Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Produit scalaire, produit vectoriel et produit mixte

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Produit scalaire de deux vecteurs modifier

Définition intrinsèque du produit scalaire de deux vecteurs modifier

     Soient deux vecteurs   et   d'un espace vectoriel à trois  ou deux  dimensions représentés au même point   de l'espace physique affine dont l'espace vectoriel est la direction [1] ; nous commençons par donner une « définition intrinsèque » [2] du produit scalaire avant de poursuivre avec une définition équivalente utilisant une base de l'espace.

     Avec  , on en déduit   ainsi que
     Avec  , on en déduit   d'où, en utilisant l'une ou l'autre forme de la définition intrinsèque [2] du produit scalaire de   et  ,
     Avec  , on en déduit  .

Conséquence de la définition d'un produit scalaire sur un espace vectoriel à trois (ou deux) dimensions modifier

     La définition de la multiplication scalaire de deux vecteurs d'un espace vectoriel à trois  ou deux  dimensions rend l'espace vectoriel euclidien de même
                 La définition de la multiplication scalaire de deux vecteurs d'un espace vectoriel à trois  ou deux  elle rend euclidien l'espace affine dont cet espace vectoriel est la direction [1],
           La définition de la multiplication scalaire de deux vecteurs d'un espace vectoriel à trois  ou deux  le caractère euclidien de l'espace affine permettant de définir
           La définition de la multiplication scalaire de deux vecteurs d'un espace vectoriel à trois  ou deux  le caractère euclidien de l'espace affine la distance entre deux points de l'espace affine [3].

Propriétés modifier

Valeurs possibles d'un produit scalaire de deux vecteurs modifier

     « Lorsque   ou   est nul », « » ;

     « lorsqu'aucun des vecteurs n'est nul mais  »,   d'où « » ;

     « dans tous les autres cas  » en étant  .

Autres propriétés modifier

     La multiplication scalaire entre deux vecteurs est commutative c.-à-d. « » [4].

     La multiplication scalaire entre deux vecteurs est distributive par rapport à l'addition vectorielle c.-à-d. « » [5].

Définition du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace modifier

     On considère une base « orthonormée » [6] de l'espace vectoriel à trois dimensions  [7] ainsi que
     On considère la décomposition de   et   dans cette base   ; utilisant la distributivité de la multiplication scalaire entre deux vecteurs relativement à l'addition vectorielle [8] on obtient   en utilisant le caractère orthogonal deux à deux des vecteurs de base et enfin, par utilisation du caractère normé de ces derniers « ».

Calcul de l'angle entre deux vecteurs connaissant leurs composantes dans une même base orthonormée et par l'intermédiaire de leur produit scalaire modifier

     Soient deux vecteurs non nuls   et   de l'espace vectoriel à trois dimensions dans lequel on définit la base orthonormée  ,
     supposons connues les composantes de ces vecteurs dans cette base c.-à-d.   et
     cherchons à déterminer l'angle  [10] entre ces deux vecteurs ; pour cela
     on exprime le produit scalaire de ces deux vecteurs de façon intrinsèque [2] « » [11] puis
     on explicite ce dernier en utilisant leurs composantes                                     « » [12],
     on en déduit alors                                                                                             « », la norme des vecteurs étant éliminée selon   d'où
     on en déduit alors                                                                                             « ».

Produit vectoriel de deux vecteurs modifier

     La définition de la multiplication vectorielle de deux vecteurs d'un espace vectoriel à trois dimensions nécessite de vérifier, au préalable, que l'espace affine dont l'espace vectoriel est la direction [1] est orientable [13], ce que nous admettrons ;
     l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction [1] étant orientable [13] et connexe, nous admettrons qu'il y a exactement deux orientations possibles différentes, le choix d'une de ces orientations qualifiant l'espace physique affine à trois dimensions de

  • « orienté à droite »  orientation définie par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de Maxwell [14] positionné en un point   de l'espace  ou
  • « orienté à gauche »  orientation définissable par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de farces et attrapes [15] positionné en un point   de l'espace .

