Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Produit scalaire, produit vectoriel et produit mixte

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Produit scalaire de deux vecteurs

Définition intrinsèque du produit scalaire de deux vecteurs

     Soient deux vecteurs $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}\;$ d'un espace vectoriel à trois $\;{\big (}$ou deux${\big )}\;$ dimensions représentés au même point $\;M\;$ de l'espace physique affine dont l'espace vectoriel est la direction  ; nous commençons par donner une « définition intrinsèque » du produit scalaire avant de poursuivre avec une définition équivalente utilisant une base de l'espace.

Définition intrinsèque

Définition intrinsèque du produit scalaire de deux vecteurs

     On appelle produit scalaire des vecteurs $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}\;$, noté $\;{\vec {u}}\!\cdot \!{\vec {v}}$, le scalaire égal au produit de la norme d'un des vecteurs par la mesure algébrique du projeté du 2^ème vecteur sur la direction orientée du 1^er soit encore

$\;{\vec {u}}\!\cdot \!{\vec {v}}=\Vert {\vec {u}}\Vert \times {\overline {\mathrm {proj.sur} \,{\vec {u}}\,\mathrm {de} \,{\vec {v}}}}\;$
ou
$\;{\vec {u}}\!\cdot \!{\vec {v}}=\Vert {\vec {v}}\Vert \times {\overline {\mathrm {proj.sur} \,{\vec {v}}\,\mathrm {de} \,{\vec {u}}}}$.

     Avec $\;\alpha ={\widehat {\left({\vec {u}}\,{,}\,{\vec {v}}\right)}}$, on en déduit $\;{\overline {\mathrm {proj.sur} \,{\vec {u}}\,\mathrm {de} \,{\vec {v}}}}={\overline {MK}}=\Vert {\vec {v}}\Vert \times \cos(\alpha )\;$ ainsi que $\;{\overline {\mathrm {proj.sur} \,{\vec {v}}\,\mathrm {de} \,{\vec {u}}}}={\overline {MH}}=\Vert {\vec {u}}\Vert \times \cos(\alpha )\;$ d'où, en utilisant l'une ou l'autre forme de la définition intrinsèque du produit scalaire de $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}$, $\;{\vec {u}}\!\cdot \!{\vec {v}}=\Vert {\vec {u}}\Vert \times \Vert {\vec {v}}\Vert \times \cos(\alpha )$.

Autre forme de la définition intrinsèque

     On appelle produit scalaire des vecteurs $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}$, noté $\;{\vec {u}}\!\cdot \!{\vec {v}}$, le scalaire égal au produit des normes des deux vecteurs par le cosinus de l'angle formé entre les deux vecteurs $\;\alpha ={\widehat {\left({\vec {u}}\,{,}\,{\vec {v}}\right)}}\;$ soit encore

$\;{\vec {u}}\!\cdot \!{\vec {v}}=\Vert {\vec {u}}\Vert \times \Vert {\vec {v}}\Vert \times \cos(\alpha )$.

Conséquence de la définition d'un produit scalaire sur un espace vectoriel à trois (ou deux) dimensions

     La définition de la multiplication scalaire de deux vecteurs d'un espace vectoriel à trois $\;{\big (}$ou deux${\big )}\;$ rend l'espace vectoriel euclidien de même que l'espace affine dont cet espace vectoriel est la direction , le caractère euclidien de l'espace affine permettant de définir la distance entre deux points de l'espace affine .

Propriétés

Valeurs possibles d'un produit scalaire de deux vecteurs

     Lorsque $\;{\vec {u}}\;$ ou $\;{\vec {v}}\;$ est nul, $\;{\vec {u}}\!\cdot \!{\vec {v}}=0$ ;

     lorsqu'aucun des vecteurs n'est nul mais $\;{\vec {u}}\perp {\vec {v}}$, $\;\alpha ={\widehat {\left({\vec {u}}\,{,}\,{\vec {v}}\right)}}=\pm {\dfrac {\pi }{2}}\Rightarrow \cos(\alpha )=0\;$ d'où $\;{\vec {u}}\!\cdot \!{\vec {v}}=0$ ;

     dans tous les autres cas $\;{\vec {u}}\!\cdot \!{\vec {v}}\neq 0\;$ en étant $\;>0\;$ si $\;\alpha \;$ est aigu et $\;<0\;$ si $\;\alpha \;$ est obtus.

À retenir

Deux vecteurs $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}\;$ non nuls sont orthogonaux ssi $\;{\vec {u}}\!\cdot \!{\vec {v}}=0$.

Autres propriétés

     La multiplication scalaire entre deux vecteurs est commutative c.-à-d. $\;{\vec {u}}\!\cdot \!{\vec {v}}={\vec {v}}\!\cdot \!{\vec {u}}\;$.

     La multiplication scalaire entre deux vecteurs est distributive par rapport à l'addition vectorielle c.-à-d. $\;{\vec {u}}\!\cdot \!\left({\vec {v}}+{\vec {w}}\right)={\vec {u}}\!\cdot \!{\vec {v}}+{\vec {u}}\!\cdot \!{\vec {w}}\;$.

Définition du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace

     On considère une base « orthonormée » de l'espace vectoriel à trois dimensions $\left\lbrace {\vec {i}},\,{\vec {j}},\,{\vec {k}}\right\rbrace \;$ ainsi que la décomposition de $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}\;$ dans cette base $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}=u_{x}\,{\vec {i}}+u_{y}\,{\vec {j}}+u_{z}\,{\vec {k}}\\{\vec {v}}=v_{x}\,{\vec {i}}+v_{y}\,{\vec {j}}+v_{z}\,{\vec {k}}\end{array}}\right.$ ; utilisant la distributivité de la multiplication scalaire entre deux vecteurs relativement à l'addition vectorielle on obtient :

     $\;{\vec {u}}\!\cdot \!{\vec {v}}=\left\lbrace {\begin{array}{l}\left(u_{x}\,{\vec {i}}+u_{y}\,{\vec {j}}+u_{z}\,{\vec {k}}\right)\!\cdot \!\left(v_{x}\,{\vec {i}}+v_{y}\,{\vec {j}}+v_{z}\,{\vec {k}}\right)=u_{x}\,v_{x}\,{\vec {i}}^{2}+u_{y}\,v_{y}\,{\vec {j}}^{2}+u_{z}\,v_{z}\,{\vec {k}}^{2}+\cdots \\\qquad \qquad \cdots \,\left(u_{x}\,v_{y}+u_{y}\,v_{x}\right){\cancel {{\vec {i}}\!\cdot \!{\vec {j}}}}+\left(u_{x}\,v_{z}+u_{z}\,v_{x}\right){\cancel {{\vec {i}}\!\cdot \!{\vec {k}}}}\,+\left(u_{y}\,v_{z}+u_{z}\,v_{y}\right){\cancel {{\vec {j}}\!\cdot \!{\vec {k}}}}\end{array}}\right.\;$ soit finalement, en utilisant le caractère normé des vecteurs de base $\;{\vec {u}}\!\cdot \!{\vec {v}}=u_{x}\,v_{x}+u_{y}\,v_{y}+u_{z}\,v_{z}$.

