérieur des parenthèses du membre de gauche  à savoir   et  , le facteur multiplicatif de chaque vecteur étant le produit scalaire des deux autres vecteurs  pour   le produit scalaire est   et pour   c'est   avec un signe   devant le 2ème vecteur des deux vecteurs à l'intérieur des parenthèses du membre de gauche  à savoir  [35].

     Remarque : La 1ère formule du double produit vectoriel peut se déduire de la 2nde  et vice versa  par utilisation de l'anticommutativité de la multiplication vectorielle [36] en effet     par utilisation de la 2ème formule du double produit vectoriel, ce qui établit finalement   c.-à-d. la 1ère formule du double produit vectoriel ;
     Remarque : il ne reste donc plus qu'à établir la 2nde formule du double produit vectoriel  

Vérification des formules du double produit vectoriel à partir de l'utilisation de la base orthonormée cartésienne directeModifier

On note   la base orthonormée cartésienne [28].

     À utiliser en particulier si on se souvient que le développement du double produit vectoriel aboutit à une C.L. [37] des deux vecteurs situés entre parenthèses dans le membre de gauche mais que l'on a oublié où doit être positionné le signe  

     Formant un 1er produit vectoriel   donnant   et formant avec ce dernier le produit vectoriel   donnant   la formule du double produit vectoriel doit être en accord avec ce résultat c.-à-d. que l'on doit vérifier « » ;

     si on se souvient que le développement du double produit vectoriel doit être une C.L. [37] de   et    vecteurs du produit vectoriel entre parenthèses du membre de gauche , devant quel vecteur faut-il positionner le signe   ?

     Le résultat final étant   le signe   doit donc être devant   et le signe   devant le   selon la formule suivante «   » [38].

En complément : démonstration d'une des formules du double produit vectoriel par identification des composantes cartésiennes de chaque membreModifier

     Nous nous proposons de démontrer la 2nde formule du double produit vectoriel c.-à-d. « » en déterminant les composantes cartésiennes du 1er membre et en retrouvant celles du 2nd soit :

       soit, en factorisant autrement chaque composante

       puis en ajoutant et retranchant dans chaque composante le même produit à savoir

  • pour la 1ère composante on ajoute   permettant d'obtenir comme 1er terme   et
    pour la 1ère composante on retranche   permettant d'obtenir pour 2ème terme  ,
  • pour la 2ème composante on ajoute   permettant d'obtenir comme 1er terme   et
    pour la 2ème composante on retranche   permettant d'obtenir pour 2ème terme   et
  • pour la 3ème composante on ajoute   permettant d'obtenir comme 1er terme   et
    pour la 3ème composante on retranche   permettant d'obtenir pour 2ème terme   ;

     finalement on obtient   établissant la formule du double produit vectoriel  .

Produit mixte de trois vecteursModifier

     La définition de la multiplication mixte de trois vecteurs d'un espace vectoriel à trois dimensions nécessite de vérifier, au préalable, que l'espace affine dont l'espace vectoriel est la direction [1] est orientable [9] ce qui a déjà été fait en introduction du paragraphe « produit vectoriel de deux vecteurs » plus haut dans ce chapitre ;
     l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction [1] étant orientable [9] a, du fait de son caractère connexe, exactement deux orientations différentes possibles à savoir

  • une « orientation à droite »  orientation définie par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de Maxwell [10] positionné en un point   de l'espace  ou
  • une « orientation à gauche »  orientation définissable par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de farces et attrapes [11] positionné en un point   de l'espace .

     Dans la suite de ce paragraphe nous supposons, en absence de précision, l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction [1] « orienté à droite »  par abus nous dirons « l'espace vectoriel est orienté à droite » au lieu de « l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction [1] est orienté à droite »  nous emploierions le même abus pour « l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction [1] orienté à gauche » .

Définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteursModifier

     Remarque : Le produit vectoriel de deux vecteurs dépendant de l'orientation de l'espace  le produit vectoriel de deux vecteurs dans un espace « orienté à gauche » étant l'opposé du produit vectoriel des mêmes vecteurs dans le même espace mais « orienté à droite »[42]  alors que
     Remarque : le produit scalaire de deux vecteurs en est indépendant, nous en déduisons que
     Remarque : le produit mixte de trois vecteurs dépend de l'orientation de l'espace :

le produit mixte de trois vecteurs dans un espace « orienté à gauche » est l'opposé du produit mixte des mêmes vecteurs dans le même espace mais « orienté à droite ».

PropriétésModifier

      Le produit mixte de trois vecteurs est invariant par permutation circulaire c.-à-d. que « » ;

      par contre toute permutation entre deux vecteurs laissant le troisième en la même position change le produit mixte en son opposé par exemple :

         par contre   « » résultant de l'anticommutativité du produit vectoriel ou

         par contre   « » résultant d'une première permutation circulaire mettant   en troisième position selon     suivi de l'utilisation de l'anticommutativité du produit vectoriel ;

      dans un espace « orienté à droite », le produit mixte «  est  » [43] alors que
          dans un espace « orienté à gauche », le produit mixte«  est  » [43].

Définition du produit mixte de trois vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espaceModifier

     Remarque : On peut aisément vérifier l'invariance du produit mixte par permutation circulaire à l'aide des composantes des vecteurs par exemple pour montrer que « » on part de   dans laquelle, après des factorisations partielles en  ,   et  , on obtient

  avec
  les composantes ordonnées du produit vectoriel    

Interprétation géométrique de la valeur absolue du produit mixte de trois vecteurs non coplanairesModifier

 
Interprétation géométrique du produit mixte

     L'espace étant « orienté à droite » et appelant   un vecteur unitaire normal au plan formé par   et   tel que   soit direct, nous pouvons écrire « » avec «  représentant l'aire du parallélogramme construit à partir de   et  » ;
     d'autre part la définition du produit scalaire nous conduit à « » avec «