     Dans la suite de ce paragraphe nous supposons, en absence de précision, l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction [1] « orienté à droite »  par abus nous dirons « l'espace vectoriel est orienté à droite » au lieu de « l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction [1] est orienté à droite »  nous emploierions le même abus pour « l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction [1] orienté à gauche » .

Base directe d'un espace orienté à droite modifier

 
Vues en perspective et projetée d'un trièdre direct
 
Vues en perspective et projetée d'un trièdre indirect

     Soit une base « orthonormée » [6]   de l'espace vectoriel, direction [1] de l'espace physique affine à trois dimensions « orienté à droite » [16], la base est

  • « directe » si, levant le pouce de la main droite dans le sens de  , l'index pointant dans le sens de  , « le sens de   est donné par le majeur courbé vers la paume de la main droite » [17]  voir schémas [18] ci-contre à gauche  ou
  • « indirecte » si, levant le pouce de la main gauche dans le sens de  , l'index pointant dans le sens de  , « le sens de   est donné par le majeur courbé vers la paume de la main gauche »  « règle de la main gauche » [19]   voir schémas [20] ci-dessus à droite .

Base directe (au sens de la physique) d'un espace orienté à gauche modifier

     Préliminaire : Dans un espace « orienté à gauche » [16], la notion de base « directe  au sens de la physique » doit être identifiée à celle de base « indirecte introduite en mathématiques » et
           Préliminaire : Dans un espace « orienté à gauche »,       celle de base « indirecte  au sens de la physique » doit être identifiée à celle de base « directe introduite en mathématiques » en effet,
     Préliminaire : « en mathématiques, une base   est dite directe » si les sens des vecteurs successifs de la base sont donnés par la même règle que celle définissant l'orientation de l'espace,
     Préliminaire : « en mathématiques, pour un espace « orienté à gauche » [16] une base   est donc dite directe si elle suit la « règle de la main gauche » [19] et
           Préliminaire : « en mathématiques, pour un espace « orienté à gauche » une base   est donc dite indirecte si elle suit la « règle de la main droite » [17] alors que
     Préliminaire : « en physique, une base   sera dite directe » si les sens des vecteurs successifs de la base suivent la « règle de la main droite » [17] quelle que soit l'orientation de l'espace,
     Préliminaire : « en physique, pour un espace « orienté à gauche » [16] une base   sera donc dite directe  au sens de la physique  si elle suit la « règle de la main droite » [17] et
           Préliminaire : « en physique, pour un espace « orienté à gauche » une base   sera donc dite indirecte  au sens de la physique  si elle suit la « règle de la main gauche » [19] ;

     Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physique dans un espace « orienté à gauche » [16] est son utilisation pratique en optique géométrique lors de la présence d'un miroir plan en effet
     Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physique un miroir plan mettant en correspondance un espace objet [22] avec un espace image [23],
     Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physique un miroir plan pour un espace objet usuellement « orienté à droite » [16] avec choix d'une base « directe »  [24]
           Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physique un miroir plan pour un espace objet usuellement « orienté à droite » obtenu par la « règle de la main droite » [17], il est souhaitable,
     Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physiquement, que l'espace image associé soit « orienté à gauche » [16], [25] avec choix d'une base symétrique de   par rapport
                  Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physiquement, que l'espace image associé soit « orienté à gauche » au miroir soit  [26], base de l'espace image
                  Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physiquement, que l'espace image associé soit « orienté à gauche » au miroir soit obtenue par la « règle de la main gauche » [19] ;
     Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physique les sens des vecteurs successifs de la base de l'espace image suivant la même règle que celle définissant l'orientation de l'espace image,
     Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physique les sens des vecteurs successifs de la base serait qualifiée de « directe en mathématiques » mais
     Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physique les sens des vecteurs successifs de la base est qualifiée d'« indirecte en physique » car, ce qui importe le plus en physique,
     Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physique les sens des vecteurs successifs de c'est le choix de la base indépendamment de l'orientation de l'espace, par suite, il semble difficile
     Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physique les sens des vecteurs successifs de de qualifier simultanément  comme il faudrait le faire en suivant les définitions mathématiques 
     Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physique les sens des vecteurs successifs de de qualifier simultanément de « directe » la base de l'espace objet « orienté à droite » [16],
     Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physique les sens des vecteurs successifs de de qualifier simultanément de « directe » la base obtenue par la « règle de la main droite » [17] et
     Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physique les sens des vecteurs successifs de de qualifier simultanément de « directe » la base de l'espace image « orienté à gauche » [16],
     Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physique les sens des vecteurs successifs de de qualifier simultanément de « directe » la base obtenue par la « règle de la main gauche » [19]  