Définition équivalente utilisant les composantes des deux vecteurs

     Le produit scalaire des vecteurs $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}\;$ peut se définir, en utilisant les composantes de ces vecteurs dans la base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {i}},\,{\vec {j}},\,{\vec {k}}\right\rbrace \;$ de l'espace à trois dimensions, $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}=u_{x}\,{\vec {i}}+u_{y}\,{\vec {j}}+u_{z}\,{\vec {k}}\\{\vec {v}}=v_{x}\,{\vec {i}}+v_{y}\,{\vec {j}}+v_{z}\,{\vec {k}}\end{array}}\right.$, comme le scalaire $\;u_{x}\,v_{x}+u_{y}\,v_{y}+u_{z}\,v_{z}\;$ noté $\;{\vec {u}}\!\cdot \!{\vec {v}}$, ce qui donne pour définition équivalente :

$\;{\vec {u}}\!\cdot \!{\vec {v}}=u_{x}\,v_{x}+u_{y}\,v_{y}+u_{z}\,v_{z}$.

Remarque

     Le produit scalaire des vecteurs $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}\;$ pouvant être défini de façon intrinsèque, sa valeur est indépendante d'une quelconque base orthonormée ; si on définit deux bases orthonormées distinctes de l'espace à trois dimensions $\;\left\lbrace {\vec {i}},\,{\vec {j}},\,{\vec {k}}\right\rbrace \;$ et $\;\left\lbrace {\vec {i'}},\,{\vec {j'}},\,{\vec {k'}}\right\rbrace \;$ dans lesquelles les composantes des deux vecteurs sont respectivement $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}=u_{x}\,{\vec {i}}+u_{y}\,{\vec {j}}+u_{z}\,{\vec {k}}\\{\vec {v}}=v_{x}\,{\vec {i}}+v_{y}\,{\vec {j}}+v_{z}\,{\vec {k}}\end{array}}\right.\;$ et $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}=u_{x'}\,{\vec {i'}}+u_{y'}\,{\vec {j'}}+u_{z'}\,{\vec {k'}}\\{\vec {v}}=v_{x'}\,{\vec {i'}}+v_{y'}\,{\vec {j'}}+v_{z'}\,{\vec {k'}}\end{array}}\right.\;$ on peut affirmer l'« invariance du produit scalaire par changement de base » soit

$\;{\vec {u}}\!\cdot \!{\vec {v}}=u_{x}\,v_{x}+u_{y}\,v_{y}+u_{z}\,v_{z}=u_{x'}\,v_{x'}+u_{y'}\,v_{y'}+u_{z'}\,v_{z'}$.

Calcul de l'angle entre deux vecteurs connaissant leurs composantes dans une même base orthonormée et par l'intermédiaire de leur produit scalaire

     Soient deux vecteurs non nuls $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}\;$ de l'espace vectoriel à trois dimensions dans lequel on définit la base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {i}},\,{\vec {j}},\,{\vec {k}}\right\rbrace$, supposons connues les composantes de ces vecteurs dans cette base c.-à-d. $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}=u_{x}\,{\vec {i}}+u_{y}\,{\vec {j}}+u_{z}\,{\vec {k}}\\{\vec {v}}=v_{x}\,{\vec {i}}+v_{y}\,{\vec {j}}+v_{z}\,{\vec {k}}\end{array}}\right.\;$ et cherchons à déterminer $\;\alpha ={\widehat {\left({\vec {u}}\,{,}\,{\vec {v}}\right)}}$ ;
     pour cela on peut exprimer le produit scalaire de ces deux vecteurs de façon intrinsèque d'une part et en utilisant leurs composantes d'autre part soit : $\;{\vec {u}}\!\cdot \!{\vec {v}}=\Vert {\vec {u}}\Vert \times \Vert {\vec {v}}\Vert \times \cos(\alpha )=u_{x}\,v_{x}+u_{y}\,v_{y}+u_{z}\,v_{z}\;$ donnant $\;\cos(\alpha )={\dfrac {u_{x}\,v_{x}+u_{y}\,v_{y}+u_{z}\,v_{z}}{\Vert {\vec {u}}\Vert \times \Vert {\vec {v}}\Vert }}\;$ expression dans laquelle on peut éliminer les normes des vecteurs par $\;\Vert {\vec {u}}\Vert ={\sqrt {u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}}}\;$ et $\;\Vert {\vec {v}}\Vert ={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}\;$ d'où

$\;\cos(\alpha )={\dfrac {u_{x}\,v_{x}+u_{y}\,v_{y}+u_{z}\,v_{z}}{{\sqrt {u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}}}\,{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}}$.

Produit vectoriel de deux vecteurs

     La définition de la multiplication vectorielle de deux vecteurs d'un espace vectoriel à trois dimensions nécessite de vérifier, au préalable, que l'espace affine dont l'espace vectoriel est la direction est orientable , ce que nous admettrons ;
     l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction étant orientable et connexe, nous admettrons qu'il y a exactement deux orientations possibles différentes, le choix d'une de ces orientations qualifiant l'espace physique affine à trois dimensions de

• « orienté à droite » $\;{\big (}$orientation définie par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de Maxwell positionné en un point $\;M\;$ de l'espace${\big )}\;$ ou
• « orienté à gauche » $\;{\big (}$orientation définissable par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de farces et attrapes positionné en un point $\;M\;$ de l'espace${\big )}\;$.

     Dans la suite de ce paragraphe nous supposons, en absence de précision, l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction « orienté à droite » $\;{\big \{}$par abus nous dirons « l'espace vectoriel est orienté à droite » au lieu de « l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction est orienté à droite » $\;{\big (}$nous emploierions le même abus pour « l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction orienté à gauche »${\big )}{\big \}}$.

Base directe d'un espace orienté à droite

Vues en perspective et projetée d'un trièdre direct

Vues en perspective et projetée d'un trièdre indirect

     Soit une base « orthonormée » $\;\left\lbrace {\vec {i}},\,{\vec {j}},\,{\vec {k}}\right\rbrace \;$ de l'espace vectoriel, direction de l'espace physique affine à trois dimensions « orienté à droite », la base est

• « directe » si, levant le pouce de la main droite dans le sens de $\;{\vec {i}}$, l'index pointant dans le sens de $\;{\vec {j}}$, « le sens de $\;{\vec {k}}\;$ est donné par le majeur courbé vers la paume de la main droite » $\;{\big (}$voir schémas ci-contre à gauche${\big )}\;$ ou
• « indirecte » si, levant le pouce de la main gauche dans le sens de $\;{\vec {i}}$, l'index pointant dans le sens de $\;{\vec {j}}$, « le sens de $\;{\vec {k}}\;$ est donné par le majeur courbé vers la paume de la main gauche » $\;{\big (}$« règle de la main gauche » ${\big )}$ $\;{\big (}$voir schémas ci-contre à droite${\big )}$.

