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Définition intrinsèque du produit scalaire de deux vecteursModifier
Soient deux vecteurs et d'un espace vectoriel à trois ou deux dimensions représentés au même point de l'espace physique affine dont l'espace vectoriel est la direction[1] ; nous commençons par donner une « définition intrinsèque » [2] du produit scalaire avant de poursuivre avec une définition équivalente utilisant une base de l'espace.
Définition intrinsèque
Définition intrinsèque du produit scalaire de deux vecteurs
On appelle produit scalaire des vecteurs et , noté , le scalaire égal au produit de la norme d'un des vecteurs par la mesure algébrique du projeté du 2ème vecteur sur la direction orientée du 1er soit encore
ou .
Avec , on en déduit ainsi que d'où, en utilisant l'une ou l'autre forme de la définition intrinsèque du produit scalaire de et , .
Autre forme de la définition intrinsèque
On appelle produit scalaire des vecteurs et , noté , le scalaire égal au produit des normes des deux vecteurs par le cosinus de l'angle formé entre les deux vecteurs soit encore
.
Conséquence de la définition d'un produit scalaire sur un espace vectoriel à trois (ou deux) dimensionsModifier
La multiplication scalaire entre deux vecteurs est commutative c.-à-d. [4].
La multiplication scalaire entre deux vecteurs est distributive par rapport à l'addition vectorielle c.-à-d. [5].
Définition du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espaceModifier
On considère une base « orthonormée » [6] de l'espace vectoriel à trois dimensions [7] ainsi que la décomposition de et dans cette base ; utilisant la distributivité de la multiplication scalaire entre deux vecteurs relativement à l'addition vectorielle on obtient :
soit finalement, en utilisant le caractère normé des vecteurs de base .
Définition équivalente utilisant les composantes des deux vecteurs
Le produit scalaire des vecteurs et peut se définir, en utilisant les composantes de ces vecteurs dans la base orthonormée de l'espace à trois dimensions, , comme le scalaire noté , ce qui donne pour définition équivalente :
.
Remarque
Le produit scalaire des vecteurs et pouvant être défini de façon intrinsèque, sa valeur est indépendante d'une quelconque base orthonormée ; si on définit deux bases orthonormées distinctes de l'espace à trois dimensions et dans lesquelles les composantes des deux vecteurs sont respectivement et on peut affirmer l'« invariance du produit scalaire par changement de base » [8] soit
.
Calcul de l'angle entre deux vecteurs connaissant leurs composantes dans une même base orthonormée et par l'intermédiaire de leur produit scalaireModifier
Soient deux vecteurs non nuls et de l'espace vectoriel à trois dimensions dans lequel on définit la base orthonormée , supposons connues les composantes de ces vecteurs dans cette base c.-à-d. et cherchons à déterminer ; pour cela on peut exprimer le produit scalaire de ces deux vecteurs de façon intrinsèque d'une part et en utilisant leurs composantes d'autre part soit : donnant expression dans laquelle on peut éliminer les normes des vecteurs par et d'où
La définition de la multiplication vectorielle de deux vecteurs d'un espace vectoriel à trois dimensions nécessite de vérifier, au préalable, que l'espace affine dont l'espace vectoriel est la direction[1] est orientable[9], ce que nous admettrons ; l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction[1] étant orientable[9] et connexe, nous admettrons qu'il y a exactement deux orientations possibles différentes, le choix d'une de ces orientations qualifiant l'espace physique affine à trois dimensions de
« orienté à droite » orientation définie par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de Maxwell [10] positionné en un point de l'espace ou
« orienté à gauche » orientation définissable par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de farces et attrapes [11] positionné en un point de l'espace.
Dans la suite de ce paragraphe nous supposons, en absence de précision, l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction[1] « orienté à droite » par abus nous dirons « l'espace vectoriel est orienté à droite » au lieu de « l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction[1] est orienté à droite » nous emploierions le même abus pour « l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction[1] orienté à gauche ».