     Caractère direct ou indirect d'une base d'un espace orienté à gauche en physique : Soit une base « orthonormée » [6]   de l'espace vectoriel, direction [1] de l'espace physique affine à trois dimensions « orienté à gauche » [16]  l'orientation étant obtenue avec la « règle de la main gauche » [19] ,
     Caractère direct ou indirect d'une base d'un espace orienté à gauche en physique : la base est qualifiée de  « directe  au sens de la physique » si les sens des vecteurs successifs de la base
     Caractère direct ou indirect d'une base d'un espace orienté à gauche en physique : la base est qualifiée de  « directe  au sens de la physique » suivent la « règle de la main droite » [17] ou
     Caractère direct ou indirect d'une base d'un espace orienté à gauche en physique : la base est qualifiée de  « indirecte  au sens de la physique » si les sens des vecteurs successifs de la base
     Caractère direct ou indirect d'une base d'un espace orienté à gauche en physique : la base est qualifiée de  « indirecte  au sens de la physique » suivent la « règle de la main gauche » [19].

Définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs modifier

Propriétés modifier

      La multiplication vectorielle entre deux vecteurs est anticommutative c.-à-d. « » ;

      la multiplication vectorielle entre deux vecteurs est distributive par rapport à l'addition vectorielle c.-à-d. «   ».

Définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace modifier

     Remarque : La détermination des composantes du produit vectoriel des deux vecteurs   et   étant la même quel que soit le caractère « direct ou indirect  au sens de la physique  de la base » adaptée à l'« orientation à droite ou à gauche de l'espace » [16]   le produit vectoriel de ces deux vecteurs et dans un espace orienté à gauche [16]  avec base indirecte  au sens de la physique est opposé à celui de et dans un espace orienté à droite [16]  avec base directe  en effet

     Remarque : appelant   la base « directe dans un espace orienté à droite » [16] et
     Remarque : appelant   la base « indirecte  au sens de la physique  dans le même espace orienté à gauche » [16],
     Remarque : les composantes de   « dans   étant  », « dans   elles sont  », de même
     Remarque : les composantes de   « dans   étant  », « dans   elles sont  », nous en déduisons que
     Remarque : les composantes de   « dans   sont  » et
     Remarque : les composantes de              « dans   sont  »

     Remarque : d'où   exprimé dans   et dans   ayant une même 1ère composante et un couple de 2ème, 3ème composante opposée sont des vecteurs opposés,

     Remarque : cette conclusion étant en accord avec la définition intrinsèque [2] du produit vectoriel de deux vecteurs.

Propriété des vecteurs de base d'une base orthonormée modifier

     On peut utiliser cette propriété et la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle [34] pour retrouver les composantes du produit vectoriel de deux vecteurs en effet :
      
        
          [35]   ou en ordonnant
      .

Interprétation géométrique modifier

 
Interprétation géométrique de la norme du produit vectoriel

     Notant   l'angle non orienté entre les deux vecteurs, la norme de   s'écrit alors « » ou,
     Notant   l'angle non orienté entre les deux vecteurs, avec « »  voir figure ci-contre ,
     Notant   l'angle non orienté entre les deux vecteurs, la norme de   s'écrit alors « » encore égale à
     Notant   l'angle non orienté entre les deux vecteurs, l'aire du parallélogramme construit à partir des vecteurs et [36].