Remarque

     Si la base $\;\left\lbrace {\vec {i}},\,{\vec {j}},\,{\vec {k}}\right\rbrace \;$ est orthonormée « directe », la base $\;\left\lbrace {\vec {i}},\,{\vec {j}},\,-{\vec {k}}\right\rbrace \;$ est orthonormée « indirecte » et il en est de même de toutes les bases obtenues à partir de $\;\left\lbrace {\vec {i}},\,{\vec {j}},\,{\vec {k}}\right\rbrace \;$ en remplaçant un quelconque vecteur de la base par son opposé ;
     par contre si on remplace deux vecteurs quelconques de la base par leurs opposés par exemple $\;\left\lbrace {\vec {i}},\,-{\vec {j}},\,-{\vec {k}}\right\rbrace$, on retrouve une base « directe » et
     si on remplace les trois vecteurs de la base par leurs opposés soit $\;\left\lbrace -{\vec {i}},\,-{\vec {j}},\,-{\vec {k}}\right\rbrace$, la base est de nouveau « indirecte ».

Base directe (au sens de la physique) d'un espace orienté à gauche

     Préliminaire : Dans un espace « orienté à gauche », la notion de base « directe $\;{\big (}$au sens de la physique${\big )}\;$» doit être identifiée à celle de base « indirecte introduite en mathématiques » et
     Préliminaire : Dans un espace « orienté à gauche »,       celle de base « indirecte $\;{\big (}$au sens de la physique${\big )}\;$» doit être identifiée à celle de base « directe introduite en mathématiques » en effet,
     Préliminaire : « en mathématiques, une base $\;\left\lbrace {\vec {i}},\,{\vec {j}},\,{\vec {k}}\right\rbrace \;$ est dite directe » si les sens des vecteurs successifs de la base sont donnés par la même règle que celle définissant l'orientation de l'espace à savoir, pour un espace « orienté à gauche » la « règle de la main gauche » $\;{\big \{}$et bien sûr, si les sens des vecteurs successifs de la base sont donnés par la « règle de la main droite » pour un espace « orienté à gauche » la base est, en mathématiques, « indirecte »${\big \}}\;$ alors que
     Préliminaire : « en physique, une base $\;\left\lbrace {\vec {i}},\,{\vec {j}},\,{\vec {k}}\right\rbrace \;$ sera dite directe » si les sens des vecteurs successifs de la base sont donnés par la « règle de la main droite » que l'espace soit « orienté à droite » ou « à gauche » $\;{\big \{}$et bien sûr, si les sens des vecteurs successifs de la base sont donnés par la « règle de la main gauche » pour un espace « orienté à droite » ou « à gauche » la base sera dite « indirecte $\;{\big (}$au sens de la physique${\big )}\;$»${\big \}}$ ;

     Préliminaire : la raison du choix fait en physique dans un espace « orienté à gauche » est son utilisation pratique en optique géométrique lors de la présence d'un miroir plan en effet
     Préliminaire : la raison du choix fait en physique un miroir plan mettant en correspondance un espace objet avec un espace image ,
     Préliminaire : la raison du choix fait en physique un miroir plan pour un espace objet usuellement « orienté à droite » avec choix d'une base « directe » $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x},\,{\vec {u}}_{y},\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace$ $\;{\big [}{\vec {u}}_{x}\;$ orientant l'axe optique principal dans le sens de propagation de la lumière, $\;{\vec {u}}_{y}\;$ et $\;{\vec {u}}_{z}\;$ étant $\;\parallel \;$ au miroir${\big ]}\;$ obtenue par la « règle de la main droite » , il est physiquement souhaitable que
     Préliminaire : la raison du choix fait en physique un miroir plan l'espace image correspondant $\;{\big (}$sachant que l'image d'un objet par un miroir plan est le symétrique de l'objet par rapport au plan du miroir${\big )}\;$ soit « orienté à gauche » avec choix d'une base $\;\left\lbrace {{\vec {u}}'}_{\!x}=-{\vec {u}}_{x},\,{\vec {u}}_{y},\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ symétrique par rapport au miroir de la base définie dans l'espace objet $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x},\,{\vec {u}}_{y},\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace$ $\;{\big [}{{\vec {u}}'}_{\!x}=-{\vec {u}}_{x}\;$ orientant l'axe optique principal dans le sens de propagation de la lumière réfléchie sur le miroir, $\;{\vec {u}}_{y}\;$ et $\;{\vec {u}}_{z}\;$ étant $\;\parallel \;$ au miroir${\big ]}$, la base choisie dans l'espace image « orienté à gauche » étant définie par la « règle de la main gauche »  ;
     Préliminaire : la raison du choix fait en physique un miroir plan les sens des vecteurs successifs de la base de l'espace image suivant la même règle que celle définissant l'orientation de l'espace image, la base serait qualifiée de « directe en mathématiques » mais, en physique, elle est qualifiée d'« indirecte » car,
     Préliminaire : la raison du choix fait en physique un miroir plan ce qui importe le plus en physique c'est le choix de la base indépendamment de l'orientation de l'espace, par suite, il semble difficile de qualifier simultanément de « directe » $\;{\big (}$comme il faudrait le faire en suivant les définitions mathématiques${\big )}\;$ la base de l'espace objet obtenue par la « règle de la main droite » et celle de l'espace image obtenue par la « règle de la main gauche » $\;\ldots$

     Caractère direct ou indirect d'une base d'un espace orienté à gauche en physique : Soit une base « orthonormée » $\;\left\lbrace {\vec {i}},\,{\vec {j}},\,{\vec {k}}\right\rbrace \;$ de l'espace vectoriel, direction de l'espace physique affine à trois dimensions « orienté à gauche » $\;{\big (}$l'orientation étant obtenue avec la « règle de la main gauche » ${\big )}$, la base est qualifiée, en physique, de

• « directe » si les sens des vecteurs successifs de la base suivent la « règle de la main droite » ou
• « indirecte » si les sens des vecteurs successifs de la base suivent la « règle de la main gauche » .

Définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs

Définition intrinsèque

     $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}\;$ étant deux vecteurs de l'espace vectoriel, direction de l'espace physique affine à trois dimensions « orienté », on définit le produit vectoriel de $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}$, noté $\;{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}$, comme le vecteur ayant les propriétés suivantes :

• si $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}\;$ sont colinéaires ou si un des deux vecteurs au moins est nul, $\;{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}={\vec {0}}$,
• si $\;{\vec {u}}\neq {\vec {0}}\;$ et $\;{\vec {v}}\neq {\vec {0}}\;$ ne sont pas colinéaires, $\;{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\neq {\vec {0}}\;$ et
            $\;\succ \;$sa direction est normale au plan formé par $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}$,
            $\;\succ \;$son sens est tel que le trièdre $\;\left\lbrace {\vec {u}},\,{\vec {v}},\,{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right\rbrace \;$ est « direct » pour « un espace orienté à droite » et « indirect $\;{\big (}$au sens de la physique${\big )}\;$» pour « un espace orienté à gauche » ,
            $\;\succ \;$sa norme est définie par $\;\left\Vert {\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right\Vert =\left\Vert {\vec {u}}\right\Vert \;\left\Vert {\vec {v}}\right\Vert \;|\sin(\alpha )|\;$ où $\;\alpha ={\widehat {\left({\vec {u}}\,{,}\,{\vec {v}}\right)}}$.