Vues en perspective et projetée d'un trièdre directVues en perspective et projetée d'un trièdre indirect
Soit une base « orthonormée » [6] de l'espace vectoriel, direction[1] de l'espace physique affine à trois dimensions « orienté à droite », la base est
« directe » si, levant le pouce de la main droite dans le sens de , l'index pointant dans le sens de , « le sens de est donné par le majeur courbé vers la paume de la main droite » [12]voir schémas [13] ci-contre à gauche ou
« indirecte » si, levant le pouce de la main gauche dans le sens de , l'index pointant dans le sens de , « le sens de est donné par le majeur courbé vers la paume de la main gauche » « règle de la main gauche » [14]voir schémas [15] ci-contre à droite.
Remarque
Si la base est orthonormée « directe », la base est orthonormée « indirecte » [16] et il en est de même de toutes les bases obtenues à partir de en remplaçant un quelconque vecteur de la base par son opposé ; par contre si on remplace deux vecteurs quelconques de la base par leurs opposés par exemple , on retrouve une base « directe » et si on remplace les trois vecteurs de la base par leurs opposés soit , la base est de nouveau « indirecte ».
Base directe (au sens de la physique) d'un espace orienté à gaucheModifier
Préliminaire : Dans un espace « orienté à gauche », la notion de base « directe au sens de la physique» doit être identifiée à celle de base « indirecte introduite en mathématiques » et Préliminaire : Dans un espace « orienté à gauche », celle de base « indirecte au sens de la physique» doit être identifiée à celle de base « directe introduite en mathématiques » en effet, Préliminaire : « en mathématiques, une base est dite directe » si les sens des vecteurs successifs de la base sont donnés par la même règle que celle définissant l'orientation de l'espace à savoir, pour un espace « orienté à gauche » la « règle de la main gauche » [14]et bien sûr, si les sens des vecteurs successifs de la base sont donnés par la « règle de la main droite » [12] pour un espace « orienté à gauche » la base est, en mathématiques, « indirecte » alors que Préliminaire : « en physique, une base sera dite directe » si les sens des vecteurs successifs de la base sont donnés par la « règle de la main droite » [12] que l'espace soit « orienté à droite » ou « à gauche » et bien sûr, si les sens des vecteurs successifs de la base sont donnés par la « règle de la main gauche » [14] pour un espace « orienté à droite » ou « à gauche » la base sera dite « indirecte au sens de la physique» ;
Préliminaire : la raison du choix fait en physique dans un espace « orienté à gauche » est son utilisation pratique en optique géométrique lors de la présence d'un miroir plan en effet Préliminaire : la raison du choix fait en physique un miroir plan mettant en correspondance un espace objet [17] avec un espace image [18], Préliminaire : la raison du choix fait en physique un miroir plan pour un espace objet usuellement « orienté à droite » avec choix d'une base « directe » orientant l'axe optique principal [19] dans le sens de propagation de la lumière, et étant au miroir obtenue par la « règle de la main droite » [12], il est physiquement souhaitable que Préliminaire : la raison du choix fait en physique un miroir plan l'espace image correspondant sachant que l'image d'un objet par un miroir plan est le symétrique de l'objet par rapport au plan du miroir soit « orienté à gauche » avec choix d'une base symétrique par rapport au miroir de la base définie dans l'espace objet orientant l'axe optique principal [19] dans le sens de propagation de la lumière réfléchie sur le miroir, et étant au miroir, la base choisie dans l'espace image « orienté à gauche » étant définie par la « règle de la main gauche » [14] ; Préliminaire : la raison du choix fait en physique un miroir plan les sens des vecteurs successifs de la base de l'espace image suivant la même règle que celle définissant l'orientation de l'espace image, la base serait qualifiée de « directe en mathématiques » mais, en physique, elle est qualifiée d'« indirecte » car, Préliminaire : la raison du choix fait en physique un miroir plan ce qui importe le plus en physique c'est le choix de la base indépendamment de l'orientation de l'espace, par suite, il semble difficile de qualifier simultanément de « directe » comme il faudrait le faire en suivant les définitions mathématiques la base de l'espace objet obtenue par la « règle de la main droite » [12] et celle de l'espace image obtenue par la « règle de la main gauche » [14]
Caractère direct ou indirect d'une base d'un espace orienté à gauche en physique : Soit une base « orthonormée » [6] de l'espace vectoriel, direction[1] de l'espace physique affine à trois dimensions « orienté à gauche » l'orientation étant obtenue avec la « règle de la main gauche » [14], la base est qualifiée, en physique, de
« directe » si les sens des vecteurs successifs de la base suivent la « règle de la main droite » [12] ou
« indirecte » si les sens des vecteurs successifs de la base suivent la « règle de la main gauche » [14].
Définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteursModifier
Définition intrinsèque
et étant deux vecteurs de l'espace vectoriel, direction[1] de l'espace physique affine à trois dimensions « orienté », on définit le produit vectoriel de et , noté , comme le vecteur ayant les propriétés suivantes :
si et sont colinéaires ou si un des deux vecteurs au moins est nul, ,
si et ne sont pas colinéaires, [20] et sa direction est normale au plan formé par et , son sens est tel que le trièdre est « direct » pour « un espace orienté à droite » [21] et « indirect au sens de la physique» pour « un espace orienté à gauche » [22], sa norme est définie par où .
La multiplication vectorielle entre deux vecteurs est anticommutative c.-à-d. ;
la multiplication vectorielle entre deux vecteurs est distributive par rapport à l'addition vectorielle c.-à-d. .
Définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espaceModifier
Définition (équivalente) du produit vectoriel à l'aide d'une base orthonormée
Soient et les composantes de et dans une base orthonormée base « directe dans un espace orienté à droite » et « indirecte au sens de la physique dans un espace orienté à gauche », les composantes de dans la même base sont :
et on peut les déterminer de la façon décrite ci-dessous :
Remarque : La détermination des composantes du produit vectoriel des deux vecteurs et étant la même quel que soit le caractère « direct ou indirect au sens de la physique de la base » adaptée à l'« orientation à droite ou à gauche de l'espace » le produit vectoriel de ces deux vecteurs et dans un espace orienté à gaucheavec une base indirecte au sens de la physiqueest opposé à celui de et dans un espace orienté à droiteavec une base directe en effet
Remarque : appelant la base « directe dans un espace orienté à droite » et la base « indirecte au sens de la physique dans le même espace orienté à gauche », Remarque : les composantes de dans étant , dans elles sont , de même Remarque : les composantes de dans étant , dans elles sont , nous en déduisons que Remarque : les composantes de dans sont «» et Remarque : les composantes de dans «» d'où
Remarque : exprimé dans et dans ayant une même 1ère composante et un couple de 2ème, 3ème composante opposée sont des vecteurs opposés,
Remarque : cette conclusion étant en accord avec la définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs.
Propriété des vecteurs de base d'une base orthonorméeModifier
Propriété
Soit une base orthonormée d'un espace orienté « à droite » ou « à gauche », « tout vecteur de base peut être écrit comme le produit vectoriel des deux autres vecteurs de base en respectant l'ordre de la base» :
On peut utiliser cette propriété et la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle pour retrouver les composantes du produit vectoriel de deux vecteurs en effet :
Interprétation géométrique de la norme du produit vectoriel
Notant l'angle non orienté entre les deux vecteurs, la norme de s'écrit
ou, avec , soit encore l'aire du parallélogramme construit à partir des vecteurs et [27].
À retenir
peut être interprété comme l'aire du parallélogramme construit à partir des vecteurs et .