Calcul de l'angle entre deux vecteurs connaissant leurs composantes dans une même base orthonormée et par l'intermédiaire de leur produit vectoriel modifier

     Soient deux vecteurs non nuls   et   de l'espace vectoriel à trois dimensions orienté [16] dans lequel on définit la base orthonormée  [37],
     supposons connues les composantes de ces vecteurs dans cette base c.-à-d.   et
     cherchons à déterminer l'angle  [10] entre ces deux vecteurs ; pour cela
     on exprime la norme du produit vectoriel de ces deux vecteurs de façon intrinsèque [2] « » [38] puis
     on explicite cette dernière en utilisant les composantes du produit vectoriel                   « » [39],
     on en déduit alors                                                                                                              « »,
     la norme des vecteurs étant éliminée selon   d'où             « ».

Itération de la multiplication vectorielle modifier

Conséquence de la non associativité de la multiplication vectorielle modifier

     Le produit vectoriel de deux vecteurs étant un vecteur, il est possible d'itérer la multiplication vectorielle mais cette dernière étant « non associative » [40],
     Le produit vectoriel de deux vecteurs étant un vecteur, il est possible d'itérer la multiplication vectorielle il est donc indispensable de préciser dans quel ordre la multiplication vectorielle est faite ;

     ainsi avec un triplet ordonné de vecteurs   quelconques on peut former deux « doubles produits vectoriels »  [41] a priori différents,
     ainsi avec un triplet ordonné de vecteurs   quelconques on peut former deux « doubles produits vectoriels » la non associativité de la multiplication vectorielle rendant
     ainsi avec un triplet ordonné de vecteurs   quelconques on peut former deux « doubles produits vectoriels » la non associativité l'expression   sans aucune signification [42].

Formules du double produit vectoriel modifier

     Celles-ci peuvent se démontrer laborieusement à l'aide des composantes de chaque produit vectoriel dans une base orthonormée [37], voir le paragraphe « en complément : démonstration d'une des formules du double produit vectoriel par identification des composantes cartésiennes de chaque membre » plus loin dans le chapitre  pour les sceptiques 

  •     le membre de droite est une combinaison linéaire (C.L.) des deux vecteurs à l'intérieur des parenthèses du membre de gauche  à savoir   et  , le facteur multiplicatif de chaque vecteur étant le produit scalaire des deux autres vecteurs  pour   le produit scalaire est   et pour   c'est   avec un signe   devant le 1er vecteur des deux vecteurs à l'intérieur des parenthèses du membre de gauche  à savoir  [43] ;
  •     le membre de droite est une combinaison linéaire (C.L.) des deux vecteurs à l'intérieur des parenthèses du membre de gauche  à savoir   et  , le facteur multiplicatif de chaque vecteur étant le produit scalaire des deux autres vecteurs  pour   le produit scalaire est   et pour   c'est   avec un signe   devant le 2ème vecteur des deux vecteurs à l'intérieur des parenthèses du membre de gauche  à savoir  [44].

     Remarque : La 1ère formule du double produit vectoriel peut se déduire de la 2nde  et vice versa  par utilisation de l'anticommutativité de la multiplication vectorielle [45]
     Remarque : en effet   par utilisation de la 2ème formule du double produit vectoriel, ce qui établit finalement   c.-à-d. la 1ère formule du double produit vectoriel ;
     Remarque : il ne reste donc plus qu'à établir la 2nde formule du double produit vectoriel  

Vérification des formules du double produit vectoriel à partir de l'utilisation de la base orthonormée cartésienne directe modifier

On note   la base orthonormée cartésienne [37].

     À utiliser en particulier si on se souvient que le développement du double produit vectoriel aboutit à une C.L. [46] des deux vecteurs situés entre parenthèses dans le membre de gauche mais
     À utiliser en particulier si on a oublié où doit être positionné le signe  

     Formant un 1er produit vectoriel   donnant   et formant avec ce dernier le produit vectoriel   donnant   la formule du double produit vectoriel doit être en accord avec ce résultat
     Formant un 1er produit vectoriel   donnant   et formant avec ce dernier le produit vectoriel   donnant   on doit donc vérifier « » ;

     si on se souvient que le développement du double produit vectoriel doit être une C.L. [46] de   et    vecteurs du produit vectoriel entre parenthèses du membre de gauche ,
          si on se souvient que le développement du double produit vectoriel doit être une C.L. de   et   devant quel vecteur faut-il positionner le signe   ?