Propriétés

     $\;\succ \;$La multiplication vectorielle entre deux vecteurs est anticommutative c.-à-d. $\;{\vec {v}}\wedge {\vec {u}}=-\left({\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right)$ ;

     $\;\succ \;$la multiplication vectorielle entre deux vecteurs est distributive par rapport à l'addition vectorielle c.-à-d. $\;{\vec {u}}\wedge \left({\vec {v}}+{\vec {w}}\right)=$ ${\vec {u}}\wedge {\vec {v}}+{\vec {u}}\wedge {\vec {w}}$.

Définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace

Définition (équivalente) du produit vectoriel à l'aide d'une base orthonormée

     Soient $\;{\vec {u}}\;(u_{1},\,u_{2},\,u_{3})\;$ et $\;{\vec {v}}\;(v_{1},\,v_{2},\,v_{3})\;$ les composantes de $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}\;$ dans une base orthonormée $\;({\vec {e}}_{1},\,{\vec {e}}_{2},\,{\vec {e}}_{3})$ $\;{\big \{}$base « directe dans un espace orienté à droite » et « indirecte $\;{\big (}$au sens de la physique${\big )}\;$ dans un espace orienté à gauche »${\big \}}$, les composantes de $\;{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\;$ dans la même base sont :

$\;(u_{2}\,v_{3}-u_{3}\,v_{2},\;u_{3}\,v_{1}-u_{1}\,v_{3},\;u_{1}\,v_{2}-u_{2}\,v_{1})\;$

et on peut les déterminer de la façon décrite ci-dessous :

     $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c}&&{\vec {u}}&\wedge &{\vec {v}}&=&{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\\{\vec {e}}_{1}&|&u_{1}&&v_{1}&&u_{2}\,v_{3}-u_{3}\,v_{2}\\{\vec {e}}_{2}&|&u_{2}&^{+}{\searrow }&v_{2}&&\\{\vec {e}}_{3}&|&u_{3}&_{-}{\nearrow }&v_{3}&&\end{array}}\right\rbrace \;$      $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c}&&{\vec {u}}&\wedge &{\vec {v}}&=&{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\\{\vec {e}}_{1}&|&u_{1}&&v_{1}&&\\{\vec {e}}_{2}&|&u_{2}&&v_{2}&&u_{3}\,v_{1}-u_{1}\,v_{3}\\{\vec {e}}_{3}&|&u_{3}&^{+}{\searrow }&v_{3}&&\\{\vec {e}}_{1}&|&u_{1}&_{-}{\nearrow }&v_{1}&&\end{array}}\right\rbrace \;$      $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c}&&{\vec {u}}&\wedge &{\vec {v}}&=&{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\\{\vec {e}}_{1}&|&u_{1}&^{+}{\searrow }&v_{1}&&\\{\vec {e}}_{2}&|&u_{2}&_{-}{\nearrow }&v_{2}&&\\{\vec {e}}_{3}&|&u_{3}&&v_{3}&&u_{1}\,v_{2}-u_{2}\,v_{1}\end{array}}\right\rbrace$.

     Remarque : La détermination des composantes du produit vectoriel des deux vecteurs $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}\;$ étant la même quel que soit le caractère « direct ou indirect $\;{\big (}$au sens de la physique${\big )}\;$ de la base » adaptée à l'« orientation à droite ou à gauche de l'espace » $\Rightarrow$ le produit vectoriel de ces deux vecteurs $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}\;$ dans un espace orienté à gauche $\;{\big \{}$avec une base indirecte $\;{\big (}$au sens de la physique${\big )}{\big \}}\;$ est opposé à celui de $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}\;$ dans un espace orienté à droite $\;{\big \{}$avec une base directe${\big \}}\;$ en effet

     Remarque : appelant $\;({\vec {b}}_{1},\,{\vec {b}}_{2},\,{\vec {b}}_{3})\;$ la base « directe dans un espace orienté à droite » et $\;({{\vec {b}}'}_{\!1}=-{\vec {b}}_{1},\,{\vec {b}}_{2},\,{\vec {b}}_{3})\;$ la base « indirecte $\;{\big (}$au sens de la physique${\big )}\;$ dans le même espace orienté à gauche »,
     Remarque : les composantes de $\;{\vec {u}}\;$ dans $\;({\vec {b}}_{1},\,{\vec {b}}_{2},\,{\vec {b}}_{3})\;$ étant $\;(u_{1},\,u_{2},\,u_{3})$, dans $\;({{\vec {b}}'}_{\!1}=-{\vec {b}}_{1},\,{\vec {b}}_{2},\,{\vec {b}}_{3})\;$ elles sont $\;({u'}_{\!1}=-u_{1},\,u_{2},\,u_{3})$, de même
     Remarque : les composantes de $\;{\vec {v}}\;$ dans $\;({\vec {b}}_{1},\,{\vec {b}}_{2},\,{\vec {b}}_{3})\;$ étant $\;(v_{1},\,v_{2},\,v_{3})$, dans $\;({{\vec {b}}'}_{\!1}=-{\vec {b}}_{1},\,{\vec {b}}_{2},\,{\vec {b}}_{3})\;$ elles sont $\;({v'}_{\!1}=-v_{1},\,v_{2},\,v_{3})$, nous en déduisons que
     Remarque : les composantes de $\;{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\;$ dans $\;({\vec {b}}_{1},\,{\vec {b}}_{2},\,{\vec {b}}_{3})\;$ sont «$\;\left\lbrace u_{2}\,v_{3}-u_{3}\,v_{2}\;,\;u_{3}\,v_{1}-u_{1}\,v_{3}\;,\;u_{1}\,v_{2}-u_{2}\,v_{1}\right\rbrace \;$» et
     Remarque : les composantes de              dans $\;({{\vec {b}}'}_{\!1}=-{\vec {b}}_{1},\,{\vec {b}}_{2},\,{\vec {b}}_{3})\;$ «$\;\left\lbrace u_{2}\,v_{3}-u_{3}\,v_{2}\;,\;u_{3}\,{v'}_{\!1}-{u'}_{\!1}\,v_{3}\;,\;{u'}_{\!1}\,v_{2}-u_{2}\,{v'}_{\!1}\right\rbrace =\left\lbrace (u_{2}\,v_{3}-u_{3}\,v_{2})\;,\;-(u_{3}\,v_{1}-u_{1}\,v_{3})\;,\;-(u_{1}\,v_{2}-u_{2}\,v_{1})\right\rbrace \;$» d'où

     Remarque : $\;{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\;$ exprimé dans $\;({\vec {b}}_{1},\,{\vec {b}}_{2},\,{\vec {b}}_{3})\;$ et dans $\;({{\vec {b}}'}_{\!1}=-{\vec {b}}_{1},\,{\vec {b}}_{2},\,{\vec {b}}_{3})\;$ ayant une même 1^ère composante et un couple de 2^ème, 3^ème composante opposée sont des vecteurs opposés,

     Remarque : cette conclusion étant en accord avec la définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs.