Calcul de l'angle entre deux vecteurs connaissant leurs composantes dans une même base orthonormée et par l'intermédiaire de leur produit vectorielModifier
Soient deux vecteurs non nuls et de l'espace à trois dimensions orienté dans lequel on définit la base orthonormée [28], supposons connues les composantes de ces vecteurs dans cette base c.-à-d. et cherchons à déterminer [29] ;
pour cela on peut exprimer la norme du produit vectoriel de ces deux vecteurs de façon intrinsèque d'une part et en utilisant leurs composantes d'autre part soit : donnant expression dans laquelle on peut éliminer les normes des vecteurs par et d'où
.
Itération de la multiplication vectorielleModifier
Conséquence de la non associativité de la multiplication vectorielleModifier
Le produit vectoriel de deux vecteurs étant un vecteur, il est possible d'itérer la multiplication vectorielle mais cette dernière étant « non associative » [30] c.-à-d., avec trois vecteurs , et quelconques, on vérifie qu'en général [31] il est indispensable de préciser dans quel ordre la multiplication vectorielle est faite ;
ainsi avec un triplet ordonné de vecteurs quelconques on peut former deux « doubles produits vectoriels » [32] a priori différents, la non associativité de la multiplication vectorielle rendant l'expression sans aucune signification [33].
le membre de droite est une combinaison linéaire (C.L.) des deux vecteurs à l'intérieur des parenthèses du membre de gauche à savoir et , le facteur multiplicatif de chaque vecteur étant le produit scalaire des deux autres vecteurs pour le produit scalaire est et pour c'est avec un signe devant le 1er vecteur des deux vecteurs à l'intérieur des parenthèses du membre de gauche à savoir [34] ;
le membre de droite est une combinaison linéaire (C.L.) des deux vecteurs à l'intérieur des parenthèses du membre de gauche à savoir et , le facteur multiplicatif de chaque vecteur étant le produit scalaire des deux autres vecteurs pour le produit scalaire est et pour c'est avec un signe devant le 2ème vecteur des deux vecteurs à l'intérieur des parenthèses du membre de gauche à savoir [35].
Remarque : La 1ère formule du double produit vectoriel peut se déduire de la 2ndeet vice versa par utilisation de l'anticommutativité de la multiplication vectorielle[36] en effet par utilisation de la 2ème formule du double produit vectoriel, ce qui établit finalement c.-à-d. la 1ère formule du double produit vectoriel ; Remarque : il ne reste donc plus qu'à établir la 2nde formule du double produit vectoriel
Vérification des formules du double produit vectoriel à partir de l'utilisation de la base orthonormée cartésienne directeModifier
À utiliser en particulier si on se souvient que le développement du double produit vectoriel aboutit à une C.L. [37] des deux vecteurs situés entre parenthèses dans le membre de gauche mais que l'on a oublié où doit être positionné le signe
Formant un 1er produit vectoriel donnant et formant avec ce dernier le produit vectoriel donnant la formule du double produit vectoriel doit être en accord avec ce résultat c.-à-d. que l'on doit vérifier «» ;
si on se souvient que le développement du double produit vectoriel doit être une C.L. [37] de et vecteurs du produit vectoriel entre parenthèses du membre de gauche, devant quel vecteur faut-il positionner le signe ?
Le résultat final étant le signe doit donc être devant et le signe devant le selon la formule suivante «» [38].
En complément : démonstration d'une des formules du double produit vectoriel par identification des composantes cartésiennes de chaque membreModifier
Nous nous proposons de démontrer la 2nde formule du double produit vectoriel c.-à-d. «» en déterminant les composantes cartésiennes du 1er membre et en retrouvant celles du 2nd soit :
soit, en factorisant autrement chaque composante
puis en ajoutant et retranchant dans chaque composante le même produit à savoir
pour la 1ère composante on ajoute permettant d'obtenir comme 1er terme et pour la 1ère composante on retranche permettant d'obtenir pour 2ème terme ,
pour la 2ème composante on ajoute permettant d'obtenir comme 1er terme et pour la 2ème composante on retranche permettant d'obtenir pour 2ème terme et
pour la 3ème composante on ajoute permettant d'obtenir comme 1er terme et pour la 3ème composante on retranche permettant d'obtenir pour 2ème terme ;
finalement on obtient établissant la formule du double produit vectoriel .