     Compte tenu du résultat trouvé par utilisation des propriétés des vecteurs de base orthonormée, « le signe   doit être devant   et le signe   devant  » selon la formule suivante
     Compte tenu du résultat trouvé par utilisation des propriétés des vecteurs de base orthonormée, «   » [47].

En complément : démonstration d'une des formules du double produit vectoriel par identification des composantes cartésiennes de chaque membre modifier

     Nous nous proposons de démontrer la 2nde formule du double produit vectoriel c.-à-d. « » en déterminant les composantes cartésiennes du 1er membre [39] et
     Nous nous proposons de démontrer la 2nde formule du double produit vectoriel c.-à-d. « » en retrouvant celles du 2nd à l'aide du produit scalaire de deux vecteurs
     Nous nous proposons de démontrer la 2nde formule du double produit vectoriel c.-à-d. « » en retrouvant en fonction des composantes de ces derniers [12] soit :

       soit, en factorisant autrement chaque composante

       puis en ajoutant et retranchant dans chaque composante le même produit à savoir

  • pour la 1ère composante on ajoute   permettant d'obtenir comme 1er terme   et
    pour la 1ère composante on retranche   permettant d'obtenir pour 2ème terme  ,
  • pour la 2ème composante on ajoute   permettant d'obtenir comme 1er terme   et
    pour la 2ème composante on retranche   permettant d'obtenir pour 2ème terme   et
  • pour la 3ème composante on ajoute   permettant d'obtenir comme 1er terme   et
    pour la 3ème composante on retranche   permettant d'obtenir pour 2ème terme   ;

     finalement on obtient   établissant la formule du double produit vectoriel  .

Produit mixte de trois vecteurs modifier

     La définition de la multiplication mixte de trois vecteurs d'un espace vectoriel à trois dimensions nécessite de vérifier, au préalable, que l'espace affine dont l'espace vectoriel est la direction [1] est orientable [13], ce qui a déjà été fait en introduction du paragraphe « produit vectoriel de deux vecteurs » plus haut dans ce chapitre ;
     l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction [1] étant orientable [13] a, du fait de son caractère connexe, exactement deux orientations différentes possibles à savoir

  • une « orientation à droite »  orientation définie par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de Maxwell [14] positionné en un point   de l'espace  ou
  • une « orientation à gauche »  orientation définissable par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de farces et attrapes [15] positionné en un point   de l'espace .

     Dans la suite de ce paragraphe nous supposons, en absence de précision, l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction [1] « orienté à droite »  par abus nous dirons « l'espace vectoriel est orienté à droite » au lieu de « l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction [1] est orienté à droite »  nous emploierions le même abus pour « l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction [1] orienté à gauche » .

Définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs modifier

     Remarque : Le produit vectoriel de deux vecteurs dépendant de l'orientation de l'espace  le produit vectoriel de deux vecteurs dans un espace « orienté à gauche » [16] étant l'opposé du produit vectoriel des mêmes vecteurs dans le même espace mais « orienté à droite » [16], [51]  bien que
     Remarque : le produit scalaire de deux vecteurs en soit indépendant, nous en déduisons que
     Remarque : le produit mixte de trois vecteurs dépend de l'orientation de l'espace, plus précisément
     Remarque : le produit mixte de trois vecteurs dans un espace « orienté à gauche » [16] est l'opposé du produit mixte des mêmes vecteurs dans le même espace mais « orienté à droite » [16].

Propriétés modifier

      Le produit mixte de trois vecteurs est invariant par permutation circulaire c.-à-d. que « » ;

      par contre toute permutation entre deux vecteurs laissant le 3ème en la même position change le produit mixte en son opposé par exemple :

      par contre  « » résultant de l'anticommutativité du produit vectoriel [45] ou

      par contre  « » résultant d'une 1ère permutation circulaire mettant   en 3ème position selon  
      par contre  « » suivi de l'utilisation de l'anticommutativité du produit vectoriel [45] ;

      dans un espace « orienté à droite » [16], le produit mixte «  est