Propriété des vecteurs de base d'une base orthonormée

Propriété

     Soit une base orthonormée $\;({\vec {e}}_{1},\,{\vec {e}}_{2},\,{\vec {e}}_{3})\;$ d'un espace orienté $\;{\big (}$« à droite » ou « à gauche »${\big )}$, « tout vecteur de base peut être écrit comme le produit vectoriel des deux autres vecteurs de base $\;{\big (}$en respectant l'ordre de la base${\big )}\;$» :

$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {e}}_{1}={\vec {e}}_{2}\wedge {\vec {e}}_{3}\\{\vec {e}}_{2}={\vec {e}}_{3}\wedge {\vec {e}}_{1}\\{\vec {e}}_{3}={\vec {e}}_{1}\wedge {\vec {e}}_{2}\end{array}}\right.\;$.

     On peut utiliser cette propriété et la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle pour retrouver les composantes du produit vectoriel de deux vecteurs en effet :

$\;{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}=\left(u_{1}\,{\vec {e}}_{1}+u_{2}\,{\vec {e}}_{2}+u_{3}\,{\vec {e}}_{3}\right)\wedge \left(v_{1}\,{\vec {e}}_{1}+v_{2}\,{\vec {e}}_{2}+v_{3}\,{\vec {e}}_{3}\right)=$ $u_{1}\,v_{2}\left({\vec {e}}_{1}\wedge {\vec {e}}_{2}\right)+u_{1}\,v_{3}\left({\vec {e}}_{1}\wedge {\vec {e}}_{3}\right)+u_{2}\,v_{1}\left({\vec {e}}_{2}\wedge {\vec {e}}_{1}\right)+u_{2}\,v_{3}\left({\vec {e}}_{2}\wedge {\vec {e}}_{3}\right)+u_{3}\,v_{1}\left({\vec {e}}_{3}\wedge {\vec {e}}_{1}\right)+u_{3}\,v_{2}\left({\vec {e}}_{3}\wedge {\vec {e}}_{2}\right)=$ $\left(u_{1}\,v_{2}-u_{2}\,v_{1}\right)\left({\vec {e}}_{1}\wedge {\vec {e}}_{2}\right)+\left(u_{2}\,v_{3}-u_{3}\,v_{2}\right)\left({\vec {e}}_{2}\wedge {\vec {e}}_{3}\right)$ $+\left(u_{3}\,v_{1}-u_{1}\,v_{3}\right)\left({\vec {e}}_{3}\wedge {\vec {e}}_{1}\right)\;$ soit enfin
$\;{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}=\left(u_{1}\,v_{2}-u_{2}\,v_{1}\right){\vec {e}}_{3}+\left(u_{2}\,v_{3}-u_{3}\,v_{2}\right){\vec {e}}_{1}+\left(u_{3}\,v_{1}-u_{1}\,v_{3}\right){\vec {e}}_{2}\;$ ou en ordonnant
$\;{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}=\left(u_{2}\,v_{3}-u_{3}\,v_{2}\right){\vec {e}}_{1}+\left(u_{3}\,v_{1}-u_{1}\,v_{3}\right){\vec {e}}_{2}+\left(u_{1}\,v_{2}-u_{2}\,v_{1}\right){\vec {e}}_{3}$.

Interprétation géométrique

Interprétation géométrique de la norme du produit vectoriel

     Notant $\;\alpha \;$ l'angle non orienté entre les deux vecteurs, la norme de $\;{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\;$ s'écrit

$\;\left\Vert {\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right\Vert =\left\Vert {\vec {u}}\right\Vert \;\left\Vert {\vec {v}}\right\Vert \;\sin(\alpha )\;$ ou,
avec $\;\left\Vert {\vec {v}}\right\Vert \;\sin(\alpha )=h$,
$\;\left\Vert {\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right\Vert =\left\Vert {\vec {u}}\right\Vert \;h\;$ soit encore
l'aire du parallélogramme construit à partir des vecteurs $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}\;$.

À retenir

$\;\left\Vert {\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right\Vert \;$ peut être interprété comme
l'aire du parallélogramme construit à partir des vecteurs $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}$.

Calcul de l'angle entre deux vecteurs connaissant leurs composantes dans une même base orthonormée et par l'intermédiaire de leur produit vectoriel

     Soient deux vecteurs non nuls $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}\;$ de l'espace à trois dimensions orienté dans lequel on définit la base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {i}},\,{\vec {j}},\,{\vec {k}}\right\rbrace \;$, supposons connues les composantes de ces vecteurs dans cette base c.-à-d. $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}=u_{x}\,{\vec {i}}+u_{y}\,{\vec {j}}+u_{z}\,{\vec {k}}\\{\vec {v}}=v_{x}\,{\vec {i}}+v_{y}\,{\vec {j}}+v_{z}\,{\vec {k}}\end{array}}\right.\;$ et cherchons à déterminer $\;\alpha ={\widehat {\left({\vec {u}}\,{,}\,{\vec {v}}\right)}}\;$ ;

     pour cela on peut exprimer la norme du produit vectoriel de ces deux vecteurs de façon intrinsèque d'une part et en utilisant leurs composantes d'autre part soit : $\;\left\Vert {\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right\Vert =\left\Vert {\vec {u}}\right\Vert \times \left\Vert {\vec {v}}\right\Vert \times \sin(\alpha )=$ ${\sqrt {(u_{y}\,v_{z}-u_{z}\,v_{y})^{2}+(u_{z}\,v_{x}-u_{x}\,v_{z})^{2}+(u_{x}\,v_{y}-u_{y}\,v_{x})^{2}}}\;$ donnant $\;\sin(\alpha )=$ ${\dfrac {\sqrt {(u_{y}\,v_{z}-u_{z}\,v_{y})^{2}+(u_{z}\,v_{x}-u_{x}\,v_{z})^{2}+(u_{x}\,v_{y}-u_{y}\,v_{x})^{2}}}{||{\vec {u}}||\times ||{\vec {v}}||}}\;$ expression dans laquelle on peut éliminer les normes des vecteurs par $\;||{\vec {u}}||=$ ${\sqrt {u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}}}\;$ et $\;||{\vec {v}}||={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}\;$ d'où

$\;\sin(\alpha )={\dfrac {\sqrt {(u_{y}\,v_{z}-u_{z}\,v_{y})^{2}+(u_{z}\,v_{x}-u_{x}\,v_{z})^{2}+(u_{x}\,v_{y}-u_{y}\,v_{x})^{2}}}{{\sqrt {u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}}}\,{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}}$.

Itération de la multiplication vectorielle

Conséquence de la non associativité de la multiplication vectorielle

     Le produit vectoriel de deux vecteurs étant un vecteur, il est possible d'itérer la multiplication vectorielle mais cette dernière étant « non associative » c.-à-d., avec trois vecteurs $\;{\vec {u}}$, $\;{\vec {v}}\;$ et $\;{\vec {w}}\;$ quelconques, on vérifie qu'en général $\;\left({\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right)\wedge {\vec {w}}\neq {\vec {u}}\wedge \left({\vec {v}}\wedge {\vec {w}}\right)\;$ il est indispensable de préciser dans quel ordre la multiplication vectorielle est faite ;

     ainsi avec un triplet ordonné de vecteurs $\;\left\lbrace {\vec {u}}\,,\,{\vec {v}}\,,\,{\vec {w}}\right\rbrace \;$ quelconques on peut former deux « doubles produits vectoriels » $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {u}}\wedge \left({\vec {v}}\wedge {\vec {w}}\right)\\{\text{ou}}\\\left({\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right)\wedge {\vec {w}}\end{array}}\right\rbrace \;$ a priori différents, la non associativité de la multiplication vectorielle rendant l'expression $\;{\cancel {{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\wedge {\vec {w}}}}\;$ sans aucune signification .