La définition de la multiplication mixte de trois vecteurs d'un espace vectoriel à trois dimensions nécessite de vérifier, au préalable, que l'espace affine dont l'espace vectoriel est la direction[1] est orientable[9] ce qui a déjà été fait en introduction du paragraphe « produit vectoriel de deux vecteurs » plus haut dans ce chapitre ; l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction[1] étant orientable[9] a, du fait de son caractère connexe, exactement deux orientations différentes possibles à savoir
une « orientation à droite » orientation définie par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de Maxwell [10] positionné en un point de l'espace ou
une « orientation à gauche » orientation définissable par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de farces et attrapes [11] positionné en un point de l'espace.
Dans la suite de ce paragraphe nous supposons, en absence de précision, l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction[1] « orienté à droite » par abus nous dirons « l'espace vectoriel est orienté à droite » au lieu de « l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction[1] est orienté à droite » nous emploierions le même abus pour « l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction[1] orienté à gauche ».
Définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteursModifier
Définition intrinsèque
, et étant trois vecteurs de l’espace vectoriel, direction[1] de l'espace physique affine à trois dimensions « orienté », on définit le produit mixte de , et [39] comme
Remarque : Le produit vectoriel de deux vecteurs dépendant de l'orientation de l'espace le produit vectoriel de deux vecteurs dans un espace « orienté à gauche » étant l'opposé du produit vectoriel des mêmes vecteurs dans le même espace mais « orienté à droite »[42] alors que Remarque : le produit scalaire de deux vecteurs en est indépendant, nous en déduisons que Remarque : le produit mixte de trois vecteurs dépend de l'orientation de l'espace :
le produit mixte de trois vecteurs dans un espace « orienté à gauche » est l'opposé du produit mixte des mêmes vecteurs dans le même espace mais « orienté à droite ».
Le produit mixte de trois vecteurs est invariant par permutation circulaire c.-à-d. que «» ;
par contre toute permutation entre deux vecteurs laissant le troisième en la même position change le produit mixte en son opposé par exemple :
par contre «» résultant de l'anticommutativité du produit vectoriel ou
par contre «» résultant d'une première permutation circulaire mettant en troisième position selon suivi de l'utilisation de l'anticommutativité du produit vectoriel ;
dans un espace « orienté à droite », le produit mixte « est » [43] alors que
dans un espace « orienté à gauche », le produit mixte« est » [43].
Définition du produit mixte de trois vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espaceModifier
Définition (équivalente) du produit mixte à l'aide d'une base orthonormée
Soient , et les composantes de , et dans une base orthonormée base « directe dans un espace orienté à droite » et « indirecte au sens de la physique dans un espace orienté à gauche »,
les composantes de dans la même base étant , le produit mixte est défini par «».
Remarque : On peut aisément vérifier l'invariance du produit mixte par permutation circulaire à l'aide des composantes des vecteurs par exemple pour montrer que «» on part de dans laquelle, après des factorisations partielles en , et , on obtient
avec les composantes ordonnées du produit vectoriel
Interprétation géométrique de la valeur absolue du produit mixte de trois vecteurs non coplanairesModifier
Interprétation géométrique du produit mixte
L'espace étant « orienté à droite » et appelant un vecteur unitaire normal au plan formé par et tel que soit direct, nous pouvons écrire «» avec « représentant l'aire du parallélogramme construit à partir de et » ; d'autre part la définition du produit scalaire nous conduit à «» avec «