Formules du double produit vectoriel

     Celles-ci peuvent se démontrer laborieusement à l'aide des composantes de chaque produit vectoriel dans une base orthonormée , voir le paragraphe « en complément : démonstration d'une des formules du double produit vectoriel par identification des composantes cartésiennes de chaque membre » plus loin dans le chapitre $\;{\big (}$pour les sceptiques${\big )}\;\ldots$

• $\;\left({\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right)\wedge {\vec {w}}=-\left({\vec {v}}\cdot {\vec {w}}\right){\vec {u}}+\left({\vec {u}}\cdot {\vec {w}}\right){\vec {v}}\;$ $\quad \longleftarrow \quad$ le membre de droite est une combinaison linéaire (C.L.) des deux vecteurs à l'intérieur des parenthèses du membre de gauche $\;{\big (}$à savoir $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}{\big )}$, le facteur multiplicatif de chaque vecteur étant le produit scalaire des deux autres vecteurs $\;{\big (}$pour $\;{\vec {u}}\;$ le produit scalaire est $\;{\vec {v}}\cdot {\vec {w}}\;$ et pour $\;{\vec {v}}\;$ c'est $\;{\vec {u}}\cdot {\vec {w}}{\big )}\;$ avec un signe $\;-\;$ devant le 1^er vecteur des deux vecteurs à l'intérieur des parenthèses du membre de gauche $\;{\big (}$à savoir $\;{\vec {u}}{\big )}\;$ ;
• $\;{\vec {u}}\wedge \left({\vec {v}}\wedge {\vec {w}}\right)=\left({\vec {u}}\cdot {\vec {w}}\right){\vec {v}}-\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right){\vec {w}}\;$ $\quad \longleftarrow \quad$ le membre de droite est une combinaison linéaire (C.L.) des deux vecteurs à l'intérieur des parenthèses du membre de gauche $\;{\big (}$à savoir $\;{\vec {v}}\;$ et $\;{\vec {w}}{\big )}$, le facteur multiplicatif de chaque vecteur étant le produit scalaire des deux autres vecteurs $\;{\big (}$pour $\;{\vec {v}}\;$ le produit scalaire est $\;{\vec {u}}\cdot {\vec {w}}\;$ et pour $\;{\vec {w}}\;$ c'est $\;{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}{\big )}\;$ avec un signe $\;-\;$ devant le 2^ème vecteur des deux vecteurs à l'intérieur des parenthèses du membre de gauche $\;{\big (}$à savoir $\;{\vec {w}}{\big )}\;$.

     Remarque : La 1^ère formule du double produit vectoriel peut se déduire de la 2^nde $\;{\big (}$et vice versa${\big )}\;$ par utilisation de l'anticommutativité de la multiplication vectorielle en effet $\;\left({\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right)\wedge {\vec {w}}=$ $-{\vec {w}}\wedge \left({\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right)={\vec {w}}\wedge \left[-\left({\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right)\right]={\vec {w}}\wedge \left({\vec {v}}\wedge {\vec {u}}\right)=\left({\vec {u}}\cdot {\vec {w}}\right){\vec {v}}-\left({\vec {v}}\cdot {\vec {w}}\right){\vec {u}}\;$ par utilisation de la 2^ème formule du double produit vectoriel, ce qui établit finalement $\;\left({\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right)\wedge {\vec {w}}=-\left({\vec {v}}\cdot {\vec {w}}\right){\vec {u}}+\left({\vec {u}}\cdot {\vec {w}}\right){\vec {v}}\;$ c.-à-d. la 1^ère formule du double produit vectoriel ;
     Remarque : il ne reste donc plus qu'à établir la 2^nde formule du double produit vectoriel $\;\ldots$

Vérification des formules du double produit vectoriel à partir de l'utilisation de la base orthonormée cartésienne directe

On note $\;\left\lbrace {\vec {e}}_{x}\,,\,{\vec {e}}_{y}\,,\,{\vec {e}}_{z}\right\rbrace \;$ la base orthonormée cartésienne .

     À utiliser en particulier si on se souvient que le développement du double produit vectoriel aboutit à une C.L. des deux vecteurs situés entre parenthèses dans le membre de gauche mais que l'on a oublié où doit être positionné le signe $\;-\;\ldots$

     Formant un 1^er produit vectoriel $\;{\vec {e}}_{x}\wedge {\vec {e}}_{y}\;$ donnant $\;{\vec {e}}_{z}\;$ et formant avec ce dernier le produit vectoriel $\;{\vec {e}}_{z}\wedge {\vec {e}}_{x}\;$ donnant $\;{\vec {e}}_{y}\;$ la formule du double produit vectoriel doit être en accord avec ce résultat c.-à-d. que l'on doit vérifier «$\;\left({\vec {e}}_{x}\wedge {\vec {e}}_{y}\right)\wedge {\vec {e}}_{x}={\vec {e}}_{y}\;$» ;

     si on se souvient que le développement du double produit vectoriel doit être une C.L. de $\;{\vec {e}}_{x}\;$ et $\;{\vec {e}}_{y}\;$ ${\big (}$vecteurs du produit vectoriel entre parenthèses du membre de gauche${\big )}$, devant quel vecteur faut-il positionner le signe $\;-\;$ ?

     Le résultat final étant $\;{\vec {e}}_{y}\;$ le signe $\;+\;$ doit donc être devant $\;{\vec {e}}_{y}\;$ et le signe $\;-\;$ devant le $\;{\vec {e}}_{x}\;$ selon la formule suivante «$\;\left({\vec {e}}_{x}\wedge {\vec {e}}_{y}\right)\wedge {\vec {e}}_{x}=$ ${\cancel {-\left({\vec {e}}_{y}\cdot {\vec {e}}_{x}\right){\vec {e}}_{x}+}}\;{\cancel {\left({\vec {e}}_{x}\cdot {\vec {e}}_{x}\right)}}\;{\vec {e}}_{y}={\vec {e}}_{y}\;$» .

En complément : démonstration d'une des formules du double produit vectoriel par identification des composantes cartésiennes de chaque membre

     Nous nous proposons de démontrer la 2^nde formule du double produit vectoriel c.-à-d. «$\;{\vec {u}}\wedge \left({\vec {v}}\wedge {\vec {w}}\right)\;{\overset {\text{?}}{=}}\;\left({\vec {u}}\cdot {\vec {w}}\right){\vec {v}}-\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right){\vec {w}}\;$» en déterminant les composantes cartésiennes du 1^er membre et en retrouvant celles du 2^nd soit :

     $\;{\begin{array}{c}&&{\vec {u}}&\wedge \\{\vec {e}}_{1}&|&u_{1}&\\{\vec {e}}_{2}&|&u_{2}&\\{\vec {e}}_{3}&|&u_{3}&\\{\vec {e}}_{1}&|&u_{1}&\end{array}}\;\left({\begin{array}{c}{\vec {v}}&\wedge &{\vec {w}}\\v_{1}&&w_{1}\\v_{2}&&w_{2}\\v_{3}&&w_{3}\\v_{1}&&w_{1}\end{array}}\right)\;{\begin{array}{c}=&{\vec {u}}&\wedge &\left({\vec {v}}\wedge {\vec {w}}\right)\\&u_{1}&&v_{2}\,w_{3}-v_{3}\,w_{2}\\&u_{2}&&v_{3}\,w_{1}-v_{1}\,w_{3}\\&u_{3}&&v_{1}\,w_{2}-v_{2}\,w_{1}\\&u_{1}&&v_{2}\,w_{3}-v_{3}\,w_{2}\end{array}}\;{\begin{array}{c}=&{\vec {u}}\wedge \left({\vec {v}}\wedge {\vec {w}}\right)\\&u_{2}\,(v_{1}\,w_{2}-v_{2}\,w_{1})-u_{3}\,(v_{3}\,w_{1}-v_{1}\,w_{3})\\&u_{3}\,(v_{2}\,w_{3}-v_{3}\,w_{2})-u_{1}\,(v_{1}\,w_{2}-v_{2}\,w_{1})\\&u_{1}\,(v_{3}\,w_{1}-v_{1}\,w_{3})-u_{2}\,(v_{2}\,w_{3}-v_{3}\,w_{2})\\&\end{array}}\;$ soit, en factorisant autrement chaque composante

     $\;{\begin{array}{c}&\\{\vec {e}}_{1}&|\\{\vec {e}}_{2}&|\\{\vec {e}}_{3}&|\end{array}}\;{\begin{array}{c}{\vec {u}}\wedge \left({\vec {v}}\wedge {\vec {w}}\right)\\v_{1}\,(u_{2}\,w_{2}+u_{3}\,w_{3})-w_{1}\,(u_{2}\,v_{2}+u_{3}\,v_{3})\\v_{2}\,(u_{3}\,w_{3}+u_{1}\,w_{1})-w_{2}\,(u_{3}\,v_{3}+u_{1}\,v_{1})\\v_{3}\,(u_{1}\,w_{1}+u_{2}\,w_{2})-w_{3}\,(u_{1}\,v_{1}+u_{2}\,v_{2})\end{array}}\;$ puis en ajoutant et retranchant dans chaque composante le même produit à savoir

• pour la 1^ère composante on ajoute $\;v_{1}\;u_{1}\;w_{1}\;$ permettant d'obtenir comme 1^er terme $\;v_{1}\;(u_{1}\,w_{1}+u_{2}\,w_{2}+u_{3}\,w_{3})=v_{1}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {w}}\right)\;$ et
  pour la 1^ère composante on retranche $\;w_{1}\;u_{1}\;v_{1}\;$ permettant d'obtenir pour 2^ème terme $\;-w_{1}\;(u_{1}\,v_{1}+u_{2}\,v_{2}+u_{3}\,v_{3})=-w_{1}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right)$,
• pour la 2^ème composante on ajoute $\;v_{2}\;u_{2}\;w_{2}\;$ permettant d'obtenir comme 1^er terme $\;v_{2}\;(u_{1}\,w_{1}+u_{2}\,w_{2}+u_{3}\,w_{3})=v_{2}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {w}}\right)\;$ et
  pour la 2^ème composante on retranche $\;w_{2}\;u_{2}\;v_{2}\;$ permettant d'obtenir pour 2^ème terme $\;-w_{2}\;(u_{1}\,v_{1}+u_{2}\,v_{2}+u_{3}\,v_{3})=-w_{2}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right)\;$ et
• pour la 3^ème composante on ajoute $\;v_{3}\;u_{3}\;w_{3}\;$ permettant d'obtenir comme 1^er terme $\;v_{3}\;(u_{1}\,w_{1}+u_{2}\,w_{2}+u_{3}\,w_{3})=v_{3}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {w}}\right)\;$ et
  pour la 3^ème composante on retranche $\;w_{3}\;u_{3}\;v_{3}\;$ permettant d'obtenir pour 2^ème terme $\;-w_{3}\;(u_{1}\,v_{1}+u_{2}\,v_{2}+u_{3}\,v_{3})=-w_{3}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right)$ ;

     finalement on obtient $\;{\begin{array}{c}&\\{\vec {e}}_{1}&|\\{\vec {e}}_{2}&|\\{\vec {e}}_{3}&|\end{array}}\;{\begin{array}{c}{\vec {u}}\wedge \left({\vec {v}}\wedge {\vec {w}}\right)\\v_{1}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {w}}\right)-w_{1}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right)\\v_{2}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {w}}\right)-w_{2}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right)\\v_{3}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {w}}\right)-w_{3}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right)\end{array}}\;$ établissant la formule du double produit vectoriel $\;{\vec {u}}\wedge \left({\vec {v}}\wedge {\vec {w}}\right)={\vec {v}}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {w}}\right)-{\vec {w}}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right)$.

Produit mixte de trois vecteurs

     La définition de la multiplication mixte de trois vecteurs d'un espace vectoriel à trois dimensions nécessite de vérifier, au préalable, que l'espace affine dont l'espace vectoriel est la direction est orientable ce qui a déjà été fait en introduction du paragraphe « produit vectoriel de deux vecteurs » plus haut dans ce chapitre ;
     l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction étant orientable a, du fait de son caractère connexe, exactement deux orientations différentes possibles à savoir

• une « orientation à droite » $\;{\big (}$orientation définie par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de Maxwell positionné en un point $\;M\;$ de l'espace${\big )}\;$ ou
• une « orientation à gauche » $\;{\big (}$orientation définissable par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de farces et attrapes positionné en un point $\;M\;$ de l'espace${\big )}\;$.

     Dans la suite de ce paragraphe nous supposons, en absence de précision, l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction « orienté à droite » $\;{\big \{}$par abus nous dirons « l'espace vectoriel est orienté à droite » au lieu de « l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction est orienté à droite » $\;{\big (}$nous emploierions le même abus pour « l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction orienté à gauche »${\big )}{\big \}}$.

Définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs

Définition intrinsèque

     $\;{\vec {u}}$, $\;{\vec {v}}\;$ et $\;{\vec {w}}\;$ étant trois vecteurs de l’espace vectoriel, direction de l'espace physique affine à trois dimensions « orienté », on définit le produit mixte de $\;{\vec {u}}$, $\;{\vec {v}}\;$ et $\;{\vec {w}}\;$ comme

le scalaire «$\;({\vec {u}}\wedge {\vec {v}})\cdot {\vec {w}}\;$» ;

• si $\;{\vec {u}}$, $\;{\vec {v}}\;$ et $\;{\vec {w}}\;$ sont coplanaires, $\;({\vec {u}}\wedge {\vec {v}})\cdot {\vec {w}}=0$,
• si ${\vec {u}}$, ${\vec {v}}$ et ${\vec {w}}$ ne sont pas coplanaires, $\;({\vec {u}}\wedge {\vec {v}})\cdot {\vec {w}}\neq 0\;$.

     Remarque : Le produit vectoriel de deux vecteurs dépendant de l'orientation de l'espace $\;{\big \{}$le produit vectoriel de deux vecteurs dans un espace « orienté à gauche » étant l'opposé du produit vectoriel des mêmes vecteurs dans le même espace mais « orienté à droite »${\big \}}\;$ alors que
     Remarque : le produit scalaire de deux vecteurs en est indépendant, nous en déduisons que
     Remarque : le produit mixte de trois vecteurs dépend de l'orientation de l'espace :

le produit mixte de trois vecteurs dans un espace « orienté à gauche » est l'opposé du produit mixte des mêmes vecteurs dans le même espace mais « orienté à droite ».

Propriétés

     $\;\succ \;$Le produit mixte de trois vecteurs est invariant par permutation circulaire c.-à-d. que «$\;({\vec {u}}\wedge {\vec {v}})\cdot {\vec {w}}=({\vec {v}}\wedge {\vec {w}})\cdot {\vec {u}}=({\vec {w}}\wedge {\vec {u}})\cdot {\vec {v}}\;$» ;

     $\;\succ \;$par contre toute permutation entre deux vecteurs laissant le troisième en la même position change le produit mixte en son opposé par exemple :

         par contre $\;\blacktriangleright \;$ «$\;({\vec {u}}\wedge {\vec {v}})\cdot {\vec {w}}=-({\vec {v}}\wedge {\vec {u}})\cdot {\vec {w}}\;$» résultant de l'anticommutativité du produit vectoriel ou

         par contre $\;\blacktriangleright \;$ «$\;({\vec {u}}\wedge {\vec {v}})\cdot {\vec {w}}=-({\vec {u}}\wedge {\vec {w}})\cdot {\vec {v}}\;$» résultant d'une première permutation circulaire mettant $\;{\vec {v}}\;$ en troisième position selon $\;({\vec {u}}\wedge {\vec {v}})\cdot {\vec {w}}=$ $({\vec {w}}\wedge {\vec {u}})\cdot {\vec {v}}\;$ suivi de l'utilisation de l'anticommutativité du produit vectoriel ;

     $\;\succ \;$dans un espace « orienté à droite », le produit mixte «$\;({\vec {u}}\wedge {\vec {v}})\cdot {\vec {w}}\;$ est $\;\left\lbrace {\begin{array}{l l l}>0\!\!&{\text{si le trièdre}}\;({\vec {u}},\,{\vec {v}},\,{\vec {w}})\!\!&{\text{est direct}}\\<0\!\!&{\text{si le trièdre}}\;({\vec {u}},\,{\vec {v}},\,{\vec {w}})\!\!&{\text{est indirect}}\end{array}}\right.\;$» alors que
          dans un espace « orienté à gauche », le produit mixte«$\;({\vec {u}}\wedge {\vec {v}})\cdot {\vec {w}}\;$ est $\;\left\lbrace {\begin{array}{l l l}>0\!\!&{\text{si le trièdre}}\;({\vec {u}},\,{\vec {v}},\,{\vec {w}})\!\!&{\text{est indirect (au sens de la physique) (« règle de la main gauche »)}}\\<0\!\!&{\text{si le trièdre}}\;({\vec {u}},\,{\vec {v}},\,{\vec {w}})\!\!&{\text{est direct (au sens de la physique) (« règle de la main droite »)}}\end{array}}\right.\;$» .

Définition du produit mixte de trois vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace

Définition (équivalente) du produit mixte à l'aide d'une base orthonormée

     Soient $\;{\vec {u}}\;(u_{1},\,u_{2},\,u_{3})$, $\;{\vec {v}}\;(v_{1},\,v_{2},\,v_{3})\;$ et $\;{\vec {w}}\;(w_{1},\,w_{2},\,w_{3})\;$ les composantes de $\;{\vec {u}}$, $\;{\vec {v}}\;$ et $\;{\vec {w}}\;$ dans une base orthonormée $\;{\big \{}$base « directe dans un espace orienté à droite » et « indirecte $\;{\big (}$au sens de la physique${\big )}\;$ dans un espace orienté à gauche »${\big \}}$ $\;({\vec {e}}_{1},\,{\vec {e}}_{2},\,{\vec {e}}_{3})$,

les composantes de $\;{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\;$ dans la même base étant
$\;(u_{2}\,v_{3}-u_{3}\,v_{2},\;u_{3}\,v_{1}-u_{1}\,v_{3},\;u_{1}\,v_{2}-u_{2}\,v_{1})$,
le produit mixte $\;({\vec {u}}\wedge {\vec {v}})\cdot {\vec {w}}\;$ est défini par
«$\;({\vec {u}}\wedge {\vec {v}})\cdot {\vec {w}}=(u_{2}\,v_{3}-u_{3}\,v_{2})\;w_{1}+(u_{3}\,v_{1}-u_{1}\,v_{3})\;w_{2}+(u_{1}\,v_{2}-u_{2}\,v_{1})\;w_{3}\;$».

     Remarque : On peut aisément vérifier l'invariance du produit mixte par permutation circulaire à l'aide des composantes des vecteurs par exemple pour montrer que «$\;({\vec {u}}\wedge {\vec {v}})\cdot {\vec {w}}=({\vec {w}}\wedge {\vec {u}})\cdot {\vec {v}}\;$» on part de $\;({\vec {u}}\wedge {\vec {v}})\cdot {\vec {w}}=(u_{2}\,v_{3}-u_{3}\,v_{2})\;w_{1}+(u_{3}\,v_{1}-u_{1}\,v_{3})\;w_{2}+(u_{1}\,v_{2}-u_{2}\,v_{1})\;w_{3}\;$ dans laquelle, après des factorisations partielles en $\;v_{1}$, $\;v_{2}\;$ et $\;v_{3}$, on obtient

$\;({\vec {u}}\wedge {\vec {v}})\cdot {\vec {w}}=(u_{3}\,w_{2}-u_{2}\,w_{3})\;v_{1}+(u_{1}\,w_{3}-u_{3}\,w_{1})\;v_{2}+(u_{2}\,w_{1}-u_{1}\,w_{2})\;v_{3}\;$ avec
$\;(w_{2}\,u_{3}-w_{3}\,u_{2},\;w_{3}\,u_{1}-w_{1}\,u_{3},\;w_{1}\,u_{2}-w_{2}\,u_{1})\;$ les composantes ordonnées du produit vectoriel $\;{\vec {w}}\wedge {\vec {u}}$ $\;\ldots$

Interprétation géométrique de la valeur absolue du produit mixte de trois vecteurs non coplanaires

Interprétation géométrique du produit mixte

     L'espace étant « orienté à droite » et appelant $\;{\vec {n}}\;$ un vecteur unitaire normal au plan formé par $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}\;$ tel que $\;({\vec {u}},\,{\vec {v}},\,{\vec {n}})\;$ soit direct, nous pouvons écrire «$\;{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}=\left\Vert {\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right\Vert {\vec {n}}\;$» avec «$\;\left\Vert {\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right\Vert \;$ représentant l'aire du parallélogramme construit à partir de $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}\;$» ;
     d'autre part la définition du produit scalaire nous conduit à «$\;({\vec {u}}\wedge {\vec {v}})\!\cdot \!{\vec {w}}=\left\Vert {\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right\Vert \,\left\Vert {\vec {w}}\right\Vert \,\cos(\gamma )\;$» avec «$\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=\stackrel{}{(}$